Silnia iteracyjnie n! = 1 * 2 * 3 *... * n widać, że to definicja w pętli. Silnia rekurencyjnie n! = n * (n-1)!
|
|
- Patryk Ostrowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zapiszemy teraz algorytm Euklidesa w postaci pseudokodu. Często instrukcje wyrażane za pomocą słów nie przenoszą się bezpośrednio na pseudokod i w drugą stronę podobnie. Np. problem jest z pętlą. Zanim zaczynamy coś zamieniać na pseudokod to trzeba przeczytać i przeanalizować napisany słowami algorytm i zastanowić się, gdzie i kiedy musimy zawracać. Przypomnijmy jak był napisany ten algorytm słowami: Algorytm Euklidesa 1. Weźmy dwie liczby całkowite dodatnie: a i b. (wejście do algorytmu, czyli jasno widzimy od czego zaczynamy) 2. Jeśli b = 0 idź do 3., w przeciwnym razie wykonaj: 2.1. Jeśli a > b to a := a - b W przeciwnym razie b := b - a Przejdź do a jest szukanym największym dzielnikiem. 4. Koniec (wyraźnie zaznaczony koniec algorytmu) A teraz w pseudokodzie: function NWD(a,b) -- i teraz nie możemy tak sobie spokojnie przez to nawracanie zrobić if, tylko pętlę. Myślimy którą z pętli możemy tutaj zastosować i skoro warunek jest sprawdzany na początku, to odpada pętla do while i odpada for, bo nie wiemy ile razy będzie trzeba powtarzać nawracanie, bo ono jest zależne od względnej wielości liczb a i b. PAMIĘTAĆ O WCIĘCIACH while (b!0) if (a>b) then a:=a-b; else b:=b-a; wypisz (a); Iteracja Iteracja (łac. iteratio) to czynność powtarzania (najczęściej wielokrotnego) tej samej instrukcji (albo wielu instrukcji) w pętli. Przykład iteracji to to w algorytmie powyżej. Rekurencja Rekurencja (ang. recursion, z łac. recurrere, przybiec z powrotem) to w logice, programowaniu i w matematyce odwoływanie się np. funkcji lub definicji do samej siebie. Przykładem jest definicja silni, czyli w definicji pojęciami używamy pojęcia tego samego pojęcia. Podobnie z fraktalami, kalafiorem (takim jak jemy) itp. Chodzi o to, że kalafior jest obiektem rekurencyjnym, bo jak odłamiemy kawałek kalafiora to ten kawałek będzie pomniejszonym takim dużym kalafiorkiem. Czyli obiekt jest definiowany przez samego siebie. Silnia iteracyjnie n! = 1 * 2 * 3 *... * n widać, że to definicja w pętli Silnia rekurencyjnie n! = n * (n-1)! 1
2 Ta rekurencja się kiedyś zakończy dlatego, bo mamy warunek końcowy w postaci, żę gdy n=0 lub n=1 to n!=1 Silnia UZUPEŁNIĆ TEN SLAJD BO BĘDZIE ON ZMIENIONY O DEFINICJĘ SilniaI(n) i:=0; s:=1; while (i<n) do i:=i+1; s:=s*i; return s; SilniaR(n) Begin if (n=0) then return 1; else return n*silniar(n-1); Czyli łatwiej jest przenieść rekurencję na bezpośredni kod, a iterację trudniej. Rekurencja jednak ma też swoje wady, co widać poniżej na tym drzewie, bo zanim się policzy pierwszą linijkę, to trzeba policzyć te wszystkie inne rzeczy co są na prawo, program musi pamiętać, że zanim nam da odpowiedz na nasze pytanie to musi nam odpowiedzieć na te inne pytania i odpowiedzi na te pytania pośrednie jest zapamiętywana zwykle w pewnym stosie i często zdarza się zapełnienie owego stosu przy źle napisanej rekurencji. {Przecież u nas w programie będzie tylko pierwsze wywołanie, tylko ta pierwsza linijka, a naprawdę program wywołuje tą funkcję 5 razy by nam dać wynik. Zatem poniższe drzewo ma sens tylko przy małej ilości wywołań. Drzewo wywołań rekurencyjnych podczas obliczania wartości 4! 5*SilniaR(4).. 4*SilniaR(3).... 3*SilniaR(2) *SilniaR(1) *SilniaR(0) < < * 1 (bo to już z definicji wiem i idę definicją dalej mając te wartości) < * 1 (zwracamy kolejne wyniki pośrednie by otrzymać wynik końcowy)..... < *2.. < *6 24 2
