ANALIZA PRACY MASZYNY SYNCHRONICZNEJ NAPĘDZANEJ SILNIKIEM TŁOKOWYM

Transkrypt

1 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) 17 Michał Radzi *, Tadeuz Sobczy ** * Pańtwowa Wyżza Szoła Zawodowa w Nowym Sączu, Intytut Techniczny ** Politechnia Kraowa, Intytut Eletromechanicznych Przemian Energii ANALIZA PRACY MASZYNY SYNCHRONICZNEJ NAPĘDZANEJ SILNIKIEM TŁOKOWYM ANALYSIS OF SYNCHRONOUS MACHINES WORK PISTON ENGINE DRIVEN Strezczenie: Reacja mazyny ynchronicznej na moment napędowy zależny od ąta obrotu wirnia ma duże znaczenie pratyczne dla napędów tłoowych. Oreślenie rozwiązania utalonego nie jet łatwe z uwagi na onieczność rozwiązywania uładu nieliniowych równań różniczowych. W pratyce trudność tą poonuje ię najczęściej poprzez całowanie numeryczne równań dynamii mazyny dla zadanych warunów początowych. W eecie otrzymuje ię, po odpowiednio długim czaie całowania, pozuiwane rozwiązanie bezpośrednio w dziedzinie czau. W pracy opiano algorytm pozwalający na bezpośrednie wyznaczanie tanu utalonego w mazynie ynchronicznej napędzanej przez ilni palinowy (np.: ilni o zapłonie amoczynnym). Do zbudowania opianej procedury wyorzytano metodę bilanu harmonicznych oraz ormułę iteracyjną Newtona-Raphona. Konewencją taiego podejścia jet uzyanie rozwiązania bezpośrednio w dziedzinie czętotliwości. Przyładowe obliczenia przeprowadzono dla prądnicy ynchronicznej pracującej na ieć ztywną i napędzanej momentem mechanicznym pochodzącym od palinowego ilnia czterouwowego. W rezultacie obliczeń numerycznych oreślono wpływ momentu bezwładności uładu oraz liczby cylindrów ilnia napędowego na widmo Fouriera prądu tojana i widmo Fouriera wahań ąta mocy. Abtract: Steady-tate repone o a ynchronou machine to the torque with angle depended pulating component i o great practical importance or the drive piton. Determination o the olution et i not eay due to the neceity o olving the ytem o nonlinear dierential equation. In practice thi diiculty i uually overcome by numerical integration o equation or the dynamic o the machine elected initial condition. The reult i, ater a uiciently long integration time, requeted olution directly in the time domain. Thi paper decribe an algorithm that allow or the direct determination o teady-tate ynchronou machine driven by an internal combution engine (eg dieel engine). To build the decribed procedure wa ued harmonic balance method and the iterative ormula o Newton-Raphon. The conequence o thi approach i to obtain a olution directly in the requency domain. Sample calculation were perormed or ynchronou generator operating at the networ rigid and driven by the driving torque, derived rom the internal combution ourtroe engine. A a reult o numerical calculation are directly determined: the eect o the moment o inertia o the ytem and the number o cylinder o the drive motor or the Fourier pectrum o the tator current and the Fourier pectrum o the variation the power angle. Słowa luczowe: mazyny ynchroniczne, tany utalone, metoda bilanu harmonicznych Keyword: ynchronou machine, teady-tate perormance, harmonic balance method 1. Wtęp Charaterytyczną cechą mazyn ynchronicznych jet to, że ą one wyorzytywane zarówno w roli prądnic, ja i ilniów. Przy pracy prądnicowej uładem napędowym mogą być palinowe ilnii wyooprężne, pracujące według obiegu Diela [1]. Pulujący charater iły działającej na tłoi cylindrów, a wyniającej ze zmieniającego ię ciśnienia medium (palin) w cylindrach, powoduje powtanie nierównomiernego w czaie, lecz oreowo zmiennego momentu na wale mazyny ynchronicznej []. Drugim niezależnym czynniiem powodującym pulacje momentu napędowego jet zmieniający ię w uncji ąta obrotu ϕ moment bezwładności mazyny tłoowej widziany przez uład z nią wpółpracujący [3]. Sutiem wytępowania wymienionych zjawi ą wahania o charaterze pulacyjnym momentu mechanicznego na wale prądnicy ynchronicznej, tóre ą uncją ąta obrotu wału ilnia napędowego. Ocylacje momentu mechanicznego powodują wahania prędości ątowej mazyny ynchronicznej, co z olei ma bezpośredni wpływ na wahania ąta obciążenia (ąta mocy) ϑ. W otatecznym rozrachunu zmianom ąta mocy towarzyzą nierozerwalnie zmiany pozczególnych prądów płynących w uzwojeniach generatora ynchronicznego.

