Podstawy Fizyki II. Strona 1

Transkrypt

1 Strona 1

2 Strona

3 SPIS TREŚCI WSTĘP MAGNETYZM POLE MAGNETYCZNE RUCH ŁADUNKU W POLU MAGNETYCZNYM POLE MAGNETYCZNE PRĄDU ZJAWISKO INDUKCJI ELEKTROMAGNETYCZNEJ MAGNETYCZNE WŁASNOŚCI MATERII ENERGIA POLA MAGNETYCZNEGO OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO IMPEDANCJA DRGANIA ELEKTRYCZNE DRGANIA TŁUMIONE W OBWODZIE RLC MOC W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO FALE CO TO JEST FALA RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE FALI SUPERPOZYCJA FAL FALE STOJĄCE FALA AKUSTYCZNA ENERGIA FALI EFEKT DOPPLERA FALE ELEKTROMAGNETYCZNE WIDMO FAL ELEKTROMAGNE- TYCZNYCH RÓWNANIA MAXWELLA ROZCHODZENIE SIĘ FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ WEKTOR POYNTINGA OPTYKA PRAWA ZAŁAMANIA I ODBICIA ŚWIATŁA OPTYKA GEOMETRYCZNA POLARYZACJA INTERFERENCJA Strona 3

4 16.5. DYFRAKCJA SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI SZCZEGÓLNA TEORIA WZGLĘDNOŚCI TRANSFORMACJA LORENTZA KONSEKWENCJE PRZEKSZTAŁCEŃ LORENTZA DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA FIZYKA KWANTOWA PRAWA PROMIENIOWANIA KWANTOWA NATURA PROMIENIOWANIA DUALIZM KORPUSKULARNO-FALOWY FIZYKA ATOMU I FIZYKA JĄDRA ATOMOWEGO BUDOWA ATOMU JĄDRO ATOMOWE PROMIENIOTWÓRCZOŚĆ ROZPADY PROMIENIOTWÓRCZE REAKCJE JĄDROWE ELEMENTY MECHANIKI KWANTOWEJ WŁAŚCIWOŚCI FALOWE MATERII FUNKCJA FALOWA I RÓWNANIE SCHRÖDINGERA ROZWIĄZANIA RÓWNANIA SCHRÖDINGERA DLA WYBRANYCH POTENCJAŁÓW KWANTOWY MODEL ATOMU FIZYKA CIAŁA STAŁEGO WIĄZANIA CHEMICZNE STRUKTURY KRYSTALICZNE MODEL PASMOWY CIAŁ STAŁYCH URZĄDZENIA PÓŁPRZEWODNIKOWE LASERY...41 Strona 4

5 Wstęp Niniejsze materiały zostały opracowane w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechniki Warszawskiej współfinansowanego przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego - PROGRAM OPERACYJNY KAPITAŁ LUDZKI. Przeznaczone są dla słuchaczy Studiów Podyplomowych KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROJEKTOWANIA I PODSTAWY WZORNICTWA PRZEMYSŁOWEGO prowadzonych na Wydziale Samochodów i Maszyn Roboczych Politechniki Warszawskiej. Niniejsze opracowanie przygotowano dla przedmiotu pt. Podstawy Fizyki. Jego zawartość merytoryczna w pełni odpowiada zakresowi opisanemu w sylabusie opracowanym dla tego przedmiotu. Skrypt stanowi drugą część opracowanych materiałów dydaktycznych, stanowi kontynuację pierwszej części i dotyczy zagadnień omawianych podczas drugiego semestru wykładów z ww przedmiotu. Opracowane zagadnienia podzielone zostały na 10 rozdziałów. W rozdziale 1 omówione zostały właściwości fizyczne pola magnetycznego, ruch ładunku i przewodnika z prądem w polu magnetycznym a także magnetyczne właściwości materii. Rozdział 13 dotyczy podstawowych właściwości obwodów prądu zmiennego. W rozdziale 14 wprowadzone pojęcia fali, fali stojącej, energii i natężenia fali a także opisano mechanizmy rozchodzenia i nakładania się fal. W rozdziale 15 opisano podstawowe właściwości fal elektromagnetycznych oraz równania Maxwella. Strona 5

6 Rozdział 16 dotyczy optyki geometrycznej oraz podstawowych zjawisk optyki falowej takich jak interferencja, dyfrakcja czy polaryzacja. W rozdziale 17 przedstawiono założenia szczególnej teorii względności, elementy mechaniki relatywistycznej oraz konsekwencje przekształceń Lorentza. Rozdział 18 stanowi wprowadzenie do zagadnień fizyki kwantowej, omówione zostały zjawiska ukazujące korpuskularną naturę światła. W rozdziale 19 opisana jest budowa atomu, w tym model Bohra atomu wodoru, a także zagadnienia z fizyki jądrowej dotyczące rozpadów promieniotwórczych i reakcji jądrowych. Rozdział 0 poświęcony jest mechanice kwantowej. Przedstawiono w nim między innymi zasadę nieoznaczoności Heisenberga, równanie Schrödingera wraz z rozwiązaniami dla prostych układów kwantowych oraz kwantowy model atomu. W rozdziale 1 przedstawiono elementy fizyki ciała stałego w tym podstawowe informacje o wiązaniach chemicznych, strukturze krystalicznej a także o strukturze pasmowej ciał stałych. Strona 6

7 1 Magnetyzm W tym rozdziale: o o o o o o o o Ruch ładunku w polu magnetycznym, siła Lorentza Przewodnik z prądem w polu magnetycznym, silnik elektryczny Pole magnetyczne prądu, prawo Biota- Savarta, prawo Ampera Magnetyczne własności materii, moment magnetyczny elektronu, rodzaje magnetyków Indukcja elektromagnetyczna, prawo indukcji Faradaya Prądnica, alternator Indukcyjność, transformator Energia pola magnetycznego Strona 7

8 1.1. Pole magnetyczne Pierwsze wzmianki o wykorzystaniu zjawiska magnetyzmu pochodzą ze starożytności. Kompasy wykorzystywane w nawigacji pojawiły się w Chinach około I wieku n.e. Dokładniejszy opis zjawisk magnetyzmu zawdzięczamy jednak badaniom nad prądem elektrycznym, które ujawniły bliski związek pola magnetycznego z elektrycznym i możliwość wzajemnej indukcji obu pól. W przypadku pola elektrycznego, jego źródłem były ładunki elektryczne. Układ ładunków dodatniego i ujemnego, umieszczonych w stałej odległości od siebie określiliśmy jako dipol elektryczny. Odpowiednikiem dipolu elektrycznego jest dipol magnetyczny, czyli magnes, składający się z dwóch nierozdzielnych biegunów magnetycznych północnego N i południowego S. Biegun północny nie może istnieć bez południowego i jeśli rozdzielimy magnes sztabkowy w poprzek na dwie połówki otrzymamy dwa magnesy zawierające również bieguny N i S. Dalszy podział magnesu będzie prowadził do wytworzenia coraz mniejszych dipoli magnetycznych, aż otrzymamy najmniejszy niepodzielny dipol zawierający również dwa bieguny. Prawo Gaussa dla magnetyzmu Pole magnetyczne nazywamy polem bezźródłowym. Linie takiego pola są zawsze liniami zamkniętymi, nie mają początku ani końca jak w przypadku pola elektrycznego. W prosty sposób możemy sformułować prawo Gaussa dla pola magnetycznego: B ds 0 (1.1) Ponieważ linie pola magnetycznego są zamknięte to całkowita wartość strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodząca przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa zeru. Strona 8

9 1.. Ruch ładunku w polu magnetycznym Siła Lorentza Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa tzw. siła Lorentza. Działanie tej siły obserwujemy w przypadku, kiedy ładunek porusza się, a wektor prędkości posiada składową prostopadłą do kierunku pola magnetycznego. W tym przypadku siła powoduje zakrzywienie toru ruchu ładunku. Rysunek 1.1. Siła Lorentza działająca na ładunek poruszający się w polu magnetycznym Wartość siły Lorentza zależy od wartości ładunku elektrycznego, prędkości poruszania się tego ładunku i również od siły pola magnetycznego. Aby scharakteryzować tę siłę pola magnetycznego wprowadzamy wektor indukcji magnetycznej B. Wektor ten na zewnątrz magnesu jest skierowany od bieguna północnego N do bieguna południowego S magnesu. Jednostką indukcji jest tesla N N m s J s V s 1T C m s C m C m m Strona 9

10 Siłę Lorentza F L możemy wyrazić jako iloczyn ładunku q przez iloczyn wektorowy prędkości v oraz wektora indukcji pola magnetycznego B : F L q v B (1.) Wektor siły Lorentza F L jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory v oraz B a jego zwrot możemy określić z reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni (rozdział 1.3). Kierunek i zwrot wektora siły Lorentza działającej na dodatni ładunek poruszający się z prędkością v prostopadłą do kierunku pola magnetycznego B pokazany jest na rysunku 1.1. W ogólnym przypadku ładunek może znajdować się zarówno w polu magnetycznym, jak i polu elektrycznym. Wypadkowa siła działająca w takim przypadku na ten ładunek będzie złożeniem siły elektrostatycznej oraz Lorentza: F qe q v B (1.3) Siła Lorentza powoduje zakrzywienie toru ruchu ładunku tak, że ładunek poruszający się prostopadle do linii sił pola magnetycznego porusza się po okręgu. Siła Lorentza jest więc siłą dośrodkową działającą na ładunek q o masie m poruszający się po okręgu o promieniu r : F F L d mv q v B r (1.4) W powyższym przypadku wektory prędkości i indukcji są do siebie prostopadłe, więc iloczyn wektorowy (jego wartość) możemy zastąpić zwykłym mnożeniem. Z równania 1.4 otrzymujemy promień r okręgu, po jakim porusza się ładunek q o masie m w polu magnetycznym o indukcji B: mv r (1.5) qb Strona 10

11 Po przekształceniach wzoru możemy przekonać się, że prędkość kątowa w takim ruchu nie zależy od prędkości postępowej ładunku: v qb ω r m (1.6) Przykłady Przykładem wykorzystania działania siły Lorentza do zakrzywienia toru ładunku jest cyklotron. W cyklotronie naładowane cząstki są przyspieszane polem elektrycznym pomiędzy tzw. duantami. Pole magnetyczne zakrzywia tor lotu cząstki tak, że cząstka wraca ponownie w obszar pomiędzy duantami. Rysunek 1. Schemat działania cyklotronu z zaznaczonym torem ładunku dodatniego. Ponieważ częstość obiegu cząstki nie zależy od jej prędkości v (jak wykazaliśmy we wzorze 1.6), możemy tak dobrać częstość przełączania pola elektrycznego przyłożonego do duantów, by przyspieszało cząstkę zawsze, kiedy jest ona między duantami. Cząstka (np. elektron) wyemitowana w środku przyrządu, między duantami w miarę kolejnych przejść przez obszar pomiędzy duantami zwiększać będzie swoją prędkość a więc i promień toru lotu cząstki tak, że w końcu opuści ona cyklotron. Strona 11

12 W przypadku lampy katodowej telewizora kineskopowego strumień elektronów emitowany z rozgrzanej katody trafia w obszar skrzyżowanych pól magnetycznych. W ten sposób wiązka może być odchylana w pionie i w poziomie i kierowana w odpowiednie miejsce na kineskopie, gdzie uderzając w warstwę luminoforu rozświetla dany punkt. Punkty układają się w linie a linie składają się na kolejne klatki obrazu, które są wyświetlane jedna po drugiej na tyle szybko, że nasze oko nie zauważa procesu odświeżania obrazu. W spektrometrze masowym najpierw za pomocą odpowiednich parametrów pola elektrycznego i magnetycznego selekcjonujemy cząstki o identycznym ładunku i prędkości, które to cząstki następnie wlatują w obszar pola magnetycznego tak, że ich wektor prędkości jest prostopadły do wektora indukcji magnetycznej. Ponieważ ich ładunek i prędkość są identyczne, jedynym parametrem wpływającym na promień toru cząstek w polu magnetycznym jest ich masa. Izotopy tego samego pierwiastka, posiadające ten sam ładunek, ale różniące się masą, będą poruszać się po różnych torach, co możemy wykryć za pomocą detektora. Za pomocą spektrometru masowego możemy zatem badać skład izotopowy pierwiastków wchodzących w skład związków chemicznych. Jeśli prędkość cząstki posiada nie tylko składową prostopadłą do kierunku pola magnetycznego ale i składową równoległą do tego kierunku, wówczas tor ruchu cząstki będzie linią śrubową. Z takim torem śrubowym mamy do czynienia na przykład w zjawisku zorzy polarnej. Gdy naładowane cząstki, powstałe w większości na Słońcu, wpadają w obszar pola magnetycznego Ziemi, działająca na nie siła Lorentza powoduje zakrzywienie toru ich lotu tak, że poruszają się one po torach śrubowych wzdłuż linii Ziemskiego pola magnetycznego, w kierunku ziemskich biegunów magnetycznych. Ponieważ linie sił pola magnetycznego zagęszczają się w pobliżu biegunów magnetycznych Ziemi, koncentracja naładowanych cząstek w tym rejonie jest stosunkowo duża. Podczas oddziaływania tych cząstek z atmosferą Ziemi powstaje promieniowanie, które obserwujemy jako zorzę polarną. Strona 1

13 Przewodnik z prądem w polu magnetycznym Jeśli przewodnik, przez który płynie prąd elektryczny znajduje się w polu magnetycznym, to na nośniki ładunku poruszające się wewnątrz tego przewodnika działa siła Lorentza. Jeżeli we wzorze na siłę Lorentza wartość ładunku q wyrazimy za pomocą natężenia I przepływającego prądu oraz powiążemy prędkość nośników ładunku v z czasem t, w jakim pokonują one odcinek przewodnika o długości l, to otrzymujemy wzór na siłę Lorentza F działającą na nośniki ładunku poruszające się w przewodniku znajdującym się w polu magnetycznym o indukcji B : l F q v B I t B I l B t (1.7) F I l B Siła ta nazywana elektrodynamiczną działając na przewodnik z prądem jest wprost proporcjonalna do natężenia prądu I, długości przewodnika l oraz indukcji pola magnetycznego B. Silnik elektryczny Siłę elektrodynamiczną wykorzystuje się w silnikach elektrycznych. Rozpatrzmy uproszczony model silnika elektrycznego składającego się z pojedynczej ramki, w której płynie prąd, umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B, pomiędzy dwoma biegunami magnesu (w rzeczywistym silniku jest to kilka ramek o wspólnej osi obrotu). Ramka ta może obracać się wokół własnej osi prostopadłej do kierunku wektora indukcji magnesu stałego. Jeżeli przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, to na każdy z boków ramki działa siła elektrodynamiczna ( F I l B ) skierowana prostopadle zarówno do kierunku przepływu prądu jak i do kierunku pola magnetycznego (rysunek 1.3). Siły działające na boki o długości a mają tę samą wartość, F I ab, ale przeciwny zwrot i w efekcie kompensują się. Wartość siły działającej na każdy z boków o długości b wynosi F I bb. Siły te działają Strona 13

14 na ramieniu o długości a (odległość boku b od osi obrotu ramki wynosi a ) tak, że efektywnie na ramkę działać będzie moment sił M : a I bb sinα IA B sinα M (1.8), gdzie B oznacza indukcję pola magnetycznego, I natężenie prądu płynącego w prostokątnej ramce o wymiarach a x b i polu powierzchni A, zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny (prostopadły) do płaszczyzny ramki z wektorem B. Zwrot wektora normalnego wyznaczamy z reguły śruby prawoskrętnej obracanej w kierunku opływania ramki przez prąd elektryczny. Rysunek 1.3. Schemat zasady działania silnika elektrycznego prądu stałego. Moment siły działający na ramkę z prądem jest maksymalny, kiedy płaszczyzna ramki jest równoległa do linii sił pola magnetycznego (α=π/). Jeśli ramka jest ustawiona prostopadle do kierunku pola magnetycznego (α=0) to wypadkowy moment sił jest równy zeru. Jeżeli ramka posiada jakąś prędkość Strona 14

15 obrotową to przechodzi przez martwe położenie, jeżeli natomiast ramka silnika będzie nieruchoma w takim położeniu, to silnik nie może ruszyć z miejsca. W praktyce w silnikach elektrycznych stosuje się układ ramek (uzwojenia) znajdujące się pod pewnym kątem względem siebie. Wówczas nawet, jeżeli jedno z uzwojeń znajdować się będzie w martwym położeniu na inne będzie działał niezerowy moment siły i silnik zacznie się obracać. Ze wzoru 1.8 wynika, że moment siły działający na ramkę silnika będzie dążył do jej ustawienia prostopadle do pola magnetycznego. Przy ustalonym kierunku przepływu prądu w ramce, po przejściu ramki przez martwe położenie zmianie ulegnie zwrot momentu sił działających na ramkę ramka będzie chciała wrócić do martwego położenia. W efekcie zamiast ruchu obrotowego, obserwowalibyśmy oscylacje ramki wokół tego martwego położenia. Aby uzyskać ruch obrotowy należy w momencie, gdy ramka silnika jest prostopadła do pola magnetycznego zmienić kierunek przepływu prądu. Zmianę kierunku przepływu prądu w ramce zsynchronizowaną z obrotem ramki realizuje się za pomocą tzw. komutatora. Komutator zbudowany jest z dwóch elektrod w kształcie półpierścienia osadzonych na osi obrotu ramki, do których podłączone jest uzwojenie ramki. Po tych ruchomych elektrodach ślizgają się grafitowe szczotki, do których przyłożone jest napięcie źródła. Przeskok szczotek między półpierścieniami powoduje zmianę kierunku przepływu prądu w ramce. Strona 15

16 1.3. Pole magnetyczne prądu Prawo Biota-Savarta Kierunek linii pola magnetycznego możemy określić eksperymentalnie za pomocą igły kompasu, która zawsze ustawia się wzdłuż linii pola magnetycznego. Jeśli taką igłę kompasu umieścimy w pobliżu przewodnika to możemy zaobserwować, że igła obróci się w momencie włączenia prądu w przewodniku. Oznacza to, że przepływ prądu w przewodniku jest źródłem pola magnetycznego. Przemieszczając igłę magnetyczną wokół przewodnika możemy określić kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego B w każdym punkcie. W przypadku przewodnika prostoliniowego linie pola magnetycznego tworzą okręgi w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku przepływu prądu elektrycznego. Kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego w dowolnym punkcie wokół przewodnika możemy wyznaczyć z reguły śruby prawoskrętnej lub reguły prawej dłoni. Jeśli przewodnik z prądem obejmiemy prawą dłonią tak, że kciuk wskazywać będzie kierunek przepływu prądu elektrycznego, to zagięte palce dłoni wyznaczać nam będą zwrot wektora B indukcji pola magnetycznego. Wartość oraz zwrot wektora indukcji pola magnetycznego d B, pochodzącego od elementu dl przewodnika, przez który przepływa prąd elektryczny o natężeniu I, wyznaczone w odległości r od tego elementu dl, opisuje prawo Biota-Savarta: 0I dl r db (1.9), 3 4 r Strona 16

17 gdzie 0 jest przenikalnością magnetyczną próżni H Vs m Vs , μ 1 1 m m A Am wzorze wektor 0 1 H m. W powyższym d l ma zwrot zgodny z umownym zwrotem przepływu prądu w przewodniku a wektor r prowadzimy od elementu d l do punktu P, w którym chcemy obliczyć wektor indukcji magnetycznej B (rysunek 1.4). Rysunek 1.4. Wyznaczanie indukcji pola magnetycznego za pomocą prawa Biota Savarta Pole magnetyczne pętli z prądem Prostym przykładem zastosowania prawa Biota-Savarta może być wyznaczenie indukcji B pola magnetycznego wytworzonego przez zamkniętą pętlę kołową o promieniu R, w której płynie prąd elektryczny o natężeniu I. Jeżeli będziemy szukać indukcji B w punkcie znajdującym się w środku tej pętli to odległość pomiędzy każdym z fragmentów przewodnika a punktem, w którym obliczamy pole jest stała i wynosi R. Również wektory d l oraz r są do siebie prostopadłe w każdym punkcie pętli, a więc szukając wartości db indukcji Strona 17

18 pola magnetycznego pochodzącego od odcinka dl przewodnika otrzymamy: 0 I dlr sin 0 I dl db 3 4R 4R (1.10) Ponieważ każdy z wektorów db pochodzących od dowolnego fragmentu dl przewodnika będzie miał ten sam kierunek i zwrot prostopadły do płaszczyzny pętli, więc wypadkowy wektor indukcji pochodzący od całej pętli obliczymy, dokonując całkowania po całej długości okręgu: B R 0 I dl 0 4R (1.11) B 0I (1.1) R W podobny sposób możemy obliczyć indukcję pola magnetycznego w punkcie położonym na osi przechodzącej przez środek pętli (rysunek 1.5). Rysunek 1.5. Obliczanie wektora indukcji pochodzącego od pętli z prądem W tym przypadku należy jednak pamiętać, że wektory db pochodzące od fragmentów dl pętli nie są równoległe, a więc w Strona 18

19 obliczeniach wypadkowego natężenia należy uwzględnić tylko składowe wzdłuż osi pętli db w. Składowe prostopadłe do osi, czyli równoległe do płaszczyzny pętli, pochodzące od dwóch fragmentów dl ułożonych symetrycznie na okręgu będą się znosiły jak na rysunku 1.5. W takim przypadku wektor indukcji B w odległości Z od środka pętli wynosi: B Z 0IR Z R 3/ (1.13) Można wykazać, że dla ramki z prądem o dowolnym kształcie, kierunek i zwrot wektora B indukcji pola magnetycznego, wytworzonego przez płynący w ramce prąd, jest prostopadły do płaszczyzny tej ramki. Ramka taka może być scharakteryzowana za pomocą momentu magnetycznego : AI n (1.14), gdzie n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni ramki określonym prawoskrętnie w stosunku do kierunku przepływu prądu o I płynącego w ramce, A jest powierzchnią ramki. Kierunek i zwrot wektora momentu magnetycznego ramki z prądem jest taki sam jak kierunek i zwrot wektora indukcji pola magnetycznego B wytworzony przez taką ramkę z prądem i taki sam jak wektora normalnego ramki. Przykładem urządzenia, w którym mamy do czynienia z oddziaływaniem pola magnetycznego na pętlę z prądem jest głośnik. W większości głośników w polu magnetycznym nieruchomego magnesu stałego umieszczana jest cewka z prądem, która może poruszać się tylko w jednym kierunku. Do cewki zamocowana jest membrana głośnika. W zależności od kierunku przepływu prądu w cewce, cewka i cała membrana są przyciągane lub odpychane przez magnes, a drgania membrany wytwarzają falę dźwiękową. Strona 19

20 Prawo Ampera Prawo Ampera pozwala łatwo obliczyć indukcję pola magnetycznego szczególnie w przypadkach, kiedy układ charakteryzuje się wysoką symetrią. Krążenie wektora indukcji po dowolnej krzywej zamkniętej jest równe wypadkowemu natężeniu prądu przenikającemu przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnożonemu przez wartość przenikalności magnetycznej próżni. dl B cosθ dl B 0 I (1.15), gdzie B jest indukcją pola magnetycznego na konturze zamkniętym, dl wycinkiem tego konturu, θ kątem między wektorem B oraz dl, zaś I wartością wypadkowego prądu objętego przez zamknięty kontur. Krążenie wektora indukcji magnetycznej wzdłuż krzywej zamkniętej (inaczej całkę po zamkniętym konturze) wyraziliśmy tutaj jako sumę (całkę) iloczynów skalarnych wektora B w danym punkcie krzywej i wektora dl stycznego do tej krzywej. Pole magnetyczne prostoliniowego przewodnika z prądem Jako przykład zastosujemy prawo Ampera do obliczenia indukcji magnetycznej pochodzącej od nieskończenie długiego, prostoliniowego przewodnika. Jako krzywą zamkniętą wybieramy okrąg o promieniu r ułożony w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika tak, że przez jego środek przechodzi przewodnik. W tym przypadku wektor indukcji pola magnetycznego B w każdym punkcie tego okręgu jest do niego styczny, podobnie jak wektor dl. Ponieważ wektory B oraz dl są do siebie równoległe i zgodne, czyli kąt θ jest równy zeru, to cosθ = 1 w każdym punkcie konturu. W efekcie iloczyn skalarny możemy zastąpić iloczynem wartości. Ponadto wartość wektora indukcji B jest identyczna w każdym punkcie okręgu, ponieważ każdy jego punkt znajduje się w identycznej odległości od przewodnika i jako wartość stała może być wyciągnięta przed znak całkowania. Pozostała całka po Strona 0

21 konturze zamkniętym jest równa długości tego konturu a więc w naszym przypadku długości obwodu okręgu o promieniu r: B dl B dl cos B dl B dl B r (1.16) Na podstawie prawa Ampera przyrównujemy wyznaczone krążenie wektora indukcji magnetycznej do prądu objętego przez wybrany kontur zamknięty i możemy wyznaczyć indukcję pola magnetycznego B wytworzoną przez prąd elektryczny o natężeniu I płynący przez prostoliniowy przewodnik, w odległości r od tego przewodnika: B r 0 0I B r I (1.17) Wzorzec ampera Zalety stosowania prawa Ampera do obliczenia indukcji pola magnetycznego pokazuje przykład kabla koncentrycznego. Kabel taki składa się z żyły, oddzielonej warstwą izolatora od współśrodkowego metalowego ekranu (oplotu). Podobnie jak poprzednio, jako krzywą zamkniętą wybierzemy okrąg w płaszczyźnie prostopadłej do przewodu, współśrodkowy z żyłą i oplotem. W kablu koncentrycznym prąd w ekranie płynie w przeciwną stronę niż w żyle i dlatego suma natężeń prądów przecinających kulistą powierzchnię rozpiętą na okręgu obejmującym kabel jest równa zeru. Na mocy prawa Ampera oznacza to, że również indukcja pola magnetycznego na zewnątrz takiego kabla koncentrycznego jest równa zeru. Ponieważ przewodnik z prądem jest źródłem pola magnetycznego, więc jeśli ustawimy dwa przewodniki z prądem równolegle do siebie (rysunek 1.6) to jeden znajdować się będzie w polu magnetycznym wytworzonym przez drugi. Wektor indukcji pola magnetycznego wytworzony przez przewodnik pierwszy jest zwrócony prostopadle do przewodnika drugiego i zgodnie ze wzorem 1.17 wynosi Strona 1

22 0 I 1 B1, gdzie D oznacza odległość między przewodnikami, D zaś I1 jest natężeniem prądu elektrycznego płynącego w pierwszym przewodniku. Na przewodnik drugi działa więc siła Lorentza, której wartość wyznaczamy za pomocą wzoru 1.7: I I 1 l F I lb1 (1.18), D gdzie l oznacza długość odcinka, na którym przewody są ułożone równolegle do siebie. Siła o identycznej wartości, lecz przeciwnym zwrocie będzie działać na przewodnik pierwszy. Kierunek działania siły wyznacza odcinek łączący przewodniki, a zwrot zależy od kierunku przepływu prądów. Jeśli prądy mają zgodne kierunki, między przewodnikami występuje siła przyciągająca; jeśli kierunek prądu jest przeciwny odpychająca, jak na rysunku 1.6. Rysunek 1.6. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch równoległych przewodników z prądem: kierunek prądu zgodny (z lewej) i przeciwny (z prawej). Za pomocą elektrodynamicznej siły oddziaływania dwóch przewodników z prądem zdefiniowany jest wzorzec jednostki natężenia prądu elektrycznego układu SI ampera: Stały prąd elektryczny o natężeniu 1 ampera płynąc w dwóch równoległych, prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach, umieszczonych w odległości 1m od siebie powoduje wzajemne oddziaływanie tych przewodów ze sobą z siłą równą 10 7 N na każdy metr długości przewodu. Strona

23 Pole magnetyczne solenoidu Jako przykład zastosowania prawa Biota-Savarta obliczyliśmy indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez pętlę z prądem. Wiemy już, że indukcja ta skierowana jest prostopadle do płaszczyzny pętli. Wartość indukcji pola magnetycznego możemy zwiększyć układając koło siebie kolejne pętle. Taki układ wielu pętli, tzw. zwojów, nazywać będziemy cewką a w sytuacji, gdy zwoje te mają kształt okręgu, czyli gdy powstały w wyniku nawinięcia wielu zwojów na powierzchni cylindra nazywamy solenoidem. Pole magnetyczne wytwarzane wewnątrz cewki możemy obliczyć stosując prawo Ampera. Rozważmy prostokątny kontur zamknięty o długości a przecinający ściankę boczną cewki jak na rysunku 1.7 i obliczmy krążenie wektora indukcji po tym konturze. Jeśli solenoid jest nieskończenie długi (odpowiednio długi) to pole magnetyczne na zewnątrz solenoidu nie istnieje (indukcja magnetyczna pochodząca od górnej części uzwojeń solenoidu jest kompensowana indukcją od dolnej części). Rysunek 1.7. Zastosowanie prawa Ampera do obliczenia pola magnetycznego wewnątrz cewki solenoidalnej i toroidalnej W efekcie krążenie wektora indukcji magnetycznej dla odcinka konturu znajdującego się na zewnątrz solenoidu jest równe zeru. Odcinki prostopadłe do cewki są również prostopadłe do wektora indukcji magnetycznej i ze względu na zerową wartość iloczynu skalarnego krążenie na tych odcinkach również wynosi zero. Jedyny wkład do krążenia wektora B po Strona 3

24 wybranej krzywej prostokątnej pochodzi zatem od odcinka równoległego do osi solenoidu znajdującego się wewnątrz tego solenoidu. Ponieważ pole magnetyczne wewnątrz solenoidu jest jednorodne (indukcja magnetyczna B ma tę samą wartość i zwrot w każdym punkcie), więc krążenie wektora indukcji magnetycznej na odcinku o długości a, będzie równe iloczynowi B oraz a. Jeżeli na tym odcinku o długości a znajduje się N uzwojeń solenoidu, w którym płynie prąd o natężeniu I, to suma natężeń prądów przecinających powierzchnię rozpiętą na wybranym konturze zamkniętym wyniesie N I. Prawo Ampera przyjmuje więc postać: B 0 a N I (1.19) Stąd wartość wektora indukcji magnetycznej wyniesie: 0N I ni (1.0), a B 0 gdzie n oznacza gęstość nawinięcia zwojów ilość zwojów na jednostkę długości cewki. Pole magnetyczne toroidu W podobny sposób jak dla solenoidu, korzystając z prawa Ampera możemy obliczyć pole magnetyczne wytworzone przez toroid. W cewce toroidalnej uzwojenie jest nawinięte na torusie o przekroju prostokątnym lub kołowym. Jako krzywą zamkniętą wybierzemy w tym przypadku okrąg współśrodkowy do torusa, którego promień zawiera się w przedziale od wartości promienia wewnętrznego do promienia zewnętrznego cewki toroidalnej (Rysunek 1.7). Ponieważ rozważany układ jest symetryczny, wektor indukcji w każdym miejscu tego okręgu będzie taki sam tak, że ponownie całkę okrężną można będzie zastąpić wymnożeniem wektora indukcji przez długość tego konturu (obwód okręgu). Płaszczyznę rozpiętą na wybranym okręgu przecina N przewodników z prądem, w których płynie prąd o natężeniu I. Prawo Ampera przyjmuje zatem postać: B 0 r N I (1.1) Strona 4

25 Po przekształceniu otrzymujemy wzór na indukcję magnetyczną wewnątrz cewki toroidalnej: 0N I B (1.) r Jak widać, wartość wektora indukcji jest w tym przypadku odwrotnie proporcjonalna do promienia wybranego okręgu wartość indukcji wewnątrz toroidu jest największa w pobliżu jego wewnętrznej, a najmniejsza przy jego zewnętrznej krawędzi. Moment magnetyczny W rozdziale 1. pokazaliśmy, że na przewodnik z prądem znajdujący się w polu magnetycznym działać będzie siła elektrodynamiczna F I l B (wzór 1.7). Obliczyliśmy, że moment M siły, działający na prostokątną ramkę z prądem, którą umieścimy w polu magnetycznym o indukcji B, będzie wynosić M I A B sin (wzór 1.8), gdzie A oznacza powierzchnię ramki z prądem, I natężenie prądu płynącego w ramce zaś α jest kątem, jaki tworzy wektor normalny do płaszczyzny ramki z wektorem indukcji magnetycznej B. Moment sił działający na ramkę obraca ją tak, aby ustawiła się prostopadle do linii zewnętrznego pola magnetycznego. Przypomnijmy również, że ramka z prądem wytwarza pole magnetyczne prostopadłe do płaszczyzny tej ramki (rysunek 1.5) o kierunku i zwrocie zgodnym z wektorem momentu magnetycznego AI n (wzór 1.14). Za pomocą tak zdefiniowanego momentu magnetycznego ramki z prądem można również wyrazić wektorowo moment sił M działających na ramkę umieszczoną w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B: M B (1.3) Strona 5

26 Z powyższego równania wynika, że moment M sił obraca ramkę z prądem tak, aby jej moment magnetyczny ustawił się zgodnie z zewnętrznym polem magnetycznym o indukcji B. Momentowi magnetycznemu ramki z prądem możemy przypisać również pewną energię potencjalną, zależną od jego ustawienia względem pola magnetycznego. Praca obrócenia ramki z prądem o pewien kąt w zewnętrznym polu magnetycznym B związana jest z momentem sił działających na tę ramkę: W M dα 0B sinα dα 0 B cosα W B (1.4), gdzie oznacza kąt między wektorem indukcji B zewnętrznego pola magnetycznego, a wektorem momentu magnetycznego ramki z prądem. Energia ramki z prądem umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B jest równa powyższej pracy, jaką należy wykonać, aby ustawić ją w ustalonej pozycji w zewnętrznym polu magnetycznym. W przypadku, gdy moment magnetyczny ramki ma taki sam zwrot jak wektor indukcji pola magnetycznego B, czyli dla pozycji = 0 energia ta wynosi E 0 B cos 0 B zaś w pozycji = π E B cos B, a więc praca obrócenia ramki z prądem o kąt π wynosi W obrotu μb. Strona 6

27 1.4. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej Przekonaliśmy się, że przepływ prądu stałego wytwarza pole magnetyczne. Doświadczenia, przeprowadzone przez angielskiego fizyka Michaela Faradaya i amerykańskiego Josepha Henry ego w 1831 roku pokazały, że możliwe jest również wywołanie przepływu prądu za pomocą pola magnetycznego a odkryte zjawisko zostało nazwane indukcją elektromagnetyczną. Prawo indukcji Faradaya Jeśli umieścimy nieruchomy magnes w pobliżu pętli z przewodnika, nie zaobserwujemy przepływu prądu średnia prędkość nośników ładunku w przewodniku jest równa zeru, a zatem wartość siły Lorentza działającej na te nośniki jest również równa zeru. Siła Lorentza pojawi się jednak, jeśli przewodnik będzie poruszał się w polu magnetycznym, przecinając linie sił tego pola. Działanie siły Lorentza spowoduje spychanie nośników jednego znaku w określonym kierunku między końcami przewodnika wytworzy się zatem napięcie. Taki sam efekt zaobserwujemy, kiedy magnes porusza się względem przewodnika. Jeśli końce przewodnika połączymy z galwanometrem, zauważymy, że przez obwód popłynie prąd indukowany. W obwodzie takim pojawią się dwa spadki napięcia jeden na galwanometrze, drugi na pętli. Suma tych spadków napięć jest równa sile elektromotorycznej. Podobnie jak w przypadku ogniwa, siłę elektromotoryczną, oznaczaną również jako SEM, definiujemy jako stosunek pracy W wykonanej na przeniesienie ładunku q w obwodzie zamkniętym do wartości tego ładunku q. Siłę elektromotoryczną SEM, podobnie jak napięcie, wyrażamy w woltach [V]. Strona 7

28 Przybliżając i oddalając magnes do pętli z przewodnika możemy zauważyć, że napięcie mierzone na jego końcach jest tym większe, im szybciej będzie poruszał się magnes. Do wytworzenia napięcia na zaciskach pętli przewodnika możemy użyć również drugiej pętli. Zmiany pola magnetycznego można w tym przypadku uzyskać zarówno przybliżając i oddalając pętlę zasilaną prądem stałym jak i przepuszczając przez nieruchomą pętlę prąd zmienny. Wartość siły elektromotorycznej SEM powstałej w zjawisku indukcji magnetycznej określa prawo indukcji Faradaya: Wartość siły elektromagnetycznej indukowanej w obwodzie zamkniętym jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. dφ SEM B (1.5) dt Wielkość ΦB oznacza strumień magnetyczny (strumień wektora indukcji magnetycznej), który definiujemy podobnie jak strumień natężenia pola elektrycznego (wzór 10.5 oraz 10.6) jako iloczyn skalarny wektora indukcji magnetycznej i wektora normalnego do danej powierzchni. ΦB B ds (1.6) Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [1 Wb=1 V s]. Jeśli wektor indukcji pola magnetycznego B jest stały w każdym punkcie i przecina powierzchnię S pod pewnym stałym kątem, wówczas strumień wektora indukcji magnetycznej przechodzącej przez tę powierzchnię wyrazimy jako: ΦB B S BS cos (1.7), gdzie oznacza kąt między wektorem S normalnym do powierzchni a wektorem indukcji magnetycznej B. Strona 8

29 Reguła Lenza Przykład Kierunek przepływu prądu indukowanego w obwodzie zamkniętym określa reguła przekory Lenza: Prąd indukowany w obwodzie płynie w takim kierunku, że jego pole magnetyczne przeciwdziała zmianie strumienia pola magnetycznego, która ten prąd wywołuje. Jeśli magnes stały zbliżamy do obwodu zamkniętego, zwiększa się liczba linii pola magnetycznego przecinająca powierzchnię określoną przez ten obwód, czyli wzrasta strumień magnetyczny. Żeby przeciwdziałać temu wzrostowi strumienia magnetycznego, zgodnie z regułą Lenza, w obwodzie zostanie wyindukowany prąd o takim kierunku przepływu, żeby wektor indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez ten prąd miał przeciwny zwrot do linii pola magnesu sztabkowego. W efekcie obwód ten będzie odpychać zbliżający się magnes. Jest to zgodne z zasadą zachowania energii zbliżając magnes do pętli musimy wykonać pracę, aby przeciwstawić się siłom wzajemnego odpychania magnesu i pętli. Praca mechaniczna jest zamieniana w pracę wykonaną nad nośnikami ładunku dochodzi zatem do zamiany energii mechanicznej w energię elektryczną. Gdyby kierunek przepływu prądu w pętli był odwrotny, magnes byłby przyciągany w kierunku pętli poruszałby się zatem coraz szybciej, indukując coraz większy prąd. Otrzymalibyśmy urządzenie wytwarzające energię bez konieczności wykonywania pracy perpetuum mobile pierwszego rodzaju. Urządzenie takie nie spełnia zasady zachowania energii. Prostokątna ramka o szerokości l, wykonana z przewodnika o całkowitym oporze R jest wyciągana z obszaru pola magnetycznego o indukcji B, prostopadłego do płaszczyzny ramki. Oblicz, jaka moc jest niezbędna, by zapewnić stałą prędkość v wysuwania tej ramki. Wyznacz ciepło, jakie wydzieli się na oporze ramki. W zadaniu tym strumień pola magnetycznego jest określony przez powierzchnię tej części ramki, która znajduje się w polu Strona 9

30 magnetycznym. Szerokość ramki wynosi l a długość tej części ramki, która znajduje się w polu magnetycznym oznaczmy przez x. Jeśli ramka jest wyciągana z obszaru pola magnetycznego ze stałą prędkością to długość x będzie się zmniejszała stale w czasie ( x x 0 vt ). Oznacza to, że również powierzchnia obszaru znajdującego się w polu magnetycznym będzie się zmniejszała proporcjonalnie do czasu zmieniając tym samym strumień wektora indukcji magnetycznej. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya siła elektromotoryczna SEM przeciwdziałająca takiej zmianie strumienia wynosi: dφ d B lx B SEM B lv dt dt (1.8) Ponieważ opór ramki wynosi R, korzystając z prawa Ohma obliczamy wartość natężenia prądu przepływającego przez ramkę: B l v I (1.9) R Zgodnie z założeniami, ramka porusza się ruchem jednostajnym, czyli siła, którą musimy działać na ramkę, aby utrzymać stałą prędkość jej przesuwu, równoważy siłę działającą na przewodnik z prądem w polu magnetycznym: B l v FB I l B R (1.30) Stąd możemy obliczyć moc mechaniczną niezbędną do poruszania ramki: B l v P F v R I R (1.31) Wyznaczona przez nas moc mechaniczna jest równa mocy wydzielanej w postaci ciepła na całkowitym oporze elektrycznym ramki. Strona 30

31 Prądy wirowe prawo Faradaya Zmienny prąd elektryczny płynący przez pętlę z przewodnika wytwarzać będzie zmieniające się w czasie pole magnetyczne. Umieśćmy teraz w pobliżu (w polu magnetycznym pierwszej pętli) drugą pętlę z przewodnika. Przez pętlę tę przechodzić będzie strumień indukcji pola magnetycznego proporcjonalny do pola powierzchni drugiej pętli oraz wartości indukcji magnetycznej wytworzonej przez pierwszą pętlę zmieniającej się w czasie. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya zmiana strumień pola magnetycznego powoduje powstanie siły elektromotorycznej, co w konsekwencji wywoła przepływ ładunku elektrycznego w drugiej pętli. Jeśli zamiast drugiej pętli postawimy litą płytę z przewodnika zmienne pole magnetyczne wywoła wirowe pole elektryczne w tej płycie ruch nośników ładunku w przewodzącej płycie dobywać się będzie wzdłuż krzywych zamkniętych (w szczególnych przypadkach okręgów). Aby obliczyć wartość siły SEM takiego wirowego pola elektrycznego musimy najpierw obliczyć pracę przemieszczenia ładunku elektrycznego q wzdłuż linii pola (okrąg o promieniu r ): W F dl qe r (1.3) Wówczas siła elektromotoryczną SEM zgodnie z definicją będzie równa stosunkowi wykonanej nad ładunkiem pracy W do wartości q tego ładunku będzie miał postać: ε W/q E dl (1.33), gdzie E F q. Porównując otrzymaną zależność z prawem indukcji Faradaya otrzymujemy prawo Faradaya: E dl dφb dt (1.34) Jeśli w jakimś obszarze obserwujemy pole magnetyczne zmienne w czasie, to wokół tego obszaru powstaje wirowe pole Strona 31

32 elektryczne. Znak minus w powyższym wzorze wyraża regułę przekory Lenza, czyli mówi nam, że powstałe wirowe pole elektryczne przeciwdziałać będzie zmianom strumienia pola magnetycznego. Warto porównać zależność 1.34 z zależnością 10.1 dla elektrostatyki, wiążącą natężenie pola i różnicę potencjałów w polu elektrostatycznym. W przypadku prawa Faradaya, a więc w przypadku pola magnetycznego, obliczając pracę przemieszczenia ładunku całkowanie wykonujemy wzdłuż pewnej krzywej zamkniętej, podczas gdy w elektrostatyce praca przesunięcia po krzywej zamkniętym była równa zeru, bo wracaliśmy do punktu o tym samym potencjale elektrycznym. W elektrostatyce praca przeniesienia ładunku między dwoma punktami nie zależała od wyboru drogi przemieszczenia, ale jedynie od różnicy potencjałów między tymi punktami. W przypadku pola wywołanego indukcją elektromagnetyczną nie możemy jednak określić potencjału pola w danym punkcie przestrzeni. Wykrywacze metali wykorzystują właśnie wirowe pola elektryczne oraz prawo Faradaya do detekcji obiektów metalowych. W pętli z przewodnika, znajdującej się w dolnej części urządzenia wytwarzany jest impulsowy prąd elektryczny, co powoduje powstanie zmiennego pola magnetycznego. Jeśli poniżej pętli znajduje się metalowy przedmiot, to takie zmienne pole magnetyczne wywoła w metalu przepływ prądu wirowego. Ponieważ ten wirowy prąd będzie zmieniał się w czasie wytworzy zatem zmienne pole magnetyczne. Pole to z kolei wyindukuje w obwodzie wykrywacza metali prąd płynący w kierunku przeciwnym do kierunku pierwotnego impulsu. Monitorując zatem natężenie prądu w pętli wykrywacza możemy wykryć obecność metalowego przedmiotu. Na podobnej zasadzie działają stosowane na lotniskach bramki zabezpieczające przed wnoszeniem metalowej broni. Strona 3

