Dr Dawid Garstecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu

Transkrypt

1 Dr Dawid Garstecki Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu dawid.garstecki@ue.poznan.pl ZASTOSOWANIE TRÓJKĄTA PASCALA W METODZIE OPCJI RZECZYWISTYCH Streszczenie: XX wiek obfitował w wiele ciekawych ekonomicznych wydarzeń, sporów (np. Hayek kontra Keynes) i teorii, które po dziś dzień są podstawą prowadzenia badań, jak też i nauczania na studiach. Jedną z teorii, która współcześnie znajduje zastosowanie i jest przedmiotem licznych rozwań i opracowań naukowych jest teoria opcji rzeczywistych. Celem głównym artykułu jest przedstawienie zastosowania trójkąta Pascala w metodzie opcji rzeczywistych. W artykule podkreślono dualizm opcji rzeczywistych, które mogą być stosowane jako metoda budżetowania kapitałowego lub wyceny przedsiębiorstwa. Konstrukcja artykułu wynika z zastosowania metody dedukcji i metody historycznej. Słowa kluczowe: Trójkąt Pascala, opcje rzeczywiste, budżetowanie kapitałowe, wycena przedsiębiorstwa. Klasyfikacja JEL: M40, M4. PASCAL S TRIANGLE APPLICATION IN REAL OPTIONS METHOD Abstract: Past century teemed with many economical events, disputes (i.e. Hayek versus Keynes) and theories, which are the fundamentals of research and academic lessons to this day. One of them is real options method, which is broadly applied and still a theme of many scientific papers. The aim of the article is to present Pascal s triangle application in real options method using two scientific methods deduction and historical. Key words: Pascal s triangle, real options, capital budgeting, company valuation. Wstęp Do lat 70. XX wieku ryzyko stanowiło czynnik degradujący wartość inwestycji i przedsiębiorstwa. Takie podejście do ryzyka dominowało tak w literaturze z dziedziny ekonomii, jak i w praktyce gospodarczej. Wraz z wprowadzeniem do teorii ekonomii pojęcia opcji rzeczywistych, a następnie opracowania metod ich wyceny, zmieniło się podejście do ryzyka w kontekście rentowności realizowanych inwestycji oraz wyceny przedsiębiorstwa. W modelu opcji rzeczywistych ryzyko stanowi nośnik wartości, a nie czynnik, który zmniejsza rentowności inwestycji lub wartość przedsiębiorstwa. Jednym z elementów, który odgrywa istotną rolę w wycenie metodą opcji rzeczywistych jest prawdopodobieństwo. W tym celu wykorzystuje się trójkąt Pascala, który stanowi ekwiwalent dwumianu Newtona i pozwala na określenie prawdopodobieństwa osiągnięcia danej wartości w czasie. Jednak wykorzystanie trójkąta Pascala jest różne, w zależności od tego czy opcje rzeczywiste wykorzystywane są jako narzędzie budżetowania kapitałowego, czy jako metoda wyceny przedsiębiorstwa. Celem głównym artykułu jest przedstawienie dualnego wykorzystania trójkąta Pascala w metodzie opcji rzeczywistych. Realizację celu głównego wspomagają cele szczegółowe, odzwierciedlone w odrębnych częściach opracowania. Część pierwszą poświęcono charakterystyce opcji rzeczywistych, zarówno jako metody budżetowania kapitałowego, jak i

