Spis treści. Teoria układów sterowania. Zbigniew Emirsajłow. Część I. Układy liniowe z czasem ciagłym. Szczecin Przedmowa 7

Transkrypt

1 Zbigniew Emirsajłow Spis treści Teoria układów sterowania Część I Układy liniowe z czasem ciagłym Przedmowa 7 Wprowadzenie 9 Niektóre podstawowe pojęcia 9 2 Przykłady układów sterowania 2 3 Zadanie syntezy układu sterowania 6 4 Problematyka objęta skryptem 8 2 Modele matematyczne układów 9 2 Podstawowe równanie różniczkowe 9 22 Odpowiedź swobodna i wielomian charakterystyczny Układ zrelaksowany i funkcja przejścia Wymierna funkcja przejścia Zera i bieguny funkcji przejścia Bieguny a mody układu Zastępcza funkcja przejścia układu złożonego 3 24 Model w przestrzeni stanu Układ zrelaksowany i funkcja przejścia Jak otrzymać model w przestrzeni stanu? Ogólna postać rozwiązania równania stanu Przykłady wyznaczania funkcji przejścia 48 3 Charakterystyki czasowe układów 55 3 Rząd układu, charakterystyki czasowe Charakterystyki czasowe układów I rzędu Charakterystyki czasowe układów II rzędu 6 34 Układy wyższych rzędów Jak wyznaczyć charakterystykę skokową? 66 Szczecin 2 4 Stabilność układów 67 4 Wprowadzenie Stabilność odpowiedzi swobodnej Stabilność układu zrelaksowanego 7 43 Stabilność asymptotyczna a wejściowo-wyjściowa 73

2 Kryterium Hurwitza Składowa przejściowa i odpowiedź ustalona 76 5 Synteza układu sterowania w dziedzinie czasu 83 5 Zadanie syntezy układu sterowania Szum, zakłócenia i wymagania ogólne Wymagania szczegółowe w dziedzinie czasu Wymagania w stanie ustalonym Typ (rząd astatyzmu) układu 533 Wymagania w stanie przejściowym 3 54 Metoda linii pierwiastkowych 8 54 Obszar pożądanego położenia biegunów Wykreślanie linii pierwiastkowych Przykład syntezy układu sterowania metodą linii pierwiastkowych Rozszerzenie metody i ogólny algorytm 3 55 Regulatory przesuwające fazę Regulator wyprzedzający fazę Regulator opóźniający fazę Analityczny dobór nastaw regulatora przesuwającego fazę 4 56 Regulatory typu PID Regulator P Regulator PI Regulator PD Regulator PID Analityczny dobór nastaw regulatora PID Jak zrealizować regulator? 53 6 Analiza i synteza układu sterowania w dziedzinie częstotliwości 57 6 Definicja charakterystyki częstotliwościowej 57 6 Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyki logarytmiczne Kryterium Nyquista Zasada argumentu Wykres Nyquista Kryterium stabilności Nyquista Zapas stabilności 9 63 Wymagania szczegółowe w dziedzinie częstotliwości Wymagania dotyczące zastępczej funkcji przejścia Wymagania dotyczące funkcji przejścia układu otwartego Projektowanie układu sterowania z wykorzystaniem charakterystyk częstotliwościowych Dobór wzmocnienia regulator P Regulator opóźniający fazę Regulator wyprzedzający fazę Analityczny dobór nastaw regulatora przesuwającego fazę Regulator opóźniająco-wyprzedzający fazę Regulator PI Regulator PD Analityczny dobór nastaw regulatora PID Struktury regulatorów typu PID Dobór nastaw regulatorów typu PID metodą Zieglera-Nicholsa Metoda I układ otwarty Metoda II układ ze sprzężeniem zwrotnym Synteza układu sterowania metoda przestrzeni stanu Równoważność modeli w przestrzeni stanu Sterowalność i obserwowalność Podstawowe realizacje wymiernej funkcji przejścia Realizacja w postaci kanonicznej sterowalnej Realizacja w postaci kanonicznej obserwowalnej Realizacja w postaci kanonicznej Jordana Wartości własne a mody i bieguny Stabilność trajektorii stanu Układ ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Przesuwanie wartości własnych lokowanie biegunów Obserwatory stanu Pełnowymiarowy obserwator stanu Układ ze sprzężeniem zwrotnym i obserwatorem stanu Zredukowany obserwator stanu 33 Literatura 39

3 6 Przedmowa Skrypt ten powstał w ramach projektu Tempus SJEP pt Restructuring of studies at EE Faculty TUS, finansowanego przez Unię Europejska ze środków programu PHARE Głównym celem tego projektu było wprowadzenie na Wydziale Elektrycznym Politechniki Szczecińskiej nowoczesnego dwustopniowego systemu studiów z I stopniem inżynierskim oraz II magisterskim Osiągnięcie tego celu wymagało opracowania nowych siatek i treści programowych dla czterech kierunków studiów, w tym dla automatyki i robotyki, oraz wprowadzenia systemu punktowego zgodnego ze standardem Europejskiego Systemu Transferu Punktów (ang ECTS) Dla wsparcia nowych programów studiów ze środków projektu sfinansowano przygotowanie i wydanie 6 skryptów dla studentów oraz wyposażenie czterech laboratoriów dydaktycznych Projekt realizowany był w ścisłej współpracy z 5 uczelniami z krajów Unii Europejskiej W zakresie automatyki i robotyki głównymi partnerami i konsultantami były trzy uczelnie: Exeter University z Wielkiej Brytanii, University of Manchester Institute of Science and Technology z Wielkiej Brytanii oraz Technische Universit at Braunschweig z Niemiec Skrypt ten przeznaczony jest dla studentów drugiego roku Wydziału Elektrycznego kierunku automatyka i robotyka i obejmuje materiał wchodzacy w zakres przedmiotów Teoria sterowania (sem III) oraz Synteza układów sterowania (sem IV) Mogą z niego korzystać również studenci kierunków elektrotechnika oraz elektronika i telekomunikacja Materiał prezentowany w skrypcie zakłada znajomość aparatu matematycznego oraz podstawowych pojęć z zakresu liniowej teorii sygnałów i systemów na poziomie odpowiadajacym przedmiotowi Podstawy teorii sygnałów i systemów (sem II) Ujęcie materiału przedstawione w skrypcie jest zbliżone do ujęcia spotykanego w najpopularniejszych zagranicznych podręcznikach z tej dziedziny, min [], [3], [7] i [9] Z tego powodu słownictwo stosowane w skrypcie odpowiada słownictwu ogólnie przyjętemu w tych podręcznikach i czasami nieco odbiega od tradycyjnej terminologii stosowanej w publikacjach polskich Między innymi w skrypcie używa się określenia funkcja przejścia zamiast transmitancja, układ sterowania zamiast układ regulacji, bład położeniowy zamiast bład statyczny, czas ustalania zamiast czas regulacji, ale np regulator, a nie sterownik, jak by wynikało z tłumaczenia angielskiego słowa controller Główny nacisk położony jest na układy jednowymiarowe, gdyż zdaniem autora naukę należy rozpoczynać od gruntownego zrozumienia sytuacji najprostszej Łatwo również zauważyć, że skrypt koncentruje się na zadaniu syntezy układów sterowania, a mniejszy nacisk położony jest na ich analizę Jest to moje pierwsze tak obszerne opracowanie z teorii sterowania, więc zdaję sobie sprawę, że musi zawierać niedociagnięcia Zapraszam więc wszystkich Czytelników, chcacych podzielić się ze mną uwagami na temat skryptu, do przesyłania ich na adres: emirsaj@wepspl Zbigniew Emirsajłow

