WYKORZYSTANIE FUNKCJI GIĘTYCH DO OBLICZANIU PARAMETRÓW GRADIENTOWYCH W PROGNOZOWANIU JAKOŚCI ODLEWÓW

Transkrypt

1 39/14 Archives of Foundry, Year 24, Volume 4, 14 Archiwum Odlewnictwa, Rok 24, Rocznik 4, Nr 14 PAN Katowice PL ISSN WYKORZYSTANIE FUNKCJI GIĘTYCH DO OBLICZANIU PARAMETRÓW GRADIENTOWYCH W PROGNOZOWANIU JAKOŚCI ODLEWÓW P. MIKOŁAJCZAK 1, Z. IGNASZAK 2 Politechnika Poznańska, Instytut Technologii Materiałów, ul. Piotrowo 3, POZNAŃ STRESZCZENIE Skuteczność prognoz symulacyjnych (prowadzonych w ramach Virtual Prototyping) zależy od szerokiego spektrum czynników na etapie pre- oraz postprocessingu, a m.in. dotyczy to dyskretyzacji przestrzennej. W pracy analizowano problem dyskretyzacji przestrzennej oraz metody minimalizacji błędów z niej wynikających. Zaproponowano i przetestowano nowy sposób obliczania gradientu temperatury metodą szacowania gradientu za pomocą funkcji giętych. Rozważano wybrane metody takiej aproksymacji dla wybranych obszarów odlewu i różnej liczby węzłów.. Key words: casting, Virtual Prototyping, simulation, post-processing parameters, spatial discretization, mesh, approximation, spline functions. 1. WPROWADZENIE W najnowocześniejszych metodach projektowania technologii i produkcji w obszarze technologii materiałowych (odlewnictwo, przeróbka plastyczna, spawalnictwo, przetwórstwo tworzyw sztucznych,) takich wyrobów np. jak elementy maszyn i urządzeń metoda wirtualizacji procesów wytwarzania znajduje sobie na trwałe prawo obywatelstwa jako Virtual Prototyping (VP) [1]. Historycznie (od lat osiemdziesiątych), technologie odlewania jako pierwsze zostały objęte tym trendem. Tak jak w technologiach odlewniczych, w pokrewnych, które dołączyły w późniejszym okresie, 1 dr inż., Piotr.MIKOLAJCZAK@put.poznan.pl 2 prof. dr hab. inż., Zenon.IGNASZAK@put.poznan.pl

2 292 metoda VP polega na optymalizowaniu wirtualnej marszruty technologicznej, na drodze wirtualnego prognozowania jakości wyrobu, z zastosowaniem przyjętych kryteriów ilościowych. Na kryteriach tych, które wchodzą w zakres tzw. post processingu, spoczywa szczególna odpowiedzialność, gdyż to one w sposób w miarę jednoznaczny powinny wskazać technologowi ewentualne zagrożenia i kierunek działania polegający na celowych modyfikacjach projektu technologicznego. W artykule, na przykładzie zagadnień prognozowania jakości w wirtualnym procesie odlewania, pokazano wybrane, ważne aspekty problematyki kryteriów gradientowych stosowanych w zaawansowanym post processingu systemów symulacyjnych VP. 2. MODELE I ICH WYKORZYSTANIE DO SYMULACJI VP Wykorzystanie metod VP stało się możliwe dzięki postępom w zakresie badań podstawowych (poszerzeniu wiedzy o podstawowych procesach fizycznych zachodzących podczas tworzenia wyrobu), rozwojowi modeli tych procesów oraz coraz większym mocom komputerów. Celem modelowania w procesach odlewania jest wygenerowanie opisu (w czasie i przestrzeni) ruchu powierzchni rozdziału pomiędzy fazą ciekła i stałą [2,3,4]. Aplikacja takich modeli w systemach symulacyjnych VP zawiera głównie oczekiwane prognozy dotyczące ścisłości odlewów, a więc wskazania lokalnego stanu ciągłości ich struktury i jej przełożenia na mechaniczne charakterystyki eksploatacyjne wyrobu. Przy opisie stanu rozwinięcia powierzchni pomiędzy fazą