2 metody wyceny przedsiębiorstwa. W drugiej części opracowania przedstawiono istotę i znaczenie paradygmatu w nauce na gruncie filozofii nauki T.S.Kuhna oraz dokonano argumentacji na rzecz ugruntowania paradygmatu opcji rzeczywistych. Z kolei trzecia część artykułu to charakterystyka trójkąta Pascala, w szczególności zwrócenie uwagi na te elementy, które są niezbędne do zrozumienia znaczenia trójkąta Pascala w wycenie metodą opcji rzeczywistych. W artykule wykorzystano dwie metody badawcze metodą historyczną oraz metodę dedukcji.. Charakterystyka opcji rzeczywistych Współcześnie opcje rzeczywiste wykorzystywane są w dwóch obszarach jako narzędzie budżetowania kapitałowego oraz jako metoda wyceny przedsiębiorstwa. Ze względu na ograniczoną objętość artykułu oraz jego ukierunkowanie na przedstawienie zastosowania Trójkąta Pascala w metodzie opcji rzeczywistych, zostaną jedynie przedstawione najistotniejsze informacje charakteryzujące opcje rzeczywiste w wymienionych dwóch obszarach. Opcje rzeczywiste definiuje się w literaturze z dziedziny ekonomii w sposób jednorodny, jako prawo do podjęcia decyzji w przyszłości odnośnie inwestycji rzeczowej [Brach 2003, s.; Broyles 2007, s.]. P.Żarczyński określa opcje rzeczywiste zbiorem racjonalnych wariantów działania w warunkach skrajnej niepewności [Żarczyński 2008, s.359]. Tak więc opcja to prawo, ale nie obowiązek podjęcia określonej decyzji w zakresie inwestycji rzeczowej. Występuje znaczny homoformizm między opcjami finansowymi a rzeczowymi, co przedstawiono w tabeli. Tabela. Podobieństwo opcji finansowych i rzeczowych Zmienna Opcje finansowe Opcje rzeczywiste K Cena wykonania Nakłady inwestycyjne S Cena rynkowa Wartość bieżąca przyszłych przepływów pieniężnych t Czas do wygaśnięcia Czas trwania opcji σ 2 Zmienność stóp zwrotu Zmienność przepływów pieniężnych r Stopa zwrotu wolna od ryzyka Stopa zwrotu wolna od ryzyka Źródło: [Brach 2003, s.43]. W metodzie opcji rzeczywistych ryzyko jest szansą, a nie zagrożeniem dla realizowanej inwestycji. Wynika to z faktu, że zgodnie z istotą opcji jej posiadacz, czyli przedsiębiorstwo realizujące projekt inwestycyjny, może podjąć określone decyzje związane z realizacją projektu w relacji do napływających informacji. Aktywowanie opcji zależy wyłącznie od umiejętności, doświadczenia i kompetencji menedżerów zarządzających projektem inwestycyjnym. Jak podkreśla A.Kozarkiewicz-Chlebowska rozwój opcji rzeczowych jest związany z koniecznością uwzględnienia w rachunku opłacalności projektów możliwości dostosowywania się do zmiennych warunków rynkowych [Kozarkiewicz- Chlebowska 2004, s.377]. Dlatego często określa się metodę opcji rzeczywistych jako wycenę elastyczności decyzyjnej, a otrzymaną rentowność projektu przy uwzględnieniu wartości opcji rzeczywistej jako rozszerzone NPV (z ang. Expanded NPV): ENPV = NPV + ROV () 2

3 gdzie: NPV wartość bieżąca netto (z ang. Net Present Value), ENPV rozszerzona wartość bieżąca netto (z ang. Expanded Net Present Value), ROV wartość opcji rzeczywistej (z ang. Real Options Value). Opcje rzeczywiste są wyrazem aktywnego podejścia do realizowanego projektu inwestycyjnego, w przeciwieństwie do pasywnego (statycznego) podejścia tradycyjnego. W metodzie opcji rzeczywistych ryzyko jest nośnikiem wartości inwestycji, ale nie we wszystkich inwestycjach opcje rzeczywiste będą generowały wartość dodaną. Wykorzystanie opcji rzeczowych jest uzasadnione szczególnie w przypadku inwestycji realizowanych etapami, ryzykownych o znaczeniu strategicznym lub kładących nacisk na tworzenie warunków do wzrostu niż na wartość