4 8 Rozdział Wprowadzenie Celem tego rozdziału jest krótkie i bardzo ogólne wprowadzenie do problematyki projektowania układów sterowania Niektóre zasygnalizowane tutaj zagadnienia zostaną rozwinięte w dalszej części skryptu W podrozdziale naszkicujemy, bez podawania dokładnych definicji, kilka podstawowych koncepcji i pojęć związanych z teoria układów sterowania Następnie w podrozdziale 2 zilustrujemy te pojęcia na kilku prostych przykładach rzeczywistych układów sterowania Część wstępną rozważań zamkniemy podrozdziałem 3, w którym wyjaśnimy, na czym będzie polegać zadanie syntezy układu sterowania Zakres problematyki objętej niniejszym skryptem omówimy w podrozdziale 4 Niektóre podstawowe pojęcia Zaczniemy od ogólnego pojęcia układu oraz układu dynamicznego Przez układ będziemy rozumieć pewien zbiór powiązanych ze sobą elementów, stanowiący wyodrębnioną całość i scharakteryzowany pewną liczbą wielkości nazywanych zmiennymi Jeżeli przynajmniej jedna z tych zmiennych zmienia się w czasie, to taki układ będziemy nazywać układem dynamicznym Taka klasa układów będzie przedmiotem naszego zainteresowania Przy definiowaniu układu dynamicznego istotne jest wyraźne rozgraniczenie tych elementów, które do układu należą, od tych, które do niego nie należą, ale mają wpływ na jego zachowanie Zbiór tych ostatnich elementów nazywamy otoczeniem układu dynamicznego Zmienne reprezentujące oddziaływanie otoczenia na układ nazywamy zmiennymi wejściowymi lub krótko: wejściem układu, a zmienne reprezentujące oddziaływanie układu na otoczenie nazywamy zmiennymi wyjściowymi lub krótko: wyjściem układu Ponieważ w naszych zastosowaniach zarówno zmienne wejściowe, jak i wyjściowe są sygnałami reprezentującymi pewne wielkości fizyczne, będziemy używać równoważnego określenia sygnał wejściowy lub wymuszenie i, odpowiednio, sygnał wyjściowy lub odpowiedź układu Powyższe pojęcia zilustrujemy na dwóch prostych przykładach Przykład Układ mechaniczny: masa tarcie sprężyna Rozważmy układ przedstawiony na rysunku W układzie tym na ciało o masie M działa zmienna w czasie, zewnętrzna siła u(t) Pod wpływem tej siły ciało przemieszcza się i funkcja y(t) opisuje przesunięcie ciała względem pewnego położenia zerowego Jest to układ dynamiczny, w którym siła u(t) jest

5 Rozdział Wprowadzenie Niektóre podstawowe pojęcia wejściem, a przesunięcie y(t) wyjściem Równoważnie można też powiedzieć, że siła u(t) jest wymuszeniem, a przesunięcie y(t) odpowiedzia układu Układ ten można przedstawić w uproszczony sposób w postaci bloku z zaznaczonymi końcówkami reprezentującymi wejście i wyjście, jak to pokazano na rysunku 2 k 2 k u(t) M u(t) y(t) Rysunek Prosty układ mechaniczny Układ mechaniczny k współczynnik tarcia k 2 stała sprężyny M masa y(t) Rysunek 2 Przedstawienie układu mechanicznego w postaci bloku Przykład 2 Układ elektryczny: obwód RLC Rozważmy układ przedstawiony na rysunku 3 W układzie tym szeregowy obwód RLC zasilany jest zmiennym w czasie napięciem i(t) R L u R u L u(t) u C Rysunek 3 Prosty obwód elektryczny C R rezystancja L indukcyjność C pojemność zewnętrznym u(t) Pod wpływem tego napięcia w obwodzie płynie prąd i(t) Interesuje nas przebieg zmian prądu i(t) pod wpływem zmian napięcia u(t) Jest to również układ dynamiczny, w którym napięcie u(t) jest wejściem lub wymuszeniem, a prąd i(t) wyjściem lub odpowiedzia Podobnie jak poprzednio, układ ten można przedstawić w postaci bloku, jak to pokazano na rysunku 4 u(t) Układ elektryczny i(t) Rysunek 4 Przedstawienie układu elektrycznego w postaci bloku W układzie dynamicznym jest więc określony związek przyczynowo-skutkowy pomiędzy wejściem, czyli wymuszeniem i wyjściem, czyli odpowiedzią Relacja ta w prosty sposób może być przedstawiona w postaci bloku, tak jak w powyższych przykładach Ilustruje to rysunek 5 Będziemy przyjmować, że to odpowiedź układu dynamicznego opisuje jego zachowanie Układy dynamiczne interesują nas przede wszystkim ze względu na możliwość ste- wejście (przyczyna) Układ dynamiczny wyjście (skutek) Rysunek 5 Związek przyczynowo-skutkowy w układzie dynamicznym rowania nimi Przez sterowanie układem dynamicznym będziemy rozumieć celowe oddziaływanie na układ za pomocą wejścia (sygnału wejściowego), aby uzyskać pożądane zachowanie się wyjścia (sygnału wyjściowego) Układem sterowania będziemy nazywać połączenie układów dynamicznych, którego celem jest sterowanie pewnym wybranym układem dynamicznym wchodzącym w jego skład Układ sterowania może mieć bardzo różnorodną konfigurację, ale z reguły można wyróżnić w nim dwa podstawowe elementy: Obiekt Jest to układ dynamiczny, który ma być sterowany Oznacza to, że przez odpowiednie manipulowanie sygnałem wejściowym tego układu chcemy osiągnąć pożądany przebieg sygnału wyjściowego Przez pożądany przebieg sygnału wyjściowego możemy rozumieć np przebieg zbliżony do pewnego wzorca nazywanego sygnałem odniesienia 2 Regulator (nazywany również kompensatorem) Jest to układ dynamiczny, który ma sterować obiektem Oznacza to, że układ ten będzie generował sygnał podawany na wejście obiektu i wobec tego musi to być sygnał wymuszajacy pożądane zachowanie się obiektu Ze względu na zasadę działania układu sterowania wyróżniamy dwa następujące ich rodzaje: Otwarty układ sterowania Jest to układ sterowania, w którym działanie regulatora opiera się tylko i wyłącznie na znajomości pożądanego przebiegu wyjścia obiektu (tzn sygnału odniesienia) i rzeczywisty przebieg wyjścia nie ma żadnego wpływu W takim przypadku mówimy, że nie ma sprzężenia zwrotnego od wyjścia obiektu 2 Układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym (nazywany również układem regulacji lub zamkniętym układem sterowania) Jest to układ sterowania, w którym działanie regulatora opiera się na porównywaniu pożądanego przebiegu wyjścia obiektu (tzn sygnału odniesienia) z mierzonym rzeczywistym przebiegiem wyjścia obiektu W takim przypadku mówimy, że występuje sprzężenie zwrotne od wyjścia obiektu Ogólny schemat otwartego układu sterowania przedstawiony jest na rysunku 6, a układu ze sprzężeniem zwrotnym na rysunku 7 Układ przedstawiony na rysunku 7 można uprościć przez połączenie układu pomiarowego z porównujacym i utworzenie jednego układu pomiarowo-porównującego Najbardziej rozpowszechnioną konfiguracją realizującą układ z rysunku 7 jest tzw układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym, przedstawiony na rysunku 8 W układzie tym funkcję układu pomiarowo-porównującego spełnia tzw węzeł sumacyjny, którego sygnał wyjściowy jest różnicą pomiędzy sygnałem odniesienia i sygnałem wyjściowym obiektu i wobec tego nazywa się go sygnałem błędu lub krótko błędem