ciekłą formalnie można uwzględniać trzy skale wymiarowe: makro, mikro i nano. Podstawowym wiodącym modelem, wchodzącym w zakres wszystkich systemów symulacyjnych jest model transportu ciepła opisany równaniem Fourier-Kirchhoff a (skala makro). Model transportu w cieczy (równanie Naviera Stockes a i równanie ciągłości strugi), sprzężony z tym pierwszym, jest nieodzowny przy symulowaniu wypełniania wnęki formy. Z kolei podstawą do przewidywania naprężeń i odkształceń podczas stygnięcia odlewów w formie jest odpowiednie zdefiniowanie i rozwiązanie modelu będącego równaniem konstytutywnym dla przypadku odkształceń sprężystych i sprężysto plastycznych. W skali mikro pojawiło się obiecujące wykorzystanie techniki numerycznej tzw. automatów komórkowych CA (sprzężone z modelem cieplnym) pozwalające na prognozowanie struktury dendrytycznej odlewów, rozłożenie i wielkości ziaren (model deterministyczny i probabilistyczny). Jeszcze bardziej zagłębiona w skalę mikro jest metoda zwana Phase-Field Method, pozwalająca na symulację dendrytycznego wzrostu ziarn, z prognozą kształtu dendrytów. W prognozowaniu mikro rozwijane są również modele oparte na siatce w skali makro ujmujące zagadnienia mikro globalnie w obrębie danego elementu, wyodrębnionego z układu makro. Jak wspomniano powyżej, model cieplny jest najprostszym, ale jednocześnie podstawowym i najważniejszym z modeli fizycznych w symulacji procesów odlewniczych. Model ten wymaga znajomości stosunkowo mało licznego zestawu danych termofizycznych, które relatywnie do innych wyżej wymienionych modeli, są

3 293 łatwiejsze do zidentyfikowania i sformułowania [1,5,2]. Pomimo tej pozornej prostoty, łatwości badania i prostszej akwizycji eksperymentalnych danych pomiarowych, zastosowanie modelu cieplnego z błędnie dobranymi parametrami prowadzi do zdecydowanie błędnych prognoz stanu jakości odlewu [1]. Parametry te noszące charakter efektywnych lub zastępczych, wymagane w modelu cieplnym:(przewodność cieplna, ciepło właściwe c, gęstość, utajone ciepło krystalizacji L, krzywa ułamka fazy stałej f s zarówno dla materiału odlewu jak i formy) są ściśle związane nie tylko ze specyfiką charakteryzowanego materiału, ale i uproszczeniami w modelu.. Jednocześnie wiadomo, że istotnym czynnikiem wpływającym na wyniki symulacji jest także dyskretyzacja przestrzenna (rodzaj siatki elementów dyskretyzacyjnych zależny od metody numerycznej oraz stopień zagęszczenia siatki). 3. OPIS I DYSKUSJA PROBLEMU W [6] opisano przeprowadzone badania wpływu sposobu i gęstości dyskretyzacji (ilości elementów reprezentujących dany podobszar) na wyniki symulacji wypełniania wnęki formy dla odlewu o kształcie płyty, z czterema rodzajami układu wlewowego oraz czterema rodzajami siatki dyskretnej. Wykazano w nich znaczący wpływ rodzaju siatki objętości skończonych (metoda FVM) na wyniki prognozowanego wypełniania formy. Obliczenia dla przepływu w zakrzywionym układzie wlewowym, przy zastosowaniu siatki ortogonalnej dały wyniki niezgodne z badaniami eksperymentalnymi, a mianowicie ponad dwukrotne wydłużenie czasu wypełniania i perturbacje w jego wirtualnym przebiegu.. W pracach naszego laboratorium badano wpływ zagęszczenia siatki przestrzennej na wyniki symulacji krzepnięcia odlewów testowych z użyciem własnego, źródłowego systemu symulacyjnego ZIG (FDM, 2D) [7] oraz systemu SIMTEC, (FEM, 3D [7]), stosowanego w europejskich biurach technologicznych odlewni. W przypadku zastosowania systemu ZIG stwierdzono, że zwiększenie liczby n elementów dyskretyzacyjnych powoduje zróżnicowanie oddziaływanie na analizowane parametry (dla odlewu wykonywanego w formie piaskowej jak i w formie z ochładzalnikiem, w której wymiana ciepła odbywa się znacznie intensywniej). Wskazano na tendencje do skracania czasów krzepnięcia ze wzrostem liczby węzłów n oraz wzrost wartości parametrów gradientowych: gradientu G i kryterium Niyamy N. W obliczeniach realizowanych za pomocą systemu SIMTEC zanotowano odwrotne zachowanie się wartości parametrów gradientowych w funkcji zwiększania zagęszczenia elementów dyskretyzacyjnych. Wykazano zawężenie wirtualnego frontu krzepnięcia dla przypadku wzrostu zagęszczenia dyskretyzacji, wykonując badania za pomocą systemu MAGMAsoft [8] (rys. 1). Wyraźna zmiana pola temperatury w odlewie może tylko oznaczać zmianę sposobu wirtualnego krzepnięcia. Zmiany dotyczą parametrów kinetycznogradientowych (np. gradientu temperatury G), a także prognoz wskazujących wprost wady braku ścisłości (nieciągłość) typu feeding/porosity (rys. 1).

4 294 c) b) Temp. scale a) c) Temperatura w odlewie płyty Temperature in plate casting a) Wada skurczowa Shrinkage Rys. 1. Temperatura oraz wada skurczowa (prognoza Feeding z prawej) w odlewie płyty staliwnej (T L =154 C, T S =1417 C) odlewanej do formy piaskowej. Symulacja system MAGMAsoft dla różnego stopnia dyskretyzacji przestrzennej, z liczbą objętości skończonych (metoda FVM) wzdłuż krawędzi płyty: a) , b) , c) [8]. Widoczny wzrost zróżnicowania wartości temperatury (z prawej) na przekroju odlewu oraz zawężony front krzepnięcia. Fig. 1. Temperature and shrinkage (prevision Feeding on the right) in the steel plate casting (TL=154 C, TS=1417 C) poured into sand mould. Numerical simulation system MAGMAsoft calculate with different density of spatial discretization, number of mesh elements along plate dimensions: a) , b) , c) [8]. Increasing difference for temperature values (on the left) in casting cross section and the narrowed down solidification front (mushy zone). Testy systemu PamCast /SIMULOR opartego o metodę FVM (w zasadzie analogiczną do FDM) wykazały również, że zmiany w dyskretyzacji mogą prowadzić do błędnej oceny zdolności do zasilania dla odlewanego stopu (na przykładzie odlewów staliwnych z ochładzalnikami zewnętrznymi) [9]. Wykazano znaczenie doboru liczby elementów (objętości skończonych) w powiązaniu z wartościami krytycznego ułamka

5 295 zasilania masowego f s1 i kapilarnego f s2 (pozostałe parametry charakteryzujące właściwości stopu zachowano jako stałe). Prognozy stanu jakości odlewu wykazały mniejszy obszar wirtualnych porowatości prognoza o nazwie Shrinkage w systemie PamCast) dla zagęszczonej siatki elementów (dla stopu o f s1 =.1 i f s2 =.5), niż dla grubej siatki i innego stopu o teoretycznie korzystniejszych metalurgicznych warunkach zasilania (f s1 =.7 i f s2 =.9). W pracy [2] przeprowadzono szczegółowe badania wpływu dyskretyzacji przestrzeni (używano systemu PamCast /SIMULOR ) dla wybranej geometrii układu odlew-forma. Badania objęły odlewy staliwne