Rachunek zdań I i II rzędu

Transkrypt

1 Rozumowanie w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) , Fax (32) Wykład IV

2 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Rachunek zdań jest także jednym ze sposobów zapisu wiedzy. Można by stwierdzić, ze jest on systemem wyrażeń będących formułami prawdziwymi, w którym nie stosuje się konkretnych zdań, lecz posługuje się tzw. zmiennymi zdaniowymi reprezentującymi zdania. Cała teoria opiera się na klasycznej logice dwuwartościowej, zgodnie z którą, za zmienne zdaniowe można podstawiać takie zdania, którym odpowiada wartość logiczna TRUE (prawda) lub FALSE (fałsz), tzn. takie, które uznane są odpowiednio za prawdziwe lub fałszywe.oprócz wyrażeń prostych, w rachunku zdań tworzone są również wyrażenia złożone. Powstają one z wyrażeń prostych przy wykorzystaniu funktorów zdaniotwórczych (spójników). Klasyczny rachunek zdań stosuje następujące spójniki: negacja (nieprawda, ze), koniunkcja (i), alternatywa (lub), implikacja (jeżeli to), równoważność (wtedy i tylko wtedy gdy).

3 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów To, czy otrzymane w ten sposób wyrażenia są fałszywe czy tez prawdziwe, zależy wyłącznie od prawdziwości lub fałszywości zdań składowych. Zdania, które są prawdziwe niezależnie od wartości logicznej występujących w nich zmiennych zdaniowych, nazywane są tautologiami. Przykładem tautologii jest prawo logiczne: (p q) ( q p) gdzie przyjmując, ze zmienne zdaniowe p i q reprezentują odpowiednio zdania: X jest dzieckiem i X jest niepełnoletni, możemy interpretować pokazaną tautologię jako schemat zdania: jest prawdą, że jeżeli X jest dzieckiem to X jest niepełnoletni, to prawdą jest także stwierdzenie, ze jeżeli X nie jest niepełnoletni to X nie jest dzieckiem. (w potocznym rozumowaniu to znaczy, ze jeżeli X jest dorosły to X nie jest dzieckiem, co rzeczywiście jest zgodne z rzeczywistością. Rachunek predykatów odgrywa istotna rolę wśród metod reprezentacji wiedzy, stanowiąc podstawę programowania w logice. Rachunek ten jest rozszerzeniem rachunku zdań przez wprowadzenie kwantyfikatorów: 1 : dla każdego, 2 : istnieje takie, że.

4 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Predykat - analiza Rachunek zdań wykonuje działania na zdaniach posiadających jakąś wartość logiczną, ale nie wnika w treść tych zdań. Z punktu widzenia gramatyki, predykat pełni rolę orzeczenia i składa się z nazwy i dowolnej liczby argumentów, które są nazywane termami (stałe (symbole) alfanumeryczne, numeryczne, zmienne i wyrażenia). Podstawiając stałe za zmienne otrzymujemy zdania prawdziwe lub fałszywe, dlatego w tak prosty i zrozumiały sposób predykaty interpretują wyrażane zdania. Podstawowe wyrażenia w rachunku zdań noszą nazwę termów, a wyrażenia złożone nazywamy formułami. Z formalnego punktu widzenia predykat rozpatruje się jako funkcję odwzorowującą argumenty predykatu (termy) w wartości TRUE lub FALSEi zapisuje się go podobnie jak funkcję w postaci: PREDYKAT (ARGUMENT). np.:posiada indeks(student), jest synem(adam, Jacek). Predykaty powyższe należy interpretować odpowiednio: student posiada indeks, Adam jest synem Jacka.

5 Teoretyczne podstawy rachunku predykatów Wyróżnia się rachunek predykatów I -go i II -go rzędu. Rachunek predykatów I -go rzędu operuje na pojęciach abstrakcyjnych, posiada mechanizmy pozwalające opisać prawa, którym podlegają obiekty systemu. Funkcje zdaniowe reprezentowane są za pomocą reguł zawierających implikację.np.: (p q) gdzie p i q to predykaty, to reguła postaci: Jeżeli p To q. Każda funkcjazdaniowa w której występuje równoważność to dwie reguły. Np.: (p q) gdzie p i q to predykaty, to dwie reguły: (p q)oraz (q p). Jednakże, nie wszystkie pojęcia o otaczającej nas rzeczywistości dają się reprezentować w logice. Z tego powodu, nie każda reguła utworzona z predykatu, który nie jest prawem logicznym, jest prawdziwa. Podobnie, nie każda reguła utworzona ze schematu wnioskowania jest prawdziwa, gdyż nie wszystkie schematy wnioskowania są niezawodne. Nie istnieje jednak metoda, która sprostałaby wszystkim wymaganiom.

