i proste algorytmy numeryczne LABORKA Piotr Ciskowski
|
|
|
- Marek Cichoń
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Macierze i proste algorytmy numeryczne LABORKA Piotr Ciskowski
2 przykład 1. zabawy z macierzami wygeneruj macierze Pascala różnych rozmiarów, wydedukuj z nich zasadę tworzenia» pascal ( 5 )
3 przykład 1. zabawy z macierzami utwórz macierz z obrazu Dürera
![5 10 11 8 ; 9 6 7 12 ; 4 15 14 1 ] zsumuj jej elementy w kolumnach stransponuj ją](/docs-images/64/51268409/images/4-1.jpg "oblicz sumę elementów w kolumnach tej macierzy stransponowanej wyciągnij z macierzy A")
4 przykład 1. zabawy z macierzami utwórz macierz z obrazu Dürera (jako macierz A)» A = [ ; ; ; ] zsumuj jej elementy w kolumnach stransponuj ją oblicz sumę elementów w kolumnach tej macierzy stransponowanej wyciągnij z macierzy A główną przekątną i umieść ją w kolumnie oblicz sumę elementów na głównej przekątnej
5 przykład 1. zabawy z macierzami utwórz macierz z obrazu Dürera» A = [ ; ; ; ] oblicz sumę elementów w czwartej kolumnie macierzy A wygeneruj ciąg liczb od 1 do 16 zsumuj wszystkie elementy macierzy A i podziel przez 4
6 przykład 1. zabawy z macierzami utwórz macierz magiczną o wymiarze 4 x 4 (jako macierz B)» B = magic ( 4 ) przypomnij sobie macierz A w macierzy B zamień miejscami kolumny 2 i 3 (po dwakroć) sprawdź, które elementy macierzy A i B są sobie równe sprawdź, czy którekolwiek elementy macierzy A i B są sobie równe sprawdź, czy którekolwiek elementy macierzy A i B są różne
7 przykład 2. macierze rzadkie wygeneruj zwykłą macierz jednostkową o wymiarach sprawdź, ile ma elementów niezerowych spytaj, czy jest rzadka wygeneruj rzadką macierz jednostkową o wymiarach spytaj, czy jest rzadka wygeneruj rzadką macierz liczb losowych z rozkładu normalnego o wymiarach 5 5 i wypełnieniu 0.5 oblicz jej gęstość zamień ją na macierz normalną (pełną)
8 przykład 2. macierze rzadkie wygeneruj rzadką macierz liczb losowych z rozkładu normalnego o wymiarach 5 5 i wypełnieniu 0.8 odwróć ją i zobacz, ile ma elementów
9 przykład 2. macierze rzadkie wygeneruj rzadką macierz liczb losowych z rozkładu normalnego o wymiarach i wypełnieniu 0.3, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95 i obejrzyj ją
10 przykład 2. macierze rzadkie wygeneruj rzadką macierz liczb losowych z rozkładu normalnego o wymiarach i wypełnieniu 0.3, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95» Bsp = sprandn ( 500, 500, 0.3 ) ; i obejrzyj ją» spy ( Bsp )» help spy... SPY(S,markersize) uses the specified marker size instead of a size which depends upon the figure size and the matrix order.