3 Teraz zaraz się przekonamy, że rekurencja nie zawsze jest dobrym pomysłem. Definicja ciagu Fibonacciego Dla n > 1 mamy fib n = fib n-1 + fib n-2 natomiast wyrazy 1. i 0. przyjmują wartość 1. Czyli wyglądają te wyrazy ciągu następująco: 1,1,2,3,5,8,13,21 Fibonacci rekurencyjnie próba napisana mniej więcej w pseudokodzie Próba przeniesienia tego bezpośrednio z definicji. A problem polega na czasie, bo tak napisany ten program wykonuje się KOSMICZNIE długo. Mianowicie dla n=10 otrzymujemy niemalże wynik natychmiast. Dla n=20 zajmie komputerowi wyświetlenie wyniku już 0,02 sekundy Dla n=30 będzie to już jednak aż 3,78 sekundy, a aby policzyć 40wyraz ciągu fibonacciego rekurencyjnie potrzeba już będzie sekund. Czyli pamiętajmy, ze rekurencja jest naprawdę nie za dobrym rozwiązaniem czasami. Dla wyrazu 10 będzie aż 177 wywołań tej funkcji. Dla wyrazu 20 nim policzymy wyraz dwudziesty, to będzie aż wywołań! A dla wyrazu 30 będzie to już prawie 2,7 miliona i pamiętajmy, ze te wszystkie wywołania są zapisywane w pamięci. To że tych wywołań jest tak wiele wynika ze specyfiki wywołania rekurencyjnego. Dla silni było ich sporo, ale nie aż tak wiele. Tutaj wywołań jest tak wiele, bo jak chcemy policzyć wyraz drugi, to najpierw musimy policzyć wyraz pierwszy i wyraz zerowy. A jak chcemy policzyć wyraz trzeci to potrzebujemy wyraz drugi z jednej strony a z drugiej to wszystko co było potrzebne dla wyrazu drugiego. I on to dla drugiego wyrazu liczy jakby dwa razy. Tutaj rekurencje zabija to, że liczymy wielokrotnie te same wartości. Przyrost ilość wywołań to mniej więcej 2/3. Bo by wyliczyć wyraz któryś, to musimy obliczyć poprzedni i 2/3 z tego,co już liczyliśmy wcześniej. FibR(n) if ( n=0 or n=1) then return 1; return FibR(n-1)+FibR(n-2); (ten fragment odzwierciedla definicję) 3
4 Drzewo wywołań rekurencyjnych podczas obliczania 5. wyrazu ciągu Fibonacciego FibR(5) +--FibR(4) +--FibR(3) +--FibR(2) +--FibR(1) +--FibR(0) +--Fib(1) +--FibR(2) +--FibR(1) +--FibR(0) +--FibR(3) +--FibR(2)... Liczba wywołań liczona przez Pana na kartce, to co było napisane w tekście na poprzedniej stronie. To nie jest jakoś bardzo istotne Fibonacci iteracyjnie działa błyskawicznie nawet dla bardzo dużych wyrazów. To jest przewaga iteracji, ona zawsze jest bardzo szybka, ale z drugiej strony kod który tu widzimy nie wygląda za bardzo podobnie do definicji, którą mieliśmy na samym początku. Zatem zawsze jak możemy pisać rekurencję, to musimy się zastanowić, czy to ma sens, bo napisany algorytm może być elegancki, ale niekoniecznie działający w tym stuleciu. 4
5 FibI(n) i:=1; x:=1; y:=1; while (i<n) z:=x; i:=i+1; x:=x+y; y:=z; return x; Liczba Liczba jest pewnym abstrakcyjnym bytem (czyli nie istnieje sama w sobie, istnieje liczba2, liczba3, ale nie istnieje liczba jako taka podobnie jak nie istnieje samochód, bo istnieje samochód Janka, syrenka Cioci, ale samochód sam jako taki nie istnieje) wykorzystywanym do zliczania i mierzenia. Symbol lub słowo języka naturalnego wyrażające liczbę nazywamy numerałem lub cyfrą (ang. numeral, digit). (Choć termin cyfra zasadniczo zarezerwowany jest dla pojedynczego symbolu to jednak np. język angielski zdaje się nie rozróżniać tych dwóch terminów.) Cyfry różnią się od liczb tak jak słowa różnią się od rzeczy, które określają. Symbole: 11, jedynascie