BioFizMat 5. Bistabilny przełącznik genetyczny

Transkrypt

1 BioFizMat 5 Bistabilny przełącznik genetyczny Marta Tyran-Kamińska Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Warszawa, 9 grudnia 2016 Badania finansowane przez NCN grant 2014/13/B/ST1/00224

2 Od DNA poprzez mrna do białka Copyright c 2013 Nature Education

3 Plan Teoria operonu Regulacja transkrypcji Prosty model matematyczny operonu Bursting transkrypcyjny Przełącznik genetyczny [1] M.C. Mackey, M. Tyran-Kamińska, The limiting dynamics of a bistable molecular switch with and without noise, J. Math. Biol. (2016) 73: [2] M.C.Mackey, M. Santilán, M. Tyran-Kamińska, E. Zeron, Simple Mathematical Models of Gene Regulatory Dynamics, Springer, 2016.

4 Operon: Jacob & Monod (1960) gen regulatorowy miejsca kontrolne geny struktury geny struktury - geny kodujące białka, których ekspresja ma podlegać regulacji białka regulatorowe (kodowane przez geny regulatorowe) - białka rozpoznające sekwencje kontrolne; aktywatory stymulują transkrypcję genów, a represory blokują zapoczątkowanie transkrypcji genów; sekwencje kontrolne - miejsca wiążące polimerazę RNA (promotory ) czy represory (operatory )

5 Operon laktozowy (lac) p i p o z y a mrna represor lac p i p o z y a mrna mrna enzymy efektor (allolaktoza) laktoza

6 Operon tryptofanowy (trp) r p o e d c b a mrna nieaktywny represor trp enzymy tryptofan mrna r p o e d c b a mrna brak transkrypcji aktywny represor trp efektor (tryptofan)

7 Regulacja transkrypcji negatywna - białko regulatorowe jest represorem, łączy się z DNA i blokuje transkrypcję; pozytywna - białko regulatorowe działa jako aktywator, łącząc się z DNA stymuluje transkrypcję; operon indukowany - transkrypcja jest wyłączona i musi zostać włączona; operon hamowany - transkrypcja jest włączona i musi zostać wyłączona. Operon lac jest przykładem operonu indukowanego z negatywną regulacją, a operon trp przykładem operonu hamowanego z negatywną regulacją.

8 Bez regulacji Najprostszy operon składa się z jednego genu struktury i z jednego promotora; gen podlega ekspresji cały czas SG β M M P β P γ M γ P dm dt = β MSG γ M M, dp dt = β P M γ P P, gdzie M oraz P oznaczają stężenie mrna oraz białka. Wszystkie rozwiązania nieujemne są zbieżne do rozwiązań stacjonarnych M = β M γ M SG, P = β P γ P M.

9 Równania kinetyczne Goodwin: (1965) Adv. Enz. Regul. 3, 425 Griffith: (1968) J Theor. Biol. 20, 202 Tyson & Othmer: (1978) Prog. Biophy. 5, 1 dm dt = b maxϕ(e) γ M M, de dt = β EM γ E E, b max - maksymalny poziom transkrypcji, ϕ(e) - tempo transkrypcji DNA, przy wartości efektora E

10 Negatywna regulacja Reg O SG Operon R + E RE M R - represor, O - operator, E - efektor, M - mrna 1 + K 1 E n K1 K 2 ϕ(e) = ϕ m, R+nE RE 1 + KEn n, O+RE n ORE n n - liczba cząsteczek efektora, K = K 1 (1 + K 2 R tot ), R tot = R + K 1 R E n + K 2 O RE n R(1 + K 1 E n ), ϕ m -maksymalne tempo transkrypcji DNA

11 Równania Zmieniamy zmienne (M, E) na (x 1, x 2 ) tak aby gdzie γ x1, γ x2, κ d > 0 oraz dx 1 dt = γ x 1 ( κd f (x 2 ) x 1 ), dx 2 dt = γ x 2 (x 1 x 2 ), f (x) = 1 + x n 1 + x n, 1. Istnieje tylko jedno rozwiązanie stacjonarne, jest globalnie stabilne i jest dodatnim rozwiązaniem układu x 2 = x 1, x 1 = κ d f (x 2 ).