33 Prądnica i alternator Opierając się na zjawisku indukcji elektromagnetycznej, możemy zbudować urządzenie nazywane prądnicą, która zamienia pracę mechaniczną na energię elektryczną. Budowa prądnicy jest identyczna jak budowa omawianego już wcześniej silnika elektrycznego. Pomiędzy dwoma biegunami magnesu umieszczamy ramkę, mogącą obracać się wokół osi prostopadłej do kierunku wektora indukcji magnetycznej wytworzonej przez ten magnes. Obroty ramki będą powodowały zmiany wartości strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez ramkę a więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya w ramce będzie powstawała siła elektromotoryczna i prąd elektryczny. Kiedy płaszczyzna ramki znajduje się w położeniu równoległym do kierunku wektora indukcji magnetycznej, strumień tego wektora jest równy zeru, a jego zmiany są wówczas maksymalne. Strumień osiąga wartość maksymalną, kiedy płaszczyzna ramki jest ustawiona prostopadle do kierunku wektora indukcji. Zmiany wartości strumienia wektora indukcji magnetycznej ΦB, indukowana siła elektromotoryczna E oraz schematyczne położenie ramki między magnesami w funkcji czasu przedstawiono na Rysunku 1.8. Rysunek 1.8. Zależność czasowa strumienia indukcji magnetycznej i siły elektromotorycznej dla prądnicy. Strona 33

34 Zgodnie z definicją, siła elektromotoryczna indukowana na końcach ramki zależy od zmian strumienia wektora indukcji magnetycznej. Siła elektromotoryczna odpowiada zatem współczynnikowi nachylenia wykreślonej wartości strumienia wektora indukcji magnetycznej od czasu. W przypadku prądnicy najszybsze zmiany strumienia następują, gdy ramka przechodzi przez położenie, w którym jej płaszczyzna jest równoległa do kierunku wektora indukcji. W prądnicy, podczas przejścia przez położenie, w którym płaszczyzna ramki jest prostopadła do kierunku wektora indukcji, następuje zamiana kierunku podłączeń kontaktów elektrycznych ramki jest to realizowane podobnie jak w przypadku silnika elektrycznego za pomocą komutatora. Z tego względu na wykresie siły elektromotorycznej SEM nie obserwujemy przejścia przez zero. Prądnica generuje prąd zmienny, ale wartości siły elektromotorycznej zawsze mają jednakowy kierunek. W przypadku alternatora końce ramki są podłączone zawsze do tych samych kontaktów elektrycznych. W momencie przejścia ramki przez położenie prostopadłe następuje zmiana znaku siły elektromotorycznej (zmiana kierunku przepływu prądu) krzywa przecina oś odciętych. Alternator generuje prąd sinusoidalnie zmienny. Indukcyjność Jeżeli w uzwojeniu cewki elektrycznej będzie płynął zmienny prąd to pole magnetyczne wytworzone wewnątrz cewki będzie się zmieniać w czasie. A więc uzwojenie cewki obejmować będzie zmienny strumień pola magnetycznego. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya na uzwojeniu cewki indukować się zatem będzie prąd elektryczny, który zgodnie z regułą Lenza przeciwdziałać będzie zmianom strumienia wektora indukcji pola magnetycznego, które wywołały powstanie pola magnetycznego w cewce. W momencie podłączenia cewki do źródła w jej uzwojeniu zaczyna płynąć prąd wytwarzający pole magnetyczne. Wówczas w cewce indukowany jest prąd, wytwarza pole magnetyczne przeciwstawiające się powstałemu polu magnetycznemu, a więc prąd o kierunku przeciwnym niż prąd źródła. Jeśli natomiast Strona 34

35 odłączamy cewkę od źródła, to ponieważ natężenie prądu w uzwojeniu maleje, powstały prąd indukowany płynie w kierunku zgodnym z prądem źródła przeciwstawiając się zanikowi prądu. Zgodnie z prawem indukcji Faradaya siła elektromotoryczna, powstająca na jednym zwoju cewki wynosi: SEM dφ B (1.35), zwój dt gdzie ΦB BS jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez przekrój S pojedynczego uzwojenia. Całkowity strumień magnetyczny dla cewki, równy N ΦB, jest proporcjonalny do natężenia przepływającego prądu I : N ΦB L I (1.36) N ΦB L (1.37) I Współczynnik proporcjonalności L nazywany indukcyjnością jest cechą charakterystyczną danego elementu indukcyjnego. Vs Wb Jednostką indukcyjności jest jeden henr [ 1H 1 1 ]. A A Podstawiając powyższą zależność 1.36 do wzoru 1.35 znajdujemy całkowitą siłę elektromotoryczną powstałą w cewce, która jest proporcjonalna do pochodnej natężenia prądu po czasie: ε di L (1.38) dt Obliczmy indukcyjność dla solenoidu. Korzystając ze wzoru 1.0 na indukcję pola magnetycznego wewnątrz solenoidu możemy wyznaczyć strumień wektora indukcji pola magnetycznego przecinający powierzchnię S przekroju solenoidu: Strona 35

36 ni S na ni S Φ N BS N 0 0 (1.39), B gdzie a oznacza długość solenoidu, N ilość zwojów, n = N/a gęstość nawinięcia uzwojenia. Podstawiając tak wyznaczony strumień ΦB do wzoru 1.37 na indukcyjność L otrzymujemy: na In S NΦB 0 L 0n as 0n V (1.40), I I gdzie as = V jest objętością solenoidu. Warto pamiętać, że indukcyjność wykazują nie tylko cewki, ale także pozostałe elementy obwodów elektrycznych. Nawet prosty fragment przewodnika posiada pewną niewielką indukcyjność. Z tego względu przy projektowaniu obwodów, szczególnie tych, w których występują szybkie zmiany natężenia prądu elektrycznego np. podzespołów komputera, pracujących z sygnałami elektrycznymi zmiennymi z częstotliwością rzędu gigahertzów należy zawsze uwzględniać efekty związane z indukcyjnością. Zjawisko samoindukcji jest również przyczyną powstawania tzw. przepięć indukcyjnych w obwodach elektrycznych. Jeśli w obwodzie znajdują się urządzenia wyposażone w elementy o dużej indukcyjności np. silniki elektryczne lub zasilacze komputerowe w trakcie wyłączania urządzeń w obwodzie może wytwarzać się siła elektromotoryczna o znacznej wartości. Powoduje ona krótkotrwały impuls wysokiego napięcia, który może znacznie przekraczać nominalne napięcie przewidziane dla elementów obwodu. Może być to przyczyną występowania przebić w izolacji elektrycznej lub przeciążenia bezpieczników obwodu. Sposobem na uporanie się z drugim problemem jest stosowanie tzw. bezpieczników zwłocznych. Bezpieczniki tego typu nie rozłączają obwodu pod wpływem przepływu prądu o charakterze impulsowym. Inną metodą redukcji niepożądanych skutków zjawiska samoindukcji jest włączenie w obwód kondensatora, który pozwala na zmagazynowanie energii elektrycznej związanej z impulsem powstałym na skutek samoindukcji. Energia ta jest następnie rozpraszana na elementach oporowych. Strona 36

37 Indukcja wzajemna Transformator Jeśli dwie cewki umieścimy blisko siebie, tak że strumień pola magnetycznego wytworzonego przez jedną cewkę przepływa częściowo przez uzwojenia drugiej cewki, zmiany pola magnetycznego wytworzonego przez pierwszą cewkę doprowadzą do wytworzenia siły elektromotorycznej na uzwojeniu drugiej cewki. Zjawisko to nosi nazwę indukcji wzajemnej. Efekt ten jest tym wyraźniejszy, tym większy jest współczynnik sprzężenia, im większa część strumienia pola magnetycznego wytworzonego przez jedną cewkę obejmuje drugą cewkę. Warunek ten możemy zapewnić np. umieszczając jedno uzwojenie osiowo wewnątrz drugiego. Omawiając właściwości ferromagnetyków oraz wpływ przenikalności magnetycznej materiału na wartość indukcji pola magnetycznego (Rozdział 1.3.) wykazaliśmy, że indukcja magnetyczna wewnątrz rdzenia ferromagnetycznego jest wielokrotnie silniejsza niż w powietrzu. W transformatorach na rdzeń ferromagnetyczny o kształcie prostokątnej ramki nawinięte są dwa uzwojenia (Rysunek 1.9). Napięcie zmienne U1 przyłożone do jednego z uzwojeń (uzwojenie pierwotne) powodować będzie przepływ prądu zmiennego w tym uzwojeniu i wywoływać zmienne pole magnetyczne, którego indukcja jest proporcjonalna do liczby zwojów N1 w uzwojeniu pierwotnym. Dla idealnego transformatora strumień magnetyczny nie ulega rozproszeniu na zewnątrz rdzenia transformatora, więc do drugiego uzwojenia, uzwojenia wtórnego, dotrze zmienny strumień magnetyczny wytworzony w uzwojeniu pierwotnym. W efekcie, zgodnie z zasadą indukcji Faradaya, w drugim uzwojeniu powstanie siła elektromotoryczna U, której wartość zależeć będzie także od liczby uzwojeń N w uzwojeniu wtórnym. W efekcie otrzymujemy, że stosunek napięć na uzwojeniach pierwotnym i wtórnym jest równy stosunkowi ilości zwojów w obu uzwojeniach: U 1 N 1 (1.41) U N Strona 37

38 Stosunek ten nazywany jest przekładnią transformatora. Otrzymujemy w ten sposób transformator urządzenie do zamiany wartości napięcia prądu zmiennego, przy zachowaniu pierwotnej częstotliwości zmian tego napięcia i (prawie) tej samej mocy. Sprawność transformatorów jest zwykle duża, a straty energii związane są z oporem uzwojeń oraz energią niezbędną na przemagnesowanie rdzenia. Strat związanych z prądami wirowymi powstającymi w rdzeniu możemy częściowo uniknąć, dzieląc rdzeń na cienkie blaszki polakierowane jednostronnie warstwą nieprzewodzącą. Rysunek 1.9. Schemat konstrukcji transformatora (z lewej) i autotransformatora (z prawej). Warto podkreślić, że napięcie w obwodzie wtórnym jest przesunięte w fazie względem prądu w obwodzie pierwotnym o π ma, zgodnie z regułą Lenza, przeciwną fazę do napięcia pierwotnego. Autotransformator Szczególnym typem transformatora jest autotransformator. W urządzeniu tego typu występuje tylko jedno uzwojenie. Spełnia ono rolę jednocześnie uzwojenia pierwotnego i wtórnego stosunek wartości napięcia na uzwojeniu wtórnym do napięcia na uzwojeniu pierwotnym zależy od miejsca podłączenia styków obu obwodów do uzwojenia (Rysunek 1.9). W autotransformatorze regulowanym kontakt elektryczny obwodu wtórnego z uzwojeniem następuje za pomocą ruchomej szczotki grafitowej, co umożliwia płynną regulację napięcia na uzwojeniu wtórnym. Transformatory wykorzystywane są powszechnie w energetycznych sieciach przesyłowych najpierw do Strona 38

39 podwyższenie wartości napięcia na linii przesyłowej a następnie do obniżenia napięcia w stacji odbiorczej. Wysokie napięcia linii przesyłowych pozawalają znacznie zmniejszyć wartość natężenia przesyłanego prądu jednocześnie zachowując tę samą moc prądu (P = U I ), a mniejsze natężenie prądu oznacza mniejsze straty cieplne związane z oporem elektrycznym (prawo Joula). Ciekawym przykładem transformatora jest cewka zapłonowa samochodu. Prąd stały o niskim napięciu z akumulatora jest zamieniany w prąd skokowo zmienny przez tzw. przerywacz. Jest on połączony z zaciskami cewki o niewielkiej ilości zwojów, nawiniętej na wspólnym rdzeniu z cewką o dużej ilości zwojów. Taki zmienny (przerywany) sygnał prądowy generuje na uzwojeniu wtórnym wysokie napięcie, które jest następnie przekazywane na świece zapłonowe, a one w odpowiedniej chwili inicjują zapłon mieszanki paliwowej Magnetyczne własności materii W poprzednim rozdziale ramce z prądem przypisywaliśmy moment magnetyczny. Również elektronom krążącym na orbicie wokół jądra atomowego można przypisać moment magnetyczny ruch elektronu odpowiada przepływowi prądu w ramce. Ponieważ elektron charakteryzuje się ujemnym ładunkiem elektrycznym to zwrot wektora momentu magnetycznego tego elektronu jest przeciwny do zwrotu wektora L jego orbitalnego momentu pędu. Strona 39

40 Rysunek Orbitalny dipolowy moment magnetyczny elektronu. Oprócz orbitalnego momentu magnetycznego, elektron posiada także wewnętrzny moment magnetyczny, niezależny od jego ruchu orbitalnego, nazywany spinem. (spinowy moment magnetyczny). Spinowy moment magnetyczny może przybierać dwie wartości o przeciwnych zwrotach, skierowane prostopadle względem płaszczyzny orbity. Całkowity moment magnetyczny atomu możemy obliczyć sumując orbitalne i spinowe momenty magnetyczne wszystkich elektronów. Własności magnetyczne materii są wynikiem oddziaływania wewnętrznych momentów magnetycznych, charakteryzujących poszczególne atomy, z zewnętrznym polem magnetycznym, jak również wzajemnego oddziaływania sąsiadujących momentów magnetycznych. Jak pokazaliśmy na przykładzie prostokątnej ramki z prądem na moment magnetyczny umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym działa moment sił powodujący ustawienie wektora momentu magnetycznego zgodnie z kierunkiem i zwrotem zewnętrznego pola magnetycznego. Warto podkreślić, że zachowanie takie ma podobny charakter jak oddziaływania dipolu elektrycznego z zewnętrznym polem elektrycznym. Tak samo jak dipol elektryczny umieszczony między okładkami kondensatora ustawia się w kierunku pola elektrycznego (odwraca się ładunkiem dodatnim w kierunku ujemnie naładowanej okładki kondensatora) tak magnes umieszczony w polu magnetycznym ustawi się w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego. Strona 40

41 Zewnętrzne pole magnetyczne możemy scharakteryzować za pomocą wektora natężenia pola magnetycznego H. Wektor natężenia i wektor indukcji pola magnetycznego mają ten sam kierunek i zwrot a współczynnikiem proporcjonalności jest stała charakteryzująca właściwości magnetyczne ośrodka dla próżni jest to przenikalność magnetyczna próżni μ 0 : B H (1.4) 0 Umieszczenie materiału w zewnętrznym polu magnetycznym o natężeniu H spowoduje uporządkowanie atomowych momentów magnetycznych w kierunku zewnętrznego pola magnetycznego wpływając jednocześnie na wartość efektywnego pola magnetycznego wewnątrz materiału. Podobnie jak dla dielektryków wprowadziliśmy wektor polaryzacji i podatność elektryczną, tak teraz dla magnetyków wprowadzamy wektor namagnesowania M i podatność magnetyczną. Wektor namagnesowania M charakteryzuje moment magnetyczny jednostki objętości materiału wywołany zewnętrznym polem magnetycznym o natężeniu H : M H r 1H (1.43) Podatność magnetyczna χ ( chi ) jest współczynnikiem proporcjonalności magnetyzacji M od natężenia pola magnetycznego H. Współczynnik μ r nazywa się względną przenikalnością magnetyczną ośrodka i pokazuje ilekroć większa będzie indukcja pola magnetycznego w cewce wypełnionej materiałem w stosunku do cewki próżniowej: B 0 r H (1.44) Wykonując np. rdzeń cewki z materiału o dużej wartości podatności magnetycznej (np. z żelaza), możemy uzyskać wielokrotnie większą wartość indukcji magnetycznej niż dla cewki bez rdzenia (próżniowej). Z żelaza wykonuje się np. rdzenie elektromagnesów. Strona 41

42 Efektywne pole magnetyczne (efektywna indukcja magnetyczna) w rdzeniu (w materiale) jest sumą zewnętrznego pola magnetycznego ( H ) oraz pola magnetycznego związanego z wektorem namagnesowania rdzenia ( M ): B H M (1.45) 0 0 Rodzaje magnetyków Diamagnetyki Paramagnetyki Ze względu na własności magnetyczne, materiały możemy podzielić na: diamagnetyki paramagnetyki ferromagnetyki Własności dia- i paramagnetyzmu są własnościami atomowymi i występują we wszystkich stanach skupienia, zaś ferromagnetyzm występuje tylko w ciałach stałych. W przypadku diamagnetyków pole zewnętrzne wywołuje magnetyzację materiału o zwrocie przeciwnym do tego pola. Podatność magnetyczna diamagnetyków przyjmuje wartości 5 ujemne rzędu 10. Przykładami diamagnetyków są ołów, miedź, rtęć i srebro. Diamagnetyki są wypychane z obszaru niejednorodnego pola magnetycznego. W atomach paramagnetyków wypadkowy moment magnetyczny jest różny od zera. Wartość podatności jest w 5 temperaturze pokojowej jednak niewielka, rzędu10 4 do 10. Umieszczone w polu magnetycznym momenty magnetyczne atomów dążą do ustawienia się zgodnie z kierunkiem pola magnetycznego. Ponieważ drgania cieplne przeciwdziałają uporządkowaniu momentów magnetycznych, podatność maleje Strona 4

43 Ferromagnetyki wraz ze wzrostem temperatury. Zależność temperaturową podatności χ paramagnetyków określa prawo Curie: C (1.46), T gdzie C jest wielkością charakterystyczną dla materiału paramagnetyka nazywaną stałą Curie. Umieszczone w polu magnetycznym niejednorodnym paramagnetyki są wciągane w obszar silniejszego pola. Paramagnetykami są np. lit, glin i platyna. W ferromagnetykach istnieją silne oddziaływania pomiędzy momentami magnetycznymi sąsiadujących atomów. Powoduje to tworzenie się obszarów, tzw. domen magnetycznych, o uporządkowanym ustawieniu momentów magnetycznych. Przypomnijmy, że wpływ sąsiadów na zjawiska porządkowania dipoli elektrycznych opisywaliśmy już w przypadku ferroelektryków. Opis procesów porządkowania momentów magnetycznych w ferromagnetykach jest podobny do porządkowania dipoli elektrycznych w ferroelektrykach, choć oczywiście przyczyny ich występowania są różne w przypadku pola magnetycznego i elektrycznego. Ponieważ ustawienie wszystkich momentów magnetycznych w materiale w jednym kierunku powodowałoby wytwarzanie na zewnątrz silnego pola magnetycznego, co jest niekorzystne z punktu widzenia wysokiej energii układu, w materiale na ogół występuje wiele domen o różnym kierunku uporządkowania, tak by pola na zewnątrz próbki nie było. Kiedy nienamagnesowany ferromagnetyk umieścimy w zewnętrznym polu magnetycznym, wraz ze wzrostem natężenia tego pola momenty magnetyczne domen będą ustawiać się zgodnie z kierunkiem pola, co spowoduje wzrost namagnesowania. W przypadku ferromagnetyków podatność magnetyczna może przyjmować duże wartości rzędu setek lub tysięcy. Kiedy wartość pola zewnętrznego jest na tyle duża, że wszystkie momenty magnetyczne ustawią się w jednym Strona 43

44 kierunku (powstanie jedna duża domena), uporządkowanie momentów magnetycznych próbki osiągnie stan nasycenia (Rysunek 1.11). Strona 44 Rysunek Pętla histerezy ferromagnetyka Przy zmniejszeniu wartości zewnętrznego pola magnetycznego do zera, namagnesowanie ferromagnetyka nie spadnie do zera, ale utrzyma się na pewnym poziomie. Poziom ten nazywamy pozostałością magnetyczną (remanencją). Aby rozmagnesować materiał, należy przyłożyć zewnętrzne pole skierowane przeciwnie do tego, jakie zostało użyte do jego namagnesowania. Wartość pola niezbędna do rozmagnesowania materiału nazywamy polem koercji. W zmiennym polu zewnętrznym wykres namagnesowania zakreśli pętlę histerezy. Pole zawarte wewnątrz pętli histerezy jest proporcjonalne do pracy, wykonanej na przemagnesowanie materiału w jednym cyklu. Materiały miękkie magnetycznie mają wąską pętlę histerezy, a twarde magnetycznie szeroką. Z tego względu materiały twarde magnetycznie dobrze nadają się do wyrobu magnesów trwałych lub pamięci magnetycznych w zastosowaniach, w których wymagana jest trwałość zapisanej informacji. Materiały miękkie magnetycznie również mogłyby być wykorzystane jako pamięci magnetyczne ich przemagnesowane (zapis informacji cyfrowej) wymaga niewielkiej energii, jednak pod wpływem zakłóceń i

45 zewnętrznych pól magnetycznych informacja w nich zgromadzona może ulec uszkodzeniu. Właściwości ferromagnetyczne materii obserwujemy tylko poniżej pewnej temperatury zwanej temperaturą Curie TC. Powyżej tej temperatury energia drgań cieplnych przewyższa energię uporządkowania dipoli i ferromagnetyczne uporządkowanie domenowe zanika. Zależność temperaturową podatności χ od temperatury T, powyżej temperatury Curie, wyraża prawo Curie-Weissa: C C (1.47), T T gdzie CC jest stałą Curie, zaś TC temperaturą Curie. C Oprócz ferromagnetyków istnieją także antyferromagnetyki oraz ferrimagnetyki. W antyferromagnetykach również występują silne oddziaływania pomiędzy momentami magnetycznymi, ale w tym przypadku momenty magnetyczne ustawiają się naprzemiennie. W ferrimagnetykach ustawienie momentów magnetycznych również jest naprzemienne, ale momenty magnetyczne o jednym zwrocie są słabsze niż momenty magnetyczne o zwrocie przeciwnym Energia pola magnetycznego Rozważmy obwód, złożony ze źródła zasilania o sile elektromotorycznej ε, cewki o indukcyjności L i opornika R, połączonych szeregowo jak na Rysunku 1.1. Strona 45

46 Rysunek 1.1. Szeregowe połączenie cewki, opornika i źródła Po zamknięciu klucza włączającego obwód, prąd w obwodzie będzie narastał. Zmiana natężenia prądu wywoła powstanie na cewce siły elektromotorycznej, która będzie skierowana tak, aby przeciwstawić się zmianom pola magnetycznego wewnątrz cewki a zatem przeciwnie do siły elektromotorycznej zasilającej obwód. Początkowo ta siła elektromotoryczna samoindukcji jest równa sile elektromotorycznej ogniwa i natężenie prądu płynącego przez opornik wynosi zero. W miarę jednak jak zmniejsza się siła elektromotoryczna samoindukcji na cewce, natężenie prądu płynące przez obwód stopniowo rośnie aż po pewnym czasie osiągnie wartość równowagową, identyczną jak dla przypadku, kiedy w obwodzie znajdują się wyłącznie siła elektromotoryczna i opornik. Zapiszmy drugie prawo Kirchhoffa dla omawianego obwodu: di ε L I R 0 (1.48) dt Jest to równanie różniczkowe względem prądu I a jego rozwiązanie, określające zależność czasową natężenia prądu I(t) możemy opisać równaniem R ε t I 1 e L (1.49) R Strona 46

47 Jest to równanie, opisujące dążenie układu do stanu równowagi ze stałą czasową = L/R. Jeżeli równanie 1.48 pomnożymy przez chwilową wartość natężenia prądu I, to otrzymujemy równanie mające postać bilansu energii: di ε I R I LI 0 (1.50) dt Pierwszy człon ( ε I ) określa szybkość dostarczania energii do obwodu (moc źródła). Drugi ( R I postaci ciepła na oporniku. Trzeci człon, ) wyraża moc rozpraszaną w d I LI, wyraża d t szybkość gromadzenia energii w polu magnetycznym, wytwarzanym w cewce. Opisując szybkość gromadzenia energii dw jako M, otrzymujemy równanie pozwalające obliczyć dt energię zgromadzoną w cewce: W M dw dt M di LI dt I LI L I di 0 (1.51), gdzie I oznacza natężenie prądu płynącego przez cewkę, zaś L jest indukcyjnością tej cewki. Jeśli podzielimy energię zgromadzoną w solenoidzie przez objętość tego solenoidu otrzymamy gęstość energii pola magnetycznego. Dla odcinka solenoidu o długości D i przekroju S otrzymamy więc: LI 0n SDI B SD SD 0n I B 0 BH 0H B 0H B (1.5) 0 Strona 47

48 Powyższy wzór na gęstość energii pola magnetycznego wyprowadziliśmy dla solenoidu, ale jest on prawdziwy dla dowolnego punktu przestrzeni, w którym wartość indukcji magnetycznej wynosi B. Strona 48

49 13 Obwody prądu zmiennego W tym rozdziale: o o o o Obwody prądu zmiennego, impedancja Drgania w obwodzie LC Drgania tłumione w obwodzie RLC Moc w obwodach prądu zmiennego Strona 49

50 13.1. Impedancja Dla napięć zmiennych w miejsce oporu elektrycznego (rezystancji) wprowadzamy impedancję. Impedancję obwodu elektrycznego definiuje się jako stosunek napięcia wymuszającego do natężenia prądu płynącego przez obwód. Wymiar impedancji jest identyczny jak wymiar oporu elektrycznego. ˆ U t Z I t (13.1) Ponieważ natężenie prądu płynącego w obwodzie elektrycznym może nie być zgodne w fazie z napięciem wymuszającym, tak zdefiniowana impedancja jest funkcją zespoloną i posiada zarówno część rzeczywistą Z jak i urojoną Z : ˆ Z Z i Z Z e i (13.), gdzie Z ˆ Z oznacza moduł impedancji, zaś φ jest przesunięciem fazowym między natężeniem prądu I (t ) a napięciem wymuszającym U (t ). Jeżeli źródło napięcia zostanie połączone z opornikiem R, to natężenie prądu na oporniku jest zgodne w fazie z napięciem wymuszającym. Wówczas impedancja Z takiego obwodu posiadać będzie jedynie składową rzeczywistą równą wartości oporu danego opornika: ˆ Z Z R. W poprzednich rozdziałach charakteryzowaliśmy kondensatory i cewki i wiemy, że dla tych elementów obwodów elektrycznych natężenie prądu nie jest zgodne w fazie z napięciem wymuszającym. Strona 50

51 Impedancja kondensatora W celu wyznaczenia impedancji kondensatora rozważmy obwód elektryczny zawierający źródło napięcia zmiennego U t U sin ωt i kondensator o pojemności C połączone 0 szeregowo. Dla źródła prądu stałego kondensator stanowi rozwarcie prąd płynie jedynie podczas ładowania kondensatora, a po jego całkowitym naładowaniu wartość natężenia prądu spada do zera. W przypadku źródła prądu zmiennego polaryzacja źródła (znak napięcia) zmienia się okresowo powodując naprzemienne ładowanie i rozładowywanie kondensatora. Natężenie prądu płynącego w obwodzie będzie tym większe, im większa będzie pojemność kondensatora (przy identycznym napięciu na jego okładkach gromadzi się wtedy więcej ładunku) i im większa będzie częstotliwość napięcia wymuszającego. Zapiszmy II prawo Kirchhoffa dla takiego obwodu zawierającego źródło i kondensator: U C U 0sin t 0 (13.3) Ponieważ ładunek q t zgromadzony na kondensatorze jest proporcjonalny do napięcia ładującego U C, qt CU C CU 0sint (13.4), więc natężenie prądu płynącego w takim obwodzie będzie wynosić: I t dq t CU 0cost dt (13.5) Natężenie prądu I (t ) jest proporcjonalne do pojemności kondensatora oraz częstotliwości kołowej zmian napięcia zmiennego źródła. Przypomnijmy, że funkcję sinus można wyrazić jako kombinację funkcji wykładniczych i i e e sin. Wówczas napięcie źródła oraz wzór 13.5 i możemy zapisać w postaci: Strona 51

52 i ω t U t U 0 e dq t du t i ω t i ω t I t C CU 0 iω e C ωu 0 e dt dt (13.6) Warto zwrócić uwagę, że faza natężenia prądu (wykładnik funkcji wykładniczej) różni się od fazy napięcia o / natężenie prądu płynącego przez kondensator wyprzedza w fazie napięcie o /. Rysunek Wykres na płaszczyźnie zespolonej impedancji obwodu zawierającego źródło prądu zmiennego oraz a) opornik, b) kondensator, c) cewkę Na podstawie definicji (wzór 13.1) w łatwy sposób możemy wyliczyć zespoloną impedancję Ẑ C kondensatora: Strona 5 ˆ U t 1 i Z C I t iωc ωc (13.7) Otrzymana impedancja pojemnościowa kondensatora posiada wyłącznie składową urojoną. Na płaszczyźnie zespolonej wektor impedancji kondensatora skierowany jest pionowo w dół jak na rysunku 13.1 a. Impedancja cewki indukcyjnej Rozpatrzmy następnie obwód elektryczny składający się ze źródła prądu zmiennego U (t ) oraz cewki o indukcyjności L. Dla prądu stałego idealna cewka stanowi zwarcie cewkę

53 należy traktować wyłącznie jako przewód o pewnym oporze elektrycznym. Wraz ze wzrostem częstotliwości zmian napięcia źródła wartość indukcji pola magnetycznego wytworzonego przez prąd płynący w cewce będzie się coraz szybciej zmieniać. Towarzyszyć temu będą coraz szybsze zmiany strumienia pola magnetycznego przechodzącego przez cewkę a więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukowana będzie siła elektromotoryczna o coraz większej wartości. W rozważanym obwodzie elektrycznym napięcie na cewce UL(t ) równać się będzie napięciu źródła U (t ) ( U L t U t ). Jednocześnie napięcie na cewce możemy powiązać z jej indukcyjnością L (wzór 1.44) i otrzymamy wówczas: di L dt i ωt U 0e (13.8) Aby wyznaczyć natężenie prądu płynącego przez cewkę scałkujemy powyższą zależność: I t U L t dt L U 0e L i ωt U 0 dt e iωl iu 0 ωt U i ωt e i 0 I t e ωl ωl i ωt (13.9) W przypadku cewki indukcyjnej natężenie prądu jest opóźnione w fazie w stosunku do napięcia o /. Impedancja cewki o indukcyjności L, przez którą przepływa zmienny prąd elektryczny o częstotliwości ω wynosi: Z iωl L (13.10) Impedancja cewki jest więc liczbą urojoną, dodatnią i na płaszczyźnie zespolonej odpowiada wektorowi skierowanemu pionowo w górę (rys. 13.1). Strona 53

54 13.. Drgania elektryczne Obwód LC Rozważmy obwód elektryczny składający się z kondensatora o pojemności C oraz cewki o indukcyjności L połączonych szeregowo ( obwód LC ) jak na rysunku 13.. Rysunek 13.. Obwód LC kondensatora C oraz cewki indukcyjnej L połączonych szeregowo Początkowo klucz zamykający obwód jest otwarty tak, że w obwodzie nie płynie prąd. Kondensator naładowano z zewnętrznego źródła ładunkiem q 0. Zamknięcie klucza umożliwia przepływ prądu w obwodzie i rozpoczyna się rozładowywanie kondensatora. Gdy kondensator będzie bliski całkowitego rozładowania, prąd płynący przez cewkę osiągnie wartość maksymalną. Po rozładowaniu kondensatora znika różnica potencjałów między jego okładkami, wymuszająca przepływ ładunku w obwodzie jej rolę przejmuje natomiast siła elektromotoryczna, wytworzona na cewce. Na skutek występowania tej siły elektromotorycznej po całkowitym rozładowaniu kondensatora nastąpi jego ponowne ładowanie. Zmieni się jednak polaryzacja okładek znak ładunku zgromadzonego na okładkach będzie przeciwny niż na początku. Po naładowaniu kondensatora ponownie nastąpi jego rozładowanie przez cewkę. Siła elektromotoryczna powstająca Strona 54

55 w cewce na skutek zmiany natężenia prądu płynącego przez obwód będzie przeciwnego znaku niż w pierwszej części cyklu. Spowoduje to ponowne ładowanie kondensatora układ wróci do stanu początkowego. Równorzędny opis zmian zachodzących w obwodzie LC może zostać sformułowany w odniesieniu do energii, zmagazynowanej w kondensatorze i w cewce. Początkowo cała energia układu występuje w postaci pola elektrycznego, wytworzonego pomiędzy okładkami kondensatora. Po rozładowaniu kondensatora natężenie prądu płynącego przez cewkę osiąga wartość maksymalną, co oznacza, że również energia zgromadzona w postaci pola magnetycznego jest wówczas maksymalna. Następnie energia ta jest zużywana na ponowne ładowanie kondensatora. Widzimy zatem, że w obwodzie LC zachodzą wzajemne okresowe zamiany energii elektrycznej na magnetyczną i odwrotnie. Pokażemy, że w idealnym obwodzie (bez strat) całkowita energia jest zachowana. Wartości napięć na cewce UL i na kondensatorze UC możemy zapisać: U L di d q L L (13.11) dt dt q U C (13.1) C Z II prawa Kirchhoffa wynika, że w opisywanym obwodzie LC napięcia te muszą być równe: U U 0. Stąd otrzymujemy równanie opisujące przepływ ładunku w obwodzie LC: C L d q q dt LC 0 (13.13) Jest to równanie identycznej postaci jak równanie 6.5 opisujące mechaniczne drgania harmoniczne oscylator harmoniczny. Tym razem jednak opisujemy przepływ ładunku w obwodzie LC i układ taki nazywać będziemy oscylatorem elektromagnetycznym. Zależność wartości ładunku Strona 55

56 elektrycznego zgromadzonego na kondensatorze C od czasu możemy opisać funkcją: q 0 q0 cos t (13.14), gdzie q 0 jest wartością ładunku, jaką początkowo naładowany został kondensator, zaś 0 jest częstotliwością własną drgań w obwodzie LC. Wartość 0 można wyznaczyć porównując równanie z równaniem 6.5: 1 0 LC (13.15) Spróbujmy wyrazić energię zgromadzoną w obwodzie LC w postaci pola elektrycznego i magnetycznego za pomocą ładunku elektrycznego q : q q 0 cos ω0t WE (13.16) C C W B LI L L q 0 0 sin 0 q 0 sin ω 0t WB C 1 LC ω t q sin ω t 0 0 (13.17) W powyższym wzorze energię pola magnetycznego wyznaczyliśmy na podstawie zależności 1.51, podstawiając za natężenie prądu elektrycznego pochodną ładunku elektrycznego q po czasie dq d q 0 cosω 0t q 0ω0 sinω t (13.18) dt dt I 0 oraz wyrażając częstotliwość kołową drgań własnych ω 0 za pomocą indukcyjności cewki L oraz pojemności C kondensatora (zależność 13.15). Korzystając z tożsamości trygonometrycznej sin α cos α 1 łatwo wykazać, że: Strona 56

57 Obwód RLC Suma energii zgromadzonych w postaci pola magnetycznego i elektrycznego w obwodzie LC zawsze jest wartością stałą, równą energii zgromadzonej początkowo na kondensatorze. q 0 E WE W B const. (13.19) C Ponieważ każdy rzeczywisty obwód posiada pewien skończony opór elektryczny, zgromadzona w obwodzie energia ulega stopniowemu rozpraszaniu w postaci ciepła. Rozpatrzmy więc układ składający się z kondensatora o pojemności C, cewki indukcyjnej o indukcyjności L oraz opornika o oporze R połączonych szeregowo jak na rysunku Rysunek Obwód RLC II prawo Kirchhoffa dla takiego obwodu RLC można zapisać w postaci: U U RI 0 (13.0), C L gdzie UC oznacza napięcie na kondensatorze, UL napięcie na cewce indukcyjnej zaś iloczyn RI jest równy spadkowi napięcia na oporze R, przez który płynie prąd elektryczny o natężeniu I. Dokonując podstawienia podobnego jak dla obwodu LC (równania 13.11, 13.1 oraz 13.18), otrzymujemy różniczkowe równanie drgań ładunku elektrycznego q w obwodzie RLC: Strona 57

58 d q dq q L R 0 (13.1) dt dt C Równanie to ma podobną postać, jak równanie 6.19 dla tłumionego oscylatora mechanicznego. Również rozwiązanie tego równania, czyli zależność q(t ) wartości ładunku od czasu będzie miało postać analogiczną jak w przypadku drgań mechanicznych: qt q e t cos t 0 (13.), gdzie q 0 jest wartością początkową ładunku zgromadzonego na kondensatorze C. Funkcja q(t ) jest iloczynem dwóch funkcji. Czynnik okresowy cos t opisuje oscylacje wartości ładunku z częstotliwością kołową ω: t Drugi człon At q e 1 R (13.3) LC L 0 opisuje spadek amplitudy drgań wartości ładunku, który jest wykładniczą funkcją czasu ze R współczynnikiem tłumienia. L Z równania 13. wynika, że drgania wartości ładunku w układzie RLC będą stopniowo zanikać, a zanik ten ma charakter wykładniczy Drgania tłumione w obwodzie RLC Jeżeli w opisywany w poprzednim rozdziale obwód RLC włączymy szeregowo źródło (Rysunek 13.4), którego siła elektromotoryczna jest zmienna okresowo (źródło prądu zmiennego), otrzymujemy układ, w którym zachodzą Strona 58

59 wymuszone drgania z tłumieniem. Dla obwodu takiego II prawo Kirchhoffa będzie miało postać: di q L RI ε M sint dt C (13.4) Symbol ε M oznacza amplitudę wymuszenia, zaś ω częstotliwość kołową tego wymuszenia. Różniczkując powyższe równanie po czasie, możemy otrzymać równanie opisujące zmiany natężenia prądu płynącego w tym obwodzie: d I di I L R ε cost M dt dt C (13.5) Rozwiązaniem tego równania są funkcje sinusoidalne i możemy je zapisać w postaci: I t I sint 0 (13.6), gdzie I 0 oznacza amplitudę drgań wartości natężenia prądu elektrycznego płynącego w obwodzie, zaś oznacza przesunięcie fazowe występujące pomiędzy napięciem wymuszającym ε a natężeniem I (t ) prądu w obwodzie. M Rysunek Obwód RLC z wymuszeniem o częstotliwości ω Całkowita impedancja omawianego układu RLC będzie sumą impedancji poszczególnych elementów, co możemy zapisać: Strona 59

60 ˆ Z ˆ Z R ˆ Z ˆ Z L C 1 R i L C (13.7) Widzimy, że składowa rzeczywista impedancji jest związana z oporem, a składowa urojona z różnicą impedancji cewki i kondensatora. Na wykresie w płaszczyźnie zespolonej wektory opisujące impedancję cewki i kondensatora są skierowane w przeciwnych kierunkach, a zatem odejmują się jak na rysunku Rysunek Wykres na płaszczyźnie zespolonej składowych i wypadkowej impedancji Z RLC dla szeregowego obwodu RLC. Obliczmy moduł i przesunięcie fazowe wektora impedancji obwodu RLC: Z ZZ 1 Z Z R ωl ωc 1 ωl Z tg ωc Z R (13.8) Strona 60

61 Analizując przesunięcie fazowe możemy określić, czy w obwodzie prąd wyprzedza napięcie (φ < 0), czy jest odwrotnie. Na podstawie modułu impedancji możemy natomiast określić maksymalną wartość (amplitudę) natężenia prądu, płynącego w obwodzie: ε 0 I 0 Z (13.9) Można zauważyć, że jeśli suma impedancji cewki i 1 kondensatora wynosi zero ( ωl ), wówczas przesunięcie ωc fazowe jest również równe zeru a więc napięcie i natężenie są w fazie. Impedancja obwodu ma w takim przypadku jedynie składową rzeczywistą, równą wartości oporu elektrycznego. W tym przypadku impedancja obwodu osiąga również minimum. Wartość natężenia prądu, a więc i moc wydzielana na oporniku osiągają natomiast maksimum. Opisując zmiany ładunku w obwodzie RLC pokazaliśmy, że opornik R wpływa na zmniejszenie częstotliwości tych zmian oraz tłumi amplitudę zmian ładunku (wzór 13.3). W układzie RLC, gdy częstotliwość kołowa wymuszenia ω będzie równa częstotliwości własnej obwodu, obserwować będziemy zjawisko rezonansu, będące odpowiednikiem rezonansu znanego już z układów mechanicznych. Częstotliwość rezonansowa ω r w tym przypadku wynosi: ω r ω 0 R ω0 L 1 LC (13.30) Dostrajanie układów elektronicznych do warunków rezonansu jest stosowane w odbiornikach radiowych i telewizyjnych. Sygnały radiowe i telewizyjne przesyłane są na odpowiedniej częstotliwości. Częstotliwość tą nazywamy częstotliwością nośną. Sygnały przesyłane są natomiast na zasadzie modulacji amplitudy (AM), lub modulacji częstotliwości(fm). Strona 61

62 13.4. Moc w obwodach prądu zmiennego Obliczmy moc, jaka wydziela się na oporniku R w omawianym obwodzie RLC. Chwilowa energia rozpraszana na elemencie oporowym równa się pracy dw przesunięcia ładunku dq pod wpływem różnicy potencjałów U (t ), występującej na tym oporniku, co w analogii do wzoru 11. możemy zapisać: dw U t dq U t I t dt dw U sinωt φ I sinωt dt 0 0 (13.31) gdzie oznacza przesunięcie fazowe między natężeniem prądu I (t ) a napięciem U (t ). Energia rozpraszana na tym oporniku R w ciągu jednego okresu wynosi: U 0I 0 W W U T I T sinωt sinωt dt 1 cos cosωt dt U 0 I 0T cos (13.3) Ponieważ zwykle interesuje nas średnia moc wydzielana na danym urządzeniu, obliczmy średnią wartość tej funkcji dla jednego okresu drgań: U 0 I 0 P cos U SK I SK cos (13.33) I 0 Symbol I SK oznacza natężenie skuteczne prądu równe. Natężenie skuteczne ma identyczną wartość jak natężenie prądu stałego, które powodowałoby rozpraszanie takiej samej ilości ciepła w jednostce czasu. Poprzez analogię definiujemy U 0 również napięcie skuteczne U SK. Strona 6

63 Strona 63

64 14 Fale W tym rozdziale: o o o o o o o Rodzaje fal Równanie różniczkowe fali Superpozycja fal Fale stojące Fale akustyczne Energia i natężenie fali Efekt Dopplera Strona 64

65 14.1. Co to jest fala Wyjaśnienie licznych zjawisk w przyrodzie wymaga wprowadzenia pojęcia fali. Fala jest to zaburzenie poruszające się w wolnej przestrzeni lub w ośrodku. W przyrodzie obserwujemy fale różnego typu mechaniczne (dźwiękowe, fale na wodzie), elektromagnetyczne, grawitacyjne, cieplne czy fale materii. Fale mechaniczne związane są z poruszaniem się cząsteczek ośrodka wokół położenia równowagowego. W przypadku fal elektromagnetycznych mówimy o periodycznych zmianach pola magnetycznego i elektrycznego, które to zmiany rozchodzą się w przestrzeni fala elektromagnetyczna nie wymaga ośrodka materialnego i rozchodzi się także w próżni. Fale materii wiążą się z koncepcją de Brogliea, mówiącą, że poruszającym się cząstkom materii można przypisać również właściwości falowe. Rodzaje fal Ze względu na sposób rozchodzenia się zaburzenia wyróżniamy fale poprzeczne oraz podłużne. W przypadku fal poprzecznych mechanicznych cząsteczki ośrodka drgają wokół położenia równowagowego w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Fala, jaką obserwujemy na powierzchni wody rozchodzi się w kierunku poziomym, zaś cząsteczki wody wykonują drgania w kierunku pionowym. Falą poprzeczną jest również fala elektromagnetyczna (np. światło widzialne), gdzie w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia fali obserwujemy okresowe zmiany wartości natężenia pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego. Fale takie możemy polaryzować i wtedy drgania zachodzą tylko w jednej płaszczyźnie. Strona 65

66 W przypadku fal podłużnych drgania cząsteczek ośrodka odbywają się w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia się fali. Przykładem może tutaj być fala akustyczna (dźwiękowa) w powietrzu, gdzie cząsteczki drgają wokół położenia równowagi w kierunku zgodnym z rozchodzeniem się fali. W efekcie obserwujemy okresowe lokalne zwiększanie i zmniejszanie się gęstości powietrza a więc zarazem okresowe zmiany ciśnienia w ośrodku Równanie różniczkowe fali Rozpatrzmy sznur, którego jeden z końców wykonuje ruch drgający harmoniczny w kierunku osi y. Drgania harmoniczne omawialiśmy już w rozdziale 6 i wiemy, że położenie w funkcji czasu, y(t ), końca takiego sznura drgającego harmonicznie y t A sin ωt. We można opisać funkcją sinusoidalną wzorze tym A jest amplitudą drgań, czyli maksymalnym wychyleniem z położenia równowagowego. Wychylenie jednego z punktów sznura spowoduje również wychylenie sąsiednich punktów. W ten sposób zaburzenie przyłożone do końca sznura będzie się rozchodzić wzdłuż sznura. W efekcie wszystkie punkty sznura (ośrodka) będą wykonywały drgania harmoniczne wokół położeń równowagowych. Jednocześnie sąsiednie punkty sznura różnią się fazą. W danej chwili czasu punkty ośrodka ułożone wzdłuż osi x będą wychylone w kierunku osi y tworząc krzywą typu sinusoidalnego jak pokazano na rysunku Wprawiając koniec sznura w ruch drgający wytwarzamy więc poprzeczną (drgania odbywają się w kierunku y poprzecznym do kierunku x rozchodzenia się fali) falę harmoniczną. Wielkości charakterystyczne, opisujące taką falę harmoniczną to: długość fali odległość między dwoma punktami zgodnymi w fazie; amplituda drgania A maksymalne wychylenie z położenia równowagi, okres T czas po jakim dany punkt x będzie ponownie w tej samej fazie (rysunek14.1). Opisując fale często podawać będziemy również częstotliwość fali f, będącą odwrotnością okresu T fali f 1T, lub też częstotliwość kołową ω : Strona 66

