Model GARCH wykorzystanie dodatkowych informacji o cenach minimalnych i maksymalnych

Transkrypt

1 Bank Kredy Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj o cenach mnmalnych makymalnych Grzegorz Perczak * Por Fzeder # adełany: 9 marca r. Zaakceowany: loada r. Srezczene W racy zarezenowano modele GARCH wrowadzone rzez Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5 kóre zoały konruowane na odawe cen mnmalnych makymalnych zamknęca. Zakładając że śróddzenne oy zwrou mogą być oane rzez arymeyczny ruch Browna z rozkładem IG rzedawono łączne rozkłady wekorów loowych. Ich wółrzędnym ą zmenne loowe warośc mnmalnej makymalnej końcowej logarymcznych ó zwrou. Rozkłady e zoały naęne wykorzyane do konruowana unkcj warygodnośc łużących do eymacj aramerów model. Ponado w racy zaroonowano rozzerzene model Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5. Polega ono na zaoowanu bardzej eekywnych eymaorów dzennej warancj konruowanych na odawe cen mnmalnych makymalnych zama eymaora wyznaczanego wyłączne na odawe cen zamknęca. Dokonano równeż ewnych urozczeń womnanych arameryzacj model. a odawe zeregów ó zwrou z ndeku WIG kuru waluowego EUR/PL okazano że wykorzyane normacj o cenach mnmalnych makymalnych do ozacowana aramerów modelu GARCH bez zwękzena jego arameryzacj orawa jakość modelu merzoną waroścą unkcj warygodnośc. Słowa kluczowe: model GARCH eymacja zmennośc rozkład IG ruch Browna ceny mnmalne makymalne JEL: C5 * Unwerye Mkołaja Koernka w Torunu; e-mal: grzegorz.erczak@gmal.com. # Unwerye Mkołaja Koernka w Torunu; e-mal: or.zeder@umk.l.

2 6 G. Perczak P. Fzeder. Wę Zmenność cen nrumenów nanowych je jednym z ważnejzych ojęć wółczenych nanów. Znaczene zmennośc wynka zarówno z eor nanów jak z lcznych zaoowań rakycznych Schwer 989; Flemng Krby Odek ; Poon Granger ; Anderen n. 6. Wynk badań emrycznych wkazują że rozzerzane nejących już model zmennośc ó zwrou worzene kolejnych arameryzacj w celu coraz lezego doaowana modelu do danych emrycznych je mnej eekywne nż wykorzyane normacj owzechne doęnych na rynku Fzeder 9. Do nedawna modele arameryczne oowane do ou zmennośc ó zwrou były konruowane wyłączne na odawe cen zamknęca. Dodakowe dane rynkowe kóre można uwzględnć rzy budowe model zmennośc dzel ę na dwe gruy: dane o częolwośc wyżzej nż dzenna zw. dane nraday kóre ą zborem uorządkowanych ar zawerających warość ceny cza jej odnoowana normacje o mnmalnych makymalnych cenach. W ym rzyadku ne je jednak uwzględnany momen an nawe kolejność ch wyąena. Obecne znanych je wele arameryzacj model łużących do ou zmennośc ó zwrou na rynkach nanowych; wśród nch najlcznejzą klaę anową modele GARCH. Rozważana rowadzone w nnejzej racy będą doyczyły właśne ej gruy model w rzyzłośc mogą być jednak rozzerzone na nne ch rodzaje n. modele SV ang. ochac volaly. Zaoowane noowań nraday doarcza węcej normacj o badanym nrumence nanowym wąże ę jednak z konecznoścą okonana zeregu roblemów:. Dane o częolwośc wyżzej nż dzenna ne zawze ą doęne dla wzykch akywów w rzecweńwe do cen zamknęca oraz cen mnmalnych makymalnych.. Pozykane danych nraday wymaga z reguły oneena dodakowych kozów oneważ ne ą ogólne doęne.. Zaoowane danych nraday z dłużzych okreów wymaga bardzo dużych baz danych lczących ek yęcy oberwacj co znaczne wydłuża cza rowadzena analz. 4. Czynnk zwązane z mkrorukurą rynku Doman zczególne w rzyadku mało łynnych akywów owodują znaczne obcążene eymaorów konruowanych na odawe danych śróddzennych. 5. Dane o wyokej częolwośc mają wele cech urudnających ch bezośredną analzę. Przykładowo wyęują lne wahana cyklczne w cągu dna lna auokorelacja normacje makroekonomczne mają duży wływ na noowana cen nrumenów nanowych; zmenność oblczona na ch odawe może być znaczne rzezacowana lub nedozacowana; częo wymagają eż odjęca dodakowych dzałań n. lrowana. 6. Inormacje o cenach w cągu dna ne ą na ogół wykorzyywane do budowy modelu GARCH unkcj warygodnośc łużącej do eymacj aramerów ego modelu dla okreów dzennych a ojawające ę w leraurze roozycje wymagają znacznego rozbudowana oac modelu zwękzena lczby jego aramerów. Do nelcznych wyjąków można zalczyć race Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5 w kórych dodakowo wykorzyano warośc mnmalne makymalne w cągu dna. Korzyane w modelowanu nanowym z normacj o waroścach mnmalnych makymalnych je uzaadnone. Eymaor Parknona 98 najrozy najmnej eekywny ośród eymaorów dzennej warancj ermn en określa w dalzej częśc racy warancję oy zwrou za-

3 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... 7 oberwowaną mędzy zamknęcam noowań w kolejnych dnach konruowanych na odawe cen mnmalnych makymalnych zamknęca daje odobne wynk jak zmenność zrealzowana zacowana na odawe czerech ęcu lub ześcu oberwacj w cągu dna Parknon 98; Anderen Bollerlev 998. Ponado Parknon okazał że w rzyadku arymeycznego ruchu Browna zaroonowany rzez nego eymaor warancj je onadęcokrone eekywnejzy od eymaora konruowanego na odawe cen zamknęca. Powane model klay GARCH umożlwło oane zjawka zw. gruowana zmennośc ó zwrou. Począkowo rzyjmowano założene o warunkowej normalnośc kładnka loowego kóre w rzyadku wękzośc roceów nanowych ne je ełnone z owodu wyęowana wyokej kurozy oraz aymer warunkowych rozkładów ó zwroów. Problem en rozwązywano rzez wrowadzene aymerycznych rozkładów zawerających grube ogony najczęścej kośnego rozkładu Sudena. Możlwośc wykorzyana ego rozkładu w rzyadku dodakowej analzy danych śróddzennych ą jednak ogranczone. W leraurze rudno znaleźć oy roceów ochaycznych z czaem cągłym kórych rzyroy byłyby zmennym loowym o ym rozkładze. Zaoowane rozkładów Sudena do roceów GARCH znaczne komlkuje akże wycenę nrumenów ochodnych. W rzyadku modelowana logarymcznych ó zwrou oczekwana oa zwrou akego roceu je neogranczona w zwązku z ym ne neje drug momen unkcj wyłay. W konekwencj cena ocj oanej za omocą akego modelu je nekończona co je nonenem. Z oanych owodów ożądane je oowane w modelowanu rozkładu o grubych ogonach kóry równocześne małby wzyke momeny kończone. Warunek en ełna rzedawony w nnejzej racy rozkład IG kórego wykorzyane w modelowanu ochaycznej zmennośc zaroonowal Barndor-elen 997 oraz Anderon. Z kole Jenen Lunde oracowal zw. model IG-S&ARCH. Część rezulaów rzedawonych w ej oanej racy zoane wykorzyana w nnejzym oracowanu. Analzy Venera de Jongha 4 okazują że dzęk zaoowanu modelu GARCH z warunkowym rozkładem IG kładnka loowego uzykwano ranejze ozacowana zmennośc ó zwrou ryzyka nż na odawe modelu ze kośnym rozkładem Sudena. W wynku rzerowadzonych badań Forberg Bollerlev werdzl że dla kuru waluowego ECU/USD: zmenność zrealzowana ó zwrou oblczana jako uma kwadraów danych śróddzennych ma rozkład odwrony gauowk dzenna oa zwrou andaryzowana rzez erwaek zmennośc zrealzowanej ma w rzyblżenu rozkład normalny. Analzy e owerdzły dobre doaowane modelu GARCH-IG zaroonowanego wcześnej rzez Forberga. Skonruowany model ne je jednak w ane oać aymer rozkładów ó zwrou włanośc częo wyęującej na rzykład na rynkach akcj. Omawane doąd badana wykorzyywały zereg czaowe zawerające ylko dzenne oy zwrou konruowane na odawe cen zamknęca. W racach Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5 zaroonowano arameryzacje model GARCH w kórych dodakowo wykorzyano warośc cen mnmalnych makymalnych. Wyznaczono unkcje gęośc rozkładu łącznego mnmalnej makymalnej końcowej warośc logarymcznych ó zwrou w danym dnu. Założono że śróddzenny roce logarymcznych ó zwrou nrumenu je roceem Levy ego. W oracowanu Lldholda je o arymeyczny ruch Browna o ualonej na dany dzeń warancj a kładnk loowy w zaroonowanym modelu GARCH dla oberwacj dzennych ma warunkowy rozkład normalny.

