ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH"

Transkrypt

1 ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW TARCZ SZTYWNYCH 1. Rodzaje więzów i reakcje więzów KaŜda konstrukcja budowlana, stanowiąca przedmiot analizy nauki wytrzymałości materiałów, jest w jakiś sposób posadowiona, będąc pośrednio lub bezpośrednio związana z podłoŝem, na które przekazuje siły pochodzące od jej cięŝaru i przyłoŝonego obciąŝenia uŝytkowego. Od konstrukcji budowlanej wymaga się, aby była ona geometrycznie niezmienna. Aby tak było naleŝy konstrukcji odebrać wszystkie stopnie swobody. (Stopniem swobody nazywamy niezaleŝny parametr słuŝący do opisu połoŝenia obiektu w przestrzeni lub na płaszczyźnie.) Aby odebrać konstrukcji wszystkie stopnie swobody naleŝy ją unieruchomić za pomocą więzów, stanową je wszelkie połączenia konstrukcji z podłoŝem lub inną konstrukcją. Takie połączenia nazywać będziemy takŝe podporami. Siły, z którymi oddziaływują na rozpatrywaną bryłę w miejscach zetknięcia, nazywamy reakcjami podpór. Na poniŝszych rysunkach zaczerpniętych ze skryptu Stefana Piechnika Wytrzymałość Materiałów dla wydziałów budowlanych przedstawione są więzy płaskie, tzn. takie gdzie siły reakcji leŝą w jednej płaszczyźnie. Oczywiście istnieją teŝ więzy przestrzenne, analogiczne do płaskich i siły je zastępujące. Podpory moŝemy sklasyfikować w dwóch grupach: pierwszy rodzaj to kierunkowe, których reakcje leŝą na znanej linii działania l, zaś drugi rodzaj to przegubowe, których reakcje przechodzą przez znany punkt A. RozróŜniamy następujące płaskie: Styk gładki, czyli połączenie na styk, gdy jedna tarcza dotyka innej, a między nimi nie występuje tarcie. W takim przypadku linia działania reakcji jest prostopadła do płaszczyzny styku. Podparcie przegubowo-nieprzesuwne. Na poniŝszym rysunku przedstawiono podparcie przegubowo-nieprzesuwne w konstrukcji stalowej i Ŝelbetowej (rys.1a i 1b), schematy takiego podparcia (rys.1c) i siły zastępujące działanie tych więzów, czyli reakcje (rys.1d). Jak wiemy przy takim sposobie podparcia moŝliwy jest tylko obrót, niemoŝliwy jest natomiast przesuw w Ŝadnym kierunku. Musi wystąpić więc reakcja, którą najczęściej rozkładamy na dwie składowe (pionową R i poziomą H). Rys. 1 wykonał Dariusz Włochal 1

2 Podparcie przegubowo-przesuwne. Na poniŝszym rysunku przedstawiono tego typu podporę wykonaną w konstrukcji stalowej, na rys.2b schematy takiego podparcia i na rys.2c reakcje. PoniewaŜ w takiej podporze moŝliwy jest przesuw i obrót, występuje tylko reakcja R o kierunku działania prostopadłym do moŝliwego kierunku przesuwu. Rys. 2 Pełne utwierdzenie. Przykłady więzów, które przyjmować będziemy jako pełne utwierdzenie, przedstawiono na poniŝszych schematach; na rys.a utwierdzenie w ścianie belki drewnianej, na rys.3b pełne utwierdzenie słupa stalowego, zaś na rys. 3c utwierdzenie słupa Ŝelbetowego; schematy tego typu więzów przedstawiono na rys. 3d, a na rys.e pokazano siły zastępujące działanie więzów, czyli reakcje. Utwierdzenie odbiera trzy stopnie swobody, czyli nakłada trzy więzy na pręt. Blokuje ono przesuwy w obu kierunkach oraz obrót wokół. W przypadku pełnego utwierdzenia występują trzy reakcje: pionowa, pozioma oraz moment zginający. Rys. 3 Utwierdzenie z poziomym przesuwem (połączenie teleskopowe). Nazwa tego typu pochodzi stąd, Ŝe więzy uniemoŝliwiają obrót i przemieszczenie pionowe, natomiast umoŝliwiają przemieszczenie poziome (rys.4a); schemat i reakcje przedstawiono na rys.4. Podpora taka odbiera dwa stopnie swobody, czyli nakłada dwa więzy na pręt. Zablokowane zostaną: przesuw w jednym kierunku oraz obrót wokół, moŝliwy jest natomiast przesuw w drugim kierunku. Odpowiada ona dwóm równoległym podporom przegubowo-przesuwnym (rys.4b). wykonał Dariusz Włochal 2

3 Rys. 4 Utwierdzenie z pionowym przesuwem. Utwierdzenie z moŝliwością pionowego przesuwu przedstawia rys.5a, schemat więzów rys.5b, reakcje rys.5c. W literaturze taki typ często określany jest jako podpora ślizgowa, potocznie natomiast często takie połączenie nazywamy łyŝwą. Rys. 5 W poniŝszej tabeli przedstawię krótkie zestawienie rodzajów podpór, uzupełniając podstawowe informacje i cechy: Rodzaj Schemat Nazwa Opis linii działania reakcji Niewiadome kierunkowe styk gładki linia I jest prostopadła do pł. styku p wartość reakcji kierunkowe pręt z dwoma przegubami kulistymi linia l pokrywa się z osią pręta wartość reakcji wykonał Dariusz Włochal 3

4 kierunkowe przgub przesuwny linia l jest prostopadła do moŝliwego kierunku przesuwu wartość reakcji kierunkowe łoŝysko poziome linia l jest prostopadła do osi pręta wartość reakcji przegubowe przegub kulisty linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji przegubowe przegub nieprzesuwny linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji przegubowe łoŝysko pionowe linia l przechodzi przez znany punkt A wartość i kierunek reakcji wykonał Dariusz Włochal 4