11 przykład 2. macierze rzadkie wygeneruj rzadką macierz liczb losowych z rozkładu normalnego o wymiarach 5 5 i wypełnieniu 0.5 i sprawdź, czy rzeczywiście MATLAB pomyli się przy cos(0) obejrzyj sobie macierz w normalnym widoku
12 przykład 3. odwracanie macierzy wygeneruj zwykłą macierz liczb losowych o wymiarach obejrzyj ją na obrazku odwróć ją i wynik obejrzyj na obrazku (w nowym okienku) pomnóż obie macierze i wynik obejrzyj na obrazku (w nowym okienku)
13 zadanie 1. obliczanie wartości liczby e Funkcję e x można przedstawić w postaci szeregu: i x x x x x e = ! 2! 3! i! Napisz funkcję, która oblicza sumę tego szeregu dla podanej wartości x: metodą nieefektywną obliczając każdy wyraz osobno i korzystając z zewnętrznej funkcji do obliczania silni lepszą metodą - obliczając każdy wyraz na podstawie poprzedniego Niech funkcja kończy obliczenia dla wyrazu, dla którego gdzie ε jest z góry zadaną dokładnością Oblicz e -5.5 z dokładnością Porównaj wyniki z wynikami wbudowanej funkcji exp(x) Oblicz 1000 razy e -5.5 z dokładnością i porównaj czas obliczeń nieefektywnych, efektywnych oraz wbudowanej funkcji exp Narysuj wykres błędu oszacowania różnicy między obu funkcjami function [ y ] = expszer ( x, eps ) i x < ε i!
14 zadanie 1. obliczanie wartości liczby i x x x x x e = ! 2! 3! i!» exptest1 Obliczanie funkcji exp z szeregu Podaj x: 1 Podaj dokładność obliczeń: shortwynik = longwynik = longewynik = e e+000 longgwynik =
15 zadanie 1. obliczanie wartości liczby i x x x x x e = ! 2! 3! i!» exptest2 Obliczanie funkcji exp z szeregu Podaj x: -5.5 Podaj dokładność obliczeń: shortwynik = longwynik = longewynik = e e-003 longgwynik =
16 zadanie 1. obliczanie wartości liczby i x x x x x e = ! 2! 3! i!» exptest4
17 zadanie 2. obliczanie wartości wielomianu - schemat Hornera Należy obliczyć wartość wielomianu dla pewnej wartości argumentu x = W n (z) można obliczyć wprost ze wzoru wtedy liczba działań wynosi: mnożeń i dodawań Jeśli wielomian przedstawimy w takiej postaci: to będziemy mogli wykorzystać schemat Hornera: n n 1 ( ) do wykonania którego potrzeba mnożeń i dodawań W x = a x + a x + + a x + a z n 0 1 n 1 n ((( 0 1 ) 3 ) 1 ) ( ) ( ) ( ) W x = a x + a x + a x + a + a x + a n x n n b i i 1 i n = a b = b z + a b = b z + a b = b z + a ( ) W z = b n
18 zadanie 2. obliczanie wartości wielomianu - schemat Hornera n n 1 ( ) W x = a x + a x + + a x + a n 0 1 n 1 n ((( ) ) ) ( ) ( ) ( ) W x = a x + a x + a x + a + a x + a n 0 1 x 3 n 1 n b i i 1 i n = a b = b z + a b = b z + a b = b z + a ( ) W z = b n a 0 a 1 a 2 a n-1 a n b 0 z b 1 z b n-2 z b n-1 z z b 0 =a 0 b 1 b 2 b n-1 b n b n =W n (z)
19 zadanie 2. obliczanie wartości wielomianu - schemat Hornera ((( 0 1 ) 3 ) 1 ) ( ) ( ) ( ) W x = a x + a x + a x + a + a x + a n x n n P b = a 0 0 b = b z + a b = b z + a b = b z + a i i 1 i n ( ) W z = b n NIE WE n, a 1,, a n,z b 0 :=a 0 i:=1 b i :=b i-1 z+a i i = n TAK i:=i+1 Napisz funkcję, która dla wielomianu stopnia n o podanych współczynnikach [ a 1, a 2, a 3,, a n ] oraz danej wartości x=z oblicza wartość wielomianu W n (z) W:=b n WY W function [ W ] = horner ( a, z ) K
20 zadanie 3. liczby pierwsze Liczba pierwsza to taka liczba naturalna, która nie dzieli się przez żadną inna liczbę oprócz siebie i jedności. Liczby złożone (nie będące pierwszymi) dają się przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Liczby pierwsze wykorzystuje się w kryptografii Jednym z prostszych i chyba najpopularniejszym algorytmem generowania liczb pierwszych jest sito Erastotenesa eliminuje liczby podzielne przez jakąkolwiek liczbę oprócz badanej Algorytm zapisany kiedyś w pseudojęzyku (dla języka Pascal) zapisz jako funkcję w MATLABie Znajdź inne algorytmy generowania liczb pierwszych, ew. sprawdzania, czy dana liczba jest liczbą pierwszą