4 8 G. Perczak P. Fzeder Ze względu na wyęowane leokurozy oraz aymer rozkładów ó zwroów założene o ne je na ogół ełnone w rzyadku emrycznych zeregów nanowych. Z kole w racy Venera de Jongha Grebenowa 5 dynamka śróddzennych ó zwrou je bardzej złożona. Wykorzyując wnok z racy Forberga Bollerleva zaroonowano arameryzację modelu GARCH-IG w kórym warunkowy rozkład kładnka loowego je rozkładem normalnym odwronym gauowkm IG. Przedawone unkcje gęośc zoały naęne wykorzyane do określena unkcj warygodnośc dla model GARCH. W orównanu ze womnanym racam w modelach GARCH rzedawonych onżej do eymacj dzennej warancj ó zwrou zaoowano akże ceny mnmalne makymalne. Omówone roozycje mają równeż ewne wady. Przedawona w racy Lldholda unkcja gęośc rozkładu łącznego warośc mnmalnej makymalnej końcowej ma złożoną oać co dodakowo komlkuje model. W oracowanu Venera de Jongha Grebenowa rzyjęo neyowe arameryzacje wrowadzonych am zmennych loowych oraz roceów ochaycznych. Ponado kładnk loowy ne je andaryzowany zn. jego warość oczekwana warancja ne ą równe odowedno. Urudna o orównane budowy modelu z nnym oanym w leraurze. Modele rzedawone w nnejzym oracowanu będą wolne od ych wad. nejze oracowane ma rzy odawowe cele. Perwzym je zaroonowane nowej arameryzacj modelu GARCH do kórej eymacj będą wykorzyywane jednocześne normacje o cenach mnmalnych makymalnych: do konrukcj eymaorów dzennej warancj do określena unkcj warygodnośc łużącej do eymacj aramerów model zmennośc. Drug cel o rzedawene w bardzej czyelnej uorządkowanej orme doychcza nejących model oanych w racach Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5 ak aby można było bezośredno orównać je z modelam rzedawonym w nnych ublkacjach naukowych. Trzecm celem je okazane na odawe zeregów ó zwrou z ndeku WIG kuru waluowego EUR/PL że wykorzyane normacj o cenach mnmalnych makymalnych do eymacj aramerów modelu GARCH bez zwękzena jego arameryzacj orawa jakość modelu merzoną waroścą unkcj warygodnośc. Temayka a je rakyczne neobecna w leraurze śwaowej. Układ arykułu je naęujący. W częśc drugej rzedawona zoane ogólna oać zaroonowanych arameryzacj modelu GARCH. Część rzeca zawera roozycje wykorzyana dodakowych normacj na ema dzennego mnmum makmum rzy założenu że warunkowy rozkład kładnka loowego je normalny oraz śróddzenne oy zwrou można oać arymeycznym ruchem Browna. W częśc czwarej z myślą o uogólnenu założeń modelowych rzedawono rozkład IG oraz rozzerzoną ormułę gęośc rozkładu łącznego makmum mnmum warość końcową. Część ąa zawera o arameryzacj modelu GARCH z wykorzyanem rozkładu IG oraz womnanej unkcj gęośc. Wynk badana emrycznego doyczącego ndeku WIG noowanego na GPW w Warzawe oraz kuru waluowego EUR/PL zamezczono w częśc zóej. nejzy arykuł zawera znaczne rozzerzene wynków rzedawonych w racy Perczaka.

5 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj P odawowe ecykacje m odelu G ARCH d la rozważanych r odzajów danych rynkowych.. Model GARCH konruowany na odawe cen zamknęca Przez D σ oznaczana będze cągła w wojej dzedzne unkcja rozkładu rawdoodobeńwa zmennej loowej o warośc oczekwanej warancj σ. Rozarywane ą rocey z czaem dykrenym. ech S oznacza cenę zamknęca nrumenu nanowego odnoowaną w dnu. Zdenowano akże dzenną oę zwrou jako ln S / S. Symbol I oznacza zbór wzykch normacj doęnych w chwl. ech oznacza roce GARCH q w oac: I ~ D ε h ε q h ω h ω ε ξ ω > ω Dodana warość h je zaewnona gdy ω > ω dla q oraz ξ dla. Przy wękzych rzędach oóźneń q założena e ą zby rerykcyjne częo dzęk ch złagodzenu można uzykać lezy o warancj warunkowej. Kowarancyjna acjonarność roceu zachodz naoma wedy gdy ełnony je warunek: q ω ξ <.. O rozzerzonego zboru danych rynkowych Wycena warośc nrumenów nanowych zazwyczaj dokonywana je na rynku nanowym welokrone w cągu dna. Z dzennych noowań rynkowych można ozykać znaczne węcej normacj nż ojedyncze noowana cen zamknęca. Przedawony w orzednm odunkce model GARCH konruowany je na odawe ylko cen zamknęca. Ponżej zoane zarezenowana roozycja modykacj modelu dzęk kórej do eymacj aramerów będze można wykorzyać zerzy zbór dzennych noowań. < Przez S oznaczana będze cena nrumenu nanowego odnoowana w dnu < o uływe czau od oanego noowana orzednego dna. Zachodz zaem ożamość: S - S. Dzenne dobowe mnmum makmum zdenowano odowedno jako L L mn S mn S H max S. Dodakowo rzyjęo dencję mnmalnej makymalnej dzennej oy zwrou: A ln L S ln H S. Zredenowano jednodnową oę zwrou: ln S S kóra będze eż nazywana waroścą końcową dzennej oy zwrou.

6 G. Perczak P. Fzeder Wykorzyywane normacje doyczące dzennych noowań nrumenu nanowego rerezenowane będą eraz rzez uorządkowaną rójkę lczb a c x zama ojedynczej warośc x jak ma o mejce w klaycznym modelu GARCH wrowadzonym rzez Bollerleva 986. σ.. O gólna o ać roonowanych m odel G ARCH d la d anych r ozzerzonych o cenę mnmalną cenę makymalną Przez LHC σ oznaczana będze cągła w wojej dzedzne łączna unkcja rozkładu rawdoodobeńwa wekora zmennych loowych A dla kórych ełnone ą naęujące warunk: A A C A C E[ ] Var[ ] σ. A C Dla ualonego dna < rozarywany je wekor loowy A o rozkładze ^ LHC < h dla kórego zdenowano akże unkcję Z A będącą neobcążonym eymaorem dzennej warancj ó zwrou. Funkcja a ełna równeż warunek E A LHC h [ Z^ A I ] h. ^ ^ Klka wybranych oac ej unkcj rzedawono w dalzej częśc racy. Ogólna oać zaroonowanych arameryzacj w nnejzym oracowanu wygląda naęująco: A ~ LHC h I 4 gdze ε ε określono na odawe eymaora Z^. Z^ A ε C Z^ A 5 q h ω ωε ξ h 6 ε. M odel G ARCH z w arunkowym r ozkładem n ormalnym kładnka loowego konruowany na odawe rozzerzonego zboru danych Zarezenowana ogólna oać arameryzacj anow unk wyjśca do rezenacj bardzej zczegółowych oac model. Ponżej rzyjęo że warunkowy rozkład roceu je rozkładem normalnym. Ponado założono że o zwrou w cągu dna doby można oać arymeycznym ruchem Browna co umożlwło zaoowane rozkładu łącznego ó zwrou dzennego mnmum makmum warośc końcowej. Do konruowana model wykorzyano równeż bardzej eekywne eymaory dzennej warancj oy zwrou nż w klaycznym modelu ARr-GARCH q... Trójwymarowy wekor loowy ó zwrou mnmum makmum warośc końcowej arymeycznego ruchu Browna Dla andardowego roceu Wenera B zdenowany zoaje ruch Browna σ B oraz A mn C max. Dla dowolnej ualonej warośc > zachodz < < ~ σ. Jeśl roce oąga dla ewnego warość a < a naęne dla wzykch > zachodz a