5 2. Klasyfikacja i analiza płaskich układów tarcz sztywnych RozwaŜmy układ powstały w wyniku połączenia pewnej tarczy z tarczą podporową, czyli pewną nieruchomą tarczą odniesienia (rysunki poniŝej). W zaleŝności od liczby więzów, które łączą obie tarcze, oraz od sposobu ułoŝenia tych więzów wyróŝnić moŝemy kilka przypadków: Najpierw przeanalizujmy jedną tarczę i zastanówmy się, jaki sposób rozmieszczenia więzów, oraz jaka ich liczba gwarantuje geometryczną niezmienność. a) Tarcza oznaczona jako 1 dołączona jest do tarczy podporowej za pomocą jednego więzu. Więz ten nie jest w stanie unieruchomić tarczy. Odbiera jej tylko jeden stopień swobody. Rys. 2.1 a b) Tarcza 1 połączona jest z tarcza podporową za pomocą dwóch więzów, które odbierają dwa stopnie swobody, pozostawiając jej jeszcze jeden stopień swobody (obrót). Tarcza z prawej połączona jest za pomocą przegubu z tarczą podporową, natomiast ta po lewej stronie rysunku, połączona jest z tarczą podporową za pomocą dwóch prętów sztywnych. Oba więzy są jednakowe pod względem zdolności połączenia. Rys. 2.1b Rys. 2.1c c) Tarcza 1 połączona jest z tarczą podporową za pośrednictwem trzech więzów (zauwaŝmy dodatkowo więzów prętów o kierunkach NIE przecinających się w jednym punkcie), które odbierają tarczy wszystkie stopnie swobody, a więc unieruchamiają całkowicie tarczę 1 względem tarczy podporowej. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe bardzo istotny jest warunek, aby kierunki prętów nie przecinały się w jednym punkcie (jest to warunek dostateczny dla tego typu układów). Tylko wtedy moŝemy mówić o układzie geometrycznie niezmiennym. (Układy chwilowo geometrycznie zmienne zostaną omówione później.) wykonał Dariusz Włochal 5

6 d) Tarcza 1 połączona jest czterema prętami. Występuje tutaj więc nadmiar więzów, tzn. ich liczba większa jest od liczy stopni swobody układu. Rys. 2.1d Tarcza sztywna ma na płaszczyźnie trzy stopnie swobody, co oznacza, Ŝe dla unieruchomienia tarczy sztywnej na płaszczyźnie potrzebne jest wprowadzenie trzech więzów. Układy tarcz przedstawione w podpunktach a) i b) nazywali będziemy układami geometrycznie zmiennymi, co związane jest bezpośrednio z faktem, ze tarcza 1 ma odpowiednio 1 (podpunkt b) i 2 (podpunkt a) stopnie swobody. Układ z podpunktu c) nazywany będzie układem geometrycznie niezmiennym, co ma podkreślać, ze tarczy 1 odebrano 3 (wszystkie) stopnie swobody, a więc liczba stopni swobody tarczy 1 wynosi 0. NaleŜy jednak pamiętać, Ŝe liczba stopni swobody równa zeru nie gwarantuje jeszcze geometrycznej niezmienności. Jest to tylko warunek konieczny, nie jest natomiast warunkiem dostatecznym. Oprócz tego warunku układ prętowy powinien takŝe spełniać warunki wystarczające geometrycznej niezmienności. JeŜeli tarcza podparta jest trzema podporami przegubowo-przesuwnymi (kaŝda z podpór nakłada po jednym więzie na tarczę) to, aby tarcza była geometrycznie niezmienna kierunki trzech podpór nie mogą przecinać się w jednym punkcie. Gdyby taka sytuacja zaistniała, moŝliwy byłby obrót względem przegubu wirtualnego, leŝącego właśnie w miejscu przecięcia kierunków prętów. JeŜeli tarcza jest podparta podporą przegubowo-przesuwną i przegubowonieprzesuwną to, aby był geometrycznie niezmienny podpora przegubowonieprzesuwna nie moŝe leŝeć na kierunku przegubowo-przesuwnej. Układ pokazany w podpunkcie d) to przykład, w którym zaangaŝowana jest czynnie większa liczba więzów niŝ to konieczne dla odebrania tarczy 1 wszystkich stopni swobody. Układ ten jest oczywiście takŝe układem geometrycznie niezmiennym. Z uwagi jednakŝe na wystąpienie nadmiaru więzów układ taki nazywali będziemy układem przesztywnionym. Przejdźmy do układów złoŝonych z dwóch tarcz (nie wliczając podłoŝa ) Dodanie do układu tarcz (tarcza 1 i tarcza podporowa) kolejnej tarczy wymaga dodania kolejnych trzech więzów, o ile oczywiście chcemy nadal zachować geometryczną niezmienność. MoŜemy w tym miejscu sformułować warunek konieczny geometrycznej niezmienności układu w następujący sposób: 3 t p gdzie t oznacza liczbę tarcz naleŝących do układu, nie licząc tarczy podporowej, p natomiast jest liczbą wszystkich więzów występujących w układzie. wykonał Dariusz Włochal 6

7 Wprowadzone dla jednej tarczy określenia będziemy odnosili równieŝ dla układów zbudowanych z większej liczby tarcz. Na poniŝszych rysunkach przedstawiono układy dwóch tarcz, stanowiące kolejno przykłady układów: geometrycznie zmiennego, geometrycznie niezmiennego i przesztywnionego. - układ geometrycznie zmienny: Rys. 2.2 a Na rysunku 2.2a sytuacja jest jednoznaczna. Tarcza 2 jest połączona z podłoŝem tylko jednym prętem; nie jest więc spełniony nawet warunek konieczny geometrycznej niezmienności. Tarcza 3 połączona jest z geometrycznie zmienną tarczą 2 równieŝ tylko jednym prętem, a więc całość jest geometrycznie zmienna. - układ geometrycznie niezmienny: Rys. 2.2 b Rysunek 2.2b to typowy przykład układu geometrycznie niezmiennego. Tarcza 2 jest geometrycznie niezmienna, poniewaŝ łączy się z podłoŝem (tarczą 1 ) za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Spełnione są więc oba warunki geometrycznej niezmienności: konieczny i dostateczny. Tarczę 2 w takiej sytuacji traktować moŝna jako podłoŝe dla tarczy 3. Analiza geometrycznej niezmienności tarczy 3 jest analogiczna jak tarczy 2. Tarcza 3 równieŝ łączy się z częścią geometrycznie niezmienną trzema prętami, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Spełniony jest więc warunek konieczny i wystarczający, a więc całość pozostaje geometrycznie niezmienna. wykonał Dariusz Włochal 7