21 zadanie 3. liczby pierwsze Początek Czytaj(M); Pisz(2); i:=3; dzielnik:=2; Dopóki i<m wykonuj Początek WE P M WY 2 i:=3 dzielnik:=2 Powtarzaj Dopóki (i mod dzielnik=0) wykonuj Początek i:=i+1; dzielnik:=2 Koniec; dzielnik:=dzielnik+1 aż do dzielnik i div 2; Jeśli i<=m to Pisz(i); i:=i+1; dzielnik:=2 Koniec Koniec NIE TAK i M K NIE NIE dzielnik:=dzielnik+1 WY TAK i i < M dzielnik div 2 = 0 i:=i+1 dzielnik:=2 TAK i mod dzielnik = 0 NIE TAK i:=i+1 dzielnik:=2
22 zadanie 4. ułamki proste Ułamek właściwy można przedstawić jako sumę ułamków prostych, np. Licznik ułamka prostego jest równy = Poniższy algorytm polega na tworzeniu kolejnych mianowników ułamków prostych T i przez poszukiwanie takich liczb i, dla których Licznik 1 0 Mianownik i > Pierwsza liczba i spełniająca tę nierówność zapamiętywana jest w tablicy T, po czym następuje modyfikacja wielkości Licznik i Mianownik. Proces jest kontynuowany dopóty, dopóki wartość Licznik jest różna od 0 Schemat działań zaprogramuj w postaci funkcji MATLABa, przyjmującej dwa parametry num i den licznik i mianownik pierwotnego ułamka właściwego, a zwracającej tablicę dens mianowników kolejnych ułamków prostych
23 zadanie 4. ułamki proste P WE Licznik, Mianownik j:=0 j:=j+1 i:=2 NIE 1/i > Licznik/Mianownik TAK i:=i+1 Licznik:=Licznik i-mianownik Mianownik:=Mianownik i T j :=i NIE Licznik = 0 TAK n:=1 WY T n TAK n = j NIE n:=n+1 K
24 zadanie 5. nwd Na podstawie poniższego schematu blokowego napisz funkcję w MATLABie znajdującą największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych wg algorytmu Euklidesa P WE m, n r:=m mod n FALSE r = 0 TRUE m:=n n:=r WY n K
25 zadanie 6. mnożenie wielomianów ( ) 0 1 j p p p 1 p j Dla danych dwóch wielomianów u x = b x + b x + + b x + + b stopnia p oraz iloczyn W ( x) = u ( x) v( x) jest wielomianem o współczynnikach obliczonych według wzoru: q q 1 q ( k j ) ( x) = c x + c x + + c x v + + c 0 1 k j n n 1 n k ( x ) = a 0 x + a 1 x + + a k x + a n W + ( p, k ) min a k = b jck j k = 0,1,, n j= max ( 0, k q) q stopnia q stopnia n = p+q Napisz funkcję w MATLABie, która mnoży wielomiany: - przyjmuje wektory współczynników wielomianów u i v - zwraca wektor współczynników wielomianu W
26 zadanie 8. fraktale Napisz program rysujący w MATLABie zbiory Julii i Mandelbrota O rysowaniu fraktali można poczytać tu: J. Kudrewicz. Fraktale i chaos. WNT, Warszawa 1993 Pomijając zawiłe wyprowadzenia matematyczne, możemy przyjąć następujące metody rysowania fraktali: ( ) pot jest przekształcenie P z = z + c, w którym z i c to liczby zespolone zaczynamy z punktu początkowego z 0 i iterujemy go tak długo, aż wyjdzie poza okrąg o promieniu r gran dla zbioru Mandelbrota zaczynamy od z 0 =0 i obserwujemy liczbę kroków, po których iterowany punkt wychodzi poza okrąg graniczny o promieniu r gran w zależności od parametru c współrzędne x i y wykresu to Re(c) i Im(c) - kolor punktu zależy od liczby kroków dla zbioru Julii przyjmujemy z kolei z góry parametr c, a obserwujemy liczbę kroków, po której punkt ucieka poza okrąg graniczny w zależności od punktu początkowego z 0 - współrzędne x i y wykresu to Re(z 0 ) i Im(z 0 ) - kolor punktu zależy od liczby kroków
27 zadanie 8. fraktale zestawy gotowych parametrów fraktali, na podstawie wspomnianej książki: case 1, jakizbior=['mandelbrot']; pot=2; c=0; rgran=2.3; ReMin=-2.0; ReMax=2.0; ImMin=-2.0; ImMax=2.0; maxiter=20; case 2, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-i; rgran=2.3; ReMin=-1.8; ReMax=1.8; ImMin=-1.3; ImMax=1.3; maxiter=20; case 3, jakizbior=['mandelbrot']; pot=3; c=0; rgran=2; % fot. 15 ReMin= 0.100; ReMax=0.108; ImMin= ; ImMax=0.7925; maxiter=100; case 4, jakizbior=['julia']; pot=3; c=0.5+i*0.4756; rgran=2; % fot. 16 ReMin=-1.6; ReMax=1.6; ImMin=-1.2; ImMax=1.2; maxiter=200; case 5, jakizbior=['mandelbrot']; pot=3; c=0; rgran=2; % rys ReMin= ; ReMax=0.1310; ImMin= ; ImMax=0.7670; maxiter=200; case 