7 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... wówcza lczbę a nazywamy dolną barerą aborbującą. Analogczne jeśl roce oąga dla ewnego warość c > a naęne dla wzykch > zachodz c wówcza lczbę c nazywamy górną barerą aborbującą. Gęość rozkładu z dolną barerą aborbującą równą a górną barerą równą c oano za omocą naęującego wzoru orównaj Cox Mller 965. ormuła 78 a akże L 999: πσ k k e A > a c x ; σ e e k c a x k c a c x c k c a σ σ σ 7 gdze: a c a x c średnk oddzela argumeny unkcj od jej aramerów. Wyznaczona na odawe ożamośc 7 gęość rozkładu łącznego wekora zmennych loowych A dana je naęującą ormułą Fzeder Perczak : AC πσ x ; A > a c; σ a c x ; σ a c k 5 k 5 k g a c x ; k k σ g a c x ; k σ 8 gdze unkcja g oana je zależnoścą: g a c x ; k k σ 4 k k x ck ak σ e ck ak x ck ak σ 9 Argumeny a c x można nerreować σ jako warośc odowedno: mnmalną makymalną końcową. Wekor loowy A ma rozkład łączny AC σ jeśl jego gęość oana je wzorem 8. Jeżel A ~ AC σ wówcza ayyka: σ ^ V 86C C 86A A 4 je neobcążonym eymaorem warancj σ roceu Perczak Fzeder. Ponado warancja ego eymaora dla << σ je mnejza od warancj neobcążonego eymaora Rogera-Sachella 99. Warośc 86 4 ą waroścam rzyblżonym.

8 G. Perczak P. Fzeder.. Eymacja aramerów modelu GARCH z warunkowym rozkładem normalnym z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych zamknęca W rzedawonym w unkce. modelu GARCH q w oac rzyjmuje ę bardzo częo w mejce założena że I ~ h. Model ak oznaczany w dalzej częśc racy jako : I ~ h ε q h ω ωε ξ h Paramery akego modelu eymuje ę najczęścej meodą najmnejzej warygodnośc MW na odawe unkcj warygodnośc wykorzyując wyłączne ceny zamknęca odejśce radycyjne: ^ ^ ω ξ ^φ arg max ln L ω ξ φ arg max { ω ξ φ } { ω ξ φ} n ln x ; φ h ω ξ 4 ω ξ gdze ω ω ω... ωq ξ ξ ξ... ξ n je lczebnoścą róby naoma je unkcją gęośc rozkładu normalnego. Wrowadźmy bardzej rerykcyjne założena modelu. Przyjęo że A I ~ AC h Zgodne z dencją rozkładu AC rawdą je że A I ~ AC h ~ h I co jednak ne zachodz w drugą ronę. Znajomość unkcj gęośc rozkładu łącznego wekora A umożlwa ormułowane modelu GARCH q o odmennej oac kórą nazwano GARCH-HL z HLC. HL oznacza że do budowy unkcj warygodnośc wykorzyano ceny makymalne mnmalne HLC oznacza zaoowane jednego z eymaorów warancj konruowanego na odawe cen: makmum mnmum zamknęca. Zbór en oznaczony jako może być rozzerzony o cenę owarca: A I ~ AC h 5 ε 86C C 86A A 4 6 q h ω ω ε ξ h 7

9 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... Paramery ego modelu mogą być eymowane za omocą MW na oawe unkcj warygodnośc konruowanej z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych zamknęca oraz nowego eymaora dzennej warancj do kórego budowy wykorzyano równeż en am rodzaj normacj równane 6: ^ ^ n ω ξ arg maxln L ω ξ argmax ln a c x ; h ω ξ 8 { ω ξ} AC { } Kolejna roozycja modelu GARCH q nazwana GARCH-HL oznaczana w dalzej częśc racy jako zoała zarezenowana onżej: AC A C ~ AC h I 9 ε q h ω ξ h ωωε ε Paramery ego modelu mogą być eymowane za omocą MW na oawe unkcj warygodnośc konruowanej z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych zamknęca oraz radycyjnego eymaora dzennej warancj oarego na odawe cen zamknęca równane : ^ ^ ω ξ argmaxln L ω ξ argmax ln a c x ; h ω ξ AC { ω ξ } { ω ξ } n AC Równana 5 rzedawają rzecą roozycję modelu GARCH q. Poać ę nazwano GARCH z HLC oznaczono w dalzej częśc racy jako : ε A ~ AC h 86C C 86A A 4 q h ω ωε ξ h I 4 5 Paramery ego modelu można eymować na odawe klaycznej unkcj warygodnośc wykorzyując wyłączne ceny zamknęca oraz nowego eymaora dzennej warancj konruowanego na odawe cen mnmalnych makymalnych zamknęca równane 4: n ^ ^ ω ξ arg max ln L ω ξ arg max ln x ; h ω ξ 6 { ω ξ } { ω ξ} Zauważmy że arameryzacje ą denyczne a różnca mędzy nm wynka z zuełne nnej konrukcj unkcj warygodnośc. W abel zeawono wzyke zarezenowane modele.

10 4 G. Perczak P. Fzeder Parameryzacja różn ę od klaycznej arameryzacj modelu GARCH ym że rzy jej konrukcj zaoowano normacje o cenach mnmalnych makymalnych zarówno rzy eymacj dzennej warancj jak do określena unkcj warygodnośc łużącej do eymacj aramerów modelu GARCH. Zaadnczą rzyczyną ego że w równanach 6 4 zaoowano eymaor dzennej ^ ^ n warancj określony w równanu je ω ξjego argmax onadedmokrone ln L wękza eekywność nż eekywność eymaora o oac AC ω ξ argmax ln AC a c x ; h ω ξ { ω ξ} { ω ξ } ^ ^ Perczak n Fzeder. Można rzyuzczać że ozwol o na ω ξ argmaxln L AC ω ξ argmax uzykane dokładnejzego ozacowana warancj ln AC a c x ; h ω ξ { ω ξ} { ω ξ } jej ranejzych rognoz. Parameryzacja zaadnczo ne różn ę od A roozycj C Izawarej ~ ACw racy h Lldholda choć zawera nną roozycję oac unkcj AC. Wynka o z aku że Lldhold jako unk wyjśca A I ~ AC ε h86 C C 86A A 4 do dalzych rozważań zaoował unkcję rzedawoną rzez Coxa Mllera 965 ormuły ε W nnejzym oracowanu oać unkcj rzedawonej q w równanu 86C C 86A A 4 7 zoała naoma h wyznaczona rzez rzekzałcene nnej unkcj zawarej ω w ej ω ε h racy ormuła ξ 78.. Uzykana q w en oób oać h unkcj ω gęośc rozkładu łącznego wekora A je dużo roza. Jak zaznaczono założena rzyjęe w modelach ω ε ξ h ą lnejze od ych kóre n rzyjęo dla modelu ^ ^. Poza warunkową normalnoścą rozkładu ω ξ arg max ln L kładnka loowego ω ξ arg max ln rzyjęą równeż x w ; h ω modelu ξ { ω } ξ { ω ξ} wymagane ^ n ^ je aby A ω mał rozkład AC. e oznacza o jednak że roce śróddzennych ξ arg max ln L ω ξ arg max ln x ; h ω ξ { ω ó zwrou mu ξ } być arymeycznym { ruchem ω ξ} Browna mmo że założene o było unkem wyjśca do wyrowadzena ormuły gęośc unkcj AC. Ponado modele ą ozczędne A arameryzowane. e zoały do nch wrowadzone żadne dodakowe aramery wymagające ozacowana w ounku do modelu. A 4. Rozkład IG oraz roce BIG A 4.. Charakeryyka A rozkładu IG Zmenna loowa ma rozkład odwrony gauowk oznaczany jako IG ang. nvere Gauan z arameram R IG R jeżel jej gęość rozkładu rawdoodobeńwa określona dla x > ma naęującą oać or. Barndor-elen 997. równane.5: IG R R R R x x x ; x ex 7 IG x π π x IG x ; x ex π x x IG x ; x ex π u u Funkcja charakeryyczna ej zmennej ma oać: φig u; E[ e ] e u. u φ Warość oczekwana warancja ą zaem IG u; równe odowedno: E[ e ] e u u φig u; E[ e ] e E [ ] Var[ ] 8 E [ ] [ ] Var Ławo akże rawdzć że dla dowolnej ~ I G dodanej ałej ~ IGzachodzą równoważnośc: oraz ~ IG ~ I G ~ I G ~ IG IG oraz ~ IG ~ I G 9 IG R R < < R R R < < R R