6 2 Rozdział Wprowadzenie 2 Przykłady układów sterowania 3 pożądane wyjście wejście Regulator wyjście Obiekt że kierujący samochodem (lub rowerem) spełnia funkcję regulatora w układzie sterowania ze sprzężeniem zwrotnym Spojrzyjmy na rysunek Rola kierującego samochodem polega na Rysunek 6 Otwarty układ sterowania pożądane wyjście Układ porównujacy różnica (błąd) Regulator wejście Obiekt wyjście 3 rzeczywisty kierunek jazdy Układ pomiarowy 3 pożądany kierunek jazdy Rysunek 7 Układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym Węzeł sumacyjny sygnał sygnał wejściowy sygnał wyjściowy Regulator Obiekt odniesienia błąd Rysunek 8 Układ sterowania z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym Bardziej złożone obiekty sterowania mogą mieć wejście i wyjście opisywane kilkoma sygnałami Sterowanie takimi obiektami prowadzi do tzw wielowymiarowych układów sterowania Przykładowa struktura takiego układu przedstawiona jest na rysunku 9 Regulator Obiekt Rysunek 9 Przykładowy wielowymiarowy układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym Rysunek Jazda samochodem jako sterowanie obiektem dostosowywaniu rzeczywistego kierunku jazdy do pewnego pożądanego kierunku jazdy Ten ostatni, globalnie wynika z celu, do którego zmierza kierowca, a lokalnie z wymagań bezpieczeństwa jazdy i doświadczenia kierowcy Kierowca obserwuje (mierzy wzrokiem) rzeczywisty kierunek jazdy i porównuje z pożądanym Wynikająca stąd różnica (błąd) jest dla niego sygnałem do skorygowania kierunku jazdy przez odpowiedni skręt kierownicy Jest to w rzeczywistości bardzo skomplikowany układ sterowania, w którym sprzężenie zwrotne odbywa się przez układ wzrokowy kierowcy, a porównywanie rzeczywistego (widzianego) kierunku jazdy z pożądanym odbywa się w głowie kierowcy Kierowca pełni więc funkcję regulatora, a samochód funkcję obiektu sterowania Uproszczony schemat blokowy tego układu przedstawiony jest na rysunku Jest to układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym pożądany kierunek jazdy Regulator rzeczywisty kierowca samochód kierunek jazdy Obiekt 2 Przykłady układów sterowania Rozważymy terez kilka przykładowych układów sterowania w celu przybliżenia niektórych koncepcji i pojęć wprowadzonych w poprzednim podrozdziale Przykład 2 Jazda samochodem Zapewne większość z nas doświadczyła przyjemności jazdy samochodem w roli kierowcy Osoby, które nigdy nie prowadziły samochodu, mogą się odwołać do swych doświadczeń z jazdą na rowerze Obie te czynności opierają się w istocie na podobnych zasadach W niniejszym przykładzie chcielibyśmy zwrócić uwagę na fakt, Rysunek Schemat blokowy przedstawiajacy proces kierowania samochodem Przykład 22 Układ sterowania prędkości a obrotową napędu w odtwarzaczu płyt kompaktowych W szeregu urządzeń, takich jak np odtwarzacz płyt kompaktowych, wykorzystywany jest silnik prądu stałego o sterowanej prędkości obrotowej Jeżeli przyjmiemy, że zadaniem takiego układu jest utrzymywanie stałej prędkości obrotowej, to jedno z najprostszych rowiązań takiego układu przedstawione jest na rysunku 2 W układzie tym napięcie u, ustawione na potencjometrze, jest wzmacniane do wartości u i podawane, jako napięcie sterujące, na silnik prądu stałego Wirnik tego silnika obraca się z prędkością obrotową w zależną od wielkości

7 4 Rozdział Wprowadzenie 2 Przykłady układów sterowania 5 w w E + u + u tarcza obrotowa E + u wzmacniacz separacyjny + u + u v wzmacniacz + u tarcza obrotowa silnik potencjometr wzmacniacz silnik prądu stałego Rysunek 2 Sterowanie prędkościa obrotowa w układzie otwartym napięcia u Obracający się wirnik napędza tarczę obrotową, na której spoczywa płyta kompaktowa, i wobec tego obraca się ona z tą samą prędkością obrotową w Pożądana prędkość obrotowa, powiedzmy w, uzyskiwana jest przez ustawienie na potencjometrze odpowiedniego napięcia u Układ ten wymaga oczywiście odpowiedniego wyskalowania tak, aby prędkości obrotowej w odpowiadało napięcie u na potencjometrze Obiektem w tym układzie sterowania jest tarcza obrotowa ze spoczywającą na niej płytą, ale możemy do niego włączyć również napędzający je silnik prądu stałego Jeżeli tak przyjmiemy, to funkcję regulatora w tym układzie spełnia wzmacniacz Schemat blokowy tego układu przedstawiony jest na rysunku 3 Jest to Regulator Obiekt potencjometr + v tachometr Rysunek 4 Sterowanie prędkościa obrotowa w układzie ze sprzężeniem zwrotnym dłowo działający układ będzie dążył do zmniejszenia różnicy w w Schemat blokowy takiego układu przedstawiony jest na rysunku 5 Jest to układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia obiektu u Regulator Obiekt układ u v u tarcza wzmacniacz silnik w porównujacy obrotowa potencjometr u u tarcza wzmacniacz silnik obrotowa w v tachometr Rysunek 3 Schemat blokowy otwartego układu sterowania prędkościa obrotowa otwarty układ sterowania, który pracuje poprawnie, o ile nie zmieniają się warunki jego pracy Załóżmy, że przy nominalnym obciążeniu silnika napięciu u na potencjometrze odpowiada prędkość obrotowa w Jeżeli teraz zmieni się ciężar płyty kompaktowej lub ogólnie obciążenie silnika, to zmieni się też jego prędkość obrotowa z w na w Oczywiście, napięcie u na potencjometrze pozostanie nie zmienione W celu uniezależnienia prędkości obrotowej od zmiany warunków pracy układ sterowania prędkością obrotową silnika prądu stałego można rozbudować, wyposażając go w dodatkowy układ przetwarzający rzeczywistą prędkość obrotową tarczy w na napięcie v Służy do tego prądnica tachometryczna (tachometr) umieszczona na wspólnej osi z obracającą się tarczą Schemat takiego układu przedstawiony jest na rysunku 4 Przy omawianiu zasady działania tego układu możemy pominąć rolę wzmacniacza separacyjnego, gdyż na jego wejściu i wyjściu występuje to samo napięcie u W układzie tym napięcie v z prądnicy tachometrycznej porównywane jest z napięciem odniesienia u, odpowiadającym pożądanej prędkości obrotowej tarczy w Wynikająca stąd różnica u v jest wzmacniana i, jako napięcie sterujące u, podawana na silnik prądu stałego napędzający tarczę obrotową wraz z płytą Jeżeli rzeczywista prędkość obrotowa tarczy w odbiega od pożądanej w, to powstaje różna od nominalnej różnica napięć u v i wirnik silnika zmienia prędkość wirowania Prawi- Rysunek 5 Schemat blokowy zamkniętego układu sterowania prędkościa obrotowa Przykład 23 Układ sterujący ustawieniem anteny satelitarnej Wykorzystywanie jednej anteny satelitarnej do odbioru sygnałów komunikacyjnych z różnych satelitów wymaga wyposażenia jej w układ sterujący zmianą jej położenia Schemat jednego z możliwych rozwiązań takiego układu przedstawiony jest na rysunku 6 W układzie tym pożądane położenie anteny α ustawiane jest za pomocą napięcia v na potencjometrze wchodzącym w skład układu porównującego Rzeczywiste położenie anteny α przetwarzane jest na napięcie v na drugim potencjometrze wchodzącym w skład układu porównującego Wynikająca stąd różnica v v jest wzmacniana i podawana, jako napięcie sterujące u, na silnik prądu stałego zmieniający położenie anteny Jeżeli rzeczywiste położenie anteny pokrywa się z pożądanym, tzn α α =, to również v v = i u = Zerowe napięcie na wejściu silnika powoduje, że jego wirnik nie obraca się i antena pozostaje w tym samym położenie α = α Jeżeli położenie α różni się od pożądanego α, to powstaje niezerowa różnica napięć v v i niezerowe napięcie sterujące u Niezerowe napięcie u na wejściu silnika powoduje, że jego wirnik zaczyna się obracać i w efekcie antena zmienia swoje położenie α Prawidłowo działający układ będzie dążył do zmniejszenia różnicy α α Obiektem w tym układzie sterowania jest antena, ale możemy do

