ANALIZA ZYSKOWNOŚCI PRODUKTÓW UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE
|
|
- Małgorzata Antonina Sikora
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Prace Naukowe Instytutu Organizacji i Zarządzania Nr 75 Politechniki Wrocławskiej Nr 75 Studia i Materiały Nr Wojciech BIJAK * Maja MANDELA ** Łukasz DELONG *** ss ANALIZA ZYSKOWNOŚCI PRODUKTÓW UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE Cele pracy jest przedstawienie odelu analizy zyskowności produktów ubezpieczeń na życie (testu zyskowności) oraz wyników syulacji zyskowności wybranych produktów w zależności od ziany poszczególnych paraetrów uwzględnionych w odelu. Prezentowany w pracy odel pozwala poddać analizie zarówno tradycyjne, jak i uniwersalne produkty ubezpieczeń na życie. Uożliwia on badanie wpływu zian czynników zewnętrznych w stosunku do przedsiębiorstwa (takich, jak np. stopy procentowe) oraz wewnętrznych (np. paraetrów określających produkty) na zyskowność poszczególnych produktów i portfela ubezpieczeniowego łącznie. Badania ogą być prowadzone w drodze analizy scenariuszy lub syulacji stochastycznej. Narzędzie do analizy zyskowności ubezpieczeń na życie zostało stworzone przy wykorzystaniu arkusza kalkulacyjnego MS Ecel 2000 oraz języka Visual Basic CEL I ZAKRES PRACY.. WPROWADZENIE Firy ubezpieczeniowe są nastawione na zdobywanie i utrzyywanie pozycji rynkowej iędzy innyi poprzez oferowanie konkurencyjnych produktów ubezpieczeniowych oraz utrzyanie jak najwyższego poziou rentowności swojej działalności. Realizacja powyższych celów wyaga prowadzenia dokładnych analiz zyskowności oferowanych produktów oraz produktów będących dopiero w fazie projektowania. Brak takich analiz zwiększa ryzyko utraty udziału zakładu ubezpieczeń w rynku oraz oże narazić firę na poważne straty finansowe wynikające z wprowadzenia na ry- * Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Instytut Ekonoetrii; wojciech.bijak@sgh.waw.pl ** Ernst & Young Audit Sp. z o. o.; aja.andela@pl.ey.co *** Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, Instytut Ekonoetrii; lukasz.delong@sgh.waw.pl
2 6 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong nek nieopłacalnych produktów, a w konsekwencji zagrozić jej wypłacalności i istnieniu. Konieczność stałego onitorowania produktów ubezpieczeń na życie została dostrzeżona przez organy regulujące rynek ubezpieczeniowy i została wprowadzona do przepisów prawa dotyczących działalności ubezpieczeniowej. Zgodnie z Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku zakłady ubezpieczeń na życie zostały zobowiązane dla każdego z oferowanych oraz wprowadzanych do sprzedaży produktów do zaieszczania w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń inforacji na teat zian w założeniach technicznych produktu, dokonanych w trakcie ostatniego roku kalendarzowego, wraz z uzasadnienie tych zian oraz określenie wpływu, jaki będą iały dokonane ziany na wielkość zobowiązań zakładu ubezpieczeń. Ponadto aktuariusz zakładu ubezpieczeń został zobowiązany do wydania opinii co do zgodności założeń technicznych, użytych do konstrukcji produktu, z faktycznyi danyi uzyskanyi w toku prowadzonej działalności ubezpieczeniowej w ostatni roku kalendarzowy, z uwzględnienie iędzy innyi założeń dotyczących stóp zwrotu z aktywów oraz uieralności. Analiza i prognozowanie wielkości zobowiązań i należności zakładu ubezpieczeń wynikających z zawartych uów ubezpieczenia są nieodłącznyi eleentai analizy zyskowności produktów ubezpieczeniowych. Można zate uznać, że realizacja wyagań określonych w rozporządzeniu Ministra Finansów dotyczący raportu o stanie portfela obliguje zakłady ubezpieczeń do corocznego przeprowadzania analiz zyskowności. Testy zyskowności produktów ubezpieczeń na życie wchodzą w wielu krajach do kanonu wykształcenia aktuariusza stanowiąc istotny eleent na egzainach aktuarialnych. Pierwsze ateriały do studiowania testów zyskowności opracowano w Institute of Actuaries w 986 roku [Hare i McCutcheon 99]. Testy zyskowności odgrywają również ważną rolę w kształceniu kadry enedżerskiej zakładów ubezpieczeń odpowiedzialnej za zarządzanie ryzykie, w szczególności zarządzanie dopasowywanie aktywów i zobowiązań [Conant i in. 996]. Cele pracy jest przedstawienie odelu służącego badaniu zyskowności produktów ubezpieczeń na życie oraz przykładowych rezultatów uzyskanych w drodze analizy scenariuszy i syulacji. Prezentowany w pracy odel uożliwia analizę następujących produktów ubezpieczeń na życie: tradycyjnych: dożywotniego ubezpieczenia na wypadek śierci, terinowego ubezpieczenia na wypadek śierci, czystego ubezpieczenia na dożycie, ieszanego ubezpieczenia na dożycie, uniwersalnych: uniwersalnego ieszanego ubezpieczenia na dożycie. Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku w sprawie zakresu inforacji zawartych w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń, Dz.U. z dnia 29 grudnia 2003 roku Nr 222 Poz. 2203, 3 pkt.4 ust. 9.