6 Metody dowodzenia prawdziwości schematów Wnioskowanie jest procesem myślowym, w którym na podstawie uznania pewnych zdań, zwanych przesłankami, dochodzimy do uznania innego zdania, zwanego wnioskiem. Wnioskowanie w systemach ekspertowych oparte jest na logice matematycznej, która bada, czy z założeń wynikają konkluzje, niezależnie od ich prawdziwości lub fałszywości i niezależnie od tego, jakich spraw dotyczą. Zbiór, praktycznie rzecz biorąc, wszystkich metod wnioskowania spotykanych w matematyce, daje tzw. klasyczny system logiki, na który składają się klasyczny rachunek zdań, badający wartość logiczną zdań złożonych (alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność zdań) i klasyczny rachunek kwantyfikatorów. Klasyczne określenie prawdy głosi, że prawdziwe jest zdanie, które opisuje taki stan rzeczy, który istotnie ma miejsce - fałszywe zaś jest zdanie opisujące nieistniejący stan rzeczy. Rozumowanie to opiera się bowiem na tzw. zasadzie dwuwartościowości, która głosi, że każde zdanie ma jedną i tylko jedną z dwóch wartości logicznych: prawdy i fałszu. Oznacza to, ze każde zdanie jest prawdziwe lub fałszywe i ze żadne zdanie nie jest zarazem prawdziwe i fałszywe.

7 Logika - Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Logikę dzielimy na: 1 Semiotykę- bada relacje pomiędzy wyrażeniami językowymi a rzeczywistością pozajęzykową Syntaktyka - dziedzina semiotyki, która bada relacje pomiędzy znakami językowymi ze względu na kształt i bez względu na ich znaczenie Semantyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami a rzeczami pozajęzyk. Pragmatyka - bada relacje zachodzące pomiędzy znakami językowymi a użytkownikami tych znaków. 2 Logikę formalną - wyznacza niezawodne schematy rozumowe. 3 Metodologię - a) ogólna, b) szczegółowa

8 Logika - Wprowadzenie - cd Słowniczek pojęć z logiki - cd Zdanie w sensie logicznym - jest to wyrażenie opisujące jakąś sytuację, które jest prawdziwe albo fałszywe. Prawdziwość - zdanie jest prawdziwe jeśli opisuje sytuację, która zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej. Fałszywość - zdanie jest fałszywe jeśli opisuje sytuację, która nie zachodzi w rzeczywistości pozajęzykowej. Ontologiczna zasada niesprzeczności - jest prawdziwa z powodu otaczającej rzeczywistości a nie z powodu autorytetu Arystotelesa. Wartości logiczne są obiektywnymi własnościami zdań. Zdanie hipotetyczne - jest wtedy gdy uznaje się je za prawdopodobnie prawdziwe. Zdanie supozycyjne - jest wtedy gdy jego prawdziwość została założona dla celów jakiejś argumentacji.

9 Logika - Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Sensowność - zdanie jest sensowne w jakimś języku gdy jest konstruowane zgodnie z zasadami składniowymi tego języka. Fałszywość - aby dane wyrażenie było fałszywe musi być ono sensowne. Fałsz jest wartością logiczną zdania i należy go odróżnić od nonsensu. Nonsens - wyrażenie jest nonsensem danego języka wtedy gdy nie jest skonstruowane zgodnie z reg. składniowymi tego języka. Niezawodny schemat rozumowy - to taki schemat, w którym prawdziwość przesłania gwarantuje prawdziwość wniosku. Nie możliwe jest by otrzymać prawdziwy wniosek przy fałszywej przesłance. A A. Funktor - wyrażenie, które posiada argumenty i które tworzy razem z tymi argumentami nowe zdanie lub inny funktor. Przyjmuje się, że samodzielnymi kategoriami syntaktycznymi są nazwy i zdania a niesamodzielnymi funktory tzn. ich znaczenie zależy od argumentów. Funktory dzielimy na: zdaniotwórcze, funktorotwórcze, nazwotwórcze. Funktory mogą mieć wiele argumentów np.

10 Logika - Wprowadzenie Słowniczek pojęć z logiki Predykat - jest to funktor zdaniowy od argumentów nazwowowych. Kwantyfikator ogólny (duży) Dla każdego...(tu wstawiamy zmienną)...jest tak, że...(tu stawiamy zasięg) x (gdzie x jest np. człowiekiem) Kwantyfikator szczegółowy (mały lub egzystencjalny): Dla niektórych...( tu wstawiamy zmienną)...jest tak, że...(tu wstawiamy zasięg) x ( gdzie x jest człowiekiem) Funktor prawdziwościowy - jest to funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych ( tzn. posiada on wskaźnik Z/Z 1...Z n ) takich, że wartość logiczna zdania utworzonego przez ten funktor zależy wyłącznie od tego jakie są wartości logiczne jego argumentów.