aktualnych przepływów pieniężnych [Rudny 2009, s.03]. Odzwierciedleniem różnych źródeł niepewności i możliwości menedżerów w zakresie podjęcia określonej decyzji w zakresie realizowanego projektu inwestycyjnego są różne rodzaje opcji rzeczywistych, w tym: rezygnacji, zmiany skali działalności, czekania, przełączenia lub wzrostu [Mizerka 2005, s.62-68]. Opcje rzeczywiste mogą być wyceniane w czasie ciągłym lub w czasie dyskretnym [Rudny 2009, s.28]. W związku z ograniczeniami modelu Blacka-Scholesa (wycena w czasie ciągłym) 2 i nielicznych rodzajach opcji rzeczywistych, dla których można stosować tę metodę wyceny, najczęściej wykorzystywana jest wycena w czasie dyskretnym 3, czyli model drzewa dwumianowego (multiplikatywnego). W modelu dwumianowym zakłada się, że wartość aktywa bazowego (czyli zdyskontowanych przepływów pieniężnych) S 0 może wzrosnąć o wskaźnik u 4 lub spaść o wskaźnik d 5. W celu ustaleniu wartości opcji wynikającej z relizowanej inwestycji stosuje się indukcję wsteczną, w celu wbudowania w drzewo opcji rzeczywistej przy wykorzystaniu prawdopodobieństwa arbitrażowego p 6 dla wzrostu wartości oraz -p dla spadku wartości. Indukcja wsteczna pozwala na obliczenie wartości drzewa w każdym węźle V n 7. Na schemacie przedstawiono przykładowe drzewo dwumianowe dla okresu t=3. Z kolei w obszarze wyceny przedsiębiorstwa model opcji rzeczywistych umożliwia wyznaczenie wartości bieżącej kapitału własnego jako wartość opcji zakupu w chwili t 0 oparte na rozkładzie wartości przedsiębiorstwa w przyszłości i na jej podstawie przy zakładanym poziomie długu (D) w przyszłości dokonuje się obliczenia wartości opcji kupna, czyli wartości kapitału własnego (E). Kluczowym elementem wyceny opartej na modelu opcji jest wyznaczenie wartości w przyszłości przy wykorzystaniu stochastycznego procesu zmian wartości odzwierciedlonego wielkością zmienności (σ) [Krysiak 20, s.398]. Zatem podobnie jak w obszarze budżetowania kapitałowego nośnikiem wartości przedsiębiorstwa Przez podejście tradycyjne autor określa metody proste i dyskontowe budżetowania kapitałowego. 2 Szerzej o tych ograniczeniach oraz wycenie w czasie ciągłym w [Żarczyński 2008, s.364]. 3 Więcej o wycenie w czasie dyskretnym w [Krysiak 20] p =!!"#!!!!! 7 Vn = p V + + ( p) V e rdt 3

4 jest ryzyko, mierzone odchyleniem standardowym σ. Proces zmian wartości przedsiębiorstwa zgodnie z modelem stochastycznym oznacza, że na wartość przedsiębiorstwa wpływa: trend oraz składnik losowy. Schemat. Drzewo dwumianowe Źródło: [Kodukula, Papudesu 2006, s.70] Wartość przedsiębiorstwa w modelu opcji rzeczywistych z matematycznego punktu widzenia przyjmuje następującą postać [Krysiak 20, s.408]: V t = V 0 e µt e σε t (2) gdzie: V wartość przedsiębiorstwa; µ trend (systematyczny wzrost wartości); σ zmienność wartości (odchylenie standardowe); t czas; ε czynnik losowy (zmienna losowa z przedziału (-;) według standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,). Przy wycenie przedsiębiorstwa, podobnie jak na gruncie budżetowania kapitałowego, w modelu dwumianowym wzrost wartości wynosi, a spadek. Natomiast niezależnie od składnika losowego, wartość przedsiębiorstwa rośnie o stopę µ (w praktyce odzierciedlonej stopę oprocentowania papierów wartościowych wolnych od ryzyka). 