8 6 Rozdział Wprowadzenie 3 Zadanie syntezy układu sterowania 7 α układ porównujacy v v + v v α wzmacniacz + u antena silnik prądu stałego Rysunek 6 Sterowanie ustawieniem anteny w układzie ze sprzężeniem zwrotnym α niego włączyć również silnik prądu stałego zmieniający jej położenie Jeżeli tak przyjmiemy, to funkcję regulatora w tym układzie spełnia wzmacniacz Schemat blokowy tego układu przedstawiony jest na rysunku 7 Jest to więc układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od wyjścia obiektu α Regulator Obiekt układ v v u wzmacniacz silnik α porównujacy antena α Rysunek 7 Schemat blokowy zamkniętego układu sterowania ustawieniem anteny 3 Zadanie syntezy układu sterowania Celem niniejszego skryptu jest omówienie wybranych narzędzi teoretycznych pozwalających na analizę i syntezę liniowych układów sterowania Aby wyjaśnić, co rozumiemy przez zadanie syntezy układu sterowania, nazywane również zadaniem projektowania układu sterowania, rozważmy ponownie przykłady 22 i 23 Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że w układzie sterującym prędkością obrotową napędu w odtwarzaczu płyt kompaktowych obiektem jest obrotowa tarcza ze spoczywającą na niej płytą kompaktową Zauważmy jednak, że do obracania tarczy niezbędny jest pewien człon wykonawczy, którym w tym układzie jest silnik elektryczny prądu stałego, i oba te elementy razem tworzą obiekt sterowania Innymi słowy, obiektem sterowania jest silnik elektryczny wraz z obciążeniem w postaci obrotowej tarczy i płyty kompaktowej Regulatorem jest natomiast układ elektryczny przetwarzający sygnał odniesienia (w układzie otwartym) lub sygnał błędu (w układzie ze sprzężeniem zwrotnym wynikający z różnicy między pożądaną i rzeczywistą prędkością obrotową) na sygnał sterujący silnikiem Można więc przyjąć, że przy projektowaniu tego układu sterowania dany jest obiekt i pewne wymagania dotyczące zachowania się sygnału wyjściowego, a zadaniem projektanta jest dobrać regulator zapewniający spełnienie tych wymagań Podobnie wygląda sytuacja w układzie sterującym ustawieniem anteny satelitarnej Obiekt sterowania składa się z anteny oraz członu wykonawczego zmieniającego jej położenie Podobnie jak poprzednio, jest to silnik prądu stałego Regulatorem jest natomiast układ elektryczny przetwarzający sygnał błędu (układ ze sprzężeniem zwrotnym) na sygnał sterujący silnikiem Tak jak poprzednio, można przyjąć, że przy projektowaniu tego układu sterowania dany jest obiekt i pewne wymagania dotyczące zachowania się sygnału wyjściowego, a zadaniem projektanta jest dobrać regulator zapewniający spełnienie tych wymagań Podstawowa różnica między obydwoma przykładami polega na tym, że w przykładzie 22 sygnałem wyjściowym jest prędkość obrotowa w, a w przykładzie 23 kąt obrotu α Uogólniając powyższe rozważania, możemy przyjąć, że w zadaniu syntezy układu sterowania mamy do dyspozycji następujące dane wyjściowe: Obiekt G opisany pewnym modelem matematycznym, np relacją y(t) = G(t, u), (3) gdzie u(t) jest sygnałem wejściowym, a y(t) sygnałem wyjściowym 2 Sygnał odniesienia r(t) 3 Wymagania dotyczące przebiegu sygnału wyjściowego y(t), np wyrażone w funkcji sygnału błędu e(t) = r(t) y(t) Rozwiazanie zadania będzie polegać na wyznaczeniu regulatora C, opisanego pewnym modelem matematycznym, np relacją u(t) = C(t, r, y), (32) generującego sygnał u(t), który przez odpowiednie oddziaływanie na obiekt zapewni spełnienie wymagań dotyczących przebiegu sygnału wyjściowego y(t) Ilustracją tak sformułowanego problemu jest rysunek 8 Zauważmy, że relacja (32), opisu- r(t) sygnał odniesienia Część układu do zaprojektowania C =? u(t) wejście Dana część układu Rysunek 8 Zadanie syntezy układu sterowania G y(t) wyjście jąca regulator, odpowiada układowi sterowania ze sprzężeniem zwrotnym Wynika to z faktu, że sygnał wejściowy obiektu u(t) zależy od sygnału odniesienia r(t) oraz od sygnału wyjściowego obiektu y(t) Dla otwartego układu sterowania relacja opisująca regulator przyjmuje postać u(t) = C(t, r), (33)