2 18 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) W pratyce, aby temu przeciwdziałać, dąży ię do ograniczenia amplitudy ładowej pulacyjnej w momencie napędowym, najczęściej poprzez zwielorotnienie liczby cylindrów i wybór odpowiedniego tatu pracy pozczególnego cylindra [4]. Wyznaczanie tanu utalonego dla generatora ynchronicznego pracującego w ytuacji, gdy wytępuje oddziaływanie zmieniającej ię prędości ątowej mazyny ynchronicznej na pozczególne prądy płynące w jej uzwojeniach, wymaga onieczności rozwiązywania równań obwodów eletrycznych mazyny łącznie z równaniem mechanicznym. Złożona potać wyrażenia na moment eletromagnetyczny w równaniu mechanicznym prawia, że w itocie otrzymuje ię do rozwiązania uład nieliniowych równań różniczowych. Obecny tan wiedzy pozwala w taim wypadu jedynie na wyznaczenie rozwiązania przybliżonego w oparciu o metody numeryczne. Najpopularniejza i zarazem najprotza z nich prowadza ię do całowania numerycznego równań tanu mazyny i uładu z nią wpółpracującego. W eecie jej wyorzytania otrzymuje ię rozwiązanie tanu utalonego w dziedzinie czau, co przy onieczności przeprowadzenia wniliwej analizy jaościowej zachodzących w mazynie zjawi z reguły nie daje pełnej inormacji o obiecie. Jednym z możliwych rozwiązań pozwalających na doładniejze przeanalizowanie problemu może być wyorzytanie prezentowanego w pracy [5] algorytmu iteracyjnego. Pozwala on na znajdywanie rozwiązań utalonych dla mazyny ynchronicznej bezpośrednio w dziedzinie czętotliwości w przypadu, gdy znany jet przebieg czaowy oreowo zmiennego momentu mechanicznego na wale mazyny. Oazuje ię, że algorytm ten, po wprowadzeniu paru itotnych modyiacji, może połużyć również do wyznaczania tanu utalonego w przypadu, gdy moment mechaniczny jet oreową uncją ąta obrotu wirnia. Techniczną użyteczność opracowanego algorytmu przeawiono na przyładzie jawnobiegunowego ilnia ynchronicznego pracującego jao generator ynchroniczny i napędzanego bezprzeładniowo momentem napędowym wytworzonym przez ilni palinowy czterouwowy []. Założono liniowość obwodu magnetycznego mazyny oraz itnienie puntu równowagi tatycznej uładu, tóry odpowiada średniemu momentowi napędowemu. Dodatowo rozpatrywany generator pracuje na ieć ztywną, a uzwojenie wzbudzenia zailane jet ze źródła napięcia tałego.. Sormułowanie równań bilanu harmonicznych dla mazyny ynchronicznej Korzytając z metody bilanu harmonicznych wygodnie jet poługiwać ię zepolonymi zeregami Fouriera. Możliwość taą twarza tranormacja równań mazyny do najorzytniejzego, z puntu widzenia potawionego problemu, uładu wpółrzędnych. Spośród gotowych macierzy tranormacji dla uładów trójazowych [6] zdecydowano ię na uład wpółrzędnych wirujących (,,-), tóry pozwolił na prowadzenie wymuzeń napięciowych mazyny ynchronicznej do wartości tałych w czaie. Po wyonaniu niezbędnych przeztałceń równania eletryczne mazyny ynchronicznej przyjmują potać (1a), a równanie mechaniczne jet potaci (1b). u R i u R i U = R i R D i R Q i D Q ψ ψ d ψ ψ ψ D Q ψ ψ j (1a) ( i ψ i ψ ) T ( ϕ) d ϕ dϕ J D = j p m (1b) W przyjętym uładzie wpółrzędnych ymetryczny uład napięć zailających jet reprezentowany przez napięcia u = u = () 3 U Wielościami niewiadomymi w uładzie równań (1a,b) ą: i (t), i (t), i ( t), i ( t), i ( t) oraz ąt obrotu ϕ (t). Aby można było Q orzytać z metody bilanu harmonicznych należy najpierw przeztałcić równanie (1b) do potaci (4). W tym celu należy wyorzytać zależność (3), tóra jet łuzna dla pracy ynchronicznej i wahań momentu mechanicznego nie powodujących wypadnięcia mazyny z ynchronizmu. ϕ ( t) = ( / p) t ϕ( t) (3) D