6, jakizbior=['mandelbrot']; pot=3; c=0; rgran=2; ReMin= ; ReMax=0.1080; ImMin= ; ImMax=0.7925; maxiter=200; case 7, jakizbior=['mandelbrot']; pot=3; c=0; rgran=2; ReMin= ; ReMax=0.5005; ImMin= ; ImMax=0.4773; maxiter=200; case 8, jakizbior=['mandelbrot']; pot=3; c=0; rgran=2; ReMin= ; ReMax=0.5008; ImMin= ; ImMax=0.0840; maxiter=200; case 9, jakizbior=['julia']; pot=3; c=i*1.088; rgran=2; % rys ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=200; case 10, jakizbior=['julia']; pot=3; c=i*1.089; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=250; case 11, jakizbior=['julia']; pot=3; c= i*0.4776; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=350;
28 zadanie 8. fraktale zestawy gotowych parametrów fraktali, na podstawie wspomnianej książki: case 12, jakizbior=['julia']; pot=3; c= i*0.4775; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=350; case 13, jakizbior=['julia']; pot=3; c= i* ; rgran=2; % rys ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter= 70; case 14, jakizbior=['julia']; pot=3; c= i* ; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=300; case 15, jakizbior=['julia']; pot=3; c=0.591+i*0.591; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=100; case 16, jakizbior=['julia']; pot=3; c=0.2+i*0.751; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=150; case 17, jakizbior=['julia']; pot=3; c=0.5+i*0.475; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=180; case 18, jakizbior=['julia']; pot=3; c=0.02+i*0.7698; rgran=2; ReMin=-1.5; ReMax=1.5; ImMin=-1.5; ImMax=1.5; maxiter=400; case 19, jakizbior=['julia']; pot=2; c= 0; rgran=2; % rys ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 20, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-0.5; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 21, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i*0.565; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 22, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-1; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100;
29 zadanie 8. fraktale zestawy gotowych parametrów fraktali, na podstawie wspomnianej książki: case 23, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i* ; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 24, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i*0.38; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 25, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-1.45; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 26, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-i; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 27, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i*0.134; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 28, jakizbior=['julia']; pot=2; c= 0.35; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 29, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i*0.95; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 30, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-0.11-i*0.979; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 31, jakizbior=['julia']; pot=2; c=-0.84+i*0.19; rgran=2; % rys ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; case 32, jakizbior=['julia']; pot=2; c= i* ; rgran=2; % rys ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100; % rys case 33, jakizbior=['julia']; pot=2; c= 0.36+i*0.6; rgran=2; ReMin=-1.75; ReMax=1.75; ImMin=-1.75; ImMax=1.75; maxiter=100;
30 zadanie 8. fraktale - przykłady
31 zadanie 8. fraktale - przykłady
32 zadanie 8. fraktale - przykłady
33 zadanie 8. fraktale - przykłady
34 zadanie 8. fraktale - przykłady
Podstawowe struktury danych Tablice, macierze. LABORKA Piotr Ciskowski
Podstawowe struktury danych Tablice, macierze LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. zabawy z macierzami wygeneruj macierze Pascala różnych rozmiarów, wydedukuj z nich zasadę tworzenia» pascal ( 5 ) przykład