11 Logika - Wprowadzenie Funktor negacji - nieprawda, że p p Funktor koniunkcji - p q ( np. p i q ) p q p q

12 Logika - Wprowadzenie Funktor alternatywy - p q ( p lub q ) alternatywa zwykła - alternatywa zwykła jest prawdziwa jeżeli przynajmniej p q p q jeden jej człon jest prawdziwy, jest ona przemienna alternatywa rozłączna - p q dyzjunkcja - p/q p q p q p q p/q

13 Logika - Wprowadzenie Funktor implikacji - p q - jeżeli p to q Implikacja jest fałszywa tylko wtedy gdy poprzednik (p) jest prawdą (1). Implikacja nie jest przemienna tzn. wartość poprzednika następnika decyduje o wartości implikacji. p q p q

14 Reguły wnioskowania Reguły wnioskowania w logice to zasady przekształcania zdań, w których wymienia się założenia (uznane za aksjomaty) oraz wskazuje sposoby poprawnego (tj. zgodnego z prawami logiki) wprowadzania nowych twierdzeń. Podstawowe reguły wnioskowania w logice to: Reguły wnioskowania: reguła odrywania - modus ponens reguła modus tollens

15 Reguły wnioskowania Reguła odrywania Reguła odrywania nazywana najczęściej regułą modus ponens, oparta na prawie modus ponendo ponens, zgodnie z którym, jeśli prawdziwa jest implikacja i jej poprzednik, to dozwolone jest zawsze uznanie prawdziwości także i następnika takiej implikacji. Reguła ta ma postać: p q p q i mówi, że jeżeli z przesłanki p wynika fakt q (p implikuje q) i p jest prawdziwe, to q także przyjmuje się za prawdziwe. Na tej regule opiera się proces wnioskowania w przód Np. Jeśli jest ładna pogoda, to idę na spacer Dziś jest ładna pogoda Idę na spacer

16 Reguły wnioskowania Reguła modus tollens Reguła modus tollens oparta na prawie logicznym modus tollendo tollens, które stwierdza, ze z implikacji i wyrażenia sprzecznego z jej następnikiem wynika wyrażenie sprzeczne z jej poprzednikiem, a więc stwierdza niezawodność schematów: ((p q) q) p (( p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p Oto przykład wnioskowania podpadającego pod pierwszy schemat : Jeżeli X jest dzieckiem to X jest niepełnoletni Paweł nie jest niepełnoletni Paweł nie jest dzieckiem

17 Rachunek zdań Tautologia - Zdanie logiczne nazywamy tautologia, jeśli jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych zdaniowych w nim występujących. Wybrane prawa rachunku zdań (p q) = (q p) - prawo przemienności koniunkcji (p q) = (q p) - prawo przemienności alternatywy (p q) r = p (q r) - prawo łączności koniunkcji (p q) r = p (q r) - prawo łączności alternatywy [(p q) r] = [(p r) (q r)] - prawo rozdzielczości alternatywy [(p q) r] = [(p r) (q r)] - prawo rozdzielczości koniunkcji (p p) - prawo wyłączonego środka (tertium non datur) (p p) - prawo sprzeczności p (p q) - prawo pochłaniania (p q) p - prawo pochłaniania

18 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań ( p) p prawo podwójnego zaprzeczenia (p q) ( p q) prawo de Morgana - zaprzeczenie koniunkcji (ekskluzja) (p q) ( p q) prawo de Morgana - zaprzeczenie alternatywy (binegacja) p q ( q p) prawo transpozycji (p q) (p q) prawo zaprzeczenia implikacji (p q) (q r) (q r) prawo przechodniości implikacji [(p q) p] q prawo sylogizmu konstrukcyjnego (modus ponendo ponens) [(p q) q] p prawo sylogizmu destrukcyjnego (modus tollendo tollens) [(p q) q] p prawo sylogizmu alternatywnego (modus tollendo ponens)

19 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań p p prawo tożsamości dla implikacji (p q) (p q) prawo przeczenia implikacji (p q) ( p q) prawo eliminacji implikacji (p q) ( q p) prawo transpozycji prostej [(p q) r] (( r p) q) prawo transpozycji złożonej [(p q) r] (( r q) p) [(p q) r)] ([p (q r)] prawo eksportacji [p (q r)] [(p q) r] prawo importacji [p (q r)] [q (p r)] prawo komutacji [(p r) (q r)] [(p q) r] prawo łączenia [(p q) r] [(p r) (q r)] prawo rozłączania [(p q) (p r)] [p (q r)] prawo kompozycji