2. Opcje rzeczywiste ewolucja czy rewolucja? Odróżnienie ewolucji od rewolucji w naukach społecznych jest niezwykle trudne. Wskazówki w tym zakresie przedstawił T.S. Kuhn w Strukturze rewolucji naukowych, określając czynniki, które wpływają na to, że dana nauka przechodzi rewolucję i podlega innemu spojrzeniu na badany obiekt w ramach nowego paradygmatu. Przez paradygmat T.S. Kuhn określa powszechnie uznawane osiągnięcia naukowe, które w pewnym czasie dostarczają społeczności uczonych modelowych problemów i rozwiązań [Kuhn 2009, s.0]. Badania prowadzone na gruncie paradygmatu T.S.Kuhn określa mianem nauki normalnej. W ramach nauki normalnej społeczność naukowa dąży do pogłębienia i wyjaśnienia wiedzy w ramach, które paradygmat zakreśla. Nowy paradygmat uzyskuje wiodący status ponieważ dostarcza naukowcom lepszych narzędzi do rozwiązywania bieżących problemów badawczych, niż poprzedni paradygmat. O pojawieniu 4

5 się nowego paradygmatu świadczą dwa fakty. Pierwszym jest możliwość wyjaśnienia za jego pomocą zjawisk, które na gruncie obowiązującego paradygmatu miały charakter anomalii. T.S.Kuhn jest zdania, że anomalie na gruncie nowego paradygmatu wydadzą się czymś w rodzaju tautologii, opisami zdającymi sprawę z czegoś, co w żadnym razie nie może istnieć inaczej [Kuhn 2009, s.43]. Drugim jest fakt zaakceptowania nowego paradygmatu przez społeczność naukową, skutkiem czego kierując się nowym paradygmatem, uczeni stosują nowe przyrządy i widzą nowe obszary rzeczywistości [Kuhn 2009, s.95]. Opcje rzeczywiste można określić mianem nowego paradygmatu ponieważ to, co na gruncie metod tradycyjnych jest anomalią, na gruncie opcji rzeczywistych stanowi naukę normalną. Według W. Maeseneire istniało niezadowolenie menedżerów oraz naukowców w obszarze budżetowania kapitałowego przy wykorzystaniu tradycyjnych metod oceny opłacalności inwestycji [De Maeseneire 2006, s.6]. Wymienia się następujące wady metod tradycyjnych, które zdaniem autora artykułu świadczą o anomalii: statyczny charakter tradycyjne metody nie uwzględniają możliwości podjęcia przez menedżerów jakiejkolwiek decyzji w trakcie trwania projektu [Scialdone 2007, s.40]; niemożność podjęcia na ich podstawie decyzji strategicznych [Mun 202]; potrzeba korygowania wartości statycznych mierników (głównie NPV) o wartość elastyczności [Vollert 2003, s.3]; niemożność uwzględnienia wpływu realizowanego projektu na przyszłe możliwości decyzyjne oraz zbyt duże uzależnienie rentowności projektu od poziomu stopy dyskontowej [Żarczyński 2008, s.358]. Coraz częściej pojawiają się wprost stanowiska badaczy o randze metody opcji rzeczywistych jako paradygmatu budżetowania kapitałowego. Sformułowania takie można odnaleźć w pracach T.Grossman i J.L.Livingstone [Grossman, Livingstone 2009], T.Copeland i V.Antikarova [Brach 2003, s.9] czy A.Vollerta [Vollert 2003, s.42]. Powyższe akapity dowodą tezy autora, że opcje rzeczywiste mogą być uznane jako paradygmat budżetowania kapitałowego, ponieważ eliminują anomalie pojawiające się na gruncie metod tradycyjnych. Zdaniem autora opracowania opcje rzeczywiste można także określić mianem paradygmatu wyceny przedsiębiorstw. Specyfika niektórych branż i sektorów sprawia, że metody majątkowe, dochodowe i porównawcze wyceny przedsiębiorstw nie zawsze odzwierciedlają rzeczywistą ich wartość. Przykładem