oraz XI sa różnymi numerałami reprezentującymi ta sama liczbę. Czyli są to zupełnie różne symbole, ale określają to samo. Liczby nie można zobaczyć, my widzimy tylko to, co ją określa. Czyli my uważamy, że 121 to numerał, który składa się z cyfr. W potocznym znaczeniu słowo liczba używane jest zarówno w pierwotnym znaczeniu abstrakcyjnego bytu wyrażającego ilość i wielkość jak i symbolu. Oto bowiem wyrażenia numeryczne (a wiec złożone z cyfr) używane są jako pewnego rodzaju nazwy (np. numer telefonu), w celu uporządkowania (np. numer seryjny)czy tez jako kod (np. ISBN). System liczbowy System liczbowy jest sposobem reprezentacji liczb przy użyciu cyfr (numerałów) w jednolity sposób. W zależności od kontekstu numerał 11 interpretować będziemy jako dwójkowe przedstawienie liczby trzy, dziesiętne przedstawienie liczby jedynascie lub być może jeszcze inna liczbę zapisana w innym systemie. Unarny system liczbowy Najprostszym systemem liczbowym jest unarny system liczbowy, w którym każda liczba naturalna reprezentowana jest przy pomocy jednego znaku powielonego tyle razy ile wynosi liczba reprezentowana przez tworzony numerał. Jeśli wybranym symbolem będzie /, wówczas liczbę siedem zapiszemy jako siedmiokrotne powtórzenie tego znaku, czyli ///////. Wbrew pozorom system ten wciąż funkcjonuje u ludów pierwotnych a i cywilizacje bardziej rozwinięte wykorzystują go do zapisu niewielkich liczb. Systemy tego typu nazywamy także systemami addytywnymi, bowiem wartość liczby otrzymujemy poprzez dodawanie kolejnych wartości wyrażanych przez symbole (w tym przypadku jeden symbol). 5
6 Skoro jest tak trudno używać systemu unarnego do zapisywania dużych liczb, to dlatego wprowadzono pewne uproszczenia typu / oznacza 1 - oznacza 10 + oznacza 100 by zamiast stu / pisać jednego + Wtedy np. 304 to +++//// Oczywiście liczby rzymskie to też przykład systemu unarnego, choć tam czasami I to 1 a czasami I to minus jeden w zależności od miejsca w którym występuje. Liczenie tutaj jest pewnym problemem, ale interesujące jest to, że w tych systemach w ogóle nie ma potrzeby używania abstrakcyjnego symbolu zera, co widać na powyższym przykładzie 304. Zero się pojawia dopiero w systemach pozycyjnych. Zauważmy, że słowa opisują bardziej ten system unarny a nie pozycyjny, jak mówimy, to mówimy trzysta cztery a nie trzysta zero cztery ani nic takiego. Obecnie mamy systemy pozycyjne powstałe mniej więcej dopiero w V w naszej ery przez ludy pochodzenia Indoarabskeigo. Dwie postacie zasługują tutaj na szczególna uwagę: Aryabhatta Kusumapura żyjący w V w. wprowadził zapis pozycyjny natomiast Brahmagupta wiek później wprowadził symbol zero. No to teraz zastanowimy się nad systemami pozycyjnymi jako takimi, co one oznaczają itp. Dla nas 111 oznacza sto jedenaście dlatego, bo pierwsza jedynka oznacza 100, druga jako 10 a ostatnia oznacza 1 i z powodów skrótowych przyjęło się do niej podchodzić jako do stojedenastki. 