12 Graficzne badanie rozwiązań stacjonarnych x x 1 wykresy x 1 = κ d f (x 2 ) przy rosnącym κ d

13 Transkrypcyjny/translacyjny bursting Eksperymentalnie zaobserwowano, że w pewnych organizmach DNA/mRNA jest transkrybowane w sposób nieciągły, Golding, Paulsson, Zawilski, Cox: (2005) Cell; Cai, Friedman, Xie: (2006) Nature; amplituda produkcji molekuł poprzez bursting ma rozkład wykładniczy z gęstością h(y) = 1 b e y/b, gdzie b jest średnią wielkością burstów ; częstotliwość burstingu ϕ zależy od stężenia molekuł.

14 Dynamika z burstingiem Transkrypcja odbywa się w losowych czasach 0 < t 1 < t 2 <..., a pomiędzy, proces przebiega zgodnie z równaniami x 1 x 2 dx 1 dt = γ x 1 x 1, dx 2 dt = γ x 2 (x 1 x 2 ). Pr(θ 1 > x) = e x/b θ 2 Pr(t 1 > t) = e t 0 ϕ(x2(s))ds θ 1 t 1 t 2 t

15 Dynamika z burstingiem Gdy obecny jest bursting, zastępujemy układ dx 1 dt = γ x 1 ( κd f (x 2 ) x 1 ), dx 2 dt = γ x 2 (x 1 x 2 ), układem stochastycznym dx 1 dt = γ x 1 x 1 + Ξ(h, ϕ(x 2 )), dx 2 dt = γ x 2 (x 1 x 2 ), Ξ(h, ϕ) jest skokowym procesem Markowa, w którym skoki pojawiają sie w tempie ϕ = γ x1 κ b f i ich wielkość ma rozkład zgodny z gęstością h. Istnieje jedyny rozkład stacjonarny (x 1, x 2 ), ale nie potrafimy znaleźć wzoru na ten rozkład.

16 Model zredukownay Na ogół tempo degradacji mrna jest dużo większe niż efektora x 1 κ d f (x 2 ). Wtedy dwa równania deterministyczne redukujemy do jednego dx dt = γ(κ df (x) x), f (x) = 1 + x n 1 + x n. W obecności burstingu otrzymujemy dx dt = γx + Ξ(h, ϕ(x)), ϕ(x) = γκ bf (x). Rozkład stacjonarny ma gęstość postaci P (x) = Ce x/b x κ b 1 (1 + x n ) θ, θ = κ b (1 ) < 0. n

17 Rozkład stacjonarny n = 2, = 3, b = 3, κ b rośnie od lewej do prawej

18 Przełącznik dwustanowy fag λ Fag λ jest wirusem infekującym bakterię E. coli. Dwa alternatywne cykle: lityczny oraz lizogenny. Copyright c Elsevier Ltd. Current Biology 17 (2007), no. 9, R305 R312

19 Stan lizogenii Lysogeny ci Monomer ci Dimer Ribosome mrna RNA Polymerase OR3 OR2 OR1 ci PRM PR cro fag integruje się z genomem; Lysis wyciszenie ekspresjicro genów Dimer faga; cro Monomer represor ci - białko odpowiedzialne za utrzymanie stanu lizogenii

20 Stan lizy ci PRM PR cro Lysis cro Dimer cro Monomer Ribosome OR3 OR2 OR1 RNA Polymerase mrna ci P RM P R cro ekspresja genów faga; replikacja; białko cro - blokuje ekspresję represora ci przełączenie z lizogenii w lizę - sygnał uszkodzeń genomu

21 Przełącznik syntetyczny Gardner, Cantor & Collins Nature (2000) 403:339

22 Model przełącznika genetycznego Reg x O x SG x Operon X R x + E y R x E y M x M y R y E x R y + E x SG y O y Reg y Operon Y

