229. Całki niewłaściwe Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej

Transkrypt

1 482 (c77) Całkowanie przez części Jeśli f i g są funkcjami bezwzględnie ciągłymi w przedziale ( a; ft)c 3}, a w przypadku, gdy przedział ten jest nieograniczony, funkcja fg ma wahanie skończone na tym przedziale, to b b j /U) gu) dx = f(b) g(b) - f(a) g(a) - f f{x) g'(x)dx a a D] Na mocy twierdzenia (E) Z 180 funkcja fg jest bezwzględnie ciągła w przedziale (c(\by i na mocy własności (c73) i (c74*) f(b) g(b) = f(a) g{a) + f (f(x) g(x)y a skąd otrzymujemy tezę, gdyż (f(x) g(x))' = f '(x) g(x) + f(x)g'(x) prawie wszędzie w przedziale (Ct\by, a na mocy własności (C37") funkcje f'g i fg' są prawie całkowalne na przedziale {a; by. b 229. Całki niewłaściwe Lebesgue'a w przestrzeni euklidesowej 31" Jak wynika z własności (c64) całka niewłaściwa Riemanna może być równa całce Lebesgue'a. Mogą jednak zaistnieć przypadki, gdy tak nie jest. Ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy obie całki f f + {x)dx i ff~(x)dx, gdzie f oznacza część dodatnią, a f~ część ujemną funkcji f, + są nieskończone, a mimo to całka niewłaściwa Riemanna funkcji f na przedziale istnieje. Całkę niewłaściwą Lebesgue'a definiuje się analogicznie jak całkę niewłaściwą Riemanna:

2 483 u r (*) h(x)dx>> lim ff(x)dx Sb Przy założeniu, że * fi f{x)dx jest całką właściwą Lebesgue'a, że istnieje powyższa granica i że nie istnieje całka właściwa Lebesgue'a a G dy ta ostatnia całka istnieje, równość (#) jest zagwarantowana na mocy własności (c 43). Twierdzenie () Gdy istnieje całka niewłaściwa Riemanna funkcji f na przedziale <a;6>c3l 7 z, to istnieje równa jej całka właściwa lub niewłaściwa Lebesgue'a funkcji f na przedziale <(2; 6}..5J Na mocy własności (c63) wynika z definicji całki niewłaściwej Lebesgue'a oraz własności (c43) Całki Lebesgue'a funkcji zespolonych W niniejszym wykładzie funkcjami zespolonymi będziemy nazywać funkcje o wartościach zespolonych określone w dowolnej przestrzen i X. Funkcję zespoloną f można będzie zatem pisać w postaci (i) r + LU gdzie r i u są funkcjami rzeczywistymi określonymi w przestrzen i X, a i = VZ\. Funkcję f będziemy nazywać skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje r,u są skończone, a ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy V \Hx)\<a

3 484 Z nierówności (ii) M lul U 7 =-1^77 I u wynika, że funkcja ^ jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje 1" l u są ograniczone. Przestrzeń wartości funkcji zespolonych skończonych,czyli przestrzeń wszystkich liczb zespolonych, będziemy - zgodnie z 6 - oznaczać symbolem 3. Jeśli do tej przestrzeni dołączymy jeszcze cztery elementy o + i oo, - oo + i <» ) oo - i oo t _ oo - i oo, otrzymaną w ten sposób przestrzeń będziemy oznaczać symbolem 3 0. Przestrzeń 3 będziemy rozpatrywać jako przestrzeń metryczną z metryką c(z ±,z 2 ) = z\ - & "j/^-jig) 2 + (.y ± -y 2 )' gdzie Z± = x± + iy l t z2 = X2 + i>y 2 e 3 Na mocy (ii) punkt a Q = XQ + i i / 0 e 3^ jest granicą funkcji zespolonej f = r + iu w punkcie Q e T, gdzie 7" jest dziedziną funkcji Z 1, wtedy i tylko wtedy, gdy Xn = lim r(t) = lim «( ) 0 0 i-* t0 t-*o Granicą dolną funkcji f= r + iu w punkcie ć Q e T będziemy nazywać liczbę zespoloną lim inf /Xt) lim inf r(t) + z lim inf u(t) i - t0 t +t0 i t 0 a granicą górną w punkcie t Q liczbę zespoloną lim sup f(i) lim sup r(i) + i lim sup v(t) *o t *-t0 t +t0 Pochodną funkcji f = r + iu nazywamy funkcję f'= r' + w'. Funkcję f = r + iu będziemy nazywać funkcją o wahaniu skończonym, gdy funkcje r i u są o wahaniu skończonym, a bezwzględnie ciągłą, gdy funkcje r i u są bezwzględnie ciągłe.