9 8 Rozdział Wprowadzenie która jest szczególnym przypadkiem zależności (32) Jest sprawą dość oczywistą, że rozwiązanie takiego zadania na drodze analitycznej wymagać będzie przede wszystkim opracowania precyzyjnych metod matematycznego modelowania układów dynamicznych oraz efektywnych metod badania i opisu ich właściwości Dopiero wykorzystując taką bazę narzędziową będziemy mogli rozwinąć właściwą teorię, która pozwoli rozwiązać zadanie syntezy układu sterowania i to tylko w określonych przypadkach 4 Problematyka objęta skryptem Niniejszy skrypt składa się z dwóch części Część I poświęcona jest omówieniu podstaw teoretycznych analizy i syntezy liniowych układów sterowania z czasem ciągłym Część II poświęcona będzie analizie i syntezie liniowych układów z czasem dyskretnym oraz nielinowych układów z czasem ciągłym Ponieważ głównym celem skryptu jest tylko wprowadzenie do zagadnień syntezy i projektowania układów sterowania, będziemy zajmować się głównie układami jednowymiarowymi, tzn układami mającymi jedno wejście i jedno wyjście Pomimo że jest to najprostsza klasa układów, jest ona również klasą najważniejszą, o najszerszym zakresie zastosowań Klasa układów dynamicznych, które będziemy studiować w części I skryptu, daje się opisać równaniami różniczkowymi zwyczajnymi o stałych współczynnikach Podstawowy model matematyczny układu dynamicznego, nazywany podstawowym równaniem różniczkowym, wprowadzony jest w rozdziałe 2 Następnie dość szczegółowo omówiona jest funkcja przejścia i pojęcia z nią związane Całość tego rozdziału zamyka wprowadzenie modelu w przestrzeni stanu Rozdział 3 wprowadza pojęcie charakterystyki impulsowej oraz skokowej i poświęcony jest analizie tych charakterystyk dla najprostszych układów, głównie I i II rzędu Zagadnienie stabilności układu dynamicznego omówione jest w rozdziale 4 Jako główne narzędzie do analizy stabilności wprowadzone jest kryterium Hurwitza Problematyka syntezy układu sterowania wprowadzona jest w rozdziale 5 Metoda linii pierwiastkowych omówiona jest jako najprostsze narzędzie projektowania przy wymaganiach postawionych układowi sterowania w dziedzinie czasu Rozdział 6 wprowadza pojęcie charakterystyki częstotliwościowej i omawia podstawowe narzędzia analizy i syntezy układu sterowania przy wymaganiach postawionych układowi sterowania w dziedzinie częstotliwości Rozdział 7 wprowadza metodę syntezy układów sterowania opartą na modelu w przestrzeni stanu Omówione są zasady wykorzystania obserwatora stanu przy projektowaniu układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od stanu Niniejsza część skryptu zawiera podstawowy materiał pozwalający projektować liniowe układy sterowania z czasem ciągłym Materiał ten daje solidne podstawy do studiowania bardziej zaawansowanych metod projektowania, obejmujących układy nieliniowe, układy wielowymiarowe oraz układy pracujące w warunkach niepewności Rozdział 2 Modele matematyczne układów W teorii sterowania mamy do czynienia nie z rzeczywistymi, fizycznymi układami dynamicznymi, ale z ich modelami matematycznymi W niniejszym rozdziale zajmiemy się modelami matematycznymi liniowego, przyczynowego i stacjonarnego układu dynamicznego z czasem ciągłym W podrozdziale 2 wprowadzimy tzw podstawowe równanie różniczkowe, które będzie stanowić wyjściowy opis matematyczny układu dynamicznego Następnie w podrozdziale 22 zajmiemy się odpowiedzia swobodna oraz związanymi z nią pojęciami wielomianu charakterystycznego i modów układu Z kolei podrozdział 23 poświęcony będzie tzw układowi zrelaksowanemu, z którym zwiążemy bardzo ważne pojęcie funkcji przejścia W podrozdziale 24 przejdziemy z podstawowego równania różniczkowego do modelu w przestrzeni stanu i podamy dwie metody otrzymywania takiego modelu Dwa obszerne przykłady wyprowadzania funkcji przejścia omówione są w podrozdziale 25 2 Podstawowe równanie różniczkowe Z przedmiotu Podstawy teorii sygnałów i systemów wiemy, że podstawowym narzędziem do analizy i rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach jest przekształcenie Laplace a Zanim jednak wykorzystamy takie równania do modelowania pewnej klasy układów dynamicznych, niezbędne będzie przypomnienie i uściślenie niektórych zagadnień związanych z samym przekształceniem Laplace a W analizie układów dynamicznych będziemy dopuszczać również sygnały f(t), t (, ), będące nieciagłymi funkcjami czasu, takimi jak skok jednostkowy (t) i impuls Diraca δ(t) Dla przypomnienia, sygnały te zdefinowane są następująco: (t) = { { dla t dla t <, δ(t) = + dla t = dla t i δ(t)dt = Wiemy ponadto, że δ(t) = d(t)/dt Z powyższych zależności wynika, że () = i ( ) =, gdzie ( ) oznacza lewostronną granicę funkcji (t) w punkcie t =, tzn ( ) = lim ε, ε> ( ε)

10 2 Rozdział 2 Modele matematyczne układów 2 Podstawowe równanie różniczkowe 2 W szczególności nieciągłości względem czasu będą występować w punkcie t = Aby uwzględnić ten fakt i uniknąć niejednoznaczności przy posługiwaniu się przekształceniem Laplace a, przyjmiemy w dalszym ciągu, że przekształcenie to zdefiniowane jest następującą zależnością: ˆf(s) = L[f(t)] = f(t)e st dt = lim f(t)e st dt (2) ε, ε> ε Definicja (2) powoduje, że we wzorach na transformaty pochodnych funkcji f(t) wszystkie warunki początkowe tej funkcji i jej pochodnych zdefiniowane są jako lewostronne granice w punkcie t =, tzn mamy f( ), f ( ) itd, zamiast f(), f () itd W szczególności transformaty pochodnych df(t) i d2 f(t) wyrażą się zależnościami dt dt 2 [ df(t) ] L = s dt ˆf(s) [ d f( 2 f(t) ] ), L = s 2 ˆf(s) sf( ) f ( ) dt 2 Zgodnie z oczekiwaniami otrzymamy więc L[(t)] = /s oraz L[d(t)/dt] = L[δ(t)] = Zauważmy teraz, że pozornie drobna zamiana dolnej granicy całkowania z na we wzorze (2) prowadzi do następującego wyniku: [d(t)/dt]e st dt = () + =, który łatwo otrzymujemy po wykonaniu całkowania przez części Oczywiście, można argumentować, że aby otrzymać prawidłowy wynik (tzn zamiast ), wystarczy w definicji skoku jednostkowego przyjąć () = Aby uniknąć takiego dopasowywania właściwości funkcji w tym i innych podobnych przypadkach, będziemy zawsze przyjmować, że przekształcenie Laplace a zdefiniowane jest zależnością (2) Po tym krótkim wprowadzeniu, dotyczącym przekształcenia Laplace a, możemy przystąpić do przeanalizowania dwóch prostych przykładów Przykład 2 Rozważmy prosty układ mechaniczny z przykładu Zgodnie z podstawowymi prawami fizyki wypadkowa siła, powiedzmy F(t), działająca na ciało o masie M nada mu przyspieszenie d2 y(t), zgodnie z zależnością dt 2 F(t) = M d2 y(t) dt 2 Wypadkową siłę F(t) otrzymamy po odjęciu od zewnętrznej siły u(t) przeciwnie skierowanej siły pochodzącej od oporu tarcia lepkiego (proporcjonalnej do prędkości dy(t) ) oraz przeciwnie dt skierowanej siły oporu sprężyny (proporcjonalnej do przesunięcia y(t)) Otrzymamy w ten sposób równanie różniczkowe o postaci u(t) k dy(t) dt a stąd, po uporządkowaniu, k 2 y(t) = M d2 y(t) dt 2, t (, ), d 2 y(t) + k dy(t) + k 2 dt 2 M dt M y(t) = u(t), t (, ) (22) M Jest to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne, o stałych współczynnikach, wiążące sygnał wejściowy układu u(t) z sygnałem wyjściowym y(t) dla t (, ) Załóżmy, że wiemy, jak zmienia się wymuszenie u(t) w przedziale t [, ), a interesuje nas odpowiedź układu, tzn przebieg zmian położenia ciała y(t) w tym samym przedziale czasu, tzn dla t [, ) Aby wyznaczyć funkcję y(t), musimy więc rozwiązać równanie różniczkowe (22) przy zadanej funkcji u(t) dla t [, ) Efektywnym narzędziem do rozwiązywania takich równań jest przekształcenie Laplace a Oznaczając przez ŷ(s) i û(s), odpowiednio, transformaty Laplace a funkcji y(t) i u(t) i transformując obustronnie równanie (22), otrzymamy s 2 ŷ(s) sy( ) y ( ) + k M [sŷ(s) y( )] + k 2 M ŷ(s) = û(s) (23) M Stąd, po uporządkowaniu, otrzymujemy gdzie ŷ(s) = (Ms + k )y( ) + My ( ) û(s) + = ŷ Ms 2 + k s + k 2 Ms 2 s (s) + ŷ w (s), (24) + k s + k 2 ŷ s (s) = (Ms + k )y( ) + My ( ) û(s), ŷ Ms 2 w (s) =, (25) + k s + k 2 Ms 2 + k s + k 2 a y( ) i y ( ) oznaczają wartości początkowe położenia y(t) i jego pochodnej y (t) (prędkości), zdefiniowane jako lewostronne granice w punkcie t = Zależność (24) przedstawia transformatę Laplace a ŷ(s) poszukiwanej przez nas funkcji y(t), opisującej położenie ciała w przedziale t [, ) Transformata ta zależy od stałych parametrów układu k, k 2 i M (zakładamy, że ich wartości liczbowe są znane), warunków początkowych y( ) i y ( ) oraz transformaty û(s) funkcji wymuszającej Znajomość konkretnej, jawnej postaci funkcji wymuszającej u(t) w przedziale t [, ) pozwala na wyznaczenie jawnej postaci jej transformaty Laplace a û(s) Jeżeli dodatkowo założymy, że znamy wartości liczbowe warunków początkowych y( ) i y ( ), to zależność (24) określi konkretną, jawną postać transformaty ŷ(s) Wyznaczenie poszukiwanej funkcji y(t) w przedziale t [, ) sprowadza się więc do wyznaczenia odwrotnej transformaty Laplace a dla wyrażenia określonego zależnością (24) Metody wyznaczania transformaty odwrotnej są znane i wykonanie odpowiednich obliczeń dla konkretnych danych nie przedstawia większych trudności Zauważmy ponadto, że transformata odpowiedzi układu ŷ(s) jest sumą dwóch składników ŷ s (s) i ŷ w (s) Składnik ŷ s (s) przedstawia transformatę tzw odpowiedzi swobodnej, zależnej tylko od warunków początkowych y( ) i y ( ), a składnik ŷ w (s) tzw odpowiedzi wymuszonej, zależnej od wymuszenia u(t) na odcinku [, ) Reasumując, wyznaczenie odpowiedzi y(t) w przedziale czasu [, ) wymaga rozwiązania równania różniczkowego (22) dla wymuszenia u(t) z tego przedziału przy danych warunkach początkowych y( ) i y ( ) Równanie (22) nazwiemy podstawowym równaniem różniczkowym rozpatrywanego układu dynamicznego Przykład 22 Rozważmy prosty obwód elektryczny z przykładu 2 Zgodnie z podstawowymi zasadami elektrotechniki związek pomiędzy prądem i spadkiem napięcia dla poszczegól-

11 22 Rozdział 2 Modele matematyczne układów 2 Podstawowe równanie różniczkowe 23 nych elementów R, L i C opisany jest zależnościami u R (t) = Ri(t), u L (t) = L di(t) dt, (26a) (26b) i(t) = C du C(t) (26c) dt Zewnętrzne napięcie u(t), zasilające obwód, musi równoważyć sumę wszystkich spadków napięć, tzn u(t) = u R (t) + u L (t) + u C (t) Uwzględniając zależności (26), otrzymujemy więc równanie u(t) = Ri(t) + L di(t) dt + u C (t), t (, ) (27) Różniczkując obustronnie równanie (27), a następnie podstawiając (26c) i wprowadzając oznaczenie y(t) = i(t), ostatecznie otrzymamy d 2 y(t) dt 2 + R dy(t) + L dt LC y(t) = du(t), t (, ) (28) L dt Jest to liniowe równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach, wiążące sygnał wejściowy układu u(t) z sygnałem wyjściowym y(t) dla t (, ) Podstawową różnicą między równaniami (22) i (28) jest występowanie w równaniu (28) pochodnej sygnału wymuszającego u(t) Po obustronnym stransformowaniu tego równania i uporządkowaniu otrzymamy następujące zależności: gdzie ŷ(s) = (Ls + R)y( ) + Ly ( ) u( ) Ls 2 + Rs + /C + sû(s) Ls 2 + Rs + /C = ŷ s(s) + ŷ w (s), (29) ŷ s (s) = (Ls + R)y( ) + Ly ( ) u( ) sû(s), ŷ Ls 2 w (s) = + Rs + /C Ls 2 + Rs + /C, (2) y( ) i y ( ) oznaczają wartości początkowe prądu y(t) i jego pochodnej, a u( ) wartość początkową napięcia wejściowego u(t) Zauważmy, że zgodnie z zależnością (26b), wartość początkowa pochodnej prądu określona jest wartością początkową spadku napięcia na indukcyjności u L ( ), tzn y ( ) = di( ) = u L( ) Zależność (29) przedstawia transformatę dt L Laplace a funkcji y(t) i aby funkcję tę wyznaczyć w przedziale czasu t [, ), należy znaleźć transformatę odwrotną dla wyrażenia (29) W tym celu musimy założyć, że znamy nie tylko wartości liczbowe stałych R, L i C, ale również wartości liczbowe warunków początkowych y( ), y ( ) i u( ) oraz jawną postać przebiegu napięcia wymuszającego u(t) na odcinku [, ) Wykonanie odpowiednich obliczeń dla konkretnych danych nie przedstawia większych trudności Zauważmy, że podobnie jak w przykładzie 2, transformata odpowiedzi układu ŷ(s) jest sumą składników ŷ s (s) i ŷ w (s), będących, odpowiednio, transformatami odpowiedzi swobodnej, zależnej tylko od warunków początkowych y( ), y ( ) i u( ), oraz odpowiedzi wymuszonej, zależnej tylko od wymuszenia u(t) na odcinku [, ) Reasumując, wyznaczenie odpowiedzi y(t) w przedziale czasu [, ) wymaga rozwiązania równania różniczkowego (28) dla wymuszenia u(t) z tego przedziału przy danych warunkach początkowych y( ), y ( ) i u( ) Równanie (28) nazwiemy podstawowym równaniem różniczkowym rozpatrywanego układu dynamicznego Uogólniając teraz rozważania zawarte w przykładach 2 i 22, przyjmiemy, że w niniejszym skrypcie będziemy zajmować się układami dynamicznymi, których pełny model matematyczny będzie się składał z trzech następujących elementów: Podstawowego równania różniczkowego o postaci y (n) (t) + α n y (n ) (t) + + α y () (t) + α y(t) = = β m u (m) (t) + β m u (m ) (t) + + β u () (t) + β u(t), t (, ), (2) gdzie α i i β i są współczynnikami rzeczywistymi, m n, a ponadto wykorzystano oznaczenia y () (t) = y(t) i u () (t) = u(t) oraz y (i) (t) = di y(t) i u (i) (t) = di u(t) dla i dt i dt i 2 Warunków poczatkowych dla wyjścia y(t) i jego pochodnych do rzędu (n ), określonych przy t, tzn y (i) ( ) = lim y(i) (t), i =,, 2,, n, (22) t oraz dla wejścia u(t) i jego pochodnych do rzędu (m ), określonych przy t, tzn 3 Wejścia u(t), określonego dla t [, ) u (i) ( ) = lim t u(i) (t), i =,, 2,, m (23) Znajomość podstawowego równania różniczkowego (2), warunków początkowych (22) i (23) oraz wejścia u(t) w przedziale [, ) zawsze pozwoli wyznaczyć przebieg wyjścia y(t) w przedziale [, ) Układ dynamiczny opisany powyższym modelem jest zwykle klasyfikowany jako jednowymiarowy układ z czasem ciagłym, liniowy, przyczynowy i stacjonarny Ponieważ określenia te znane są z przedmiotu Podstawy teorii sygnałow i systemów, więc nie będą tutaj omawiane Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy teraz funkcje M( ) i L( ) M(p) = p n + α n p n + + α p + α, (24) L(p) = β m p m + β m p m + + β p + β, (25) gdzie zmienna p oznacza operację różniczkowania d/dt zdefiniowaną następująco: py(t) = d dt y(t), p2 y(t) = d2 dt 2y(t), pi y(t) = di dt iy(t)

12 24 Rozdział 2 Modele matematyczne układów 22 Odpowiedź swobodna i wielomian charakterystyczny 25 Wykorzystując powyższe oznaczenia, możemy zapisać równanie (2) w uproszczonej postaci M(p)y(t) = L(p)u(t) (26) Posługując się przekształceniem Laplace a i transformując obustronnie równanie (2), z uwzględnieniem niezerowych warunków początkowych (22) i (23), otrzymamy s n ŷ(s) + α n s n ŷ(s) + + α sŷ(s) + α ŷ(s) W y (s) = gdzie = β m s m û(s) + β m s m û(s) + + β sû(s) + β û(s) W u (s), (27) W y (s) = W u (s) = Stąd, po uporządkowaniu, n i= m i= s n i i α n j y (i j) ( ), α n =, (28) j= s m i i β m j u (i j) ( ) (29) j= ŷ(s) = W y(s) W u (s) M(s) + L(s), (22) M(s)û(s) gdzie M(s) i L(s) są zdefiniowane zależnościami (24) i (25) z p zamienionym na s, W u (s) jest wielomianem stopnia m (względem s) o współczynnikach zależnych od warunków początkowych (23), W y (s) jest wielomianem stopnia n o współczynnikach zależnych od warunków początkowych (22) Wyrażenie (22) przedstawia transformatę Laplace a ogólnego rozwiązania równania różniczkowego (2), tzn funkcję ŷ(s) Widać, że ma ona postać gdzie ŷ(s) = ŷ s (s) + ŷ w (s), (22) ŷ s (s) = W y(s) W u (s) M(s) (222) jest transformatą Laplace a odpowiedzi swobodnej, zależnej od warunków początkowych (22) i (23), a ŷ w (s) = L(s) (223) M(s)û(s) jest transformatą Laplace a odpowiedzi wymuszonej, zależnej od wejścia (wymuszenia) u(t) w przedziale [, ) Dla prostoty warunki początkowe (22) i (23) będziemy również zapisywać w postaci wektora warunków poczatkowych w( ) R n+m zdefiniowanego następująco: w( ) = [ y( ) y n ( ) u( ) u m ( ) ] T R n+m (224) W bardzo ważnym przypadku szczególnym, przy zerowych warunkach początkowych (22) i (23), równoważnie w( ) =, otrzymujemy W y (s) i W u (s) W tym przypadku wyrażenie (22), opisujące transformatę odpowiedzi układu, upraszcza się do postaci ŷ(s) = ŷ w (s) = L(s) û(s), (225) M(s) a układ taki nazywamy układem zrelaksowanym W zagadnieniach sterowania, którymi zajmiemy się w tym skrypcie, będą występowały prawie wyłącznie układy zrelaksowane 22 Odpowiedź swobodna i wielomian charakterystyczny Przykład 22 Rozważmy ponownie równanie (28) z przykładu 22 i dla prostoty obliczeń przyjmijmy L =, R = 3 i C =, 5 Dla wymuszenia u(t) w przedziale [, ) mamy û(s) i wobec tego zależność (29) przyjmie postać ŷ(s) = ŷ s (s) = (s + 3)y( ) + y ( ) u( ) s 2 + 3s + 2 Stąd, po rozkładzie na ułamki proste, otrzymamy gdzie = (s + 3)y( ) + y ( ) u( ) (22) (s + )(s + 2) ŷ(s) = ŷ s (s) = k s + + k 2 s + 2, (222) k = 2y( ) + y ( ) u( ), k 2 = [y( ) + y ( ) u( )], i wobec tego transformata odwrotna L [ŷ s (s)], opisująca odpowiedź swobodną y s (t) w przedziale [, ), przyjmie postać y s (t) = k e t + k 2 e 2t, t [, ) (223) Niezależnie jakie wartości przyjmą warunki początkowe y( ), y ( ) i u( ), odpowiedź swobodna y s (t) rozważanego układu będzie zawsze liniową kombinacją dwóch funkcji e t i e 2t Funkcje te są odwrotnymi transformatami Laplace a ułamków /(s+) i /(s+2) Liczby i 2, które są miejscami zerowymi mianowników tych ułamków i równocześnie miejscami zerowymi mianownika wyrażenia (22), nazywane są modami układu Mody te określają postać odpowiedzi swobodnej (223) Uogólnijmy teraz powyższe rozważania na przypadek równania różniczkowego (2) z warunkami początkowymi (22) i (23) Przyjmując, że u(t) w przedziale [, ), z zależności (22) otrzymamy ŷ(s) = ŷ s (s) = W(s) M(s), (224) gdzie W(s) = W y (s) W u (s) jest wielomianem stopnia n, zależnym od warunków początkowych (22) i (23) (patrz (28) i (29)), a M(s), zgodnie z zależnością (24), ma postać M(s) = s n + α n s n + + α s + α (225)

13 26 Rozdział 2 Modele matematyczne układów 23 Układ zrelaksowany i funkcja przejścia 27 Wielomian M(s) nazywamy wielomianem charakterystycznym układu, jego miejsca zerowe, tzn liczby zespolone będące pierwiastkami równania M(s) =, nazywamy modami układu, a samo równanie równaniem charakterystycznym układu Z faktu, że mody określają rozkład wyrażenia (224) na ułamki proste, wynika, że określają one również postać odpowiedzi swobodnej układu y s (t) w przedziale [, ) Zauważmy, że wszystkie współczynniki wielomianu (225) są rzeczywiste W takim przypadku równanie M(s) = ma zawsze n pierwiastków, niekoniecznie różnych i, w ogólności, będących liczbami zespolonymi Pierwiastków zespolonych jest zawsze parzysta liczba, ponieważ występują one w parach sprzężonych, tzn jeżeli liczba m = a + jb jest pierwiastkiem równania (225), to jest nim również liczba sprzężona m = a jb 23 Układ zrelaksowany i funkcja przejścia Przykład 23 Wróćmy do równania (28) z przykładu 22 i załóżmy, że układ ten jest zrelaksowany Dla zerowych warunków początkowych y( ) =, y ( ) = i u( ) = oraz dowolnego wymuszenia u(t) w przedziale [, ) (o transformacie û(s)) zależność (29) przyjmie postać s ŷ(s) = ŷ w (s) = û(s) = ĝ(s)û(s), (23) Ls 2 + Rs + /C gdzie wymierna funkcja ĝ(s), zdefiniowana zależnością ĝ(s) = s Ls 2 + Rs + /C, (232) nazywana jest funkcja przejścia rozważanego układu Dla przykładowych danych R =, L = 3 i C =,5 otrzymamy s ĝ(s) = s 2 + 3s + 2 = s (233) s + 2 i wobec tego, dla tych danych, transformata odwrotna g(t) = L [ĝ(s)] wyrazi się zależnością g(t) = 2e 2t e t, t [, ) (234) Ponieważ ogólna postać transformaty odwrotnej L [ŷ w (s)] może być opisana za pomocą splotu, zgodnie ze znanym wzorem y w (t) = L [ĝ(s)û(s)] = t g(t τ)u(τ)dτ, t [, ), (235) gdzie g(t) = L [ĝ(s)], więc dla rozważanych, konkretnych danych L, R i C oraz dowolnego wymuszenia u(t) w przedziale [, ) odpowiedź układu zrelaksowanego przyjmie postać y(t) = y w (t) = t [2e 2(t τ) e (t τ) ]u(τ) dτ, t [, ) (236) Widzimy więc, że w rozważanym przykładzie układ zrelaksowany opisany jest funkcją przejścia (232) Uogólnijmy teraz powyższe rozważania na przypadek równania różniczkowego (2) z warunkami początkowymi (22) i (23) Załóżmy, że układ jest zrelaksowany, tzn y (i) ( ) = u (i) ( ) = lim (t) =, t i =,, 2,, n, (237a) lim (t) =, t i =,, 2,, m (237b) Wówczas, zgodnie z zależnością (225), transformata odpowiedzi układu może być zapisana w postaci a wymierna funkcja ĝ(s), zdefiniowana zależnością ŷ(s) = ŷ w (s) = ĝ(s)û(s), (238) ĝ(s) = L(s) M(s) = β ms m + β m s m + + β s + β s n + α n s n + + α s + α, (239) nazywana jest funkcja przejścia układu Zwróćmy tutaj uwagę, że w mianowniku zależności (239) współczynnik przy s n jest równy W przypadku gdy współczynnik ten jest różny od i wynosi α n (np w wyrażeniu (232) mamy α n = α 2 = L), postać (239) otrzymujemy po podzieleniu licznika i mianownika funkcji przejścia przez α n Funkcja przejścia ĝ(s) opisuje zrelaksowany układ dynamiczny, ponieważ ogólna postać odpowiedzi takiego układu może być zapisana za pomocą splotu y(t) = y w (t) = L [ĝ(s)û(s)] = gdzie g(t) = L [ĝ(s)] t g(t τ)u(τ)dτ, t [, ), (23) Zauważmy ponadto, że zależność (225), opisująca układ zrelaksowany, pozwala zdefiniować funkcję przejścia ĝ(s) w następujący, równoważny sposób: ĝ(s) = ŷ(s) = L[wyjście], (23) û(s) L[wejście] układ zrelaksowany układ zrelaksowany tzn jako stosunek transformaty sygnału wyjściowego do wejściowego dla układu zrelaksowanego (przy zerowych warunkach początkowych) 23 Wymierna funkcja przejścia Ponieważ równanie różniczkowe (2) jest równaniem liniowym o stałych, rzeczywistych współczynnikach, więc funkcja przejścia zdefiniowana zależnością (239) będzie zawsze funkcją wymierną i rzeczywistą, tzn o rzeczywistych współczynnikach W dalszym ciągu zajmiemy się więc wymierną funkcją przejścia o postaci ĝ(s) = L(s) M(s), (232)

14 28 Rozdział 2 Modele matematyczne układów 23 Układ zrelaksowany i funkcja przejścia 29 gdzie L(s) i M(s) są dwoma wielomianami (względem s) o współczynnikach rzeczywistych Rząd wielomianu będziemy oznaczać przez deg Wymierną funkcję przejścia (232) nazwiemy niewłaściwa, jeżeli deg L(s) > deg M(s) Przykładami funkcji wymiernych, niewłaściwych są wyrażenia Jeżeli natomiast s, s 2 +, s 2 s +, s 5 s 4 + s 3 + s + 5 deg L(s) deg M(s), (233) to wymierną funkcję przejścia nazwiemy właściwa W przypadku gdy w zależności (233) zachodzi równość, tzn deg L(s) = deg M(s), to funkcję nazywamy dwuwłaściwa Funkcja jest więc dwuwłaściwa, jeżeli równocześnie ĝ(s) = L(s)/M(s) i funkcja odwrotna ĝ (s) = M(s)/L(s) są właściwe Jeżeli w zależności (233) mamy nierówność ostrą, tzn deg L(s) < deg M(s), to taką funkcję nazywamy ściśle właściwa Spośród następujących przykładowych funkcji wymiernych s 2 +, 3, s +, s 2 s +, s s + pierwsza jest funkcją niewłaściwą, druga dwuwłaściwą, trzecia ściśle właściwą, czwarta niewłaściwą i piąta dwuwłaściwą To, czy wymierna funkcja ĝ(s) jest właściwa czy nie, można też określić na podstawie granicy ĝ( ) = lim s ĝ(s) Funkcja jest niewłaściwa, jeżeli ĝ( ) = + lub, właściwa, jeżeli ĝ( ) <, dwuwłaściwa, jeżeli < ĝ( ) <, i ściśle właściwa, jeżeli ĝ( ) = W zagadnieniach sterowania właściwe funkcje przejścia odgrywają rolę najważniejszą 232 Zera i bieguny funkcji przejścia Z wcześniejszych rozważań wiemy, że funkcja przejścia ĝ(s) opisuje zrelaksowany układ dynamiczny W analizie właściwości układu zrelaksowanego istotną rolę odgrywają tzw zera i bieguny funkcji przejścia W celu zdefiniowania tych pojęć rozważmy rzeczywistą, wymierną, właściwą funkcję przejścia ĝ(s) = L(s) M(s), (234) tzn L(s) i M(s) są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych i deg L(s) deg M(s) Definicja 232 Biegunem funkcji przejścia ĝ(s) nazywamy skończoną liczbę rzeczywistą lub zespoloną p taką, że ĝ(p) = Natomiast zerem nazywamy skończoną liczbę rzeczywistą lub zespoloną z taką, że ĝ(z) = Aby zilustrować tę definicję, rozważmy następującą funkcję przejścia: Dla liczby p = 2 mamy ĝ(s) = L(s) M(s) = 2s3 + 6s 2 2s 6 (s )(s + 2)(s + ) 3 (235) ĝ( 2) = L( 2) M( 2) = 2( 2)3 + 6( 2) 2 2( 2) 6 = 6 ( 3) ( ) = i, zgodnie z definicją, p = 2 jest biegunem funkcji (235) Oczywiście, liczba 2 jest również miejscem zerowym mianownika M(s) Czy wobec tego każde miejsce zerowe mianownika M(s) jest biegunem funkcji ĝ(s)? Aby odpowiedzieć na to pytanie, sprawdźmy jeszcze liczbę p =, która jest także miejscem zerowym M(s) Dla liczby p = otrzymujemy ĝ() = L() M() = = 3 8 a więc symbol nieoznaczony Zastosowanie reguły de l Hospitala ĝ() = L () M () = = 2 3 i wobec tego p = nie jest biegunem ĝ(s) Oznacza to, że nie każde miejsce zerowe mianownika M(s) jest biegunem funkcji przejścia ĝ(s) Jeżeli przedstawimy teraz licznik L(s) wyrażenia (235) w postaci iloczynowej, tzn takiej jak mianownik w (235), a następnie wykonamy uproszczenia, to otrzymamy ĝ(s) = 2(s + 3)(s )(s + ) (s )(s + 2)(s + ) = 2(s + 3) 3 (s + 2)(s + ) (236) 2 Z ostatniej zależności widać jasno, że p = nie jest biegunem ĝ(s) Widać ponadto, że funkcja (235) ma jedno zero z = 3 i trzy bieguny: p = 2, p = i p = Biegun p = 2 nazywamy pojedynczym, a biegun p = wielokrotnym o krotności 2 Uogólniając teraz powyższe rozważania na przypadek funkcji przejścia (234), możemy powiedzieć, że biegunami funkcji przejścia ĝ(s) są te pierwiastki mianownika M(s), które nie upraszczają się z pierwiastkami licznika L(s) Analogicznie zerami funkcji przejścia ĝ(s) są te pierwiastki licznika L(s), które nie upraszczają się z pierwiastkami mianownika M(s) W przypadku gdy licznik L(s) i mianownik M(s) funkcji przejścia ĝ(s) = L(s)/M(s) nie mają wspólnych pierwiastków (miejsc zerowych), funkcję przejścia nazywamy nieredukowalna W przeciwnym razie funkcję przejścia nazywamy redukowalna Na zakończenie tego punktu zauważmy, że ponieważ zera i bieguny funkcji przejścia są, w ogólnym przypadku, liczbami zespolonymi, to można je przedstawić jako punkty na płaszczyźnie zespolonej [ s ] Dla łatwego odróżnienia zer od biegunów zera oznaczamy kółeczkami, a bieguny krzyżykami (iksami) Położenie zer i biegunów funkcji przejścia (236) pokazane jest na rysunku 2