może być sektor aplikacji mobilnych, którego przedsiębiorstwa posiadają w strukturze aktywów większość wartości niematerialnych i prawnych, aniżeli tradycyjnych rzeczowych aktywów, co niewątpliwie utrudnia wycenę tych podmiotów tradycyjnymi metodami. Podobnie uważa W.Rudny pisząc, że problem ten dotyczy inwestycji w technologie informatyczne oraz przedsiębiorstw innowacyjnych na wczesnym etapie rozwoju, tzw. start-upów [Rudny 2009, s.53 i 60]. Tego typu podmioty charakteryzuje duża niepewność związana z perspektywami rozwoju, rozłożenie procesu inwestycyjnego na szereg faz, nieregularność strumieni pieniężnych, niskie przychody, brak zysków w początkowym okresie funkcjonowania [Rudny 2009, s.6]. Jednak bardzo duże ryzyko charakteryzujące przedsiębiorstwa z niektórych sektorów, w tym aplikacji mobilnych, dla niektórych podmiotów stanowi nośnik wartości. W modelu opcji rzeczywistych co udowodniono już we wcześniejszych fragmentach opracowania wycena 5

6 metodą opcji rzeczywistych może wpłynąć na urealnienie wyceny tych podmiotów, właśnie dzięki temu, że ryzyko działalności jest znaczne Istota trójkąta Pascala Trójkąt Pascala wziął swoją nazwę od francuskiego matematyka Blaise a Pascala 9, który w 654 roku przedstawił trójkąt zgodnie ze schematem 2. W rzędach zerowych trójkąta Pascala są jedności. Każda kolejna wartość w pozostałych rzędach trójkąta jest sumą wcześniejszych. Trójkąt Pascala pozwala na łatwiejsze obliczenie dwumianu Newtona, opisanego przez wzór: (a+b) n (3) Schemat 2. Trójkąt Pascala (a+b) 0 (a+b) (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) 4 (a+b) 5 (a+b) 6 (a+b) 7 (a+b) 8 Źródło: Opracowanie własne. Podając dla przykładu, (a+b) 3 można zapisać następująco: a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. W trzecim wierszu w trójkącie Pascala znajdują się właśnie liczby, 3, 3 i. Warto także zaznaczyć, że w pierwszym rzędzie trójkąta są liczby naturalne, tj., 2, 3, 4, 5 itd., a w drugim liczby trójkątne, tj., 3, 6, 0 itd. Symbol Newtona, czyli kombinacja k-elementów ze zbioru n-elementowego przyjmuje następującą postać:! n # $ " k% & n! = (4) k!(n k)! gdzie: n,k to liczby ze zbioru liczb naturalnych, k 0, k n. Przykładowo kombinacja 5 osób z liczby 7 osób w grupie wynosi 2, co wynika z następujących obliczeń: 8 Określenie czynników wpływających na to, że tylko nieliczne przedsiębiorstwa z sektora aplikacji mobilnych przeżywają okres pięciu lat i odnoszą sukces zdobywając pozycję strategiczną (teoretycznie wycena metodą opcji rzeczywistych zwiększa wartość każdego przedsiębiorstwa z danego sektora) będzie przedmiotem odrębnych publikacji. 9 Spotkać można także dowody na to, że podobne analizy prowadzone były już wcześniej, np. przez O.Khayyamay [Pickover 2009, s.46]. 6

7 ! 7 # $ " 5% & 7! ( ) (6 7) = = = 5!(7 5)! ( ) ( 2) ( ) ( 2) = = 2 Taki sam wynik można uzyskać odczytując wartości z trójkąta Pascala. W tym celu należy znaleźć kombinację k elementową ze zbioru n-elementowego i wybrać liczbę stojącą na k tym miejscu (licząc od k=0) w n tym wierszu. Piąta liczba w siódmym wierszu Trójkąta Pascala jest równa 2. Przedstawiono syntetycznie znaczenie trójkąta Pascala, co pozwoli w dalszej części opracowania ukazać jego znaczenie w metodzie opcji rzeczywistych. 4. Zastosowanie Trójkąta Pascala w metodzie opcji rzeczywistych W obszarze budżetowania kapitałowego przy wykorzystaniu metody opcji rzeczywistych trójkąt Pascala pełni funkcję intepretacyjną otrzymanych informacji pozwala odpowiedzieć na pytanie jakie jest prawdopodobieństwo osiągnięcia wartości inwestycji w danym węźle drzewa dwumianowego. Może zatem pełnić rolę wspomagającą w podejmowaniu decyzji o realizacji lub skali realizacji danego projektu inwestycyjnego. Poniższy schemat posłuży do analizy zastosowania trójkąta Pascala w odniesieniu do rentowności inwestycji wyznaczonej za pomocą drzewa dwumianowego dla okresu analizy t=2 lata. Schemat 3. Przykład analizy drzewa dwumianowego dla t=2 Drzewo dwumianowe Trójkąt Pascala % % % Źródło: Opracowanie własne. Na podstawie informacji zamieszczonych na schemacie 3 można wnioskować, że z prawdopodobieństwem 50% wartość inwestycji będzie równa 200 j.p. Z kolei prawdopodobieństwo, że wartość inwestycji wyniesie 300 j.p. lub 50 j.p. wynosi 25%. Te informacje mogą okazać się przydatne menedżerom w procesie podejmowania decyzji inwestycyjnej. W obszarze wyceny przedsiębiorstwa metodą opcji rzeczywistych trójkąt Pascala nie tylko informuje o prawdopodobieństwie uzyskania określonej wartości w n węźle, ale ma wpływ na wartość przedsiębiorstwa i jest elementem metodologicznym wyceny. Procedurę 7

8 wyceny przedsiębiorstwa metodą opcji rzeczywistych można przedstawić w sposób ogólny jako iloczyn: wartości drzewa dwumianowego zmian wartości aktywa bazowego (przepływów pieniężnych); liczby ścieżek w trójkącie Pascala oraz wartość prawdopodobieństwa 0 osiągnięcia wartości w n drzewie na jednej ścieżce. Poniższy schemat posłuży do analizy zastosowania trójkąta Pascala w odniesieniu do wyceny przedsiębiorstwa za pomocą drzewa dwumianowego dla okresu analizy t=2 lata. Schemat 4. Przykład analizy drzewa dwumianowego dla t=2 Drzewo dwumianowe 0 2 Trójkąt Pascala Prawdopodobieństwo p = 0,58 -p = 0, , ,58 0,42 0, ,8 Źródło: Opracowanie własne. Na podstawie informacji zawartych w schemacie 3 można stwierdzić, że: prawdopodobieństwo uzyskania wartości 300 po drugim roku wynosi 33%, prawdopodobieństwo uzyskania wartości 200 po drugim roku wynosi 48%, prawdopodobieństwo uzyskania wartości 50 po drugim roku wynosi 8%. Dokonując wyceny przedsiębiorstwa modelem opcji rzeczywistych należy dokonać przemnożenia wartości wynikających z drzewa dwumianowego (zbudowanego za pomocą współczynników u i d), prawdopodobieństwa arbitrażowego p i -p oraz wartości z trójkąta Pascala. Następnie otrzymaną wartość należy zdyskontować stopą dyskontową wacc (jeśli przedsiębiorstwa korzysta z finansowania zewnętrznego) lub stopą CAPM lub kosztem kapitału własnego wyznaczonym w oparciu o inną formułę (gdy przedsiębiorstwa nie korzysta z zewnętrznych źródeł finansowania). 5. Podsumowanie Opcje rzeczywiste coraz częściej są określane przez społeczność naukową mianem paradygmatu, tak na gruncie budżetowania kapitałowego, jak i wyceny przedsiębiorstwa. Status paradygmatu wydaje się uzasadniony, bowiem metoda opcji rzeczywistych pozwala 0 Zastosowanie ma przedstawiony już wcześniej wzór na prawodpobieństwo arbitrażowe p i -p. 8