4 Będziemy przyjmować, że dla liczb zespolonych Jf^ + iy ^ i * 2 - x2 + iy2 M *l < *2 ^ ^i < X 2 ^1 < ^2 def *t < Z 2 ** X 1 <*2 Vi < ^2 w obec tego dla funkcji zespolonych zachowują swą ważność twierdzenia (B) i (D) Z 167, z tym,że w drugim z nich zamiast Si należy przyjąć 3 Zgodnie z podanymi wyżej określeniami dla funkcji zespolonych f zachowują swą ważność twierdzenia (D) Z 179 i twierdzenia ()- - (P) z 180. Funkcję zespoloną (i) będziemy nazywać mierzalną na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje r i u są mierzalne na zbiorze ^. nalogicznie, będziemy ją nazywać mierzalną ju na zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje r i U są mierzalne ^ na zbiorze Ą, w podobny sposób definiujemy funkcje zespolone mierzalne w_j3ensie Lebesgue'a na zbiorze i funkcje zespolone mierzalne w 8ensie Lebesgue'a. Definicję funkcji równoważnych na zbiorze przedłużamy na funkcje zespolone, a mianowicie funkcje zespolone i ^ 2 będziemy nazywać równoważnymi na zbiorze i pisać p pr w.4 def g? f±,f 2 s ą f u nkcjami mierzalnymi JU. na z lorze v \/ ( Bc ^ (^-^) = 0 Ą J&iO gdzie S jest 0 -cia- BeS łem przestrzeni ^, a ^ miarą w przestrzeni z miarą (Y, S» ^ ). Funkcje i równoważne na całej przestrzeni X będziemy nazywać po prostu równoważnymi. Ciąg (f v ) funkcji zespolonych będziemy nazywać zbieżnym w ustalonym sensie do funkcji zespolonej f, gdzie f = r + iu, f 1 = r i +iu 1, f 2 = a r 2 + il(nf'i wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (r n ) jest zbieżny do funkcji rzeczywistej r, a ciąg (u n ) do funkcji rzeczywistej V w tym samym sensie. Odnosi się to do zbieżności na zbiorze, zbieżności jednostajnej na zbiorze, zbieżności prawie wszędzie, zbieżności prawie jednostajnej, zbieżności według miary i zbieżności według dystrybuant. Całkę Lebesgue'a funkcji zespolonej (i) określamy wzorem 485

5 486 (iii) f fdfi frdfu + i Judii Funkcję zespoloną (i) będziemy nazywać całkowalną na zbiorze, gdy obie funkcje r i U są całkowalne na zbiorze, i prawie całkowalną na zbiorze, gdy obie funkcje r i u są prawie całkowalne na zbiorze. Własności całek Lebesgue'a podane w 225, 227 i jak wykażemy niżej - odnoszą się również do funkcji zespolonych poza przypadkami, gdy nie ma to sensu, jak np. we własności (c60), lub gdy nie ma potrzeby wprowadzać miar zespolonych, jak np. we własności (c54). le, zgodnie z wprowadzoną umową, nierówność fl <f2 w przypadku funkcji zespolonych pą ^4+ m llt ±» f 2 ~ r 2 + u *2 t dzie r w l' i' r v S 2' 2 ^ funkcjami rzeczywistymi, oznacza, że r l < r 2 "l < "2 a nierówność fl i f 2 analogicznie, że r i i r 2 U l < U 2 Zgodnie z tyra nierówność fl > 0 oznacza, że r > o u. > 0 i funkcję zespoloną fig nazywamy wtedy nieujemną, a nierówność że P ± < (oo Vi <o