8 - układ przesztywniony: Rys. 2.2 c Rysunek 2.2c przedstawia przykład układu przesztywnionego. Tarczę 2 do podłoŝa 1 przytwierdzają aŝ cztery pręty, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Moglibyśmy więc usunąć jeden, dowolny z tych prętów, aby układ nadal pozostawał geometrycznie niezmienny. Podobnie, gdy rozpatrujemy tarczę 3. Tarcza ta połączona jest z częścią nieruchomą aŝ pięcioma prętami. śadne trzy z nich nie przecinają się w jednym punkcie, a więc moglibyśmy usunąć dowolne dwa z tych prętów bez szkody na stateczność układu. Nawet w układach pozornie przesztywnionych (jak wskazuje na to warunek konieczny) naleŝy koniecznie sprawdzić warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Nawet cztery i więcej prętów moŝe nie gwarantować sztywności. Zachodzi to w sytuacji, gdy ich kierunki przecinają się w jednym punkcie. MoŜna równieŝ wyobrazić sobie układ złoŝony, którego poszczególne fragmenty stanowią układy wyróŝnionych typów. PoniŜej pokazany jest układ, który jako całość nazywalibyśmy geometrycznie zmiennym, mimo Ŝe poszczególne fragmenty połączone są ze sobą za pomocą dwóch i większej liczby prętów. Rys. 2.3 Tarcza 2 połączona jest z tarcza podporową czterema prętami, a więc te dwie tarcze tworzą układ przesztywniony. Tarcze 3 oraz 4 połączone są ze sobą za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie, a więc względem siebie są geometrycznie niezmienne. ZauwaŜmy jednak, Ŝe połączenie tarcz 2 i 3 ze sobą odbiera jedynie dwa stopnie swobody, co nie wystarcza do całkowitego usztywnienia układu. Właśnie połączenie między tarczami 2 i 3 decyduje o tym, ze układ jako całość nazywamy układem geometrycznie zmiennym. wykonał Dariusz Włochal 8

9 Zajmijmy się dokładniejszą analizą warunku dostatecznego geometrycznej niezmienności. Warunek ten jest niezwykle istotny, poniewaŝ często to on rozstrzyga czy układ jest geometrycznie zmienny, niezmienny, czy naleŝy do trzeciej grupy: układów chwilowo geometrycznie zmiennych. Przeanalizujmy tarczę połączoną z podłoŝem za pomocą trzech więzów, których kierunki przecinają się w jednym punkcie (rys. 3.1a). Tarcza ta ma moŝliwość wykonania nieskończenie małego obrotu wokół punktu przecięcia się kierunków więzów. Punkt taki nazywali będziemy biegunem (środkiem) chwilowego obrotu. Rys. 3.1a Podobna sytuacja zachodzi na poniŝszym przykładzie (rys. 3.1b). Tutaj równieŝ kierunki więzów (tutaj prętów) przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten w przypadku prętów równoległych znajduje się w nieskończoności. Jest to tak zwany biegun niewłaściwy. Rys. 3.1b RównieŜ tarcza przedstawiona na rys. 3.1c moŝe obrócić się o pewien bardzo mały kąt, co wynika z faktu, Ŝe łuki, zakreślone promieniami BC i AC, mają wspólną styczną, a zatem mają nieskończenie mały wspólny odcinek BB, o który właśnie moŝe przemieścić się punkt C. Na poniŝszym schemacie przedstawiono tą sytuację w znacznym wyolbrzymieniu. Rys. 3.1c wykonał Dariusz Włochal 9

10 Typ układów przedstawionych na rysunkach 3.1a i 3.1c określali będziemy mianem układów chwilowo geometrycznie zmiennych (chwilowo, bo kaŝde najmniejsze przemieszczenie spowoduje, Ŝe kierunki więzów nie będą przecinały się w jednym punkcie). W świetle powyŝszych rozwaŝań sformułować moŝna warunek dostateczny geometrycznej niezmienności układu tarcz, łącząc ze sobą warunki dotyczące zarówno liczby jak i kierunków więzów: Układ dwóch tarcz sztywnych jest układem geometrycznie niezmiennym, gdy tarcze składowe połączone są za pomocą trzech więzów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie (rzeczywistym lub niewłaściwym). Spróbujmy sformułować podobne kryterium dla układów zbudowanych z trzech tarcz połączonych między sobą w sposób przedstawiony na rysunkach 3.2 a-d, gdzie kaŝda tarcza połączona jest z pozostałymi za pomocą dwóch (i tylko dwóch) więzów. Układy tarcz o podanej strukturze noszą nazwę układów trójprzegubowych. Przykłady takich układów przedstawiają poniŝsze rysunki: Rys. 3.2 a Rys. 3.2 b Rys. 3.2 c Rys. 3.2 d Dla kaŝdego układu trójprzegubowego spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności potrojona liczba tarcz (nie licząc tarczy podporowej) równa jest liczbie zastosowanych więzów. Nie kaŝdy jednak układ trójprzegubowy jest układem geometrycznie niezmiennym, tzn. nie dla kaŝdego układu trójprzegubowego spełniony jest warunek dostateczny geometrycznej niezmienności. Na rysunku 3.3a przedstawiony jest jeden z takich układów. Punkt B w tym układzie moŝe doznać nieskończenie małego przemieszczenia w kierunku prostopadłym do linii, na której leŝą przeguby A, B i C, a zatem układ ten jest chwilowo geometrycznie zmienny. wykonał Dariusz Włochal 10

11 Rys. 3.3a Wystarczyłoby jednak, aby jeden z przegubów nie leŝał na prostej przechodzącej przez dwa pozostałe przeguby. Układ taki byłby geometrycznie niezmienny. Tak więc sformułujmy warunek dostateczny geometrycznej niezmienności układu trójprzegubowego: Układ trójprzegrzegubowy jest układem geometrycznie niezmiennym, gdy trzy przeguby (rzeczywiste lub fikcyjne przez które rozumiemy punkty przecięcia się więzów nie mających w rzeczywistości punktów wspólnych) łączące tarcze sztywne tego układu ze sobą nie leŝą na jednej prostej. Wszystkie układy trójprzegubowe przedstawione na rysunkach 3.2a-d są układami geometrycznie niezmiennymi. Rysunki 3.3a-f przedstawiają układy trójprzegubowe chwilowo geometrycznie zmienne. Warto zwrócić uwagę, Ŝe o klasyfikacji układu decyduje warunek dostateczny, poniewaŝ w kaŝdym z poniŝszych przypadków warunek konieczny geometrycznej niezmienności jest spełniony. NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe w przypadku, gdy jeden z przegubów znajduje się w nieskończoności (rys. 3.3e oraz 3.3f), aby układ był geometrycznie niezmienny dwa pozostałe przeguby nie mogą leŝeć na prostej równoległej do kierunku prętów tworzących ów przegub fikcyjny. Rys. 3.3 b Rys. 3.3c Rys. 3.3d Rys. 3.3e wykonał Dariusz Włochal 11