11 [ ] φig u; E e e u u u φu φ IG u; E[ e ] e IG u; E[ e ] e x x IG x ; x ex R π E [ ] [ ] Var E [ ] [ ] E [ ] Var Model [ ] Var GARCH wykorzyane dodakowych normacj... 5 R u u φig ui G ; E[ e ] ~ IG e oraz ~ IG ~ I G ~ I G ~ I G IG ~ IG oraz IG oraz ~ IG ~ I G ~ I G 4.. Charakeryyka IG rozkładu IG IG IG E [ ] [ ] Var Zmenna loowa ma rozkład IG R z arameram R < < R < < R R R < < jeżel R W ~ W W gdze W ~ R I G < I < G R ~ IG oraz oraz ~ IG. Gęość rozkładu ~ I G rawdoodobeńwa ej zmennej R ma zaem oać: R IG R ~ ~ IG x ; W ~ W x ; w w IG w ; d w W ~ ~ W W R W W < < R W ~ I G e x K W ~ I G W ~ I G x R x π x π W ~ W W gdze K λ z y ex z y dy y W ~ I G IG x ; x ; w IG w ; d w IG x ; x ; w IG w ; d w IG x ; x ; w w IG w ; d w gdze ą arameram kzału a o odowedno aramery kal ołożena or. Jenen u u u IG u; E [ e ] Lunde. 4. e e x e K x π x x e x K x K π x x Rozkład IG zoał π zaroonowany x rzez Barndora-elena 995. Je o zczególny rzyadek IG x ; zw. uogólnonego rozkładu herbolcznego gdze K Barndor-elen x ; w w z y ex 977. z y Węcej normacj dy na ema rozkładu IG można znaleźć n. λ E [ ] Var [ ] λ gdze IG w ; d w K z w racy Schlöera ex gdze K z y ex z y y dy λ z y dy y y Funkcja charakeryyczna zmennej e o x rozkładze IG oana je K wzorem: x π x 4 u u E [ E [ ]] E [ E [ ]] u A [ ] K IG[ u ] ; E [ e ] e u u u u 4 [ u IG u; E e ] u e Var[ ] IG u; E [ e Var ] e [ ] gdze K λ z y ex z y dy Warość oczekwana warancja równe ą odowedno: y E [ ] Var [ ] E [ ] ~ IG be [ ~ IG ] Var b [ b ] Var [ ] u u b b u ; [ ] IG u E e e Wółczynnk aymer koncenracj dane ą naoma naęującym ormułam: 4 E [ E [ ]] E [ E [ ]] 4 A [ ] E [ E [ ] ] K [ ] 4 4 E [ E [ ] ] E [ E A [ [ ]] Var[ ] E [ A [ ] E K [ [ ]]] K Var[ ] 4 Var[ ] [ ] Var[ ] 4 Var[ ] E [ ] Var [ ] Var [ ] IG Dodana warość wółczynnka aymer wkazuje na raworonną kośność rozkładu naoma warośc wółczynnka ~ koncenracj IG ~ IG b ~ IG b b 4 ~ IG E [ b ~ E IG [ wękze ]] od b ~ normują b IG b b b E o [ odwyżzonej b E b [ ]] w ounku do rozkładu normalnego kuroze A [ ] rozkładu. b b e K [ b b ] 4 Var[ ] IG x; K Var[ ] Przez odowedne rzekzałcene unkcj charakeryycznej rozkładu IG można okazać że dla ałego b > zachodz: π ~ IG b ~ IG b b b b IG IG IG E [ ] Var [ ] e x x IG x; K e IG x; K π e IG x; K IG π ~

12 b b ~ IG ~ IG b ~ ~ IG b ~ IG b ~ IG b b b b IG b b b b IG 6 G. Perczak IGP. Fzeder x e IG e W nnejzej IGracy wygodnej będze zaoować neco nną arameryzację IG zarezenowaną IG e IG x; K n. w arykułach Barndora-elena 997. oraz Jenena Lunde a. 4. Podawając: e uzykuje ę aramery kzału kóre ą nezmenncze rzy zmane aramerów ołożena kal ang. nvaran under locaon-cale change. Zmenna loowa ma e x IG x; Kx e e IG x; K IG x; K π π π IG x; rozkład IG jeśl IG xjej ; unkcja gęośc rozkładu rawdoodobeńwa K dana je ormułą: x IG x; K π E [ ] Var [ ] E [ ] Var [ ] π π π x E [ e ] Var [ ] IG x; K E [ ] Var [ ] 4 π E [ ] E [ ] Var [ ] E [ ] Var [ ] Var [ ] A [ ] K [ ] Warość oczekwana warancja 4 ej zmennej dane ą odowedno ormułam: A [ ] K [ ] 4 A [ ] K [ ] E 4 [ ] Var [ ] 5 A [ ] K [ ] 4 R R Z ~ R R W ~ I G R A [ ] K [ ] 4 A [ ] K [ ] 4 A [ ] K [ ] 4 R Z ~ R R W ~ I G R R Z ~ R R W ~ I G W W W Z W W R nnejzej racy zaleą ej arameryzacj je ak że ylko dwa aramery: jednoznaczne RW Z ~ RW Z R W ~ I G określają warośc wółczynnków aymer koncenracj: W W W Z R W R Z R R R RW R Z ~ R R Z ~ R R R W ~ I G W ~ I G W W W W Z A [ ] K [ ] 4 W W 6 W ~ IG x; W W W Z W W W Z dla W W Z ~ IG W x; W dla R ~ IG x; dla R W W W W W W ~ IG 4.. Proce x; BIG dla I G R I G ~ IG x; ~ IG x; dla ~ IG x; dla dla R Jeżel R Z ~ R R R I G W ~ I G wówcza zmenna loowa Y Y Y B Y ~ I G W W R W Z ma rozkład W W. Z ego oraz z równana R wynka że I G Y Y Y B R Y ~ I G ~ IG x; dla Barndor-elen Y Y Shehard Y B Y ~. I 5. G ech I G R będze ualonym aramerem zmenna loowa Y ma rozkład I G naoma I G Y ~ Y Y Y ~ B będze andardowym Y Y Y Y B roceem Y ~ I Wenera. G Dla roceu oanego równanem: Y ~ Y Y Y ~ Y IG Y Y Y B Y Y Y Y B Y ~ I G Y B Y ~ I G Y Y ~ IG ~ Y Y W Y Y ~ IG zachodz: W Y Y ~ Y ~ Y Y Y ~ Y Y. Y Ponado Y z relacj oanych w ormule 9 wynka że Y ~ IG. Przyjmując dodakowo że W Y ławo okazać że w unkce równym zachodz ~ IG IG ~. Y ~ IG Y ~ IG W Y Y ~ IG Proce IG ~ zoane nazwany roceem BIG ang. Brownan nvere G auan. Jego ecykacja je W Y W Y modykacją roceu oanego rzez Venera de Jongha Grebenowa 6. wzór 6. IG W Y ~ A mn < A mn IG IG ~ < IG ~ ~ C max A mn < < C max < A mn C max < : < : A mn A mn A mn C max < < < < : x A > a C c IG ; ; C max x ; A > a c ; C max

13 W Y ~ Y IG Y ~ IG Y ~ IG W Y W ~ IG Y Model W GARCH Y ~ IG W Y wykorzyane dodakowych normacj... 7 ~ IG ~ IG ~ IG A mn < 4.4. Gęość rozkładu łącznego ó zwrou mnmum makmum warośc A mn końcowej A mn roceu < C max BIG < < ech będze roceem A A mnbig mn C zdenowanym < max max C < w równanu 7 oraz A mn C max. : < < < < Dla urozczena oznaczeń rzyjęo :. Tak jak w unkce. wyznaczono gęość rozkładu C z bareram aborbującym C maxdolną max : < górną : równym a c Perczak ; Vener de Jongh Grebenow < IG x ; A > a c ; 5 równane 4.5: : : IG x ; A > a c ; IG x ; A > a c ; A > a c x; y y IG y; d y IG x ; A > a c ; IG x ; A x a c ; IG ; A IG x ; A > > a c ; a c ; A > a c x; y y IG y; d y A > x a C k c x; y y IG y; d y e K A > a θ K θ c x; y y IG y; d y π A > Aa ca x> ; a C y x c x ; > k IG y ; y y d IG y y ; d y a c x; y y y; d y k IG e e K K θ K k e θ K θ K θ k e π K θ K θ k θ θ k e π k e θ K θ k θ θ π π k θ θ gdze: K θ K θ K θ K θ k c a x k θ θ θ c k c a x θ x gdze: π π k θ k gdze: θ θ k θ k c a x θ θ θ θ k c a x c k c a x x θ θ c k c a x x k c a x θ c k c a x A x gdze: gdze: k c a x θ k c a x θ c k c a x gdze: θ gdze: θ c k c a x x x k c a x θ k c a x θ θ c k c a x x θ c k c a x x A A Korzyając ze wzoru 8 lub 8 można wyznaczyć > gęość rozkładu łącznego wekora zmennych loowych A A C A : A C IG x ; A a c ; ACIG a c x ; a c > > IG x ; A a C c ; IG x ; A a c ; ACIG a c x ; ACIG a c x ; a c AC a c x ; y y IG y ; a c d x A > a C c a c x IG ; y x A ; ACIG ; > a C c a c x x A > a C c a c x IG ; IG ; ; ; ACIG ; ACIG ; AC a c x ; a c y y IG a y c ; d y a c a c AC x ; y y IG y ; d y k 4 k e K θ K θ θ AC a c a x ; c x AC ; a y c x y ; y IG y ; y y y ; d y d ; y d y AC IG IG θ k π k k 4 k e K θ 4 θ k e K θ K θ θ θ K θ θ θ π k θ π k k4 k e 4 k e K θ K K θ K θ 9 4 k e θ θ k θ θ 4 k k e K θ K θ K θ θ K π θ θ θ π θ k π θ k θ k θ θ θ k θ θ 4 x k 4 k k e K K θ θ k k e K K θ θ k θ k π θ θ θ θ θ k π θ k 4 k e K K θ θ k k x k e 4 k k e θ 4 k K θ K θ k π θ K K θ θθ k π θ θ θ θ θ θ θ θ k π θ θ k π θ θ θ θ θ θ θ θ A Paramery θ θ θ θ wykorzyuje θ A ę w równanu 8. A A ~ ACIG Wekor A loowy C A A A C będze ACIG mał rozkład oznaczony jako ACIG j. ~ A ~ ACIG jeżel jego gęość będze określona równanem 9. ACIG Podobne jak w rzyadku rozkładu IG można określć dla rozkładu ACIG A C A C ~ A ACIG C ACIG ACIG ~ ~ alernaywną arameryzację ACIG z oznaczenam nezmennczych welkośc ACIG. Wymaga o dokonana ounkowo roych rzekzałceń wzoru 9. ACIG ACIG ACIG A C ACIG ~

14 8 G. Perczak P. Fzeder Wyżej okazano że jeżel je roceem BIG zdenowanym na odawe ormuły 7 o A ~ ACIG. Zależność a ne mu jednak zachodzć w drugą ronę. Z aku że A ~ ACIG ne wynka ż zmenne loowe A muzą być zdenowane na odawe roceu E ymacja w arancj roceu B IG n a od awe ó zw rou m nmum makmum warośc końcowej a odawe doychczaowych ualeń: W Y Y ~ IG A W ~ AC W W A ACIG ~ 4 Eymaor Rogera-Sachella 99 je neobcążonym eymaorem warancj ruchu Browna: E[ C C A A Y ] Y czyl: E[C C A A ] E[E[C C A A Y ]] E[Y ] 4 E[ C C A A Y ] Y E[ C C AE [ AC C Y ] A Y A Y ] Y E[ C C A A Y ] Y Eymaor o oac: E[C C A A ] E[E[C E[C C A E[C A ] E[E[C C A A Y ]] E[Y ] C C A A A ] Y ]] E[Y ] E[E[C C A A Y ]] E[ E[C C A A ] E[E[C C V C C A A C C A A 4 V C C A A C C A A V C C V A A C C A A C C A A ma zaem warość oczekwaną równą: C C A A V C C A A C E [ V ] Var[ ] E [ V ] Var [ ] E [ V ] E [ V Var[ ] ] Var[ ] 4 E [ V ] Var[ ] V V V V V W unkce. rzedawono eymaor warancj ruchu Browna V kóry zaoowano w arameryzacjach V model V. Eymaor V je eymaorem warancj roceu śróddzennych ó zwrou V /. Zoane on wykorzyany do konrukcj nowych arameryzacj model w ąej częśc racy. I ~ IG h / / / I ~ IG h / I ~ IG h I ~ IG h I ~ IG h ε h ε h q ε ε h h h ω ω ε ξ h ε h q q q h ω ω ε ξ h h ω ωε h ωξ h ω ε ξ h q

15 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj M odel G ARCH z w arunkowym r ozkładem IG kładnka l oowego konruowany na odawe rozzerzonego zboru danych 5.. Model IG-S&ARCH Model IG-S&ARCH ang. IG ochac and auoregreve condonal heerokedacy zoał wrowadzony rzez Jenena Lundego. Jego oać uzuełnoną równanem auoregreyjnym oraz ogólną ecykację modelu GARCH można rzedawć w orme naęujących równań: ε I / ~ IG h h q ε h ω ω ξ h Paramery ego modelu mogą być ω eymowane ω ω... ωza omocą ξ ξ ξmw... ξna odawe unkcj warygodnośc z wykorzyanem wyłączne cen zamknęca: ^ ^ ^ ω ξ arg max ln ω ξ arg max n { } ω ξ ^ ln IG { ω ξ} L IG / x ; h ω ξ 47 gdze ω ω ω... ωq ξ ξ ξ... ξ. Model en w dalzej częśc racy będze określany jako S&GARCH-IG oznaczany IG. 5.. Proozycje rocedur eymacj aramerów modelu S&GARCH-IG Przedawone w ym unkce arameryzacje model zoały zaroonowane w racy Perczak. Tak jak w rzyadku rzedawonych w częśc rzecej arameryzacj model M j do nowych arameryzacj modelu S&GARCH-IG zoaną wykorzyane dodakowe normacje o cenach mnmalnych makymalnych. W erwzej kolejnośc rzyjęo że:

16 G. Perczak P. Fzeder / A I ~ ACIG h dla n Wykorzyane dodakowych normacj będze rzebegać w dwóch nezależnych kerunkach: zoane zaoowany eymaor dzennej warancj rzedawony w równanu 4 kóry je eekywnejzy nż kwadra dzennej oy zwrou oblczonej na odawe cen zamknęca aramery modelu będą eymowane za omocą MW na odawe unkcj warygodnośc konruowanej z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych zamknęca. Perwzą roozycją je model kóry zoane nazwany S&GARCH-HL-IG z HLC. Będze on oznaczany w dalzej częśc racy jako IG : / A I ~ ACIG h ε C C A A q h ω ωε ξ h 5 Paramery ego modelu mogą być eymowane za omocą MW na odawe unkcj warygodnośc konruowanej z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych zamknęca oraz nowego eymaora dzennej warancj rzedawonego w równanu 4: arg max { } ω ξ n ln arg max ln L ACIG { ω ξ} ACIG ω ξ / a c x ; h ω ξ 5 Ponżej zarezenowano kolejną arameryzację modelu nazwaną S&GARCH-HL-IG oznaczoną w dalzej częśc racy jako IG : / A ~ C I ACIG h ε h h ω ω ε ξ h q

17 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... Paramery ego modelu mogą być eymowane na odawe unkcj warygodnośc: arg max ω ξ arg max ln L ω ξ ω ξ} n ln ACIG { ω ξ ϕ} ACIG / a c x ; h ωξ 55 W ym modelu aramery eymuje ę na odawe unkcj warygodnośc do kórej konruowana wykorzyano ceny mnmalne makymalne zamknęca. Z kole kładnk loowy wyznaczono ak jak w racy Jenena Lundego. Czwarą roozycję modelu nazwaną S&GARCH-IG z HLC oznaczoną w dalzej częśc racy jako IG rzedawają onżze równana: / A I ~ ACIG h ε h C C A A q ω ωε Paramery ego modelu mogą być eymowane za omocą MW na odawe unkcj warygodnośc z wykorzyanem cen zamknęca oraz nowego eymaora dzennej warancj rzedawonego w równanu 4: ξ h ω ξ arg max ln L ω ξ { ω ξ } IG h ω ξ / n arg max l n IG x ; { ω ξ} 59 Zauważmy że arameryzacje IG IG ą denyczne a różnca mędzy nm wynka z zuełne nnej konrukcj unkcj warygodnośc. Jak womnano modele IG IG zoały zbudowane na odawe eymaora kóry je modykacją eymaora Rogera Sachella. W modelach IG IG wykorzyano naoma eymaor zarezenowany w równanu będący eekywnejzym eymaorem warancj arymeycznego ruchu Browna. Gdyby eymaor Rogera Sachella zoał zaoowany w modelach j wówcza z włanośc rozkładu IG wynka że dla σ wzyke modele IG j byłyby równoważne modelom j. Oznacza o że modele IG σ j ne anową odrębnej klay lecz ą uogólnenam odowednch model j.

18 G. Perczak P. Fzeder Podobne jak w rzyadku analzy ruchu Browna rzerowadzonej w częśc rzecej arameryzacja IG różn ę od arameryzacj modelu IG ym że ceny mnmalne makymalne zoały wykorzyane do konrukcj zarówno eymaora dzennej warancj jak unkcj warygodnośc łużącej do eymacj aramerów modelu GARCH. Zeawene wzykch model rzedawonych w oracowanu zawera abela. W modelach IG IG IG rzyjęo że oy zwrou mnmum makmum warośc końcowej mają łączny rozkład ACIG. e wrowadzono żadnych dodakowych założeń doyczących śróddzennych zman ó zwrou. W zczególnośc śróddzenna oa zwrou ne mu być zmenną loową kórej rozkład je mezanną dwóch rozkładów. Je o ołabene założeń w ounku do ych kóre rzyjęo w racy Venera de Jongha Grebenowa 5. Ponado modele IG IG IG ą ozczędne arameryzowane ne zoały do nch wrowadzone żadne dodakowe aramery w ounku do modelu IG. 6. Analza zmennośc zwroów z ndeku WIG kuru EUR/PL 6.. Zary badana Przedawone w racy roozycje arameryzacj model GARCH zaoowano do zacowana zmennośc zwroów z ndeku rynku akcj WIG noowanego na GPW w Warzawe oraz kuru waluowego EUR/PL noowanego na mędzynarodowym rynku waluowym FORE dane ochodzły z agencj Bloomberg. Analzę rzerowadzono dla okreu od wrześna r. do 8 wrześna r. w kórym oberwowano zarówno hoę jak beę a akże co one kryzy nanowy. Długośc badanych zeregów czaowych ó zwrou wynoły 5 dla ndeku WIG oraz 57 dla kuru EUR/PL. Powzechne doęne dane rynkowe zawerające zereg czaowe z cenam: owarca mnmum makmum zamknęca ą neco naczej określone nż rzyjęo w unkce.. W zczególnośc cena owarca w dnu beżącym je na ogół różna od ceny zamknęca z orzednego dna wyęują zw. nocne oy zwrou. Z ego owodu dokonano redencj zmennych: σ A ln mn S L S ln max S H S ln S S. aęne wyznaczono wekory dzennych ó zwrou: a c x a c x... a n c n x n. W badanu zaoowano oem arameryzacj model GARCH rzedawonych w rzecej ąej częśc: IG IG IG IG. Do eymacj aramerów model zaoowano meodę najwękzej warygodnośc. Logarymy unkcj warygodnośc ln L ln L IG zbudowane wyłączne na odawe cen zamknęca zoały oznaczone jako ln L a unkcje ln L AC ln L ACIG kóre były konruowane dla wekorów loowych oznaczono jako ln L. Paramery model IG IG eymowano makymalzując logarym unkcj warygodnośc ln L. Do celów normacyjnych odano jednak akże warośc ln L j. ln L AC w rzyadku oraz ln L ACIG dla model IG IG. Równeż aramery model IG IG zacowano makymalzując warośc ln L. Podano równeż warośc ln L : ln L w rzyadku oraz ln L IG dla model IG IG. Mara ln L zawera węcej onych normacj na ema kzałowana ę cen nrumenu nanowego gdyż ceny mnmalne makymalne ą z ewnoścą ważnym normacjam z unku wdzena omaru zmennośc or. Parknon 98; Roger Sachell 99. Można zaem rzyuzczać że je bardzej warygodną marą oceny jakośc danego modelu.

19 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... Dodakowo w rzyadku każdego modelu badano równeż warośc kryerum normacyjnego Schwarza oblczone dla obu unkcj warygodnośc oraz warośc ayyk Rvera Vuonga oznaczanej dalej jako RV. Te en ozwala na werykację hoezy o aymoycznej równośc warośc unkcj warygodnośc dwóch nezagneżdżonych model. Je on rozzerzenem eu Vuonga 989 może być oowany mędzy nnym w rzyadku model zeregów czaowych. Dokonano równeż oceny jakośc rzedawonych model dla cen zamknęca oując wybrane ey ayyczne: e auokorelacj Ljunga Boxa e eeku ARCH Engle a oraz e zgodnośc Anderona Darlnga. Zarówno dla ndeku WIG jak dla kuru waluowego ne zaoberwowano onej ayyczne auokorelacj kładnka loowego wyjąkem je model IG dla kuru EUR/PL. W rzyadku obu zeregów czaowych rzyjęo rzędy oóźneń w modelach GARCH równe jeden. Dla ndeku WIG we wzykch modelach oza wyęował ony ayyczne eek ARCH kładnka loowego. Z kole w rzyadku kuru EUR/PL eek ak wyęował w modelach w kórych zaoowano nowe eymaory dzennych warancj. W obu rzyadkach modele o wyżzych rzędach oóźneń były zdecydowane odrzucane ze względu na mnejze warośc unkcj warygodnośc ln L oraz wękze warośc kryerum normacyjnego Schwarza dlaego zoały omnęe w dalzej rezenacj. Wynk eymacj zarezenowano w abelach odowedno dla ndeku WIG oraz kuru EUR/PL. Jak można było rzyuzczać hoeza zakładająca normalność rozkładów warunkowych zoała odrzucona na odawe wynków eu Anderona Darlnga dla wzykch model j. Z kole hoeza zakładająca warunkowy rozkład IG ne zoała odrzucona ylko dla model oba zereg oraz ndek WIG. Wzyke oblczena wykonano za omocą amodzelne naanych kodów źródłowych w języku C wykorzyując bbloekę oblczeń numerycznych GSL h:// 6.. Wnok z badana emrycznego Wykorzyane normacj o cenach mnmalnych makymalnych w rocee eymacj aramerów modelu GARCH bez zwękzena jego arameryzacj orawa jakość modelu merzoną waroścą unkcj warygodnośc. Według eu RV zarówno dla ndeku WIG jak kuru EUR/PL warośc unkcj warygodnośc ln L model ą one wękze od warośc dla modelu. Take ame zależnośc wyęują w modelach klay IG j z wyjąkem modelu IG dla ndeku WIG. We wzykch rzyadkach najbardzej zaawanowane modele wykorzyujące dane o cenach mnmalnych makymalnych zarówno do konrukcj unkcj warygodnośc jak do eymacj dzennej warancj czyl modele IG mają dużą rzewagę nad modelam IG. Zaoowane eymaorów dzennej warancj równane dla model j oraz 4 dla model IG j konruowanych na odawe danych o cenach mnmalnych makymalnych dla kuru EUR/PL zwękza warośc ln L. Znaczy o że warość unkcj warygodnośc ln L je wyżza w modelu nż w modelu w je wyżza nż w IG je wyżza nż IG a w IG je wyżza nż w IG. Wzro unkcj warygodnośc dla każdej z rzedawonych czerech relacj je ony ayyczne na co wkazują oceny ayyk RV wynozące odowedno: -5956; -68; W rzyadku ndeku WIG ylko model ma one wyżzą warość unkcj warygodnośc ln L nż w modelu warość eu RV je równa -7. Zmany ln L dla ozoałych rzech ar model ne ą one ayyczne oceny ayyk RV wynozą odowedno: -9486;

20 4 G. Perczak P. Fzeder Porawa jakośc modelu wynkająca z zaoowana rozkładu IG czyl rozkładu o grubzych ogonach nż w rozkładze normalnym jako warunkowego rozkładu kładnka loowego je wękza nż w rzyadku mary ln L. Ozacowano równeż aramery modelu GARCH z warunkowym kośnym rozkładem Sudena kładnka loowego na odawe zeregu czaowego zawerającego wyłączne ceny zamknęca. W rzyadku ndeku WIG dla modelu GARCH uzykano warość unkcj warygodnośc ln L równą 786 czyl nżzą nż w rzyadku modelu IG. Z kole w modelu GARCH dla kuru EUR/PL wynoła ona 967 czyl neznaczne węcej nż w modelu IG. Szczegółowe wynk eymacj zoały omnęe w abelach. Powyżze wnok zoały równeż owerdzone rzez warośc kryerum normacyjnego Schwarza. Zaoowane danych o cenach mnmalnych makymalnych do budowy oraz eymacj model najczęścej owoduje ogorzene jakośc model ocenanej rzez ryzma ayycznych włanośc kładnków loowych konruowanych na odawe cen zamknęca ojawający ę eek ARCH oraz gorze doaowane warunkowych rozkładów. Takego wynku można ę było odzewać ne oznacza on że modele e mają gorzą jakość. Do ch oceny należałoby wykorzyać wękzy zbór normacj o cenach mnmalnych makymalnych zamknęca jednak ne neją jezcze odowedne rocedury ey będze o rzedmoem dalzych badań auorów. Średne błędy ozacowana aramerów ą na ogół mnejze w rzyadku model w kórych aramery były zacowane z wykorzyanem cen mnmalnych makymalnych. Dla ndeku WIG aymera rozkładów bezwarunkowych roceów oanych modelam IG IG je wękza od ej kóra wyęuje w rozkładach roceów oanych modelam IG IG. Wykorzyane w eymacj cen mnmalnych makymalnych owoduje zmany ocen aramerów w modelu GARCH. Zwękzają ę na ogół oceny arameru ω a zmnejzają ę oceny ξ oraz maleje uma ocen ω ξ w orównanu z modelem GARCH zacowanym na odawe cen zamknęca. Ma o duże znaczene dla modelowana rognozowana zmennośc ó zwrou. Oznacza o bowem że wływ zoków w orzednm okree na beżącą warancję je wękzy a zaem reakcja na zmenającą ę yuację rynkową je zybza zgodne z modelem w kórym zaoowano równeż ceny mnmalne makymalne. Ponado oddzaływane zoków na zmenność rwa krócej nż wynkałoby o z modelu GARCH zacowanego wyłączne na odawe cen zamknęca. Przeczy o wynkom uzykwanym na rzykład na odawe zmennośc mlkowanej or. Engle Muaa 99. Właśne o zarzeżene było doychcza wymenane jako jedna z najwękzych łabośc model GARCH. Wydaje ę zaem że dzęk zaoowanu danych o cenach mnmalnych makymalnych do eymacj aramerów modelu uzykuje ę oceny kóre ą blżze rawdzwym aramerom. Warośc unkcj warygodnośc ln L orzymane dla modelu ą zblżone do warośc uzykanych dla modelu IG. Wykorzyane normacj o cenach mnmalnych makymalnych do konrukcj zarówno unkcj warygodnośc jak eymaora dzennej warancj odobne orawa jakość modelu jak zaoowane aymerycznego warunkowego rozkładu kładnka loowego o grubych ogonach. Waro równeż odnoować że dla ndeku WIG w rzyadku model IG oceny aramerów ne ełnają warunku ω ξ < co ugeruje że warancja ó zwrou roceu GARCH je nekończona. Zjawko o częo doyczy akże nnych nrumenów noowanych na rynku nanowym w rzyadku eymacj aramerów modelu wyłączne na odawe cen zamknęca Debold 986; Lamoureux Larae 99. Wynk en ne wyęuje dla model IG oraz IG. Zróżncowane warośc unkcj ln L w ozczególnych modelach je znaczne mnejze nż w rzyadku ln L ne rzekracza % odcza gdy dla nowej oac unkcj warygodnośc dochodz nawe do 8 %.

21 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj Podumowane W racy zarezenowano modele GARCH wrowadzone rzez Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5 konruowane ne ylko na odawe cen zamknęca ale równeż na odawe normacj o dobowych mnmach makmach cen. Jako warunkowe rozkłady kładnka loowego rzyjęo rozkład normalny oraz IG. Zakładając że rocey śróddzennych ó zwrou ą arymeycznym ruchem Browna oraz roceem o warunkowym rozkładze IG rzedawono rozkłady łączne wekorów loowych kórych wółrzędnym ą zmenne loowe warośc mnmalnej makymalnej końcowej logarymcznych ó zwrou. W wynku zaoowana dodakowych normacj o cenach mnmalnych makymalnych konruowano unkcje warygodnośc kóre wykorzyują znaczne zerzy zbór danych rynkowych oujących nrumeny nanowe. Dzęk emu uzykano znaczne wękze warośc unkcj warygodnośc. W racy zaroonowano rozzerzene model Lldholda oraz Venera de Jongha Grebenowa 5. Polega ono na zaoowanu eekywnejzych eymaorów dzennej warancj w ym roozycj nowego eymaora konruowanych na odawe cen mnmalnych makymalnych zama eymaora wyznaczanego wyłączne na odawe cen zamknęca. Ponado dokonano ewnych urozczeń wymenonych arameryzacj model. a odawe oberwacj ó zwrou z ndeku WIG kuru waluowego EUR/PL okazano że wykorzyane normacj o cenach mnmalnych makymalnych do eymacj aramerów modelu GARCH bez zwękzena jego arameryzacj orawa jakość modelu merzoną waroścą unkcj warygodnośc. Zmenność ó zwrou ozacowana na odawe zarezenowanych model ma włanośc blke zmennośc mlkowanej. Soowane klaycznych model GARCH wyłączne cen zamknęca może zaem rowadzć do błędów oznawczych. Wzyke rzedawane modele GARCH ą ozczędne arameryzowane mają yle amo aramerów co radycyjny model GARCH ze kładnkem loowym oanym warunkowym rozkładam: normalnym oraz kośnym Sudena. Wykorzyane normacj z noowań śróddzennych w oac ceny mnmalnej makymalnej ne zwękza częolwośc analzowanego zeregu czaowego. Do budowy omawanych model nadal wykorzyuje ę dane o częolwośc dzennej zn. zereg wekorów ó zwrou mnmum makmum warośc końcowej. Pozwala o unknąć roblemów zwązanych z analzą danych o bardzo wyokej częolwośc. Można rzyuzczać że wykorzyane dodakowych danych do eymacj aramerów modelu GARCH zwękzy raność rognozowana zmennośc ó zwrou w orównanu z modelam kórych aramery ą eymowane ylko na odawe cen zamknęca. Wymaga o jednak rzerowadzena dodakowych badań. Doęność cen mnmalnych makymalnych na równ z cenam zamknęca daje nadzeję że oowane zarezenowanych model ane ę owzechne. Bblograa Anderen T.G. Bollerlev T. 998 Anwerng he kec: Ye andard volaly model do rovde accurae oreca Inernaonal Economc Revew Anderen T.G. Bollerlev T.hroeren P.F. Debold F.. 6 Volaly and correlaon orecang w: G. Ello.W.J. Granger A. Tmmermann red. Handbook o ec onomc orecang orh-holland Elever Amerdam.

22 6 G. Perczak P. Fzeder Anderon J. On he normal nvere Gauan ochac volaly model Journal o Bune and Economc Sac Barndor-elen O.E. 977 Exonenally decreang drbuon or he logarhm o arcle ze Proceedng o he Royal Socey London Sere A Barndor-elen O.E. 997 ormal nvere Gauan Drbuon and ochac volaly modellng Scandnavan Journal o Sac 4. Barndor-elen O.E. Shehard. Modellng by Lévy rocee or nancal economerc w: O.E. Barndor-elen T. Mkoch S. Renck red. Lévy rocee heory and alcaon Brkhauer Boon. Bollerlev T. 986 Generaled auoregreve condonal heerokedacy Journal o Economerc 7 7. Cox D.R. Mller M.D. 965 The heory o ochac rocee Mehuen and Co. London. Debold F Modellng he erence o condonal varance: a commen Economerc Revew Doman M. Mkrorukura g ełd aerów w aroścowych Wydawncwo Unweryeu Ekonomcznego w Poznanu. Engle R.F. Muaa C. 99 Imled ARCH model rom oon rce Journal o Economerc Fzeder P. 9 Modele klay GARCH w emrycznych badanach nanowych Wydawncwo UMK Toruń. Fzeder P. Perczak G. A new look a varance emaon baed on low hgh and clong rce akng no accoun he dr Saca eerlandca Flemng J. Krby C. Odek B. The economc value o volaly mng Journal o Fnance Forberg L. On he n ormal nvere G auan d rbuon n m odelng v olaly n he nancal marke Aca Unvera Ualen Suda Saca Ualena 5 h://uu.dva-oral.org/ mah/ge/dva:66/fulltet. Forberg L. Bollerlev T. Brdgng he ga beween he drbuon o realzed ECU volaly and ARCH modellng o he Euro: he GARCH-IG model Journal o Aled Economerc Jenen M.B. Lunde A. The IG-S&ARCH model: a a aled ochac and auoregreve condonal heerocedac volaly model Economerc Journal L A. 999 The rcng o double barrer oon and her varaon Advance n Fuure and Oon Reearch 7 4. Lldhold P.M. Emaon o GARCH model baed on oen cloe hgh and low rce Workng Paer 8enre or Analycal Fnance Aarhu School o Bune. Lamoureux C.G. Larae W.D. 99 Perence n varance rucural change and he GARCH model Journal o Bune and Economc Sac Parknon M. 98 The exreme value mehod or emang he varance o he rae o reurn Journal o Bune Perczak G. 4 Zaoowane rozkładu IG w modelowanu danych nanowych rzy wykorzyanu dodakowych normacj o cenach mnmalnych makymalnych w: T. Czerwńka A.Z. owak red. Rynek k aałowy w obec w yzwań de konunkury Wydawncwo aukowe Wydzału Zarządzana Unweryeu Warzawkego Warzawa rzyjęa do druku.

23 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... 7 Perczak G. Fzeder P. Eymacja warancj arymeycznego ruchu Browna na odawe znanych warośc mnmum makmum końcowej oraz dryu Przegląd Sayyczny Poon S.-H. Granger C. Forecang volaly n nancal marke: a revew Journal o Economc Leraure Rver D. Vuong Q. Model elecon e or nonlnear dynamc model Economerc Journal 5 9. Roger L.C.G. Sachell S.E. 99 Emang varance rom hgh low and clong rce The Annal o Aled Probably Schwer G.W. 989 Why doe ock marke volaly change over me? The Journal o Fnance Schlöer A. Prcng and rk managemen o ynhec CDO Srnger Verlag Berln. Vener J.H. de Jongh P.J. 4 Selecng an nnovaon drbuon or Garch model o mrove ecency o rk and volaly emaon The Journal o Rk Vener J.H. de Jongh P.J. Grebenow G. 5 IG-GARCH model baed on oen cloe hgh and low rce Souh Arcan Sacal Journal Vener J.H. de Jongh P.J. Grebenow G. 6 GARCH-ye volaly model baed on Brownan nvere Gauan nra-day reurn rocee Journal o Rk Vuong Q. 989 Lkelhood rao e or model elecon and non-need hyohee Economerca Podzękowana Auorzy ragną odzękować anonmowym recenzenom za uwag kóre rzyczynły ę do znacznej orawy arykułu w ounku do wcześnejzej werj eku. Praca zoała nanowana ze środków arodowego Cenrum auk rojek numer /5/B/ HS4/675 n. Modelowane rognozowane zmennośc wykorzyane dodakowych normacj o cenach mnmalnych makymalnych.

24 8 G. Perczak P. Fzeder Anek Tabela Zeawene zarezenowanych w oracowanu model Zaoowany rozkład warunkowy oraz rzyjęa unkcja warygodnośc Eymaory dzennej warancj klayczny konruowany dla cen zamknęca eekywnejze konruowane dla cen HLC Rozkład normalny andardowa unkcja warygodnośc rozzerzona unkcja warygodnośc nazwa modelu S&GARCH Bollerlev 986 S&GARCH z HLC oznaczene nazwa modelu S&GARCH-HL Lldhold S&GARCH-HL z HLC oznaczene Rozkład IG andardowa unkcja warygodnośc rozzerzona unkcja warygodnośc nazwa modelu S&GARCH-IG Jenen Lunde S&GARCH-IG z HLC oznaczene IG IG nazwa modelu S&GARCH-HL-IG Vener de Jongh Grebenow 5 S&GARCH-HL-IG z HLC oznaczene IG IG Uwaga: modele zarezenowane w racy ne ą dokładnym arameryzacjam rzedawonym w cyowanych arykułach ale ch modykacjam dokonanym na orzeby nnejzej racy.

25 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... 9 Tabela Wynk eymacj dla ndeku WIG Paramer Parameryzacje modelu GARCH IG IG IG IG ω 66e-7 94e-7 75e-7 44e-7 7e-7 6e-6 49e-7 569e-7 4e-6 7e-6 7e-6 e-6 86e-6 75e-6 45e-6 56e-6 ω ξ ln L SIC L ln L SIC L RV -7* -9647* -964* * -69* LB LM8 5654* 554* 44944* * 966* 676* 9565* AD 5865* 99* 858* 94* * 894* * Oceny ayyk one różne od zera na ozome 5. Uwaga: w nawaach odano średne błędy zacunku aramerów RV oznacza ayykę eu Rvera Vuonga orównywana dokonywano dla model klay j z modelem a w rzyadku model klay IG j z modelem IG LB o ayyka eu auokorelacj Ljunga-Boxa LM ayyka eu eeku ARCH Engle a AD o ayyka eu zgodnośc Anderona-Darlnga.

26 G. Perczak P. Fzeder Tabela Wynk eymacj dla kuru EUR/PL Paramer Parameryzacje modelu GARCH IG IG IG IG ω - 875e-7 5e e-6 769e-6 774e-6 89e-7 95e-8 97e e-7 499e-6 9e-7 e e-6 7e-6 8e-7 e-7 ω ξ ln L SIC L ln L SIC L RV -5956* -56* * * -59* -77* LB * LM * * * * AD 6484* 88* 6796* 48* * 4875* 5* * Oceny ayyk one różne od zera na ozome 5. Uwaga: w nawaach odano średne błędy zacunku aramerów RV oznacza ayykę eu Rvera Vuonga orównywana dokonywano dla model klay j z modelem a w rzyadku model klay IG j z modelem IG LB o ayyka eu auokorelacj Ljunga-Boxa LM ayyka eu eeku ARCH Engle a AD o ayyka eu zgodnośc Anderona-Darlnga.

27 Model GARCH wykorzyane dodakowych normacj... The GARCH model he alcaon o addonal normaon abou low and hgh rce Abrac The aer reen he GARCH model eablhed by Lldhold and Vener de Jongh Grebenow 5 whch are ormulaed on he ba o low hgh and clong rce. Aumng ha nraday rocee o reurn are he arhmec Brownan moon and hen he roce or decron o whch he IG drbuon wa ued he jon drbuon o random vecor o mnmum maxmum and nh value o logarhmc reurn are reened. Thee drbuon are hen aled n he ormulaon o lkelhood uncon ued or he emaon o arameer o condered model. Moreover exenon o model o Lldhold and Vener de Jongh Grebenow 5 are rooed. Thee modcaon nclude more ecen emaor o daly varance baed on low and hgh rce n lace o he emaor baed on only clong rce. Some mlcaon o he menoned arameerzaon o model are alo erormed. I demonraed or ere o reurn o he ock ndex WIG and he EUR/PL exchange rae ha he alcaon o normaon abou low and hgh rce n he emaon roce o he GARCH model arameer whou ncreang arameerzaon mrove he qualy o he model meaured by he value o lkelhood uncon. Keyword: GARCH model volaly emaon IG drbuon Brownan moon low and hgh rce