375 = 3*100+7*10+5 = 3*10^2+7*10^1+5*10^0 Czyli u nas w 111 ten sam symbol ma inne znaczenie, znaczenie symbolu zależy od pozycji, a w rzymskim I I I ma zawsze znak I takie samo znaczenie, no prawie takie samo, bo zależy od otoczenia czy to jest 1 czy -1, a z kolei w dziesiętnym wygląd symboli otaczających nasz symbol znaczenia nie ma. W systemie dziesiętnym zawsze podnosimy do pewnej potęgi tą samą podstawę nazywaną podstawą systemu. W systemach addytywnych do wyrażenia dowolnie dużej liczby potrzeba nieskończenie wielu symboli, bo by napisać liczbę 1000 to możemy 1000 razy powtórzyć symbol oznaczający 1, albo sobie stworzyć nowy symbol na liczbę 1000, analogicznie z liczbą itp., a w systemie pozycyjnym np. dziesiętnym potrzebujemy tylko 10 symboli i za ich pomocą możemy zapisać KAŻDĄ liczbę. Pozycyjnym systemem liczbowym nazywamy pewną parę (q,c), gdzie q jest liczbą naturalną, która jest podstawą danego systemu, a C to skończony zbiór symboli nazywanych właśnie cyframi pozwalający nam wyrazić wszelkie wielkości. Zwykle przyjmuje się, że C={0,,q-1}. Używanie pozycyjnych systemów liczbowych pociąga za sobą pewne niejednoznaczności, bo 11 to albo 11 albo 3 jeśli to system trójkowy albo jakaś inna liczba w innym systemie. Dlatego zawsze warto przy liczbie pisać podstawę systemu jakim się posługujemy. W systemie dwójkowym pamiętajmy, że podstawą jest 2, czyli q=2 i C={0,1} Używając jednocześnie kilku różnych pozycyjnych systemów liczbowych, zawsze musimy zaznaczyć w jakim z nich dana liczba jest zapisana. Przyjrzyjmy sie przykładom: liczba o dziesiętnej wartości 11 zapisana z pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie 10, liczba o dziesiętnej wartości 3 zapisana z pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie 2, liczba o dziesiętnej wartości 6 zapisana z pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie 5, liczba o dziesiętnej wartości 26 zapisana z pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie 25. 6
7 Założenie Mówiąc liczba rzeczywista mamy na myśli bezznakową liczbę rzeczywista złożona z części całkowitej i ułamkowej. Liczby rzeczywiste w systemie dziesiętnym Najpierw spróbujmy zrozumieć dziesiętna reprezentacje liczby rzeczywistej. Dziesiętna reprezentacja liczby rzeczywistej r jest wyrażeniem postaci a i i gdzie a0 jest nieujemna liczba całkowita, a1, a2,... - liczby całkowite i 0 10 spełniające nierówności 0 <= a i <= 9. Powyższe zapisujemy zwykle jako r = a0*a1*a2*a3* a0 stanowi cześć całkowita liczby r, natomiast a1, a2, a3,... sa cyframi tworzącymi cześć ułamkowa liczby r. Arytmetyka w systemie dwójkowym. Przeczytać jak coś z książki dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Dzieleniem nie będzie nas nikt męczył ;) Była też na wykładzie zamiana liczb rzeczywistych z dwójkowego na dziesiętny i w drugą stronę, ale nadal to tylko dodatnie, więc nie ma większych problemów ;) Sposób zapisu liczb rzeczywistych NIE w systemie komputerowym Pod pojęciem liczba rzeczywista rozumiemy taką, która ma część całkowitą i ułamkową, tyle że pomijamy jej znak. Wiemy, że każdą liczbę rzeczywistą możemy zapisać jako A n 10 n + A n-1 10 n A A 0 + A A Analogicznie możemy podejść do liczb w systemie dwójkowym np. zapiszmy =1*2 1 +1*2 0 +0*2-1 +1*2-2 +1*2-3 = Przypomnimy raz jeszcze ze żaden komputer nie wykorzystuje tego zapisu, który my tutaj stosujemy! Zazwyczaj jak mamy powiedzieć ile wynosi liczba zapisana w systemie np. piątkowym w systemie powiedzmy dziesiątkowym, to nie umiemy inaczej jak tylko zamienić najpierw na system dziesiętny i potem zamieniać dopiero z powrotem z niego. Troszkę inaczej jest, gdy mamy zamieniać systemy, których podstawy są wielokrotnością dwójki. By się udało to wypisujemy sobie System 10 System 2 System A B C D E F 7