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl
System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy
Maciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu:
ALGORYTMY MATEMATYCZNE Ćwiczenie 1 Na podstawie schematu blokowego pewnego algorytmu (rys 1), napisz listę kroków tego algorytmu: Rys1 Ćwiczenie 2 Podaj jaki ciąg znaków zostanie wypisany po wykonaniu
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Zadanie 1. Test (6 pkt) Zaznacz znakiem X w odpowiedniej kolumnie P lub F, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa.
2 Egzamin maturalny z informatyki Zadanie 1. Test (6 pkt) Zaznacz znakiem X w odpowiedniej kolumnie lub, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa. a) rzeanalizuj poniższy algorytm (:= oznacza instrukcję
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Przykłady zadań do standardów.
Przykłady zadań do standardów 1 Wykorzystanie i tworzenie informacji 1 Oblicz wartośd wyrażenia: log 5 log8 log Odp: 1 1 3 5 8 Wyrażenie 5 1 0,5 : 3 zapisz w postaci p, gdzie p jest liczbą całkowitą Odp:
Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty.
Algorytm Euklidesa Algorytm ten, jak wskazuje jego nazwa, został zaprezentowany przez greckiego matematyka - Euklidesa, żyjącego w w latach około 300r. p.n.e., w jego podstawowym dziele pt. Elementy. Algorytm
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001
Algorytm Euklidesa Danymi są dwie nieujemne liczby całkowite m i n. Liczba k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n, jeśli dzieli m oraz n i jest największą liczbą o tej własności - oznaczamy ją przez
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Informatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6
Informatyka I Lab 6, r.a. / prow. Sławomir Czarnecki Zadania na laboratorium nr. 6 Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę bibs.h.. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt)
ZADANIE 1. Ważenie (14 pkt) Danych jest n przedmiotów o niewielkich gabarytach i różnych wagach. Jest też do dyspozycji waga z dwiema szalkami, ale nie ma odważników. Kładąc na wadze przedmioty a i b,
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO
Aleksandra Nogała nauczycielka matematyki w Gimnazjum im. Macieja Rataja w Żmigrodzie olanog@poczta.onet.pl KONSPEKT ZAJĘĆ ( 2 godziny) KOŁO MATEMATYCZNE LUB INFORMATYCZNE - klasa III gimnazjum, I LO TEMAT
2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while
WSTEP DO INFORMATYKI I PROGRAMOWANIA LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while Zadanie. Przeanalizuj działanie poniższego programu. cout
2.8. Algorytmy, schematy, programy
https://app.wsipnet.pl/podreczniki/strona/38766 2.8. Algorytmy, schematy, programy DOWIESZ SIĘ co oznaczają pojęcia: algorytm, schemat blokowy, język programowania, jakie są sposoby obliczania największego
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Podstawy programowania. Wykład: 13. Rekurencja. dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD
Podstawy programowania Wykład: 13 Rekurencja 1 dr Artur Bartoszewski -Podstawy programowania, sem 1 - WYKŁAD Podstawy programowania Rekurencja - pojęcie 2 Rekurencja - pojęcie Rekurencja (rekursja) wywołanie
Analiza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski:
Przykład 2 odwrotność macierzy 4x4 Odwrócimy macierz o wymiarach 4x4, znajdującą się po lewej stronie kreski: Będziemy dążyli do tego, aby po lewej stronie kreski pojawiła się macierz jednostkowa. Na początek
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Kryteria ocen z matematyki w klasie IV
Kryteria ocen z matematyki w klasie IV odejmuje liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiętnego, zna kolejność wykonywania działań, gdy nie występuję nawiasy, odczytuje współrzędne punktu na
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
WHILE (wyrażenie) instrukcja;
INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while
Rozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2. Czas pracy 120 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 2 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
MATLAB - laboratorium nr 1 wektory i macierze
MATLAB - laboratorium nr 1 wektory i macierze 1. a. Małe i wielkie litery nie są równoważne (MATLAB rozróżnia wielkość liter). b. Wpisanie nazwy zmiennej spowoduje wyświetlenie jej aktualnej wartości na
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych
Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI
A- ARKUSZ DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. W zadaniach 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z
Metody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
![3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B](/thumbs/73/69286698.jpg "3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B")
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INORMACJE RAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI MIN-R1_1-092 MAJ ROK 2009 OZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 minut Instrukcja
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Indukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnego prawdziwa jest równość: Do obu stron założenia indukcyjnego należy dodać brakujący wyraz. Sprawdzamy prawdziwość równości (1) dla. Prawa strona:.
Wprowadzenie do algorytmiki
Wprowadzenie do algorytmiki Pojecie algorytmu Powszechnie przyjmuje się, że algorytm jest opisem krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposób osiągnięcia jakiegoś celu. Wywodzi się z matematyki
Podstawy Automatyki ćwiczenia Cz.1. Środowisko Matlab
Podstawy Automatyki ćwiczenia Cz.1 Środowisko Matlab Podstawową jednostką obliczeniową w programie Matlab jest macierz. Wektory i skalary mogą być tutaj rozpatrywane jako specjalne typy macierzy. Elementy
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
do MATLABa programowanie WYKŁAD Piotr Ciskowski
Wprowadzenie do MATLABa programowanie WYKŁAD Piotr Ciskowski instrukcje sterujące instrukcja warunkowa: if instrukcja wyboru: switch instrukcje iteracyjne: for, while instrukcje przerwania: continue, break,
WHILE (wyrażenie) instrukcja;
INSTRUKCJE ITERACYJNE WHILE, DO WHILE, FOR Instrukcje iteracyjne pozwalają powtarzać daną instrukcję programu określoną liczbę razy lub do momentu osiągnięcia określonego skutku. Pętla iteracyjna while
x y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna
Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze
Bukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
FUNKCJA WYMIERNA. Poziom podstawowy
FUNKCJA WYMIERNA Poziom podstawowy Zadanie Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia: a+ a) + ; ( pkt.) a+ a a b) + + ; ( pkt.) + m m m c) :. ( pkt.) m m+ Zadanie ( pkt.) Oblicz wartość liczbową wyrażenia
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą
1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku
Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu
Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik
Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności
Programowanie dynamiczne
Programowanie dynamiczne Ciąg Fibonacciego fib(0)=1 fib(1)=1 fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2), gdzie n 2 Elementy tego ciągu stanowią liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem
Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
do instrukcja while (wyrażenie);
Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =
Rekurencja (rekursja)
Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016 Szczegółowe kryteria ocen dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: Zna zależności wartości cyfry od jej