67 Definiuje się również wektor falowy k: ω πf π T (14.1) k (14.) Powyższą wielkość k nazywamy w przypadku jednowymiarowym także liczbą falową, która definiuje ile razy długość fali mieści się na odcinku metrów. Jednostką 1 liczby falowej jest m. Rysunek Schematyczny rysunek fali poprzecznej rozchodzącej się w kierunku x Korzystając z powyższych wielkości stan dowolnego punktu przestrzeni (wychylenie y z położenia równowagi) znajdującego się w odległości x od początku układu współrzędnych, w dowolnej chwili czasu t opisany będzie funkcją sinusoidalną postaci: y x,t A kx ωt sin (14.3) Argument funkcji sinus nazwiemy fazą, która zależy zarówno od czasu t jak i położenia x: kx ωt (14.4) W powyższym zapisie znak w fazie oznacza falę rozchodzącą się w kierunku osi x, zaś znak + oznacza falę rozchodzącą się w kierunku przeciwnym do osi x. Warto przy tym zaznaczyć, że kierunek rozchodzenia się fali definiuje się Strona 67

68 poprzez kierunek przemieszczania się w przestrzeni punktu o stałej fazie ( φ const. ). Jeżeli np. grzbiet fali przemieszcza się w kierunku osi x to znaczy, że fala taka rozchodzi się w kierunku osi x. W takim przypadku w kolejnych chwilach czasu we wzorze 14.4 wzrasta zarówno człon kx, jak i ωt, fazy drgania, a więc żeby otrzymać stałą fazę znak między tymi członami musi być ujemny. Równanie 14.3, nazywane równaniem fali, jest w istocie rozwiązaniem różniczkowego równania fali: y t v (14.5), x y gdzie oznacza drugą pochodną po czasie wychylenia y z t y położenia równowagowego punktu ośrodka, jest drugą x pochodną tego wychylenia y po współrzędnej x punktu ośrodka, zaś v oznacza prędkość rozchodzenia się stałej fazy (prędkość fazowa) w przestrzeni. Do tej pory zakładaliśmy, że mamy do czynienia z falą poprzeczną i wychylenie z położenia równowagowego odbywa się wyłącznie w kierunku osi y. W ogólności falę opisywać będzie każda funkcja Ψ położenia x i czasu t : x ψ x,t f t, która spełniać będzie różniczkowe równanie v fali: t x y v (14.6), gdzie v jest prędkością rozchodzenia się stałej fazy fali. Definiuje się dwie prędkości fali: prędkość fazową oraz prędkość grupową. Strona 68

69 Prędkość fazowa Prędkość fazowa jest to prędkość, z jaką rozchodzi się stała faza fali (np. grzbiet fali na wodzie). Jeżeli do różniczkowego równania ruchu (równanie 14.5) wstawimy równanie fali 14.3, to otrzymamy, że prędkość fazowa fali równa jest stosunkowi częstotliwości kołowej do liczby falowej. Korzystając z wcześniejszych definicji częstotliwości kołowej oraz liczby falowej możemy również wyrazić prędkość fazową fali jako stosunek długości fali do jej okresu. Można więc powiedzieć, że fala rozchodząca się z prędkością fazową pokonuje drogę równą długości fali w czasie równym okresowi tej fali: ω v f f (14.7) k T Superpozycja fal Zgodnie z zasadą superpozycji nakładające się fale dodają się algebraicznie nie wpływając przy tym na siebie tzn. wychylenie całkowite punktu x w danej chwili t jest sumą wychyleń pochodzących od wszystkich składowych fal. Rozpatrzmy sumę dwóch fal o zbliżonych częstotliwościach ω 1 i ω oraz liczbach falowych k 1 i k oraz identycznych amplitudach A: ω t k x A ω t k x y A cos 1 1 cos (14.8) Przy założeniu bliskości częstotliwości i wektorów falowych prawdziwe są następujące przybliżenia: ω 1 ω ω1 (14.9) k (14.10) 1 k k1 Wówczas przyjmując oznaczenia ω 1 ω ω i k 1 k k oraz stosując wzór na sumę kosinusów otrzymujemy: Strona 69

70 Δ k A cos t x cosω 1t k x y 1 (14.11) Jest to równanie fali o częstotliwości ω1 oraz liczbie falowej k 1, której amplituda zmienia się zgodnie z funkcją k cos t x. W wyniku superpozycji fal otrzymujemy więc falę o tzw. amplitudzie modulowanej od wartości zero do A. Pomiędzy minimami amplitudy znajduje się grupa fal o niezerowych amplitudach tworząca tzw. paczki falowe. Prędkość grupowa, dyspersja fal Prędkość grupowa jest prędkością rozchodzenia się maksimów amplitudy paczek falowych w tzw. zjawisku dudnień. Definiuje się ją jako pochodną częstotliwości kołowej po wektorze falowym: dω v g (14.1) dk Prędkość rozchodzenia się paczki falowej w ośrodku dyspersyjnym jest inna niż prędkość fazowa. Dyspersja oznacza zależność prędkości fazowej fali od częstotliwości fali i jest cechą charakterystyczną ośrodka, w którym fala się rozchodzi. Jeżeli ośrodek jest bezdyspersyjny, wówczas prędkość fazowa jest stała i niezależna od częstotliwości fali: ω v f const. (14.13) k W ośrodku bezdyspersyjnym prędkość grupowa jest równa prędkości fazowej: Strona 70 v g dω d v f k dk dk v f (14.14)

71 W przypadku ośrodka dyspersyjnego, czyli takiego, w którym prędkość fazowa zależy od częstotliwości, grupa fal o zbliżonych częstotliwościach będzie miała zbliżone, ale jednak różne prędkości fazowe. W konsekwencji zwiększać się będzie w czasie szerokość paczki falowej utworzonej z takich fal, gdyż każda z fal składowych w tym samym czasie pokona inną odległość Fale stojące Rozważmy dwie fale o tej samej amplitudzie i częstotliwości, ale rozchodzące się w przeciwnych kierunkach. Fale takie możemy łatwo wytworzyć np. w sznurze zamocowanym z jednej strony do ściany, którego drugi, wolny, koniec wprawimy w harmoniczny ruch drgający. Powstała w ten sposób fala rozchodzi się w kierunku ściany, odbija się od niej i wraca nie zmieniając przy tym ani częstotliwości ani amplitudy drgań. Zgodnie z zasadą superpozycji obie fale się dodają. Wynik tego dodawania zależeć jednak będzie od długości sznura i od częstotliwości drgań, które wytwarzamy na końcu sznura. Przy ustalonej długości sznura dla pewnych częstotliwości drgań zaobserwujemy, że w niektórych punktach sznur jest nieruchomy a w innych amplituda tych drgań jest duża oraz, że położenie tych punktów nieruchomych i drgających nie zmienia się w czasie. Mówimy wówczas, że powstała fala stojąca. Przedstawione zjawisko powstawania fali stojącej opiszemy teraz ilościowo. Załóżmy, że fala w sznurze rozchodzi się w kierunku przeciwnym do osi x. Falę taką nazywać będziemy falą padająca a jej równanie można zapisać w postaci: t x y A sin T padajaca (14.15) Podczas odbicia takiej fali od ściany zmienia się zwrot rozchodzenia się fali (w kierunku osi x ) oraz jej faza o π a więc równanie fali odbitej można przedstawić w postaci: Strona 71

72 y odbita t x t x A sin A sin T T λ (14.16) Obliczając sumę fali padającej oraz odbitej korzystamy ze wzoru trygonometrycznego na różnice sinusów i otrzymujemy równanie fali stojącej: x t y y padajaca y odbita A sin cos (14.17) λ T Fala stojąca składa się z węzłów oraz strzałek. W strzałkach amplituda drgań jest stale maksymalna a w węzłach wychylenia są zawsze zerowe (w każdej chwili czasu). Położenia węzłów oraz strzałek nie zależą od czasu i określa je człon sin x powyższego równania. Przykładowo w punktach, dla których x λ n, czyli dla całkowitych wielokrotności połówki długości fali ( x n λ ) otrzymujemy węzły. Rysunek. 14. Schematyczny rysunek obrazujący falę stojącą powstającą w tubie zamkniętej (z lewej) i z jednym końcem otwartym (z prawej).narysowano dwie fale o największych długościach możliwych do uzyskania w tubie o danej długości Fale stojące powstają np. na strunie gitarowej oraz w piszczałkach organowych. Ponieważ końce struny są zamocowane, czyli są tam węzły fali stojącej, na strunie mogą powstać tylko takie fale stojące, dla których całkowita wielokrotność połowy długości fali jest równa długości struny d Strona 7

73 ( d n λ ). W przypadku piszczałek organowych zamkniętych (rysunek 14. a) na obu końcach piszczałki, podobnie jak w przypadku struny, są węzły a więc również w piszczałce zamkniętej mogą powstać tylko takie fale stojące, dla których długość piszczałki d jest równa całkowitej wielokrotności długości fali stojącej d n λ. W przypadku piszczałek otwartych (rysunek 14. b) na jednym końcu tuby będzie węzeł a na drugim strzałka i wówczas długość fali stojącej powstałej w takiej otwartej tubie o długości d spełniać będzie warunek d n 1 λ Fala akustyczna Fala akustyczna (fala dźwiękowa w powietrzu) jest falą podłużną, co oznacza, że drgania cząsteczek ośrodka następują w tym samym kierunku, w którym rozchodzi się fala. Fala dźwiękowa wytwarzana jest na przykład w powietrzu przez membranę głośnika. Sygnał elektryczny dochodzący do głośnika porusza membraną, co wywołuje lokalne zmiany gęstości i ciśnienia powietrza. Takie lokalne zaburzenie ciśnienia z kolei powodują przemieszczanie się sąsiednich cząsteczek powietrza i w efekcie fala akustyczna rozchodzi się w tym samym kierunku, w którym drgają cząsteczki ośrodka (jest falą podłużną). Wychylenie cząsteczek z położenia równowagowego dla fali akustycznej można opisać równaniem: s x,t A kx t cos (14.18), gdzie s (x,t ) oznacza wychylenie z położenia równowagowego cząsteczki ośrodka znajdującej się w chwili t w punkcie o współrzędnej x. Szczegółowa analiza zjawiska rozchodzenia się dźwięku w gazach pokazuje, że prędkość rozchodzenia się dźwięku jest zdeterminowana przez proces adiabatyczny zachodzący w gazie. W efekcie prędkość dźwięku w gazie zależy od Strona 73

74 temperatury gazu T, wykładnika adiabaty γ oraz masy molowej M cząsteczek ośrodka: RT v (14.19) M Dla ośrodka jednorodnego prędkość rozchodzenia się dźwięku można wyrazić również za pomocą gęstości ośrodka ρ oraz modułu ściśliwości B (współczynnika sprężystości objętościowej): B v (14.0) W przypadku fali dźwiękowej rozchodzącej się w ciele stałym moduł ściśliwości zastępujemy modułem Younga. W ogólności można powiedzieć, że prędkość rozchodzenia się fali akustycznej zależy od pierwiastka kwadratowego ze stosunku wielkości charakteryzującej miarę sprężystości do wielkości będącej miarą bezwładności materiału ośrodka. Prędkość rozchodzenia się fali akustycznej jest najmniejsza w gazach a największa w ciałach stałych Energia fali Przypomnijmy, że definiowaliśmy falę jako rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie. Podczas rozchodzenia się fali materia efektywnie się nie przemieszcza, nie występuje transport masy, ale rozchodząca się fala przenosi energię i jest w stanie wykonać pracę. Rozpatrzmy jeszcze raz sznur przymocowany z jednej strony do ściany. Jeżeli drugi koniec będziemy podnosili i opuszczali, powstanie fala, która rozchodzić się będzie w sznurze. Sam sznur się nie przesuwa, czyli nie obserwujemy transportu masy, ale jeżeli w pewnym miejscu sznura umieścimy odważnik to sznur (fala w sznurze) podniesie odważnik, czyli wykona pracę. Można wykazać, że wartość energii przenoszonej przez falę w jednostce czasu (moc fali) jest Strona 74

75 proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali, kwadratu częstotliwości fali oraz parametrów charakteryzujących ośrodek, w którym fala się rozchodzi: P sr de sr ω A (14.1) dt W przypadku fali dźwiękowej tymi parametrami charakteryzującymi ośrodek są jego gęstość oraz prędkość rozchodzenia się w nim dźwięku. Natężenie fali Energia, jaką może przekazać fala obiektowi zależy nie tyko od mocy fali, ale także powierzchni obiektu, z jaką ta fala oddziałuje. Dlatego definiuje się natężenie fali jako stosunek mocy źródła P do powierzchni S na jaką ta fala oddziałuje: P E I (14.) S S t Jeżeli rozpatrzymy punktowe źródło emitujące falę rozchodzącą się równomiernie we wszystkich kierunkach (izotropowo), to natężenie fali będzie odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła: gdzie r jest odległością od źródła, zaś P I (14.3), 4 r 4 r jest powierzchnią sfery o promieniu r. W efekcie w dwa razy większej odległości natężenie fali będzie 4 razy mniejsze. Poziom natężenia fali dźwiękowej, tzw. głośność β, przyjęto określać w decybelach db porównując zmierzone natężenie fali I z referencyjnym I 0 zgodnie z formułą: Strona 75

76 I a 10 log10 0 log10 (14.4) I 0 p0 Natężenie odniesienia I 0 jest najmniejszym natężeniem, jakie jest w stanie usłyszeć ludzkie ucho (próg słyszalności) i wynosi 1 I 10 W. Poziom natężenia fali dźwiękowej można 0 m również określić za pomocą ciśnienia akustycznego p a. p Efekt Dopplera Efekt Dopplera polega na zmianie rejestrowanej częstotliwości fali w przypadku, gdy występuje ruch obserwatora lub źródła fali względem ośrodka. Rozpatrzmy przypadek, gdy źródło fali oddala się od obserwatora. Wówczas odległość między kolejnymi czołami fali jest powiększona o drogę, jaką źródło przebędzie podczas jednego okresu fali. W ten sposób efektywnie zwiększa się okres fali, czyli zmniejsza się częstotliwość fali mierzonej przez obserwatora. W przeciwnym przypadku, gdy źródło zbliża się do obserwatora, kolejne czoło fali goni poprzednie czoła fali zmniejszając odległość między nimi a więc długość i okres fali, zwiększając zaś jej częstotliwość (rysunek 14.3). Podobne rozważania można przeprowadzić również dla przypadku obserwatora poruszającego się względem źródła. W ogólności zmierzoną częstotliwość można opisać wzorem: v v o f f 0 (14.4), v v z gdzie f 0 to częstotliwość źródła, v prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku, v prędkość źródła fali, v prędkość z obserwatora. W powyższym zapisie górny znak stosujemy, jeżeli obserwator i źródło zbliżają się do siebie zaś dolny, jeżeli oddalają. Przykładowo, częstotliwość sygnału karetki, jaką zmierzy nieruchomy obserwator w przypadku, gdy karetka o Strona 76

77 v zbliża się do niego z prędkością v k wyniesie f f 0 oraz v v k v f f 0, gdy karetka będzie się oddalała. W efekcie w v v k chwili mijania obserwator będzie słyszał zmianę tonu sygnału z wysokiego na niski gdy karetka się zbliża dźwięk ma wyższą częstotliwość (wyższe dźwięki), a gdy się oddala mniejszą częstotliwości (niższe dźwięki). Rysunek Powstawanie efektu Dopplera w przypadku, kiedy porusza się źródło. Dla nieruchomego źródła (z lewej) obserwatorzy O 1 i O odbierają falę o identycznej częstotliwości. Kiedy źródło się porusza (z prawej) obserwator O 1 odbiera falę o większej długości (niższej częstotliwości), a obserwator O falę o mniejszej długości (wyższej częstotliwości). Zjawisko Dopplera wykorzystywane jest np. w radarach drogowych. Wiązka promieniowania o określonej częstotliwości wysyłana przez nadajnik odbija się od karoserii poruszającego się samochodu i wraca do odbiornika. Na podstawie różnicy częstotliwości pomiędzy falą wysłaną a odebraną możemy określić prędkość poruszania się pojazdu. Dzięki efektowi Dopplera możemy również wyznaczyć prędkości przemieszczania się chmur związanych z frontami atmosferycznymi. Zmiana charakterystycznych częstotliwości promieniowania elektromagnetycznego pozwala także określić prędkość gwiazd względem Ziemi. Strona 77

78 15 Fale elektromagnetyczne W tym rozdziale: o Równania Maxwella o Prędkość fazowa fali elektromagnetycznej o Natężenie fali elektromagnetycznej, wektor Poyntinga Strona 78

79 15.1. Widmo fal elektromagnetycznych Otaczająca nas przestrzeń jest wypełniona promieniowaniem elektromagnetycznym. Widmo promieniowania elektromagnetycznego obejmuje fale o częstotliwościach z zakresu ponad 0 rzędów wielkości. W zależności od częstotliwości (lub długości) fali wyróżniamy fale długie (częstotliwości do ok Hz), fale radiowe ( Hz), podczerwień ( Hz), zakres światła widzialnego (od koloru czerwonego o długości fali ok. 700 nm poprzez pomarańczowy, żółty i zielony do niebieskiego i fioletowego o długości fali ok. 400 nm), nadfiolet ( Hz), promieniowanie rentgenowskie ( Hz) oraz promieniowanie gamma (powyżej 10 0 Hz) Równania Maxwella Istnienie fal elektromagnetycznych wynika z równań Maxwella. Są to podstawowe, omawiane już w poprzednich rozdziałach równania pola elektrycznego i magnetycznego, które teraz jeszcze raz przypomnimy. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego wyraża źródłowy charakter pola elektrycznego źródłem statycznego pola elektrycznego są ładunki elektryczne. Istnieją pojedyncze ładunki elektryczne, na których zaczynają lub kończą się linie statycznego pola elektrycznego. Wartość strumienia wektora E natężenia pola elektrycznego przechodzącego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równa ładunkowi objętemu przez tę powierzchnię podzielonemu przez stałą 0 : Strona 79

80 Q E ds 0 (15.1) Prawo Gaussa dla pola magnetycznego mówi, że nie istnieją pojedyncze bieguny magnetyczne, monopole magnetyczne a więc, że pole magnetyczne ma charakter bezźródłowy. Linie pola magnetycznego nie mają początku ani końca i są liniami zamkniętymi. Wówczas strumień wektora indukcji pola magnetycznego B przechodzący przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy zeru - tyle samo linii pola magnetycznego wchodzi i wychodzi z obszaru określonego przez tę dowolną powierzchnię zamkniętą: B ds 0 (15.) Strona 80 Prawo indukcji Faradaya: zmienne pole magnetyczne jest źródłem wirowego pola elektrycznego. Krążenie wektora natężenia indukowanego pola elektrycznego po krzywej zamkniętej równa się szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej. dφ d B ds B E dl (15.3) dt dt Następnym równaniem jest uogólnienie prawa Ampera dla magnetyzmu. Źródłem wirowego pola magnetycznego jest prąd elektryczny (prawo Ampera) lub zmienne pole elektryczne. Krążenie wektora indukcji pola magnetycznego po krzywej zamkniętej jest równe sumie wartości prądów stałych oraz prądów przesunięcia przenikających przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej, pomnożonych przez przenikalność magnetyczną próżni μ 0. dφe dl 0 0 I dt dl I I B 0 B 0 p 0 (15.4) (15.5)

81 I P dφe dφd 0 (15.6), dt dt gdzie I p oznacza prąd przesunięcia czyli prąd, którego przepływ wywołałby wytworzenie pola magnetycznego o identycznej wartości, jak ta wytworzona przez zmienny strumień natężenia pola elektrycznego Φ E ds D 0 (równanie 15.6). Aby wyjaśnić istotę prądu przesunięcia rozważmy proces ładowania kondensatora. Przerwa między okładkami kondensatora stanowi nieciągłość w obwodzie i wydawać by się mogło, że w takim obwodzie nie może być spełnione I prawo Kirchhoffa do okładki dopływa bowiem prąd elektryczny ale nie ma gdzie dalej odpływać. Ale dopływający do okładki kondensatora prąd o natężeniu I powoduje gromadzenie się na niej ładunku. Między okładkami kondensatora powstaje jednocześnie pole elektryczne, którego natężenie jest proporcjonalne do gęstości ładunku zgromadzonego na okładce kondensatora, a więc proporcjonalne do natężenia prądu dopływającego I, czasu ładowania dt dq I dt oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni okładek kondensatora A i wynosi: d dq A I dt de (15.7) A 0 0 Strumień natężenia pola elektrycznego przechodzący przez pewną powierzchnię A znajdującą się między okładkami kondensatora i równoległą do tych okładek wynosić będzie: 0 0 I dt dφ E A de (15.8) Wyznaczając następnie z równania 15.6 prąd przesunięcia otrzymujemy: I P dφ I dt E I (15.9) dt dt Strona 81

82 Na tym prostym przykładzie procesu ładowania kondensatora wykazaliśmy, że natężenie prądu przesunięcia między okładkami kondensatora równa się wartości natężenia prądu ładującego kondensator. Możemy zatem stwierdzić, że prąd przesunięcia kontynuuje w tym przypadku prąd ładowania i pierwsze prawo Kirchhoffa jest spełnione. Indukowane pole magnetyczne będzie miało największą wartość na początku procesu ładowania kondensatora, kiedy zachodzą największe zmiany strumienia natężenia pola elektrycznego. Po zakończeniu ładowania kondensatora znika prąd ładowania i indukowane pole magnetyczne zanika Rozchodzenie się fali elektromagnetycznej Konsekwencją zapisanych powyżej równań Maxwella są fale elektromagnetyczne. Jak wynika z równań Maxwella dla fali elektromagnetycznej wektory natężenia pola elektrycznego E oraz indukcji B pola magnetycznego są do siebie zawsze prostopadłe oraz są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się tej fali elektromagnetycznej. Oznacza to, że fala elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Zmiany wartości obu wektorów, E i B, następują z tą samą częstotliwością i opisane są funkcjami sinusoidalnymi zgodnymi w fazie (rysunek 15.1): Strona 8 E B x,t E maxcoskx ωt x,t B coskx ωt max (15.10) Rozpatrzmy falę elektromagnetyczną rozchodzącą się w kierunku osi x, gdzie wektor natężenia pola elektrycznego zmienia się wzdłuż osi y zaś wektor indukcji pola magnetycznego drga odpowiednio w kierunku osi z, jak na rysunku 15.1.

83 Rysunek Schematyczny rysunek rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Jeżeli w pewnym obszarze przestrzeni wokół dowolnego punktu P indukcja B pola magnetycznego będzie malała w czasie, to również strumień pola magnetycznego przechodzący przez ten obszar przestrzeni będzie malał w czasie. Wówczas zgodnie z prawem indukcji Faradaya wokół punktu P powinno powstać wirowe pole elektryczne, które kompensować będzie tę zmianę strumienia pola magnetycznego. W efekcie wartość natężenia pola elektrycznego E w sąsiednim punkcie odległym o dx zmieni się o wartość de. Taka zmiana wartości natężenia pola elektrycznego (również zmiana strumienia wektora natężenia pola elektrycznego) zgodnie z prawem Ampera będzie kompensowana przez wirowe pole magnetyczne powstałe wokół tego punktu. Oznacza to, że analogicznie do pola elektrycznego również wartość indukcji pola magnetycznego w punkcie odległym o dx zmieni się o wartość db. W ten sposób wykazaliśmy jakościowo na podstawie równań Maxwella, że pola elektryczne i magnetyczne są ze sobą powiązane, konsekwencją czego jest istnienie fal elektromagnetycznych. Równania Maxwella pozwalają również wyznaczyć wartość prędkości rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. Strona 83

84 Prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej Równania Maxwella można przekształcić tak, że otrzymamy różniczkowe równanie fali zarówno dla wektora natężenia pola elektrycznego E jak i magnetycznego H : E x,t E x,t 0 0 x t H x,t H x,t 00 x t (15.11), gdzie 0 jest przenikalnością elektryczną próżni, zaś 0 oznacza przenikalność magnetyczną próżni. Równania te mają podobną postać jak różniczkowe równanie fali (równanie 14.5). Z porównania równania oraz 14.5 wynika, że prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni, nazywana prędkością światła c, wynosi: c m s (15.1) 0 0 Warto podkreślić w tym miejscu, że rozwiązaniem różniczkowych równań fali elektromagnetycznej muszą być funkcje sinusoidalne przedstawione w równaniach Źródłem fali elektromagnetycznej jest niejednostajny (przyspieszony) ruch ładunków elektrycznych. Ruch taki możemy wywołać na przykład przykładając napięcie do przewodnika (anteny). Ładunki dodatnie i ujemne ulegną wówczas rozsunięciu (powstanie dipol elektryczny). Pod wpływem zmiennego napięcia ładunki będą drgały wytwarzając zmienne pole elektryczne, które zgodnie z równaniami Maxwella stanie się źródłem fali elektromagnetycznej. Strona 84

85 15.4. Wektor Poyntinga Fala elektromagnetyczna, podobnie jak rozważana wcześniej mechaniczna fala wytworzona w sznurze, niesie energię i jest zdolna wykonać pracę. W poprzednim rozdziale mówiliśmy, że opisując zdolność fali do wykonania pracy należy określić, jaka porcja energii w jednostce czasu dociera do jednostkowej powierzchni. W przypadku fal elektromagnetycznych chwilową szybkość przepływu energii, czyli moc przypadającą na jednostkę powierzchni opisuje wektor Poyntinga S. Wektor ten definiuje się poprzez iloczyn wektorowy wektora natężenia pola elektrycznego E oraz natężenia pola magnetycznego H: S E H (15.13) Jako wynik iloczynu wektorowego wektor Poyntinga jest prostopadły zarówno do wektora natężenia pola elektrycznego jak i wektora indukcji magnetycznej. Wektor S wyznacza kierunek i zwrot rozchodzenia się fali elektromagnetycznej. Natężenie fali elektromagnetycznej jest równe średniej wartości wektora Poyntinga: E max 1 E max E sr 0 c μ0 c μ0 1 I S sr (15.14) c μ Ciśnienie promieniowania Fale elektromagnetyczne transportują nie tylko energię, ale również pęd. Jeżeli obiekt, który oświetlany falą elektromagnetyczną pochłonie pewną energię ΔU, to równocześnie przekazany mu zostanie pęd Δp: ΔU Δp (15.15), c Strona 85

86 gdzie c jest prędkością światła. W przypadku, gdy promieniowanie elektromagnetyczne ulegnie całkowitemu wstecznemu odbiciu zmiana pędu obiektu będzie dwukrotnie większa. Energia ΔU pochłonięta przez obiekt zależy od natężenia promieniowania I, powierzchni obiektu A oraz czasu naświetlania Δt (równanie 14.): Strona 86 ΔU I A Δt (15.16) Wartość siły oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego pochłoniętego całkowicie przez obiekt można obliczyć na podstawie drugiej zasady dynamiki Newtona: Δp ΔU I A Δt I A F (15.17) Δt c Δt c Δt c Ponieważ powyższa siła działa na powierzchnię A obiektu, więc możemy wyznaczyć ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego: F I pp (15.18) A c W przypadku całkowitego wstecznego odbicia ciśnienie promieniowania elektromagnetycznego będzie dwukrotnie większe i wyniesie: I pp (15.19), c gdzie I oznacza natężenie promieniowania elektromagnetycznego zaś c jest prędkością światła. Wartość ciśnienia promieniowania jest na tyle niewielka, że nie odczuwamy go w życiu codziennym. Ciśnienie promieniowania pozwala jednak na przykład wyjaśnić specyficzne ułożenie i zakrzywienie warkoczy komet okrążających Słońce a także ma decydujące znaczenie w utrzymaniu równowagi gwiazd ciśnienie promieniowania równoważy siły grawitacji.

87 16 Optyka W tym rozdziale: o o o o o o Prawo odbicia i załamania Dyspersja Zwierciadła, soczewki i urządzenia optyczne Polaryzacja Interferencja Dyfrakcja Strona 87

88 Optyka Optyka zajmuje się zjawiskami fizycznymi związanymi z falami elektromagnetycznymi z zakresu światła widzialnego. Często wprowadza się podział na optykę geometryczną (zajmującą się geometrycznym opisem toru tzw. promienia świetlnego) i optykę fizyczną (zajmującą się opisem falowych własności światła, takich jak polaryzacja, interferencja i dyfrakcja). Podział taki ma znaczenie głównie historyczne, bowiem geometryczny przebieg promienia świetlnego w materiale możemy również opisać za pomocą równań fali elektromagnetycznej Prawa załamania i odbicia światła Zasada Huygensa oraz zasada Fermata Jednymi z podstawowych praw optyki są zasada Huygensa oraz zasada Fermata. Zasada Huygensa mówi, że każdy punkt czoła fali można uważać za źródło nowej (wtórnej) fali kulistej. Czoło fali tworzy zbiór punktów fali zgodnych w fazie. Jeżeli czoło fali jest płaszczyzną (linią prostą w przypadku dwuwymiarowym) (rys. 16.1a), to falę taką nazywamy falą płaską, zaś jeżeli czoło ma kształt sfery (okręgu) (rys. 16.1b) to fala nazywana jest falą kulistą. Rozpatrzmy najpierw falę płaską jak na rysunku 16.1a. Zgodnie z zasadą Huygensa każdy punkt czoła fali staje się źródłem nowej fali kulistej. Ponieważ fale rozchodzą się w tym samym ośrodku, więc każda z tych wtórnych fal w czasie Δt przebędzie tę samą drogę s = c Δt. W efekcie, po czasie Δt, nowe Strona 88

89 czoło fali będzie również falą płaską oddaloną od pierwotnego czoła fali o odległość s. Analogicznie w przypadku fali kulistej nowe czoło fali również będzie sferą (okręgiem), ale o promieniu większym od pierwotnego o długość s (rys. 16.1b). Rysunek Zasada Huygensa W optyce geometrycznej do opisu przebiegu fal świetlnych często korzystać będziemy z pojęcia promieni światła, czyli nieskończenie cienkiej wiązki światła. Według zasady Fermata promień światła biegnący z jednego punktu do drugiego wybiera drogę, na której przebycie zużyje extremum czasu (najczęściej minimum). Zastosujemy zasady Huygensa oraz Fermata do wyznaczenia przebiegu promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków o różnych właściwościach optycznych. Współczynnik załamania W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, że prędkość rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w próżni (prędkość fazowa) jest równa prędkości światła c 1 ε 0 μ0. Jeżeli Strona 89

90 światło rozchodzi się w ośrodku innym niż próżnia jego prędkość fazowa v zależy od właściwości ośrodka i wynosi: 1 c c v (16.1), εε0 μμ0 εμ n gdzie c oznacza prędkość światła w próżni, μ oraz ε oznaczają odpowiednio względne przenikalności magnetyczną oraz elektryczną ośrodka zaś n współczynnik załamania ośrodka, w którym rozchodzi się fala elektromagnetyczna. Z powyższej zależności wynika, że światło będzie się rozchodziło z różnymi prędkościami w ośrodkach o różnym współczynniku załamania (różnych właściwościach optycznych). Prawo odbicia Prawo odbicia mówi, że kąt padania fali świetlnej jest równy kątowi odbicia. Prawo to wynika z zastosowania zasady Fermata dla wyznaczenia przebiegu fali świetlnej między dwoma punktami. Jeżeli podczas tego przebiegu fala świetlna ulega odbiciu od granic ośrodków, to minimalny czas na pokonanie takiej drogi optycznej otrzymamy wtedy, gdy kąt padania jest równy kątowi odbicia. Warto przy tym zaznaczyć, że w optyce kąt padania oraz odbicia wyznaczamy względem normalnej do granicy ośrodków. Jeżeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy którego odbija się fala, jest większy niż współczynnik załamania ośrodka, w którym fala propaguje, podczas odbicia następuje zmiana fazy fali o (zmiana fazy na przeciwną). Prawo załamania Rozpatrzmy teraz przebieg fali świetlnej między dwoma punktami znajdującymi się w ośrodkach o różnych Strona 90

91 współczynnikach załamania n 1 oraz n. Jeżeli współczynnik załamania w ośrodku drugim jest większy niż w pierwszym (n 1 < n ), to fala świetlna w tym ośrodku rozchodzić się będzie z prędkością mniejszą niż w pierwszym (wzór 16.1). Czyli jeżeli w czasie T, odpowiadającym okresowi fali, fala w ośrodku 1 przebędzie drogę λ 1, to w ośrodku przebędzie krótszą drogę λ. Zgodnie z zasadą Huygensa, każdy z punktów czoła fali rozchodzącej się w ośrodku 1 docierając do granicy ośrodków staje się źródłem nowej fali kulistej rozchodzącej się dalej w ośrodku. W przypadku, gdy fala pada na granicę ośrodków pod pewnym kątem α 1 (czoło fali tworzy z granicą ośrodków kąt α 1 oraz promień świetlny tworzy kąt α 1 z normalną do granicy ośrodków) każdy z punktów granicy rozdziału ośrodków staje się źródłem nowej fali kulistej w innej chwili czasu (rysunek 16.). Rysunek 16.. Załamanie fali na granicy ośrodków o różnych właściwościach optycznych Ponieważ w drugim ośrodku fala rozchodzi się wolniej, to czoło fali w ośrodku tworzyć będzie kąt α z granicą ośrodków. Relację między długościami fali λ 1 oraz λ a kątami α 1 oraz α Strona 91

92 można wyznaczyć porównując odcinki AC w trójkątach ABC oraz ACD na rysunku 16.b: 1 sinα 1 h sinα (16.) Wyrażając długości fali λ 1 oraz λ za pomocą prędkości fali świetlnej w ośrodkach 1 i ( 1 v 1 T oraz v T ) po przekształceniach otrzymujemy prawo Snelliusa załamania wiązki światła na granicy dwóch ośrodków optycznych: sinα sinα 1 v v 1 n n 1 n 1 (16.3) Na granicy dwóch ośrodków optycznych stosunek sinusów kąta padania i załamania fali świetlnej jest równy stosunkowi prędkości rozchodzenia się światła w tych ośrodkach lub odwrotności stosunku współczynników załamania tych ośrodków. Stosunek współczynnika n załamania ośrodka do współczynnika n 1 załamania ośrodka 1 nazywany jest również względnym współczynnikiem załamania ośrodka względem ośrodka 1 ( n1 n n1 ). Płytka płasko-równoległa Rozpatrzmy płasko-równoległą płytkę wykonaną ze szkła o współczynniku załamania n większym niż współczynnik załamania otaczającego ją powietrza ( n 1). Niech Strona 9 powietrza promień świetlny pada na tę płytkę pod kątem α jak na rysunku Na granicy powietrze-szkło promień światła dzieli się - częściowo odbije się pod takim samym kątem α oraz częściowo przechodzi do szkła. Promień światła w szklanej płytce rozchodzić się będzie pod kątem β, którego wartość wyznaczamy na podstawie wzoru Snelliusa (wzór 16.3). Następnie ten załamany promień świetlny trafia ponownie na granicę ośrodków szkło-powietrze pod kątem β. Również w tym przypadku promień częściowo odbija się (pod tym samym kątem β) oraz częściowo załamuje i przechodzi do powietrza.

93 Stosując wzór Snelliusa dla załamania na granicy szkłopowietrze (kąt padania β) otrzymujemy kąt załamania równy α. W efekcie w wyniku przejścia wiązki światła przez płytkę płasko-równoległą otrzymujemy promień równoległy, ale przesunięty względem pierwotnego (rys. 16.3). Rysunek Przebieg promieni świetlnych przez płytkę płasko-równoległą Całkowite wewnętrzne odbicie Na granicy dwóch ośrodków optycznych fala częściowo odbija się a częściowo załamuje. Względne natężenie wiązki odbitej do padającej zależy od właściwości optycznych ośrodków oraz kąta padania. Przy przejściu fali z ośrodka optycznie gęstszego do ośrodka optycznie rzadszego (n 1 > n ), czyli na przykład ze szkła do powietrza, obserwuje się tzw. całkowite wewnętrzne odbicie. Dla pewnego granicznego kąta padania otrzymujemy kąt załamania równy π/ a więc promienie ślizgają się po granicy ośrodków nie przechodząc do ośrodka o współczynniku n. Strona 93

94 sinαgr v sin v 1 n n 1 (16.4) Dla kątów padania większych od kąta granicznego promień padający ulega całkowitemu odbiciu natężenia wiązki padającej i odbitej są równe. Działanie światłowodu polega na całkowitym wewnętrznym odbijaniu promieni świetlnych rozchodzących się wewnątrz światłowodu, co pozwala przekazywać sygnał optyczny na duże odległości z niewielkimi stratami. Dyspersja Omawiając właściwości fal w poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy pojęcie dyspersji do opisania zależności prędkości fazowej fali od częstotliwości. Wspominaliśmy wówczas również, że dyspersja nie jest cechą fali a ośrodka, w którym ta fala się rozchodzi. Zjawisko dyspersji światła w szkle wykorzystuje się do rozszczepiania wiązki światła białego na promienie o różnych barwach składowych. Wiązka światła białego padając na powierzchnię pryzmatu pod kątem α 1 ulega załamaniu na granicy ośrodków powietrze-szkło. Ponieważ w szkle wewnątrz pryzmatu światło czerwone ma większą prędkość niż światło fioletowe, to zgodnie ze wzorem Snelliusa, ulegać będzie załamaniu pod większym kątem niż światło fioletowe (β fiolet < β czerwone ), jak zaznaczono na rysunku Tak rozszczepione promienie ulegają ponownemu załamaniu podczas opuszczania pryzmatu sin czerwone n1 ( ). sin n czerwone Strona 94

95 Rysunek Przebieg wąskiej wiązki promieni świetlnych w pryzmacie W efekcie, po przejściu przez pryzmat o kącie łamiącym φ (rysunek 16.4), promień światła czerwonego rozchodzić się będzie względem wiązki padającej pod kątem mniejszym niż dla barwy fioletowej kąt odchylenia wiązki światła w pryzmacie dla barwy czerwonej jest mniejszy niż dla barwy fioletowej ( czerwone fiolet ). Można wykazać, że kąt odchylenia ε zależy od współczynnika załamania pryzmatu n oraz kąta łamiącego φ pryzmatu: n 1. Strona 95

96 16.. Optyka geometryczna Zwierciadło Jeżeli na drodze promieni świetlnych wychodzących ze źródła X (przedmiot) ustawimy płaską idealnie odbijającą przeszkodę (zwierciadło płaskie), to każdy z promieni wychodzących ze źródła X ulegnie odbiciu od tej przeszkody, zgodnie z prawem odbicia, czyli pod kątem równym kątowi padania (rysunek 16.5a). Promienie odbite rozchodzą się w różnych kierunkach i nie przecinają się. Jeżeli jednak przedłużymy bieg odbitych promieni świetlnych poza zwierciadło, to otrzymamy punkt przecięcia Y (rysunek 16.5a) znajdujący w takiej samej odległości od zwierciadła jak punkt X (y = x). Punkt Y nazywamy obrazem punktu X. Warto podkreślić, że ustawiając źródło w punkcie Y uzyskalibyśmy taki sam przebieg promieni jak promieni odbitych od zwierciadła. Ponieważ w punkcie Y w rzeczywistości nie przecinają się promienie świetlne tylko ich przedłużenie obraz powstały w wyniku odbicia promieni świetlnych od płaskiego zwierciadła jest obrazem pozornym. Jeżeli zamiast punktowego źródła światła płaskie zwierciadło oświetlimy wiązką promieni równoległych padających pod kątem prostym do zwierciadła (kąt padania θ = 0), to promienie odbite nadal będą równolegle i poruszać się będą po tych samych liniach (prostopadłych do zwierciadła). Jeżeli jednak zakrzywimy powierzchnię zwierciadła, nadając mu kształt sfery (lub okręgu w przypadku dwuwymiarowym przedstawionym na rysunku 16.5.b) o promieniu R, to takie promienie równoległe przetną się w punkcie F zwanym ogniskiem zwierciadła, znajdującym się w odległości f = R/ od zwierciadła. Odległość f nazywana jest ogniskową zwierciadła (ang. focus). Strona 96

97 Rysunek Odbicie światła w zwierciadle płaskim a) oraz odbicie wiązki równoległych promieni świetlnych w zwierciadle wklęsłym b) Zjawisko ogniskowania promieni świetlnych jest konsekwencją prawa odbicia dla każdego z promieni świetlnych kąt padania jest równy kątowi odbicia, przy czym należy pamiętać, że kąt padania i odbicia wyznaczamy względem normalnej do powierzchni zwierciadła. W przypadku zwierciadła sferycznego normalną do powierzchni zwierciadła wyznacza promień R zwierciadła jak zaznaczono na rysunku 16.5b. Jeżeli źródło światła umieścimy w ognisku F soczewki sferycznej, to po odbiciu otrzymamy wiązkę promieni równoległych. Efekt ten wykorzystuje się na przykład w różnego rodzaju latarkach czy np. reflektorach samochodowych. Równanie zwierciadła Rozważmy teraz powstawanie obrazu przedmiotu X ustawionego w pewnej odległości x przed zwierciadłem sferycznym. Obraz Y przedmiotu X powstaje w punkcie przecięcia promieni świetlnych wychodzących z przedmiotu X. Strona 97

98 Rysunek Konstrukcja obrazu dla wklęsłego zwierciadła kulistego Na rysunku 16.6 zaznaczono przebieg charakterystycznych promieni świetlnych, które umożliwiają łatwą konstrukcję obrazu: promień równoległy do osi zwierciadła po odbiciu przechodzi przez ognisko F zwierciadła promień przechodzący przez ognisko zwierciadła po odbiciu będzie równoległy do osi zwierciadła promień przechodzący przez środek O krzywizny zwierciadła po odbiciu od zwierciadła poruszać się będzie po tej samej linii Oznaczając odległość od obrazu do zwierciadła jako y, na podstawie relacji geometrycznych między odcinkami x, y i f można napisać równanie zwierciadła: Strona 98

99 1 1 1 x y f y m x (16.5), gdzie f jest ogniskową zwierciadła, zaś m powiększeniem zwierciadła. Powiększenie m zwierciadła definiuje się jako stosunek wielkości obrazu Y do wielkości przedmiotu X (m=y/x) i jest równe odległości obrazu y do odległości x przedmiotu od zwierciadła. Jeżeli przedmiot umieścimy w odległości mniejszej niż ogniskowa zwierciadła to odbite promienie będą się rozbiegały nie przecinając się. Jeżeli jednak przedłużymy linie przebiegu promieni odbitych, to otrzymamy punkt przecięcia po drugiej stronie zwierciadła. W takim przypadku odległość y obrazu od zwierciadła będzie miała znak ujemny, powiększenie również będzie ujemne a obraz taki nazywać będziemy obrazem pozornym. Jeśli przedmiot znajduje się w ognisku zwierciadła, obraz nie powstanie miejsce przecięcia promieni odbitych znajduje się w nieskończoności. Można powiedzieć, że obraz pozorny nie może być rzutowany na ekran. Obrazy rzeczywiste (promienie świetlne rzeczywiście się przecinają po odbiciu) otrzymamy, gdy odległość przedmiotu od zwierciadła jest większa niż długość ogniskowej. Taki rzeczywisty obraz możemy rzutować na ekran (obserwować na ekranie). Powiększony, ale odwrócony obraz uzyskamy, jeżeli przedmiot będzie się znajdował w odległości większej niż ogniskowa, ale mniejszej niż promień krzywizny zwierciadła. W przypadku, w którym przedmiot znajduje się w odległości równej promieniowi krzywizny zwierciadła, jego obraz jest odwrócony i ma taką samą wielkość. Dla dużych odległości (większych niż promień krzywizny zwierciadła) zwierciadło sferyczne zmniejsza i odwraca obraz. W przypadku zwierciadła sferycznego wypukłego ognisko jest pozorne i w równaniu soczewki (równanie 16.5) ogniskową f bierzemy ze znakiem minus. Obraz powstały w wyniku odbicia Strona 99