8 Jak chcemy mieć po kolei te rzeczy to zaczynamy od ostatniej kolumny w systemie dwójkowym. Najpierw wypisujemy na ostatniej kolumnie na zmianę 01010itd potem w drugiej kolumnie piszemy i zauważmy ze się tak zgadza, dalej itp. Jak mam odczytać np. ile w systemie 16 to jest liczba zapisana w systemie dwójkowym to dzielę ją od lewej na paczuszki po 4 np. i odczytujemy z powyższej tabelki. Analogicznie w drugą stronę D B A E A w systemie ósemkowym dzielimy po 3 bity i znów odczytujemy A po dwa jeśli ma to być liczba systemy czwórkowego. 8
Wstęp do informatyki
Wstęp do informatyki Algorytmy i struktury danych Piotr Fulmański Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Łódzki, Polska 30 października 2009 Spis treści 1 Algorytm 2 Przetwarzane informacje 3 Struktury
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoFUNKCJA REKURENCYJNA. function s(n:integer):integer; begin if (n>1) then s:=n*s(n-1); else s:=1; end;
Rekurencja Wykład: rekursja, funkcje rekurencyjne, wywołanie samej siebie, wyznaczanie poszczególnych liczb Fibonacciego, potęgowanie, algorytm Euklidesa REKURENCJA Rekurencja (z łac. recurrere), zwana
Bardziej szczegółowoALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
KATEDRASYSTEMÓWOBLICZENIOWYCH ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH 1.Rekurencja Rekurencja inaczej rekursja (ang. recursion) to wywołanie z poziomu metody jej samej. Programowanie z wykorzytaniem rekurencji pozwala
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI
Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 9 października Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 9 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 9 października 2017 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 10 października Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października / 42
Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42 Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42 Definicja : system
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przykład. Rozważmy ciąg
Rekurencja Definicje rekurencyjne Definicja: Mówimy, iż ciąg jest zdefiniowany rekurencyjnie, jeżeli: (P) Określony jest pewien skończony zbiór wyrazów tego ciągu, zwykle jest to pierwszy wyraz tego ciągu
Bardziej szczegółowoZnaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000
SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości
Bardziej szczegółowoLuty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania 2. Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne. Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno
Instrukcja laboratoryjna 6 Podstawy programowania 2 Temat: Funkcje i procedury rekurencyjne Przygotował: mgr inż. Tomasz Michno Wstęp teoretyczny Rekurencja (inaczej nazywana rekursją, ang. recursion)
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Bardziej szczegółowowagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0
Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień
Bardziej szczegółowoZaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Bardziej szczegółowoDla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego
Arytmetyka cyfrowa Dla człowieka naturalnym sposobem liczenia jest korzystanie z systemu dziesiętnego, dla komputera natomiast korzystanie z zapisu dwójkowego (binarnego). Zapis binarny - to system liczenia
Bardziej szczegółowo6. Pętle while. Przykłady
6. Pętle while Przykłady 6.1. Napisz program, który, bez użycia rekurencji, wypisze na ekran liczby naturalne od pewnego danego n do 0 włącznie, w kolejności malejącej, po jednej liczbie na linię. Uwaga!