9 spojrzeć na ryzyko jako nośnik wartości inwestycji lub przedsiębiorstwa, a nie jako czynnik obniżający wartość. W rozumieniu filozofii T.S.Kuhna jest to z pewnością rewolucja na gruncie tradycyjnych metod, ale już na gruncie metody opcji rzeczywistych stanowi to naukę normalną. Niniejszy artykuł wpisuje się w naukę normalną na gruncie paradygmatu opcji rzeczywistych. Pojęcie nauki normalnej jest bardzo obszerne. Mogą to być badania prowadzone w związku z dostosowaniem i sprawdzeniem metody w nowych sytuacjach lub w odniesieniu do nowych sektorów (jak na przykład sektor aplikacji mobilnych). Mogą to być także badania pogłębiające lub objaśniające poszczególne elementy danej metody. W artykule przedstawiono zastosowanie trójkąta Pascala w metodzie opcji rzeczywistych, co lokuje opracowanie w ramach drugiego nurtu badań nauki normalnej. W rozważaniach podkreślono różne zastosowanie trójkąta Pascala w zależności od przeznaczenia metody opcji rzeczywistych. Podczas gdy pełni on jedynie funkcję informacyjną na gruncie budżetowania kapitałowego, tak na gruncie wyceny przedsiębiorstwa jest elementem metodologicznym wyceny. W artykule zasygnalizowano także przyszłe kierunki badań w rozumieniu nauki normalnej zgodnie z filozofią T.S.Kuhna. Zdaniem autora opracowania głównym kierunkiem pogłębionych badań powinno być zbadanie, zweryfikowanie i opublikowanie wyników zastosowania metody opcji rzeczywistych do wyceny przedsiębiorstw, w których dominującą strukturą aktywów są wartości niematerialne i prawne (przedsiębiorstwa z sektora aplikacji mobilnych). Bibliografia Brach, M.A., 2003, Real Options in Practice, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, Broyles, J., 2007, Financial Management and Real Options, John Wiley & Sons, Chichester, Grossman, T., Livingstone, J.L., 2009, The Portable MBA in Finance and Accounting, 4th Edition, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, Kozarkiewicz-Chlebowska, A., 2004, Analiza i wycena opcji rezygnacji przykłady zastosowań w przemyśle naftowym, [w:] W.Pluta (red.), Zarządzanie finansami firm teoria i praktyka, Tom, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław, Kuhn, T.S., 2009, Struktura rewolucji naukowych, Wydawnictwo Aletheia, Warszawa, De Maeseneire, W., 2006, The Real Options Approach to Strategic Capital Budgetting and Company Valuation, Larcier, Gent, Kodukula, P., Papudesu, Ch., 2006, Project Valuation Using Real Options: A Practitioner's Guide, J. Ross Publishing, Fort Lauderdale, Florida, Krysiak, Z., 20, Wycena przedsiębiorstwa w modelu opcji rzeczywistych [w:] Wycena przedsiębiorstwa. Od teorii do praktyki, Panfil, M., Szablewski, A. (red.), Poltext, Warszawa, Mizerka, J., 2005, Opcje rzeczywiste w finansowej ocenie efektywności inwestycji, Prace Habilitacyjne 20, Akademia Ekonomiczna w Poznaniu, Poznań, Mun, J., 202, Real Options Analysis: Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, Pickover, C.A., 2009, The Math Book : From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, NY, 9

10 Rudny, W., 2009, Opcje rzeczowe w procesie tworzenia wartości przedsiębiorstwa, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Katowicach, Katowice, Scialdone, P., 2007, Valuing Managerial Flexibility: Challenges and Opportunities of the Real Option Approach in Practice, Cuvillier Verlag, Gottingen, Vollert, A. (2003), A Stochastic Control Framework for Real Options in Strategic Valuation, Springer, Berlin. 0