3 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 7 W analizie zyskowności uwzględnia się szereg czynników i przyjuje wiele założeń ających wpływ na uzyskiwane wyniki. Do podstawowych czynników należą iędzy innyi: rzeczywista i prognozowana sytuacja społeczno-ekonoiczna i deograficzna (uwzględniane np. poprzez stopę zwrotu z inwestycji, stopę bezrobocia, inflację, śiertelność). W analizie uszą być przyjęte założenia iędzy innyi co do oczekiwanych zysków, kosztów, aktualnej strategii selekcji ryzyka i rozwoju produktów ubezpieczeniowych. Testy zyskowności przeprowadzane są w oparciu o odele stanowiące część większych odeli opisujących całokształt działalności zakładu ubezpieczeń. Związane są one z odelai działalności technicznej. Przeprowadza się je zwykle w odniesieniu do ustalonych produktów ubezpieczeń na życie dla ustalonej kohorty ubezpieczonych. Testy zyskowności portfela ubezpieczeniowego danego produktu wyagają uwzględnienia struktury ubezpieczonych osób np. ze względu na płeć, wiek, i inne istotne czynniki określające ryzyko ubezpieczeniowe takie, jak np. palenie tytoniu lub niepalenie, wykonywany zawód. O ile testy zyskowności produktów pozwalają określić charakterystyczne cechy tych produktów i wpływ przyjowanych warunków polisowych na zyskowność, o tyle testy zyskowności portfeli ubezpieczeniowych uszą uwzględniać cechy charakterystyczne tych portfeli w konkretny zakładzie ubezpieczeń..2. MODELE STÓP PROCENTOWYCH ORAZ MODELE WYMIERALNOŚCI W ubezpieczeniach na życie podstawowyi czynnikai ającyi decydujący wpływ na działalność zakładu ubezpieczeń są stopy procentowe oraz przyjowane prawdopodobieństwa zgonów. Bardzo ważny eleente odelu syulacyjnego, którego zadanie jest wycena produktu ubezpieczeniowego, jest wybór odpowiedniego odelu stopy procentowej (risk-free rate of interest). Stopa procentowa jest bowie wykorzystywana nie tylko do dyskontowania przyszłych przepływów, ale także, w wielu typach ubezpieczeń, stopa procentowa wpływa na wysokość przepływu pojawiającego się w dany oencie. W literaturze finansowej (np. [Cairns 2004]) bardzo często za odele stopy procentowej przyjuje się jednoczynnikowe odele dyfuzyjne, tzn. zakłada się, że dynaika procesu stopy procentowej r (t) opisana jest stochastyczny równanie różniczkowy postaci dr ( t) = a( t, r( t)) dt + b( t, r( t)) dw ( t) () gdzie t oznacza czas, W (t) - jednowyiarowy ruch Browna, natoiast a ( ) oraz b ( ) - funkcje spełniające pewne techniczne założenia [Jakubowski i in. 2003].
4 8 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong W prezentowany odelu zyskowności ubezpieczeń na życie wykorzystany został odel Coa, Ingersolla i Rossa (dalej oznaczany jako odel CIR ). Przyjęte zostało założenie, że dynaika procesu r (t) jest dana równanie dr( t) = ( a br( t)) dt + σ r( t) dw ( t) (2) gdzie a,b, σ są dodatnii stałyi. Po zdyskretyzowaniu oraz uwzględnieniu warunku, że stopa procentowa nie oże być niejsza od zera, odel CIR oże być użyty w badaniu syulacyjny, w celu wygenerowania przyszłych scenariuszy dynaiki stopy procentowej. W badaniach ogą być wykorzystywane również deterinistyczne scenariusze dynaiki stopy procentowej, które odzwierciedlają subiektywne przekonania użytkownika odelu, co do przyszłego rozwoju rynków finansowych. Model CIR został zastosowany z uwagi na następujące jego właściwości [Ahlgri i in. 999]: odeluje krótkoterinową stopę spot (jest to odniesiona do okresu rocznego oczekiwana stopa zwrotu w ciągu następnego ustalonego krótkiego okresu); zakłada powrót krótkoterinowej stopy spot do długookresowej średniej (po wzroście stopy procentowej następuje jej spadek i odwrotnie); stopy procentowe przyjują wartości nieujene ; odel pozwala na szybkie i łatwe określenie struktury terinowej stóp procentowych, cen obligacji o różnych terinach zapadalności oraz cen akcji 2 ; zienność stóp jest proporcjonalna do poziou stóp w dany okresie. Model CIR nie stwarza probleów ipleentacyjnych, a jego dopasowanie do danych historycznych daje zadowalające rezultaty 3. W opracowany odelu badania zyskowności ubezpieczeń na życie wykorzystywane są cztery teoretyczne odele wyieralności: de Moivre a, Gopertza, Makehaa i Weibulla oraz prawdopodobieństwa zgonów z tablic trwania życia z lat opublikowanych przez Główny Urząd Statystyczny 4. Należy zauważyć, że właściwość ta jest zachowana w przypadku ciągłych stóp procentowych. Może się jednak zdarzyć, że dla odelu zdyskretyzowanego, stosowanego w syulacjach, stopy przyją wartości ujene. 2 Model CIR, wyprowadzając strukturę terinową z jednej krótkoterinowej stopy procentowej, zakłada idealną korelację poiędzy wszystkii obligacjai. Założenie to jest często krytykowane jako założenie nierealistyczne, znacznie ograniczające dynaikę struktury terinowej. Nie jest ono istotne w przypadku zastosowania odelu CIR do syulacji długoterinowych, takich jak oawiana. 3 Model CIR zastosowany do odelowania stóp procentowych dla danych historycznych z rynku aerykańskiego z okresu 45 lat (kwiecień 953 lipiec 998) daje rezultaty bliższe dany epiryczny, niż inne odele [Ahlgri i in. 999]. 4 Tablice trwania życia dostępne są na stronie internetowej GUS
5 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 9 2. OPIS TESTU ZYSKOWNOŚCI 2.. PARAMETRY MODELU Model służący przeprowadzaniu testów zyskowności składa się z równania wyniku technicznego oraz równań ziennych i paraetrów określających wynik techniczny. W oawiany w niniejszej pracy odelu analizie poddawany jest oczekiwany wynik techniczny przedsiębiorstwa ubezpieczeniowego w każdy roku trwania rozpatrywanej uowy ubezpieczenia na życie w zależności od wartości szeregu paraetrów ustalonych przez użytkownika odelu. Paraetry definiowane przez użytkownika zostały przedstawione w tabeli. Tab.. Paraetry odelu definiowane przez użytkownika Paraetry ogólne (dot. całego przedsiębiorstwa) aksyalna techniczna stopa procentowa (i T ), stopa zwrotu z inwestycji w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i p, ), stopa służąca do dyskontowania w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i d, ), stopa rezerw w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i rez, ), stopa inflacji w roku obowiązywania uowy ubezpieczenia (i inf, ), nuer scenariusza startowego stóp procentowych, liczba syulacji (w przypadku stochastycznych scenariuszy stóp procentowych) liczba ubezpieczonych ogółe w portfelu ubezpieczeniowy w oencie rozpoczęcia analizy, udział poszczególnych produktów w portfelu ubezpieczeniowy (aksyalnie 4 produkty). Paraetry związane z poszczególnyi produktai Wiek ubezpieczonych: 0 80 lat. Płeć ubezpieczonych: ężczyzna / kobieta. Dodatkowe inforacje dotyczące zdrowia ubezpieczonego: palący / niepalący. Okres trwania ubezpieczenia: aksyalnie do 0 lat (oże być odroczony o ustaloną liczbę lat). Sua ubezpieczenia Wysokość początkowej suy ubezpieczenia: dowolna (w zł). Sposób ziany suy ubezpieczenia w kolejnych latach (ustalony algoryt lub iteracyjnie). Koszty: Koszty akwizycji pierwszoroczne: proporcjonalne do składki brutto lub suy ubezpieczenia, współczynnik proporcjonalności ograniczony (zelleryzacja). Koszty prowizji pośredników ubezpieczeniowych: proporcjonalne do składki brutto, współczynnik proporcjonalności dowolny (< 00%). Koszty adinistracyjne: proporcjonalne do początkowej suy ubezpieczenia, współczynnik proporcjonalności dowolny (< 00%). Składki Sposób płatności składek: jednorazowo, ratalnie (okres płacenia składek). Wysokość płaconych składek: stała (ożliwość zdefiniowania wysokości składki przyjętej w oparciu o wysokość składki brutto i netto) lub zienna (w ubezpieczeniu uniwersalny). Śiertelność: ożliwość wyboru jednej z dwunastu tablic trwania życia (4 tablice wg teoretycznych praw wyieralności oraz 8 tablic GUS z lat ).