o grubości g=1, 1 i 2 mm, wykonywane: w formie piaskowej, w formie z ochładzalnikiem stalowym oraz w formie z materiałów izolacyjnych. Analizowano zarówno rejony odlewu przy powierzchni kontaktu z formą, jak i w jego głębi. Testom poddano gradientowe parametry post-processingowe obliczane dla przypadków różnego zaawansowaniu krzepnięcia (fraction solide) f s =.,.25,.5,.75 i 1. oraz zgęszczeniu siatki dyskretyzacyjnej, scharakteryzowanym liczbą elementów n: n=5, 15, 25, 35, 45, 55 i 95 oraz n=5, 15, 25,..., 95. Rezultaty badań wskazały na bardzo złożony i wymagający analizy wpływ dyskretyzacji na gradientowo kinetyczne parametry post-processingowe. Podstawowymi spośród badanych parametrów post-processingowych były gradient temperatury G oraz szybkość stygnięcia R. Obydwie wielkości nazywane są w literaturze gradientami tzn. gradientem pola temperatury odpowiednio: w przestrzeni i czasie [1]. Analizując zmiany wartości gradientu temperatury ze zmianami zagęszczenia dyskretyzacji przestrzeni [7] należy zwrócić uwagę na wiążącą się z tym zmianę profilu temperatury na przekroju odlewu wraz ze zmianą liczby węzłów n [2,11]. W pracy [11] zaproponowano nową metodę prowadzącą do ograniczenia wpływu sposobu dyskretyzacji przestrzeni na obliczane wartości gradientu temperatury w węźle, polegającą na lokalnym wyprowadzeniu funkcji ciągłej w oparciu o wirtualne wartości temperatury w dostępnych węzłach przestrzeni odlewu T(x), otaczających analizowany węzeł i następnym analitycznym obliczeniu gradientu jako pochodnej uzyskanej funkcji ciągłej w tym węźle. Do aproksymowania pola temperatury wykorzystywano funkcje wielomianowe (polynomial functions) [11] oraz funkcję błędów Gaussa (error function) [12]. Poniżej przetestowano wykorzystanie w tym celu funkcji giętych (ang. spline functions). 4. OPIS METODYKI BADAŃ SYMULACYJNYCH Wzięto pod uwagę odlew o kształcie płyty staliwnej, o grubości 1 mm (jeżeli zachodził przypadek symetrii warunków cieplnych rozważono połowę jej grubości). Funkcje gięte wyznaczono w oparciu o dane temperaturowe pochodzące z węzłów podziału przestrzennego w metodzie FDM przy liczbie n=5 (odległoś ć między węzłami 1 mm). W badaniach wykorzystano rezultaty symulacji [2] w postaci pola temperatur oraz parametrów post-processingowych obliczonych za pomocą systemu

6 296 PamCast /SIMULOR. Dane termofizyczne oraz warunki brzegowo-początkowe zastosowane w obliczeniach symulacyjnych przedstawia tablica 1 [2]. Tablica 1. Dane termofizyczne oraz warunki brzegowo początkowe użyte w symulacji numerycznej [2]. Table 1. Thermo-physical properties and initial-boundary conditions for numerical simulation [2]. Materiał [W/m K] c [J/kg K] [kg/m 3 ] T pocz [ o C] Staliwo* L =23 c L =837 L =71 S =29 c S =68 S = Masa piaskowa A Ochładzalnik** C *T L =1511 o C, T S =1469 o C, L=271 kj/kg **Współczynnik przenikania ciepła odlew-ochładzalnik =5 [W/m 2 ] Do aproksymacji wykorzystano dwie opcje metody uwzględniające różne lokalizacje węzłów w obszarze układu odlew-forma. Metoda SI uwzględnia pole temperatury jedynie w odlewie dla podziału dyskretnego n=5. Dla każdego z węzłów, dla którego obliczano lokalny gradient temperatury, uwzględniano pole temperatury panujące w chwili czasu odpowiadającej f s zaawansowaniu zakrzepnięcia