12 Rys. 3.3f Na koniec zajmijmy się układami złoŝonymi: Analizę kinematyczną układu złoŝonego z wielu tarcz rozpoczynamy od sprawdzenia warunku koniecznego, jeśli jest spełniony sprawdzamy warunek dostateczny geometrycznej niezmienności, wyodrębniając z układu złoŝonego fragmenty o budowie opisanej powyŝej, a więc dwie tarcze połączone ze sobą trzema prętami, układy trójprzegubowe, lub ich kombinacje, pamiętając o istotnym warunku niewspóliniowości przegubów układu trójprzegubowego i warunku dostatecznym geometrycznej niezmienności tarcz sztywnych połączonych trzema prętami. Przeanalizujmy dla przykładu poniŝszy układ składający się z 7 tarcz sztywnych i tarczy podporowej. Sprawdźmy najpierw warunek konieczny geometrycznej niezmienności tego układu: U nas: 3 t p t = 7 (liczba tarcz, nie licząc tarczy podporowej) p = = 21 (11 prętów odbierających po jednym stopniu swobody kaŝdy, i 5 przegubów, kaŝdy odbierający dwa stopnie swobody) Otrzymaliśmy toŝsamość, a więc spełniony jest warunek konieczny. wykonał Dariusz Włochal 12

13 Rozpatrzymy na początku połączenie tarczy 1 z tarczą podporową. Tarcze te związane są ze sobą za pomocą trzech więzów jednego przegubu i jednego pręta, przy czym przegub nie leŝy na kierunku pręta. Tarczy 1 więzy odbierają więc trzy stopnie swobody. Tarcze 1 i tarcza podporowa stanowią zatem zespół geometrycznie niezmienny zwany tarczą zastępczą. Po takiej analizie połączenie tarcz: podporowej i tarczy 1 uznajemy za sztywne i tarczę 1 traktujemy wraz z tarczą podporową jako całość. Tarcza 1 moŝe więc stanowić podporę dla innych, dalszych tarcz. Na rysunku zaznaczymy to schematycznie zespalając tarczę 1 z tarczą podporową: Do takiego układu dołączone są tarcze 2 oraz 3, tworzące razem z nim układ trójprzegubowy. KaŜda z tarcz ( 1 i 2 ) połączona jest z tarczą podporową jednym przegubem, a drugim przegubem łączy się z tarczą tworzącą układ. PoniewaŜ przeguby nie leŝą na jednej prostej, to równieŝ układ tarcz: tarcza podporowa (p ), 2 i 3 moŝemy traktować w naszej analizie kinematycznej jako układ geometrycznie niezmienny. Znów schematycznie zaznaczymy to jako powiększenie tarczy podporowej o geometrycznie niezmienny układ trójprzegubowy: Kolejno do tej niezmiennej części przyłączona jest za pomocą trzech prętów tarcza 4. PoniewaŜ kierunki prętów nie przecinają się w jednym punkcie, równieŝ ta tarcza pozostaje niezmienna geometrycznie. wykonał Dariusz Włochal 13

14 Idąc dalej zauwaŝamy układ trójprzegubowy. Tworzą go tarcza podporowa i tarcze 5 oraz 6. Przeguby (rzeczywiste i fikcyjne) nie leŝą na jednej prostej, a więc układ ten jest geometrycznie niezmienny. Mamy więc: Pozostała tarcza 7, która połączona jest z tarcza podporową za pomocą trzech prętów, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Tarcza ta jest więc nieruchoma względem tarczy podporowej. Zaznaczmy to schematycznie zespalając i tą tarczę z tarcza podporową. W ten sposób pokazaliśmy, Ŝe cały układ jest geometrycznie niezmienny. Na tym kończymy analizę kinematyczną układu tarcz sztywnych. wykonał Dariusz Włochal 14

15 Opracowano na podstawie: Wytrzymałość materiałów zarys teorii, przykłady, zadania. Część I Praca zbiorowa pod redakcją K. Wrzesniowskiego. Wyd. PP, 1985 r. Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych Stefan Piechnik, PWN, Warszawa Kraków, 1978 r. Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych Andrzej Gawęcki, Wyd. PP, 1998 r. Materiałów zamieszczonych na stronie: wykonał Dariusz Włochal 15

4.1. Modelowanie matematyczne

4.1. Modelowanie matematyczne 4.1. Modelowanie matematyczne Model matematyczny Model matematyczny opisuje daną konstrukcję budowlaną za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych będą należały to zbioru liczb rzeczywistych i będą one reprezentować

Bardziej szczegółowo

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH

8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH Część 1 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 1 8. 8. ANALIZA KINEMATYCZNA I STATYCZNA USTROJÓW PRĘTOWYCH 8.1. Analiza kinematyczna płaskiego układu tarcz sztywnych. Układy statycznie

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH

1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH 1 1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych naliza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być konstrukcją budowlaną. Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA KINEMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH ZADANIE 1 Z/. NLZ KNEMTYCZN PŁSKCH UKŁDÓW PRĘTOWYCH ZDNE Z/. NLZ KNEMTYCZN PŁSKCH UKŁDÓW PRĘTOWYCH ZDNE Z/.. Kratownica numer Sprawdzić czy kratownica płaska przedstawiona na rysunku Z/. jest układem geometrycznie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE

PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych

Bardziej szczegółowo

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns)

WIERZBICKI JĘDRZEJ. 4 (ns) WIERZBICKI JĘDRZEJ 4 (ns) CZĘŚĆ 1a BELKA 1. Zadanie Przeprowadzić analizę kinematyczną oraz wyznaczyć reakcje w więzach belki, danej schematem przedstawionym na rys. 1. Wymiary oraz obciążenia przyjąć

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE

WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 2 WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELCE Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE, I ROK Wykonał:

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH

WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 WYZNACZANIE REAKCJI WIĘZÓW W UKŁADZIE TARCZ SZTYWNYCH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor STUDIA DZIENNE MAGISTERSKIE,

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17

Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1. MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Mechanika ogólna Wydział Budownictwa Politechniki Wrocławskiej Strona 1 MECHANIKA OGÓLNA - lista zadań 2016/17 Część 1 analiza kinematyczna układów płaskich Przeprowadzić analizę kinematyczną układu. Odpowiednią

Bardziej szczegółowo

wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu

wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu Schemat statyczny zawiera informacje, takie jak: geometria i połoŝenie tarcz (ciał sztywnych), połączenia tarcz z fundamentem i ze sobą, rodzaj, połoŝenie i wartość obciąŝeń czynnych. wszystkie elementy