20 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań [(p q] [(r s)] [(p r) (q s)] prawo mnożenia implikacji [(p q) (q r)] (p r) prawo sylogizmu hipotetycznego (koniunkcyjne) (p q) [(q r) (p r)] prawo sylogizmu hipotetycznego (bezkoniunkcyjne) {(p q) [(p r) (q r)]} r prawo dylematu konstrukcyjnego prostego {(p q) [(p r) (q s)]} (r s) prawo dylematu konstrukcyjnego złożonego (p r) [(p r) (r p)] prawo eliminacji równoważności I (p r) [(p r) ( p r)] prawo eliminacji równoważności II

21 Rachunek zdań Wybrane prawa rachunku zdań (p q) p prawo symplifikacji dla koniunkcji p (q p) prawo symplifikacji dla implikacji (prawo charakterystyki prawdy) p (p q) prawo Dunsa Szkota I (prawo charakterystyki fałszu) (p p) q prawo Dunsa Szkota II (p p) p prawo Claviusa p (p q) prawo pochłaniania dla alternatywy (prawo addycji) (p q) p prawo pochłaniania dla koniunkcji (prawo symplifikacji dla koniunkcji) (p q) [(p r) (q r)] prawo nowego czynnika (p q) [(p r) (q r)] prawo nowego składnika

22 Wybrane prawa rachunku zdań kompendium praw rachunko zdań Do nauczenia :! 1 ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2 reguła modus tollens MT : ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q) q) p 3 ((p q) q) p- reguła opuszczania alternatywy OA 4 (p p) q - prawo Dunsa Szkota 5 reguła odrywania koniunkcji OK: (p q) p (p q) q 6 p q (p q) -reguła dołączania koniunkcji DK 7 (p q) p q - prawo zastępowania implikacji ZI 8 (p q) p q prawo negowania koniunkcji NK 9 (p q) p q prawo negowania alternatywy NA

23 Dowodzenie prawdziwości schematów wnioskowania Aby udowodnić prawdziwość jakiegoś stwierdzenia, które nie jest aksjomatem (pewnikiem), wystarczy wykorzystać jedną z następujących metod dowodzenia poprawności schematów logicznych: 1 metoda zero-jedynkowa, 2 skrócona metoda zero-jedynkowa, 3 metoda założeniowa.

24 Metoda zerojedynkowa Metoda zerojedynkowa polega na wyznaczaniu wartości logicznej zdania przez wartości logiczne jej składników. Aby rozstrzygnąć, czy dany schemat jest tautologią, nalezy rozważyć wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zmiennych w niej występujących. Jeżeli w każdym przypadku wartość formuły (wyrażenia logiczne połączone funktorami) wynosi 1, to ta formuła jest tautologią. W tym celu niezbędna jest znajomość tzw. tabel prawdy dla poszczególnych operacji logicznych: sumy logicznej (alternatywy), iloczynu logicznego (koniunkcji), negacji, implikacji. Przedstawione one zostały poniżej w tabeli. Zapamiętaj!! 1 = PRAWDA, 0 = FAŁSZ x y x y x y x x y

25 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r) 0 0 0

26 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

27 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

28 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

29 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

30 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

31 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

32 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r)

33 Metoda zerojedynkowa ((p q) (q r) (p r))

34 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

35 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

36 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

37 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

38 Metoda zerojedynkowa x y x y x y x x y ((p q) (q r) (p r))

39 Metoda zerojedynkowa Wówczas niezawodność schematu postaci: ((p q) (q r)) (p r) będzie wykazana w następujący sposób: p q r p q q r (p q) (q r) p r ((p q) (q r)) (p r) Metoda ta pozwala na jednoznaczne stwierdzenie, czy schemat wnioskowania jest poprawny czy nie, jednakże nie zawsze jest uznawana w pełni formalną i wystarczającą metodę dowodzenia celu. Istnieje także pewnego rodzaju modyfikacja metody zerojedynkowej, noszącą nazwę skróconej metody zerojedynkowej.

40 Skrócona metoda zerojedynkowa Skrócona metoda zerojedynkowa Pozwala ona wykazać, że wyrażenie rachunku zdań o postaci implikacji jest prawem logicznym, w sytuacji, gdy wykluczone jest, by dla jakiegoś układu wartości logicznych przyporządkowanego zmiennym, poprzednik tej implikacji był prawdziwy a jej następnik fałszywy. Metoda ta jest często wykorzystywana, gdyż pozwala na uzyskanie tego samego rezultatu co metoda zerojedynkowa, bez konieczności sprawdzania wszystkich kombinacji zmiennych logicznych. Dzieje się tak dlatego, iz jeśli wszystkie przesłanki mają wartość logiczną 1, to wniosek musi mieć wartość 1, lub, ze jeśli wniosek ma wartość logiczną 0, to przynajmniej jedna z przesłanek ma wartość 0.