100 od takiego zwierciadła również jest pozorny, pomniejszony, ale prosty (nie jest odwrócony). Soczewka Jak pokazaliśmy na początku tego rozdziału bieg promieni świetlnych może ulegać zmianie nie tylko w wyniku odbicia, ale także w wyniku załamania na granicy ośrodków o różnych współczynnikach załamania. Przykładem zastosowania zjawiska załamania do zmiany kierunku przebiegu promieni świetlnych są soczewki, gdzie nie tylko mamy do czynienia z innym optycznie materiałem, ale dodatkowo biegiem promieni kierujemy poprzez nadanie soczewce odpowiedniego kształtu. Ostateczny bieg promieni świetlnych zależeć będzie od współczynnika załamania materiału, z którego wykonana jest soczewka oraz promieni krzywizn powierzchni soczewki. Ogniskową soczewki o promieniach krzywizny r 1 (promień krzywizny od strony padania promieni) oraz r (promień krzywizny od strony wyjścia promieni) i współczynniku załamania n materiału, z którego jest wykonana, można wyznaczyć na postawie tzw. równania szlifierzy: 1 n f no r1 r (16.6), gdzie n 0 jest współczynnikiem załamania ośrodka, w którym rozchodzi się światło (dla powietrza przyjmujemy n 0 = 1). W równaniu tym przyjmuje się konwencję, że dla powierzchni wypukłych promień krzywizny bierzemy ze znakiem dodatnim, zaś dla powierzchni wklęsłych jest ujemny. Znając ogniskową soczewki, położenie i wielkość obrazu po przejściu promieni przez soczewkę wyznaczymy z równania soczewki, które ma taką samą postać jak dla zwierciadła sferycznego: Strona 100

101 1 1 1 x y f y m x (16.7), gdzie x jest odległością przedmiotu do osi soczewki; y odległością obrazu od soczewki (y > 0 jeżeli obraz znajduje się po przeciwnej stronie soczewki w stosunku do przedmiotu); f ogniskową soczewki, zaś m powiększeniem soczewki. Zasady konstrukcji obrazu dla soczewki są podobne jak w przypadku zwierciadła. Obraz powstaje w punkcie przecięcia się promieni. Promienie przechodzące przez ognisko soczewki stają się wiązką promieni równoległych, zaś wiązka promieni równoległych po przejściu przez soczewkę ogniskuje się w jej ognisku. Rysunek Przebieg promieni świetlnych przez soczewkę skupiającą. Przykładową konstrukcję obrazu Y przedmiotu X znajdującego się w odległości x od soczewki skupiającej dwuwypukłej o ogniskowej f przedstawiono na rysunku Na rysunku zaznaczono również promienie krzywizny soczewki r 1 oraz r, na podstawie których można wyznaczyć ogniskową soczewki (równanie 16.6). Dla soczewki skupiającej ogniskowa f jest Strona 101

102 Aberracje dodatnia, dla rozpraszającej zaś ujemna. Jeżeli otrzymamy dodatnią odległość y obrazu od soczewki oznacza to, że powstały obraz jest rzeczywisty i powstaje po przeciwnej stronie soczewki w stosunku do przedmiotu. Ujemna wartość y oznacza, że obraz powstanie po tej samej stronie soczewki co przedmiot i jest pozorny. Dla soczewki skupiającej, jeśli przedmiot znajduje się w odległości większej niż dwukrotna długość ogniskowej, obraz będzie rzeczywisty i pomniejszony. Jeśli odległość przedmiotu od soczewki zawiera się pomiędzy jedną a dwiema długościami ogniskowej, obraz będzie rzeczywisty i powiększony. Dla odległości przedmiotu od soczewki mniejszej niż długość ogniskowej uzyskujemy obraz pozorny. W przypadku rzeczywistych soczewek spotykamy różne niedoskonałości nazywane aberracjami. Na przykład aberracja chromatyczna jest związana z dyspersją. Ponieważ światło o różnych długościach posiada różne prędkości w ośrodku optycznym takim jak szkło czy woda, każda długość fali ulega załamaniu pod nieco innym kątem i efektywnie ogniska dla promieni świetlnych o różnych długościach fali nie będą się znajdowały w tym samym punkcie. Wpływ aberracji na powstały obraz minimalizuje się robiąc zestawy soczewek wykonanych z materiałów o różnych współczynnikach załamania i dobierając odpowiednie promienie krzywizny soczewki lub jej grubość. Urządzenia optyczne W urządzeniach optycznych często stosuje się układy soczewek, które jak wspomniano we wcześniejszym rozdziale często pozwalają minimalizować wpływ aberracji, ale przede wszystkim wpływają na właściwości optyczne układu. Jeżeli rozpatrzymy układ dwóch cienkich soczewek znajdujących się blisko siebie, to ogniskową takiego układu można obliczyć z zależności: Strona 10

103 1 1 1 (16.8), f f f 1 gdzie f 1 oraz f są ogniskowymi każdej z soczewek, zaś f ogniskową układu. Pojedyncze soczewki lub też układy soczewek charakteryzuje się za pomocą zdolności zbierającej definiowanej jako odwrotność ogniskowej (D = 1/f ). Zdolność zbierającą wyraża się w dioptriach [1D=1m 1 ] i dla soczewki skupiającej zdolność zbierająca jest dodatnia, zaś dla rozpraszającej ujemna. Rysunek Schemat budowy i przebiegu promieni świetlnych w mikroskopie optycznym Połączenie kilku soczewek lub też soczewek oraz zwierciadeł pozwala stworzyć urządzenia optyczne takie jak np. mikroskopy, lunety, obiektywy aparatów fotograficznych czy zwykłe okulary lub soczewki korekcyjne. Przebieg promieni świetlnych oraz powiększenie całkowite tego typu urządzeń zależy od ogniskowych poszczególnych elementów składowych Strona 103

104 oraz od względnej odległości tych elementów. Na rysunku 16.8 przedstawiony jest schemat konstrukcji obrazu w mikroskopie optycznym. Mikroskop optyczny składa się z obiektywu oraz okularu o ogniskowych odpowiednio f ob oraz f ok. Powiększenie całkowite mikroskopu jest iloczynem powiększenia obiektywu y ob y ok mob oraz okularu mok. Ponieważ przedmiot x x ob umieszczamy blisko ogniska obiektywu, więc odległość x ob przedmiotu od obiektywu możemy zastąpić ogniskową obiektywu f ob. Długość tubusa L (odległość od obiektywu do okularu) dobieramy następnie tak, żeby obraz obiektywu znajdował się w pobliżu ogniska okularu (między ogniskiem a okularem). Ponieważ długość tubusa L jest duża w stosunku do ogniskowych okularu i obiektywu, więc odległość powstałego obrazu y ob możemy przybliżyć długością tubusa. Przy takich założeniach również odległość przedmiotu od okularu x ok może być przybliżona ogniskową okularu f ok. Do prawidłowej obserwacji obiektu powstały obraz Y (y ok ) powinien znajdować się w odległości dobrego widzenia y ok = d = 5cm. Uwzględniając powyższe założenia powiększenie mikroskopu wynosić będzie: ob ok L d M mobmok (16.9) f f Z powyższego wzoru wynika, że powiększenie całkowite mikroskopu można więc modyfikować w pewnym zakresie poprzez zmianę długości tubusa L. ok Strona 104

105 16.3. Polaryzacja W poprzednich rozdziałach mówiliśmy o świetle jako fali elektromagnetycznej. Wykazaliśmy również, że jest to fala poprzeczna, w przypadku której zmiany pola elektrycznego i magnetycznego odbywają się kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali. Co więcej wektory natężenia pola elektrycznego oraz indukcji pola magnetycznego są do siebie zawsze prostopadłe. Ponieważ pole elektryczne i magnetyczne są ze sobą ściśle powiązane skoncentrujemy się chwilowo tylko na wektorze natężenia pola elektrycznego E. Wiązka światła niespolaryzowane składa się z wielu fal elektromagnetycznych rozchodzących się w tym samym kierunku, dla których wektor natężenia pola magnetycznego ma różny kierunek. Rysunek Schematyczny rysunek fali elektromagnetycznej a) niespolaryzowanej i b) spolaryzowanej z zaznaczonym kierunkiem rozchodzenia się fali oraz kierunkami drgań wektora natężenia pola elektrycznego W przypadku spolaryzowanej fali elektromagnetycznej drgania wektora natężenia pola elektrycznego odbywają się tylko w Strona 105

106 jednym kierunku (polaryzacja liniowa, rysunek 16.9) lub też kierunek tych drgań zmienia się systematycznie w czasie (polaryzacja kołowa lub eliptyczna). Polaryzacja może odbywać się poprzez absorpcję (filtry polaryzacyjne), przez rozproszenie (np. na cząsteczkach powietrza w górnych warstwach atmosfery) lub też przez odbicie niespolaryzowanej fali elektromagnetycznej od powierzchni dielektryka (np. odbicie od powierzchni wody). Natężenie fali spolaryzowanej liniowo po przejściu przez idealny polaryzator zależeć będzie od natężenia fali padającej oraz kąta φ między kierunkami polaryzacji fali oraz polaryzatora: Strona 106 I I 0 cos (16.10), gdzie I 0 jest natężeniem spolaryzowanej fali padającej. Jeżeli np. dwa polaryzatory (polaryzator oraz analizator) ustawimy prostopadle do siebie (φ = π/), to uzyskamy całkowite wygaszenie światła przechodzącego przez taki układ. Jeżeli na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to natężenie światła po przejściu przez polaryzator (natężenie światła spolaryzowanego) równe jest połowie natężenia światła padającego ( I ). Wartość ta wynika z uśrednienia cos I 0 dla wielu kierunków polaryzacji wiązki światła padającego. Zjawisko zmiany natężenia światła przy przejściu przez polaryzator wykorzystuje się na przykład w wyświetlaczach ciekłokrystalicznych LCD. Między dwoma polaryzatorami z płaszczyznami polaryzacji ustawionymi prostopadle do siebie umieszczone są ciekłe kryształy. Materiały te posiadają zdolność skręcania płaszczyzny polaryzacji. Układ taki oświetlamy światłem niespolaryzowanym, które po przejściu przez pierwszy z polaryzatorów staje się spolaryzowane liniowo. Następnie ciekły kryształ skręca płaszczyznę polaryzacji światła o π/ tak, że w efekcie światło jest spolaryzowane zgodnie z osią drugiego polaryzatora i przechodzi przez niego bez straty w natężeniu (jasny piksel). Ciekłe kryształy umieszczone w polu elektrycznym przestają skręcać płaszczyznę polaryzacji. Oznacza to, że gdy między polaryzatory przyłożymy napięcie światło dochodzące do drugiego polaryzatora będzie polaryzowane prostopadle do jego

107 osi. Wówczas zgodnie ze wzorem otrzymamy zerowe natężenie światła przechodzącego przez taki układ (ciemny piksel) Interferencja Interferencja to zjawisko nakładania się wielu fal prowadzące do zwiększania lub zmniejszania amplitudy wypadkowej fali. Zgodnie z zasadą superpozycji wypadkową amplitudę fali będącej złożeniem wielu fal możemy w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu określić jako sumę amplitud pochodzących od poszczególnych fal. W szczególnym przypadku, kiedy źródła fali są ze sobą skorelowane, charakteryzują się tą samą częstotliwością drgań oraz stałym w czasie przesunięciem fazowym (źródła są spójne, czyli koherentne), układ wzmocnień (np. jasnych prążków lub pierścieni) i wygaszeń nie zmienia się w czasie. Strona 107

108 Rysunek Interferencja fal pochodzących od dwóch wąskich szczelin (doświadczenie Younga) Jeżeli przed ekranem z dwiema bardzo wąskimi szczelinami (szerokość rzędu długości fali) umieścimy źródło światła, to zgodnie z zasadą Huygensa każda z tych szczelin stanie się źródłem nowej wiązki światła. Co więcej źródła te będą spójne. Rozpatrzmy obraz powstały w wyniku nałożenia się fal pochodzących od tych źródeł na ekranie znajdującym się w odległości L od szczelin w punkcie P widocznym pod kątem θ względem osi szczelin, jak na rysunku Jeżeli fale te w punkcie P będą zgodne w fazie, to nastąpi wzmocnienie i zwiększenie amplitudy fali, jeżeli zaś przeciwne w fazie to będziemy mieli do czynienia z wygaszeniem. Faza fali zależy od długości drogi optycznej między szczeliną a punktem P (r 1 oraz r ) oraz długości fali. Jeżeli różnica dróg optycznych jest wielokrotnością długości fali, to w punkcie P nastąpi wzmocnienie sygnału (jasne pole), a jeżeli będzie to wielokrotność długości fali powiększona o pół długości fali, to fale dochodzące z dwóch źródeł będą przeciwne w fazie i wygaszą się. Ta różnica dróg optycznych r r1 zależy od odległości między szczelinami d oraz kąta θ, pod jakim widać punkt P. Uwzględniając relacje trygonometryczne między tymi wielkościami warunek na wzmocnienie i wygaszenie sygnału można zapisać w postaci: Strona 108 d sin m (wzmocnienie) (16.11) m 1 (wygaszenie) d sin (16.1) Natężenie światła w wyniku interferencji dwóch spójnych wiązek światła opisane będzie wzorem: d sin I I cos max (16.13), gdzie I max w przypadku dwóch źródeł wynosić będzie 4I 0, czyli będzie czterokrotnie większe niż maksymalne natężenie promieniowania pochodzącego od pojedynczego źródła. Na ekranie będą jednak również miejsca o zerowym natężeniu i

109 efektywnie średnie natężenie światła padającego na ekran będzie wynosiło I 0, czyli tyle samo gdyby oświetlić ekran dwoma niespójnymi źródłami światła o natężeniu I 0 każde. Zjawisko interferencji wykorzystuje się np. w bardzo precyzyjnych pomiarach długości za pomocą interferometru Michelsona. W urządzeniu tym pomiar odbywa się poprzez przesuwanie ruchomego zwierciadła, co wpływa na różnicę dróg optycznych pokonywanych przez dwie wiązki światła. Jeżeli różnica ta jest równa wielokrotności długości fali to obserwujemy wzmocnienie, jeżeli nie to wygaszenie. Mierząc liczbę wzmocnień i wygaszeń możemy określić o ile długości fali zostało przesunięte zwierciadło. Interferometr Michelsona pozwala więc mierzyć odległości z dokładnością rzędu setnych części długości fali. Interferencja na cienkich warstwach Zjawisko interferencji pozwala wyjaśnić również występowanie kolorowych obszarów na powierzchni cienkich warstw takich jak plamy benzyny na wodzie, czy bańki mydlane. Taką cienką warstwę płynu można traktować jak płytkę płasko-równoległą. Rozpatrzmy więc jeszcze raz rysunek 16.3 przedstawiający bieg promieni świetlnych w płytce płasko-równoległej. Jak zaznaczono na rysunku promień świetlny, który dotrze do dolnej powierzchni płytki może ją opuścić lub też odbić się od granicy ośrodków i następnie opuścić płytkę przy górnej jej powierzchni (promień zaznaczony linią przerywaną). Promień taki opuszczając płytkę ulegnie załamaniu na granicy ośrodków i rozchodzić się będzie pod kątem α, a więc będzie równoległy do promienia odbitego bezpośrednio od górnej powierzchni. Ponieważ oba promienie są koherentne mogą więc interferować ze sobą. Wzmocnienie lub wygaszenie fal zależeć będzie od różnicy długości dróg optycznych pokonanych przez oba promienie a więc grubości płytki, jej współczynnika załamania oraz kąta padania promieni na płytkę. Przypomnijmy, że jeżeli współczynnik załamania ośrodka, od granicy którego odbija się fala, jest większy niż współczynnik załamania ośrodka, w którym fala propaguje, podczas odbicia następuje zmiana fazy o (zmiana fazy na przeciwną). W Strona 109

110 przypadku płasko-równoległej płytki szklanej znajdującej się w powietrzu, zmiana fazy następuje więc tylko przy odbiciu fali świetlnej od jej górnej powierzchni, nie następuje natomiast przy odbiciu od dolnej powierzchni płytki. Wzmocnienie interferencyjne otrzymamy więc, gdy różnica dróg optycznych promieni, z uwzględnieniem zmiany fazy, będzie całkowitą wielokrotnością długości fali: λ m λ nd cos (16.14) W powyższym wzorze m oznacza całkowitą wielokrotność długości fali, składnik został wprowadzony by uwzględnić zmianę fazy przy odbiciu, n oznacza współczynnik załamania płytki, d jej grubość, a określa kierunek rozchodzenia się promieni świetlnych w płytce (kąt załamania światła w ośrodku). Wyrażenie nd cos opisuje różnicę dróg optycznych promieni, która jest równa drodze optycznej, jaką promień odbijający się od dolnej powierzchni płytki pokonuje w materiale płytki (iloczyn drogi geometrycznej i współczynnika załamania ośrodka). Przy zadanym kącie padania i przy zadanej grubości cienkiej warstwy (grubość ścianki bańki) warunek wzmocnienia spełniony jest tylko dla jednej długości fali (składowa światła o jednej barwie). Różne kolory na bańce mydlanej wynikają z faktu, że ścianka bańki jest cieńsza u góry i grubsza na dole a więc w każdym miejscu fala o innej długości (brawie) ulega wzmocnieniu. Analizując różnokolorowe wzory na bańce mydlanej należy jednak uwzględnić nie tylko zmienną grubość ścian, ale także różny kąt padania światła wynikający ze sferycznego (w przybliżeniu) kształtu bańki. Zjawisko interferencji na cienkich warstwach jest wykorzystywane np. przy produkcji warstw antyrefleksyjnych do przyrządów optycznych, okularów, szyb i lusterek samochodowych. Element optyczny pokrywany jest cienką warstwą materiału o współczynniku załamania oraz grubości tak dobranych, aby promienie odbite od warstwy oraz od szkła (po przejściu przez warstwę) wygaszały się dla średniej Strona 110

111 długości fali światła widzialnego (dla barwy żółtej o długości około 500nm) Dyfrakcja Dyfrakcja opisuje zjawisko ugięcia, czyli zmiany kierunku rozchodzenia się fali, następujące na krawędziach przeszkód. Należy przy tym odróżnić zmianę kierunku rozchodzenia się fali na granicy ośrodków o różnych właściwościach optycznych (prawo załamania) od zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód (dyfrakcja). Dyfrakcja najczęściej kojarzy się z dyfrakcją fali świetlnej, ale w ogólności dotyczy wszystkich fal i zachodzi na każdej przeszkodzie jednakże efekt ten jest silniejszy, gdy długość fali jest porównywalna z wielkością przeszkody. Rysunek Rysunek schematyczny przebiegu promieni świetlnych w zjawisku dyfrakcji fali na szczelinie Strona 111

112 Zjawisko dyfrakcji omówimy na przykładzie szczeliny o szerokości a, na którą pada płaska fala świetlna o długości λ. Rozpatrzmy obraz, jaki powstanie na ekranie znajdującym się w odległości L od tej szczeliny jak na rysunku Podzielmy tę szczelinę na dwie polowy o szerokości a/. Fale rozchodzące się z punktów A 1 oraz A w kierunku punktu P znajdującego się na ekranie pokonują odpowiednio drogi r 1 oraz r. Jeżeli założymy, że odległość L od szczeliny do ekranu jest znacznie większa niż szerokość a szczeliny (L >> a), wówczas z dobrym przybliżeniem możemy przyjąć, że odcinki r 1 oraz r są do siebie równoległe a różnice ich długości możemy powiązać z kątem θ zależnością: a r r1 sin (16.14) Jeżeli rozpatrzymy teraz promienie r oraz r 3 wychodzące z drugiej pary punktów A oraz A 3, to przy zachowaniu powyższego warunku L >> a otrzymamy identyczną, jak w przypadku punktów A 1 oraz A, zależność na różnicę dróg a optycznych δ r3 r sin. Jeżeli ta różnica dróg optycznych δ będzie wynosiła λ/, to w punkcie P widocznym pod kątem θ otrzymamy wygaszenie. a sin (16.15) Podobne rozważania można przeprowadzić dzieląc szerokość szczeliny a na dowolną całkowitą liczbę odcinków. W ogólności warunek na wygaszenie dyfrakcyjne ma postać: sin m, m 1,, 3,... (16.16) a Pomiędzy minimami na ekranie obserwować będziemy maksima dyfrakcyjne. Natężenie światła w punktach wzmocnienia dane jest zależnością: Strona 11

113 sin sin a I I max (16.17), a sin gdzie I max jest natężeniem światła w punkcie P 0 znajdującym się na ekranie na osi szczeliny. Z powyższego wzoru wynika, że jeżeli szerokość szczeliny jest równa długości fali, to nie będziemy obserwować wygaszenia i ekran będzie oświetlony prawie jednorodnie możliwe jest ugięcie światła o kąt /, bo sin dla a równy będzie jedności. Wraz ze a zwiększaniem się szerokości szczeliny zerowe maksimum (oświetlony obszar na wprost szczeliny) staje się coraz węższe a natężenie światła w tym obszarze rośnie, zaś maksima wyższych rzędów zbliżają się do maksimum zerowego (widoczne są pod mniejszym kątem θ ) oraz ich natężenie maleje. Przypomnijmy sobie teraz, że opisując zjawisko interferencji rozpatrywaliśmy wąskie szczeliny o szerokości rzędu długości fali. Okazuje się, że przy odpowiednim doborze odległości między szczelinami oraz szerokości samych szczelin na ekranie można zaobserwować zarówno efekty interferencyjne jak i dyfrakcyjne - widoczne będą prążki interferencyjne, których intensywność modulowana jest zgodnie z zasadami dyfrakcji. Zdolność rozdzielcza Zjawisko dyfrakcji obserwuje się nie tylko dla pojedynczej szczeliny, ale także dla układu wielu szczelin umieszczonych w regularnych odstępach oraz dla otworu kołowego. Takim otworem kołowym może być również okrągła soczewka, przez którą przechodzi światło. Zdolność rozdzielcza takiej soczewki określa minimalną odległość między obiektami (źródłami światła), przy której możliwe jest rozdzielenie (rozróżnienie) tych obiektów. Dyfrakcyjne ograniczenia rozdzielczości zależą od dwóch czynników rozmiaru szczeliny (otworu) i długości fali. Strona 113

114 Rozmiar otworu elementu optycznego w przyrządach optycznych nazywamy aperturą. Im mniejsza apertura, tym silniejsze efekty dyfrakcyjne. Z wcześniejszych rozważań wiemy również, że kąt ugięcia fali w zjawisku dyfrakcji jest proporcjonalny do długości fali. Do ilościowego określenia zdolności rozdzielczej wprowadza się tak zwane kryterium Rayleigha. Definiuje ono minimalną odległość kątową, przy której jesteśmy w stanie rozróżnić dwa położone blisko siebie obiekty: λ sin 1. (16.18) a W powyższym wzorze a oznacza aperturę elementu optycznego. Osiągnięcie większej rozdzielczości optycznej (zmniejszenie kąta ) zatem można osiągnąć albo poprzez stosowanie przyrządów o dużej aperturze stąd w teleskopach astronomicznych stosuje się wielkie zwierciadła albo użycie fali o mniejszej długości. To drugie rozwiązanie stosowane jest w czytnikach płyt o wysokiej gęstości zapisu, tak zwanych BLU-RAY. Zamiast tradycyjnego lasera emitującego światło o długości powyżej 600nm zastosowano w nich laser o barwie niebieskiej i długości fali około 400nm. Warto wspomnieć, że zjawisko dyfrakcyjnego ugięcia fali wykorzystuje się również w tak zwanych soczewkach Fresnela. Rolę szczelin pełnią w tym przypadku na ogół odpowiednio wyprofilowane w materiale rowki. Soczewki tego typu, stosowane m.in. w rzutnikach, latarniach morskich i reflektorach są tańsze i lżejsze od tradycyjnych szklanych soczewek. Strona 114

115 17 Szczególna teoria względności W tym rozdziale: Postulaty szczególnej teorii względności Transformacja Lorentza Konsekwencje przekształceń Lorentza Dynamika relatywistyczna Strona 115

116 17.1. Szczególna teoria względności. Teoria względności, stworzona przez Alberta Einsteina, przedstawia zasady transformowania, czyli przekształcania, wyników pomiarów pomiędzy poruszającymi się względem siebie układami. W naszym wykładzie omówimy założenia i wnioski płynące z tzw. szczególnej teorii względności, która ogranicza się do inercjalnych układów odniesienia. Przypomnijmy, że inercjalne układy odniesienia to takie, w których wszystkie ciała poruszają się bez przyspieszenia, jeżeli nie doznają działania sił zewnętrznych. Transformacja Galileusza Rozpatrzmy na początek dwa układy odniesienia nieruchomy związany z obserwatorem stojącym na peronie (układ O) oraz układ związany z obserwatorem znajdującym się w pociągu poruszającym się z prędkością v względem peronu, w kierunku x (układ O ). Załóżmy, że w chwili początkowej oba układy pokrywają się, czyli obaj obserwatorzy znajdują się tuż obok siebie oraz osie układów współrzędnych w obu układach mają ten sam kierunek i zwrot. W pewnej chwili t obserwator stojący na peronie (układ O) zauważa, że w semaforze stojącym przy torach zapala się czerwone światło. Stwierdza również, że semafor znajduje się w punkcie o współrzędnych (x, y, z) względem niego. Obserwator znajdujący się w pociągu (układ O ) fakt zapalenia się czerwonego światła semafora zarejestruje w tym samym momencie t = t. Jego zdaniem współrzędne y oraz z tego semafora są takie same jakie podał obserwator stojący na peronie (y = y oraz z = z ), ale współrzędna x jest mniejsza, bowiem w czasie t zdążył się już zbliżyć do tego semafora o odcinek vt, czyli x' x vt. Strona 116

117 Powyższe relacje pomiędzy układami O i O stanowią tzw. transformację Galileusza, czyli zestaw przekształceń współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego poruszającego się w kierunku osi x ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v względem pierwszego układu: t' t x' x vt y' y z' z (17.1) Rozważmy obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewną dx prędkością u wyznaczoną w nieruchomym układzie d t odniesienia O. Prędkość tego samego obiektu w układzie O, poruszającym się z prędkością v w kierunku osi x, definiuje się dx jako u, ale ponieważ x' x vt więc otrzymujemy: dt d dx u x vt v u v dt dt u u v (17.), Otrzymaliśmy w ten sposób prawo składania prędkości. Jako przykład rozpatrzmy samochód, którego prędkość względem fotoradaru stojącego na poboczu (nieruchomy układu odniesienia O) wynosi u = 60km/h. Rower poruszający się z prędkością v = 0km/h w tym samym kierunku możemy traktować jako ruchomy układ odniesienia c poruszający się z prędkością v względem układu O. Wówczas prędkość u samochodu w układzie związanym z rowerem (prędkość samochodu względem roweru) wynosić będzie u u v 40km/h. Rozpatrzmy teraz obiekt poruszający się w kierunku osi x z pewnym przyspieszeniem i opiszmy jego ruch w okładzie O oraz O. Zgodnie z transformacją Galileusza przyspieszenie Strona 117

118 obiektu w obu układach doniesienia O i O będzie miało taką samą wartość: dut du t v dut a a dt dt dt (17.3) Transformacja Galileusza jest słuszna dla wszystkich zjawisk, w których mamy do czynienia z prędkościami (prędkościami obiektów albo prędkościami względnymi układów odniesienia) znacznie mniejszymi od prędkości światła. Tak więc wszystkie zagadnienia klasycznej mechaniki Newtonowskiej mogą być opisywane za pomocą transformacji Galileusza. W przypadku prędkości zbliżonych do prędkości światła należy zastosować szczególną teorię względności oraz transformację Lorentza do opisu tego samego zdarzenia w dwóch różnych układach odniesienia. Postulaty szczególnej teorii względności U podstaw szczególnej teorii względności leżą dwa postulaty: Strona 118 o Dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa fizyki są takie same i żaden z układów nie jest wyróżniony. o We wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we wszystkich kierunkach światło w próżni rozchodzi się z taką samą prędkością c. Zasada względności Einsteina Warto zaznaczyć w tym miejscu, że pierwszy postulat szczególnej teorii względności wyraża tzw. zasadę względności Einsteina. Według klasycznej zasady względności Galileusza w inercjalnych układach odniesienia poruszających się względem siebie ze stałymi prędkościami równania Newtona muszą być niezmiennicze a więc niemożliwe jest wyróżnienie któregokolwiek z tych układów odniesienia za pomocą eksperymentów mechanicznych. Einstein rozszerzył tę zasadę względności na wszystkie prawa fizyki (nie tylko mechaniki, ale także elektromagnetyzmu i optyki). Możemy więc

119 powiedzieć, że według zasady względności Einsteina nie istnieje eksperyment fizyczny, który pozwoliłby wyróżnić którykolwiek z inercjalnych układów odniesienia. W dalszej części tego rozdziału omówimy wnioski wynikające z postulatów szczególnej teorii względności Transformacja Lorentza Uwzględniając postulaty szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych przestrzennych oraz czasu między dwoma inercjalnymi układami odniesienia odbywa się w inny sposób niż według Galileusza. Rozważmy, podobnie jak w poprzednim przykładzie transformacji Galileusza, nieruchomy układ odniesienia O (współrzędne x, y, z, t ), na przykład peron, oraz drugi układ odniesienia O (współrzędne primowane x, y, z, t ), na przykład pociąg, poruszającym się względem układu O z prędkością v skierowaną zgodnie z osią x. Transformację Lorentza przekształcającą współrzędne x, y, z, t na współrzędne x, y, z, t podamy bez wyprowadzenia: x' x vt y' y z' z v t' t x c gdzie c jest prędkością światła. 1 v 1 c (17.4), W transformacji Lorentza występuje czynnik γ (tzw. czynnik lorentzowski), który dla niedużych prędkości, znacznie mniejszych niż prędkość światła jest z dobrym przybliżeniem równy jedności ( v c 1). Wówczas, dla małych prędkości, transformacja Lorentza zamienia się w klasyczną Strona 119

120 transformację Galileusza. Oznacza to, że transformacja Galileusza jest przybliżeniem transformacji Lorentza dla małych prędkości. Niezmienniki transformacji Lorentza Zauważmy, że w transformacji Lorentza przekształceniu ulega nie tylko współrzędna x (kierunek, w którym poruszają się układy względem siebie), ale także czas t. W przypadku transformacji Galileusza czas był absolutny, czyli biegł tak samo, niezależnie od układu odniesienia czas był niezmiennikiem transformacji Galileusza. Z transformacji Lorentza wynika natomiast, że czas przekształca się podobnie jak współrzędne przestrzenne i w rzeczywistości jest czwartą współrzędną w czterowymiarowej przestrzeni zwanej czasoprzestrzenią. Opisując więc jakieś zdarzenie należy podać zarówno współrzędne przestrzenne (x, y, z ) jak i współrzędną czasową tego zdarzenia (ct ). W konsekwencji odstęp między zdarzeniami zależeć będzie od tego, w jakiej odległości od siebie nastąpiły te zdarzenia, przy czym odległość tę musimy określić zarówno w czasie jak i przestrzeni. Długość czterowektora określającego odległość (w przestrzeni i czasie) między dwoma zdarzeniami nazywamy interwałem czasoprzestrzennym ( s x y z c t ). Można wykazać, że przy przejściu z układu O do O kwadrat interwału czasoprzestrzennego jest wielkością stałą, a więc interwał czasoprzestrzenny Δs jest niezmiennikiem transformacji Lorentza: x x y y z z c t c t const. (17.5) Przypomnijmy, że zgodnie z postulatami Einsteina w każdym układzie odniesienia i w każdym kierunku prędkość rozchodzenia się światła jest stała i wynosi c. Oznacza to, że również prędkość światła c jest niezmiennikiem transformacji Lorentza. Oprócz interwału czasoprzestrzennego i prędkości Strona 10

121 światła niezmiennikami są również masa spoczynkowa m 0, energia spoczynkowa E 0 =m 0 c oraz ładunek elektryczny q. Opisując różnice pomiędzy transformacją Galileusza i Lorentza podkreślaliśmy, że w teorii względności czas i położenie (odległość) mają charakter względny. Transformacja Lorentza przedstawia inne, niż klasyczne, pojmowanie czasu, równoczesności zdarzeń, inne dodawanie prędkości czy pomiar odległości. Konsekwencje przekształceń Lorentza przedstawimy bardziej szczegółowo w dalszej części tego rozdziału Konsekwencje przekształceń Lorentza Względność czasu, dylatacja czasu Wyobraźmy sobie obserwatora A znajdującego się w pociągu poruszającym się z dużą prędkością v względem peronu, na którym stoi obserwator B. Obserwator A wykonuje eksperyment, w którym świeci pionowo w górę (zdarzenie 1) w zwierciadło znajdujące się na suficie a następnie mierzy czas od błysku do momentu dotarcia wiązki świetlnej do detektora, który trzyma w ręce (zdarzenie ) (rysunek 17.1). Jeżeli odległość od obserwatora do zwierciadła wynosi D, to zmierzony czas Δt 0 jest czasem, jaki potrzebuje światło, żeby pokonać drogę D (w górę i w dół) z prędkością światła c D ( Δt 0 ). Dla obserwatora B stojącego na peronie c eksperyment ten będzie wyglądał trochę inaczej, gdyż cały pociąg porusza się z prędkością v względem niego. Jego zdaniem promień świetlny przebędzie drogę L, a nie D, zanim dotrze do detektora. Dłuższa droga L wynika z faktu, że zarówno zwierciadło jak i detektor uciekają od źródła Strona 11

122 światła z prędkością v, jak na rysunku W efekcie, uwzględniając postulat niezmienniczości prędkości światła, obserwator B zmierzy dłuższy czas Δt. Rysunek Schemat pomiaru czasu w układzie nieruchomym i w układzie poruszającym się z prędkością v. Powyższy eksperyment pokazuje nam, że czas w układzie nieruchomym płynie szybciej niż w tym poruszającym się z prędkością v a odstępy czasu między zdarzeniami stają się dłuższe, co nazywa się dylatacją czasu: Δt Strona 1 1 Δt 0 (17.6), v 1 c gdzie Δt jest czasem, jaki upłynął miedzy zdarzeniami 1 i w układzie nieruchomym związanym z obserwatorem B stojącym na peronie, zaś Δt 0 oznacza czas między zdarzeniami 1 i w poruszającym się z prędkością v układzie obserwatora A. Powyższy eksperyment myślowy pokazuje jak ważne jest w fizyce relatywistycznej określenie nie tylko odległości czasowej między zdarzeniami, ale również odległości w przestrzeni

123 między tymi zdarzeniami. Dla obserwatora A oba zdarzenia (błysk oraz detekcja) występują w tym samym punkcie przestrzeni i wówczas o odstępie między nimi decyduje wyłącznie odległość na osi czasu. W drugim przypadku, dla obserwatora B zdarzenia błysku światła i jego detekcji są odległe także w przestrzeni o odległość v Δt, co wpływa na zarejestrowaną odległość w czasie między tymi zdarzeniami. Rozpatrzymy dwóch bliźniaków, z których jeden wyrusza w podróż z prędkością zbliżoną do prędkości światła a drugi pozostaje na nieruchomej planecie. Bliźniak lecący w rakiecie porusza się względem tego na planecie, więc zgodnie z transformacją Lorentza jego czas płynie wolniej. Ale również bliźniak na planecie porusza się względem tego znajdującego się w rakiecie a więc zdaniem bliźniaka w rakiecie to zegary na planecie chodzą wolniej. Zagadnienie to jest nazywane paradoksem bliźniąt. Po to, żeby sprawdzić, który z bliźniaków ma rację bliźniak w rakiecie musiałby zawrócić, ale wtedy układy przestają być inercjalne i wnioski szczególnej teorii względności nie obowiązują szczególna teoria względności i transformacja Lorentza dotyczą tylko układów inercjalnych poruszających się bez przyspieszenia, ze stałymi prędkościami względem siebie. Układ odniesienia bliźniaka znajdującego się na planecie pozostaje inercjalny a więc to bliźniak z planety ma rację i w efekcie powracającego kosmonautę będzie witał starszy bliźniak. Istnieje szereg eksperymentów potwierdzających istnienie zjawiska dylatacji. W górnych warstwach atmosfery, na wysokości rzędu kilku kilometrów powstają nietrwałe cząstki zwane mionami. Średni czas życia tych cząstek, czyli odstęp czasowy między ich powstaniem i rozpadem, mierzony w układzie związanym z tymi cząstkami, czyli w tzw. układzie własnym, wynosi ok.. μs. W tym czasie miony, nawet poruszając się z prędkością światła, pokonałyby odległość rzędu 600 m jak więc jest możliwe, że miony powstałe na wysokości rzędu 0 km są rejestrowane także w laboratoriach na powierzchni Ziemi? W układzie związanym z Ziemią, względem którego miony poruszają się z prędkością zbliżoną do prędkości światła, średni czas życia mionów ulega dylatacji i wynosi ok. Strona 13

124 64 μs. W takim czasie obiekt poruszający się z prędkością zbliżoną do prędkości światła jest w stanie pokonać odległość ponad 0 km, a więc miony zdążają dolecieć do Ziemi zanim się rozpadną. Te samo zjawisko można również opisać w układzie związanym z poruszającym się mionem. Jak już powiedzieliśmy w układzie tym, czyli układzie własnym, czas życia mionów wynosi średnio. μs. Jak więc jest możliwe, że miony są w stanie dotrzeć do detektorów znajdujących się na powierzchni Ziemi? Okazuje się, że względem takiego poruszającego się z dużą prędkością układu odniesienia związanego z mionem grubość atmosfery ziemskiej musi być znacznie mniejsza, rzędu kilkuset metrów. Zagadnienie skrócenia (kontrakcji) długości omówimy w kolejnych rozdziałach. Względność równoczesności Kolejną konsekwencją transformacji Lorentza jest również inne rozumienie jednoczesności zdarzeń. Przeprowadźmy eksperyment myślowy. Obserwator A znajduje się w środku nieruchomego pociągu stojącego na peronie. Pociąg ten mija drugi identyczny pociąg poruszający się z prędkością v, w środku którego stoi obserwator B. Gdy oba pociągi zrównają się zapala się jednocześnie czerwone światło na początku i niebieskie na końcu pociągu. Do obserwatora B, nieruchomo stojącego na peronie, oba błyski - czerwony i niebieski - dotrą równocześnie, gdyż każda z fal świetlnych ma do pokonania tę samą odległość. Tak więc zdaniem obserwatora B oba błyski nastąpiły jednocześnie. Tymczasem według obserwatora A pierwszy nastąpił błysk czerwony a później błysk niebieski. Wynika to z faktu, że obserwator A zbliża się do czerwonej oraz oddala od niebieskiej żarówki z prędkością v. Skrócenie długości Rozpatrzmy tego samego obserwatora A znajdującego się w pociągu poruszającym się z prędkością v względem peronu. Strona 14

125 Obserwator ten chcąc zmierzyć długość peronu musi zmierzyć odległość między zdarzeniami - minięcie początku oraz minięcie końca peronu. Według obserwatora A oba te zdarzenia następują w tym samym punkcie jego układu odniesienia. Jeżeli obserwator A zmierzy odległość w czasie Δt 0, to jego zdaniem długość peronu wynosić będzie L v Δt 0 (prędkość obserwatora A względem peronu wynosi v). Obserwator B stojący na końcu peronu zmierzył długość peronu L 0 oraz stwierdził, że czas przejazdu pociągu wraz z obserwatorem A L0 wyniósł Δt a więc L 0 v Δt. Stosunek długości v zmierzonych przez obu obserwatorów z uwzględnieniem relacji 17.6 zapisujemy: L v Δt 0 Δt 0 1 L v Δt Δt L L0 1 v c 1 (17.7) Z powyższej relacji wynika tzw. skrócenie długości obiektów w ruchu. Obiekty poruszające się z dużymi prędkościami dla obserwatora nieruchomego wydają się krótsze niż zmierzone w ich układzie własnym. Pomiar długości peronu wykonany przez obserwatora A poruszającego się względem peronu daje wartość mniejszą niż ta zmierzona przez obserwatora B znajdującego się na peronie. Podobnie długość pociągu zmierzona przez obserwatora B stojącego na peronie będzie mniejsza niż ta zmierzona przez obserwatora A znajdującego się wewnątrz pociągu. Dochodzimy w ten sposób do paradoksu z punktu widzenia obserwatora B pociąg z pewnością zmieści się na długości peronu, zaś według obserwatora A peron jest za krótki. Paradoks ten jest konsekwencją innego postrzegania równoczesności przez obserwatorów poruszających się względem siebie. Strona 15

126 Dodawanie prędkości Z transformacji Lorentza wynika inny niż klasyczny, Galileuszowy, sposób dodawania (transformowania) prędkości. Rozpatrzmy układ O poruszający się względem układu O z prędkością v w kierunku osi x. Jeżeli prędkość pewnego obiektu wzdłuż osi x w układzie O wnosi u x, to w układzie O jego prędkość u x można wyznaczyć z zależności: u x u v x u (17.8) x v 1 c Jako przykład rozpatrzmy rakietę lecącą z prędkością 0.7c, która wystrzeliła pocisk z prędkością u x = 0.8c względem rakiety. Prędkość pocisku względem nieruchomego układu odniesienia O możemy wyznaczyć ze wzoru 17.8: 0,8c 0,7c 1.5c u x 0,96c c 0,8c 0,7c ) c (17.9) Zauważmy, że, mimo iż obie prędkości (rakiety i pocisku) są zbliżone do prędkości światła, prędkość pocisku względem Ziemi nie przekracza tej krytycznej wartości. Co więcej, zgodnie ze wzorem 17.8, jeżeli prędkość jednego z obiektów jest równa c to suma prędkości (prędkość względna) też jest równa c. Efekt ten został eksperymentalnie potwierdzony w 1881r. w eksperymencie Michelsona Morleya, uznawanym za jeden z najważniejszych eksperymentów fizyki. W eksperymencie tym wykazano, że prędkość światła jest taka sama w każdym kierunku, niezależnie od pory dnia i roku, a więc niezależnie od względnego ruchu detektora znajdującego się na powierzchni Ziemi względem Słońca. Strona 16

127 17.4. Dynamika relatywistyczna Pęd i masa Jednym z postulatów szczególnej teorii względności jest obowiązywanie tych samych praw fizycznych we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, tzn., że wszystkie inercjalne układy odniesienia są równoważne. Okazuje się, że aby spełniona była zasada zachowania pędu w przypadku relatywistycznych prędkości (prędkości zbliżonych do prędkości światła) niezbędne jest inne zdefiniowanie pędu ciała o masie m 0 oraz prędkości v : p mv p m0 v m0 v p v 1 c (17.10) Masa m0 nazywana jest masą spoczynkową ciała, zaś masa m nazywana jest masą relatywistyczną: m m 0 (17.11) v 1 c Masa relatywistyczna przy małych prędkościach ruchu jest bliska, co do wartości, masie spoczynkowej ciała, gdyż wówczas czynnik lorentzowski jest bliski jedności. Jak pokazano na rysunku 17..a czynnik Lorentza dąży do nieskończoności przy prędkościach dążących do prędkości światła c. Oznacza to, że również relatywistyczna masa ciała o masie spoczynkowej różnej od zera będzie dążyła do nieskończoności a więc ciała Strona 17

128 takiego nie da się rozpędzić do prędkości światła. Prędkość światła jest więc prędkością graniczną, którą osiągają tylko obiekty o zerowej masie spoczynkowej fotony. Na rysunku 17..b przedstawiono zależność pędu ciała o masie spoczynkowej m od prędkości v. Według klasycznej newtonowskiej definicji pędu, przedstawionej w rozdziale 3, pęd ciała rośnie jednostajnie w funkcji prędkości ciała niezależnie od wartości tej prędkości. Ta klasyczna definicja jest przybliżeniem relatywistycznej definicji pędu dla niskich prędkości. Przy prędkościach zbliżonych do prędkości światła klasyczne podejście staje się błędne a pęd dąży do nieskończoności. Rysunek 17.. Zależność czynnika Lorentza a) oraz pędu relatywistycznego b) od prędkości Energia całkowita, energia kinetyczna Ze szczególnej teorii względności wynika słynna zależność Einsteina: Strona 18 E mc (17.1) E m c 0 m0c (17.13) v 1 c

129 Równanie to ukazuje proporcjonalność pomiędzy energią całkowitą obiektu a jego masą relatywistyczną. Możliwe jest przekształcanie masy na energię i odwrotnie - masa i energia są równoważne. Powyższa zależność pomiędzy masą a energią została potwierdzona eksperymentalnie na przykład w bilansach energetycznych reakcji jądrowych czy zjawisku tworzenia par elektron-pozyton. Z równania wynika, że także ciało pozostające w spoczynku posiadać będzie energię E 0 m 0 c nazywaną energią spoczynkową. Ponieważ energia całkowita ciała jest sumą energii spoczynkowej oraz energii kinetycznej, więc: Relatywistyczną energię kinetyczną ciała wyznaczamy jako różnicę całkowitej energii relatywistycznej tego ciała oraz jego energii spoczynkowej: E k m c 0 v 1 c E E E k m c 0 0 1m c 0 (17.14) Dla małych wartości prędkości v ciała powyższą zależność można wyrazić przybliżonym wzorem 1 v m0 v E k m0c 1 m 0c, co oznacza, że klasyczna c definicja energii kinetycznej jest przybliżeniem dla małych prędkości relatywistycznej energii kinetycznej. Jeżeli zależność podniesiemy do kwadratu i uwzględnimy relację 17.10, to po przekształceniach otrzymujemy związek między relatywistyczną energią całkowitą ciała E oraz jego relatywistycznym pędem p: E m c pc (17.15) 0 Jeżeli rozpatrzymy ciało o zerowej masie spoczynkowej m 0 = 0, takie jak cząstka promieniowania elektromagnetycznego foton to powyższa zależność upraszcza się do postaci: Strona 19

130 E pc p E c (17.16) Jak pokażemy w dalszych rozdziałach, energia fotonów zależy od częstotliwości ν promieniowania elektromagnetycznego: c E h h, gdzie h jest stałą Plancka i wynosi 34m h kg. Stąd otrzymujemy, że pęd fotonu jest s odwrotnie proporcjonalny do długości fali promieniowania i wynosi: h p (17.17) Strona 130

131 18 Fizyka kwantowa W tym rozdziale: o o o Prawa promieniowania cieplnego, ciało doskonale czarne Kwantowa natura promieniowania, efekt fotoelektryczny i efekt Comptona Dualizm korpuskularno falowy, hipoteza de Brogliea Strona 131

132 18.1. Prawa promieniowania Promieniowanie cieplne, to promieniowanie, które emitowane jest w wyniku ruchu cieplnego cząstek materii. Promieniowanie takie wysyłane jest przez każde ciało w temperaturze powyżej zera bezwzględnego (0K) i odbywa się kosztem energii kinetycznej cząstek tego ciała. Nazwa promieniowanie cieplne odnosi się do sposobu wytwarzania promieniowania elektromagnetycznego a nie do długości emitowanych fal. Zgodnie z klasyczną fizyką falową niejednostajny ruch ładunku elektrycznego jest źródłem promieniowania elektromagnetycznego. Drgania termiczne również wywołują przyspieszenie elektronów w materii a więc stają się źródłem fal elektromagnetycznych, które nazywamy promieniowaniem cieplnym. Odwrotne do zjawiska emisji, zjawisko pochłaniania fal promieniowania cieplnego, polega na wzbudzaniu drgań elektronów przez fale elektromagnetyczne padające na powierzchnię ciała. Warto podkreślić, że w zależności od temperatury obiektu emitowane promieniowanie cieplne charakteryzować się będzie różnymi długościami. Widmo promieniowania ciała rozgrzanego do bardzo wysokiej temperatury, które świeci na czerwono czy nawet na biało, obejmuje zakresie fal widzialnych a ciała o niższej temperaturze, których promieniowanie odczuwamy tylko za pomocą receptorów cieplnych emitują głównie fale z zakresu podczerwieni. Zdolność emisyjna i absorpcyjna Ilość energii emitowanej przez ciało w postaci promieniowania cieplnego zależy od temperatury T tego ciała oraz częstotliwości tego promieniowania - zdolność emisyjna ciała E jest więc funkcją częstotliwości oraz temperatury, E (ν,t ). Zdolność emisyjna ciała jest równa energii emitowanej przez jednostkową powierzchnię ciała w jednostce czasu w postaci promieniowania elektromagnetycznego z zakresu częstotliwości Strona 13

133 (ν, ν+dν). Zdolność absorpcyjna ciała (zdolność pochłaniania) również zależy od jego temperatury oraz częstotliwości padającego promieniowania A (ν,t ). Na ogół jednak tylko część energii promieniowania padającego na ciało jest pochłaniana a część jest odbijana. Część energii odbitej od ciała określamy za pomocą współczynnika odbicia R (ν,t ) (od angielskiego reflected), który podobnie jak współczynnik absorpcji (zdolność absorpcyjna) zależy od temperatury oraz częstotliwości promieniowania. Energia promieniowania padającego na powierzchnię ciała jest częściowo pochłaniana a pozostała część jest odbijana, tak że: Suma współczynników absorpcji A(ν,T) i odbicia R(ν,T) jest dla dowolnej powierzchni równa jedności, dla każdej częstotliwości padającego promieniowania oraz dla każdej temperatury: Ciało doskonale czarne A,T R,T 1 (18.1) Ciało doskonale czarne w każdej temperaturze w całości pochłania docierające do niego promieniowanie niezależnie od jego częstotliwości, jednocześnie nic nie odbijając: A, T 1 Zgodnie z powyższą definicją dla ciała doskonale czarnego A = 1 zaś R = 0, niezależnie od temperatury i częstotliwości. Wzorcem ciała doskonale czarnego jest wnęka z małym otworem. Jeżeli jakiś promień wpadnie do otworu, to po kilku odbiciach od ścian wewnętrznych wnęki zostanie całkowicie przez nią pochłonięty. Tak więc możemy powiedzieć, że powierzchnia otworu jest całkowicie pochłaniająca promieniowanie niezależnie od jego częstotliwości. Warto zaznaczyć, że kształt czy wielkość wnęki nie ma przy tym istotnego znaczenia. Pewnym przybliżeniem ciała doskonale czarnego mogą być również okna w budynku. Patrząc z zewnątrz widzimy, że okna budynku są ciemne niezależnie od koloru ścian pomieszczeń znajdujących się za nimi Strona 133

134 Prawo Kirchhoffa W otaczającym nas świecie obserwujemy pewną równowagę między zdolnością absorpcyjną oraz emisyjną, tzn. ciała z jednej strony pochłaniają część docierającego do nich promieniowania elektromagnetycznego, ale równocześnie emitują część energii wewnętrznej również w formie promieniowania elektromagnetycznego. Gdyby tak nie było temperatura ciała pochłaniającego promieniowanie powinna ciągle wzrastać. Ponieważ obiekty rzeczywiste osiągają równowagę, więc wnioskujemy, że jeżeli jakieś ciało charakteryzuje się dużą zdolnością emisyjną, to również będzie bardzo dobrze absorbowało padające promieniowanie elektromagnetyczne. Powyższą obserwację zapisujemy w postaci tzw. prawa Kirchhoffa promieniowania cieplnego: Stosunek zdolności emisyjnej do zdolności absorpcyjnej jest dla wszystkich powierzchni, wszystkich ciał, jednakową uniwersalną funkcją częstotliwości oraz temperatury. E,T A,T ε,t (18.) Aby znaleźć funkcję ε (ν,t ) zapiszmy prawo Kirchhoffa dla ciała doskonale czarnego. Ponieważ, jak już wspominaliśmy, ciało doskonale czarne pochłania całkowicie padające promieniowanie, niezależnie od częstotliwości oraz temperatury, czyli jego zdolność absorpcyjna jest równa jedności (A (ν,t ) = 1), to na podstawie równania 18. otrzymamy, że ta uniwersalna funkcja ε (ν,t ) w istocie jest zdolnością emisyjną E (ν,t ) ciała doskonale czarnego. Tak więc stosunek zdolności emisyjnej do absorpcyjnej dla dowolnego ciała jest równy zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego. Prawo Stefana-Boltzmanna Jak już wspominaliśmy, w temperaturze wyższej od zera bezwzględnego każde ciało emituje promieniowanie cieplne w postaci fal elektromagnetycznych z pewnego zakresu długości Strona 134

135 fal. Metalowy pręt umieszczony w ognisku jest źródłem ciepła, które odczuwamy na naszej skórze za sprawą promieniowania z zakresu podczerwieni, które emituje ten pręt. Taki metalowy pręt można również tak rozgrzać, podnieść jego temperaturę do takiej wartości, że zacznie on świecić. Nie oznacza to jednak, że na naszej skórze nie będziemy już czuli ciepła. Taki rozgrzany do białości pręt będzie źródłem promieniowania zarówno z zakresu fal widzialnych jak również podczerwieni. Rysunek Widmo promieniowania ciała doskonale czarnego w różnych temperaturach (schematycznie) Na rysunku 18.1 przedstawione są widma promieniowania ciała doskonale czarnego w różnych temperaturach. Widzimy, że moc promieniowania, a więc energia emitowana w jednostce czasu, dla ciała doskonale czarnego ma różną wartość dla różnych długości fali λ. Gdybyśmy chcieli obliczyć całkowitą ilość energii jaką ciało o temperaturze T emituje w postaci promieniowania przez jednostkową powierzchnię w jednostce Strona 135

136 czasu, a więc całkowitą zdolność emisyjną ciała ET (T ), musielibyśmy scałkować zdolność emisyjną ciała E (ν,t ) po wszystkich częstotliwościach E T E, T d. T Dla ciała doskonale czarnego całkowita zdolność emisyjna E(T) w temperaturze T jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury, co stanowi treść prawa Stefana-Boltzmanna: 4 E T σ T (18.3), T gdzie stała proporcjonalności σ = W/(m K 4 ). Prawo przesunięć Wiena Opisywaliśmy już w tym rozdziale, że wraz z temperaturą zmienia się skład widma promieniowania ciała. Oznacza to, że wraz ze wzrostem temperatury zmienia się widmo promieniowania. Jak pokazano schematycznie na rysunku 18.1 maksimum zdolności emisyjnej ciała (największa wartość mocy promieniowania) wraz ze wzrostem temperatury przesuwa się w kierunku fal krótszych. Relację między długością fali max odpowiadającej maksimum zdolności emisyjnej promieniowania a temperaturą T tego ciała opisuje prawo przesunięć Wiena: Strona 136 T b const. (18.4), max gdzie stała b = m K. Zgodnie z powyższym wzorem rozgrzewane ciało początkowo świeci na czerwono a wraz ze wzrostem temperatury pojawiają się składowe widma o większej częstotliwości, najpierw barwy czerwonej potem żółtej, zielonej, niebieskiej i fioletowej aż wreszcie widmo promieniowania obejmuje wszystkie długości fali i ciało emituje światło białe. Należy przy tym zaznaczyć, że dla ciała (np. metalu) rozgrzanego do białości maksimum promieniowania wciąż znajdować się może w zakresie podczerwieni. Przykładem może być tutaj typowa żarówka, w której metaliczny żarnik (najczęściej stop wolframu)

137 rozgrzewany jest do białości. Maksimum promieniowania żarówki przypada jednak na zakres podczerwieni i dlatego żarówka produkuje głównie ciepło (około 97% energii) i tylko około 3% energii emitowane jest w postaci światła. W przypadku nowoczesnych źródeł światła opartych na diodach LED prawie cała energia dostarczona do diody zostaje zamieniona na promieniowanie z zakresu widzialnego, a więc takie samo natężenie światła możemy uzyskać znacznie mniejszym kosztem energetycznym. Szczegóły budowy i działania diody LED omówimy w dalszej części skryptu Kwantowa natura promieniowania Przedstawione powyżej prawa Kirchhoffa, Stefana-Boltzmanna oraz Wiena opisują podstawowe właściwości promieniowania cieplnego. Okazało się, że stan wiedzy fizyków pod koniec XIX wieku nie pozwalał wyjaśnić wszystkich tych zjawisk fizycznych za pomocą klasycznej falowej teorii promieniowania. Na przykład model Rayleigha-Jeansa opisuje promieniowanie cieplne ciała doskonale czarnego za pomocą wnęki, w której istnieje układ fal stojących o różnych kierunkach i różnych częstotliwościach. Zgodnie z zasadą ekwipartycji energii na każdą z fal stojących przypada średnia energia równa k B T, a energia wypromieniowana przez wnękę (ciało doskonale czarne) zależeć będzie od liczby takich fal stojących. Można udowodnić, że liczba fal stojących jest proporcjonalna do kwadratu częstotliwości, więc dla fal krótkich energia emitowanej fali powinna dążyć do nieskończoności. Tymczasem jak wynika z danych eksperymentalnych (Rysunek 18.1) energia emitowanego promieniowania w granicy krótkofalowej dąży do zera. Ta drastyczna rozbieżność klasycznych modeli falowych z wynikami eksperymentalnymi w zakresie fal krótkich (ultrafioletowych) nazywana jest katastrofą ultrafioletową. Teoria Rayleigha-Jeansa przewiduje również nieskończoną zdolność emisyjną ciała doskonale czarnego w Strona 137

138 każdej temperaturze, podczas gdy zgodnie z omawianym wcześniej prawem Stefana-Boltzmanna jest ona proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury. Kwanty Nową teorię promieniowania ciała doskonale czarnego zaproponował Max Planck. Stworzył on najpierw wzór, który prawidłowo modeluje widmo promieniowania ciała doskonale czarnego a dopiero potem starał się znaleźć model fizyczny, który mógłby uzasadnić taki wzór. Założył, że źródłem promieniowania są drgające ładunki, które zachowują się jak oscylatory liniowe. Okazało się jednak, że aby wyjaśnić wyniki eksperymentalne trzeba przyjąć założenie sprzeczne z klasyczną fizyką energia tych oscylatorów może przyjmować tylko wartości będące wielokrotnością porcji energii ΔE (kwantu energii): Strona 138 ΔE h (18.5), gdzie ν jest częstotliwością drgań oscylatorów harmonicznych (częstotliwość promieniowania elektromagnetycznego), zaś h jest stałą Plancka: h J s ev s (18.6). Kwantowy oscylator posiadać więc będzie energię równą: E n h (18.7), gdzie n jest liczbą naturalną nazywaną liczbą kwantową. Jego energia jest skwantowana. Zmiana energii takiego oscylatora następować będzie w wyniku pochłonięcia lub oddania porcji energii (kwantu energii). Prędkość fazową fali definiowaliśmy jako iloczyn długości fali oraz częstotliwości tej fali (wzór 14.7), więc w przypadku fali elektromagnetycznej c. Wówczas energię kwantu promieniowania elektromagnetycznego zapisujemy:

139 c ΔE h h (18.8). Zasada korespondencji Warto zaznaczyć tutaj, że skoro energie atomów w cząsteczkach są kwantowane, to również energie wszystkich otaczających nas obiektów (również nas samych) są kwantowane. Jednakże ze względu na wartość stałej Plancka nie zauważamy tego kwantowania naszymi zmysłami. Można by to porównać do wciągania po schodach ciała na pewną wysokość. Jeżeli liczba schodów jest mała wysokość każdego schodka musi być duża i wówczas skokowa zmiana energii potencjalnej ciała będzie wyraźnie widoczna. Jeżeli natomiast rozpatrzymy bardzo dużą liczbę schodków to ich wysokość może być na tyle mała, że nie będziemy zauważać skokowej zmiany energii a jedynie ciągły jednostajny wzrost energii. Mechanika kwantowa w odniesieniu do obiektów makroskopowych nie stoi zatem w sprzeczności z mechaniką klasyczną. Stanowi to treść jednej z podstawowych zasad fizyki kwantowej zasady korespondencji, czyli odpowiedniości wprowadzonej przez Nielsa Bohra: Kwantowy opis zjawiska staje się zbieżny z opisem klasycznym dla dużych wartości liczb kwantowych. Koncepcja kwantowania energii, mimo że pozwalała prawidłowo opisywać zjawiska promieniowania cieplnego, była początkowo trudna do zaakceptowania przez fizyków. Wkrótce okazało się jednak, że pozwala wyjaśnić zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny zewnętrzny, efekt Comptona, powstawanie promieniowania rentgenowskiego, których klasyczna fizyka falowa nie była w stanie wyjaśnić. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny Rozpatrzmy lampę składającą się z dwóch metalowych elektrod umieszczonych w próżni w szklanej bańce. Przeprowadzone eksperymenty pokazują, że oświetlenie jednej z nich (fotokatody) światłem o odpowiednio dużej częstotliwości Strona 139

140 powoduje emisję elektronów (fotoelektronów) z tej elektrody na zewnątrz metalu. Zjawisko to nosi nazwę efektu fotoelektrycznego zewnętrznego. Jeżeli zwiększamy częstotliwość padającego promieniowania, to wrasta również energia kinetyczna fotoelektronów. Jeżeli polaryzacja napięcia między elektrodami jest taka, że fotoelektrony są odpychane od anody, to przy pewnej wartości napięcia, U h = -V 0, nazywanego napięciem hamowania, żaden fotoelektron nie jest w stanie dotrzeć do anody i natężenie prądu w obwodzie zewnętrznym spada do zera (Rysunek 18.). Jeżeli przy danym oświetleniu powstają fotoelektrony, to gdy zwiększamy natężenie światła (I > I 1 ), obserwujemy również zwiększenie natężenia prądu fotoelektronów docierających do anody (prądu anodowego). Jednocześnie dla ustalonej częstotliwości padającego światła, niezależnie od jego natężenia, otrzymujemy to samo napięcie hamujące: V 0 (Rysunek 18.a). Rysunek 18.. Efekt fotoelektryczny zewnętrzny. Schematyczne wykresy a) natężenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch różnych natężeń światła I >I 1 ; b) natężenia prądu anodowego od napięcia polaryzacyjnego dla dwóch różnych częstotliwości światła ν > ν 1 ; c) wartości napięcia hamowania od częstotliwości padającej fali świetlnej Jak już wspominaliśmy, dla większej częstotliwość światła padającego na fotokatodę, czyli dla mniejszej długość fali, zwiększa się również wartość napięcia hamowania: V (Rysunek 18..b). Zależność wartości 1 V1 napięcia hamowania U 0 V 0 jest przy tym liniową funkcją częstotliwości padającego promieniowania, jak pokazano na Strona 140

141 wykresie 18..c. Z wykresu tego wynika, że dla wyższej częstotliwości padającego światła powstałe fotoelektrony mają większą energię kinetyczną, a więc również energia niesiona przez kwanty światła zależy liniowo od częstotliwości tego światła. Okazuje się przy tym, że istnieje graniczna wartość częstotliwości 0, poniżej której nie obserwuje się już prądu anodowego, czyli elektrony nie są wybijane z powierzchni katody. Należy również podkreślić, że emisja fotoelektronów w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym odbywa się bez opóźnienia jeżeli tylko energia kwantów światła jest wystarczająca, żeby wyemitować fotoelektrony, to emisja ta następuje natychmiast, bez opóźnienia. Klasyczna fizyka falowa nie była w stanie prawidłowo wyjaśnić powyższych wyników eksperymentalnych. Na przykład według klasycznej fizyki falowej nie powinno być granicznej częstotliwości 0 a więc światło o dowolnej częstotliwości powinno wybijać elektrony z fotokatody. Nawet jeżeli fala o niskiej częstotliwości niesie niewielką porcję energii, to po odpowiednio długim czasie, a nie natychmiast, naświetlania do katody powinna zostać dostarczona energia wystarczająca do emisji elektronów. Klasyczna fizyka falowa nie była również w stanie wyjaśnić efektu przedstawionego na wykresie 18..a to samo napięcie hamowania przy różnych natężeniach padającego światła. Wedle klasycznej fizyki falowej bowiem, jeżeli zwiększymy natężenie padającego światła, to zwiększyć się również powinna ilość energii docierającej do katody w jednostce czasu, a więc w efekcie energia wybitych z katody elektronów powinna być większa. Wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego zewnętrznego zostało przedstawione przez Einsteina, za co zresztą został uhonorowany nagrodą Komisji Noblowskiej. Einstein w swoim rozumowaniu rozwinął zaproponowaną przez Plancka teorię kwantów energii. Przypomnijmy, że według modelu Plancka fale elektromagnetyczne powstają w wyniku drgań ładunków (oscylatorów), przy czym energia oscylatorów jest wielokrotnością jednostkowej porcji energii hν. Einstein założył, że skoro energia takich oscylatorów jest skwantowana i zmienia się skokowo, więc również wymiana energii odbywa się Strona 141

142 kwantowo i powstałe w ten sposób promieniowanie elektromagnetyczne ma skwantowaną energię. Okazuje się więc, że światło można rozpatrywać nie tylko klasycznie jako falę o częstotliwości ν ale także jako strumień kwantów promieniowania o energii hν. Taki kwant promieniowania elektromagnetycznego, mający charakter korpuskuły (cząstki) został nazwany fotonem. Według fizyki kwantowej, jeżeli foton niosący porcję energii zderzy się z elektronem katody to przekazuje mu całą swoją energię. Tak więc każdy pojedynczy foton może wybić z materiału tylko jeden elektron. Dlatego też natężenie prądu na anodzie powinno być proporcjonalne do natężenia oświetlenia, czyli liczby fotonów padających na jednostkę oświetlonej powierzchni katody w jednostce czasu (Rysunek 18..a). Wartość energii, jaką niesie pojedynczy foton (hν) zależy od częstotliwości drgań oscylatora, który był jego źródłem. Energia pojedynczego fotonu zostaje przekazana pojedynczemu elektronowi z katody. Jeżeli dostarczona energia wystarcza, żeby pokonać siły wiążące elektron w materiale, elektron opuszcza powierzchnię katody. Taka minimalna porcja energii potrzebna do uwolnienia elektronu z materiału nazywana jest pracą wyjścia φ i jest właściwością badanego materiału. Nadmiar energii fotonu zamieniany jest w energię kinetyczną wybitego elektronu. Zasadę zachowania energii dla efektu fotoelektrycznego zewnętrznego możemy zapisać: h E kin (18.9), Maksymalną energię kinetyczną jaką może uzyskać wybity elektron (przy danej częstotliwości ν padającego światła) możemy wyznaczyć na podstawie napięcia hamowania U 0 jeżeli przyłożymy napięcie hamujące o wartości U 0, to prąd na anodzie wynosi zero a więc żaden z elektronów nie ma wystarczającej energii aby pokonać barierę potencjału U 0 : E kinmax eu 0 (18.10) Strona 14

143 Jeżeli energia padającego fotonu jest mniejsza niż praca wyjścia elektronów z powierzchni materiału, to elektron nie opuści materiału. Oznacza to również, że według kwantowego opisu zjawiska fotoelektrycznego istnieje graniczna wartość częstotliwości 0 promieniowania elektromagnetycznego, poniżej której zjawisko nie zachodzi: h 0 (18.11) Efekt Comptona Efekt Comptona jest zjawiskiem, którego również nie daje się wyjaśnić na gruncie klasycznej fizyki falowej. W efekcie tym w wyniku rozproszenia promieniowania rentgenowskiego (promieniowanie elektromagnetyczne o długościach fali rzędu nanometrów) na elektronach atomowych materiału obserwuje się falę rozproszoną o długości większej niż fali padającej. Wedle klasycznej fizyki falowej długość fali promieniowania rozproszonego powinna być taka sama, gdyż elektrony pochłaniając falę padającą odbierają od niej energię, ale tę samą energię następnie emitują. Nawet gdyby w klasycznym falowym wyjaśnieniu tego zjawiska uwzględnić efekty dopplerowskie, to powinniśmy obserwować zmianę długości fali, ale zarówno ją zwiększające jak i zmniejszające. Dokładniejsze pomiary tego zjawiska przeprowadzone przez Comptona pokazały, że dla danego materiału zmiana długości fali zależy od kierunku rozpraszania fali. Wyjaśnienie tego efektu możliwe było tylko na gruncie fizyki kwantowej. Compton założył, że pojedyncze kwanty światła (fotony) zderzają się sprężyście z elektronami materiału przekazując im swoją energię i pęd zgodnie z zasadą zachowania energii oraz zasadą zachowania pędu (Rysunek 18.3). Zasadę zachowania energii w tym przypadku możemy zapisać: h 0 m0c h 1 mc (18.1), gdzie ν 0 oraz ν 1 oznaczają odpowiednio częstotliwość promieniowania padającego oraz rozproszonego; m 0 jest masą Strona 143

144 spoczynkową elektronu, na którym rozpraszane jest promieniowanie rentgenowskie zaś m oznacza masę relatywistyczną tego elektronu po rozproszeniu (elektron odbity). Rysunek Schematyczne przedstawienie efektu Comptona Zasadę zachowania pędu dla kierunków x oraz y (zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na Rysunku 18.3) można zapisać: h 0 1 c h cos mv cos (kierunek x) (18.13) c h 1 0 sin mv sin (kierunek y) (18.14) c Równania stanowią układ równań, z którego wyznaczamy długość fali rozproszonego promieniowania λ 1 w zależności od kąta rozproszenia θ: Strona 144

145 h 0 1 m c 1 0 cos (18.15) Zakładając więc sprężyste zderzenie kwantu światła z elektronem Compton otrzymał zależność zgodną z wynikami eksperymentów większą długość fali rozproszonej oraz zależność tej długości od kąta rozpraszania wiązki światła. Poniżej przedstawimy w skrócie procedurę wyznaczania równania Przepiszmy najpierw równania i do postaci: h 0 c h 1 cos mv cos (18.16) c h 1 sin mv sin (18.17) c Jeżeli powyższe równania podniesiemy do kwadratu, dodamy stronami i uporządkujemy uwzględniając jedynkę trygonometryczną ( sin cos 1) otrzymamy: h c 0 h 1 h 0 1 cos m v (18.18) c Pomnóżmy te równanie przez c : c m v c h h h cos (18.19) 0 0 i porównajmy z równaniem 18.1 uporządkowanym i podniesionym obustronnie do kwadratu: 4 m c h m c 4 m c h (18.0) Odejmijmy następnie stronami od równania 18.0 równanie 18.19: v m c c 4 1 m 0 c 4 h cosθ m c h (18.1) Z definicji masy relatywistycznej (równanie 17.11) wynika: v 1 m (18.) 0 m c Strona 145

146 A więc równość 18.1 można zapisać w postaci: 1 cos m (18.3) 0c 0 1 h 0 1 a po podzieleniu obu stron przez m 0 c 0 otrzymamy: 1 c c h 1 cos (18.4), m 1 0 0c co jest równoważne równaniu Promieniowanie rentgenowskie Promieniowanie rentgenowskie powstaje w wyniku oddziaływania z materią (metalową tarczą) elektronów rozpędzonych dużą różnicą potencjałów. Oddziaływanie to odbywa się na dwa sposoby. Po pierwsze rozpędzony elektron może, uderzając w atom, spowodować zmianę jego konfiguracji elektronowej, wywołać przeskok elektronu na wyższy poziom energetyczny. Zagadnienie to szczegółowo omawiać będziemy w dalszej części skryptu opisując budowę atomu. W tej chwili zaznaczymy tylko, że taka konfiguracja elektronowa jest niekorzystna energetycznie, taki wzbudzony stan jest stanem metastabilnym. Atom wracając do stanu podstawowego emituje fotony o ściśle określonej energii odpowiadającej różnicy poziomów energetycznych w atomie widmo charakterystyczne na Rysunku Oprócz zderzeń rozpędzonych elektronów z elektronami w atomach, również dodatnio naładowane jądra atomów przyciągać je będą siłą kulombowską. W efekcie takiego oddziaływania z pojedynczym jądrem atomowym zakrzywieniu ulega tor, po jakim porusza się elektron a sam elektron doznaje przyspieszenia dośrodkowego. Elektron poruszający się ruchem przyspieszonym pod wpływem przyspieszenia dośrodkowego emituje falę elektromagnetyczną (kwant energii foton) tracąc w ten sposób energię i zmniejszając swoją prędkość. W ten sposób pojedynczy elektron może oddziaływać wielokrotnie z jądrami atomowymi tracąc za każdym razem różne porcje energii i emitując fale o różnych długościach. Powstałe w ten sposób promieniowanie nazywa się promieniowaniem Strona 146

147 hamowania i charakteryzuje się ciągłym widmem (Rysunek 18.4). Rysunek Schematyczne widmo promieniowania rentgenowskiego Przeprowadzane eksperymenty pokazują, że ciągłe widmo istnieje tylko powyżej pewnej długości fali λ min. Istnienia tej tzw. krótkofalowej granicy promieniowania rentgenowskiego nie potrafiła wyjaśnić klasyczna fizyka falowa. W szczególności nie dawało się wyjaśnić dlaczego λ min nie zależy od materiału bombardowanego elektronami. Wyjaśnienie istnienia krótkofalowej granicy promieniowania rentgenowskiego możliwe jest tylko na gruncie fizyki kwantowej. W opisie kwantowym ta graniczna długość fali λ min odpowiada przypadkowi, gdy rozpędzony elektron zostanie całkowicie wyhamowany przez jedno jądro, a więc gdy powstały w ten sposób foton będzie miał energię równą energii kinetycznej rozpędzonego elektronu: Strona 147

148 eu h min max hc eu hc min (18.5) Dualizm korpuskularnofalowy Przedstawione powyżej zjawiska takie jak efekt fotoelektryczny zewnętrzny, efekt Comptona czy też widmo promieniowania rentgenowskiego z krótkofalową granicą promieniowania, wskazują, że promieniowanie elektromagnetyczne należy traktować jak strumień fotonów. Z drugiej strony omawialiśmy już wcześniej zjawiska i efekty typowo falowe takie jak dyfrakcja czy interferencja. Oznacza to, że: Światło (promieniowanie elektromagnetyczne) posiada naturę dualną: korpuskularną i falową (korpuskularno falową). Procesy rozchodzenia się promieniowania, zjawiska takie jak dyfrakcja czy interferencja, ujawniają właściwości falowe promieniowania i mogą być wyjaśnione na gruncie klasycznej fizyki falowej. W zjawiskach oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią tzn. emisji (ciało doskonale czarne), absorpcji (efekt fotoelektryczny zewnętrzny) i rozpraszaniu (efekt Comptona), ujawniają się z kolei właściwości korpuskularne promieniowania elektromagnetycznego i zjawiska te mogą być wyjaśnione tylko na gruncie fizyki kwantowej. Można również powiedzieć, że właściwości falowe promieniowania elektromagnetycznego dominują przy długich falach (np. fale radiowe). Dla fal radiowych bowiem energia pojedynczego fotonu jest znacznie mniejsza niż próg detekcji nawet najczulszych urządzeń pomiarowych. Dla częstotliwości fali np..5mhz energia fotonu wynosić będzie około 10 8 ev, co Strona 148

149 jest wielkością razy mniejszą niż czułość najlepszych urządzeń pomiarowych. W przypadku promieniowania z zakresu światła widzialnego możemy obserwować zarówno właściwości korpuskularne (np. efekt fotoelektryczny zewnętrzny) jak i falowe (np. interferencja). Natomiast w przypadku promieniowania krótkofalowego dominujące są zjawiska ujawniające korpuskularną naturę promieniowania. Na przykład krótkofalowe promieniowanie rentgenowskie ulega efektowi Comptona. Ale również dla tego promieniowania możliwe jest zaobserwowanie właściwości falowych jeżeli jako siatkę dyfrakcyjną wykorzystamy atomy w sieci krystalicznej (odległości rzędu m) to zaobserwujemy charakterystyczne dla fal zjawisko dyfrakcji. Hipoteza de Brogliea Hipoteza de Brogliea mówi, że nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne ma dualną naturę korpuskularno-falową, ale również obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularno-falową oprócz właściwości korpuskularnych posiadają także właściwości falowe. Długość fali, którą możemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zależy od pędu tak samo jak w przypadku promieniowania elektromagnetycznego: h λ (18.6), p gdzie h jest stałą Plancka, zaś p oznacza pęd cząstki. Częstotliwość ν fal de Brogliea powiązana jest z energią cząstek kwantowych w taki sam sposób jak dla fotonów czyli: c E h h (18.7), Z hipotezy de Brogliea wynika, że wszystkim cząstkom mikroskopowym można przypisać fale o długości określonej przez wzór Okazuje się jednak, że ze względu na wartość Strona 149

150 stałej Plancka właściwości falowe obiektów makroskopowych są niemierzalne. Na przykład długość fali de Borglie a piłki o masie m = 0. kg lecącej z prędkością v = 10 km/h 33 m/s będzie wynosić około m. A więc, żeby np. zaobserwować falowe zjawisko dyfrakcji dla takiej piłki tenisowej musielibyśmy dysponować siatką dyfrakcyjną o stałej około m (tego samego rzędu, co długość padającej fali), podczas gdy odległości międzyatomowe wynoszą około10-10 m a więc są 4 rzędy wielkości za duże! Właściwości falowe materii obserwuje się natomiast dla obiektów mikroskopowych takich jak elektrony, neutrony czy też atomy helu lub ich jądra, czyli cząstki α. Właściwości falowe rozpędzonych elektronów wykorzystuje się np. w mikroskopach elektronowych. Zmieniając pęd elektronów można wpływać na długość fal de Brogliea elektronów. Fale o mniejszych długościach niż te z zakresu światła widzialnego pozwalają obserwować obiekty mikroświata z dokładnością większą niż dostępna w przypadku mikroskopów optycznych. Strona 150

151 19 Fizyka atomu i fizyka jądra atomowego W tym rozdziale: Budowa atomu Model Bohra atomu wodoru Budowa jądra atomowego Rozpady promieniotwórcze Rozszczepienie jądra i reaktor jądrowy Synteza jądrowa Strona 151

152 19.1. Budowa atomu Elektron Pojęcie atomu, jako podstawowego, niepodzielnego elementu budującego materię wywodzi się z czasów starożytnych i do filozofii zachodniej zostało wprowadzone w 4 wieku p.n.e. przez Demokryta. Koncepcja atomu powróciła w XVII i XVIII wieku wraz z intensywnym rozwojem chemii. Zdefiniowanie pojęcia pierwiastka chemicznego i wykazanie, że związki chemiczne składają się z atomów różnych pierwiastków zawdzięczamy pracom Lavoisiera i Daltona. Dopiero na przełomie XIX i XX wieku eksperymenty Thomsona i Rutherforda pokazały, że uważane wcześniej za niepodzielne atomy w istocie składają się z jądra atomowego, obdarzonego ładunkiem dodatnim, oraz elektronów posiadających ładunek ujemny. Późniejsze doświadczenia pokazały, że także jądro atomowe można podzielić na mniejsze elementy na protony o dodatnim ładunku i obojętne neutrony. Współcześnie wiemy, że również te cząstki można podzielić na jeszcze mniejsze fragmenty, zwane kwarkami. Istnienie kwarków i występujących pomiędzy nimi oddziaływań wydaje się w pełni wyjaśniać budowę materii. Zagadnienia te wykraczają jednak poza ramy niniejszego skryptu. W poniższym rozdziale ograniczymy się więc do przedstawienia uproszczonego modelu budowy atomu, jądra atomowego oraz przemian jądrowych, określanych również jako zjawiska promieniotwórczości. W rozdziale poświęconym elektrostatyce wspominaliśmy już o istnieniu elementarnego ładunku elektrycznego ładunku elektronu. Naładowanie ciała ładunkiem ujemnym oznacza występowanie w nim nadmiaru elektronów, naładowanie ładunkiem dodatnim występowanie niedoboru elektronów. Masę i ładunek elektronu pozwoliły wyznaczyć dwa eksperymenty; Thomsona z 1897 roku i Milikana z 1909 roku. W pierwszym eksperymencie równoległą wiązkę elektronów skierowano w obszar skrzyżowanych pól elektrycznego i magnetycznego. Ładunek poruszający się w polu Strona 15

153 magnetycznym doznaje odchylenia na skutek działania siły Lorentza. Jeżeli przeprowadzimy pomiar tego odchylenia przy wyłączonym i włączonym dodatkowo polu elektrycznym o znanej wartości natężenia, to możliwe będzie wyznaczenie stosunku ładunku elektronu q (e) do jego masy m: 11 q m C kg. W drugim eksperymencie drobne kropelki oleju, naładowane poprzez jonizację promieniowaniem rentgenowskim, były rozpylane wewnątrz komory wyposażonej w parę elektrod wytwarzających pole elektryczne. Okazało się wówczas, że ładunek elektryczny znajdujący się na kropelkach przybiera wartości będące wielokrotnością pewnej wielkości, którą nazywano ładunkiem elementarnym, ładunkiem elektronu e: e C (19.1) Znając ładunek elektronu i stosunek ładunku elektronu do jego masy możemy wyznaczyć jego masę: 31 m kg (19.) e W doświadczeniu Thomsona poza wiązką elektronów, badana była również wiązka zjonizowanych atomów wodoru H +. Takie zjonizowane atomy wodoru niosą ładunek elektryczny równy ładunkowi elektronu, ale o przeciwnym znaku i nazywane są protonami. Stosunek q/m wyznaczony na podstawie pomiaru odchylenia toru lotu w polu magnetycznym wykazał, że masa protonu jest około 000 razy (1840 razy) większa niż masa elektronu. Modele budowy atomu Thomsona i Rutherforda Opierając się na wynikach doświadczeń polegających na odchylaniu naładowanych cząstek w polu magnetycznym, Thomson zaproponował model budowy atomu oparty na następujących założeniach: Masa i ładunek dodatni są rozłożone równomiernie w całej objętości atomu, tworząc chmurę ładunku dodatniego. Elektrony znajdują się wewnątrz tej chmury ładunku dodatniego i również są rozmieszczone równomiernie. Strona 153

154 Model ten, nazywany również żartobliwie modelem rodzynek w cieście dobrze wyjaśniał obojętność elektryczną atomu. Taki model materii zbudowanej z kulek o różnej gęstości i promieniu, odpowiadających różnym pierwiastkom był stosunkowo prosty i obrazowy i z tych względów zyskał początkowo dużą popularność. Rysunek Schematyczne przedstawienie modeli budowy atomu: Thomsona (z lewej) i Rutherforda (z prawej). Nowych wskazówek dotyczących budowy atomu dostarczył eksperyment przeprowadzony przez współpracowników Rutherforda Geigera i Marsdena. W eksperymencie tym w kierunku cienkiej złotej folii kierowano wiązkę ciężkich cząstek, naładowanych dodatnio. Były to zjonizowane (pozbawione elektronów) jądra helu He +, określane również mianem cząstek. Cząstki takie mają w przybliżeniu 4 razy większą masę, niż zjonizowany atom wodoru H + i dwa razy większy ładunek. Okazało się, że w eksperymencie tym zarejestrowano nie tylko cząstki które przeszły przez złotą folię, lub nieznacznie zmieniły tor lotu, ale również cząstki rozproszone na folii w różnych kierunkach, w tym cząstki powracające w kierunku źródła. Okazało się również, że część cząstek przelatuje przez złotą folię nie doznając żadnego oddziaływania z atomami złota Wynik taki stał w wyraźnej sprzeczności z modelem Thomsona rodzynek w cieście. Wedle tego modelu bowiem tak równomiernie rozłożona w przestrzeni chmura ładunku dodatniego, zobojętniona przez znajdujące się wewnątrz elektrony, nie mogłaby wywrzeć na ciężkie cząstki Strona 154

155 dodatnie dostatecznego oddziaływania, żeby zmienić kierunek ich lotu na przeciwny należałoby się raczej spodziewać stopniowego wytracania energii przez cząstki poruszające się w materii. Odbicie wsteczne wskazywało tymczasem na zderzenie cząstek z niewielkim, ale masywnym obiektem o ładunku dodatnim. Na podstawie wykonanych pomiarów Rutherford oszacował rozmiar tego masywnego obiektu, który został nazwany jądrem atomowym. Okazało się, że rozmiar ten jest około 10 5 razy mniejszy niż rozmiar całego atomu. A wiec atomy są w istocie bardzo puste odległość pomiędzy elektronami, tworzącymi powłokę atomu a jego jądrem jest wielokrotnie większa niż rozmiar samego jądra. Model atomu wynikający z doświadczeń Rutherforda, nazywany również modelem planetarnym, możemy opisać następująco: Większość masy atomu i jego ładunek dodatni skupione są w jądrze atomowym. Elektrony krążą dookoła jądra na orbitach kołowych, przyciągane siłami elektrostatycznymi. Promień atomu jest związany z promieniem orbit elektronowych. Rozmiar jądra jest pięć rzędów wielkości mniejszy niż rozmiar atomu. Powyższy model Rutherforda budowy atomu w poprawny sposób wyjaśniał obojętność elektryczną atomów oraz poprawnie określał rozmiar jądra atomowego (rzędu m) oraz powłok elektronowych (rzędu m). Podstawowym problemem modelu Rutherforda była kwestia stabilności atomów. Jeżeli bowiem elektrony poruszają się po kołowych orbitach wokół jądra atomowego, pod wpływem oddziaływania elektrostatycznego, doznają wówczas przyspieszenia dośrodkowego. Ale, jak już wielokrotnie wspominaliśmy zgodnie klasyczną fizyką falową, ładunek (elektron) poruszający się z przyspieszeniem staje się źródłem fal elektromagnetycznych. W ten sposób elektron na orbicie elektronowej powinien tracić energię, poruszać się coraz wolniej po orbicie o coraz mniejszym promieniu (po spirali) aż Strona 155

156 Widma atomowe wreszcie spaść na jądro atomowe. Czyli otaczająca nas materia powinna być niestabilna. Ponadto podczas takiego ruchu po spirali płynnie zmieniać się powinna prędkość elektronu oraz przyspieszenie dośrodkowe, jakiego doznaje elektron. W konsekwencji w sposób ciągły zmieniać się powinna długość emitowanego promieniowania - atomy powinny mieć ciągłe widmo promieniowania. Tymczasem w eksperymentach przeprowadzonych dla rozgrzanych gazów (można przyjąć, że mamy do czynienia z emisją przez pojedyncze atomy lub cząsteczki) rejestrowane były tylko dyskretne wartości długości emitowanego promieniowania. Otrzymane widma składają się z tak zwanych linii charakterystycznych każda linia odpowiada promieniowaniu o określonej długości. Na podstawie tych wyników można wnioskować, że elektrony w atomie nie mogą przyjmować dowolnych energii a także, że promień orbity, na której się on porusza, może przyjmować jedynie pewne wyróżnione wartości. Okazuje się, że układ linii w widmie promieniowania jest inny dla różnych gazów i w ogólności jest charakterystyczny dla danego pierwiastka. Najprostsze widmo promieniowania obserwuje się dla atomu wodoru. Badania układu linii emisyjnych wodoru, przeprowadzone przez Balmera, a zanalizowane przez Rydberga wykazały, że położenie linii widmowych widocznych w zakresie światła widzialnego emitowanych przez wzbudzony atom wodoru, można opisać wzorem: 1 R λ H 1 1 n n 3,4,5,... (19.3), gdzie n jest liczbą całkowitą większą od, zaś 7-1 R m jest stałą Rydberga. Późniejsze badania H widma promieniowania wodoru w zakresie ultrafioletu oraz podczerwieni ujawniły istnienie kolejnych serii linii emisyjnych. Wszystkie serie wodoru mogą być opisane za pomocą ogólnego wzoru: Strona 156

157 1 R 1 1 H n m, m 1,,3... m n (19.4) Serie widmowe badane przez Balmera z zakresu światła widzialnego odpowiadają zatem wartości m =. Model Bohra atomu wodoru Postulaty modelu Bohra Rozwiązanie problemów modelu Rutherforda, związanych ze stabilnością oraz widmem promieniowania, zostało zaproponowane przez Bohra, który przedstawił trzy postulaty: o o Elektron porusza się po orbicie kołowej dookoła jądra, przytrzymywany siłą oddziaływania elektrostatycznego. Energia elektronu znajdującego się na orbicie jest stała atom nie emituje promieniowania W atomie dozwolone są tylko takie orbity, dla których orbitalny moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielokrotności stałej Plancka podzielonej przez : h L n n dla n 1,, 3 (19.5) o Emisja lub absorpcja promieniowania następuje wtedy, kiedy elektron przeskakuje z jednej dozwolonej orbity na drugą. Częstotliwość wyemitowanego (pochłoniętego) promieniowania zależy od różnicy energii elektronu między obiema orbitami: ΔE E k E h (19.6) p Warto zaznaczyć, że model Bohra nie wyjaśniał przyczyn fizycznych, dla których podane postulaty są słuszne. Zostały one tak dobrane, aby uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Model Bohra zakłada natomiast skwantowanie energii i w ten sposób nawiązuje do teorii Plancka promieniowania ciała doskonale czarnego. Strona 157