Bardziej szczegółowo

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2

Z1/2 ANALIZA BELEK ZADANIE 2 05/06 Z1/. NLIZ LK ZNI 1 Z1/ NLIZ LK ZNI Z1/.1 Zadanie Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej i momentu

Bardziej szczegółowo

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1

Z1/1. ANALIZA BELEK ZADANIE 1 05/06 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 1 Z1/1. NLIZ LK ZNI 1 Z1/1.1 Zadanie 1 Udowodnić geometryczną niezmienność belki złożonej na rysunku Z1/1.1 a następnie wyznaczyć reakcje podporowe oraz wykresy siły poprzecznej

Bardziej szczegółowo

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki

Belka Gerbera. Poradnik krok po kroku. mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Belka Gerbera Poradnik krok po kroku mgr inż. Krzysztof Wierzbicki Odrobina teorii Belki Gerbera: - układy jednowymiarowe (wiodąca cecha geometryczna: długość) -belki o liczbie reakcji >3 - występują w

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH. Ćwiczenie nr 4. Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH. Ćwiczenie nr 4. Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor POLITECHNIKA POZNAŃKA INTYTUT KONTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli Ćwiczenie nr 4 WYZNACZANIE IŁ W PRĘTACH KRATOWNIC PŁAKICH Prowadzący: mgr inŝ. A. Kaczor Wykonał: Dariusz Włochal gr. B6 rok

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński r inż. Janusz ębiński Mechanika teoretyczna zastosowanie metody prac wirtualnych 1. Metoda prac wirtualnych zadanie 1 1.1. Zadanie 1 Na rysunku 1.1 przedstawiono belkę złożoną z pionowym prętem F, na którą

Bardziej szczegółowo

5.1. Kratownice płaskie

5.1. Kratownice płaskie .. Kratownice płaskie... Definicja kratownicy płaskiej Kratownica płaska jest to układ prętowy złożony z prętów prostych, które są połączone między sobą za pomocą przegubów, Nazywamy je węzłami kratownicy.

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH

1. ANALIZA BELEK I RAM PŁASKICH 5/6 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1 1. NIZ BEEK I RM PŁSKICH 1.1 naliza kinematyczna podstawowe definicje Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza sztywna. Jest

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji.

Mechanika. Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Mechanika Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Wyznaczanie reakcji. Przyłożenie układu zerowego (układ sił równoważących się, np. dwie siły o takiej samej mierze,

Bardziej szczegółowo

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 2002/2003 MECHANIKA BUDOWLI 1 Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, ichał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski Poznań 00/003 ECHANIKA UDOWLI WSTĘP. echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej, zajmujący się statyką, statecznością

Bardziej szczegółowo

KRATOWNICE 1. Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami. pas górny.

KRATOWNICE 1. Definicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami. pas górny. KRTOWNIE efinicja: konstrukcja prętowa, składająca się z prętów prostych połączonych ze sobą przegubami słupki pas górny krzyżulce pas dolny Założenia: pręty są połączone w węzłach przegubami idealnymi

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił. Wektor główny układu sił jest równy Moment główny układu wynosi Przykład

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA KONSTRUKCJI 1 sem. IV kierunek Architektura Wnętrz studia stacjonarne

MECHANIKA KONSTRUKCJI 1 sem. IV kierunek Architektura Wnętrz studia stacjonarne MECHANIKA KONSTRUKCJI 1 sem. IV kierunek Architektura Wnętrz studia stacjonarne Temat 1: Konstruowanie i podpieranie płaskich układów statycznie wyznaczalnych Zadanie: Część I: zesztywnianie Zesztywnić

Bardziej szczegółowo

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH

WIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,

Bardziej szczegółowo

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są

Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich

Bardziej szczegółowo

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM

SPORZĄDZANIE LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH SPOSOBEM KINEMATYCZNYM LINIE WŁYWU przykład sposób kinematyczny SORZĄDZNIE LINII WŁYWU WIELKOŚCI STTYCZNYCH SOSOBEM KINEMTYCZNYM Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną

Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Przykład 1.8. Wyznaczanie obciąŝenia granicznego dla układu prętowego metodą kinematyczną i statyczną Analizując równowagę układu w stanie granicznym wyznaczyć obciąŝenie graniczne dla zadanych wartości

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH Zakład Mechaniki Budowli ĆWICZENIE nr 1 LINIE WPŁYWOWE SIŁ W UKŁADACH STATYCZNIE WYZNACZALNYCH Prowadzący: mgr inż. A. Kaczor STUDIUM ZAOCZNE, II

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Inne rodzaje obciążeń Mechanika teoretyczna Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta. Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym: intensywność na jednostkę rzutu; intensywność na jednostkę długości pręta. Wykład

Bardziej szczegółowo

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek

ZałoŜenia przyjmowane przy obliczaniu obciąŝeń wewnętrznych belek Wprowadzenie nr 2* do ćwiczeń z przedmiotu Wytrzymałość materiałów dla studentów II roku studiów dziennych I stopnia w kierunku Energetyka na wydz. Energetyki i Paliw w semestrze zimowym 2012/2013 1.Zakres

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3

ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE. A) o trzech reakcjach podporowych N=3 ĆWICZENIE 7 Wykresy sił przekrojowych w ustrojach złożonych USTROJE ZŁOŻONE A) o trzech reakcjach podporowych N=3 B) o liczbie większej niż 3 - reakcjach podporowych N>3 A) wyznaczanie reakcji z równań

Bardziej szczegółowo

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH

7. WYZNACZANIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W BELKACH 7. WYZNCZNIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH W ELKCH Zadanie 7.1 Dla belki jak na rysunku 7.1.1 ułożyć równania sił wewnętrznych i sporządzić ich wykresy. Dane: q, a, M =. Rys.7.1.1 Rys.7.1. W zależności od rodzaju podpór

Bardziej szczegółowo

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ

3. RÓWNOWAGA PŁASKIEGO UKŁADU SIŁ 3. ÓWNOWG PŁSKIEGO UKŁDU SIŁ Zadanie 3. elka o długości 3a jest utwierdzona w punkcie zaś w punkcie spoczywa na podporze przegubowej ruchomej, rysunek 3... by belka była statycznie wyznaczalna w punkcie

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Łukasz Faściszewski, gr. KBI2, sem. 2, Nr albumu: 75 201; rok akademicki 2010/11. ĆWICZENIE PROJEKTOWE NR 2 Z MECHANIKI BUDOWLI Stateczność ram wersja komputerowa 1. Schemat statyczny ramy i dane materiałowe

Bardziej szczegółowo

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił

gruparectan.pl 1. Silos 2. Ustalenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu SSN Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił 1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] 2. Ustalenie stopnia statycznej

Bardziej szczegółowo

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia 6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 Pole elektryczne

Rozdział 22 Pole elektryczne Rozdział 22 Pole elektryczne 1. NatęŜenie pola elektrycznego jest wprost proporcjonalne do A. momentu pędu ładunku próbnego B. energii kinetycznej ładunku próbnego C. energii potencjalnej ładunku próbnego

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie

Bardziej szczegółowo

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej

Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej Hale o konstrukcji słupowo-ryglowej SCHEMATY KONSTRUKCYJNE Elementy konstrukcji hal z transportem podpartym: - prefabrykowane, żelbetowe płyty dachowe zmonolityzowane w sztywne tarcze lub przekrycie lekkie

Bardziej szczegółowo

3. Rozciąganie osiowe

3. Rozciąganie osiowe 3. 3. Rozciąganie osiowe 3. Podstawowe definicje Przyjmijmy, że materiał z którego wykonany został pręt jest jednorodny oraz izotropowy. Izotropowy oznacza, że próbka wycięta z większej bryły materiału

Bardziej szczegółowo

Wpływ podpory ograniczającej obrót pasa ściskanego na stateczność słupa-belki

Wpływ podpory ograniczającej obrót pasa ściskanego na stateczność słupa-belki Wpływ podpory ograniczającej obrót pasa ściskanego na stateczność słupa-belki Informacje ogólne Podpora ograniczająca obrót pasa ściskanego słupa (albo ramy) może znacząco podnieść wielkość mnożnika obciążenia,

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3. Obliczenia konstrukcyjne

Załącznik nr 3. Obliczenia konstrukcyjne 32 Załącznik nr 3 Obliczenia konstrukcyjne Poz. 1. Strop istniejący nad parterem (sprawdzenie nośności) Istniejący strop typu Kleina z płytą cięŝką. Wartość charakterystyczna obciąŝenia uŝytkowego w projektowanym

Bardziej szczegółowo

Tarcie poślizgowe

Tarcie poślizgowe 3.3.1. Tarcie poślizgowe Przy omawianiu więzów w p. 3.2.1 reakcję wynikającą z oddziaływania ciała na ciało B (rys. 3.4) rozłożyliśmy na składową normalną i składową styczną T, którą nazwaliśmy siłą tarcia.

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński

Dr inż. Janusz Dębiński Wytrzymałość materiałów ćwiczenia projektowe 5. Projekt numer 5 przykład 5.. Temat projektu Na rysunku 5.a przedstawiono belkę swobodnie podpartą wykorzystywaną w projekcie numer 5 z wytrzymałości materiałów.

Bardziej szczegółowo

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów

Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu rysunek jest w skali True 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek

Bardziej szczegółowo

Wprowadzanie zadanego układu do

Wprowadzanie zadanego układu do Wprowadzanie zadanego układu do programu ROBOT w celu rozwiązania MP 1. Ustawienie preferencji zadania WYMIARY Narzędzia -> Preferencje zadania SIŁY INNE MATERIAŁY Najpierw należy dodać, a potem kliknąć

Bardziej szczegółowo

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE

Autor: mgr inż. Robert Cypryjański METODY KOMPUTEROWE METODY KOMPUTEROWE PRZYKŁAD ZADANIA NR 1: ANALIZA STATYCZNA KRATOWNICY PŁASKIEJ ZA POMOCĄ MACIERZOWEJ METODY PRZEMIESZCZEŃ Polecenie: Wykonać obliczenia statyczne kratownicy za pomocą macierzowej metody

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z

Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z Wprowadzenie układu ramowego do programu Robot w celu weryfikacji poprawności uzyskanych wyników przy rozwiązaniu zadanego układu hiperstatycznego z wykorzystaniem Metody Sił Temat zadania rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Obsługa programu Soldis

Obsługa programu Soldis Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone

Bardziej szczegółowo

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY

5. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY Część 2. METODA PRZEMIESZCZEŃ PRZYKŁAD LICZBOWY.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - PRZYKŁAD LICZBOWY.. Działanie sił zewnętrznych Znaleźć wykresy rzeczywistych sił wewnętrznych w ramie o schemacie i obciążeniu podanym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH

Ćwiczenie 14. Maria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYMATYCZNYCH Ćwiczenie 14 aria Bełtowska-Brzezinska KINETYKA REAKCJI ENZYATYCZNYCH Zagadnienia: Podstawowe pojęcia kinetyki chemicznej (szybkość reakcji, reakcje elementarne, rząd reakcji). Równania kinetyczne prostych

Bardziej szczegółowo

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE

1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1. STRUKTURA MECHANIZMÓW 1.1. POJĘCIA PODSTAWOWE 1.1.1. Człon mechanizmu Człon mechanizmu to element konstrukcyjny o dowolnym kształcie, ruchomy bądź nieruchomy, zwany wtedy podstawą, niepodzielny w aspekcie

Bardziej szczegółowo

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów:

gruparectan.pl 1. Metor Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: 1. Metor Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą przemieszczeń Rys. Schemat układu Współrzędne węzłów: węzeł 1 x=[0.000][m], y=[0.000][m] węzeł 2 x=[2.000][m], y=[0.000][m] węzeł 3 x=[2.000][m], y=[2.000][m]

Bardziej szczegółowo

Mechanika i Budowa Maszyn

Mechanika i Budowa Maszyn Mechanika i Budowa Maszyn Materiały pomocnicze do ćwiczeń Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach statycznie wyznaczalnych Andrzej J. Zmysłowski Andrzej J. Zmysłowski Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO. 1. Przedmiot i cel wytrzymałości materiałów STATYKA POLSKIE NORMY PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA 1

MECHANIKA CIAŁA ODKSZTAŁCALNEGO. 1. Przedmiot i cel wytrzymałości materiałów STATYKA POLSKIE NORMY PODSTAWOWE POJĘCIA, DEFINICJE I ZAŁOŻENIA 1 ODSTWOWE OJĘC, DEFNCJE ZŁOŻEN 1 Wytrzymałość ateriałów - dział mechaniki stosowanej zajmujący się zachowaniem ciał stałych pod wpływem różnego typu obciążeń. Celem analizy tego zachowania jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ

1. METODA PRZEMIESZCZEŃ .. METODA PRZEMIESZCZEŃ.. Obliczanie sił wewnętrznych od obciążenia zewnętrznego q = kn/m P= kn Rys... Schemat konstrukcji φ φ u Rys... Układ podstawowy metody przemieszczeń Do wyliczenia mamy niewiadome:

Bardziej szczegółowo

gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1

gruparectan.pl 1. Kratownica 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Strona:1 1. Kratownica Dla danej kratownicy wyznaczyć siły we wszystkich prętach metodą równoważenia węzłów 2. Szkic projektu 3. Ustalenie warunku statycznej niewyznaczalności układu Warunek konieczny geometrycznej

Bardziej szczegółowo

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów.