węzła, zawsze w tym samym obszarze węzłów, od p1 do p5 lub p1 do p1. Rozważono dwie opcje: przyjmowano, że symulowana jest jedynie połowa grubości płyty, uwzględniając w ten sposób jedynie pięć węzłów (oznaczenie s5), oraz że symulowano całą grubość płyty i w ten sposób jest do dyspozycji dziesięć węzłów (oznaczenie s1). Metoda SII uwzględnia pole temperatury w węzłach w odlewie i formie. Przyjęto opcje uwzględniania 5, 7, 9, i 11 węzłów (oznaczenie: s5, s7, s9 i s11) do obliczania funkcji giętych, wykorzystując schemat centralny (mniej podatny na wpływ dyskretyzacji). Dobór liczby węzłów do aproksymacji był determinowany minimalną liczbą węzłów, przy której możliwe jest wykorzystanie funkcji giętych w stosowanym programie matematycznym [13]. Ta liczba wynosiła 5 węzłów. 5. WYNIKI BADAŃ I ICH ANALIZA Aproksymacja rozkładu temperatury w odlewie za pomocą funkcji giętych pozwoliła matematycznie opisać zależności pola temperatury i wartości gradientu w układzie odlew forma dla wybranych chwil procesu krzepnięcia odlewu staliwnego. Rysunki 2a i 2b (metoda SI) wskazuje na dobre odwzorowanie pola temperatury otrzymanego z symulacji. Odchylenie względne (w węzłach) między symulowanym a aproksymowanym polem nie przekracza.5% dla odlewu w formie piaskowej i 1.% dla odlewu w formie z ochładzalnikiem. Rysunki 2a i 2b przedstawiają pole temperatury T(x) uzyskane z symulacji numerycznej "SIM-n5", "SIM-n55" i aproksymowane "spline-n5" oraz odchylenie względne pomiędzy "SIM-n55" i "spline-

7 temperatura T [C] odchylenie względne temperatury deltat [%] temperatura T [C] odchylenie względne temperatury deltat [%] 297 n5". Dla pola temperatury osiąganego w odlewie w chwili zakrzepnięcia (osiągania temperatury końca krzepnięcia T S ) rozpatrywanego węzła z opcjami s5 i s1 (liczba aproksymowanych węzłów) wyznaczono gradient temperatury G(x) na przekroju całego odlewu ze szczególnym uwzględnieniem krzepnącego węzła ,6,4,2 -,2 -,4,2,4 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] SIM-n5 SIM-n55 spline-n55 delta(sim-n55 / spline-n55) Rys. 2a. Temperatura w odlewie (forma piaskowa) dla chwili skrzepnięcia węzła o współrzędnej x=.5m. Metoda SI, liczba węzłów aproksymacji s1. Fig. 2a. Temperature in casting (sand mould) for solidification moment of the node with coordinate x=.5m. Method SI, number of approximation nodes s1.,2,4 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] SIM-n5 SIM-n55 spline-n55 delta(sim-n55 / spline-n55) Rys. 2b. Temperatura w odlewie (forma z ochładzalnikiem) dla chwili krzepnięcia węzła o współrzędnej x=.5m. Metoda SI, liczba węzłów aproksymacji s1. Fig. 2b. Temperature in casting (chill mould) for solidification moment of the node with coordinate x=.5m. SI, s1. Na rysunku 3 przedstawiono gradient temperatury (parametr post-processingu w programie PamCast "Gradient at Solidus -X") podobnie w chwili zakrzepnięcia węzła p1 (o współrzędnej x=.5 m) w odlewie w formie piaskowej. Odchylenie względne "delta" wskazuje na znaczne różnice pomiędzy uzyskanymi, bezpośrednio z symulacji i po zastosowaniu aproksymacji, wartościami gradientu na przekroju całego odlewu, w zakresie ±5%. Bardziej niekorzystna sytuacja ma miejsce dla odlewu w formie z ochładzalnikiem, odchylenie wartości gradientu z symulacji "SIM-n55" i "spline-n5" osiąga w węźle wartość -5% (rys. 4). W oparciu o zestawienie pól gradientu temperatury wyznaczonych dla każdego z węzłów, stworzono zbiorczy wykres przedstawiający gradient w węźle i reprezentowanym przez niego obszarze w chwili jego krzepnięcia. Rozwiązanie takie spowodowało zmniejszenie wpływu dyskretyzacji (rys. 5), jednak wartości gradientu ulegają nieuzasadnionym skokowym zmianom na przekroju odlewu. Wskazuje to na konieczność wykorzystywania obliczonej funkcjami giętymi wartości gradientu jedynie w węzłach. Aby uniknąć schodkowego przebiegu można zastosować wygładzanie gradientu pomiędzy węzłami (w obszarze) poprzez powtórną aproksymację (powtórne zastosowanie np. funkcji giętych). Przykład takiego zastosowania funkcji giętych ,2 -,2 -,4 -,6 -,8-1

8 gradient temperatury G [K/m] odchylenie względne gradientu temperatury delta G [%] gradient temperatury G [K/m] odchylenie względne gradientu temperatury delta G [%] 298 przedstawiono na rysunku 6, pokazującym przebieg gradientu z symulacji przy liczbie węzłów n5 i n55 (oznaczenie SIM-n5, SIM-n55, parametr post-processingu w programie PamCast "Gradient at Solidus -X"), oraz aproksymowane wartości gradientu w węzłach (spline-n5) jak i dodatkowo wygładzane (spline-n5-spl) ,1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] SIM-n5 SIM-n55 spline-n55 delta(sim-n55 / spline-n55) Rys. 3. Gradient temperatury w odlewie (forma piaskowa) dla chwili krzepnięcia węzła o współrzędnej x=.5m. Metoda SI, liczba węzłów aproksymacji s5. Fig. 3. Temperature gradient in casting (sand mould) for solidification moment of the node with coordinate x=.5m. Method SI, number of approx. nodes s ,1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] SIM-n5 SIM-n55 spline-n55 delta(sim-n55 / spline-n55) Rys. 4. Gradient temperatury w odlewie (forma z ochładzalnikiem) dla chwili krzepnięcia węzła o współrzędnej x=.5m. Metoda SI, liczba węzłów aproksymacji s5. Fig. 4. Temperature gradient in casting (chill mould) for solidification moment of the node with coordinate x=.5m. Method SI, number of approx. nodes s5. Podejście takie (rys. 6) pozwala na obliczanie gradientu G w oparciu o wyniki symulacji z niewielką liczbą węzłów, ale jest to jednak rozwiązanie, co najwyżej zadowalające w stosunku do z wartości gradientu uzyskanych z symulacji o dużym zagęszczeniu węzłów (SIM-n55). Odchylenie szacowanego funkcjami giętymi gradientu G w stosunku do oczekiwanego z SIM-n55 przyjmuje wartości około -3%, w skrajnych węzłach około +3%. Pole temperatury uzyskane w formie i odlewie metodą SII wykazuje znaczące rozbieżności w porównaniu ze stanem rzeczywistym w odlewie. Obliczenia funkcjami giętymi dały nieoczekiwany profil temperatury na przekroju odlewu, a przyczyn można upatrywać w znacznych różnicach temperatury odlewu i formy (ochładzalnika). Wyniki te powodują znaczne rozbieżności rozrzuty wartości gradientu w stosunku do pochodzącego z symulacji numerycznej SIM-n55 i aproksymacji funkcjami giętymi spline-n5. Zaobserwować można osiąganie bardzo wysokich wartości gradientu, jaki i nielogicznych nieoczekiwanych wartości ujemnych, co wskazuje na nieprzydatność metody SII jako skutecznego narzędzia ograniczania wpływu dyskretyzacji na wirtualny gradient temperatury.

9 gradient temperatury G [K/m] odchylenie względne gradientu temperatury delta G [%] gradient temperatury G [K/m] odchylenie względne gradientu temperatury delta G [%] SIM-n5,1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] spline-n55 SIM-n55 Rys. 5. Gradient temperatury w odlewie (forma z ochładzalnikiem) dla chwili krzepnięcia poszczególnych węzłów. Metoda SI, liczba węzłów aproksymacji s5. Fig. 5. Temperature gradient in casting (chill mould) for solidification moments of nodes and in their domains. Method SI, number of approximation nodes s delta(sim-n55/spline-n55) ,1,2,3,4,5 odległość od powierzchni odlew-forma x [m] SIM-n5 SIM-n55 spline-n5 spline-n5-spl. delta Rys. 6. Gradient temperatury w odlewie (forma piaskowa) dla chwili krzepnięcia poszczególnych węzłów w ich obszarach. Fig. 6. Temperature gradient in casting (sand mould) for solidification moments of nodes and in their domains. Podsumowanie skuteczności metody SI przedstawiają rysunki 7 i 8. Krzywe SIMn5 i SIM-n55 obrazują wartości gradientu obliczone automatycznie przez system symulacyjny (post-processing), SIM-n5(cent) i SIM-n55(cent) obliczone schematem centralnym w oparciu o zarejestrowane pola temperatury, spline-s5 i spline-s1 obliczone w całości funkcjami giętymi, spline-s5(cent) i spline-s1(cent) obliczone schematem różnicowym ze splajnowanego powtórnie pola temperatury ( splajnami). Analizując te wyniki (rys. 7) np. dla punktu p3 (x=.25, odlew w formie piaskowej), można dostrzec, że gradient obliczony za pomocą funkcji giętych odbiega od wartości oczekiwanej z symulacji SIM-n55 o ok. -7% dla rozwiązania splines1(cent). W formie z ochładzalnikiem (rys. 8) wartość jest mniejsza o ok. 2%.

10 gradient temperatury G [K/m] gradient temperatury G [K/m] ,1,2,3,4,5 odległość od osi odlewu x [m] spline-s5 spline-s1 spline-s5(cent) spline-s1(cent) SIM-n5 SIM-n55 SIM-n5(cent) SIM-n55(cent),1,2,3,4,5 odległość od osi odlewu x [m] spline s5 spline s1 spline s5 (cent) spline s1 (cent) SIM n5 SIM n55 SIM n5 (cent) SIM n55 (cent) Rys. 7. Gradient temperatury w odlewie (forma piaskowa) dla chwili krzepnięcia poszczególnych węzłów w ich obszarach. Metoda SI. "Spline" gradient obliczony funkcją giętą, "SIM" gradient obliczony z użyciem systemu PamCast. Fig. 7. Temperature gradient in casting (sand mould) for solidification moments of nodes and in their domains. Method SI. "Spline" gradient calulated with spline function, "SIM" gradient calculated by PamCast. Rys. 8. Gradient temperatury w odlewie (forma z ochładzalnikiem) dla chwili krzepnięcia poszczególnych węzłów w ich obszarach. Metoda SI. "Spline" gradient obliczony funkcją giętą, "SIM" gradient obliczony z użyciem systemu PamCast. Fig. 8. Temperature gradient in casting (chill mould) for solidification moments of nodes and in their domains. Method SI. "Spline" gradient calulated with spline function, "SIM" gradient calculated by PamCast. 6. PODSUMOWANIE W artykule przedstawiono badania nad poprawą jakości prognozowania obecn ości wad nieciągłości w odlewach za pomocą odniesienia wyników symulacji do kryteriów gradientowych. Zwiększenie o rząd wielkości ilości węzłów siatki dyskretyzacyjnej dla 1 D (ok. 1 mm między węzłami), daje w stosunku do zagęszczenia pierwotnego czyli odległości 1 mm między węzłami dla grubości odlewu 1 mm, dramatyczne wydłużenie czasu obliczeń CPU, nieakceptowane najczęściej w odlewniach stosujących metody VP. Dla geometrii 3 D to zagęszczenie odpowiada zwiększeniu ilości węzłów 13 razy. Wykazano, że używanie tych kryteriów gradientowych dla różniących się tak znacznie dyskretyzacji nie może opierać się o takie same ich graniczne wartości odniesienia. W celu minimalizowania wpływu dyskretyzacji przestrzennej zaproponowano i przetestowano nową metodę obliczania gradientu temperatury polegającą na lokalnym szacowaniu wartości gradientu za pomocą funkcji giętych (spline functions). Rozważano wybrane metody aproksymacji funkcjami giętymi dla wybranych obszarów w odlewie oraz zmiennej liczbie wezłów wykorzystywanych podczas takiego szacowania. Opisana metoda oparta o obliczanie gradientu temperatury przez

11 31 aproksymację funkcjami giętymi, pozwala na ograniczenie niekorzystnego wpływu gęstości dyskretyzacji przestrzennej. Stosując tę metodę, zadowalające wartości gradientu temperatury można uzyskać przy mniejszym zagęszczeniu obszaru odlewforma elementami dyskretnymi. Rozważane jest aktualnie włączenie takiego algorytmu do jednego z systemów symulacyjnych. LITERATURA [1] Z.Ignaszak, Virtual prototyping w odlewnictwie. Bazy danych i walidacja. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 22. [2] P.Mikołajczak, Prognozowanie jakości odlewów za pomocą komputerowych systemów symulacyjnych.. Praca doktorska Politechnika Poznańska. Poznań 23. [3] C.Beckermann C., C.Y. Wang, Incorporating Interfacial Phenomena in Solidification Models. JOM, January 1994, s. 42. [4] D.M. Stefanescu, Methodologies for modelling of solidification microstructure and their capabilities. ISIJ, Vol. 35, No. 6, 1995, s [5] Z.Ignaszak, N. Hueber, Sensibilite du modele de simulation numerique a la qualite des donnes thermopfysiques. Hommes et Fonderie, nº 318, novembre 21. [6] F.Mampaey, Z.A. Xu, Experimental and Simulation Study on Various Gating Systems, AFS Transactions 14, 1996, s [7] Z. Ignaszak, P. Mikołajczak, Wpływ dyskretyzacji przestrzeni w symulacji procesów krzepnięcia na wartości parametrów gradientowych, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 1998, vol. 18, nr spec. [8] Z. Ignaszak., M. Hajkowski, P. Mikołajczak, Dyskretyzacja czaso-przestrzeni w zagadnieniach komputerowego modelowania procesów krzepnięcia i jej związki z prognozowaniem jakości odlewów. Sprawozdanie Działalności Statutowej, 1998, archiwum Zakładu Odlewnictwa PP. [9] Z. Ignaszak, P. Mikołajczak,,Chosen aspects of gradient criteria correlation with shrinkage defects in post-processing procedure of simulation code. International conference and exhibition on virtual prototyping by numerical simulation EUROPAM 2, Nantes. [1] Z. Ignaszak, Baranowski A., Studium porównawcze kryteriów zasilania odlewów. Krzepnięcie Metali Stopów, Nr 18, 1993, s [11] Z. Ignaszak, L. Hącia, P. Mikołajczak, Problem of the temperature gradient approximation in the post-processing procedures of simulation code. FOCOMP, Kraków [12] P. Mikołajczak, Z. Ignaszak, Szacowanie gradientu temperatury w analitycznym i numerycznym rozwiązaniu pola temperatury. Archiwum Odlewnictwa, Nr 4, Katowice 22, s [13] Fortran 95, Lahey Computer Systems Inc. and Fujitsu, Ltd.

12 32 APPLICATION OF SPLINE FUNCTIONS FOR GRADIENT PARAMETERS CALCULATION IN CASTING QUALITY PREDICTION SUMMARY Effectiveness of simulation forecasts (within the confines of Virtual Prototyping) depends on wide spectrum of factors in pre- and post-processing stage, among other things spatial discretization. In the paper it has been analysed the problem of the spatial discretization and error minimization methods. It has been proposed and tested the new method for temperature gradient calculation as an estimation method using spline functions. It has been considered selected methods of approximation with spline functions for various casting areas and different number of basis nodes. Recenzowała Prof. Ewa Majchrzak