3 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) 19 d ϕ d ϕ J D = T em T m ( ϕ) D p (4) φ 1 F n, Fn, 3 j xt F n, jxt Fn = Fn, e = e 4 = = Fn, 5 F n, 6 Fn, (8) dla n {,1, } Kolejną czynnością jet porównanie wpółczynniów przy tych amych uncjach bazowych po obydwu tronach równania (5). Eetem taiego działania będzie utworzenie uładu nieończenie wielu nieliniowych równań algebraicznych z nieończoną ilością zmiennych (9), Zależności (1a) i (4) łączy ię w jedno równanie wetorowe (5), na bazie tórego ormułuje ię równania bilanu harmonicznych dla rozpatrywanego zagadnienia. d d F ( x) F1 ( x) F ( x, t) = (5) Przy taim zapiie wetor rozwiązań ma potać: [ i i i i i ϕ] T x = (6) Ze względu na oreowy charater wymuzeń i przyjęte założenia w mazynie ynchronicznej wytąpią ocylacje wymuzone, tóre powodują, że rozwiązanie tanu utalonego będzie taże oreowe. Chcąc orzytać dla równania (5) z metody bilanu harmonicznych wetory x, F 1( x ), F ( x ) i F (, ) x t przewiduje ię w potaci zepolonych zeregów Fouriera (7) i (8) o nieznanym oreie Tx = 1 / x = π/ x, a natępnie poawia do równania (5). I j t I x, jxt x = X e = e (7) = = I D, I Q, D I Q M M M M F,1 j F1,1 diag F, diag F 1, F, 1 j F1, 1 M M M M M M F,1 F, = (9) F, 1 M M gdzie: = π x E, E - macierz jednotowa o wymiarach [ 6 6] Ułatwieniem pozwalającym na uprozczenie zapiów ormalnych w dalzej części pracy jet zatoowanie tzw. wetorowych reprezentacji zeregów Fouriera [6]. W eecie ich użycia uład równań (9) przyjmuje natępującą ormę ) F ( X) jf ( X) F ( X) = (9a) ( 1 3. Algorytm wyznaczania rozwiązań utalonych Z uwagi na nieliniowy charater uładu równań (9) może on zotać rozwiązany tylo przy użyciu procedur numerycznych. Wiąże ię to z oniecznością ograniczenia do wymiarów ończonych liczby branych pod uwagę harmonicznych (7), (8). Sutiem tego jet wyznaczenie z ograniczoną doładnością wzajemnych relacji między uncjami w dziedzinie czau i w dziedzinie czętotliwości. Spośród dotępnych metod numerycznych zdecydowano ię na procedurę iteracyjną Newtona- Raphona (1), z uwagi na jej zybą zbieżność. i 1 i X = X i 1 i J( X ) F( X ) (1) gdzie: F X) = ( ) F ( X) jf ( X) F ( X) ( 1 F J( X) = X

4 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) Szczegółowy poób obliczania pozczególnych elementów ładowych wyrażenia (1) po ażdej iteracji, ja i wybór puntu tartowego algorytmu iteracyjnego zotał opiany w pracy [7]. 4. Wynii obliczeń numerycznych Do obliczeń wyorzytano parametry zatępcze ilnia ynchronicznego typu GAe-148 [8] o danych znamionowych P N =1,5MW, U N =6V, coφ N =,9, n N =75obr/min, J S =5g m. Do ymulacji przyjęto, że I =,95I N, a średnia wartość momentu napędowego jet równa momentowi znamionowemu ilnia ynchronicznego. Algorytm iteracyjny zaimplementowano numerycznie w programie MATLAB. W rezultacie badań oreślono wpływ: - momentu bezwładności uładu oraz - liczby cylindrów ilnia tłoowego na widma amplitudowe najważniejzych harmonicznych: - prądu tojana azy a, - ąta mocy. Puntem odnieienia, przy oreślaniu wpływu pozczególnych parametrów, była w obydwu przypadach reacja mazyny ynchronicznej na pobudzenie momentem napędowym, tórego przebieg zamiezczono na ryunu 1. ( / p) =, w tórej p odpowiada liczbie par biegunów. W przypadu, gdy moment bezwładności całego uładu J będzie równy momentowi bezwładności ilnia ynchronicznego J, olejne ładowe widma I -1 i I 1 mają amplitudy ponad dzieięciorotnie mniejze od amplitudy ładowej I. Natomiat wartości drugich harmonicznych (I - i I ) ą już niepełna pięćdzieięciorotnie mniejze w porównaniu do I. Amplitudy olejnych ładniów widma maleją ytematycznie. W wyniu dwurotnego zwięzenia momentu bezwładności całego uładu jedynie amplituda poawowej harmonicznej w prądzie tojana pozotaje bez zmian. Pozotałe ładowe ulegają ponad dwurotnemu ograniczeniu, co utuje zmniejzeniem ię wahań prądu tojana. Ry.. Widmo amplitudowe prądu tojana dla dwóch różnych wartości momentu bezwładności (poziom odnieienia I 1-4 ) Ry. 1. Moment mechaniczny ilnia palinowego czterouwowego [] Amplitudy pozczególnych ładniów prezentowanych widm przeawiono przy użyciu ali decybelowej ze względu na znaczne różnice ich wartości. W widmie Fouriera prądu tojana z ryunu dominuje ładowa I o czętotliwości ieciowej wynozącej 5Hz. Czętotliwości pozotałych harmonicznych o indeach przyjmują wartości zgodnie z zależnością Widmo amplitudowe ąta obciążenia dla omawianego przypadu przeawiono na ryunu 3. Zawiera ono znacznie mniej omponentów ładowych niż widmo prądu i a. Dominuje w nim ładowa ϑ reprezentująca wartość średnią ąta mocy. Czętotliwości pozczególnych harmonicznych o numerach pełniają zależność =( /p). Wraz ze wzrotem maleją amplitudy olejnych ładowych widma. W przypadu zwięzenia J do wartości J wartość średnia ąta mocy (Ry.3.) nie ulega zmianie, natomiat amplitudy pozotałych harmonicznych zmniejzają ię o ponad 5%. Oznacza to, że wahania prędości ątowej mazyny ynchronicznej można ograniczyć przez zwięzanie całowitego momentu bezwładności zepołu prądnica ynchroniczna - palinowy

5 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) 1 ilni tłoowy, co jet zgodne z przewidywaniami. Widać na nim wyraźne zmniejzenie ię amplitudy uderzeń momentu mechanicznego, co ma bezpośredni wpływ na przebiegi mazyny ynchronicznej w tanie utalonym. Zmniejzeniu ulegają, w mniejzym lub w więzym topniu, wzytie wyżze harmoniczne prądu tojana (Ry.5.). Najbardziej ograniczone zotały amplitudy ładowych I i I - o czętotliwościach odpowiednio 6,5Hz oraz 37,5Hz, tóre zmalały blio pięciorotnie. W eecie tych zmian przebieg czaowy prądu generowanego przez prądnicę i a (t) taje ię przebiegiem bardziej zbliżonym do przebiegu inuoidalnego. Zmniejzeniu uległy również ładnii oreowe widma amplitudowego ąta mocy (Ry.6.), chociaż w topniu mniejzym niż w przypadu prądu i a. Wyjątiem jet ładowa ϑ o czętotliwości 1,5Hz, tóra zotała zreduowana ponad pięciorotnie. Ry. 3. Widmo amplitudowe ąta mocy dla dwóch różnych wartości momentu bezwładności (poziom odnieienia ϑ 1-4 ) Poprawę równomierności momentu mechanicznego na wale palinowego ilnia tłoowego uzyuje ię powzechnie poprzez zwięzenie liczby cylindrów w ilniu tłoowym. Potwierdzeniem łuzności taiego twierdzenia może być wyre momentu mechanicznego ilnia palinowego czterouwowego zamiezczony na ryunu 4. Ry.5. Widmo amplitudowe prądu tojana dla: a) ilnia palinowego czterouwowego, b) ilnia palinowego czterouwowego ze zdwojoną liczbą cylindrów. (Poziom odnieienia I 1-4 ) Ry. 4. Moment mechaniczny ilnia palinowego czterouwowego ze zdwojoną liczbą cylindrów Ry. 6. Widmo amplitudowe ąta mocy dla: a) ilnia palinowego czterouwowego, b) ilnia palinowego czterouwowego ze zdwojoną liczbą cylindrów. (Poziom odnieienia ϑ 1-4 ) Przejście od prezentowanych w dziedzinie czętotliwości rozwiązań do przebiegów czaowych pozczególnych wielości w tanie utalonym wymaga jedynie poawienia rozwiąza-

6 Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne Nr 3/14 (13) nia równania (1) do natępujących zeregów Fouriera: i a N ( t) = ϑ = N ( t ) = ϑ I co t α p N ϑ co t β = 1 p Poza prezentowanymi widmami prądu tojana i ąta obciążenia opracowany algorytm wyznacza również ładowe widm Fouriera: prądu wzbudzenia mazyny ynchronicznej, prędości ątowej wirnia oraz prądów late. 6. Wnioi W artyule zaprezentowano algorytm iteracyjny pozwalający na bezpośrednie wyznaczanie tanu utalonego w prądnicy ynchronicznej wpółpracującej ze palinowym ilniiem tłoowym. Napędy tłoowe z racji wojej budowy ą źródłem pulacji momentu mechanicznego, ponieważ zawze wytępują odchyłi równomierności iły działającej na tłoi w pozczególnych cylindrach. Konieczność uwzględnienia tego atu prowadzi w itocie do powtania nieliniowości truturalnej w modelu matematycznym opiującym mazynę ynchroniczną w tanach dynamicznych, co znacznie ogranicza wachlarz dotępnych metod analizy. Prezentowane podejście do zagadnienia pozwala wyznaczyć precyzyjnie wzytie ładowe widm Fouriera w przebiegach mazyny ynchronicznej w przypadu, gdy znajduje ię ona w tanie pracy ynchronicznej i znany jet przebieg oreowo zmiennego momentu napędowego na jej wale. Umiejętność doładnego i jednoznacznego oreślania pozczególnych harmonicznych wielości pomiarowo dotępnych w mazynach ynchronicznych jet z olei poawą utecznej diagnotyi mazyn eletrycznych, prowadzonej w oparciu o analizę petralną MCSA (Motor Current Signature Analyi). Czynniiem tóry ogranicza zatoowanie prezentowanego algorytmu jet onieczność itnienie położenia równowagi tatycznej, co wylucza zatoowanie go do analizy tanów przejściowych i nieutalonych zachodzących w mazynach ynchronicznych. Ograniczenie to wynia ze toowalności metody bilanu harmonicznych, tóra łuży do analizy przebiegów oreowych lub prawie - oreowych. 7. Literatura [1]. Laudyn D., Pawli M., Strzelczy F.: Eletrownie, WNT, wydanie czwarte poprawione, Warzawa,, []. Anuzczy J.: Mazyny eletryczne w energetyce. Zagadnienia wybrane, WNT, Warzawa 5, [3]. Jagiełło A.: Sytemy eletromechaniczne dla eletryów, Wydawnictwo Politechnii Kraowiej, Kraów, 8,. 88 [4]. Laible Th.: Die Theorie der Synchronmachine im nichttationären Betrieb, Springer-Verlag, Berlin/Göttingen/Heidenberg, 195, [5]. Sobczy T. J., Radzi M.: Algorytm bezpośredniego oreślania tanów utalonych w mazynach ynchronicznych z uwzględnieniem równania ruchu metodą bilanu harmonicznych, Zezyty Problemowe Mazyny Eletryczne nr 83, 9, wyd. BOBRME Komel, [6]. Sobczy T. J.: Metodyczne apety modelowania matematycznego mazyn inducyjnych, WNT, Warzawa, 4, , [7]. Radzi M.: Algorytm bezpośredniego oreślania tanów utalonych w mazynach ynchronicznych z uwzględnieniem równania ruchu, praca dotora, Politechnia Kraowa, Kraów 11, [8]. Sobczy T. J., Kaczmare R.: Parametry zatępcze ilniów ynchronicznych z latą rozruchową, Przegląd Eletrotechniczny, vol. 66, No. 8-9, Autorzy Michał Radzi Pańtwowa Wyżza Szoła Zawodowa w Nowym Sączu, Intytut Techniczny, ul. Zamenhoa 1a, 33-3 Nowy Sącz, m.radzi@poczta.onet.pl, Tadeuz J. Sobczy, Politechnia Kraowa, Wydział Inżynierii Eletrycznej i Komputerowej, Intytut Eletromechanicznych Przemian Energii, Katedra Diagnotyi Mazyn Eletrycznych, ul. Warzawa 4, Kraów, peobczy@cy-r.edu.pl