6 487 Własności (ci)-(ci6) przedłużają się wtedy na funkcje zespolone w sposób oczywisty, jak również własność (ci7). le tę ostat nią możemy uogólnić dopuszczając c = i. Mamy bowiem dla funkcji zespolonej (i) i całki (iii) f ifd/u = / i(r + iu)dm = f (-y + ir )du = J (-u)dtt + i f rcbu = = -fudu + ifrdjj - i(frdxt + ifudm ) = i f f d i i \ i gdzie z istnienia całki ffd/j wynika istnienie całek irdp ijud(i Własności (ci7) nie można bez dodatkowych założeń uogólnić na dowolne liczby zespolone c, ale na mocy powyższego i własności (ci7) jest (165) f i c f = icffdm Własności (ci8)-(c2l) przedłużają się na funkcje zespolone w sposób oczywisty. Zajmiemy się teraz dowodem, że własność (c22) mają również całki funkcji zespolonych. Wykażemy najpierw, że jeżeli f jest funkcją zespoloną mierzalną na zbiorze es w przestrzeni X z 6~- ~ciałem S, to funkcja rzeczywista 2 2 r + u gdzie f = r + 2U i rfu są funkcjami rzeczywistymi, jest mier zalna na tym zbiorze. Istotnie mierzaln 0 ść funkcji f oznacza mier zalność funkcji r i u. Jeśli funkcje r i u są mierzalne na 2 2 zbiorze, to na mocy twierdzenia 191 funkcje r i u są mie- 2 2 r zalne na zbiorze, a na mocy twierdzenia 187 funkcja r + u. 2 2 Jest mierzalna na zbiorze, gdyż funkcje r i V są obie nie- Ujemne. Wobec tego

7 488 a {X: V(r(x)) 2 + (u(x)) 2 < a JC e } = OcJ dla a < O,2 /.. / _\ \ 2 / 2 {JC: + (u(.t)) <( of ^re/^jes dla a>0 Wobec powyższego, istotnie, mierzalność funkcji f pociąga za sobą mierzalność funkcji \f\. Ponieważ ^ >0, więc całka zawsze istnieje. Mamy jeszcze wykazać, że gdy istnieje całka to (iv) < f \f\du Zacznijmy od przypadku, gdy funkcja f ma wartość stałą na zbiorze. Niech (v) P(x) = a + %b, flr,6ek xe Wtedy na mocy własności (ci7) ffdjj = j*adjj + i J*bd/j.\ = X ' 04) * i b <u () (vi) /j/j ^ =y* l/a 2 + ó 2 d/u = ] y=

8 489 - ^ {) Ya 2 + b 2 Zatem w przypadku (v) mamy ffdp - f\f\dy Przejdźmy teraz do przypadku, gdy funkcja f przybiera na zbiorze tylko skończoną liczbę wartości, w tym sensie, że = ± m, ±,..., m es ke{\,...,m} * e t dosługując się tym, że dla przypadku (v) mamy równość ( v i), o t r z y mujemy ffdą- ffdjj*... + J fdjj., m (a ± + ib ± ) p( ± ) (fl w + )<U ( n ) (<* ± M ± ) a,/<^i bm(i{ m )) raz / l/w"-/ifl^ + + f ifiw " ** m