6 20 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Rezygnacje: ożliwość dowolnego zdefiniowania wysokości stóp rezygnacji w poszczególnych latach trwania ubezpieczenia oraz uzależnienia ich od stóp procentowych i stanu zdrowia ubezpieczonego. Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe: netto oraz brutto (uwzględniające efekt zelleryzacji), obliczane w oparciu o zdefiniowaną przez użytkownika stopę rezerw. Opcje dodatkowe: ożliwość dowolnego wyboru opcji dodatkowych Opcja wykupu: ożliwość zdefiniowania potrącenia przy wykupie oraz liczby lat, po których przysługuje wykup. Opcja udziału ubezpieczonego w zysku: ożliwość ustalenia sposobu podziału zysku, uzależnienia udziału w zysku od wybranej wysokości stopy procentowej lub stopy rezygnacji, ożliwość ustalenia fory wypłaty udziału w zysku oraz wpływu opcji na przyszłe stopy rezygnacji WYNIK TECHNICZNY Oczekiwany wynik techniczny z czynnej polisy ubezpieczeniowej obliczony w roku, dla =,,n, wynosi WT ( P + W C )( + i p, ) q+ D p + = S (3) p + s + SV p + ( s + )( W + B ) gdzie: X zienna losowa oznaczająca wiek ubezpieczonego w oencie śierci, wiek ubezpieczonego w oencie zawarcia uowy ubezpieczenia, p = Pr ( X > + X > ) prawdopodobieństwo, że osoba w wieku przeżyje jeszcze co najniej lat, to znaczy osiągnie wiek + lat, q = Pr ( X + X > ) prawdopodobieństwo, że osoba w wieku nie przeżyje lat, tzn. nie osiągnie wieku + lat, P wysokość składki ustalonej do zapłacenia przez ubezpieczonego w -ty roku trwania uowy ubezpieczenia, C koszty (akwizycji, inkasa i adinistracyjne łącznie) poniesione w dany roku trwania uowy ubezpieczenia, i, wysokość stopy zwrotu z inwestycji w roku trwania uowy ubezpieczenia, p W - rezerwa brutto obliczona na oent, dla = 0,,..., n, zgodnie ze wzore (7) oraz W = 0, n D wysokość świadczenia z tytułu śierci ubezpieczonego obowiązująca w roku trwania uowy ubezpieczenia, S wysokość świadczenia z tytułu dożycia przez ubezpieczonego wieku + lat, obowiązująca w roku trwania uowy ubezpieczenia,
7 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 2 s stopa rezygnacji w roku trwania uowy ubezpieczenia, SV wysokość wykupu przysługującego ubezpieczoneu w roku trwania uowy ubezpieczenia, B wysokość dywidendy przysługującej ubezpieczoneu w roku trwania uowy ubezpieczenia, Oczekiwany wynik techniczny obliczony w roku, dla =,..,n, wynosi gdzie ~ 0 = EWT = ~ p WT (4) ~ = + k. k = p, p p ( s ), dla WSKAŹNIKI RENTOWNOŚCI Zyskowność poszczególnych produktów ubezpieczeń na życie oceniana oże być za poocą wielu kryteriów (wskaźników rentowności). Dla ustalonej kohorty ubezpieczonych rentowność ubezpieczenia ustalana jest w oparciu iędzy innyi o zagregowaną wartość oczekiwaną wyniku technicznego EWT. W oawiany odelu istnieje ożliwość obliczenia wartości następujących wskaźników rentowności danego ubezpieczenia na życie: wartości obecnej netto (NPV), arży zysku, wewnętrznej stopy zwrotu (IRR), kapitału początkowego, arży wydatków, arży czasu, arży ryzyka. Wartość NPV obliczana jest jako sua oczekiwanych wyników technicznych w poszczególnych latach trwania kontraktu ubezpieczeniowego zdyskontowanych na oent jego zawarcia, to znaczy NPV = n ( +, k ) = k= i d EWT (5) Za stopę użytą do dyskontowania w roku przyjuje się zdefiniowaną przez użytkownika wartość stopy i d,, przy warunku, że i d, i p,. Marża zysku obliczana jest jako stosunek obecnej wartości oczekiwanych przyszłych zysków (strat) do obecnej wartości oczekiwanych przyszłych składek (przy stopie i d, wykorzystanej do dyskontowania). Wewnętrzna stopa zwrotu IRR jest równa hipotetycznej stopie procentowej (przy założeniu, że byłaby ona stała przez wszystkie lata obowiązywania kontraktu ubezpie-
8 22 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong czeniowego), przy której wartość NPV jest równa zero. Przy obliczaniu IRR skorzystano z wbudowanej funkcji arkusza kalkulacyjnego MS EXCEL. Kapitał początkowy jest równy suie, jaką zakład ubezpieczeń usiałby dodatkowo pozyskać w oencie zawarcia uowy ubezpieczenia, aby wartość NPV była równa zero. Marża wydatków określona jest jako stosunek poszczególnych kategorii oczekiwanych ujenych przepływów zakładu ubezpieczeń zdyskontowanych na oent zawarcia uowy do oczekiwanych składek zdyskontowanych na ten oent (przy stopie procentowej służącej do dyskontowania w roku równej i d, ). Ujene przepływy obejują: wypłaty ogółe (równe suie przyszłych świadczeń z tytułu zgonu, dożycia, wykupów i poniesionych kosztów), wypłaty świadczeń ogółe (równe suie świadczeń z tytułu zgonu i dożycia), wypłaty świadczeń z tytułu zgonu, wypłaty świadczeń z tytułu dożycia, wykupy, koszty (równe suie kosztów akwizycji pierwszorocznej, przyszłych kosztów inkasa i kosztów adinistracyjnych.) Marża czasu oznacza iloraz średniego czasu wypłaty świadczeń do średniego czasu napływu składek. Niech SW, dla =,,n, oznacza oczekiwaną wartość wypłaconych świadczeń z tytułu czynnej polisy w roku równą Niech ponadto SW + = p + S + q+ D + p+ s SV (6) SW = n ( + id, k ) = k= ~ p SW (7) Wówczas średni czas wypłaty świadczeń określay jako: E ( T ) SW = ( + i ) n d, k k= = SW ~ p SW (8) wariancję czasu wypłaty świadczeń
9 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 23 Var [ ] 2 ( T ) E( T ) E( T ) SW = (9) SW 2 SW Niech ponadto P = n ( + id, k ) = k= ~ p P (0) Wówczas przyjujey, że średni czas napływu składek jest równy: E ( T ) P = ( + i ) n d, k k= = P ~ p P () natoiast wariancja czasu napływu składek Marża czasu równa E Var ( TSW ) ( T ) E P [ ] 2 ( T ) E( T ) E( T ) P = (2) P 2 P określa ile razy przeciętny czas wypłaty świadczeń jest dłuższy od czasu napływu składki. Paraetr ten a istotne znaczenie przy ustalaniu polityki inwestycyjnej. Marża ryzyka zdefiniowana została jako iloraz współczynników zienności losowej czasu wypłaty świadczeń i czasu napływu składek. Współczynniki zienności losowej należą do klasycznych iar ryzyka. Zdefiniowana arża ryzyka oznacza więc w jaki stopniu ryzyko związane z wypłatą świadczeń przewyższa ryzyko związane z napływe składek. 3. OPIS TESTOWANYCH PRODUKTÓW 3.. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE TRADYCYJNE ORAZ UNIWERSALNE Prezentowany w niniejszej pracy odel oże być wykorzystany do testowania zyskowności produktów ubezpieczeniowych tradycyjnych oraz uniwersalnych. Tradycyjny ubezpieczenie na życie nazyway produkt, w który wysokości su ubezpieczenia oraz składek lub algoryty ich wyznaczania są ustalane w oencie zawierania uowy i obowiązują (niezienione) przez cały okres trwania uowy. Do tradycyjnych ubezpieczeń na życie zalicza się: dożywotnie i terinowe
10 24 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong ubezpieczenie na wypadek śierci, ubezpieczenie czyste na dożycie oraz ubezpieczenie ieszane na dożycie. Uniwersalny ubezpieczenie na życie nazyway produkt, w który wysokości su ubezpieczenia oraz składek ogą zieniać się każdego roku, a decyzję o zianie tych paraetrów podejuje sa ubezpieczony. Przy kalkulacji składek oraz rezerw przyjuje się jednak założenie, że paraetry ustalone przez ubezpieczonego, na początku kolejnego roku, pozostaną niezienione do końca trwania uowy SKŁADKI NETTO I BRUTTO Niezależnie od rodzaju ubezpieczenia, składki netto, płacone przez ubezpieczonego w kolejnych latach trwania uowy, oblicza się korzystając z zasady równoważności. Zasada równoważności (bilansu aktuarialnego) oznacza, że wartość oczekiwana, zdyskontowanych na oent zawarcia uowy, przepływów z tytułu śierci jest równa wartości oczekiwanej, zdyskontowanych na oent zawarcia uowy, przepływów z tytułu przeżycia. Zasadę równoważności [Gerber 997] ożey zapisać następujący równanie: + + v p q + = = 0 = 0 b π v p (3) gdzie: b jest wysokością świadczenia z tytułu śierci, które zakład ubezpieczeń wypłaci, jeżeli ubezpieczony urze w roku, czyli b = D dla =,2, n, oraz b = 0 dla > n, π jest wysokością przepływu, który pojawi się w oencie na skutek dożycia przez ubezpieczonego do oentu, dla = 0,,, v = jest stały w czasie czynnikie dyskontujący przepływy pieniężne. + i T Zasada równoważności opisana powyższy równanie pozwala wyznaczyć ciąg netto składek netto { P } n = dla dowolnie skonstruowanego produktu ubezpieczeniowego. Należy zwrócić uwagę, że ciąg płaconych składek { nie jest równoważny z netto P } n = ciągie przyszłych przepływów pieniężnych { π } =0. Ciąg { π } =0 uwzględnia bowie nie tylko przyszłe składki netto, ale także świadczenie { S } n wynikające z = przeżycia (uwaga: w równaniu są one zapisywane ze znakie inus!). Jako przykład, rozważyy terinowe n -letnie ubezpieczenie ieszane na dożycie, opłacane rocznyi składkai netto o stałej wysokości P, z którego w oencie
11 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 25 śierci wypłacone zostanie D, natoiast w oencie przeżycia n lat S. Składkę netto w ty ubezpieczeniu ożey obliczyć stosując etodę równoważności, gdzie π 0 = π =... = π n = P, π n = S, π = 0, > n, b = b2 =... = bn = D, b = 0, > n. Składka netto służy wyłącznie do pokrycia przyszłych świadczeń z tytułu ubezpieczenia. Nie należy jednak zapoinać, że zakład ubezpieczeń ponosi dodatkowe koszty z tytułu swojej działalności i zarządzania polisą. Ty say zakład ubezpieczeń zuszony jest pobierać od ubezpieczonego składkę brutto. Składkę brutto ożna przedstawić jako suę czterech składek : P brutto netto α β γ = P + P + P + P (4) α β γ gdzie P, P, P są składkai, które ają zrównoważyć, w aktuarialny sensie (zgodnie z zasadą równoważności), ponoszone w kolejnych latach trwania uowy α wydatki związane z kosztai akwizycji (składka P ), kosztai prowizji pośredników ubezpieczeniowych (składka P ) oraz kosztai adinistracyjnyi (składka β γ P ) REZERWA NETTO I BRUTTO Regulacje prawne nakazują tworzenie rezerw, z zachowanie ostrożności, w wysokości ustalonej etodą prospektywną. Dopuszcza się stosowanie etody retrospektywnej pod warunkie, ze daje ona wartości nie niższe od wartości rezerwy ustalonej etodą prospektywną lub gdy dla danej uowy ubezpieczenia nie jest ożliwe zastosowanie etody prospektywnej. Rezerwa netto na oent, V, według etody prospektywnej [Gerber 997], obliczana jest zgodnie ze wzore: + j+ ( + irez, ) j= 0 = + 0 V = 0, V = b p q (5) + j ( + rez, ) j= 0 = + + j + j+ j j j i π p dla gdzie i rez, jest techniczną stopą użytą do dyskontowania rezerw w roku. Łatwo zauważyć, że rezerwa netto obliczona na oent jest czynnikie bilansujący, w sensie aktuarialny, przyszłe przepływy z tytułu śierci oraz przyszłe przepływy z tytułu przeżycia.
12 26 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Powyższy wzór ożna przekształcić do postaci, która pozwala na obliczanie rezerw netto w sposób rekurencyjny, przy czy rekurencja jest wsteczna. nv = S n, π + irez, + = b+ q V p dla = n, n 2,...,, (6) 0 V = 0 ( )( ) V + + Rezerwę brutto W, ożey przedstawić jako suę czterech składników: α β γ α β γ W = V + V + V + V (7) gdzie V, V, V obliczane są zgodnie ze wzore (5), jako czynniki bilansujące, w sensie aktuarialny, przyszłe koszty akwizycji, prowizji pośredników ubezpieczeniowych, adinistracyjne oraz przyszłe wpływy ze składek P, P, P α β γ. 4. PRZYKŁADY WYKORZYSTANIA MODELU Prezentowany w pracy odel pozwala analizować wpływ zian wielu paraetrów na wybrane wskaźniki rentowności produktów ubezpieczeń na życie. Poniżej zaprezentowane zostały przykładowe wyniki analiz terinowego (dziesięcioletniego) ieszanego ubezpieczenia na dożycie. 800,00 600,00 Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny 400,00 200,00 0, ,00-400,00-600,00-800,00 Rok trwania uowy Rys.. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w kolejnych latach trwania uowy w zależności od scenariusza stopy procentowej
13 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 27 0,000 20,00% 0,0900 0,0800 Histogra Dystrybuanta epityczna 00,00% 0, ,00% 0,0600 Częstość 0,0500 0, ,00% 0, ,00% 0, ,00% 0,000 0,0000-2,50% -2,5% -,80% -,44% -,09% -0,74% -0,38% -0,03% 0,32% 0,68%,03%,38%,74% 2,09% 2,44% 2,80% 3,5% 3,50% Marża zysku 3,86% 4,2% 4,56% 4,92% 5,27% 5,62% 5,98% 6,33% 6,68% 7,04% 7,39% 7,74% 8,0%,00% Rys. 2. Rozkład epiryczny arży zysku (dla 000 scenariuszy stóp procentowych) Tysiące,60,40 Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny,20,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0, Okres płacenia składek w latach Lata trwania uowy Rys. 3. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w poszczególnych latach trwania uowy w zależności od okresu płacenia składek
14 28 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong Tysiące 30,00 25,00 20,00 Zdyskontow any oczekiwany wynik techniczny 5,00 0,00 5,00 0,00-5,00-0,00-5,00 S4 S7 S0 S3 S9 S6 Stopa rezerw Lata trwania uowy S Rys. 4. Zdyskontowany oczekiwany wynik techniczny w poszczególnych latach trwania uowy w zależności od przyjętej stopy rezerw (NPV <> 0, stopa dyskonta > stopa zwrotu) ,00 0,00% 6 000,00 NPV Marża zysku 8,00% 5 000, ,00 6,00% NPV 3 000, ,00 000,00 4,00% 2,00% Marża zysku 0,00-000, ,00 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0% % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 0,00% -2,00% ,00 Stopa rezerw -4,00% Rys. 5. NPV i arża zysku w zależności od przyjętej stopy rezerw (przy stopie dyskonta wyższej niż stopa zwrotu i równej 6%)
15 Analiza zyskowności produktów ubezpieczeń na życie 29 Na rysunku przedstawiona została zależność rentowności terinowego ieszanego ubezpieczenia na dożycie od scenariuszy stopy procentowej. Trajektorie stopy procentowej wygenerowane zostały przy poocy odelu CIR. Dodatkowo na rysunku przedstawiono średnie wartości zdyskontowane oczekiwanego wyniku technicznego oraz wartości percentyli rzędu 0,05 i 0,95. Rysunek 2 przedstawia histogra oraz skuulowane częstości rozkładu epirycznego (dystrybuantę epiryczną) arży zysku uzyskanego na podstawie wygenerowanych 000 scenariuszy stopy procentowej. Na rysunkach 3 i 4 przedstawiono zależność zdyskontowanego oczekiwanego wyniku technicznego w poszczególnych latach trwania uowy ubezpieczenia od, odpowiednio, okresu płacenia składek i stopy procentowej rezerw. Wpływ stopy rezerw na NPV oraz arżę zysku ilustruje rysunek PODSUMOWANIE Rynek ubezpieczeniowy w Polsce jest stosunkowo łody i wciąż znajduje się w fazie rozwoju. Wejście Polski do Unii Europejskiej oznacza zwiększenie konkurencji wśród zakładów ubezpieczeń (brak barier wejścia na polski rynek dla zagranicznych fir ubezpieczeniowych) oferując z drugiej strony korzyści z działania na jednolity rynku ubezpieczeniowy. W tej sytuacji, analiza zyskowności i wypłacalności prowadzonej działalności staje się dla zakładów ubezpieczeń bardzo istotna. Z uwagi na powyższe, zadanie, jakie postawili sobie autorzy artykułu, było skonstruowanie odelu służącego do badania zyskowności produktów ubezpieczeń na życie, zaś cele artykułu przedstawienie przyjętych w odelu założeń, podstawowych probleów związanych z budową takiego odelu, a także przykładowych rezultatów uzyskanych przy poocy skonstruowanego odelu. Skonstruowany odel testu zyskowności produktów ubezpieczeń z pierwszej grupy działu I jest narzędzie bardzo elastyczny oraz wszechstronny, które pozwala na szczegółową analizę zyskowności ze względu na zianę wielu paraetrów, zarówno dotyczących bezpośrednio produktów, jak i związanych z otoczenie akroekonoiczny, w jaki zakład ubezpieczeń prowadzi działalność. Model uożliwia przeprowadzenie testu zyskowności całej szerokiej gay indywidualnych (na jedno życie) produktów z grupy pierwszej działu I, o czy świadczy uwzględnienie uniwersalnego ubezpieczenia na życie. Ubezpieczenie uniwersalne zazwyczaj nie jest opisywane w literaturze dotyczącej testów zyskowności ubezpieczeń na życie. Model testu zyskowności oże z powodzenie spełniać funkcję edukacyjną, poagając w zrozuieniu istoty funkcjonowania poszczególnych produktów ubezpieczeń na życie oraz czynników ających wpływ na przepływy finansowe związane z dany produkte. Dzięki zastosowaniu powszechnie znanej aplikacji (Ecel) i pro-
16 30 Wojciech Bijak, Maja Mandela, Łukasz Delong stego języka oprograowania (Visual Basic), oże być przez użytkownika łatwo odyfikowany i rozbudowywany o inne produkty (np. rentowe lub ałżeńskie), kolejne paraetry produktów (np. wynikające z prowadzonego underwritingu edycznego) lub wzbogacany o nowe odele czynników zewnętrznych (np. różne odele stopy procentowej). LITERATURA AHLGRIM, K.C., D ARCY, S.P., GORVETT, R.W Paraetrizing Interest Rate Models. Casualty Actuarial Society Foru; ss. 50. CAIRNS, A Interest-Rate Models; [w:] Encyclopaedia of Actuarial Science. Wiley. CONANT, S., DESOUTTER, N.L., LONG, D.L., MACGROGAN, R Managing for Solvency and Profitability in Life and Health Insurance Copanies. LOMA, Atlanta. GERBER, H.U Life Insurance Matheatics. Springer, Swiss Association of Actuaries, Zürich, Berlin, Heidelberg, New York (third edition). HARE, D.J.P., MCCUTCHEON, J.J. 99. An Introduction to Profit Testing. Institute of Actuaries, London. JAKUBOWSKI, J., PALCZEWSKI, A., RUTKOWSKI, M., STETTNER, Ł Mateatyka finansowa - instruenty pochodne. WNT, Warszawa. Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 6 grudnia 2003 roku w sprawie zakresu inforacji zawartych w roczny raporcie o stanie portfela ubezpieczeń; Dz. U. z 2003 roku, nr 222, poz
ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 2 listopada 2010 r.
1409 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 2 listopada 2010 r. w sprawie zakresu informacji zawartych w rocznym raporcie o stanie portfela ubezpieczeń i reasekuracji zakładu ubezpieczeń Na podstawie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 6: SKŁADKI OKRESOWE Składki okresowe netto Umowę pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym dotyczącą ubezpieczenia na życie nazywa się polisą ubezpieczeniową
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoKarta Produktu. Ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ
Klient: Jan Kowalski Karta Produktu Ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Ubezpieczyciel: Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie ABC S.A. Agent ubezpieczeniowy: Zbigniew Nowak Karta
Bardziej szczegółowoCU Gwarancja Nowe Horyzonty
inwestycje Produkty gwarantowane CU Gwarancja Nowe Horyzonty W ofercie od 9 marca do 3 kwietnia 2009 roku Dzięki ochronie 100% wpłaconego kapitału możesz osiągać stabilne zyski wbrew obecnym trendom rynkowym
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWSTĘP ZAŁOŻENIA DO PROJEKTU
UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Przykład analizy opłacalności przedsięwzięcia inwestycyjnego WSTĘP Teoria i praktyka wypracowały wiele metod oceny efektywności przedsięwzięć inwestycyjnych.
Bardziej szczegółowoKarta Produktu dla ubezpieczenia na życie i dożycie z Ubezpieczeniowym Funduszem Kapitałowym Nowa Czysta Energia Zysku
Niniejszy dokument stanowi przykład Karty Produktu przygotowanej w związku z VI subskrypcją ubezpieczenia na życie i dożycie z UFK Nowa Czysta Energia Zysku, uwzględniający kwotę w wysokości 10 tys. zł.
Bardziej szczegółowoTesty na utratę wartości aktywów case study. 2. Testy na utratę wartości aktywów w ujęciu teoretycznym
Roksana Kołata Dariusz Stronka Testy na utratę wartości aktywów case study 1. Wprowadzenie Zgodnie z prawem bilansowym wycena aktywów w bilansie powinna być poddawana regularnej ocenie. W sytuacji, gdy
Bardziej szczegółowo1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci
1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli
Bardziej szczegółowoAnaliza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI
Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoMetody aktuarialne - opis przedmiotu
Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIA NA ŻYCIE
UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoLXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoAudit&Consulting services Katarzyna Kędziora. Wielowymiarowość zasad rachunkowości finansowej zakładów ubezpieczeń
Wielowymiarowość zasad rachunkowości finansowej zakładów www.acservices.pl Warszawa, 24.10.2013r. Agenda 1. Źródła przepisów prawa (PSR, MSSF, UE, podatki, Solvency II) 2. Przykłady różnic w ewidencji
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowodr Hubert Wiśniewski 1
dr Hubert Wiśniewski 1 Agenda: 1. Istota gospodarki finansowej. 2. Cechy charakterystyczne gospodarki finansowej zakładów ubezpieczeń. 3. Wybrane elementy sprawozdawczości finansowej zakładów ubezpieczeniowych:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń życiowych r.
1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po
Bardziej szczegółowoKarta Produktu. zgodna z Rekomendacją PIU. dla ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ
Karta Produktu zgodna z Rekomendacją PIU dla ubezpieczenia na życie z ubezpieczeniowym funduszem kapitałowym XYZ Ubezpieczony Klient: Jan Kowalski Ubezpieczyciel: Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie ABC S.A.
Bardziej szczegółowoLV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.
Koisja Egzainacyjna dla Aktuariuszy LV Egzain dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część II Mateatyka ubezpieczeń życiowych Iię i nazwisko osoby egzainowanej:... Czas egzainu: 100 inut Warszawa, 13 grudnia
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoProgram określonych składek. Zgodnie z programem określonych składek:
Rachunkowość programów określonych składek jest prosta, ponieważ zobowiązanie za każdy okres ustala się na podstawie kwot składek do wniesienia za dany rok. Program określonych składek Zgodnie z programem
Bardziej szczegółowoLXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoPION NADZORU UBEZPIECZENIOWO-EMERYTALNEGO DEPARTAMENT MONITOROWANIA RYZYK
METODYKA PRZEPROWADZANIA TESTÓW STRESU W ZAKŁADACH UBEZPIECZEŃ I W ZAKŁADACH REASEKURACJI ZA 2010 ROK URZĄD KOMISJI NADZORU FINANSOWEGO WARSZAWA, LUTY 2011 PION NADZORU UBEZPIECZENIOWO-EMERYTALNEGO DEPARTAMENT
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE Z LOSOWĄ STOPĄ PROCENTOWĄ Krzysztof Janas Michał Krzeszowiec Koło Nauk Aktuarialnych Politechniki Łódzkiej Warszawa, 09-11.06.2008 r. Plan Założenia wstępne: Teoria oprocentowania
Bardziej szczegółowoZarządzanie wartością przedsiębiorstwa
Zarządzanie wartością przedsiębiorstwa 3.3 Metody dochodowe Do wyceny przedsiębiorstwa stosuje się, obok metod majątkowych - metody dochodowe, często określane mianem metod zdyskontowanego dochodu ekonomicznego.
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik
Bardziej szczegółowoPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2017/2018 Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek studiów: Matematyka
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan
Bardziej szczegółowoCU Gwarancja Globalne Inwestycje III
W ofercie od 25 sierpnia do 19 września 2008 roku. Produkty gwarantowane CU Gwarancja Globalne Inwestycje III Dzięki mechanizmowi zabezpieczenia korzystnych stóp zwrotu i jednoczesnej ochronie 100% wpłaconego
Bardziej szczegółowoPodsumowanie raportu z wyceny wartości Hubstyle Sp. z o.o.
Podsumowanie raportu z wyceny wartości Hubstyle Sp. z o.o. Niniejszy dokument stanowi podsumowanie raportu z wyceny wartości Spółki Hubstyle Sp. z o.o. na 9 kwietnia 2014 roku. Podsumowanie przedstawia
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki. Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje
System finansowy gospodarki Zajęcia nr 7 Krzywa rentowności, zadania (mat. fin.), marża w handlu, NPV i IRR, obligacje Krzywa rentowności (dochodowości) Yield Curve Krzywa ta jest graficznym przedstawieniem
Bardziej szczegółowodr Danuta Czekaj
dr Danuta Czekaj dj.czekaj@gmail.com POLITYKA INWESTYCYJNA W HOTELARSTWIE PIH TiR_II_ST3_ZwHiG WYKŁAD_ E_LEARNING 2 GODZINY TEMAT Dynamiczne metody badania opłacalności inwestycji w hotelarstwie 08. 12.
Bardziej szczegółowoJak wybrać kredyt? Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej. 22 listopada 2014
Waldemar Wyka Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 22 listopada 2014 Plan prezentacji 1 Powtórzenie 2 3 Plany spłaty długu - stałe raty Plany spłaty długu - stałe raty kapitałowe Plany spłaty długu
Bardziej szczegółowoIstota metody DCF. (Discounted Cash Flow)
Istota metody DCF (Discounted Cash Flow) Metoda DCF to: Sposób wyceny przedsiębiorstwa i jego kapitałów własnych oparty o zdyskontowane przepływy pieniężne. Wolne przepływy pieniężne (Free Cash Flows)
Bardziej szczegółowoStruktura terminowa rynku obligacji
Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie
Bardziej szczegółowo0 Rachunek czasu. Informacje pierwotne: początkowa i końcowa data inwestycji.
0 Rachunek czasu Inforacje pierwotne: początkowa i końcowa data inwestycji. Konwencja: nie naliczay odsetek za początkowy dzień trwania inwestycji, naliczay za końcowy. Liczba dni trwania inwestycji liczba
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2
JOANNA DĘBICKA 1, BEATA ZMYŚLONA 2 MODELOWANIE STRUKTURY PROBABILISTYCZNEJ UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH Z OPCJĄ ADBS X OGÓLNOPOLSKA KONFERENCJA AKTUARIALNA ZAGADNIENIA AKTUARIALNE TEORIA I PRAKTYKA WARSZAWA,
Bardziej szczegółowoAnalizy finansowo - ekonomiczne w projektach PPP
Analizy finansowo - ekonomiczne w projektach PPP Uzasadnienie biznesowe Metodyka Prince II AXELOS Limited Zestaw informacji umożliwiający ocenę czy projekt jest i pozostaje zasadny Projekt bez uzasadnienia
Bardziej szczegółowoOGÓLNE RENTY ŻYCIOWE
OGÓLNE RENTY ŻYCIOWE M. BIENIEK Rentą życiową nazywamy kontrakt między ubezpieczycielem a ubezpieczonym, w którym ubezpieczony w zamian za określoną opłatę, zwaną składką, otrzymuje ciąg z góry określonych
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3
Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu
Bardziej szczegółowoS Składki, odszkodowania i świadczenia oraz koszty wg linii biznesowych
S.02.01.02 Bilans Wartość bilansowa wg Wypłacalność II Aktywa Wartości niematerialne i prawne R0030 0 Aktywa z tytułu odroczonego podatku dochodowego R0040 0 Nadwyżka na funduszu świadczeń emerytalnych
Bardziej szczegółowo1. Wzrost zbyt szybki prowadzi do utraty samodzielności firmy (take-over). 2. Jednym z założeń modelu wzrostu zrównoważonego jest płynna struktura
1. Wzrost zbyt szybki prowadzi do utraty samodzielności firmy (take-over). 2. Jednym z założeń modelu wzrostu zrównoważonego jest płynna struktura kapitałowa. 3. Wskaźnik zysku zatrzymanego to iloraz przyrostu
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowo1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)
II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika
Bardziej szczegółowoForward Rate Agreement
Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.
Bardziej szczegółowoMetody niedyskontowe. Metody dyskontowe
Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoProf. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk
Prof. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk 1. Zakup akcji, udziałów w obcych podmiotach gospodarczych według cen nabycia. 2. Zakup akcji i innych długoterminowych papierów wartościowych, traktowanych jako
Bardziej szczegółowoMetodyka wyliczenia maksymalnej wysokości dofinansowania ze środków UE oraz przykład liczbowy dla Poddziałania 1.3.1
Załącznik nr 10 do Regulaminu konkursu nr POIS.1.3.1/1/2015 Program Operacyjny Infrastruktura i Środowisko 2014-2020 Metodyka wyliczenia maksymalnej wysokości dofinansowania ze środków UE oraz przykład
Bardziej szczegółowoLXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Bardziej szczegółowo4. Ubezpieczenie Życiowe
4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego
Bardziej szczegółowoLX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28
Bardziej szczegółowoRezerwy techniczno-ubezpieczeniowe dla celów wypłacalności - różnice w stosunku do PSR
Rezerwy techniczno-ubezpieczeniowe dla celów wypłacalności - różnice w stosunku do PSR Adam Fornalik Łukasz Licznerski Warszawa, dnia 22 listopada 2016 r. Seminarium Polskiej Izby Ubezpieczeń Zamknięcie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy
Bardziej szczegółowo= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1
1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza
Bardziej szczegółowoDobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995.
Bibliografia Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN Warszawa- -Kraków 1995. Elton E.J., Gruber M.J., Nowoczesna teoria portfelowa i analiza papierów wartościowych,
Bardziej szczegółowodr hab. Marcin Jędrzejczyk
dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa Kod przedmiotu
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Kod przedmiotu 11.5-WK-IiEP-MFU-W-S14_pNadGenD94HY Wydział Kierunek Wydział
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 1: UWAGI WSTĘPNE. PROCENT SKŁADANY 1. Uwagi wstępne Ryzyko jest związane z niealże każdy rodzaje działalności człowieka: przy planowaniu urlopu ryzyko słabej
Bardziej szczegółowoRACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE Projekt Nakłady inwestycyjne, pożyczka + WACC Prognoza przychodów i kosztów Prognoza rachunku wyników Prognoza przepływów finansowych Wskaźniki
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:
Bardziej szczegółowomgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2
Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane
Bardziej szczegółowoWarszawa, dnia 31 grudnia 2015 r. Poz ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 22 grudnia 2015 r.
DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 31 grudnia 2015 r. Poz. 2338 ROZPORZĄDZENIE 1), 2) MINISTRA FINANSÓW z dnia 22 grudnia 2015 r. w sprawie szczegółowego sposobu wyliczenia wysokości
Bardziej szczegółowoWycena przedsiębiorstw w MS Excel
Wycena przedsiębiorstw w MS Excel Piotr Kawala Co właściwie wyceniamy? Wyceniając firmę szacujemy zazwyczaj rynkową wartość kapitału własnego (wartość netto), W przypadku wyceny spółki akcyjnej szacujemy
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,
Bardziej szczegółowoLXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoXXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoWarszawa, dnia 30 grudnia 2015 r. Poz. 2321 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 grudnia 2015 r.
DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 30 grudnia 2015 r. Poz. 2321 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 23 grudnia 2015 r. w sprawie szczegółowego sposobu obliczania podstawowego
Bardziej szczegółowoTU Allianz Życie Polska S.A. Bilans zakładu ubezpieczeń (w tys. złotych)
TU Allianz Życie Polska S.A. Bilans zakładu ubezpieczeń (w tys. złotych) Sprawozdanie finansowe za rok zakończony dnia 31 grudnia 2012 roku Aktywa A Wartości niematerialne i prawne 7 900 8 303 1. Wartość
Bardziej szczegółowoRegulamin lokowania środków Ubezpieczeniowego Funduszu Kapitałowego. generali.pl
Regulamin lokowania środków Ubezpieczeniowego Funduszu Kapitałowego generali.pl Regulamin lokowania środków Ubezpieczeniowego Funduszu Kapitałowego Generali Życie T.U. S.A. REGULAMIN LOKOWANIA ŚRODKÓW
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa w pakiecie Matlab
Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka
Bardziej szczegółowoAktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia
Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,
Bardziej szczegółowoWYSZCZEGÓLNIENIE STAN NA STAN NA
Towarzystwo Ubezpieczeń Wzajemnych "CUPRUM" ul. M. Skłodowskiej-Curie 82 59-301 Lubin Nr statystyczny REGON: 390294404 OGÓLNY RACHUNEK ZYSKÓW I STRAT UBEZPIECZYCIELA sporządzony na dzień: 2014-12-31 Adresat:
Bardziej szczegółowoLXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoLXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoBILANS AKTYWA Towarzystwa Ubezpieczeń Wzajemnych "CUPRUM" według stanu na r. Wyszczególnienie początek okresu koniec okresu
BILANS AKTYWA Towarzystwa Ubezpieczeń Wzajemnych "CUPRUM" według stanu na 31.12.2012 r Wyszczególnienie początek okresu koniec okresu A B C A. Wartości niematerialne i prawne 174 736,80 157 553,89 1. Wartość
Bardziej szczegółowoANALIZA WSKAŹNIKOWA. Prosta, szybka metoda oceny firmy.
ANALIZA WSKAŹNIKOWA Prosta, szybka metoda oceny firmy. WSKAŹNIKI: Wskaźniki płynności Wskaźniki zadłużenia Wskaźniki operacyjności Wskaźniki rentowności Wskaźniki rynkowe Wskaźniki rynkowe: Szybkie wskaźniki
Bardziej szczegółowoRYZYKO. Rodzaje ryzyka w działalności gospodarczej Włączanie ryzyka w projekcji strumieni finansowych
RYZYKO Rodzaje ryzyka w działalności gospodarczej Włączanie ryzyka w projekcji strumieni finansowych RYZYKO w PLANOWANIU BIZNESOWYM SYSTEMATYCZNE Oddziałuje na cały rynek Jest ryzykiem zewnętrznym Firma
Bardziej szczegółowoCEL PRACY ZAKRES PRACY
CEL PRACY. Analiza energetycznych kryteriów zęczenia wieloosiowego pod względe zastosowanych ateriałów, rodzajów obciążenia, wpływu koncentratora naprężenia i zakresu stosowalności dla ałej i dużej liczby
Bardziej szczegółowoCU Gwarancja Mistrzowie Inwestowania
W ofercie od 25 sierpnia do 19 września 2008 roku. Produkty gwarantowane CU Gwarancja Mistrzowie Inwestowania Mogę zarabiać, korzystając z wiedzy i doświadczenia liderów światowych inwestycji. Najważniejsze
Bardziej szczegółowo1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe
Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty
Bardziej szczegółowoLXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoUbez piecz enie ersalne saln D am a en e t n ow o a a S t S rat ra eg e i g a
Ubezpieczenie Uniwersalne Diamentowa Strategia 17 październik 2012 Diamentowa Strategia pozwoli Ci zabezpieczyć finansowo rodzinę przed utratą głównych dochodów w przypadku: inwalidztwa, poważnego zachorowania,
Bardziej szczegółowoROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 28 listopada 2003 r.
Dz.U.03.211.2060 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 28 listopada 2003 r. w sprawie sposobu wyliczenia wysokości marginesu wypłacalności oraz minimalnej wysokości kapitału gwarancyjnego dla działów
Bardziej szczegółowo