158 Uwzględniając postulaty Bohra obliczmy energię elektronu poruszającego się z prędkością v po stabilnej orbicie o promieniu rn. Siłą dośrodkową w tym ruchu jest siła oddziaływania elektrostatycznego elektronu z jądrem atomowym (protonem o ładunku +e): F dosrodkowa m F Coulomba e v e (19.7), rn 4 0rn gdzie e jest ładunkiem elementarnym, zaś me masą elektronu. Możemy również wyznaczyć orbitalny moment pędu elektronu i wówczas drugi postulat Bohra można zapisać w postaci: h Ln me v n rn n (19.8) Równania 19.7 i 19.8 stanowią układ równań, z którego można wyznaczyć prędkość v n oraz promień orbity elektronu r n : r 4 0 n n (19.9) mee e v n (19.10) 4 0 n W powyższych wzorach zastosowaliśmy często używany w fizyce kwantowej symbol ( h kreślone ), który oznacza stałą Plancka dzieloną przez π ( h ). Promień pierwszej orbity atomu wodoru nazywamy promieniem Bohra: a mee o 0 59A (19.11) Całkowita energia elektronu na n-tej orbicie jest sumą jego energii kinetycznej oraz potencjalnej oddziaływania elektrostatycznego: Strona 158

159 me v e E n E k n E p n n (19.11) 4πε 0 rn Po podstawieniu do zależności 19.9 oraz otrzymujemy wyrażenie na energię całkowitą: 4 mee ev E n 4πε 0 n n (19.1) Rysunek 19.. Schemat poziomów energetycznych i serii widmowych atomu wodoru. Energia elektronu znajdującego się w stanie podstawowym w atomie wodoru wynosi E 0 = ev. Energia elektronów znajdujących się na wyższych poziomach rośnie (jest mniej ujemna) i dla n energia ta wynosi E( ) = 0 elektron jest swobodny. Oderwanie elektronu z atomu wodoru (jonizacja) oznacza więc dostarczenie energii niezbędnej do przeniesienia elektronu z orbity podstawowej, n = 0, na n a więc energii Strona 159

160 13.6 ev. Wartość taka jest zgodna z eksperymentalnie wyznaczoną energią jonizacji atomu wodoru. Zgodnie z trzecim postulatem Bohra podczas przejścia elektronu z orbity n na orbitę m emitowane jest promieniowanie elektromagnetyczne o częstotliwości: E n E ν m n m (19.13), h gdzie E n i E m oznaczają energie elektronu na orbicie odpowiednio n i m. Podstawiając za energie E n i E m wzór 19.1 oraz dzieląc wyrażenie przez prędkość światła c, po przekształceniach otrzymujemy: 1 1 4πε 4 m e e π c n m λ 0 (19.14) Powyższa zależność wyprowadzona z modelu Bohra ma postać analogiczną do wzoru 19.4 uzyskanego na podstawie danych eksperymentalnych. Co więcej stałe proporcjonalności występujące w tym wzorze dają wartość zbliżoną do eksperymentalnie wyznaczonej stałej Rydberga R H. Na podstawie modelu Bohra możemy więc teraz wyjaśnić, że serie widmowe atomu wodoru są wynikiem przeskoków elektronów między różnymi poziomami energetycznymi (Rysunek 19.). Należy przy tym zaznaczyć, że model Bohra pozwala uzyskiwać wyniki w pełni zgodne z wynikami doświadczalnymi tylko dla atomu wodoru. Wyniki zbliżone do eksperymentalnych otrzymujemy jeszcze dla litu, sodu i potasu, które z tego względu nazywane są wodoropodobnymi, a dla pozostałych pierwiastków wyniki znacząco się różnią. O przyczynach takich rozbieżności opowiemy szerzej w dalszej części skryptu. Doświadczenie Franka-Hertza Zgodnie z modelem Bohra mechanizm emisji i absorpcji promieniowania elektromagnetycznego przez atomy jest taki sam. Proces absorpcji może zachodzić efektywnie tylko wtedy, Strona 160

161 kiedy energia padającego fotonu jest taka sama jak różnica energii odpowiadających orbitom elektronowym. W eksperymencie Franka-Hertza elektrony lampy próżniowej zawierającej opary rtęci przyspieszane są między katodą a anodą zadanym napięciem. Przy zwiększaniu wartości napięcia przyspieszającego obserwuje się szybki wzrost natężenia prądu płynącego przez lampę, ale po przekroczeniu pewnej wartości napięcia obserwuje się gwałtowny spadek natężenia prądu na anodzie. Przy dalszym zwiększaniu napięcia obserwujemy kolejne maksima i minima natężenia prądu, jak pokazano na Rysunku Rysunek Schemat układu pomiarowego i wyników doświadczenia Franka- Hertza. Wzrost napięcia między elektrodami lampy próżniowej powoduje wzrost energii elektronów i statystycznie coraz ich więcej dociera do anody w jednostce czasu wzrost natężenia Strona 161

162 prądu. Należy zaznaczyć, że ponieważ w lampie znajdują się również pary rtęci, to elektrony lampy zderzają się sprężyście z elektronami atomów rtęci. Jak wynika z eksperymentu dla pewnych wartości energii elektronów z lampy (napięcia lampy) zderzenia te przestają być sprężyste i elektrony lampy przekazują swoja energię elektronom atomów rtęci, w wyniku czego elektrony te przeskakują na wyższy poziom energetyczny. W efekcie dla takiego napięcia na lampie natężenie prądu na anodzie gwałtownie maleje, jak pokazano na Rysunku 19.. Widmo charakterystyczne promieniowania rentgenowskiego W rozdziale 18. rozważaliśmy przyczyny istnienia krótkofalowej granicy widma promieniowania rentgenowskiego. Mówiliśmy wówczas, że widmo to, oprócz widma ciągłego powstałego w wyniku hamowania wiązki elektronów w tarczy lampy, posiada również tak zwaną składową charakterystyczną. Są to wąskie i silne maksima natężenia promieniowania. Okazuje się, że położenie i natężenia tych maksimów zależy od materiału, z którego wykonana jest tarcza. W wyniku oddziaływania elektronów lampy rentgenowskiej, rozpędzonych dużą różnicą potencjałów (o dużej energii), z metaliczną tarczą atomy tarczy ulegają wzbudzeniu. Powrót tych atomów do stanu podstawowego (przeskok elektronów na niższe orbity) wiąże się z emisją kwantów promieniowania o określonej długości. W przypadku widma emisyjnego wodoru mieliśmy do czynienia z promieniowaniem z zakresu światła widzialnego a także podczerwieni i ultrafioletu. W omawianym przypadku promieniowanie emitowane przez lampę rentgenowską charakteryzuje się mniejszą długością, ale mechanizm jego powstawania jest identyczny. Długość emitowanego promieniowania zależy od struktury poziomów elektronowych w materiale, jest więc cechą charakterystyczną każdego materiału i dlatego promieniowanie to nazywane jest promieniowaniem charakterystycznym. W dalszej części tego rozdziału skupimy się na budowie i właściwościach jądra atomowego. Strona 16

163 19.. Jądro atomowe Proton i neutron Izotopy Wiemy już, że zjonizowany atom wodoru H + (jądro wodoru) ma ładunek dodatni identyczny, co do wartości, z ładunkiem elektronu. Załóżmy, że jądro wodoru odpowiada pewnej cząstce nazwiemy ją protonem. Masa spoczynkowa protonu wynosi 7 m kg. Masa atomu kolejnego pierwiastka, p helu, jest około czterokrotnie większa niż masa atomu wodoru. Jonizując atom helu odrywamy od niego dwa elektrony, otrzymując jon o ładunku +e (He + ). Zatem, jeśli nośnikiem ładunku dodatniego jest proton, to jądro helu zawiera dwa protony. Czterokrotnie większa masa wskazuje jednak na obecność w jądrze również innych masywnych cząstek, pozbawionych ładunku elektrycznego. Obecność takich cząstek jest również niezbędna z innego powodu pomiędzy dwoma ładunkami dodatnimi (protonami), skupionymi na niewielkim obszarze jądra istnieją silne elektrostatyczne oddziaływania odpychające. Obecność neutralnych cząstek zwiększa efektywną odległość między protonami a więc mniejsza siłę oddziaływania kulombowskiego. Cząstki neutralne występujące w jądrze atomowym nazywamy neutronami. Masa neutronu jest nieco większa niż protonu i 7 wynosi m n kg. Pomiędzy neutronami a protonami występuje tzw. oddziaływanie silne o dużej sile, ale krótkim zasięgu. Nazwa i właściwości chemiczne danego pierwiastka związane są z ilością protonów występujących w jądrze atomowym. Ilość protonów nazywamy liczbą atomową Z. Porządkując pierwiastki według liczby atomowej otrzymujemy szereg Strona 163

164 pierwiastków szereg taki był podstawą do stworzenia układu okresowego. Masa danego atomu zależy zarówno od ilości protonów, jak i neutronów łączną ilość cząstek budujących jądro (nukleonów) nazywamy liczbą masową A. Jak przekonamy się w dalszej części rozdziału, rzeczywista masa jądra danego pierwiastka nie jest prostą sumą mas nukleonów, ale zależy również od sił wiążących jądro. Znając liczbę atomową i masową, można obliczyć liczbę neutronów N w jądrze: Strona 164 N A Z (19.15) Jądra danego pierwiastka mogą posiadać różną liczbę neutronów mogą zatem różnić się liczbą masową. Jądra o jednakowej liczbie protonów, zawierające różną liczbę neutronów nazywamy izotopami. Jądra atomowe oznacza się symbolem pierwiastka chemicznego z liczbą masową w indeksie górnym po lewej stronie tego symbolu. Na przykład zapis 1 C oznacza izotop węgla zawierający 1 nukleonów, a więc 6 protonów i 6 neutronów. Zapis 14 C oznacza izotop węgla zawierający 6 protonów i 8 neutronów. Stabilność izotopów Liczba neutronów w jądrze nie przybiera dowolnych wartości. Jeśli neutronów jest za mało, jądro może być nietrwałe ze względu na silne odpychanie elektrostatyczne pomiędzy protonami. O takim jądrze mówimy, że jest niestabilne. Podobnie, jeśli neutronów w jądrze jest zbyt dużo, jądro znajduje się w stanie o wysokiej energii i dąży do osiągnięcia stanu o niższej energii. Również w tym przypadku może nastąpić rozpad jądra. Jak przekonamy się w dalszej części rozdziału, rozpad ma charakter statystyczny nie możemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane jądro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu możemy określić średni czas życia takiego jądra. Niestabilne izotopy różnią się od siebie czasem życia. Izotopy krótkożyciowe, dla których rozpad następuje po czasie rzędu

165 sekundy lub krótszym, nie są obserwowane w przyrodzie i reprezentują mało stabilne konfiguracje nukleonów. Izotopy te mogą być jednak otrzymywane w warunkach laboratoryjnych. Dla innych izotopów o bardziej stabilnej konfiguracji nukleonów rozpad następuje średnio po czasie rzędu miesięcy, lat lub nawet setek tysięcy lat. Izotopy tego typu możemy obserwować w przyrodzie. Na podstawie pomiarów czasu życia izotopów możemy stworzyć tak zwaną mapę nuklidów, gdzie, zwyczajowo, na osi x odznacza się liczbę neutronów N, a na osi y liczbę atomową Z. Stabilne izotopy (nie ulegają rozpadowi) obserwujemy dla wszystkich atomów lżejszych od ołowiu. Dla stabilnych izotopów pierwiastków lekkich liczba neutronów jest zbliżona do liczby protonów a dla stabilnych izotopów pierwiastków cięższych liczba neutronów budujących jądro jest większa niż liczba protonów. W przypadku ciężkich pierwiastków, dla których nie istnieją w przyrodzie stabilne izotopy i znamy jedynie krótkożyciowe jądra wytworzone laboratoryjnie, możemy jedynie wyróżnić obszary o większej stabilności, tzw. wyspy stabilności. Energia wiązania Masa jądra danego atomu jest nieco mniejsza od sumy mas nukleonów wchodzących w skład jądra. Aby zrozumieć przyczynę takiego zjawiska, warto wrócić do rozważań przedstawionych w rozdziale poświęconym teorii względności. Wiemy, że masa może być przekształcona w energię zgodnie ze znanym wzorem Einsteina: E mc (19.16) Energia wiązania nukleonów, wynikająca z oddziaływania silnego występującego między nimi, powoduje wytworzenie defektu masy jądra. Całkowitą energię wiązania jądra możemy obliczyć, odejmując energię odpowiadającą sumie mas nukleonów m od energii odpowiadającej masie całego atomu M: Strona 165

166 E W mic M c (19.17) i W praktyce wygodniej jest posługiwać się energią wiązania jądra przypadającą na jeden nukleon: E E W WN A (19.18) Rysunek Schematyczny wykres energii wiązania w funkcji liczby masowej Energia wiązania nukleonu dla różnych pierwiastków przybiera różne wartości. Na wykresie energii wiązania w funkcji liczby masowej A (Rysunek 19.4) widzimy, że najmniejszą wartość przyjmuje ona dla izotopu wodoru H, i generalnie wzrasta wraz ze wzrostem liczby masowej dla pierwiastków lekkich. Energia wiązania nukleonu osiąga maksimum dla żelaza Fe i niklu Ni. Dla jąder cięższych obserwuje się spadek energii wiązania w przeliczeniu na nukleon. Oznacza to, że jeśli ciężkie jądro ulegnie rozszczepieniu na mniejsze fragmenty, w procesie tym będzie wydzielać się energia. Zjawisko to wykorzystuje się w elektrowniach jądrowych, których zasadę działania omówimy Strona 166

167 szczegółowo w dalszej części rozdziału. Energia wydzieli się również w procesie syntezy (łączenia) lekkich pierwiastków, prowadzącym do powstania cięższego jądra. Jednostka energii - elektronowolt Jednostką wygodną do opisu energii wiązania nukleonów i energii przemian jądrowych, które będziemy omawiać w kolejnym rozdziale jest elektronowolt. Jeden elektronowolt 1eV jest równy energii, jaką ładunek elementarny uzyskałby w polu elektrycznym pokonując różnicę potencjałów 1V. 19 1eV J (19.19) Dla większości jąder energia wiązania nukleonu zawiera się pomiędzy 5 a 10 MeV Promieniotwórczość Rozpad ciężkich jąder odbywa się samorzutnie i ma charakter statystyczny nie możemy dokładnie określić, kiedy rozpadnie się dane jądro, ale na podstawie obserwacji wielu procesów rozpadu możemy określić średni czas życia takiego jądra. Prawdopodobieństwo rozpadu jest cechą charakterystyczną danego izotopu. Aktywność promieniotwórcza R próbki określa liczbę rozpadów następujących w ciągu sekundy d N dt i zależy od liczby jąder N jakie mogą ulec rozpadowi oraz stałej rozpadu promieniotwórczego. Aktywność R wyraża się w bekerelach [Bq] (1Bq = 1 rozpad na sekundę). dn R N (19.0) dt Rozwiązując powyższe równanie różniczkowe otrzymujemy funkcję wykładniczą opisującą średnią liczbę jąder N, jakie po czasie t nie uległy jeszcze rozpadowi (jąder promieniotwórczych): Strona 167

168 t N t N 0 e (19.1), gdzie N 0 oznacza początkową liczbę jąder promieniotwórczych. Zakładamy przy tym, że jądra, które uległy już rozpadowi są stabilne (nie ma wtórnych procesów rozpadu). Z powyższego wzoru wynika, że ilość rejestrowanych początkowo rozpadów jest stosunkowo duża i stopniowo maleje, gdyż w próbce pozostawać będzie coraz mniej jąder, które wciąż mogą ulec rozpadowi (Rysunek 19.5). Należy podkreślić jeszcze raz, że zjawisko rozpadu promieniotwórczego ma charakter statystyczny. Powyższa zależność nie podaje więc dokładnej liczby a jedynie określa średnią liczbę jąder, które nie uległy jeszcze rozpadowi. Rysunek Wykres zależności liczby jąder promieniotwórczych od czasu W fizyce jądrowej tempo rozpadu promieniotwórczego wyraża się często za pomocą tzw. czasu połowicznego zaniku. Czas połowicznego zaniku t 1/ jest to czas, po którym liczba jąder N (a także aktywność próbki R ) maleje do połowy wartości Strona 168

169 Przykład początkowej, jak zaznaczono na Rysunku Na podstawie zależności 19.1 czas połowicznego rozpadu t 1/ wynosi: t ln 1 τ ln λ (19.), gdzie 1 oznacza średni czas życia jądra. Liczbę jąder promieniotwórczych możemy również wyrazić za pomocą średniego czasu życia : t N t N 0 e (19.3). Czas połowicznego rozpadu jądra pewnego pierwiastka wynosi 1 dzień. Ile razy zmieni się aktywność preparatu zawierającego ten pierwiastek po czterech dniach? Po pierwszym dniu połowa jąder ulegnie rozpadowi zatem aktywność próbki spadnie do połowy pierwotnej wartości. W drugim dniu ulegnie rozpadowi połowa z pozostałych jąder, czyli 1/4 początkowej liczby jąder. Po trzech dniach rozpadnie się 1/8 jąder, a po czterech 1/16. Zatem aktywność próbki spadnie w tym czasie 16 razy. Taki sam wynik otrzymamy korzystając ze wzoru 19.3: N t Zastosowania N t 4 ln 1 0 e N 0e N (19.4) Datowanie metodą izotopową W wielu przypadkach obecność izotopów promieniotwórczych w próbce możemy wykorzystać do wyznaczenia jej wieku. Przykładem jest datowanie metodą węgla radioaktywnego 14 C. Izotop ten powstaje w górnych warstwach atmosfery, a jego zawartość w atmosferze utrzymuje się na stałym poziomie. Strona 169

170 Żywe organizmy, rośliny i zwierzęta, wymieniają węgiel z otoczeniem w ten sposób również utrzymując stałą zawartość węgla 14 C w ich tkankach. Po śmierci organizmu wymiana węgla ustaje a zawartość izotopu 14 C zmniejsza się wykładniczo zgodnie z prawem rozpadu. Analizując udział procentowy węgla 14 C w stosunku do pozostałych izotopów węgla w badanej próbce oraz wiedząc, że czas połowicznego rozpadu wynosi 5730 lat, można wyznaczyć przybliżony wiek obiektu. Metodę tę można wykorzystywać m.in. do datowania materiałów organicznych takich jak drewno, kości czy tkaniny. Znaczniki radioaktywne Izotopy radioaktywne o niewielkiej, ale możliwej do zmierzenia aktywności mogą być również wykorzystywane jako znaczniki radioaktywne. Właściwości fizyczne i chemiczne izotopów radioaktywnych nie różnią się zwykle w zdecydowany sposób od właściwości atomów stabilnych np. wchodzą w identyczne reakcje chemiczne. Z tego względu możemy wykorzystywać je do badania obiegu danego pierwiastka w złożonych układach, a także organizmach żywych. Metoda taka, przy odpowiednim doborze rodzaju i zawartości izotopów promieniotwórczych nie niesie zagrożenia dla badanego obiektu i może być także stosowana w badaniach ludzi (np. izotopu 11 C w badaniach aktywności ludzkiego mózgu) Rozpady promieniotwórcze W poprzednim rozdziale opisaliśmy statystyczny charakter rozpadów promieniotwórczych. O samych rozpadach powiedzieliśmy jak dotąd jedynie, że zachodzą samorzutnie, czyli, że nic nie możemy zrobić żeby taki proces wywołać ani żeby go kontrolować. W tym rozdziale wymienimy różne rozpady promieniotwórcze i omówimy ich cechy. Strona 170

171 Rozpad W wyniku rozpadu z jądra emitowana jest cząstka, zawierająca 4 nukleony dwa protony i dwa neutrony. Ponieważ w wyniku emisji cząstki liczba atomowa Z zmniejsza się o, więc produktem rozpadu jest inny pierwiastek niż pierwiastek ulegający rozpadowi. Rozpad przebiega według następującego schematu: A Z A 4 X Y (19.5) Z Jako przykład rozpadu rozważmy rozpad izotopu uranu 38 U: 4 34 U α (19.6) Th W powstałym jądrze toru 34 Th, stosunek liczby neutronów do protonów wynosi 1.6, co odpowiada bardziej stabilnej konfiguracji nuklidów, niż w ulegającym rozpadowi jądrze uranu 38 U (stosunek wynosi 1.587). Warto wspomnieć również, że powyższa reakcja jest głównym źródłem gazowego helu na Ziemi. Cząstki powstałe w wyniku takiego rozpadu wyłapują następnie elektrony i tworzą atomy helu. Czas połowicznego rozpadu 38 U jest bardzo długi i wynosi około lat. 4 Rozpad Istnieją dwa rodzaje rozpadów : i +. W wyniku rozpadu jeden z neutronów obecnych w jądrze zmienia się w proton. Liczba atomowa zwiększa się zatem o 1, a więc jądro będące produktem rozpadu reprezentuje inny pierwiastek niż jądro ulegające rozpadowi. Liczba masowa pozostaje zachowana. Aby ładunek elektryczny był zachowany, z atomu emitowany jest elektron. Powstaje również antyneutrino elektronowe ν, które jest cząstką słabo oddziałującą z materią. Ogólne równanie reakcji rozpadu zapisujemy w następujący sposób: Strona 171

172 A A 0 Z XZ 1Y 1e ν (19.7) Przykładem rozpadu jest rozpad izotopu cezu 137 Cs, w wyniku którego powstaje izotop baru 137 Ba Cs 56Ba 1e ν (19.8) 137 Rozpady tego typu najczęściej obserwujemy dla izotopów posiadających nadmiar neutronów w stosunku do najbardziej stabilnej konfiguracji. W wyniku rozpadu + jeden z protonów zmienia się w neutron. Z atomu emitowany jest pozyton cząstka o właściwościach podobnych do elektronu, ale obdarzona ładunkiem dodatnim. Dodatkowo dochodzi do emisji neutrina elektronowego. Ponieważ liczba protonów ulega zmniejszeniu, również i w tym rozpadzie jądro będące produktem rozpadu odpowiada innemu pierwiastkowi niż jądro przed rozpadem. Liczba masowa zostaje zachowana: A A 0 Z XZ 1Y 1e ν (19.9) Przykładem rozpadu + jest rozpad izotopu sodu Na, w wyniku którego powstaje jądro neonu Ne: 0 11 Na10Ne 1e ν (19.30) Równania 19.5, 19.7 i 19.9 pokazują jak zmienią się, liczby atomowa i masowa jądra atomowego w zależności od typu rozpadu promieniotwórczego. Zależności te nazywane są regułami przesunięć Soddyego i Fayansa. Warto podkreślić, że Kazimierz Fajans był fizykiem jądrowym polskiego pochodzenia. Przemiana Jądro atomowe może również przejść do stanu o niższej energii w wyniku emisji fotonu, czyli kwantu promieniowania elektromagnetycznego. Równanie takiej przemiany możemy zapisać w następujący sposób: Strona 17

173 A * A Z X ZX (19.31), gdzie znaczek oznacza jądro w stanie o wyższej energii (w stanie wzbudzonym). Wyemitowany foton charakteryzuje się zwykle wysoką energią. Po wyemitowaniu takiego kwantu promieniowania jądro może przejść na stan podstawowy lub znaleźć się na niższym stanie wzbudzonym. W tym drugim przypadku, przemiana może zachodzić kaskadowo aż do momentu przejścia jądra do stanu podstawowego. Podczas rozpadu izotopu kobaltu 60 Co powstaje wzbudzone jądro niklu 60 Ni, które przechodzi do stanu podstawowego w wyniku emisji dwóch fotonów, o energiach równych 1.17 MeV oraz 1.33 MeV. Inne procesy rozpadu Poza trzema wymienionymi powyżej i najczęściej obserwowanymi w przyrodzie procesami rozpadu promieniotwórczego, może występować również emisja neutronu, wychwyt elektronu oraz emisja protonu. W procesie emisji neutronu zachowywana jest liczba atomowa jądra a z jądra emitowany jest tylko neutron. Rozpad tego typu następuje np. dla izotopu 13 Be i 5 He, choć w przypadku 5 He mamy do czynienia również z rozpadem. Neutrony emitowane są również w procesie rozszczepienia jąder ciężkich, które to zjawisko omówimy dokładniej w dalszej części tego rozdziału. Wychwyt elektronu polega na przechwyceniu przez proton z jądra atomowego jednego z elektronów znajdujących się na najniższej powłoce elektronowej. Przemiana ta jest w istocie odwrotna do omówionej wcześniej przemiany. W jej wyniku maleje liczba protonów w jądrze (liczba atomowa), rośnie natomiast liczba neutronów liczba masowa pozostaje więc stała. Dochodzi również do emisji neutrina elektronowego. Podczas emisji protonu zmniejsza się o 1 liczba atomowa i liczba masowa jądra. Rozpady tego typu rzadko występują w Strona 173

174 przyrodzie i obserwowane są głównie w przypadku krótkożyciowych ciężkich jąder wytwarzanych laboratoryjnie. Promieniowanie jonizujące Ponieważ cząstki wyemitowane w wyniku omawianych powyżej rozpadów promieniotwórczych charakteryzują się zwykle wysoką energią oddziałując z materią mogą wybijać elektrony z zewnętrznych powłok atomowych (jonizować atomy) lub zrywać chemiczne wiązania międzyatomowe. Ze względu na tę zdolność jonizacji materii produkty rozpadów promieniotwórczych nazywać będziemy promieniowaniem jonizującym. Uszkodzenia spowodowane promieniowaniem jonizującym w przypadku tkanek organizmów żywych mogą być nieodwracalne. Zwłaszcza zerwanie nici kodu genetycznego DNA, może prowadzić do powstawania chorych lub zdegenerowanych komórek. Z drugiej jednak strony promieniowanie jonizujące może być wykorzystane w technice czy medycynie. Przykładowo proces naświetlania wiązką przenikliwego promieniowania jest wykorzystywany w przemyśle do modyfikacji właściwości niektórych polimerów a radioterapia stosowana w leczeniu nowotworów polega na naświetlaniu zmian nowotworowych za pomocą promieniowania, rentgenowskiego albo wiązką elektronów, protonów czy cząstek α. Oddziaływanie promieniowania jonizującego z materią Różne rodzaje promieniowania wykazują różną przenikliwość i różny stopień oddziaływania z materią. Promieniowanie jest słabo przenikliwe droga cząstek tego promieniowania w powietrzu jest rzędu centymetrów. Wiązkę cząstek można powstrzymać cienką folią lub kartką papieru. Zabezpieczenie się przed tym promieniowaniem wydaje się być pozornie łatwe, jednakże emitery promieniowania mogą się łatwo dostać do wnętrza ludzkiego organizmu wraz z wdychanym powietrzem lub pokarmem stanowiąc wówczas poważne zagrożenie dla zdrowia. Strona 174

175 Zasięg promieniowania w powietrzu jest znacznie większy niż promieniowania i może dochodzić do kilku metrów. Skuteczną ochroną przed promieniowaniem tego typu może być np. gruba warstwa metalowej blachy. Zagrożeniem dla organizmów żywych jest nie tylko zewnętrzne oddziaływanie promieniowania na skórę, które może prowadzić do oparzeń. Szczególnie niebezpieczne w skutkach może być oddziaływanie promieniowania na układ pokarmowy w wyniku spożycia skażonej wody lub pokarmu. Najbardziej przenikliwym typem promieniowania jest promieniowanie, do osłabienia którego trzeba stosować materiały o dużej gęstości (np. ołów). Jednak nawet grube osłony z ołowiu nie gwarantują całkowitego zatrzymania promieniowania. Ze względu na dużą przenikliwość promieniowanie tego typu może docierać bezpośrednio do wnętrza tkanek. Aby ilościowo opisać wpływ promieniowania jonizującego na żywy organizm, wprowadza się pojęcie dawki pochłoniętej D T. Określa ona stosunek całkowitej energii promieniowania (wyrażonej w dżulach) pochłoniętego przez tkankę do masy tej tkanki. Jednostką dawki pochłoniętej jest grej [ 1Gy 1J kg ]. Na stopień uszkodzenia tkanek organizmów żywych ma wpływ nie tylko energia, ale i rodzaj cząstek promieniowania jonizującego. Masywne cząstki powodują ogromne zniszczenia tkanek. Skutki oddziaływania promieniowania i na żywe tkanki są mniejsze niż w przypadku promieniowania. Skutek biologiczny danego rodzaju promieniowania możemy uwzględnić, wymnażając dawkę pochłoniętą przez odpowiedni współczynnik Q R przypisany do danego rodzaju promieniowania. Współczynnik taki dla promieniowania i przyjmuje się za 1, a dla promieniowania wynosi on około 0. Sumując skutek biologiczny wszystkich rodzajów promieniowania oddziaływających na daną tkankę otrzymujemy równoważnik dawki H D Q. Jednostką T efektywnego równoważnika dawki jest sivert [Sv]. T R Strona 175

176 Ponieważ różne tkanki są w różnym stopniu wrażliwe na promieniowanie, często wprowadza się również efektywny równoważnik dawki. Jego wartość definiuje się na ogół w odniesieniu do całego ciała. Szkodliwość promieniowania na ludzki organizm otrzymujemy, mnożąc dla każdej tkanki równoważnik dawki przez współczynnik definiujący podatność tkanki na uszkodzenia wywołane promieniowaniem, a następnie sumując wpływ związany z oddziaływaniem na wszystkie tkanki. Najbardziej wrażliwymi na promieniowanie organami są przewód pokarmowy i wewnętrzne narządy rozrodcze. Według obowiązujących w Polsce norm, dla osób narażonych zawodowo na oddziaływanie promieniowania liczony rocznie efektywny równoważnik dawki nie powinien przekroczyć 50 msv. Warto wspomnieć, że środowisko naturalne nie jest wolne od źródeł promieniowania liczony w skali roku efektywny równoważnik dawki od źródeł naturalnych wynosi od 1 do 4 msv Reakcje jądrowe Omawiane powyżej rozpady promieniotwórcze są procesami samorzutnymi. Pod wpływem czynników zewnętrznych takich jak krótkozasięgowe oddziaływanie z innym jądrem lub też z cząstkami elementarnymi lub fotonami, jądra atomowe mogą podlegać przemianom, które nazywać będziemy reakcjami jądrowymi. W ich wyniku powstają jądra atomowe innych pierwiastków, innych izotopów tego samego pierwiastka lub jądra tego samego izotopu danego pierwiastka w innym stanie energetycznym. Rozszczepienie jądra Reakcje rozpadu, to takie reakcje jądrowe, w wyniku których zmniejsza się liczba atomowa jądra atomowego. Omawiając zależność energii wiązania pojedynczego nukleonu od liczby Strona 176

177 masowej atomów (Rysunek 19.3) wspominaliśmy, że rozszczepienie masywnego jądra na mniejsze fragmenty może uwalniać energię. Właśnie ze względu na uwalnianą energię, reakcje rozszczepienia jądra wykorzystywane są w reaktorach jądrowych i bombach atomowych. Proces rozszczepienia przedstawimy na przykładzie izotopu uranu 35 U. Proces rozszczepienia jest w tym przypadku inicjowany przez wychwyt neutronu przez jądro 35 U. Aby proces wychwytu mógł zajść, neutron musi mieć odpowiednio niską energię tak zwane neutrony szybkie, o dużej energii, nie są wychwytywane. W wyniku wychwytu neutronu powstaje wzbudzone jądro uranu 36 U a kulisty (w przybliżeniu) kształt jądra ulega deformacjom. Jeśli deformacja jest znaczna, siły odpychania elektrostatycznego pomiędzy dwoma fragmentami jądra powodują rozerwanie go nazywane również rozszczepieniem na dwie zbliżone rozmiarami części. Dwa fragmenty jądra uwalniają dodatkowo neutrony nadmiarowe w stosunku do liczby protonów. Średnio w jednym procesie rozszczepienia jądra uranu 36 U uwalniane jest.5 neutronów. Reakcję rozszczepienia uranu 35 U zapisujemy w następujący sposób: U n U Xe Srn (19.3) Widzimy, że powstające fragmenty nie mają równych mas. Reprezentują one nietrwałe izotopy, które podlegają kolejnym procesom rozpadu. Energia wyzwalana w procesie rozszczepienia każdego jądra uranu 35 U wynosi około 00 MeV. Reaktor jądrowy W elektrowniach jądrowych energia uwolniona w reakcji rozszczepienia jąder uranu 35 U zamieniana jest na energię elektryczną. Reakcje rozszczepienia powodują wzrost temperatury wnętrza reaktora (głównie paliwa). Energia cieplna odbierana jest przez chłodzącą reaktor wodę, która zamienia się w parę wodną i napędza turbiny. Uzyskana w ten Strona 177

178 sposób energia mechaniczna turbiny zamieniana jest na energię elektryczną. Należy jednak zauważyć, że reaktor jądrowy jest jedynie jednym z elementów niezbędnych do wydajnego i bezpiecznego wykorzystania energii jądrowej. W przypadku złożonej gałęzi przemysłu, jaką jest energetyka jądrowa, produkcja energii stanowi jedynie niewielki wycinek całego cyklu obejmującego wydobycie rud pierwiastków promieniotwórczych, przetwarzanie ich na paliwo i wzbogacanie go, a następnie przetwarzanie i składowanie odpadów. Rozważmy reaktor wykorzystujący omówioną powyżej reakcję rozszczepienia uranu 35 U. Neutrony generowane w wyniku rozszczepienia uranu 35 U są wychwytywane przez kolejne jądra i proces może zostać powtórzony. Ponieważ w wyniku pojedynczego rozszczepienia powstają lub 3 neutrony, proces ten może zachodzić lawinowo (inne określenie to reakcja łańcuchowa) pierwsza reakcja rozszczepienia generuje kolejne. W skali całego reaktora utrzymanie stałego tempa reakcji wymaga równości liczby neutronów otrzymanej w danym pokoleniu do otrzymanych w pokoleniu poprzednim. Stosunek tych dwóch liczb nazywamy współczynnikiem K mnożenia reaktora. Stałe tempo reakcji oznacza zatem, że współczynnik mnożenia jest równy 1 mówimy wówczas, że reaktor jest w stanie krytycznym. Utrzymanie stałego tempa reakcji jądrowej wymaga rozwiązania kilku istotnych problemów, które przedstawiono poniżej. Wypływ neutronów Neutrony, które wydostaną się na zewnątrz reaktora nie biorą udziału w reakcji rozszczepienia paliwa jądrowego. Nadmierny wypływ neutronów może zatem prowadzić do wygaszenia reakcji rozszczepienia. Liczba neutronów opuszczających reaktor zależy głównie od powierzchni zewnętrznej bloku zawierającego paliwo, a liczba jąder mogących brać udział w reakcji rozszczepienia zależy od objętości tego bloku. Zatem im większy jest element zawierający paliwo jądrowe, tym korzystniejszy stosunek objętości do powierzchni i tym łatwiej jest podtrzymać reakcję rozszczepienia. Strona 178

179 Parametrem pozwalającym na ilościowe określenie progu niezbędnego do powstania samo-podtrzymującej reakcji jądrowej jest masa krytyczna. Masa krytyczna jest to masa kuli wykonanej z danego izotopu, przy której tyle samo neutronów opuszcza blok, ile jest produkowane w wyniku reakcji. Warto zwrócić uwagę, że masa krytyczna jest zdefiniowana jedynie dla kształtu kulistego dla innych kształtów wartość masy niezbędnej po potrzymania reakcji będzie większa. Zastosowanie osłon odbijających neutrony do wnętrza reaktora (reflektora neutronów) może natomiast wydatnie zmniejszyć masę paliwa jądrowego niezbędnego do funkcjonowania reaktora. Dla izotopu uranu 35 U masa krytyczna wynosi 5 kg. Dla porównania, dla izotopu plutonu 39 Pu wynosi ona jedynie 10 kg. Spowalnianie i pochłanianie neutronów Aby szybkie neutrony powstające w wyniku reakcji rozszczepienia mogły wywołać kolejne reakcje, muszą zostać spowolnione do tzw. neutronów termicznych. Szybkie neutrony można spowolnić poprzez zderzenia z jądrami lekkich pierwiastków materiał używany w tym celu w reaktorze nazywamy moderatorem. Analizując zderzenie neutronu z jądrem na podstawie klasycznych zasad mechaniki łatwo zauważyć, że im lżejsze będzie jądro, z którym zderzy się neutron, tym większa będzie strata energii tego neutronu. Istotne jest przy tym, żeby materiał moderatora charakteryzował się nie tylko dużą efektywnością w spowalnianiu neutronów (tzw. duży przekrój czynny na rozpraszanie neutronów), ale jednocześnie nie pochłaniał neutronów (tzw. mały przekrój czynny na pochłanianie neutronów). Często stosowanymi moderatorami są ciężka woda (DO), grafit i beryl. W miarę jak kolejne jądra paliwa jądrowego ulegają rozszczepieniu, ich ilość w pręcie paliwowym systematycznie spada, co zmniejsza tempo reakcji jądrowej. Dodatkowo wnętrze pręta paliwowego stopniowo wypełnia się produktami rozpadu uranu 35 U. Często określa się ten proces jako Strona 179

180 zatruwanie paliwa. Należy ponadto zauważyć, że izotop 35 U stanowi zwykle niewielką część całkowitej zawartości uranu w pręcie paliwowym. Inne izotopy, jak 38 U również mogą wychwytywać i generować neutrony. Widać zatem, że tempo przebiegu reakcji jądrowej zależy od wielu czynników i może znacznie zmieniać się w czasie. Z tego względu niezbędna jest możliwość łatwego i szybkiego kontrolowania przebiegu reakcji jądrowej poprzez pochłanianie nadmiaru neutronów. Funkcję taką w reaktorach jądrowych pełnią pręty kontrolne wykonane z materiałów takich jak kadm, bor, ind oraz srebro. Wsunięcie prętów do wnętrza reaktora powoduje zmniejszenie liczby neutronów biorących udział w kolejnym pokoleniu procesów rozpadu. Chłodzenie reaktora Energia uwalniana podczas procesów rozszczepienia powoduje wzrost energii wewnętrznej paliwa jądrowego oraz innych elementów reaktora. Odebranie ciepła z wnętrza reaktora i zamiana go na energię mechaniczną jest możliwa dzięki odpowiedniemu układowi chłodzenia, na ogół wodnego. Ponieważ woda przechodząc przez komorę reaktora ulega skażeniu promieniotwórczemu (pojawiają się w niej nietrwałe izotopy), na ogół stosuje się dwa lub więcej obiegów wodnych, tak aby skażona woda nie miała kontaktu ze środowiskiem zewnętrznym. W popularnych rozwiązaniach elektrowni typu PWR (ang. Pressure Water Reactor) woda krążąca w zamkniętym obiegu pierwotnym pobiera ciepło z reaktora a następnie oddaje je do obiegu wtórnego. W obiegu wtórnym wytwarzana jest para wodna pod wysokim ciśnieniem. Para ta rozprężając się obraca turbinę elektrowni generując prąd elektryczny. Bomba atomowa Jeśli stosunek liczby neutronów otrzymanej w danym pokoleniu do liczby otrzymanej w pokoleniu poprzednim jest większy od jedności to tempo reakcji wzrasta w sposób wykładniczy. Taki stan reaktora określa się jako nadkrytyczny, a jego konsekwencją może być niekontrolowana reakcja Strona 180

181 jądrowa. Wzrost temperatury paliwa jądrowego może doprowadzić do stopienia prętów paliwowych i eksplozji reaktora. W przypadku bomby atomowej celowo doprowadza się do sytuacji, w której paliwo jądrowe przechodzi w stan nadkrytyczny. Wewnątrz bomby znajdują się fragmenty materiału rozszczepialnego, z których każdy ma masę mniejszą niż masa krytyczna obliczona dla danej geometrii. Inicjatorem reakcji jest wybuch konwencjonalnego materiału wybuchowego, który łączy fragmenty w całość o masie przekraczającej masę krytyczną. Tempo reakcji jądrowej narasta na tyle szybko, że dochodzi do rozszczepienia większości dostępnych jąder materiału rozszczepialnego. Energia, która wydziela się w wyniku wybuchu bomby atomowej może wynosić od do J. Reakcje syntezy jądrowej Dla jąder izotopów pierwiastków lekkich, takich jak wodór, hel lub lit energia wiązania nukleonu jest znacząco mniejsza, niż dla jąder pierwiastków ze środkowej części szeregu np. dla żelaza. Należy zatem spodziewać się, że również w procesie połączenia, syntezy albo fuzji jąder pierwiastków lekkich dochodzi do wydzielania się energii. W istocie, procesy syntezy jądrowej stanowią podstawowe źródło energii dla gwiazd, w tym Słońca. W gwiazdach o rozmiarach Słońca lub mniejszych dominuje tak zwany cykl protonowy łączenia wodoru w hel, który dostarcza około 86% energii Słońca. W cyklu tym z czterech jąder wodoru powstaje stabilne jądro helu a energia wydzielana w całym cyklu reakcji wynosi 6.73 MeV. Cykl ten rozpoczyna się od połączenia dwóch protonów w jądro deuteru:. 1 H 1 H D 0 e ν (19.33) Energia uzyskiwana w każdej takiej reakcji wynosi 0.4 MeV. Powstałe w wyniku takiej reakcji pozytony e + ( e ) mogą 0 1 Strona 181

182 ulegać anihilacji z elektronami, w wyniku czego powstają dwa fotony o łącznej energii 1.0 MeV. W następnym etapie cyklu jądro deuteru 1 D (reakcja 19.33) łączy się z kolejnym protonem, w wyniku czego powstaje jądro helu 3 He: Strona 18 D 1 H He γ (19.34) Energia wydzielana w tym etapie cyklu wodorowego wynosi 5.49 MeV. Następnie dwa jądra helu 3 He łączą się ze sobą, 4 tworząc jądro helu He. W procesie tym powstają również dwa protony oraz wydzielana jest energia 1.86 MeV: He He He H H (19.35) Ponieważ pomiędzy jądrami występują znaczące siły odpychania elektrostatycznego, do zajścia reakcji syntezy niezbędna jest wysoka temperatura i ciśnienie. Warunki takie spełnione są we wnętrzu gwiazd, natomiast odtworzenie ich na Ziemi jest niezwykle trudne. Warunki niezbędne do przeprowadzenia kontrolowanej reakcji syntezy jądrowej uzyskuje się w skali laboratoryjnej w tzw. tokamakach specjalnych komorach, w których materia w stanie plazmy o temperaturze rzędu 10 8 K jest zamknięta w polu magnetycznym. Utrzymanie tak gorącej plazmy w pułapce magnetycznej z daleka od ścian komory jest jednak niezwykle kosztowne energetycznie, tak że tokamaki zużywają wielokrotnie więcej energii niż produkują. Energię syntezy jądrowej wykorzystywano natomiast w przeszłości do celów wojskowych. W tak zwanej bombie termojądrowej do wytworzenia warunków niezbędnych do zajścia reakcji syntezy wykorzystywana jest reakcja rozszczepienia. Każda bomba termojądrowa zawiera zatem, obok izotopów lekkich takich jak deuter, tryt i lit, również pierwiastki ciężkie takie jak uran i pluton. Wybuch bomby jądrowej pełni w tym przypadku rolę zapalnika dla reakcji syntezy, z której można uzyskać znacznie większą energię (na jeden nukleon) niż z reakcji rozszczepienia paliwa jądrowego o identycznej masie. Energia uzyskana podczas wybuchu bomby termojądrowej może przekraczać J.

183 Strona 183

184 0 Elementy mechaniki kwantowej W tym rozdziale: o o o o o Właściwości falowe materii Zasada nieoznaczoności Heisenberga Funkcja falowa i równanie Schrödingera Rozwiązania równania Schrödingera Kwantowy model atomu Strona 184

185 0.1. Właściwości falowe materii W rozdziale 18 pokazaliśmy, że na początku XX wieku ówczesna fizyka, dziś nazywana fizyką klasyczną, nie potrafiła wyjaśnić zjawisk oddziaływania promieniowania elektromagnetycznego z materią emisji (promieniowanie ciała doskonale czarnego), absorpcji (zjawisko fotoelektryczne) oraz rozpraszania (efekt Comptona). Wyjaśnienie tych zjawisk okazało się możliwe tylko wtedy, gdy będziemy rozważać promieniowanie elektromagnetyczne jako strumień fotonów. Oznaczało to, że światło posiada dualną naturę i w procesach rozchodzenia się ujawnia swoją falową, a w procesach oddziaływania korpuskularną naturę. Fale de Brogliea W rozdziale 18.3 przedstawiliśmy również tzw. hipotezę de Brogliea: Nie tylko promieniowanie elektromagnetyczne ma dualną naturę korpuskularno-falową, ale również obiekty materialne mają dualną naturę korpuskularno-falową oprócz właściwości korpuskularnych posiadają także właściwości falowe. Długość fali, którą możemy przypisać cząstkom kwantowym (fale materii), zależy od pędu tak samo jak w przypadku h p promieniowania elektromagnetycznego:. Właściwości falowe elektronów zostały po raz pierwszy potwierdzone eksperymentalnie w 197 roku przez Davissona i Germera. W przeprowadzonym przez nich eksperymencie wiązka elektronów padała na kryształ niklu i ulegała na nim selektywnemu odbiciu. Okazało się, że rejestrowane w Strona 185

186 detektorze natężenie elektronów rozproszonych na niklu zależy od kąta obserwacji. Zależność ta jest analogiczna do niezależnych wyników dyfrakcji promieniowania rentgenowskiego na tym krysztale. Wynik eksperymentu może być wyjaśniony wyłącznie jako dyfrakcja fal związanych z elektronami (dyfrakcja elektronów) na sieci krystalicznej niklu. Co więcej wyznaczona przez Davissona i Germera długość tych fal, na podstawie wzoru Braggów, jest zgodna z długością fali elektronu przewidzianej przez de Brogliea. Właściwości falowe cząstek wykorzystuje się np. w mikroskopach elektronowych. Zmieniając pęd elektronów można wpływać na długość fal de Brogliea elektronów, tak żeby uzyskać długości fali mniejsze niż te z zakresu światła widzialnego. Dzięki temu mikroskopy elektronowe posiadają większą rozdzielczość niż klasyczne mikroskopy optyczne. Fale de Brogliea i model Bohra budowy atomu wodoru Przypomnijmy drugi postulat Bohra, który mówił, że elektrony mogą się poruszać tylko po takich orbitach, dla których ich orbitalny moment pędu jest równy całkowitej wielokrotności h : h me v r n (0.1) Zgodnie z hipotezą de Brogilea elektronowi poruszającemu się po takiej orbicie elektronowej można przypisać długość fali h e. Wówczas zależność 0.1 można zapisać w postaci: m v e r n e (0.), gdzie r oznacza promień dozwolonej orbity elektronowej, n jest liczbą całkowitą, zaś λe jest długością fali de Brogliea elektronu. W atomie wodoru dozwolone są tylko takie orbity, na obwodzie których może się zmieścić całkowita wielokrotność długości fal de Bogliea elektronów. Strona 186

187 Możemy również powiedzieć, że z elektronem znajdującym się na orbicie elektronowej (elektron związany) związana jest fala stojąca. W przypadku elektronów swobodnych natomiast, będziemy mieli do czynienia z falami biegnącymi. Prawdopodobieństwo i niepewność - zasada nieoznaczoności Heisenberga W klasycznej mechanice Newtonowskiej cząsteczki traktowaliśmy jako obiekty punktowe a ich ruch opisywaliśmy podając trzy współrzędne przestrzenne położenia oraz trzy składowe wektora prędkości. Żeby wyznaczyć położenie obiektu w kolejnej chwili czasu niezbędne jest przy tym wyznaczenie wszystkich tych wielkości dowolnie dokładnie. W przypadku jednak, gdy zaczynamy rozważać odpowiednio małą skalę pojawiają się podstawowe ograniczenia w precyzji wyznaczenia położenia i prędkości. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej brak możliwości przeprowadzenia pomiarów z dowolną dokładnością nie jest wyłącznie wynikiem nieodpowiedniej dokładności urządzeń pomiarowych a w istocie jest nieodłączna cechą otaczającego nas świata. Po pierwsze istnieje interakcja pomiędzy badanym obiektem a badającym go urządzeniem. Czyli nie jest możliwe przeprowadzenie pomiaru jakiegoś obiektu bez zaburzenia jego ruchu przynajmniej w małym stopniu. Jako przykład rozważmy piłkę pingpongową poruszającą się w całkowicie ciemnym pomieszczeniu. Żeby określić jej położenie możemy spróbować dotknąć jej ręką, ale wówczas niewątpliwie wpłyniemy na jej ruch zatrzymamy ją albo odbije się od naszej ręki. Ten sam efekt wpływania na ruch piłki, choć w znacznie mniejszym stopniu, wystąpi również, gdy użyjemy światła do oświetlenia piłki i w ten sposób wyznaczymy jej położenie. Żeby zauważyć piłkę przynajmniej jeden foton musi się od niej odbić. Pęd pojedynczego fotonu jest znacznie mniejszy niż pęd piłeczki pingpongowej i podczas tego zderzenia ruch piłeczki nie ulegnie zmianie. Ale kiedy Strona 187

188 będziemy badać znacznie mniejszy obiekt np. elektron, to wówczas zderzenie z fotonem może wywierać znaczący wpływ na jego ruch. Drugim czynnikiem wpływającym na dokładność przeprowadzanych pomiarów jest dualna korpuskularnofalowa natura materii. Rozpatrzmy teraz elektron, którego ruch będziemy chcieli zbadać za pomocą fotonów. Zgodnie z rozważaniami przeprowadzonymi w rozdziale 16 (optyka falowa) wiemy, że nie da się rozróżnić szczegółów obiektu mniejszych niż długość fali stosowanego promieniowania. W związku z tym, żeby określić położenie badanego przez nas obiektu (elektronu) z jak największą dokładnością należy użyć promieniowania o jak najmniejszej długości fali. Ale fali o małej długości odpowiadać będzie duża wartość pędu (p = h/λ), która może być przekazana elektronowi podczas pomiaru. Jeżeli jednak pomiaru dokonamy za pomocą fotonów o małym pędzie, czyli dużej długości fali de Brogliea, to wprawdzie ich oddziaływanie na badany obiekt będzie małe, ale niestety również położenie elektronu określone będzie mało precyzyjnie. Przedstawione powyżej rozumowanie pokazuje, że niepewność określenia położenia (Δx) i pędu (Δp x ) obiektu są ze sobą powiązane, co jest treścią zasady nieoznaczoności Heisenberga: Położenie i pęd cząstki nie mogą być jednocześnie określone z dowolną dokładnością. Im mniejsza jest niepewność (nieoznaczoność) położenia cząstki tym większa jest nieokreśloność (nieoznaczoność) jej pędu. x p (0.3) x Przypomnijmy, że stosowany w mechanice kwantowej symbol ħ (h kreślone) oznacza stała równą: h. W trójwymiarowym przypadku powyższą nierówność należy napisać dla każdej współrzędnej: Strona 188

189 x px y p y z p z (0.4) Przykład: Należy zaznaczyć przy tym, że zasada nieoznaczoności Heisenberga nie odnosi się do iloczynów mieszanych np. x p y. Współrzędną x położenia obiektu oraz jego pęd wzdłuż osi y możemy wyznaczyć jednocześnie z dowolną dokładnością. Rozpatrzmy piłkę o masie m = 150 g poruszającą się z prędkością v = 30 m/s (około 100 km/h). Jeżeli założymy, że prędkość tę możemy zmierzyć z dokładnością Δv = 1 m/s, to nieoznaczoność pędu tej piłki wynosi Δp = 0.15 kg m/s. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga położenia tej piłki nie możemy określić z dokładnością większą niż: Js x kgm p s 34 m (0.5) Wyznaczona przez nas wartość jest prawie 0 rzędów wielkości mniejsza niż rozmiar jądra atomowego. Zasada nieoznaczoności jest spełniona dla wszystkich ciał, ale jej rozważanie dla obiektów makroskopowych nie ma sensu. Zasada nieoznaczoności Heisenberga odnosi się również do czasu i energii: E t (0.6), gdzie ΔE oznacza nieoznaczoność wyznaczenia energii cząstki (np. elektronu na orbicie w atomie), zaś Δt ma sens czasu życia cząstki na danym poziomie energetycznym. Jeżeli zatem rozpatrzymy stan podstawowy elektronu, na którym elektron przebywać będzie nieskończenie długo, t, to jego energia może być wyznaczona dokładnie ΔE = 0 (ostry poziom energetyczny). Wzbudzone poziomy energetyczne, które są Strona 189

190 metastabilne, zgodnie z powyższą zależnością ulegają rozmyciu energia może być określona z pewną niejednoznacznością. Zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga, jeżeli potraktujemy elektron (w ogólności materię) jako cząstkę materii, to wtedy nie będziemy mogli jednocześnie jednoznacznie określić jego położenia oraz pędu. Warto też zaznaczyć, że w klasycznej mechanice Newtonowskiej mówimy o determinizmie jeżeli znamy warunki początkowe (położenie oraz prędkości) oraz wypadkową siłę działającą na elektron to możemy jednoznacznie wyznaczyć jakie będą kolejne jego położenia. Wedle mechaniki kwantowej natomiast istnieją różne prawdopodobieństwa, że elektron ten dotrze do różnych punktów przestrzeni a więc zachowanie elektronu jest nieprzewidywalne. Jeżeli zasady mechaniki kwantowej zastosujemy do obiektów makroświata, np. dla piłki rzuconej poziomo w polu grawitacyjnym Ziemi, otrzymamy bardzo duże prawdopodobieństwo, że będzie się ona poruszała dobrze znanym torem parabolicznym. Ale według mechaniki kwantowej nie mamy jednak pewności takiego zachowania istnieje niezwykle małe, bliskie zera prawdopodobieństwo odchyleń jej ruchu od toru parabolicznego. 0.. Funkcja falowa i równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak pokazaliśmy w poprzednim rozdziale w skali mikroświata wszelkie pomiary wprowadzają niekontrolowane zakłócenia tak wielkie, że nie jest możliwe dokładne określenie stanu układu, tj. wartości położenia i pędu. Okazuje się, że wiele właściwości takich małych obiektów może być wówczas opisane jedynie za pomocą prawdopodobieństwa. W poprzednich rozdziałach fale mechaniczne np. falę na wodzie opisywaliśmy podając wychylenie y (x,t) z położenia równowagi Strona 190

191 punku o współrzędnej x w chwili czasu t. Z kolei w przypadku fali elektromagnetycznej wyznaczamy wartość wektora natężenia pola elektrycznego E x, t w puncie x i w chwili t. W ogólności moglibyśmy powiedzieć, że do opisu fali niezbędne jest określenie wartości pewnej funkcji falowej Ψ (y dla fali mechanicznej, E dla fali elektromagnetycznej) zależnej od położenia i czasu: Ψ Ψ r,t. W mechanice kwantowej mówimy o falach falach materii i do ich opisu stosować będziemy funkcję falową Ψ. Żeby wyjaśnić sens fizyczny takiej zespolonej funkcja falowa Ψ odnoszącej się do fal materii przypomnijmy sobie kilka informacji na temat korpuskularnych i falowych właściwości światła. W przypadku fali elektromagnetycznej jej funkcja falowa, E x, t, opisuje rozkład pola elektrycznego w przestrzeni i w czasie. W rozdziale 15 pokazaliśmy, że natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego I E. Mówiliśmy również, że natężenie światła jest proporcjonalne do liczby fotonów docierających w jednostce czasu do jednostkowej powierzchni. Można również powiedzieć, że natężenie światła jest proporcjonalne do prawdopodobieństwa znalezienia fotonu w pobliżu punktu (detektora). W przypadku fal materii sama w sobie funkcja falowa Ψ nie ma sensu fizycznego. Sens fizyczny ma natomiast, w analogii do fali elektromagnetycznej, kwadrat jej modułu Ψ. Kwadrat modułu funkcji falowej oznacza gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w określonym miejscu i czasie. Jest to tak zwana probabilistyczna interpretacja funkcji falowej zaproponowana w 197 roku przez Maxa Borna. Żeby wyznaczyć prawdopodobieństwo P znalezienia w chwili t w objętości V cząstki opisywanej funkcją falową Ψ, należy gęstość prawdopodobieństwa scałkować po interesującym nas obszarze V: Strona 191

192 3, t r, t d r P V V Ψ (0.7), gdzie d 3 r oznacza całkowanie po trzech wymiarach przestrzeni dx, dy oraz dz. Należy przy tym pamiętać, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek jest 3 równe 1 ( Ψ r, t d r 1) co oznacza, że funkcja falowa jest unormowana. Funkcja falowa stanowi pełną informację o stanie układu kwantowego. Równanie Schrödingera Równanie Schrödingera jest fundamentalnym równaniem mechaniki kwantowej i pełni podobnie kluczową rolę jak zasady dynamiki Newtona w mechanice czy równania Maxwella w elektrodynamice. Rozwiązaniem tego równania jest funkcja falowa. Jak pokażemy później rozwiązanie równania Schrödingera, a więc wyznaczenie funkcji falowej, pozwala nam opisać i zrozumieć właściwości każdego układu kwantowo-mechanicznego np. atomów, cząstek, elektronów w ciałach stałych. Należy podkreślić, że równanie Schrödingera nie może być wyprowadzone a zostało zapostulowane w 196 roku przez Erwina Schrödingera i pełni rolę zasady fizycznej. Najprostszą formę równania Schrödingera otrzymujemy dla cząstki o masie m poruszającej się tylko w jednym wymiarze x w polu sił stacjonarnych (niezmiennych w czasie) wytwarzających potencjał U (x) niezależne od czasu równanie Schrödingera: d Ψ x U x Ψ x E Ψ x m dx (0.8), W ogólnej postaci potencjał sił, w jakim znajduje się cząstka może zmieniać się w czasie a ruch cząstki może odbywać się w Strona 19

193 trzech kierunkach. Otrzymujemy wówczas tzw. zależne od czasu równanie Schrödingera: Ψ r, t i Ψ r, t U x Ψ r, t (0.9), t m gdzie jest laplasjanem, czyli operatorem sumowania drugich pochodnych po współrzędnych: x y z Gdy energia potencjalna nie zależy od czasu to rozwiązanie równania Schrödingera można przedstawić jako iloczyn dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od położenia a druga tylko od czasu: i Ψ r, t r e (0.10), t W dalszej części skryptu poszukiwać będziemy tej składowej zależnej od współrzędnych r, pamiętając, że uzyskany wynik należy pomnożyć jeszcze przez część czasową i t e Rozwiązania równania Schrödingera dla wybranych potencjałów Należy podkreślić, że równanie Schrödingera pozwala opisać układy kwantowo-mechaniczne, ale analityczne jego rozwiązanie możliwe jest tylko w bardzo uproszczonych przypadkach. Szczegóły matematyczne rozwiązania można znaleźć w większości akademickich podręczników do fizyki np. Podstawy fizyki, W. Bogusz, J. Garbarczyk, F. Krok, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Podstawy Fizyki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, PWN. Strona 193

194 Potencjał stały Sposób rozwiązania równania Schrödingera, także dla uproszczonych układów wykracza poza ramy niniejszego skryptu. Skoncentrujemy się natomiast na ciekawych i ważnych wnioskach, które wynikają z tych rozwiązań. Cząstka znajdująca się w polu o stałym potencjale U (stałej energii potencjalnej) nie doznaje działania sił, jest więc cząstką swobodną. Wobec nieobecności sił cząstka nie będzie doznawała zmiany stanu ruchu. Jej prędkość i energia będą stałe. Energię potencjalną i potencjał U możemy wyznaczać względem takiego poziomu odniesienia, żeby można było przyjąć, że ten potencjał jest równy zeru. W efekcie równanie Schrödingera niezależne od czasu dla jednego wymiaru zapisać można w postaci: d x E x m dx (0.11) Próg potencjału Rozwiązaniem tego równania jest fala biegnąca: Strona 194 E Ψ x t A expi kx t, (0.1), gdzie liczba falowa k (lub moduł wektora falowego) w tym me przypadku wynosi: k. Rozważmy teraz cząstkę o energii E, która napotyka na swej drodze próg potencjału o wysokości V 0, przy czym energia cząstki jest większa niż wysokość progu E > V 0. Zauważmy, że klasyczna cząstka mająca taką energię kinetyczną pokonałaby z pewnością skok potencjału i dla niej współczynnik przejścia byłby równy jedności. Tymczasem rozwiązanie równania Schrödingera dla obszaru poniżej progu zawiera falę zarówno poruszająca się w kierunku progu jak i w przeciwnym (fala padająca i odbita). Oznacza to, że według mechaniki kwantowej istnieje pewne prawdopodobieństwo, że cząstki odbiją się od tego progu. Co jeszcze ciekawsze, cząstka kwantowa może ulec

195 odbiciu od progu potencjału, nawet jeżeli będzie z niego spadała. Z kolei dla E < V 0 klasyczna cząstka z pewnością odbiłaby się od progu. Dla cząstki kwantowej prawdopodobieństwo odbicia cząstki również równe jest jedności (jest pewne, że cząstka się odbije), ale to odbicie nie zachodzi dokładnie w punkcie gdzie znajduje się próg, jak dla cząstki klasycznej. Istnieje skończone prawdopodobieństwo znalezienia cząstki wewnątrz progu, które to prawdopodobieństwo maleje szybko z odległością. Jeśli zatem zamiast nieograniczonego przestrzennie progu potencjału mielibyśmy barierę potencjału o skończonej szerokości, to dla cząstki kwantowej o energii mniejszej od wysokości bariery będzie istniała szansa przejścia przez tę barierę. Bariera potencjału Rozpatrzmy barierę potencjału o wysokości V 0 i szerokości a, do której zbliża się cząstka kwantowa o energii mniejszej niż wysokość bariery, E < V 0. Podobnie jak w poprzednim przypadku rozwiązujemy równania Schrödingera dla każdego obszaru, a po uwzględnieniu warunków brzegowych (ciągłości funkcji falowej w całym obszarze) możemy wyznaczyć współczynnik przejścia przez taką prostokątną barierę potencjału: a 1 T exp mv E 0 (0.13), gdzie a oznacza szerokość bariery, V 0 jej wysokość zaś E jest energią cząstki, E < V 0. Przejście cząstki przez barierę potencjału przewyższającą energię cząstki nazywane jest efektem tunelowym. Efekt ten pozwala wyjaśnić naturę procesu promieniotwórczego rozpadu α, w tym także uzasadnić różną stabilność jąder atomowych, wyjaśnić działanie półprzewodnikowej diody tunelowej, nadprzewodnikowego złącza Josephsona, i in. Strona 195

196 Studnia potencjału Rozpatrzmy teraz jednowymiarową studnię potencjału o nieskończonej głębokości i szerokości a. Założymy, że energia potencjalna wewnątrz studni, tj. dla 0 < x < a jest równa zeru, a poza tym obszarem jest nieskończenie wielka. Klasyczna cząstka umieszczona w tej studni mogłaby spoczywać w dowolnym miejscu wewnątrz studni lub poruszać się z dowolną prędkością odbijając się sprężyście od ścianek studni. Zachowanie cząstki kwantowej opisane będzie funkcją falową postaci: x A sink x (0.14), gdzie A jest stałą, zaś liczba falowa k musi przyjmować takie wartości, żeby funkcja falowa wynosiła zero przy ściankach studni (warunki brzegowe). Z warunków brzegowych wynika więc, że dla prawej ścianki studni (dla x = a) argument funkcji sinus musi być równy całkowitej wielokrotności liczby π: ka n n k a a k n a n (0.15), Otrzymaliśmy w ten sposób, że wektor falowy a więc również funkcja falowa mogą przyjmować tylko dyskretne wartości zależą od liczby naturalnej n. Skwantowanie funkcji falowej wynika więc w naturalny sposób z rozwiązania równania Schrödingera z uwzględnieniem warunków brzegowych. Liczbę naturalną n będziemy nazywać liczbą kwantową. Funkcja falowa będąca rozwiązaniem jest w istocie falą stojącą dozwolone są tylko takie długości fali λ, że wewnątrz studni o szerokości a zmieści się całkowita wielokrotność połowy długości fali. Funkcje falowe oraz kwadraty modułu funkcji falowej (prawdopodobieństwo znalezienia cząstki) przedstawiono na Rysunku 0.1. Jak widać dla stanu n = 1 największe prawdopodobieństwo znalezienia cząstki kwantowej jest na środku studni, podczas gdy dla cząstki klasycznej każde położenie ma takie samo prawdopodobieństwo obsadzenia. Strona 196

197 Rysunek 0.1. Funkcje falowe oraz kwadraty modułów funkcji falowych dla nieskończonej studni potencjału. Wartości energii, jakie może przyjmować cząstka znajdująca się w nieskończonej studni potencjału wynoszą: E n n h 8ma n ma n 1,,3,... (0.16), W powyższym wzorze również występuje liczba kwantowa n, która może przyjmować tylko wartości całkowite 1,, 3. Zerowa wartość n = 0 nie jest dozwolona, gdyż wówczas funkcja falowa była by równa zeru w całej przestrzeni, co oznaczałoby brak cząstki. Tak więc, na podstawie rozwiązania równania Schrödingera dla cząstki znajdującej się w nieskończonej studni potencjału, otrzymaliśmy skwantowanie dozwolonych poziomów energetycznych (Rysunek 0.). Należy przy tym zwrócić uwagę, że według uzyskanego rozwiązania najmniejsza energia cząstki wcale nie jest równa zeru energia ta nazywana jest czasem energią drgań zerowych. Strona 197

198 Rysunek 0.. Funkcje falowe oraz poziomy energetyczne dla nieskończonej studni potencjału. Oscylator harmoniczny Zagadnienie kwantowego oscylatora harmonicznego jest ważne w teorii widm optycznych, drgań sieci krystalicznej i w teorii ciepła molowego ciał stałych. Oscylator harmoniczny (kwantowy) jest kolejnym przykładem cząstki kwantowej, która jest związana. Tym razem jednak cząstka nie znajduje się w nieskończonej studni potencjału o skończonej szerokości tylko w polu sił sprężystych. Na cząstkę wychyloną z położenia równowagi działać będzie siła F k x skierowana do położenia równowagi i proporcjonalna do tego wychylenia. Współczynnik k jest współczynnikiem sprężystości. Pole 1 potencjalne sprężystości opisane jest funkcją U x k x. Rozwiązanie równania Schrödingera dla oscylatora jest znacznie trudniejsze matematycznie niż w przypadku nieskończonej studni potencjału. Rozwiązanie to istnieje dla wartości energii E n spełniających warunek: E n Strona k 1 n n n 0,1,,... (0.17) m

199 Zaznaczmy, że w powyższym rozwiązaniu liczba kwantowa n może przyjmować wartości 0, 1,,. Z powyższego wzoru wynika, że zerowy poziom energii tzn. poziom dla n = 0 ma 1 wartość energii E h. Między poziomami 1 0 energetycznymi natomiast występuje stała różnica energii E h, dokładnie taka, jaką zapostulował Planck, żeby wyjaśnić zjawisko promieniowania ciała doskonale czarnego (Rozdział 18). Warto podkreślić, że typowe oddziaływania międzyatomowe dla niewielkich wychyleń z położeń równowagi mogą być opisane funkcją paraboliczną, a więc wówczas zależność 0.14 opisywać będzie skwantowanie energii atomów Kwantowy model atomu Model atomu wprowadzony przez Bohra (Rozdział 19.1) stanowił istotny postęp w stosunku do modelu Rutherforda. Niemożliwe było jednak dokładne obliczenie położenia linii widmowych w atomach wieloelektronowych, nie wyjaśniał również różnych natężeń promieniowania obserwowanych dla poszczególnych linii widmowych. Pełny opis konfiguracji elektronowej atomu stał się możliwy dopiero dzięki tak zwanej nowej teorii kwantowej, za twórców której uważa się Heisenberga i Schrödingera. Liczby kwantowe Przedstawione w poprzednim rozdziale rozwiązania równania Schrödingera dotyczyły uproszczonego jednowymiarowego modelu potencjału. W celu uzyskania rzeczywistego modelu atomu potencjał wytwarzany przez jądro atomowe należy opisać w przestrzeni trójwymiarowej we współrzędnych sferycznych. Rozwiązując równanie Schrödingera, zapisane w tym samym sferycznym układzie odniesienia, możemy wyznaczyć funkcje falowe elektronów okrążających jądro Strona 199

200 atomowe. Nie będziemy w tym miejscu przedstawiać szczegółowego zapisu rozwiązania takiego równania, koncentrować się natomiast będziemy na wnioskach wynikających z tego rozwiązania. Funkcja falowa, w sferycznym układzie współrzędnych, może być przedstawiona, jako iloczyn trzech funkcji zależnych tylko od poszczególnych współrzędnych tego sferycznego układu r,θ, R r Θ θ Φ. Podobnie jak to współrzędnych było w rozważanych wcześniej przypadkach jednowymiarowych poszukując rozwiązania równania Schrödingera dla każdej z tych funkcji (R, Θ, Φ) należy uwzględnić warunki brzegowe. W efekcie funkcja falowa zależeć będzie od pewnych liczb całkowitych, które będziemy nazywali liczbami kwantowymi. o Główna liczba kwantowa n (n = 1,, 3...) związana jest ze składową radialną R(r) funkcji falowej elektronu. Określa ona numer orbity (powłoki) elektronowej i kwantuje energię elektronu (zgodnie z zależnością 19.1). o Poboczna (lub orbitalna) liczba kwantowa (l = 0, 1,..., n 1) jest związana z wartością bezwzględną orbitalnego momentu pędu: L ll 1 Strona 00 Poboczna liczba kwantowa określa numer podpowłoki, na której znajduje się elektron. o Magnetyczna liczba kwantowa (m l = -l,..., -1, 0, 1,..., l) jest związana z przestrzenną orientacją wektora orbitalnego momentu pędu. Opisuje ona rzut orbitalnego momentu pędu na wybraną oś: Lz = m ħ o Oprócz trzech powyższych liczb kwantowych związanych z funkcjami R, Θ, Φ, do opisu elektronów w atomie, niezbędna jest jeszcze jedna liczba kwantowa. Magnetyczna spinowa liczba kwantowa (ms = ½, ½) pokazuje, w którą stronę skierowany jest spin. Spin jest pewną stałą cechą danej cząstki elementarnej w przypadku elektronu wynosi on 1/. Spin jest związany z wewnętrznym momentem pędu i momentem magnetycznym elektronu.

201 Zasady obsadzania poziomów elektronowych Wypełnienie powłok elektronami (zwane również obsadzeniem) dla atomu danego pierwiastka następuje według następujących zasad: Jako pierwsze obsadzane są poziomy o mniejszej energii. Obsadzenie dla całego atomu reprezentuje stan o najniższej możliwej energii potencjalnej. W atomie żadne dwa elektrony nie mogą mieć tej samej czwórki liczb kwantowych: n, l, m l, ms. Zasada ta nazywana jest zakazem Pauliego. Należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakt, że energia danego elektronu zależy nie tylko od głównej liczby kwantowej n, ale częściowo również od pobocznej liczby kwantowej l. Rysunek 0.3. Diagram obrazujący kolejność obsadzania poszczególnych podpowłok elektronowych. Strona 01

202 Dla małej wartości l orbity mogą przybierać kształt eliptyczny. W takim przypadku elektron może w trakcie swojego obiegu dookoła jądra znajdować się (średnio) bliżej, niż elektrony z niższej powłoki, ale o dużej wartości liczby pobocznej l. Elektron taki doznaje mniejszego ekranowania ze strony elektronów znajdujących się na niższych powłokach, zatem stan o wysokiej liczbie n i małej l może mieć niższą energię od stanu o mniejszej n i dużej l (Rysunek 0.3). Zjawisko to nazywane jest efektem przesłaniania. Tabela 0.1 Liczby kwantowe określające możliwe stany elektronów na drugiej powłoce. N L m l m s 0 0 ½ 0 0 ½ 1-1 ½ 1-1 ½ 1 0 ½ 1 0 ½ 1 1 ½ 1 1 ½ Policzmy teraz, ile elektronów może znaleźć się na poszczególnych powłokach. Dla powłoki o n = 1 mamy l = 0, m l = 0 i dwie wartości spinu (ms = ½, ½) zatem na powłoce tej mogą znajdować się maksymalnie dwa elektrony. Na kolejnej powłoce o n = możemy mieć dwie wartości liczby pobocznej l (l = 0 lub l = 1). Dla l = 0 mamy jedną wartość liczby m l = 0. Zatem w stanie o n =, l = 0 mogą znajdować się dwa elektrony, różniące się od siebie wartością magnetycznej spinowej liczby kwantowej. Dla l = 1 możemy mieć trzy wartości liczby magnetycznej m l = 1, 0 lub 1. Biorąc pod uwagę magnetyczną spinową liczbę kwantową, w stanie o n = i l = 1 może znajdować się sześć elektronów. Suma możliwych obsadzeń na drugiej powłoce wynosi zatem 8. Wartości liczb kwantowych dla poszczególnych stanów przedstawia Tabela 0.1. Podobne rozważania moglibyśmy przeprowadzić dla powłok o wyższych wartościach głównej liczby kwantowej. Dla każdej powłoki n liczba kwantowa l może przyjmować n wartości, a dla każdej wartości l mamy l+1 wartości m. Dla Strona 0

203 n = 3 otrzymalibyśmy 18 możliwych stanów a dla n = 4 liczba stanów wynosi 36. Można zatem podać ogólny wzór na liczbę elektronów xn na powłoce n: x n n (0.18) Przyjęto stosować oznaczenia literowe K, L, M, N, O, P, Q dla liczb kwantowych n = 1,, 3, 4, 5, 6, 7 odpowiednio. Z kolei liczbom l = 0, 1,, 3, 4, 5, 6 odpowiadają oznaczenia literowe s, p, d, f, g, h, i. Do zapisu konfiguracji elektronowej atomu danego pierwiastka za pomocą tych oznaczeń stosuje się następującą konwencję: podajemy (liczbowo) główną liczbę kwantową za nią zapisujemy (literowo) poboczną liczbę kwantową w indeksie górnym zapisujemy liczbę elektronów, które znajdują się w stanie określonym przez dwie podane uprzednio liczby kwantowe. Jako przykład podajmy konfigurację elektronową argonu Ar. Liczba atomowa Z wynosi w tym przypadku 18, zatem pierwiastek ten posiada 18 elektronów. Zapis ma postać: 6 6 1s s p 3s 3p (0.19), co oznacza, że dwa elektrony znajdują się w stanie o n = 1 i l = 0 (1s ), dwa w stanie o n = i l = 0 (s ), sześć w stanie o n = i l = 1 (p 6 ), dwa w stanie o n = 3 i l = 0 (3s ) oraz sześć w stanie o n = 3 i l = 1 (p 6 ). Dla porównania zapis konfiguracji elektronowej srebra (Z = 47) ma postać: 1s s p 6 3s 3p 6 3d 10 4s 4p 6 4d 10 5s 1 Orbitale Jak już wielokrotnie wspominaliśmy kwadrat modułu funkcji falowej elektronu określa prawdopodobieństwo znalezienia tego elektronu w danym punkcie przestrzeni. Rozwiązując równanie Schrödingera dla elektronów w atomie wyznaczamy więc przestrzenny rozkład prawdopodobieństwa znalezienia elektronu w pobliżu jądra atomowego. Obszary o dużej gęstości Strona 03

204 prawdopodobieństwa tworzą tzw. orbitale atomowe. Kształt orbitali zależy od wartości liczb kwantowych n, l, m l. Kształt ten ma duże znaczenie dla tworzenia się wiązań chemicznych, a w konsekwencji kształtu cząsteczek chemicznych. Dla przykładu rozpatrzmy elektron w stanie podstawowym atomu wodoru (n = 1, l = 0, m l = 0). Funkcja falowa w takim stanie kwantowym ma tylko składową radialną. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa (Rysunek 0.4) posiada maksimum dla odległości a 0 równej promieniowi Bohra (Wzór 19.11). Tak więc, według mechaniki kwantowej, nie możemy jednoznacznie określić położenia elektronu istnieje pewne prawdopodobieństwo zarówno znalezienia elektronu bardzo blisko jak i bardzo daleko od jądra atomowego, ale największe prawdopodobieństwo otrzymujemy dla odległości równej kołowej orbicie modelu Bohra. Rysunek 0.4. Rozkład radialnej gęstości prawdopodobieństwa dla stanu podstawowego atomu wodoru. Rozszczepienie linii widmowych Istnieje szereg bezpośrednich dowodów doświadczalnych potwierdzających słuszność modelu kwantowego. Zależność energii elektronu nie tylko od liczby głównej n, ale również od pobocznej liczby kwantowej l jest wyraźnie widoczna w układzie linii emisyjnych poszczególnych pierwiastków. Istnienie magnetycznej spinowej liczby kwantowej jest z kolei manifestowane w tak zwanej strukturze subtelnej widma promieniowania. Obserwuje się rozszczepienie linii Strona 04

205 widmowych, czyli zamiast pojedynczej linii obserwujemy dwie linie położone bardzo blisko siebie, które jest związane z tak zwanym oddziaływaniem spin orbita. Względne ustawienie spinowego i orbitalnego momentu magnetycznego elektronu wpływa na niewielką zmianę całkowitej energii elektronu znajdującego się w stanie kwantowym n i l. Takie rozszczepienie linii obserwowane np. w liniach emisyjnych sodu (przejście ze stanu 4s do 3p) w zakresie światła widzialnego. W zewnętrznym polu magnetycznym energia elektronu zależy również od orbitalnej liczby magnetycznej m l. Zatem po umieszczeniu atomów w polu magnetycznym obserwuje się rozszczepienie poziomów energetycznych elektronów i dodatkowe linie widmowych (zjawisko Zeemana). Strona 05

206 1 Fizyka ciała stałego W tym rozdziale: o o o o o Wiązania chemiczne w ciele stałym Struktura krystaliczna ciał stałych Model pasmowy ciał stałych, energia Fermiego Urządzenia półprzewodnikowe Lasery Strona 06

207 Fizyka ciała stałego W poprzednich rozdziałach podręcznika opisywaliśmy już, że atom składa się z jądra atomowego i poruszających się wokół niego elektronów. W tym rozdziale zajmiemy się właściwościami ciał stałych jako układów wielu atomów. Poznamy ich strukturę oraz dowiemy się, jakie są ich właściwości elektryczne. Temu ostatniemu zagadnieniu poświęcimy szczególną uwagę, ponieważ właściwości te wykorzystywane są w różnorodnych urządzeniach elektrycznych i elektronicznych np. tranzystorach, diodach, termoparach, laserach, ogniwach elektrochemicznych. Warto zaznaczyć, że chociaż trudno wyobrazić sobie funkcjonowanie nowoczesnego społeczeństwa bez tych urządzeń to historia większości z nich sięga zaledwie kilkudziesięciu lat. Przypomnijmy, że cechy charakterystyczne ciała stałego definiowaliśmy w Rozdziale 7. Mówiliśmy wówczas, że ciało stałe charakteryzuje się ustalonym kształtem i objętością a oddziaływania między atomami powodują, że ciała stałe odkształcają się sprężyście pod wpływem naprężenia. Atomy w ciele stałym ułożone są regularnie tworząc strukturę krystaliczną, z uporządkowaniem dalekiego zasięgu Wiązania chemiczne Wszystkie atomy dążą do uzyskania stanu o minimalnej energii. W przypadku gazów szlachetnych powłoki elektronowe są całkowicie zapełnione a taka struktura elektronowa charakteryzuje się najniższą energią. W przypadku pozostałych atomów to liczba elektronów na ostatniej powłoce elektronowej elektronów walencyjnych jest czynnikiem decydującym o właściwościach fizycznych i chemicznych pierwiastków. Jeśli ostatnia powłoka jest zapełniona w niewielkim stopniu, dążąc do minimalizacji energii, atom będzie chętnie oddawał elektrony. Jeśli natomiast do zapełnienia powłoki brakuje Strona 07

208 jednego lub dwóch elektronów, atom będzie chętnie przyjmował elektrony by zapełnić tę powłokę elektronową i w ten sposób obniżyć swoją całkowitą energię. Miarą zdolności atomu do przyciągania elektronu jest jego elektroujemność lub powinowactwo elektronowe. Zgodnie z tymi stwierdzeniami pierwiastki posiadające niedobór elektronów będą miały dużą elektroujemność, a pierwiastki posiadające nadmiar elektronów małą elektroujemność. Przekazanie elektronu z jednego atomu do drugiego np. elektronu atomu sodu (Na) do atomu chloru (Cl), może być korzystne energetycznie dla obu atomów. Mechanizm taki jest podstawą tworzenia wiązań chemicznych typu jonowego i metalicznego. Wiązania te są stosunkowo silne a związki chemiczne, w których występują takie wiązania charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, co oznacza, że rozdzielenie atomów wymaga dostarczenia dużej energii termicznej. Między atomami mogą występować również siły oddziaływania elektrostatycznego niezwiązane bezpośrednio ze zmianą obsadzenia poziomów elektronowych atomu w ten sposób powstają wiązania van der Waalsa. Wiązania te są słabsze, a struktury oparte na nich z reguły ulegają stopieniu w stosunkowo niskich temperaturach. W krystalicznych ciałach stałych na ogół występuje kilka rodzajów wiązań chemicznych. W takim przypadku mówimy, że wiązania maja charakter mieszany. Potencjał wiązania Energia jonu w sieci zależeć będzie od oddziaływań wszystkich jonów na ten wybrany jon. Kształt krzywej potencjału zależy od typu wiązania i struktury krystalicznej kryształów, jednak zawsze możemy wyróżnić w nim część związaną z oddziaływaniami przyciągającymi (odpowiadającymi za tworzenie wiązania) i odpychającymi (Rysunek 1.1.). Strona 08

209 Rysunek 1.1. Schematyczny wykres potencjału oddziaływania jonów. Zaznaczono potencjał związany z siłami przyciągającymi, odpychającymi i odległość równowagową r 0 odpowiadającą długości wiązania. Te ostatnie powstają, kiedy atomy zbliżają się do siebie na tyle blisko, że funkcje falowe elektronów zaczynają się nakładać. Ponieważ zgodnie z zakazem Pauliego elektrony o takich samych liczbach kwantowych nie mogą znajdować się obok siebie powstają silne oddziaływania odpychające. Długość wiązania wyznacza odległość między atomami w krysztale, dla której siły przyciągające są równoważone przez odpychające (r 0 na Rysunku 1.1.). W odległości równowagowej atomy znajdują się w minimum potencjału. Zerwanie wiązania chemicznego i swobodny ruch jonu następuje, gdy do układu dostarczona zostaje energia, np. termiczna, większa od minimum potencjału oddziaływania. Dlatego też na podstawie wartości temperatury topnienia można oszacować energię wiązania materiału. Strona 09

210 Wiązanie jonowe Wiązanie jonowe występuje pomiędzy pierwiastkiem o właściwościach metalicznych (o małej elektroujemności) i pierwiastkiem niemetalicznym (o dużej elektroujemności). Rysunek 1.. Schemat struktury przestrzennej a) i powstawania pęknięć pod wpływem naprężeń b) dla kryształu jonowego typu NaCl. Przekazanie elektronu walencyjnego z atomu metalu atomowi niemetalu jest korzystne energetycznie dla obu atomów. Atom metalu, pozbawiony elektronu uzyskuje ładunek dodatni staje się jonem dodatnim, czyli kationem. Atom niemetalu, który charakteryzować się będzie ładunkiem ujemnym, nazywać będziemy anionem. Wiązanie jonowe związane jest z siłami przyciągania elektrostatycznego pomiędzy powstałymi kationami i anionami. Jako przykłady związków, w których występuje wiązanie jonowe (kryształów jonowych), wymienić można chlorek sodu NaCl (sól kuchenną) lub fluorek potasu KF. Przykładowa struktura kryształu jonowego NaCl przedstawiona jest na Rysunku 1.a. Jony ułożone są naprzemiennie tak, że najbliżsi sąsiedzi danego jonu mają przeciwny znak ładunku niż jon. Kryształy jonowe charakteryzują się wysoką temperaturą topnienia, np. około Strona 10

211 800 O C dla chlorku sodu NaCl i 910 O C dla KF, co wskazuje na dużą siłę wiązania jonowego. Jednocześnie są one kruche i łatwo pękają. Jeżeli bowiem, pod wpływem dużego naprężenia, dwie sąsiadujące warstwy kryształu ulegną przesunięciu, naprzeciw siebie mogą znaleźć się jony nie przeciwnego, ale tego samego znaku (Rysunek 1.b). Wówczas warstwy będą się odpychać a w miejscu przesunięcia warstw nastąpi pęknięcie. Pomimo, że kryształy jonowe składają się z atomów obdarzonych ładunkiem, jony te nie mogą jednak przemieszczać się w strukturze. Brak swobodnych nośników ładunku powoduje, że kryształy jonowe są zatem izolatorami. Wiązanie kowalencyjne W przeciwieństwie do wiązania jonowego, w którym elektron ulegał całkowitemu przeniesieniu na sąsiadujący atom, w przypadku wiązania kowalencyjnego mamy do czynienia zawsze z parą elektronów ulokowanych pomiędzy atomami tworzącymi wiązanie ich funkcje falowe mają krótki zasięg. Elektrony te muszą mieć przeciwny spin, żeby, zgodnie z zakazem Pauliego, nie miały tego samego zestawu liczb kwantowych. W każdym wiązaniu mogą brać udział tylko dwa atomy, ale pomiędzy atomami mogą wielokrotnie występować wiązania tego typu na przykład w cząsteczce tlenu O występuje wiązanie podwójne a w cząsteczce azotu N wiązanie potrójne. Kolejną ważną cechą wiązań kowalencyjnych jest ich kierunkowość. Ułożenie przestrzenne atomów jest takie, żeby funkcje falowe elektronów tworzących wiązania przekrywały się w jak najmniejszym stopniu. Jeśli więc w cząsteczce występują dwa wiązania, atomy sąsiadujące ustawią się po przeciwnych stronach atomu centralnego i mówimy wówczas, że cząsteczki mają geometrię liniową. Jeśli centralny atom wiąże się z sąsiadami przez trzy wiązania kowalencyjne, najkorzystniejsze jest ich ustawienie w jednej płaszczyźnie względem siebie w ten sposób, że kąt między nimi będzie równy 10 O. Z taką konfiguracją mamy do czynienia w graficie. Atomy węgla tworzą warstwy o strukturze heksagonalnej typu Strona 11

212 plastra miodu. Warstwy te są bardzo wytrzymałe na rozciąganie, a na ich strukturze oparte są zaawansowane materiały technologiczne grafen oraz nanorurki węglowe. Natomiast pomiędzy sąsiednimi warstwami występują słabsze wiązania, ulegające łatwemu zerwaniu i dlatego grafit jest łatwo ścieralny. Z kolei, jeśli centralny atom wytwarza cztery wiązania kowalencyjne, utworzą one tetraedr. Taką strukturę ma m.in. diament, którego niezwykła twardość wynika zarówno z siły wiązań pomiędzy atomami węgla jak i geometrii struktury. Wiązania kowalencyjne są zwykle silne, a kryształy kowalencyjne mają wysoką temperaturę topnienia, która w przypadku diamentu przekracza 3500 O C. Warto zaznaczyć, że ten kierunkowy charakter wiązania ogranicza możliwość przemieszczanie się nośników ładunku i w efekcie materiały o wiązaniu kowalencyjnym są izolatorami lub półprzewodnikami. Wiązanie metaliczne Omawiając wiązanie jonowe wspominaliśmy już, że w przypadku atomów metali korzystne energetycznie jest oddanie elektronów znajdujących się na powłoce walencyjnej. Z kolei w przypadku wiązania kowalencyjnego, ze względu na krótki zasięg funkcji falowych elektronów, elektrony były zlokalizowane między atomami. Istotą wiązania metalicznego jest uwspólnianie elektronów walencyjnych między wszystkimi atomami w krysztale metalu. W przypadku wiązania metalicznego funkcje falowe elektronów walencyjnych mają szeroki zasięg. W efekcie elektrony te nie są zlokalizowane i mogą przemieszczać się swobodnie w strukturze materiału, tworząc tak zwany gaz elektronów swobodnych. Metale są zarówno dobrymi przewodnikami elektrycznymi, jak i przewodnikami ciepła, ponieważ elektrony nie tylko przenoszą ładunek elektryczny, ale także na skutek zderzeń przekazywana jest energia. Siła wiązania metalicznego zależy m.in. od liczby elektronów walencyjnych atomów oraz stopnia upakowania struktury. Typowym przykładem są tutaj metale z jednym elektronem Strona 1

213 walencyjnym (metale alkaliczne), które mają stosunkowo niskie temperatury topnienia nieprzekraczające 00 O C. W wielu metalach wiązania mają charakter mieszany, kowalencyjno-jonowy. Metale odkształcają się sprężyście, ale przy odpowiednio dużym naprężeniu mogą odkształcać się również plastycznie metale są kowalne. Pozbawione elektronów walencyjnych atomy (rdzenie atomowe) tworzą warstwy, które pod wpływem naprężenia mogą się przemieszczać bez powstania makroskopowych pęknięć, w czym wydatnie pomaga znajdujący się pomiędzy atomami gaz elektronów walencyjnych. Wiązanie wodorowe W przypadku, w którym atom wodoru jest związany z silnie elektroujemnym atomem wiązaniem kowalencyjnym, elektron należący do atomu wodoru zostaje prawie całkowicie przeniesiony na drugi atom. W efekcie atom wodoru staje się protonem i może przyciągać znajdujące się w pobliżu atomy naładowane ujemnie. Ze względu na niewielkie rozmiary protonu, oddziaływanie może zachodzić maksymalnie z dwoma takimi atomami. Wiązanie wodorowe jest znacznie słabsze niż wiązanie kowalencyjne i jest podstawowym typem oddziaływania występującego pomiędzy cząsteczkami wody, a także pojawia się w wielu związkach organicznych i strukturach biologicznych (oddziaływanie łańcuchów DNA). Powoduje także skłonność materiałów do tworzenia makrocząsteczek polimeryzacji. Szczególne właściwości wody, takie jak większa gęstość fazy ciekłej niż fazy stałej czy ujemny współczynnik rozszerzalności cieplnej fazy ciekłej w pobliżu temperatury topnienia, wynikają właśnie z właściwości wiązania wodorowego. Strona 13

214 Wiązanie van der Waalsa Fluktuacje ładunku w atomach i cząsteczkach mogą prowadzić do chwilowego powstania momentów dipolowych. Taki moment dipolowy, mimo że jest nietrwały, może oddziaływać na sąsiednie atomy lub cząsteczki indukując w nich moment dipolowy. W ten sposób atomy, które nie są trwałymi dipolami, oddziałują ze swoimi sąsiadami siłami oddziaływania elektrostatycznego. Oddziaływania takie, nazywane wiązaniem van der Waalsa występują dla wszystkich ciał stałych. Są jednak słabe i nie zawsze efekt z nimi związany jest dostrzegalny, ponieważ może łatwo zostać zdominowany przez wielokrotnie silniejsze oddziaływania innego typu. Z tego względu odgrywają ważną rolę przede wszystkim w przypadkach, kiedy niemożliwe jest utworzenie wiązań innego typu, czyli dla atomów o zamkniętych powłokach (gazów szlachetnych np. helu, argonu) oraz obojętnych cząsteczek. W tym drugim przypadku im większą będzie liczba elektronów tym większy będzie całkowity momentem dipolowy cząsteczki i w efekcie tym silniejsze staje się wiązanie van der Waalsa. 1.. Struktury krystaliczne Ważną cechą ciał stałych jest występowanie w nich uporządkowania dalekiego zasięgu. W kryształach atomy są rozmieszczone w regularnych odstępach tak, że znając położenie jednego z nich oraz strukturę sieci krystalicznej możemy dokładnie określić położenie wszystkich pozostałych. Rozpatrzmy prosty przykład podłogi, która została wyłożona prostokątnymi płytkami o identycznych wymiarach. Jeśli wyobrazimy sobie, że w narożach prostokątów znajdują się atomy, mamy przykład dwuwymiarowej sieci krystalicznej. Znając położenie jednego z naroży, wymiary płytki oraz kąt, pod jakim ułożony jest bok płytki do wyznaczonego kierunku możemy wyliczyć położenia wszystkich pozostałych naroży Strona 14

215 (atomów). Gdybyśmy ułożyli podłogę używając płytek o kształcie rombu, również moglibyśmy zastosować podobny opis. Jednak w tym przypadku oprócz wymiarów płytki musimy podać dodatkowo kąt tworzący rombu. Najmniejszy fragment sieci krystalicznej, za pomocą którego możemy odtworzyć całą strukturę będziemy nazywać komórką elementarną. Dla sieci krystalicznej dwuwymiarowej komórkę elementarną można opisać za pomocą dwóch wektorów skierowanych wzdłuż jej krawędzi, a i b (Rysunek 1.3). W podanym przykładzie komórką elementarną jest pojedyncza płytka. Naroża płytek będą odpowiadały węzłom sieci krystalicznej. Współrzędne węzłów sieci dwuwymiarowej, której komórka elementarna jest określona przez wektory a i b, możemy zapisać w następujący sposób: n a n b (1.1), r n 1 gdzie n 1 i n są liczbami całkowitymi, a długości wektorów a i b (a i b) są stałymi sieci. Rozpatrzmy teraz układ współrzędnych związany z komórką elementarną taki, że jednostki długości są równe stałym sieci a i b. Wówczas położenia węzłowe będą miały współrzędne (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) itd. Jeśli na środku rozpatrywanej płytki znajdować się będzie dekoracja, to jej współrzędne w tym układzie współrzędnych będą miały wartości (½,½) (Rysunek 1.3). W ten sposób możemy dokonać opisu struktury złożonej z wielu rodzajów atomów. Warto zaznaczyć, że przy takim zapisie atomy znajdujące się w położeniu węzłowym o współrzędnej 1 np. (1,0) czy (0,1) mogą być również opisane jako atomy o współrzędnej (0,0) w sąsiedniej komórce elementarnej. Strona 15

216 Rysunek 1.3. Sieć dwuwymiarowa prostokątna (z lewej), skośna (pośrodku) i prostokątna z atomami dwóch różnych typów w położeniach (0,0) i (½,½) (z prawej). Dla sieci prostokątnej zaznaczono komórkę elementarną. Należy pamiętać, że sieć krystaliczna stanowi jedynie geometryczny zapis struktury. W zapisie tym atomy nie muszą znajdować się w węzłach sieci, jednakże staramy się tak dobierać komórkę elementarną, aby opis struktury krystalicznej był jak najbardziej wygodny i jak najłatwiejszy w zapisie matematycznym. Dla struktury dwuwymiarowej złożonej z jednego rodzaju atomów opisu sieci krystalicznej możemy dokonać przy użyciu 5 typów sieci: kwadratowej, prostokątnej, ukośnokątnej (kąt między krawędziami komórki jest różny od 90º), prostokątnej centrowanej (jeden z atomów znajduje się na przecięciu przekątnych prostokąta) oraz heksagonalnej. W strukturach trójwymiarowych opis sieci krystalicznej jest nieco bardziej złożony. Komórkami elementarnymi są równoległościany. Do opisu komórki elementarnej potrzebne są długości trzech wektorów odpowiadających krawędziom równoległościanu (oznaczane umownie jako a, b, c ) oraz 3 kąty występujące pomiędzy nimi (oznaczane jako,, ). Podobnie jak w przypadku sieci dwuwymiarowych, aby ułatwić opis matematyczny sieci stosuje się komórki centrowane. Mogą to być komórki centrowane powierzchniowo (położenia na przekątnych ścianek) albo centrowane objętościowo (położenia na przecięciu głównych przekątnych bryły). Wszystkie możliwe trójwymiarowe struktury krystaliczne można opisać za pomocą Strona 16

217 14 typów sieci tak zwanych sieci Bravais. W niniejszym opracowaniu nie będziemy przedstawiać poszczególnych typów sieci a podamy jedynie kilka przykładów ważnych lub ciekawych z fizycznego punktu widzenia. Współczynnik upakowania Jednym z ważnych parametrów opisujących strukturę krystaliczną jest współczynnik upakowania oznaczany często jako APF od angielskiego Atomic Packing Factor. Jeśli atomy potraktujemy jako sztywne kule, to współczynnik upakowania możemy wyrazić jako stosunek objętości tych kul do objętości całego kryształu: APF V N A A A (1.) V K W powyższym wzorze VA oznacza objętość pojedynczego atomu, NA ilość atomów danego typu zawartą wewnątrz kryształu, a VK objętość całego kryształu. Współczynnik upakowania można wyliczyć również znając komórkę elementarną danej struktury. W tym celu należy określić, jaki wycinek kul reprezentujących atomy znajduje się wewnątrz komórki. Przyjmujemy przy tym założenie, że komórka elementarna zbudowana jest tak, by kule odpowiadające atomom mogły się stykać ze sobą, ale nie nakładać na siebie. Jako promień kul modelujących atomy przyjmuje się promień jonowy. Jest to odległość od środka atomu do zewnętrznych elektronów, wyznaczana na podstawie pomiarów struktur krystalicznych o wiązaniu typu jonowego, jakie tworzy atom danego pierwiastka. Promień jonowy uzyskujemy w tym przypadku poprzez uśrednienie danych uzyskanych na podstawie pomiarów wielu różnych struktur. W wielu przypadkach posługujemy się również promieniem van der Waalsa (odległością pomiędzy środkiem atomu a skrajem chmury elektronowej elektronów ostatniej powłoki). Maksymalny współczynnik upakowania jednakowych kul wynosi 0.74 i jest możliwy do osiągnięcia w dwóch strukturach: regularnej centrowanej powierzchniowo oraz w tak zwanej strukturze heksagonalnej gęstego upakowania (HCP). Strona 17

218 Rysunek Komórka elementarna struktury regularnej centrowanej powierzchniowo wypełniona ciasno upakowanymi kulami reprezentującymi atomy. Komórką elementarną struktury regularnej centrowanej powierzchniowo jest sześcian, a atomy umieszczone są w narożach i na przecięciu przekątnych ścian bocznych. Kule modelujące atomy stykają się ze sobą tak, że na przekątnej ściany o długości a znajdują się cztery promienie r kuli jak zaznaczono na Rysunku 1.4. Stąd możemy znaleźć zależność między promieniem kul atomowych i długością a boku sześcianu. Wówczas objętość komórki elementarnej wynosi: 3 4 r V K (1.3) Sprawdźmy teraz, ile pełnych kul mieści się w komórce elementarnej. Z kul znajdujących się na wierzchołkach tylko 1/8 każdej kuli znajduje się wewnątrz danej komórki reszta należy do sąsiednich komórek. Mamy 8 wierzchołków, czyli w komórce elementarnej mieści się 1 pełna kula narożna. Policzmy teraz atomy znajdujące się na ściankach: jest ich 6, a każda ścianka przecina kulę na pół zatem wewnątrz komórki mieści się 6/ kuli. Stąd możemy wyznaczyć współczynnik upakowania: Strona 18

219 4 3 r 1 3 APF r (1.4) Struktury gęstego upakowania Najwyższy współczynnik upakowania otrzymamy również dla heksagonalnej struktury gęstego upakowania. Jako model takiej struktury możemy rozpatrzeć układ jednakowych piłek. Pierwszą warstwę układamy tak, żeby w sąsiadujących rzędach środki piłek były ustawione naprzemiennie (warstwa A na Rysunku 1.5). Rysunek 1.5. Schemat ułożenia warstw w strukturze heksagonalnej gęstego upakowania (na górze) i regularnej centrowanej powierzchniowo (na dole). Kolejną warstwę nakładamy tak, by środki piłek znalazły się nad pustymi miejscami warstwy dolnej (warstwa B na Rysunku 1.5). Trzecią warstwę C układamy dokładnie nad warstwą A i otrzymujemy w ten sposób strukturę heksagonalną gęstego upakowania. Trzecią warstwę C kulek możemy umieścić również w taki sposób, że atomy C będą znajdowały się nad pustymi miejscami warstwy B, ale nie nad atomami warstwy A. Otrzymujemy w ten sposób strukturę regularną powierzchniowo centrowaną (Rysunek 1.5). Strukturę taką obserwuje się dla szeregu metali, np. złota, miedzi czy srebra. W metalach tych warstwy atomów Strona 19

220 stosunkowo łatwo przemieszczają się względem siebie się pod wpływem przyłożonego naprężenia. Istotne jest przy tym, że powstała w wyniku takiego przemieszczenia struktura nadal charakteryzuje się gęstym upakowaniem i niską energią. Dlatego też wspomniane metale stosunkowo łatwo ulegają odkształceniom plastycznym. W podobnej strukturze może krystalizować także żelazo w dobrze kowalnej fazie zwanej austenitem. Jeśli natomiast w wyniku przemian fazowych (obróbki termicznej) struktura będzie miała formę tzw. martenzytu, dla którego stopień upakowania jest mniejszy, otrzymamy materiał znacznie twardszy Model pasmowy ciał stałych Powstawanie pasm Zgodnie z zakazem Pauliego w atomie nie mogą znajdować się dwa elektrony w tym samym stanie kwantowym (o tym samym zestawie liczb kwantowych). Ze stanem kwantowym elektronu powiązana jest również energia tego elektronu w atomie. Kiedy zbliżamy do siebie atomy, funkcje falowe elektronów tych atomów zaczynają nachodzić na siebie. Aby nie doszło do złamania zakazu Pauliego, stany kwantowe elektronów muszą się zmienić a w konsekwencji energie elektronów muszą ulec zróżnicowaniu. W ten sposób dochodzi do rozszczepienia poziomów energetycznych. Zgodnie z powyższym rozumowaniem w cząsteczce dwuatomowej poziomów energetycznych, na których znajdują się elektrony będzie dwa razy więcej niż w pojedynczym atomie. W krysztale dochodzi do nakładania się funkcji falowych wielu elektronów. Zgodnie z powyższym rozumowaniem każdy z elektronów zajmuje poziom energetyczny o energii zbliżonej, ale różniącej się nieznacznie od pozostałych elektronów w krysztale. W ten sposób poziom energetyczny określany dla Strona 0

221 pojedynczego atomu w przypadku kryształu ulega rozszczepieniu na zestaw energii, które mogą przyjmować elektrony powstają pasma energetyczne. Jeśli mamy do czynienia z liczbą N sąsiadujących ze sobą atomów to nałożenie się funkcji falowych elektronów spowoduje, że poziomy energetyczne podpowłoki s ulegną rozszczepieniu na pasmo zawierające N poziomów. W analogiczny sposób z rozszczepienia podpowłoki p powstanie pasmo zawierające 6N poziomów a z podpowłoki d pasmo o 10N poziomów. Dla dużej liczby N rzędu liczby Avogadro pasmo energetyczne składa się będzie z tak wielu dyskretnych poziomów, że można przyjąć, że jest ono ciągłe. Na osi energii pasmo energetyczne charakteryzowane jest przez położenie (związane z położeniem pierwotnego poziomu energetycznego) oraz szerokość (określającą przedział wartości energii, jaką mogą mieć elektrony z danego pasma). Pasmo może być całkowicie zapełnione (wszystkie możliwe poziomy energii wchodzące w skład danego pasma są obsadzone), częściowo zapełnione (elektrony zajmują wtedy w ramach pasma poziomy o najniższej możliwej energii, przy czym dwa elektrony nie mogą zająć tego samego poziomu) lub nieobsadzone (żaden elektron nie posiada wystarczającej energii by znaleźć się na najniższym poziomie pasma). Pomiędzy pasmami, na osi energii, znajduje się zakres energii wzbronionych. Oznacza to, że elektrony nie mogą przyjmować energii z obszaru przerwy energetycznej. Energia Fermiego Wspominaliśmy już, że elektrony obsadzają poziomy energetyczne o najniższej możliwej energii, przy czym spełniona musi być zasada Pauliego i żadne dwa elektrony nie mogą być w tym samym stanie kwantowym. W temperaturze zera bezwzględnego, energię ostatniego obsadzonego poziomu energetycznego określamy mianem energii Fermiego - E F. W temperaturze wyższej od zera bezwzględnego elektrony posiadają dodatkową energię termiczną, dzięki której elektrony mogą obsadzać poziomy o energii wyższej niż energia Strona 1

222 Fermiego. Poziomy energetyczne mogą zmieniać przede wszystkim elektrony o energii bliskiej energii Fermiego, jeśli dostępne są niezapełnione poziomy energetyczne o odpowiedniej energii. Elektrony o energii znacznie mniejszej niż energia Fermiego, znajdujące się na dnie pasma przewodnictwa, do przeskoku na najbliższy nieobsadzony poziom energetyczny potrzebują energii znacznie większej niż energia drgań termicznych, dlatego przejścia takie nie są obserwowane. Poziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo nieobsadzone. Opisywane zmiany poziomów energetycznych elektronów w kryształach pod wpływem temperatury mają charakter statystyczny i dlatego w opisie tych zjawisk stosuje się pojęcia statystyczne jak na przykład prawdopodobieństwo obsadzenia. Dla poziomów energetycznych z dna pasma przewodnictwa prawdopodobieństwo obsadzenia wynosi 1 (są one zawsze obsadzone), ale dla poziomów bliskich energii Fermiego będzie zależeć od temperatury. Im wyższa temperatura, tym większa jest energia termiczna elektronów i tym większe jest prawdopodobieństwo obsadzenia poziomów powyżej energii Fermiego. Pamiętamy jednak, że poziomy, z których nastąpił przeskok pozostają chwilowo nieobsadzone, a więc wraz ze wzrostem temperatury zwiększać się będzie także prawdopodobieństwo wystąpienia poziomów nieobsadzonych poniżej energii Fermiego. Prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektrony poziomu o energii E w temperaturze T określa funkcja Fermiego-Diraca: f E 1 E E exp k BT F 1 (1.5), gdzie EF jest energią Fermiego. Kształt funkcji Fermiego- Diraca dla kilku temperatur przedstawiony jest na Rysunku 1.6. Funkcja ta przyjmuje wartość ½ dla energii Fermiego. W związku z tym dla temperatur wyższych od zera bezwzględnego energię Fermiego możemy zdefiniować, jako energię odpowiadającą poziomowi, prawdopodobieństwo obsadzenia którego wynosi ½. Ta definicja może być także stosowana w Strona

223 przypadku, kiedy pasmo jest całkowicie zapełnione, a pasmo o energii wyższej, oddzielone obszarem wzbronionym, całkowicie nieobsadzone. Rysunek 1.6. Wykres prawdopodobieństwa obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony dla różnych temperatur. E F oznacza energię Fermiego. Metale, półprzewodniki i izolatory W strukturze pasm energetycznych szczególną rolę odgrywa ostatnie (położone najwyżej na osi energii) obsadzone przez elektrony walencyjne pasmo walencyjne. Jeśli wszystkie poziomy tego pasma są obsadzone, w materiale brak jest swobodnych nośników ładunku. Aby elektron mógł stać się nośnikiem ładunku jego energia musiałaby ulec zmianie jednak ponieważ wszystkie poziomy energetyczne są już obsadzone, nie jest to możliwe. Kolejne, znajdujące się wyżej w skali energii, pasmo nazywane jest pasmem przewodnictwa. Elektrony, które znajdą się na jednym z poziomów energetycznych tego pasma są swobodnymi nośnikami ładunku. Jeśli elektron walencyjny znajdzie się w paśmie przewodnictwa, w paśmie walencyjnym wytwarza się pusty poziom, który również umożliwia transport ładunku elektrycznego pod wpływem zewnętrznego pola. Taki poziom Strona 3

224 nazywamy dziurą. Ładunek dziury jest identyczny, co do wartości, jak ładunek elektronu, ale ma przeciwny znak. Metale Pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa mogą być rozdzielone przerwą energetyczną, bądź mogą nakładać się na siebie. Jeśli pasma nie są rozdzielone obszarem wzbronionym, wszystkie elektrony walencyjne mogą uczestniczyć w transporcie ładunku. Taką strukturę pasm spotykamy w metalach. W materiałach tych liczba nośników ładunku jest stała, a ponieważ swobodne nośniki ładunku w wyższych temperaturach są silniej rozpraszane na drganiach sieci krystalicznej, to w efekcie ich przewodność elektryczna maleje ze wzrostem temperatury. Rysunek 1.7. Schemat układu pasm energetycznych dla metali, półprzewodników samoistnych oraz izolatorów. Izolatory W izolatorach i półprzewodnikach pomiędzy pasmem przewodnictwa i pasmem walencyjnym istnieje przerwa energetyczna. Prawdopodobieństwo przeskoku elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa zależy od jego energii, a więc w efekcie od temperatury. W temperaturze zera Strona 4

225 bezwzględnego przeskok taki nie jest możliwy. W temperaturach wyższych prawdopodobieństwo zależy od energii elektronu i szerokości przerwy wzbronionej. Im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo przeskoku, zatem tym więcej nośników ładunku pojawia się w paśmie przewodnictwa. Umownie przyjmuje się, że materiały, w których szerokość przerwy wzbronionej na skali energii wynosi powyżej 3 ev, nazywamy izolatorami. W temperaturze pokojowej prawdopodobieństwo przeskoku elektronu jest na tyle małe, że w materiałach tych istnieje niewiele swobodnych nośników ładunku i słabo przewodzą one prąd elektryczny. Półprzewodniki samoistne W półprzewodnikach szerokość przerwy wzbronionej jest mniejsza od umownej wartości 3 ev. W materiałach tych już w temperaturze pokojowej istnieje zauważalna ilość nośników ładunku w paśmie przewodnictwa. Przypomnijmy, że przeskok elektronu do pasma przewodnictwa oznacza również, że w pasmie walencyjnym pojawia się dziura elektronowa, która również może się przemieszczać jest więc drugim nośnikiem ładunku. Całkowitą przewodność półprzewodnika można zatem zapisać jako: σ n e n e (1.6), e e h gdzie n e oraz n h oznaczają koncentrację (liczbę nośników w jednostce objętości) odpowiednio elektronów oraz dziur, natomiast μ e oraz μ h ruchliwość elektronów i dziur odpowiednio. Nośniki ładunku powstające na skutek przeskoków termicznych elektronów noszą nazwę nośników samoistnych. Koncentracja swobodnych elektronów i dziur wzrasta wykładniczo z temperaturą: n e h Eg exp k B T ~ (1.7) Strona 5

226 We wzorze tym E g oznacza szerokość przerwy wzbronionej, a k B jest stałą Boltzmanna. Można w tym miejscu zauważyć, że skoro przeskok elektronu zawsze wytwarza dziurę wprowadzanie dwóch różnych koncentracji nośników wydaje się z pozoru zbędne. W dalszej części rozdziału przekonamy się jednak, że jest możliwe wytworzenie w materiale dodatkowych nośników tylko jednego rodzaju i wówczas powyższy zapis staje się uzasadniony. Wraz ze wzrostem temperatury przewodność półprzewodników wzrasta. Wykładniczy wzrost liczby nośników ładunku jest w tym przypadku znacznie silniejszy niż spadek ruchliwości wywołany drganiami sieci krystalicznej. W efekcie zależność temperaturowa przewodności ma charakter zbliżony do wykładniczego. Dla półprzewodników samoistnych energia Fermiego znajduje się w obszarze przerwy energetycznej w połowie odległości pomiędzy najwyższym poziomem pasma walencyjnego a najniższym poziomem pasma przewodnictwa. Półprzewodniki domieszkowane typu n Oprócz nośników samoistnych w półprzewodnikach mogą również istnieć intencjonalnie wytworzone nośniki ładunku. Powstają one w wyniku wbudowania w strukturę półprzewodnika atomów, które stają się źródłem swobodnych elektronów bądź dziur elektronowych. Proces taki nazywamy domieszkowaniem. Istotne jest przy tym, aby proces domieszkowania wpływał na koncentrację nośników nie zmieniając jednocześnie w zasadniczy sposób struktury krystalicznej półprzewodnika. W związku z tym ilość atomów domieszki powinna być nieduża. Wpływ domieszkowania na właściwości fizyczne, w tym także na strukturę pasmową półprzewodników omówimy na przykładzie krzemu. Krzem jest podstawowym półprzewodnikiem stosowanym we współczesnej elektronice. Znajduje się w IV grupie układu okresowego, zatem posiada 4 elektrony walencyjne. W czystym krzemie każdy atom jest związany z czterema sąsiadami wiązaniem kowalencyjnym. Jeśli w trakcie wzrostu kryształów krzemu dodamy niewielką Strona 6

227 ilość pierwiastka należącego do V grupy, na przykład fosfor, antymon, arsen lub bizmut, to atom tego pierwiastka ulegnie wbudowaniu w strukturę krystaliczną krzemu zamiast atomu krzemu. Cztery elektrony należące do atomu domieszki utworzą wiązania kowalencyjne z atomami krzemu. Piąty elektron walencyjny będzie natomiast słabo związany z atomem domieszki i może stać się swobodnym nośnikiem ładunku. Rysunek 1.8. Schemat układu pasm w półprzewodniku domieszkowanym typu n (z lewej) i typu p (z prawej) Energia jonizacji tego elektronu jest stosunkowo niewielka dla domieszkowania krzemu fosforem wynosi ona około ev. Dla porównania, szerokość przerwy energetycznej dla krzemu wynosi 1.1 ev. Na wykresie obrazującym układ pasm półprzewodnika domieszkowanego (Rysunek 1.8) występuje dodatkowy poziom energetyczny odpowiadający elektronom domieszki. Ponieważ atomy domieszki są rozmieszczone daleko od siebie, efekt nakładania się funkcji falowych pochodzących od ich elektronów można w tym przypadku zaniedbać nie obserwuje się rozszczepienia poziomu energetycznego związanego z domieszką. Poziom ten jest położony w obszarze przerwy energetycznej blisko dna pasma przewodnictwa Strona 7

228 odległość od dna pasma przewodnictwa odpowiada energii jonizacji. Domieszki, które stają się źródłem swobodnych elektronów w półprzewodniku nazywamy donorami. W półprzewodniku domieszkowanym donorami nośnikami większościowymi ładunku są elektrony a półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem typu n (ang. negative). Półprzewodniki domieszkowane typu p Atomy pierwiastków z III grupy np. bor, glin lub gal na powłoce walencyjnej posiadają trzy elektrony i w związku z tym mogą wytworzyć tylko trzy wiązania kowalencyjne. Energetycznie korzystnie jest jednak dla tych atomów przyjęcie dodatkowego elektronu i zapełnienie powłoki walencyjnej. W efekcie atomy domieszki trójwartościowej podstawione w miejsce krzemu będą się starały wychwycić elektron z sąsiadujących wiązań i uzupełnić swoje czwarte wiązanie. W ten sposób wytworzy jednak dziurę elektronową w innym miejscu sieci krystalicznej. Mechanizm ten może się powtarzać, a dziura elektronowa o ładunku dodatnim stanie się swobodnym nośnikiem ładunku i będzie przemieszczała się pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. W rozważanym przypadku domieszka o niższej wartościowości wprowadza dodatkowy poziom energetyczny, położony w obszarze przerwy energetycznej krzemu w pobliżu wierzchołka pasma walencyjnego. W przypadku galu (Ga) poziom ten ma energię o 0.06 ev większą niż wierzchołek pasma walencyjnego krzemu. Domieszki, które stają się źródłem dziur elektronowych w półprzewodniku nazywamy akceptorami. W półprzewodniku domieszkowanym akceptorami nośnikami większościowymi ładunku są dziury i półprzewodnik taki nazywamy typu p (ang. positive). Przewodność elektryczna półprzewodników Ponieważ domieszkowanie zmienia koncentrację nośników ładunku, więc zgodnie ze wzorem 1.6 wpływa na wartość przewodności elektrycznej. Przypomnijmy, że zgodnie ze wzorem 1.6 koncentracja nośników w pasmie przewodnictwa zmienia się wykładniczo z temperaturą. Ruchliwość nośników Strona 8

229 ładunku słabo zależy od temperatury, więc w efekcie zależność przewodności od temperatury można opisać zależnością: 0 exp k B T E a (1.8), gdzie E a oznacza energię aktywacji przewodnictwa i w przypadku półprzewodników samoistnych wynosi ona E a =E g /. Jeśli powyższą zależność zlogarytmujemy to otrzymujemy E równanie postaci a 1 ln ln 0. Z zależności tej wynika, T że na wykresie logarytmu przewodności w funkcji odwrotności temperatury (1/T) powinniśmy obserwować linie proste o kącie nachylenia zależnym od energii E a niezbędnej do wytworzenia swobodnych nośników. Jak pokazano na Rysunku 1.9 w przypadku półprzewodników domieszkowych obserwować będziemy dwa obszary liniowej zależności logarytmu przewodności od odwrotności temperatury. W niskich temperaturach (duże 1/T) źródłem nośników ładunku są atomy domieszki, a nachylenie prostej odpowiada energii potrzebnej do jonizacji lub przyłączenia elektronu atomu domieszki. Jeśli koncentracja atomów domieszki jest niewielka, w pewnej temperaturze może dojść do aktywacji wszystkich nośników domieszkowych i dalszy wzrost temperatury nie powoduje znaczącego wzrostu przewodności, a w niektórych przypadkach obserwuje się nawet jej nieznaczny spadek związany ze spadkiem ruchliwości nośników ładunku. W obszarze wysokich temperatur (małe wartości 1/T lewa strona wykresu) istotny staje się udział nośników samoistnych. Do ich aktywacji (wytworzenia) niezbędna jest wysoka temperatura (zależna od szerokości przerwy wzbronionej) i dlatego ich udział w przewodnictwie całkowitym zaczyna dominować dopiero w wysokich temperaturach. Należy jednocześnie pamiętać, że koncentracja nośników samoistnych może o wiele rzędów wielkości przekroczyć koncentrację nośników domieszkowych. Z tego względu w wysokich temperaturach na Rysunku 1.9 ponownie obserwujemy zależność liniową, a nachylenie prostej k B Strona 9

230 powiązane jest z wartością połowy szerokości przerwy energetycznej półprzewodnika. Rysunek 1.9. Zależność temperaturowa przewodności dla półprzewodnika domieszkowanego. Półprzewodniki domieszkowane są szeroko stosowane w elektronice. Kontrola procesu domieszkowania pozwala otrzymywać materiały o różnorodnych właściwościach, które powszechnie stosowane są w urządzeniach elektronicznych. Strona 30

231 1.4. Urządzenia półprzewodnikowe Złącze p-n W półprzewodnikowych urządzeniach elektronicznych wykorzystuje się półprzewodniki domieszkowane typu n i typu p oraz układy powstałe w wyniku ich połączenia. Podstawowym elementem jest tutaj złącze p-n, które powstaje, jeśli w jednym krysztale półprzewodnika wytworzymy sąsiadujące ze sobą obszary typu n i typu p. Schemat układu pasm energetycznych w obszarze takiego złącza p-n przedstawiony jest na Rysunku Przypomnijmy, że dla półprzewodnika typu p poziom Fermiego leży pomiędzy pasmem walencyjnym a poziomem domieszki, a dla półprzewodnika typu n pomiędzy dnem pasma przewodnictwa a pasmem domieszki. W obszarze złącza, w stanie równowagowym, energie Fermiego obu materiałów wyrównują się. W efekcie pasma walencyjne i przewodnictwa w obszarze złącza p-n ulegają zagięciu jak pokazano na Rysunku Rysunek Schemat układu pasm energetycznych na złączu p-n. Obszary oznaczone jako d n i d p odpowiadają strefom zubożonym. Strona 31

232 Rozważmy teraz jakościowo zjawiska fizyczne zachodzące w obszarze złącza p-n. W momencie wytworzenia złącza, część elektronów swobodnych znajdujących się w pobliżu złącza, po stronie n przejdą na stronę p. Po stronie p ulegać będą tak zwanej rekombinacji z dziurami zapełnią wolne poziomy, w których dotychczas znajdowały się dziury elektronowe. Przypomnijmy, że każdy z półprzewodników przed zetknięciem był obojętny elektrycznie. W wyniku przejścia elektronów z materiału typu n do p na pewnym obszarze półprzewodnika typu n występować będzie niedobór elektronów. W efekcie po stronie n złącza p-n obserwuje się dodatni potencjał elektryczny. Obszar uboższy w elektrony nazywamy strefą zubożoną (dn). Podobnie, w wyniku przejścia elektronów przez złącze p-n po stronie półprzewodnika typu p obserwować będziemy nadmiar elektronów albo innymi słowy niedobór nośników dziurowych. Powstanie tam więc również obszar zubożony (dp) charakteryzujący się potencjałem ujemnym. Występowanie stref zubożonych po obu stronach złącza i związana z nimi różnica potencjałów w znacznym stopniu ogranicza dalsze przechodzenie elektronów na stronę p oraz dalszą ich rekombinację prowadząc do wytworzenia się stanu równowagi. Zgodnie z powyższym rozumowaniem przedstawione na Rysunku 1.10 zagięcie pasm obrazuje zatem powstanie pewnej bariery potencjału, która utrudnia transport nośników ładunku przez złącze. Należy przy tym zaznaczyć, że pomimo istnienia takiej bariery potencjału część elektronów potrafi ją pokonać i ulega rekombinacji po stronie p. Prąd elektryczny związany z elektronami, które przechodzą z obszaru n do p nazywamy prądem rekombinacji. Jednocześnie obszarze typu p występują aktywowane termicznie przeskoki elektronów z pasma walencyjnego do przewodnictwa, w wyniku których generowane są nowe swobodne elektrony w pasmie przewodnictwa. Elektrony, znajdujące się w pobliżu złącza p-n są przyciągane przez dodatni potencjał strefy zubożonej po stronie n i przechodzą na tą stronę złącza a prąd elektryczny z tym związany nazywamy prądem generacji. W sytuacji równowagowej prąd rekombinacji płynący ze strony n na stronę p jest równy prądowi generacji płynącemu w przeciwną stronę. Podobne jak opisane powyżej mechanizmy rekombinacji i Strona 3

233 generacji elektronów obserwowane są również dla nośników dziurowych. Polaryzacja złącza p-n Przepływ elektronów ze strony n na stronę p złącza p-n będzie przebiegał łatwiej, jeżeli do złącza przyłożymy napięcie, które częściowo skompensuje barierę potencjału wytwarzaną przez strefę zubożoną. Aby tak się stało, biegun dodatni źródła musi być przyłożony do strony p, a ujemny do strony n złącza (Rysunek 1.11). Wówczas złącze p-n zaczyna przewodzić, gdyż wartość prądu rekombinacji wzrasta wykładniczo w funkcji przyłożonego napięcia U a wartość prądu generacji w ustalonej temperaturze nie ulega zmianie. Mówimy wówczas o polaryzacji złącza p-n w kierunku przewodzenia. Rysunek Schemat układu pasm dla złącza p-n spolaryzowanego w kierunku przewodzenia (z lewej) i w kierunku zaporowym (z prawej). Jeśli przyłożymy napięcie w przeciwną stronę, nośniki znajdujące się po stronie n, aby przejść na stronę p muszą pokonać jeszcze wyższą barierę potencjału, niż miało to miejsce w sytuacji równowagowej (Rysunek 1.11). Prąd rekombinacji jest wówczas mniejszy od prądu generacji i mówimy, że złącze p-n jest spolaryzowane w kierunku zaporowym. Złącze p-n ma zatem niesymetryczną charakterystykę napięciową i w związku z tym nazywane jest również diodą. Dla dodatniego napięcia przyłożonego do półprzewodnika typu p dobrze przewodzi prąd (kierunek przewodzenia), natomiast Strona 33

234 dla polaryzacji przeciwnej prąd płynący przez złącze jest bardzo mały (kierunek zaporowy). Rysunek 1.1. Charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego złącza typu p-n. Świecąca dioda półprzewodnikowa LED Spolaryzowanie diody w kierunku przewodzenia powoduje, że przez obszar złącza przepływają zarówno elektrony jak i dziury elektronowe. W obszarze złącza elektrony mogą ulegać rekombinacji. Zjawisko rekombinacji związane jest z przeskokiem elektronu z wyższego poziomu energetycznego na niższy nieobsadzony poziom, odpowiadający dziurze elektronowej. W wyniku przeskoku elektronu emitowany jest kwant światła o energii równej w przybliżeniu szerokości przerwy wzbronionej półprzewodnika. Ponieważ rekombinacji mogą ulegać elektrony znajdujące się na różnych poziomach energetycznych pasma przewodnictwa z dziurami elektronowymi znajdującymi się również na różnych poziomach energetycznych pasma walencyjnego, wiec w efekcie emitowane przez złącze promieniowanie nie jest ściśle monochromatyczne, ale ma zwykle pewien wąski zakres długości fali. Wykonując złącza p-n z różnych materiałów półprzewodnikowych o różnych przerwach wzbronionych możemy wytwarzać promieniowanie o różnych długościach fali a taką diodę świecącą nazywamy LED od angielskiego Light Emitting Diode. Po spolaryzowaniu diody w kierunku przewodzenia prąd narasta wykładniczo w funkcji przyłożonego napięcia U. Wykładniczo narastać również będzie prawdopodobieństwo Strona 34

235 Fotodiody rekombinacji a więc liczba fotonów emitowanych w jednostce czasu. Należy przy tym pamiętać, że przy przepływie zbyt dużego prądu ciepło wytworzone na bardzo cienkim obszarze złącza może doprowadzić do uszkodzenia diody. Dlatego nie należy przekraczać napięcia polaryzacji diody podanego przez producenta. Natężenie prądu zależy od szerokości bariery potencjału i dlatego diody wykonane z półprzewodników o szerszej przerwie energetycznej wymagają zwykle wyższego napięcia pracy. We współczesnych urządzeniach elektronicznych stosowanych jest wiele rodzajów diod świecących. Diody wykonane z półprzewodników o niewielkiej szerokości przerwy wzbronionej świecą w zakresie podczerwieni i są z powodzeniem wykorzystywane w pilotach sterujących urządzeniami elektronicznymi oraz kamerach termowizyjnych. Diody z zakresu światła widzialnego są wykorzystywane zarówno w panelach kontrolnych, jak i w ekranach świetlnych. Tak zwane diody białe często wykorzystują do emisji światła warstwę luminoforu. W diodach tych w złączu wytwarzane jest monochromatyczne promieniowanie o dużej energii fotonów, które w wyniku oddziaływania z warstwą luminoforu zamieniane na światło o szerokim zakresie widmowym (zakresie długości fali), które odbierane jest przez nasze oko jako światło białe. W celu uzyskania światła białego możliwe jest również złożenie trzech barw podstawowych światła widzialnego czerwonej, zielonej i niebieskiej. Warto podkreślić, że w przeciwieństwie do zwykłych żarówek diody świecące charakteryzują się wysoką sprawnością zamiany energii elektrycznej na energię emitowanego promieniowania. Ponadto diody charakteryzuje także długowieczność i odporność na niekorzystne warunki zewnętrzne i dlatego są chętnie wykorzystywane w oświetleniu pomieszczeń czy w przemyśle motoryzacyjnym. Złącze p-n może również działać jako element czuły na światło czyli tzw. fotodioda. W tym celu złącze p-n jest polaryzowane w kierunku zaporowym. Wówczas w obwodzie elektrycznym nie Strona 35

236 płynie prąd. Jednakże, w wyniku oświetlania diody foton może przekazać swoją energię elektronowi w paśmie walencyjnym, pozwalając mu na przeskok do pasma przewodnictwa. W obszarze typu p w pobliżu złącza powstaje wówczas para nośników elektron i dziura. Swobodny elektron jest przyciągany przez potencjał wytworzony w obszarze złącza i przechodzi ze strony p na stronę n. Zmierzony prąd, nazywany fotoprądem, zależeć będzie od natężenia padającego światła. Fotodiody są czułe na promieniowanie o energii większej niż szerokość przerwy energetycznej półprzewodnika. Ogniwa fotowoltaiczne Oddziaływanie fotonów z elektronami możemy wykorzystać nie tylko do detekcji promieniowania, ale również jako źródło energii elektrycznej. Foton zaabsorbowany w obszarze niespolaryzowanego złącza p-n powoduje wytworzenie prądu generacji związanego z przepływem elektronów ze strony p na stronę n. Powstaje w ten sposób różnica potencjałów, a więc foton ten przyczynia się do wytworzenia siły elektromotorycznej między stroną n (biegun ujemny), a stroną p (biegun dodatni) - tak zwanego fotoogniwa. Rysunek Schemat przekroju i działania fotoogniwa. W najczęściej stosowanych fotoogniwach opartych na polikrystalicznym krzemie na powierzchni ogniwa znajduje się Strona 36

237 warstwa antyodblaskowa, której zadaniem jest skierowanie jak największej ilości fotonów do warstw znajdujących się poniżej (Rysunek 1.13). Następnie fotony przechodzą przez cienką warstwę typu n i trafiają do znacznie grubszego obszaru typu p, w którym są absorbowane. Elektrony powstałe w wyniku absorpcji fotonów wędrują w kierunku złącza, z którego są zbierane przez rozmieszczone w równych odstępach metalowe elektrody. Nośniki dziurowe natomiast wędrują w kierunku znajdującej się pod obszarem typu p płaskiej elektrody metalowej. Sprawność konwersji energii słonecznej na elektryczną typowych fotoogniw krzemowych jest rzędu 5% a najwyższa uzyskana przekracza 40%. Masowość produkcji ogniw opartych na krzemie sprawia, że zaczynają one stanowić poważną alternatywę dla innych źródeł energii. Ogniwa słoneczne sprawdzają się w urządzeniach przenośnych o niewielkiej mocy, takich jak kalkulatory, lub w regionach, w których dostęp do innych źródeł energii jest utrudniony. Elektrownie oparte na fotoogniwach, tak zwane farmy słoneczne, buduje się w regionach o znacznym nasłonecznieniu. Ogniwa słoneczne stanowią także podstawowe źródło zasilania dla satelitów i stacji kosmicznych. Podstawową barierą w większym upowszechnieniu fotoogniw jest ich wciąż wysoka cena. Tranzystor Tranzystor jest elementem elektronicznym, składającym się z elementów półprzewodnikowych typu p i n (Rysunek 1.14) tak połączonych, że za pomocą przyłożenia potencjału do jednej z trzech elektrod możemy sterować przepływem nośników pomiędzy dwoma pozostałymi elektrodami. W zależności od znaku i wartości przyłożonego potencjału tranzystor może realizować różne funkcje np. działać jako wzmacniacz napięcia (o charakterystyce liniowej lub wykładniczej), lub jako sterowany przełącznik typu włącz-wyłącz. Warto zaznaczyć, że w tranzystorach typu MOSFET, którego schemat przedstawiony jest na Rysunku 1.14 obserwuje się zjawisko tunelowania elektronów przez cienką warstwę izolatora. Strona 37

238 Rysunek Schemat budowy tranzystora typu MOSFET Złącze metal-metal Napięcie kontaktowe Omawiając charakterystykę złącza p-n w półprzewodnikach pokazaliśmy, że w momencie zetknięcia ze sobą materiałów o różnej strukturze pasmowej następuje taki przepływ nośników, żeby poziomy Fermiego obu półprzewodników się wyrównały. Również w przypadku metali po zetknięciu ze sobą dwóch różnych metali, o różnej strukturze elektronowej, obserwować będziemy taki przepływ elektronów, żeby poziomy Fermiego w obu metalach się wyrównały (Rysunek 1.15). Przepływ elektronów z metalu, w którym energia Fermiego ma wyższą wartość (E F1 ) na stronę metalu, w którym energia Fermiego jest niższa (E F ) jest korzystne energetycznie. Elektrony z metalu 1 przeskakując na wcześniej nieobsadzone poziomy energetyczne metalu uzyskują niższą energię. W wyniku tego procesu energia Fermiego w pierwszym metalu ulega obniżeniu, zaś energia Fermiego w drugim metalu podnosi się, aż poziomy Fermiego w obu metalach wyrównają się. Jednak na skutek tego przepływu wytwarza się różnica potencjałów między materiałami metal, z którego elektrony wychodzą uzyskuje ładunek dodatni, a metal, na stronę którego przechodzą ujemny. Na diagramie obrazującym strukturę pasmową odpowiada to przesunięciu całego układu pasm w Strona 38

239 stronę wyższych energii po stronie metalu, dla którego wartość energii Fermiego była niższa (Rysunek 1.15). Rysunek Schemat układu pasm na złączu dwóch różnych metali: z lewej przez zetknięciem, z prawej w sytuacji równowagowej po zetknięciu. Termopara W stanie równowagi między metalami istnieje zarówno różnica potencjałów wynikająca z przejścia elektronów z jednego metalu do drugiego (nazywamy ją napięciem kontaktowym Galvaniego) jak i różnica potencjałów wynikająca z różnych wartości pracy wyjścia (nazywamy ją napięciem Volty) (Rysunek 1.15). Przypomnijmy, że praca wyjścia określa energię, jaka jest niezbędna, aby elektron mógł opuścić metal. Pracę wyjścia oznaczamy symbolem φ i wspominaliśmy już o niej, gdy omawialiśmy efekt fotoelektryczny zewnętrzny (Rozdział 18). Pracę wyjścia można również zdefiniować jako różnicę energii między poziomem Fermiego, a energią odpowiadającą krawędzi studni potencjału wytworzonej przez dodanie rdzenie atomowe. Przykładowe wartości pracy wyjścia wynoszą: dla litu.9 ev, cezu 1.8 ev a dla platyny 5.3 ev. W termoparach wykorzystywane jest zjawisko Seebecka, polegające na powstawaniu różnicy potencjałów pomiędzy dwoma punktami metalu znajdującymi się w różnych temperaturach. Nośniki z gorącego końca elementu metalowego, posiadające większą energię, migrują w kierunku zimnego końca. W efekcie pomiędzy tymi końcami metalu obserwuje się różnicę koncentracji nośników. Związana z nią różnica potencjałów, siła termoelektryczna, jest proporcjonalna do różnicy temperatur między badanymi punktami. Wartość różnicy potencjałów pomiędzy końcami drutu zależy także od Strona 39