9 490 Mamy stąd «2 2 ( CL a. + 6.' b. )'(iup u(:) Ponieważ s 2 m m, / ^ \?W[ Ę { ]/(a? 6?) (a/ b))?ui)f( j 1/faf + bf) (a U a, a, + fc gdyż dla ^i^j + b, bj 4 0 J e s t *< oczywiste, a dla ai aj + + & b: > O nierówność powyższa jest równoważna a 2 - a ó 2 + a 2 ó 2 + aj 6 2 > tffa 2 + ^2 J + 2 a, <j 6t czyli ( a L bj - a Jb l ) 2 > o więc skąd otrzymujemy żądaną nierówność (iv). W przypadku ogólnym całkę (vii) otrzymuje się jako granicę ciągu całek funkcji zespolonych przyjmujących skończoną liczbę wartości na zbiorze, a więc funkcji, dla których jest - jak widzieliśmy - spełniona nierówność (iv). Przejście do granicy nie psuje tej nierówności, wobec czego jest

10 491 ona prawdziwa we wszystkich przypadkach, gdy istnieje całka (vii). Własność (c23) pozostaje prawdziwa, gdyż implikuje, że funkcja f jest rzeczywista, ale w sposób oczywisty można ją uogólnić na przypadek, gdy a^,...,cxn S Własności (c24) i (c25) wynikają w sposób oczywisty z nierówności ( i i ). Własności (c26), (c27) i (c28) są prawdziwe dla funkcji zespolonych w sposób oczywisty. Własności (c29) i (c30) wykazujemy dla funkcji zespolonych f i g z łatwością, opierając się na własnościach (c24) i (c25). Własności (c3i) i (c32) wynikają dla funkcji zespolonych f i C w sposób oczywisty. Natomiast w oparciu o nie z łatwością uogólniamy własności (c33) i (c34) na wszystkie liczby ce3 Własności (c35) i (c36) wynikają dla funkcji zespolonych w sposób oczywisty. Własność (c37) otrzymujemy przeprowadzając jeszcze raz ten sam dowód przy założeniu, że funkcje ^ i y są zespolone. Własność (c38) można z łatwością uogólnić na przypadek, gdy funkcja f jest rzeczywista, a funkcja g zespolona. Własności (c39)-(c44) wynikają dla funkcji zespolonych w sposób oczywisty. Własność (c45) dla funkcji zespolonych otrzymujemy przeprowadzając ten sam dowód, ale przy założeniu, że funkcja f jest zespolona. oczy Własność (c46) uogólnia się na funkcje zespolonew sposób wisty. Wykorzystując nierówność (ii) z łatwością sprawdzamy, że własności (c47)-(c52) są prawdziwe również dla funkcji zespolonych. We własności (c53) będziemy zawsze przyjmować, że funkcja g jest rzeczywista, tzn. będziemy rozpatrywać tylko przypadek miar V rzeczywistych. W tym przypadku własność (c53) z łatwością uogólniamy na funkcje f zespolone. W świetle powyższej uwagi własności (c54) nie uogólniamy na funkcje zespolone g, a własności (c55)-(c58) uogólniają się na funkcje zespolone f w sposób oczywisty. Własność (c59) uogólniamy łatwo na funkcje zespolone f(xfij) = = r (.<x,y) + Ł u(x,y). Własność (c60) z założenia dotyczy tylko funkcji charakterystycznych zbiorów, a więc funkcji rzeczywistych. Natomiast wła-

11 492 sności (c6i) i (c62) uogólniają się na funkcje zespolone w sposób oczywisty. Również własności (c63)-(c77) z łatwością uogólniamy na funkcje zespolone, z tym że we własnościach (c65), (c75) i (c76) ograniczamy się tylko do funkcji t rzeczywistych. Definicję całek niewłaściwych Lebesgue'a przedłużamy dla funkoji zespolonych, przyjmując, że wzór (#) w 229 zachodzi również dla funkcji f zespolonych.