41 Przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: ((p q) (q r)) (p r) ((p q) (q r)) (p r) krok ?? ! ! 9 1 1! 10 SPRZECZNOŚĆ: q = 1 i q = 0 oraz r = 0 i r = 1

42 Zastosowania metody zero-jedynkowej Metoda zero-jedynkowa polega na budowie i analizie matrycy logicznej formuły; może być stosowana do: weryfikacji tautologii (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest true) weryfikacji niespełnialności (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest false) badania równoważności formuł (dla każdej interpretacji wartości logiczne są takie same) weryfikacji logicznej konsekwencji (dla każdej interpretacji prawdziwość formuły musi pociągać prawdziwość jej konsekwencji) wyznaczania interpretacji przy których formuła jest prawdziwa lub fałszywa.

43 Metoda założeniowa Wyróżniamy dwie techniki metody założeniowej: założeniowy dowód nie wprost założeniowy dowód wprost Metoda założeniowego dowodu nie wprost polega na tym, że z twierdzenia W w postaci w1 (w2 w3... (wn W )) wypisujemy najpierw wyrażenia w1,..., wn i następnie negację wyrażenia W. Dalsze wyrażenia dołączamy do dowodu korzystając z przyjętych reguł i twierdzeń wcześniej udowodnionych. Dowód jest zakończony jeżeli wystapią w nim dwa wyrażenia, z których jedno jest negacją drugiego.

44 Wybrane prawa rachunku zdań kompendium praw rachunko zdań Do nauczenia :! 1 ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2 reguła modus tollens MT : ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q) q) p 3 ((p q) q) p- reguła opuszczania alternatywy OA 4 (p p) q - prawo Dunsa Szkota 5 reguła odrywania koniunkcji OK: (p q) p (p q) q 6 p q (p q) -reguła dołączania koniunkcji DK 7 (p q) p q - prawo zastępowania implikacji ZI 8 (p q) p q prawo negowania koniunkcji NK 9 (p q) p q prawo negowania alternatywy NA

45 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: ((p q) (q r)) (p r) zapisujemy w następujący sposób: 1 p q

46 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r

47 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN

48 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)]

49 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)]

50 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)]

51 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)]

52 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)]

53 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]

54 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)]

55 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)]

56 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)] 12 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)]

57 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 (p r) DN 4 p q [ z reguły zastępowania implikacji ZI(1)] 5 q r [ z reguły zastępowania implikacji ZI(2)] 6 ( p r) [ z reguły zastępowania implikacji ZI(3)] 7 p r [ z reguły negowania alternatywy NA(6)] 8 p r [ z prawa podwójnej negacji PN(7)] 9 p [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 10 r [ z prawa odrywania koniunkcji OK(8)] 11 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(4,9)] 12 q [ z prawa odrywania alternatywy OA(5,10)] Zaszła sprzeczność dla zdań 11 oraz 12, a więc dowód był prawdziwy, a jedynie negacji tezy doprowadziła do sprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jest niemożliwa, to prawdziwa jest niezaprzeczona teza.

58 Metoda założeniowego dowodu wprost Metoda założeniowego dowodu wprost polega na tym, że z twierdzenia W w postaci w1 (w2 w3... (wn W )) wypisujemy najpierw wyrażenia w1,..., wn potem zaś wyrażenia, na dołączenie których pozwalają przyjęte reguły. Wolno też dołączyć do dowodu twierdzenia wcześniej udowodnione. Dowód jest zakończony, gdy wystąpi w nim wyrażenie W. Można inaczej powiedzieć, że w metodzie założeniowej (wprost) rozpatrywany schemat uznajemy za niezawodny, gdy w wyniku kolejnych działań, podczas których uzyskujemy schematy juz udowodnione jako niezawodne, ostatecznie uzyskamy cel wnioskowania (konkluzję całego wyrażenia). Nie można jednak na niej polegać w przypadku wykazywania zawodności schematów.

59 Metoda założeniowego dowodu wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: ((p q) (q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 p 4 q [ z reguły odrywania RO(1, 3)] 5 r [ z reguły odrywania RO(2, 4)] Zgodnie z metodą założeniową dowód rozpoczynać powinno wypisanie założeń, którymi są przesłanki dowodzonego schematu i poprzednik jej wniosku. Komentarze umieszczone na boku mówią o tym, z których wierszy wcześniejszych kolejne wiersze są otrzymane przy pomocy reguły odrywania. Dowód jest zakończony, gdyż otrzymaliśmy następnik wniosku.

60 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

61 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

62 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

63 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

64 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

65 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok p = 1 r = 0

66 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

67 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok

68 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok czyli q = 1?

69 Inny przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej Sprawdzenie niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) (( p q) ( q r)) (p r) krok czyli q = 1? czy q = 0? sprzeczność!