Bardziej szczegółowoAlgorytmy w teorii liczb
Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,
Bardziej szczegółowoWykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki
Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji
Bardziej szczegółowoTechniki multimedialne
Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowo12. Wprowadzenie Sygnały techniki cyfrowej Systemy liczbowe. Matematyka: Elektronika:
PRZYPOMNIJ SOBIE! Matematyka: Dodawanie i odejmowanie "pod kreską". Elektronika: Sygnały cyfrowe. Zasadę pracy tranzystorów bipolarnych i unipolarnych. 12. Wprowadzenie 12.1. Sygnały techniki cyfrowej
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowoUrządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):
1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoPodstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.
ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Systemy liczbowe Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System liczbowy zbiór reguł jednolitego
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoWykład 2. Informatyka Stosowana. 8 października 2018, M. A-B. Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41
Wykład 2 Informatyka Stosowana 8 października 2018, M. A-B Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października 2018, M. A-B 1 / 41 Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 2 8 października
Bardziej szczegółowoRekurencja (rekursja)
Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. System liczbowy dziesiętny
Systemy liczbowe 1. System liczbowy dziesiętny System pozycyjny dziesiętny to system, który używa dziesięciu cyfr, a jego podstawą jest liczba 10, nazywany jest pozycyjnym, bo pozycja cyfry w liczbie rozstrzyga
Bardziej szczegółowoJęzyki programowania zasady ich tworzenia
Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5.
Zadanie 1. Zmiana systemów. Zadanie 2. Szyfr Cezara. Zadanie 3. Czy liczba jest doskonała. Zadanie 4. Rozkład liczby na czynniki pierwsze Zadanie 5. Schemat Hornera. Wyjaśnienie: Zadanie 1. Pozycyjne reprezentacje
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Algorytmika ćwiczenia
Zadanie 1 Algorytmika ćwiczenia Zadanie 2 Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie 5 Zadanie 6 Zadanie 7 Wiązka zadań Ułamki dwójkowe W systemach pozycyjnych o podstawie innej niż 10 można zapisywać nie tylko liczby
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 2 Teoria liczby rzeczywiste cz.2
1 POTĘGI Definicja potęgi ł ę ę > a 0 = 1 (każda liczba różna od zera, podniesiona do potęgi 0 daje zawsze 1) a 1 = a (każda liczba podniesiona do potęgi 1 dają tą samą liczbę) 1. Jeśli wykładnik jest
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Potęgi (14 pkt)
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. otęgi (14 pkt) W poniższej tabelce podane są wartości kolejnych potęg liczby 2: k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 k 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Ciąg a=(a 0,
Bardziej szczegółowoPodział sieci na podsieci wytłumaczenie
Podział sieci na podsieci wytłumaczenie Witam wszystkich z mojej grupy pozdrawiam wszystkich z drugiej grupy. Tematem tego postu jest podział sieci na daną ilość podsieci oraz wyznaczenie zakresów IP tychże
Bardziej szczegółowoJak zawsze wyjdziemy od terminologii. While oznacza dopóki, podczas gdy. Pętla while jest
Pętle Pętla to pewien fragment kodu, który jest wykonywany wielokrotnie. Wyobraź sobie taką sytuację. Piszesz program do szyfrowania danych. Dane są szyfrowane kolejno bajt po bajcie. Załóżmy, że plik
Bardziej szczegółowoDZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.
DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe używane w technice komputerowej
Systemy liczbowe używane w technice komputerowej Systemem liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach.
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE 275,538 =
SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoPodstawy programowania. Wykład: 13. Rekurencja. dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD
Podstawy programowania Wykład: 13 Rekurencja 1 dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD Podstawy programowania Rekurencja - pojęcie 2 Rekurencja - pojęcie Rekurencja (rekursja) wywołanie
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowoSystem Liczbowe. Szesnastkowy ( heksadecymalny)
SYSTEMY LICZBOWE 1 System Liczbowe Dwójkowy ( binarny) Szesnastkowy ( heksadecymalny) Ósemkowy ( oktalny) Dziesiętny ( decymalny) 2 System dziesiętny Symbol Wartość w systemie Liczba 6 6 *10 0 sześć 65
Bardziej szczegółowoL6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce
L6.1 Systemy liczenia stosowane w informatyce Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Systemy liczbowe 20.10.2010 System Zakres znaków Przykład zapisu Dziesiętny ( DEC ) 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 255 DEC Dwójkowy / Binarny ( BIN ) 0,1 11111 Ósemkowy ( OCT ) 0,1,2,3, 4,5,6,7
Bardziej szczegółowoWYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowofor (inicjacja_warunkow_poczatkowych; wyrazenie_warunkowe; wyrazenie_zwiekszajace) { blok instrukcji; }
Pętle Pętle (ang. loops), zwane też instrukcjami iteracyjnymi, stanowią podstawę prawie wszystkich algorytmów. Lwia część zadań wykonywanych przez programy komputerowe opiera się w całości lub częściowo
Bardziej szczegółowowykład II uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C - funkcje, tablice i wskaźniki wykład II dr Jarosław Mederski Spis
i cz. 2 Programowanie uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski 1 i cz. 2 2 i cz. 2 3 Funkcje i cz. 2 typ nazwa ( lista-parametrów ) { deklaracje instrukcje } i cz. 2 typ nazwa ( lista-parametrów ) { deklaracje
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoWHILE (wyrażenie) instrukcja;
INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoJednostki informacji. Bajt moŝna podzielić na dwie połówki 4-bitowe nazywane tetradami (ang. nibbles).
Wykład 1 1-1 Informatyka nauka zajmująca się zbieraniem, przechowywaniem i przetwarzaniem informacji. Informacja obiekt abstrakcyjny, który w postaci zakodowanej moŝe być przechowywany, przesyłany, przetwarzany
Bardziej szczegółowoInformatyka wprowadzenie do algorytmów (II) dr hab. inż. Mikołaj Morzy
Informatyka wprowadze do algorytmów (II) dr hab. inż. Mikołaj Morzy plan wykładu cechy algorytmów sposoby zapisu algorytmów klasyfikacja algorytmów przykłady algorytmów sumowa przeszukiwa ciągu liczb sortowa
Bardziej szczegółowoWHILE (wyrażenie) instrukcja;
INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i złożoności Wykład 5. Haszowanie (hashowanie, mieszanie)
Algorytmy i złożoności Wykład 5. Haszowanie (hashowanie, mieszanie) Wprowadzenie Haszowanie jest to pewna technika rozwiązywania ogólnego problemu słownika. Przez problem słownika rozumiemy tutaj takie
Bardziej szczegółowoProgramowanie w języku C++ Grażyna Koba
Programowanie w języku C++ Grażyna Koba Kilka definicji: Program komputerowy to ciąg instrukcji języka programowania, realizujący dany algorytm. Język programowania to zbiór określonych instrukcji i zasad
Bardziej szczegółowoSystemy liczenia. 333= 3*100+3*10+3*1
Systemy liczenia. System dziesiętny jest systemem pozycyjnym, co oznacza, Ŝe wartość liczby zaleŝy od pozycji na której się ona znajduje np. w liczbie 333 kaŝda cyfra oznacza inną wartość bowiem: 333=
Bardziej szczegółowo1.1. Pozycyjne systemy liczbowe
1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego
Bardziej szczegółowo1 Podstawy c++ w pigułce.
1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,
Bardziej szczegółowo1. Systemy liczbowe. addytywne systemy w których wartośd liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych.
1. Systemy liczbowe 1.1. System liczbowy zbiór reguł jednolitego zapisu, nazewnictwa i działao na liczbach. Do zapisywania liczb zawsze używa się pewnego skooczonego zbioru znaków, zwanych cyframi. Cyfry
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Bardziej szczegółowoParadygmaty programowania
Paradygmaty programowania Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz 15 kwietnia 2014 Jacek Michałowski, Piotr Latanowicz () Paradygmaty programowania 15 kwietnia 2014 1 / 12 Zadanie 1 Zadanie 1 Rachunek predykatów
Bardziej szczegółowoZbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Bardziej szczegółowoProgramowanie - wykład 4
Programowanie - wykład 4 Filip Sośnicki Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 20.03.2019 Przypomnienie Prosty program liczący i wyświeltający wartość silni dla wprowadzonej z klawiatury liczby: 1 # include
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoWstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Bardziej szczegółowo0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.
(Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami)
Bardziej szczegółowoNazwa implementacji: Nauka języka Python wyrażenia warunkowe. Autor: Piotr Fiorek. Opis implementacji: Poznanie wyrażeń warunkowych if elif - else.
Nazwa implementacji: Nauka języka Python wyrażenia warunkowe Autor: Piotr Fiorek Opis implementacji: Poznanie wyrażeń warunkowych if elif - else. Nasz kalkulator umie już liczyć, ale potrafi przeprowadzać
Bardziej szczegółowoRekurencja. Przygotowała: Agnieszka Reiter
Rekurencja Przygotowała: Agnieszka Reiter Definicja Charakterystyczną cechą funkcji (procedury) rekurencyjnej jest to, że wywołuje ona samą siebie. Drugą cechą rekursji jest jej dziedzina, którą mogą być
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Autorzy scenariusza: Krzysztof Sauter (informatyka), Marzena Wierzchowska (matematyka)
SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Zapis liczb. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Pojęcie liczebności Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoInformatyka, matematyka i sztuczki magiczne
Informatyka, matematyka i sztuczki magiczne Daniel Nowak Piotr Fulma«ski instagram.com/vorkof piotr@fulmanski.pl 18 kwietnia 2018 Table of contents 1 O czym b dziemy mówi 2 Dawno, dawno temu... 3 System
Bardziej szczegółowo2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,
2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. System dziesiętny
Systemy liczbowe System dziesiętny Dla nas, ludzi naturalnym sposobem prezentacji liczb jest system dziesiętny. Oznacza to, że wyróżniamy dziesięć cytr. Są nimi: zero, jeden, dwa, trzy, cztery, pięć, sześć,
Bardziej szczegółowoPo uruchomieniu programu nasza litera zostanie wyświetlona na ekranie
Część X C++ Typ znakowy służy do reprezentacji pojedynczych znaków ASCII, czyli liter, cyfr, znaków przestankowych i innych specjalnych znaków widocznych na naszej klawiaturze (oraz wielu innych, których
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Pojęcie liczebności. Liczenie bez liczebników. Podstawy arytmetyki komputerowej. Cezary Bolek
Wstęp do informatyki Podstawy arytmetyki komputerowej Cezary Bolek cbolek@ki.uni.lodz.pl Uniwersytet Łódzki Wydział Zarządzania Katedra Informatyki Pojęcie liczebności Naturalna zdolność człowieka do postrzegania
Bardziej szczegółowoDzielenie sieci na podsieci
e-damiangarbus.pl Dzielenie sieci na podsieci dla każdego Uzupełnienie do wpisu http://e-damiangarbus.pl/podzial-sieci-na-podsieci/ Dwa słowa wstępu Witaj, właśnie czytasz uzupełnienie do wpisu na temat
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki Maszyna Turinga
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga 2 3 4 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga,
Bardziej szczegółowoWidoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?
Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz
Bardziej szczegółowoznajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.
Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo
Bardziej szczegółowo