2kN/m Zgodnie z wyznaczonym zadaniem przed rozpoczęciem obliczeń dobieram wstępne przekroje prętów. 2kN/m -20 C D 5kN 0,006m A B 0,004m +0 +20 0,005rad E 4 2 4 [m] Układ prętów ma dwie tarcze i osiem reakcji w podporach. Stopień statycznej niewyznaczalności SSN= 2, ponieważ, przy dwóch tarczach powinno

Bardziej szczegółowo

Podstawy mechaniki 2018_2019. Równowaga bryły sztywnej

Podstawy mechaniki 2018_2019. Równowaga bryły sztywnej Podstawy mechaniki 2018_2019 Równowaga bryły sztywnej Równowaga bryły sztywnej Ogólne warunki równowagi Przypadek płaskiego (dwuwymiarowego) układu sił Obiekty w równowadze Podpory i ich modele O czym

Bardziej szczegółowo

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT

Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT Geometria i obciąŝenie Obliczenie kratownicy przy pomocy programu ROBOT Przekroje 1. Wybór typu konstrukcji 2. Definicja domyślnego materiału Z menu górnego wybieramy NARZĘDZIA -> PREFERENCJE ZADANIA 1

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 6 Kratownice

ĆWICZENIE 6 Kratownice ĆWICZENIE 6 Kratownice definicja konstrukcja składająca się z prętów prostych połączonych przegubowo w węzłach, dla której jedynymi obciążeniami są siły skupione przyłożone w węzłach. Umowa: jeśli konstrukcja

Bardziej szczegółowo

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ...

1. Silos Strona:1 Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu ... 1. Silos Dla danego układu wyznaczyć MTN metodą sił Rys. Schemat układu... Przyjęto przekrój podstawowy: I= 3060[cm4] E= 205[GPa] Globalne EI= 6273[kNm²] Globalne EA= 809750[kN] Strona:1 2. Ustalenie stopnia

Bardziej szczegółowo

P O P O P P O O P H O P O P O O P P O REAKCJE PODPOROWE W UKŁADACH PŁASKICH

P O P O P P O O P H O P O P O O P P O REAKCJE PODPOROWE W UKŁADACH PŁASKICH REAKCJE PODPOROWE W UKŁADACH PŁASKICH Ciało sztywne na płaszczyźnie ma 3 stopnie swobody: przesuw w poziomie przesuw w pionie obrót Dowolne przemieszczenie takiego ciała jest złożeniem tych trzech elementarnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć:

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne. Dla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych. na rysunkach rys.a, rys.b, wyznaczyć: adanie 3. elki statycznie wyznaczalne. 15K la belek statycznie wyznaczalnych przedstawionych na rysunkach rys., rys., wyznaczyć: 18K 0.5m 1.5m 1. składowe reakcji podpór, 2. zapisać funkcje sił przekrojowych,

Bardziej szczegółowo

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16 1. Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił zbieżnych jest, aby a) wszystkie

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach.

Uwaga: Linie wpływu w trzech prętach. Zestaw nr 1 Imię i nazwisko zadanie 1 2 3 4 5 6 7 Razem punkty Zad.1 (5p.). Narysować wykresy linii wpływu sił wewnętrznych w przekrojach K i L oraz reakcji w podporze R. Zad.2 (5p.). Narysować i napisać

Bardziej szczegółowo

Wyciągnięcie po ścieŝce, dodawanie Płaszczyzn

Wyciągnięcie po ścieŝce, dodawanie Płaszczyzn Wyciągnięcie po ścieŝce, dodawanie Płaszczyzn Przykład wg pomysłu dr inŝ. Grzegorza Linkiewicza. Zagadnienia. Tworzenie brył przez Dodanie/baza przez wyciągnięcie po ścieŝce, Geometria odniesienia, Płaszczyzna,

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej.

ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. ZAJĘCIA 25. Wartość bezwzględna. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. 1. Wartość bezwzględną liczby jest określona wzorem: x, dla _ x 0 x =, x, dla _ x < 0 Wartość bezwzględna liczby nazywana

Bardziej szczegółowo

Mandat 104 ZAŁĄCZNIK I ZAKRES. ŁOśYSKA KONSTRUKCYJNE LISTA WYROBÓW OBJETYCH NINIEJSZYM MANDATEM. DO ZASTOSOWANIA w: 8/33 RAMY (W TYM KOMINY I SZYBY)

Mandat 104 ZAŁĄCZNIK I ZAKRES. ŁOśYSKA KONSTRUKCYJNE LISTA WYROBÓW OBJETYCH NINIEJSZYM MANDATEM. DO ZASTOSOWANIA w: 8/33 RAMY (W TYM KOMINY I SZYBY) Mandat 104 ZAŁĄCZNIK I ZAKRES ŁOśYSKA KONSRUKCYJNE LISA WYROBÓW OBJEYCH NINIEJSZYM MANDAEM DO ZASOSOWANIA w: 8/33 RAMY (W YM KOMINY I SZYBY) Postać Materiały Wyroby do wzięcia pod uwagę Komponenty RóŜne:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera

Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera Wyznaczenie reakcji w elkach erbera Sposób obliczania: by policzyć elkę erbera w najprostszy sposób dzielimy ją w przegubach uzyskując pojedyncze belki by móc policzyć konstrukcję, belki powstałe po podziale

Bardziej szczegółowo

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH

6. WYZNACZANIE LINII UGIĘCIA W UKŁADACH PRĘTOWYCH Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy

Bardziej szczegółowo

Wykład II Sieć krystaliczna

Wykład II Sieć krystaliczna Wykład II Sieć krystaliczna Podstawowe definicje Wiele z pośród ciał stałych ma budowę krystaliczną. To znaczy, Ŝe atomy z których się składają ułoŝone są w określonym porządku. Porządek ten daje się stosunkowo

Bardziej szczegółowo

AUTOCAD MIERZENIE I PODZIAŁ

AUTOCAD MIERZENIE I PODZIAŁ AUTOCAD MIERZENIE I PODZIAŁ Czasami konieczne jest rozmieszczenie na obiekcie punktów lub bloków, w równych odstępach. Na przykład, moŝe zachodzić konieczność zlokalizowania na obiekcie punktów oddalonych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości

Bardziej szczegółowo

Lab. Metody Elementów Skończonych

Lab. Metody Elementów Skończonych Lab. Metody Elementów Skończonych Wykonali: 1. Rozmuski Wojciech 2. Szarzewski Paweł 3. Walachowski Mateusz Temat: Projekt zaliczeniowy. Prowadzący: Dr inŝ. T. Stręk MiBM, KMU, VI semestr Data oddania:

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Długości efektywne i parametry obciąŝeń destabilizujących dla belek i wsporników - przypadki ogólne.