70 Metoda założeniowego dowodu nie wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: zapisujemy w następujący sposób: (( p q) ( q r)) (p r) 1 p q 2 q r 3 p r DN 4 p [ z reguły odrywania koniunkcji OK(3)] 5 r [z reguły odrywania koniunkcji OK(3)] 6 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,4)] 7 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,6)] SPRZECZNOŚĆ 7 Z a więc dowód był prawdziwy, a jedynie negacji tezy doprowadziła do sprzeczności. Skoro więc zaprzeczona teza jest niemożliwa, to prawdziwa jest niezaprzeczona teza.

71 Metoda założeniowego dowodu wprost - przykład Dowód niezawodności schematu: (( p q) ( q r)) (p r) gdzie: teza: (p r) p r p r zapisujemy w następujący sposób: 1 p q założenie 2 q r założenie 3 p założenie 4 q [ z reguły opuszczania alternatywy OA(1,3)] 5 r [ z reguły opuszczania alternatywy OA(2,4)]

72 Rachunek zdań II-go rzędu - Kwantyfikatory Kwantyfikatory są to najzwyczajniejsze w świecie stale (oczywiście logiczne), występujące sobie w (noszącym znamiona graficznego rozpisu sensu zdania) rachunku kwantyfikatorów, a oznaczane przez więcej niż wielu wytrawnych Logików w następujący sposób: kwantyfikator ogólny, zapisywany jako, czytany jako: dla każdego... kwantyfikator szczegółowy(egzystencialny), zapisywany jako, czytany jako: istnieje taki..., że... NAZWY- są dowolne zmienne - pojedyncze rzeczy, występujące w zdaniu i oznaczamy je małymi literami w następujący sposób : x, y, z... PREDYKATY - są to zmienne - własności NAZW i relacje miedzy tymi NAZWAMI zachodzące. Oznaczamy je wielkimi literami: P, Q, R, S... Predykaty reprezentują w wyrażeniu rachunku kwantyfikatorów albo NAZWE (zapisuje się to zawsze tak: P(x) ), albo tez relacje pomiędzy NAZWAMI (zapis : P(x, y)). SCHEMAT ZDANIOWY - jest to symboliczny zapis odzwierciedlający zawartość zdania, np.: xp(x)- czytaj jako: Dla każdego x, x jest Ptakiem y Q(y)- czytaj jako: Istnieje taki y, że y jest Kurą

73 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Wypisujemy sobie zmienne nazwowe (NAZWY), którymi są zawsze tylko te wszystkie podmioty (rzeczowniki), w stosunku do których inne części zdania (mogą nimi być także rzeczowniki w formie dopełnienia), pełnią funkcje opisowa: x - Kubuś y - Antykubuś z - czas

74 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. 1 Tworzenie zmiennych predykatowych (PREDYKATÓW): K(x) - x jest Kubusiem A(y) - y jest Antykubusiem C(z) - z jest czasem W (x, y) - x widział y G(y, z) - y gonił z 2 Przekształćmy sobie nasze zdanie tak, aby przybrało formę ułatwiającą nam dopasowanie odpowiednich kwantyfikatorów : (Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas. Mamy teraz pewność, że: Kubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. Antykubuś jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki y, że y jest Antykubusiem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora. czas jest jeden, wiec możemy powiedzieć: Istnieje taki z, że z jest czasem i zapisać to zaraz w schemacie, używając w tym celu MAłEGO kwantyfikatora.

75 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Przystępujemy do zapisania naszego zdania w postaci schematu kwantyfikatorowego: x{k(x) y [A(y) W (x, y) z(c(z) G(y, z)]} gdzie: K(x) - x jest Kubusiem A(y) - y jest Antykubusiem C(z) - z jest czasem W (x, y) - x widział y G(y, z) - y gonił z

76 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. ale po kolei... xk(x) czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem... x{k(x) y [A(y)... czytaj jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem...

77 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Teraz uwzględniamy stosunek panujący miedzy pierwsza i druga NAZWA, pamiętając, żeby zastosować ku temu symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator x{k(x) y [A(y) W (x, y)... co czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y... Kolejny krok to konieczność przedstawienia w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - czasu, który jest tu nierozłącznie związany z Antykubusiem - to on figluje z nim. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotąd napisaliśmy x{k(x) y [A(y) W (x, y) z(c(z)... czytamy jako: Istnieje taki x, ze x jest Kubusiem i istnieje taki y, ze y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, ze z jest czasem... No i nie pozostało nam nic innego, jak dopełnienie schematu relacja zachodząca pomiędzy Antykubusiem i czasem - y gonił z, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to mały kwantyfikator: x{k(x) y [A(y) W (x, y) z(c(z) G(y, z)]} co czytamy jako: Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i istnieje taki y, że y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, że z jest czasem i y gonił z.