23 Równania dla przełącznika Wprowadzamy zmienne bezwymiarowe (x 1, x 2, y 1, y 2 ) tak aby f x (y 2 ) = dx 1 dt = γ x 1 [κ d,x f x (y 2 ) x 1 ], (1) dx 2 dt = γ x 2 (x 1 x 2 ), (2) dy 1 dt = γ y 1 [κ d,y f y (x 2 ) y 1 ], (3) dy 2 dt = γ y 2 (y 1 y 2 ), (4) 1 + y nx x y nx 2 oraz f y (x 2 ) = 1 + x ny 2. (5) 1 + y x ny 2

24 Rozwiązania stacjonarne Rozwiązania stacjonarne układu (1)-(4) są postaci x 1 = x 2 = x, y 1 = y 2 = y gdzie (x, y ) jest rozwiązaniem układu x 2 = κ d,x f x (y 2 ) (6) y 2 = κ d,y f y (x 2 ). (7) Dla każdego rozwiązania (x, y ) układu (6)-(7)istnieje rozwiązanie stacjonarne W w modelu, a parametry (κ d,x, κ d,y, x, y, n x, n y ) określają, czy W jest jedynym rozwiązaniem stacjonarnym, czy nie.

25 Graficzne badanie rozwiązań stacjonarnych y E D C x 2 B A wykresy y 2 = κ d,y f y (x 2 ) oraz x 2 = κ d,x f x (y 2 ) przy rosnącym κ d,x

26 Graficzne badanie rozwiązań stacjonarnych 3 A B 1.5 C 1 D 0.5 E x możliwe rozwiązania stacjonarne x = κ d,x f x (κ d,y f y (x))

27 Graficzne badanie rozwiązań stacjonarnych κ d,x κ d,y obszar bistabilności dla n x = 2, n y = 3, x = 12, y = 10

28 Model zredukowany z burstingiem Dwie powolne zmienne - jedna w każdym genie Cztery równania redukujemy do dx dt = γ x[κ d,x f x (y) x], dy dt = γ y[κ d,y f y (x) y]. Stochastyczne równania są postaci dx dt = γ xx + Ξ(h 1, ϕ 1 (y)) z ϕ 1 (y) = γ x κ b,x f x (y), dy dt = γ yy + Ξ(h 2, ϕ 2 (x)) z ϕ 2 (x) = γ y κ b,y f y (x).

29 Jedna zmienna Jeśli istnieje pojedyncza dominująca zmienna najwolniej zmieniająca się (załóżmy, że jest w genie X) w stosunku do pozostałych trzech zmiennych, to układ redukuje się do równania dx dt = γ[κ d,xf x (κ d,y f y (x)) x], gdzie γ jest najmniejszą stałą tempa degradacji. Równanie stochastyczne jest postaci dx dt = γx + Ξ(h, ϕ(x)) z ϕ(x) = γκ b,xf(x), F(x) = f x (κ b,y f y (x)) = 1 + (κ b,yf y (x)) nx 1 + x (κ b,y f y (x)) nx

30 Monomeryczna represja jednego z genów Dla n x = 1, F ma prostszą postać F(x) = (1 + κ b,y) + ( y + κ b,y )x ny Λ + Γx ny, gdzie Λ = 1+ x κ b,y > 0, Γ = y + x κ b,y > 0. Gęstość rozkładu stacjonarnego jest postaci P (x) = Ce x/b x A 1 [Λ + Γx ny ] θ z A = κ b,x(1 + κ b,y ) Λ > 0, θ = κ b,xκ b,y ( x 1)( y 1) n y ΛΓ > 0.

31 κ b,y = 1, x = 12, y = 10, κ b,x [25, 37], n y = 2, 3, 4, 6

32 Lecture Notes on Mathematical Modelling in the Life Sciences Michael C. Mackey Moisés Santillán Marta Tyran-Kamińska Eduardo S. Zeron Simple Mathematical Models of Gene Regulatory Dynamics