Informacje uzupełniające: Długości efektywne i parametry obciąŝeń destabilizujących dla belek i wsporników - przypadki ogólne. Informacje uzupełniające: Długości efektywne i parametry obciąŝeń destabilizujących dla belek i wsporników - przypadki ogólne Zaprezentowano wartości parametru długości efektywnej k i parametru destabilizacji

Bardziej szczegółowo

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH

Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Systemy rozgrywek sportowych OGÓLNE ZASADY ORGANIZOWANIA ROZGRYWEK SPORTOWYCH Rozgrywki sportowe moŝna organizować na kilka róŝnych sposobów, w zaleŝności od liczby zgłoszonych druŝyn, czasu, liczby boisk

Bardziej szczegółowo

Informacje uzupełniające: Szkielet prosty pojęcie i typowe układy ram. Zawartość

Informacje uzupełniające: Szkielet prosty pojęcie i typowe układy ram. Zawartość Informacje uzupełniające: Szkielet prosty pojęcie i typowe układy ram W opracowaniu wprowadzono pojęcie prostego typu szkieletu w budynkach wielokondygnacyjnych. W takich układach sztywność na przechył

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Programowanie Obrabiarek CNC. Nr H04

Laboratorium Programowanie Obrabiarek CNC. Nr H04 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium Programowanie Obrabiarek CNC Nr H04 Programowanie zarysów swobodnych FK Opracował: Dr inŝ. Wojciech Ptaszyński Poznań, 06 stycznia

Bardziej szczegółowo

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH UKŁADY RÓWNAŃ 1.UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Układ: a1x + b1y = c1 a x + by = c nazywamy układem równań liniowych. Rozwiązaniem układu jest kaŝda para liczb spełniająca kaŝde z równań. Przy rozwiązywaniu układów

Bardziej szczegółowo

Techniki CAD w pracy inŝyniera Aplikacja programu Autodesk Inventor Praktyczne ćwiczenia więzów szkicu 2D

Techniki CAD w pracy inŝyniera Aplikacja programu Autodesk Inventor Praktyczne ćwiczenia więzów szkicu 2D Techniki CAD w pracy inŝyniera Aplikacja programu Autodesk Inventor 2010. Studium stacjonarne i niestacjonarne. Kierunek: Elektrotechnika Praktyczne ćwiczenia więzów szkicu 2D Opracował: dr inŝ. Andrzej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego

Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego POLTECHNKA ŚLĄSKA WYDZAŁ CHEMCZNY KATEDRA FZYKOCHEM TECHNOLOG POLMERÓW LABORATORUM Z FZYK Wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych metodą zawieszenia trójnitkowego WYZNACZANE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚC

Bardziej szczegółowo

Rys. 29. Schemat obliczeniowy płyty biegowej i spoczników

Rys. 29. Schemat obliczeniowy płyty biegowej i spoczników Przykład obliczeniowy schodów wg EC-2 a) Zebranie obciąŝeń Szczegóły geometryczne i konstrukcyjne przedstawiono poniŝej: Rys. 28. Wymiary klatki schodowej w rzucie poziomym 100 224 20 14 9x 17,4/28,0 157

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych

Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych Układem kinematycznym nazywamy dowolny zespół elementów składowych (członów) połączonych ze sobą w sposób umożliwiający ruch względny stworzony przez

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 21

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 21 KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 1 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ MECHANIKA TECHNICZNA Analiza płaskiego dowolnego układu sił Dr hab. inż. Krzysztof

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych

Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych Podstawy analizy strukturalnej układów kinematycznych Układem kinematycznym nazywamy dowolny zespół elementów składowych (członów) połączonych ze sobą w sposób umożliwiający ruch względny stworzony przez

Bardziej szczegółowo

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze 15. Przedmiot: WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW Kierunek: Mechatronika Specjalność: mechatronika systemów energetycznych Rozkład zajęć w czasie studiów Liczba godzin Liczba godzin Liczba tygodni w tygodniu w semestrze

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły

Bardziej szczegółowo

Zginanie proste belek

Zginanie proste belek Zginanie belki występuje w przypadku obciążenia działającego prostopadle do osi belki Zginanie proste występuje w przypadku obciążenia działającego w płaszczyźnie głównej zx Siły przekrojowe w belkach

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie

Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie Mechanika ogólna Kierunek: budownictwo, sem. II studia zaoczne, I stopnia inżynierskie materiały pomocnicze do zajęć audytoryjnych i projektowych opracowanie: dr inż. Piotr Dębski, dr inż. Dariusz Zaręba

Bardziej szczegółowo

Układ elementarnej pamięci cyfrowej

Układ elementarnej pamięci cyfrowej Opis ćwiczenia Układ elementarnej pamięci cyfrowej Pod określeniem pamięć cyfrowa będziemy rozumieć układ, do którego moŝna wprowadzić i przez pewien czas w nim przechowywać ciąg liczb zero-jedynkowych.

Bardziej szczegółowo

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł echanika ogóna Wykład nr 5 Statyczna wyznaczaność układu. Siły wewnętrzne. 1 Stopień statycznej wyznaczaności Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczaności n: Beka: n=rgrs; Rama: n=r3ogrs; rs; Kratownica:

Bardziej szczegółowo

Stanisław Pryputniewicz MECHANIKA OGÓLNA MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ

Stanisław Pryputniewicz MECHANIKA OGÓLNA MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ Stanisław Pryputniewicz MECHANIKA OGÓLNA MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW I ĆWICZEŃ SPIS TREŚCI Przedmowa 1. Podstawowe pojęcia, definicje i aksjomaty statyki 1.1. Wprowadzenie 1.2. Modele ciał rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH. Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część I Z trójkątem, jako figurą geometryczną, uczeń spotyka się już na etapie nauczania początkowego. W czasie dalszego procesu kształcenia

Bardziej szczegółowo