78 Zdanie: Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. Kubuś widział Antykubusia, goniącego czas. [ (Jeden) Kubuś widział (jednego) Antykubusia, goniącego (jeden) czas. ] x - Kubuś y - Antykubuś z - czas K(x) - x jest kubusiem A(y) -y jest Antykubusiem C(y) - z jest czasem W (x, y) - x widział y G(y, z) - y gonił z x{k(x) y [A(y) W (x, y) z(c(z) G(y, z)]} Istnieje taki x, że x jest Kubusiem i istnieje taki y, że y jest Antykubusiem i x widział y i istnieje taki z, że z jest czasem i y gonił z.

79 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. 1 Wypisujemy zmienne nazwowe (NAZWY): x - mis y - miodek z - Człowiek 2 Tworzymy zmienne predykatowe (PREDYKATY): M(x) - x jest misiem U(y) - y jest miodkiem C(z) - z jest Człowiekiem Z(x, y) - x zjada y W (z, y) - z wyprodukował y x{m(x) y [u(y) Z(x, y) z(c(z) W (z, y)]}

80 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. x{m(x) y [u(y) Z(x, y) z(c(z) W (z, y)]} Negacja jest konieczna, ponieważ w naszym zdaniu jest jednoznaczne zaprzeczenie temu, że istnieje jakiś miodek ludzkiej produkcji, który odważyłby się zjeść wszystkie misie... po kolei... Rozpoczynamy od napisania faktu, że to, co tu dzieje się, dotyczy każdego misia: x{m(x)... UWAGA! Czyta się to tak: Dla każdego x, x jest misiem... Teraz kolejna NAZWA, która jest wobec misia podrzędną x{m(x) y [u(y)... Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, że y jest miodkiem...

81 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. Teraz relacja zachodząca miedzy pierwszą i drugą NAZWĄ, pamiętamy, żeby zastosować symbol koniunkcji, gdyż ostatnim wpisanym przez nas kwantyfikatorem był mały kwantyfikator: x{m(x) y [u(y) Z(x, y)... Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, że y jest miodkiem i x zjada y... Przedstawiamy w schemacie kolejnego bohatera naszego zdania - Człowieka, który jest tu nierozłącznie związany z miodkiem. Pamiętamy oczywiście o symbolu koniunkcji, łączącym istnienie tej NAZWY z tym, co dotychczas napisaliśmy (ostatnio wpisaliśmy mały kwantyfikator): x{m(x) y [u(y) Z(x, y) z(c(z)... Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, że y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem... Dopełniamy schemat relacja zachodząca pomiędzy Człowiekiem i miodkiem - z wyprodukował y, jak zwykle wpisując w odpowiednim miejscu symbol koniunkcji, bo determinuje to ostatni mały kwantyfikator: x{m(x) y [u(y) Z(x, y) z(c(z) W (z, y)]} Dla każdego x, x jest misiem, to NIE istnieje taki y, że y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem, i z wyprodukował y.

82 Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. Podsumowując, cala praca powinna wyglądać następująco: Wszystkie misie nie zjedzą miodku, wyprodukowanego przez Człowieka. [ Dla każdego misia nie istnieje taki (jeden) miodek, który nadawałby się do zjedzenia i zostałby wyprodukowany przez (jednego) Człowieka. ] x - mis y - miodek z - Człowiek M(x) - x jest misiem U(y) - y jest miodkiem C(z) - z jest Człowiekiem Z(x, y) - x zjada y W (z, y) - z wyprodukował y x{m(x) y [u(y) Z(x, y) z(c(z) W (z, y)]} Dla każdego x, jeżeli x jest misiem, to NIE istnieje taki y, że y jest miodkiem i x zjada y, i istnieje taki z, że z jest Człowiekiem i z wyprodukował y.

83 Ćwiczenia Ćwiczenia

84 Istnieją Ludzie, którzy są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem. ] colorbluex - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem x(c(x) A(x)) - Mały kwantyfikator, bo zdanie nie mówi o wszystkich Ludziach, ale o niektórych z nich. - Koniunkcja, bo to nieodłączna towarzyszka małego kwantyfikatora. - W obu nawiasach x, bo w tym przypadku chodzi o jedna i ta sama istotę, która jest jednocześnie Człowiekiem i Aniołem.

85 Istnieją Ludzie, którzy nie są Aniołami. [mówiąc w uproszczeniu: Istnieje taka (przynajmniej jedna) istota, która jest Człowiekiem i nie jest Aniołem. ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem x(c(x) A(x)) colorred Istnieje taki x, ze x jest Człowiekiem i x nie jest Aniołem.

86 Wszyscy Ludzie są Aniołami. [ mówiąc w uproszczeniu: Każda istota, która jest Człowiekiem, jest jednocześnie Aniołem. ] x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem x(c(x) A(x)) - Duży kwantyfikator, bo zdanie mówi o wszystkich Ludziach. - Implikacja, bo to nieodłączna towarzyszka dużego kwantyfikatora. - W obu nawiasach x, bo w tym przypadku chodzi o wszystkie i te same istoty, które są jednocześnie ludźmi i Aniołami. Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x jest Aniołem.

87 Żaden Człowiek nie jest Aniołem. mówiąc w uproszczeniu: WARIANT I - Każda istota, która jeżeli jest Człowiekiem, to nie jest Aniołem. lub też: WARIANT II - Nie istnieje istota, która jest zarazem Człowiekiem i Aniołem. x - istota C(x) - x jest Człowiekiem A(x) - x jest Aniołem 1 wariant I x(c(x) A(x)) Dla każdego x, jeżeli x jest Człowiekiem, to x nie jest Aniołem. 2 wariant II x(c(x) A(x)) Nie istnieje taki x, że x jest Człowiekiem i x jest Aniołem.

88 Znajdowanie schematów wnioskowania i dowody ich niezawodności Żadna ryba nie jest ssakiem Żaden wieloryb nie jest rybą Każdy wieloryb jest ssakiem Jeśli założymy, że: x - zwierzę R(x) - zwierzę jest rybą S(x) - zwierzę jest ssakiem W (x) - zwierzę jest wielorybem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x(r(x) S(x)) x(w (x) R(x)) x(w (x) S(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu (w naszym konkretnym przypadku wszystkie kwantyfikatory są identyczne, więc można je usunąć swobodnie): R(x) S(x) W (x) R(x) W (x) S(x)

89 Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności. Uproszczony zapis schematu to: r s w r w s

90 metodą założeniową wprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 w (zał.) 4 r RO(2,3) 5 r s ZI(1) 6 r s PN(5) 7 s OK(6) metodą założeniową niewprost 1 r s (zał.) 2 w r (zał.) 3 (w s) (DN) 4 ( w s) ZI(3) 5 w s NA(4) 6 w s PN(5) 7 s OK(6) 8 w OK(6) 9 r RO(2,8) 10 r s ZI(1) 11 r s PN(10) 12 s OK(11) SPRZECZNE 7 i 12.

91 Inny schemat wnioskowania Nie każdy człowiek jest pijakiem Każdy pijak jest człowiekiem nie każdy człowiek jest człowiekiem Jeśli założymy, że: x - istota C(x) - istota jest człowiekiem P(x) - istota jest pijakiem to wówczas schemat ten z użyciem kwantyfikatorów mógłby wyglądać następująco: x(c(x) P(x)) x(p(x) C(x)) x(c(x) C(x)) Teraz następuje proces ujednolicenia kwantyfikatorów, w celu ich usunięcia z zapisu. W tym celu należy zamienić kwantyfikatory ogólne na kwantyfikatory szczegółowe.

92 Teraz schemat wygląda następująco: x (C(x) P(x)) x(p(x) C(x)) x (C(x) C(x)) Teraz wszystkie kwantyfikatory są takie same, więc można je usunąć: (C(x) P(x)) P(x) C(x) (C(x) C(x)) Stosując metodę skróconą zerojedynkową łatwo przekonujemy się, iż schemat ten jest niezawodny. Przystępujemy więc do dowodu jego niezawodności.

93 Uproszczony zapis schematu to: (c p) p c (c c) Zgodnie z metodą założeniową nie wprost dowód wygląda następująco: 1 (c p) (zał.) 2 p c (zał.) 3 (c c) (DN) 4 c c ZI(3) SPRZECZNE 5 i 6, zatem schemat jest niezawodny. 5 c OK(4) 6 c OK(4)

94 Podsumowanie 1 Tautologia, Logika dwuwartościowa, tabele prawdy. 2 Metody badania niezawodności schematów wnioskowania: Metoda zerojedynkowa, Skrócona metoda zerojedynkowa. 3 Metody dowodu niezawodności schematów - metoda założeniowa: Założeniowa metoda dowodu wprost, Założeniowa metoda dowodu nie wprost. 4 Rachunek zdań II-go - kwantyfikatory. 5 Rachunek predykatów - język PROLOG.

95 Literatura Pawlak Z., (1983) Information Systems - theoretical foundations [polish], WNT, W-wa. Pogorzelski W.A., (1973), Klasyczny rachunek zdan. Zarys teorii, PWN, Warszawa, Poland Cholewa W., Pedrycz W., (1987), Systemy doradcze, skrypt Politechniki Śląskiej nr 1447, Gliwice, Poland Cichosz P.,(2001), Systemy uczące się, WNT,Warszawa, Poland Grzegorczyk A., (1969), Zarys logiki matematycznej, PWN, Warszawa, Poland Paprzycka K., Samouczek logiki zdań i logiki kwantyfikatorów - dostępny na stronie: