Zeszyt metodyczny Edukacja matematyczna IV etap edukacyjny Scenariusze lekcji

Transkrypt

1 Zeszyt metodyczy Edukcj mtemtycz IV etp edukcyjy Sceriusze lekcji

2 Wprowdzeie Wstęp. Fukcje. Ciągi liczbowe 3. Trygoometri 4. Plimetri Oprcowie zeszytu dr Elżbiet Lodzińsk Ktedr Mtemtyki Uiwersytetu Techologiczo-Humistyczego w Rdomiu mgr Piotr Drms Rdomski Ośrodek Doskolei Nuczycieli

3 Wprowdzeie W rmch współprcy między Uiwersytetem Techologiczo-Humistyczym w Rdomiu i Rdomskim Ośrodkiem Doskolei Nuczycieli trw projekt pilotżowy Mtemtycze szkoły ćwiczeń. Cele projektu Gromdzeie przez studetów doświdczeń związych z: prcą opiekuńczo wychowwczą z uczimi, prcą dydktyczo wychowwczą uczyciel mtemtyki orz kofrotowie bytej wiedzy z zkresu dydktyki mtemtyki z rzeczywistością pedgogiczą w prktyczym dziłiu, ćwiczeie umiejętości poprwego prowdzei lekcji mtemtyki. Populryzowie przez uczycieli dobrych prktyk, dzieleie się wiedzą i doświdczeiem zwodowym. Rozwijie ktywości mtemtyczej ucziów. Propoowie dziłń wpływjących efektywość uczi w zkresie edukcji mtemtyczej. Wzbogceie bzy pomocy dydktyczych szkół ćwiczeń. Rozwój współprcy między UTH i szkołmi rdomskimi. Sposób relizcji projektu Studeci: - odbywją prktyki wg progrmu prktyk oprcowego przez uczeliego opieku prktyk, - uczesticzą w prcch szkoły wg hrmoogrmu oprcowego przez szkolego opieku prktyk, - zpozją się z ktulie relizową przez uczyciel mtemtyki podstwą progrmową, rozkłdem mteriłu uczi mtemtyki dl dej klsy, - uczesticzą w obserwcji lekcji mtemtyki, - zdobywją umiejętości stosowi wiedzy z zkresu dydktyki mtemtyki w trkcie przygotowywi się do prowdzei lekcji mtemtyki, - omwiją przeprowdzoe przez siebie lekcje ze szkolym opiekuem prktyk, - włączją się w orgizcję zjęć pozlekcyjych, Nuczyciele i prcowicy uczeli: - oprcowują progrm i hrmoogrm prktyk, - omwiją obserwowe i prowdzoe przez studetów zjęci, - przekzują iformcje związe z orgizcją wrszttu prcy uczyciel mtemtyki, - orgizują zjęci i wykłdy otwrte dl uczycieli plcówek ie objętych projektem, - uczesticzą w różych formch doskolei zwodowego, - propoują formy zjęć pozlekcyjych współorgizowe przez studetów i ucziów p. Mrto Mturly, Dzień liczby Pi, Dzień gier mtemtyczych, - upowszechiją tzw. dobre prktyki wyprcowe w rmch projektu.

4 Studeci Kieruku Mtemtyk : Brbr Bedrek Kroli Grotek Adri Gryz Le Królikowsk Kmil Lipińsk Moik Miękus Agieszk Peryt Puli Srowsk odbywli ćwiczei z zkresu Dydktyki Mtemtyki i Prktyki Pedgogicze i dydktycze w IV Liceum Ogóloksztłcącym w Rdomiu. Prezetujemy sceriusze lekcji przygotowe i przeprowdzoe przez studetów do wybrych temtów i dziłów progrmu uczi mtemtyki w liceum ogóloksztłcącym i techikum (fukcje, ciągi liczbowe, trygoometri, plimetri). Sceriusze zchowują formę oprcową przez dą osobę i są mteriłem do refleksji i dyskusji. Mogą być przedmiotem dyskusji d plowiem relizcji progrmu uczi pomiędzy uczycielem stżystą lub kotrktowym i opiekuem stżu. Mogą służyć dyskusji d sposobem przygotowywi zjęć i relizcji podstwy progrmowej z zkresu edukcji mtemtyczej podczs spotkń zespołów przedmiotowych. Będziemy rówież wdzięczi z wszelkie uwgi kierowe bezpośredio do Rdomskiego Ośrodk Doskolei Nuczycieli. dr Elżbiet Lodzińsk mgr Piotr Drms

5 Wstęp Pozytywe efekty uzyskiwe w ucziu mtemtyki zleżą m.i. od wyksztłcei uczycieli, ich postwy dydktyczej, zgżowi, idywidulego stosuku do kżdego uczi. Mówiąc o kompetecjch uczycieli leży przelizowć, jką przeszli drogę do uzyski dyplomu uczyciel mtemtyki. Już w trkcie przygotowywi studet do zwodu potrzebe jest zgżowie odpowiedich plcówek oświtowych i ich doświdczoych pedgogów. Nleży uormowć sposób ksztłcei przyszłych uczycieli, szczególie w zkresie prktyczym potrzebe są szkoły ćwiczeń. Nigdzie lepiej ie d się przygotowć uczycieli do prcy, jk w szkole, w której studet może się zetkąć z prwdziwymi problemmi dydktyczymi i wychowwczymi. Ze względu te iezprzeczly fkt, sz Uczeli regulrie podpisuje umowy o współdziłiu ze szkołmi w zkresie ksztłcei uczycieli. Współprc z IV LO im. T. Chłubińskiego w Rdomiu orz z Rdomskim Ośrodkiem Doskolei Nuczycieli pomogł w osttich ltch przygotowć prktyczie studetów Uiwersytetu Techologiczo - Humistyczego kieruku Mtemtyk do zwodu uczyciel mtemtyki. W czsie zjęć z dydktyki mtemtyki orz podczs prktyk pedgogiczych i dydktyczych studeci uczyli się dostosowywi różych metod prcy uczyciel mtemtyki do możliwości itelektulych ucziów. Doświdczei uczyciele zwsze twierdzili, opierjąc się swoim długoletim doświdczeiu, że mtemtyki moż uczyć mjąc do dyspozycji tylko kredę i tblicę, le pod wrukiem, że w procesie uczi uczesticzą ucziowie z otwrtymi głowmi, chęti do podjęci wysiłku itelektulego, świdomi dobrodziejstw płyących z umiejętości logiczego myślei, świdomi, jkie korzyści dje rozwijie itelektu. Wże jest więc, by studeci mogli się uczyć jk wiązywć jk jlepszy kotkt z uczimi, jk dobrć metodę uczi w dym momecie procesu dydktyczego. Trudo wyobrzić sobie obecie proces ksztłcei bez udziłu środków iterktywych, le powiy oe pełić jedyie rolę wspomgjącą prcę uczyciel, szczególie uczyciel mtemtyki. Zpobiegie iepowodzeiom, ich likwidowiu i podoszeiu efektywości prcy szkolej dobrze służą różorode kocepcje uowocześii procesu dydktyczego. B.Strychiewicz uwż, że ktywizowie ucziów różymi metodmi, p. przez stosowie owoczesych środków dydktyczych (w tym komputer i Iteretu) powoduje pobudzeie do dziłi i głębszego przeżywi treści ksztłcei. Dltego powszechie stosuje się uczie wspomge komputerowo. Ale przed uczycielem stje trude zdie jk wyzczyć środek ciężkości prcy dydktyczej, który będzie stymulowł do efektywej uki ie czyiąc z ucziów ludzi wyksztłcoych lgorytmiczie, lecz umiejących podejmowć wyzwi itelektule, umiejących smodzielie dochodzić do wiedzy

6 i potrfić ją stosowć. Tym wżkim problemom współczesej edukcji dużo miejsc w swych publikcjch poświęcili T.Lewowicki, B.Siemieiecki, J.Morbitzer. Studeci zpozwli się teoretyczie z tymi zgdieimi zjęcich z dydktyki mtemtyki, zś prktyczie w kotkcie z uczimi w czsie prowdzoych w szkole lekcji. E.Gruszczyk Kolczyńsk sugeruje, że uczyciel powiie już początku swoich kotktów szkolych zdbć o uksztłtowie zchowń umożliwijących współprcę, wyciszeie lękowych stwień ucziów do zdń wymgjących wysiłku itelektulego. Współczesy uczyciel kżdego przedmiotu musi być leżycie wyksztłcoy posidć wiedzę merytoryczą przedmiotu, le tkże jk jbogtszy wrsztt prcy dydktyczej, pedgogiczej, psychologiczej. Nuczyciel musi umieć elstyczie regowć zchowi ucziów, musi być etuzjstą tego, co robi, zdwć sobie sprwę z tego, że złe emocje w procesie dydktyczym obiżją efektywość uczi mtemtyki. Nie moż tego osiągąć tylko podbudowie teoretyczej, widomo, że wprw czyi mistrz, więc kotkt przyszłego uczyciel studet mtemtyki z żywą tkką szkolą, jką są ucziowie, jest ieodzowy. dr Elżbiet Lodzińsk Bibliogrfi E. Gruszczyk Kolczyńsk Dzieci ze specyficzymi trudościmi w uczeiu się mtemtyki. Wrszw 997 WSiP E. Gruszczyk-Kolczyńsk: "Dziecięc mtemtyk," Wrszw, 997 WSiP K. Obuchowski Kody orietcji i struktur procesów emocjolych. Wrszw 98 PWN B. Strychiewicz Prc z ucziem mjącym trudości z mtemtyką. Opole 004, NOWIK J. Morbotzer Iterkcj człowiek Iteret refleksje pedgogicze. w Komputer w edukcji. Krków 009. Wydwictwo Akdemii Pedgogiczej w Krkowie J. Morbitzer Edukcj wspier komputerowo humistycze wrtości pedgogicze. Krków 007, Wydwictwo Akdemii Pedgogiczej w Krkowie T. Lewowicki, B. Siemieiecki Medi w edukcji szse i zgrożei. Toruń 008, Wydwictwo A. Mrszłek E. Lodzińsk Edukcj mtemtycz komputery. w. Komputer w edukcji. Krków 008.str. 8-33, Wydwictwo Akdemii Pedgogiczej w Krkowie E. Lodzińsk Nowe wyzwi w prcy uczyciel mtemtyki. W. Edukcj ustwicz dorosłych. Rdom 4/04, str 96 Wydwictwo Nukowe Istytutu Techologii Eksplotcji Rdom

7 Kls Temt: Sposoby opisywi fukcji. Cele: uczeń podje defiicję fukcji, uczeń podje defiicję dziedziy fukcji, uczeń podje defiicję przeciwdziedziy fukcji, uczeń podje sposoby, które stosujemy do opisywi fukcji uczeń stosuje sposoby opisywi fukcji w zdich, Metod: ćwiczeiow Środki dydktycze: Mtemtyk LO podręczik E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb Mtemtyk. Kls. Zbiór zdń - szkoł podgimzjl E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb, Czyości uczyciel Część wykłdow Czyości uczi. Nuczyciel przygotowuję się do lekcji: sprwdz listę obecości, podje temt ucziom, rozdję zdi,. Nuczyciel określ czym kls będzie zjmowł się lekcji i zczy część powtórzeiową, w której zdje pyti ucziom. Co to jest fukcj? Co to jest dziedzi? Co to jest przeciwdziedzi? Jkie są jczęstsze sposoby które stosujemy do opisywi fukcji?. Ucziowie przygotowują się do lekcji: zjmują miejsc, przygotowują książki i przybory szkole,. Ucziowie odpowidją pyti. Fukcją f ze zbioru X w zbiór Y (zbiory X i Y są iepuste) zywmy tkie odwzorowie, w którym kżdemu elemetowi ze zbioru X zostł przyporządkowy tylko jede elemet ze zbioru Y. Zbiór X zywmy dziedzią fukcji f, jego elemety rgumetmi fukcji f. Zbiór Y zywmy przeciwdziedzią fukcji f. Zbiór tych elemetów ze zbioru Y, które zostły przypise elemetom ze zbioru X, zywmy zbiorem wrtości fukcji f. Njczęstszymi sposobmi, które stosujemy do opisywi fukcji, są:. Opis słowy

8 Czyości uczyciel. Tbelk 3. Grf 4. Zbiór pr uporządkowych 5. Wzór 6. Wykres Część ćwiczeiow Czyości uczi I. Nuczyciel wybier osoby które rozwiązują zdi tblicy. (Ilość wykoych zdń zleży od temp prcy ucziów) Zdie /5 (Podręczik) Nrysuj wykres fukcji f, opisej z pomocą tbelki: x I. Wskzi ucziowie rozwiązują zdi tblicy, reszt klsy w zeszytch. Zdie /5 (Podręczik) f(x) ) Dl jkiego rgumetu fukcj przyjmuje wrtość rówą -? b) Jką wrtość fukcj przyjmuje dl rgumetu? c) Wypisz wszystkie rgumety, dl których fukcj przyjmuje wrtości większe od -3. ) b) c) f ( x) f ( ) dl x 0 f ( x) 3 dl x {0,,} Zdie /5 (Podręczik) Skostruuj grf fukcji y f (x) : ) f ( x) x, jeśli x {0,,4,9} b) f ( x) 0, x, jeśli x { 5,,0,,5,0} Zdie /5 (Podręczik) ) tbelk pomocicz: x f(x) - 0 grf: f : X Y b) tbelk pomocicz:

9 x f(x) - -0, 0 0, grf: f : X Y Zdie 3/5 (Podręczik) ) g( x) x, gdy x {,,3,4} b) g( x) x, gdy x { 3,,0,,} Zdie 3/5 (Podręczik) Podj wzór fukcji g, opisej z pomocą zbioru pr uporządkowych: ) {(4,3),(3,),(,),(,0)} b) {( 3,3),(,),(0,0),(, ),(, )} Zdie 4/5 (Podręczik) Nrysuj wykres fukcji f, opisej z pomocą wzoru: ) f : x 3 x, jeśli x {0,,,3,4,5} f : x x b), jeśli x {,,0,,} Zdie 4/5 (Podręczik) ) tbelk pomocicz: x f(x) wykres: b) tbelk pomocicz: x f(x) 0,5 0 0,5 wykres:

10 Zdie 8.7/7 (Zbiór zdń) Poiżej przedstwioy jest grf pewej fukcji f. Podj wzór tej fukcji. ) Zdie 8.7/7 (Zbiór zdń) 3 4 f ( x) x {,,,5, } ) x, gdy 4 3 b) f ( x) x, gdy x { 3,,,0,,,3} b) Zdie 8.8/7 (Zbiór zdń) D jest fukcj, opis z pomocą tbelki. Podj wzór tej fukcji. ) x -4 -, y b) x y Zdie 8.9/73 (Zbiór zdń) D jest fukcj f. Podj opis słowy tego Zdie 8.8/7 (Zbiór zdń) ) y x, gdy x { 4;,5; ; ;0;3} b) y x 4, gdy x {,,0,,,3} Zdie 8.9/73 (Zbiór zdń) ) Kżdej liczbie ze zbioru {0,,4,9,6} przyporządkowujemy jej pierwistek kwdrtowy. 3 { ;4,5; ;} b) Kżdej liczbie ze zbioru 4

11 przyporządkowi. ) f : x x, gdzie x {0,,4,9,6} 3 f : x x { ;4,5; ;} b) x, gdzie 4 c) f : x x, gdzie x { 0, 8, 4,6,8} 4 x {,,6,8} d) f : x 0, 5x, gdzie 3 5 przyporządkowujemy jej odwrotość. c) Kżdej liczbie ze zbioru { 0, 8, 4,6,8} przyporządkowujemy liczbę do iej przeciwą. 4 {,,6,8} d) Kżdej liczbie ze zbioru 3 5 przyporządkowujemy liczbę dw rzy od iej miejszą. II. Ucziowie zpisują prcę domową. II. Nuczyciel podję prcę domową (Zdie 8.0, 8., 8./73 (Zbiór zdń)).

12 Kls Temt: Włsości fukcji zdi. Typ lekcji: ćwiczeiow, Czs trwi zjęć: godzi lekcyj (45 miut). CELE NAUCZANIA Cel ogóly : - odczytywie włsości fukcji podstwie jej wykresu, - szkicowie wykresów fukcji o zdych włsościch. Cele szczegółowe : Uczeń: - odczytuje z wykresu włsości fukcji (dziedzię, zbiór wrtości, miejsc zerowe, mksymle przedziły, w których fukcj mleje, rośie, m stły zk; pukty, w których fukcj przyjmuje wrtość jmiejszą lub jwiększą) - określ podstwie wykresu fukcji czy fukcj jest różowrtościow - odczytuje podstwie wykresu zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme), - szkicuje wykres fukcji o zdych włsościch. Cele wychowwcze: - Rozwijie umiejętości poprwego formułowi myśli. Metody prcy: - Metod treigow rozwiązywie zdń. Formy prcy: - Idywidul, - Prc z cłą klsą. Środki dydktycze: - Mtemtyk Podręczik i Zbiór zdń do liceów i techików kls (Oficy Edukcyj* Krzysztof Pzdro), - Zeszyty, - Tblic, kred.

13 Przebieg lekcji Ogiwo lekcji Czyości uczyciel Czyości uczi.czyości Sprwdz obecość ucziów lekcji. Zgłszją ieobecość kolegów. Orgizcyje.Część wstęp: ) zpozie z celmi lekcji ) Celem dzisiejszej lekcji jest zdobycie umiejętości odczytywi włsości ) Alizuje czego będzie dotyczył lekcj. fukcji podstwie jej wykresu. b)sformułowie temtu lekcji c) wprowdzeie widomości 3. Część głów: )rozwiązywie zdń tblicy b) Podje temt Włsości fukcji zdi. c) N podstwie wykresu fukcji możemy określić jej włsości tkie jk: ) Dziedzi fukcji. ) Zbiór wrtości fukcji. 3) Miejsc zerowe fukcji. 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). 5) Przedziły mootoiczości fukcji. 6) Różowrtościowość fukcji. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. )Kotroluje prce ucziów i koryguje błędy. Zdie. N poiższym rysuku jest przedstwioy wykres fukcji y f (x). Odczytj z wykresu włsości tej fukcji. ) b) Zpisuje temt lekcji. c) Sporządz ottki wykorzystując zpisy tblicy. ) Rozwiązuje zdi tblicy. Zpisuje rozwiązi w zeszytch. Zdie. Rozwiązie: ) ) Dziedzi fukcji. D f, 3 ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f, 5 3) Miejsc zerowe fukcji. Brk miejsc zerowych. 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x, 3 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest mlejąc w przedzile, 3 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji.

14 Fukcj osiąg wrtość jwiększą 5 dl x orz wrtość jmiejszą dl x 3 b) c) d) b) ) Dziedzi fukcji. D f (,5) ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f (, 3) Miejsc zerowe fukcji. f ( x) 0 dl x 3 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x (,3) f ( x) 0 dl x (3,5) 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest stł w przedzile (, fukcj jest mlejąc w przedzile,5 ) 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jwiększą dl x (,, brk wrtość jmiejszej c) ) Dziedzi fukcji. D f 7,5) ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f, 5 3) Miejsc zerowe fukcji. f ( x) 0 dl x 6 orz x 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x 7, 6) (,5) f ( x) 0 dl x ( 6, ) 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile 4, 3 fukcj jest mlejąc w przedzile 7, 4 orz w przedzile 3,5) 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jwiększą 5 dl x 3 orz wrtość jmiejszą dl x 4 d) ) Dziedzi fukcji.

15 D f ( 5, ) (, 6 ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f 5,6) 3) Miejsc zerowe fukcji. f ( x) 0 dl x 3 orz x 4 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x ( 5, 3) (4, 6 f ( x) 0 dl x ( 3, ) (,4) 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile, 6 fukcj jest mlejąc w przedzile ( 5, ) orz w przedzile (, 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jmiejszą 5 dl x, brk wrtości jwiększej. Zdie. W prostokątym ukłdzie współrzędych szkicuj wykresy dwóch fukcji, z których kżd spełi jedocześie stępujące wruki: - Dziedzią fukcji jest przedził ( 3,7). - Zbiorem wrtości fukcji jest przedził 5,4). - Fukcj m trzy miejsc zerowe:,, 5. Zdie. Rozwiązie: p.

16 Zdie 3. Poiżej przedstwioe są wykresy pewych fukcji. Omów włsości tych fukcji. d) e) Zdie 3. Rozwiązie: d) ) Dziedzi fukcji. D f ( 6, 4 ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f, 3 3) Miejsc zerowe fukcji. f ( x) 0 dl x 4 orz x 0 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x ( 6, 4) ( 4,0) f ( x) 0 dl x (0, 4 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile 4, fukcj jest mlejąc w przedzile w przedzile, 4 ( 6, 4 orz 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jwiększą 3 dl x orz wrtość jmiejszą dl x 4 e) ) Dziedzi fukcji. D f 4,5) ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f,5) 3) Miejsc zerowe fukcji. f ( x) 0 dl x 4 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x 4,) (4,5) f ( x) 0 dl x,4) 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile 4, ) orz w przedzile,5) fukcj jest mlejąc w przedzile,) 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow.

17 f) 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jmiejszą dl x, brk wrtości jwiększej. f) ) Dziedzi fukcji. D f 3, (3, 4 ) Zbiór wrtości fukcji. ZW f 3,, 4 3) Miejsc zerowe fukcji. brk miejsc zerowych 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x 3, (3, 4 f ( x) 0 dl x (, 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile (, 0 fukcj jest mlejąc w przedzile w przedzile 0, fukcj jest stł w przedzile ( 3,4 3, orz 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jwiększą 4 dl x 3 orz wrtość jmiejszą 3 dl x Zdie 4. Nszkicuj wykres fukcji f, stępie jego podstwie omów włsości fukcji f: d) x, jesli x (, f ( x), jesli x (, x, jesli x (, ) Zdie 4. Rozwiązie: ) Dziedzi fukcji. D f R ) Zbiór wrtości fukcji.

18 Zdie 5. N postwie wykresu fukcji odpowiedz pyti: ZW f (, 3) Miejsc zerowe fukcji. brk miejsc zerowych 4) Zbiór rgumetów, dl których fukcj przyjmuje wrtości dodtie (wrtości ujeme). f ( x) 0 dl x D f 5) Przedziły mootoiczości fukcji. fukcj jest rosąc w przedzile (, fukcj jest mlejąc w przedzile (, ) fukcj jest stł w przedzile (, 6) Różowrtościowość fukcji. Fukcj ie jest różowrtościow. 7) Njmiejsz orz jwiększ wrtość fukcji. Fukcj osiąg wrtość jwiększą dl x wrtości jmiejszej brk Zdie 5. Rozwiązie: ) D f 4,8) ZW f, 4 b) y dl x orz x 3 c) fukcj rośie w przedzile 4, 0 orz 6,8) d) wrtość jwiększ wyosi 4 dl x 0. 4.Część końcow: )Podsumowie lekcji ) Jk jest dziedzi i zbiór wrtości fukcji f? b) Dl jkich rgumetów wrtość fukcji f wyosi? c) W jkim przedzile fukcj f jest rosąc? d) Dl jkiego rgumetu wrtość fukcji f jest jwiększ? Ile wyosi jwiększ wrtość fukcji? )Zdje pyti związe z temtem lekcji i ocei ktywość ucziów. )Odpowid pyti dotyczące temtu lekcji.

19 Kls Temt: Njmiejsz i jwiększ wrtość fukcji. Czs trwi: jedostk lekcyj ( 45 miut). Ogóle cele edukcyje i wychowwcze: ksztłtowie wytrwłości w zdobywiu wiedzy i umiejętości mtemtyczych, bywie umiejętości precyzyjego formułowi wypowiedzi, pielęgowie dbłości o estetykę (czytely rysuek, poprwy zpis iformcji). Cele szczegółowe edukcyje ( widomości i umiejętości): Metody: Typ lekcji: uczeń oblicz wrtość fukcji dl dego rgumetu i rgumet, któremu przyporządkow jest pod wrtość, uczeń odczytuje z wykresu wrtość fukcji dl dego rgumetu i potrfi wyzczyć zbiór wrtości dl dej dziedziy fukcji, uczeń stosuje pojęcie jmiejszej i jwiększej wrtości fukcji. podjąc-dyskusyj, ćwiczeiow. wprowdzjąco- powtórzeiow. Środki dydktycze: Mtemtyk - podręczik i zbiór zdń do liceów i techików. Kls I. Zkres podstwowy. M. Kurczb, E. Kurczb, E. Świd. Oficy edukcyj K. Pzdro. Czyości uczyciel. Sprwdzeie listy obecości.. Sprwdzeie ilościowo prcy domowej. 3. Zpisie temtu lekcji tblicy. Czyości uczi.przygotowie zeszytów i przyborów szkolych..zpisie temtu lekcji w zeszycie. 4. Podyktowie ottki: Defiicje jwiększej i jmiejszej wrtości fukcji. Miimum to jmiejsz wrtość fukcji. Mksimum to jwiększ wrtość fukcji. 3.Ucziowie zpisują ottkę do zeszytu. Fukcj przyjmuje wrtość jwiększą dl pewego wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego zchodzi ierówość. Fukcj przyjmuje wrtość jmiejszą dl pewego wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdego zchodzi ierówość.

20 5. Rozwiązywie przykłdów przy tblicy. Przykłd.. Wyzczeie jmiejszej i jwiększej wrtości fukcji ze wzoru podstwie kokretego przedziłu. Przykłd.. Wyzcz zbiór wrtości fukcji f(x)=x +7 dl x ϵ{ ; ;0;;}. 4. Ucziowie podchodzą kolejo do tblicy. Przykłd.. f(x)= -*x +4 dl x <, > końcowe rgumety z przedziłu podstwimy do wzoru fukcji z x i wyliczmy y. f(-) = (-)*(-) + 4 = 6 f() = (-)* + 4 = Mi = Mx = 6 Przykłd.. W tkim przypdku zbiór wrtości określmy zwsze podstwijąc wszystkie x- sy (rgumety) do wzoru, wyiki to zbiór wrtości. f( )= ( ) +7= 4+7=5 f( )= ( ) +7= +7=9 f(0)= 0 +7= 0+7=7 f()= +7= 4+7=5 f()= +7= +7=9 Odpowiedź: Zbiór wrtości wyosi ZW={7;9;5} Przykłd.3. D jest fukcj określo wzorem:, zjdź mx i mi tej fukcji. Przykłd.3. Dziedzią tej fukcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Wrtość bezwzględ dowolej liczby rzeczywistej jest liczbą ieujemą. Ztem zbiorem wrtości tej fukcji jest zbiór D = <0 ; ) Fukcj osiąg wrtość jmiejszą rówą 0 dl rgumetu x = 0, wrtości jwiększej fukcj t ie osiąg. Przykłd.4. Przykłd.4. Odczytywie miimum i mksimum fukcji z wykresu: wrtości

21 Przykłd.5. Odczytywie miimum i mksimum fukcji z wykresu: wrtości Przykłd.5. Fukcj posid zrówo wrtość jwiększą jk i jmiejszą. Wrtością jmiejszą jest dl. Wrtością jwiększą jest tkże i tkże dl. Przykłd.6. Odczytywie miimum i mksimum wrtości

22 fukcji z wykresu: W dowolym iepustym przedzile (wet otwrtym), wrtością jwyższ i jiższą będzie tkże 0. Podsumowie przez uczyciel: Pyti do ucziów temt dzisiejszej lekcji. Odpowiedzi ewetule pyti ucziów. Zdie prcy domowej ze zbioru zdń. Przykłd.6. Zbiorem wrtości fukcji jest zbiór ZW = <-3 ; ) i {} Fukcj osiąg wrtość jwiększą rówą dl rgumetów x < ; ), wrtość jmiejszą rówą -3 dl rgumetów x (- ; -> Wskzy uczeń odpowid.

23 Kls Temt: Zstosowie widomości o fukcjch do opisywi, iterpretowi i przetwrzi iformcji wyrżych w postci wykresu fukcji. Czs: Dwie godziy lekcyje. Cele: utrwleie zjomości włsości fukcji, zstosowie włsości fukcji do opisu różych zjwisk z otczjącej s rzeczywistości, odczytywie zych włsości fukcji z jej wykresu, ksztłtowie świdomość z korzyści płyących z grficzego przedstwii zjwisk, lizowie różych zjwisk i procesów z pomocą modelu grficzego; Metody: metod podjąc (pogdk), rozmow kierow, metod ćwiczeiow. Typ lekcji: powtórzeiowo-ćwiczeiow. Środki dydktycze: Podręczik do liceów i techików Mtemtyk Kls Mrci Kurbcz, Elżbiet Kurbcz i Elżbiet Świd, zkres podstwowy Oficy Edukcyj Krzysztof Pzdro. Zbiór zdń do liceów i techików Mtemtyk Kls Mrci Kurbcz, Elżbiet Kurbcz i Elżbiet Świd, zkres podstwowy Oficy Edukcyj Krzysztof Pzdro.

24 Nuczyciel Uczeń. Sprwdzeie listy obecości. Czyości wstępe. Przygotowie zeszytów i przyborów szkolych.. Nuczyciel podje temt lekcji.. Ucziowie zpisują temt lekcji w zeszytch. Część Prktycz Nuczyciel rozpoczy lekcje od wyjśiei celu tej lekcji i stępie przechodzi do omówiei przykłdów zjdujących się str. 50 w podręcziku: Przykłd. (biologi) Str. 50 Nuczyciel przerysowuje rysuek z podręczik i zdje pyti ucziom: Co zywmy stężeiem dwutleku sirki w powietrzu? Co jest jedostk stężei? Co się stie dojdzie do zieczyszczei środowisk SO o stężeiu 50 ug/m 3? Co się stie dojdzie do zieczyszczei środowisk SO o stężeiu 50 ug/m 3? Co się stie dojdzie do zieczyszczei środowisk SO o stężeiu 70 ug/m 3? Przykłd. (chemi) Str. 5 Nuczyciel przerysowuje rysuek z podręczik i zdje pyti ucziom: Ile zotu potsu rozpuści się w 00 g wody w temperturze 40 o C? Ile zotu potsu rozpuści się w 00 g wody w temperturze 0 o C? Oblicz stężeie zotu potsu w 00 g wody w temperturze 40 o C. Oblicz stężeie zotu potsu w 00 g wody w temperturze 0 o C. Ucziowie słuchją, zpisują to co zjduje się tblicy w zeszytch i odpowidją pyti uczyciel: Przykłd. Odpowiedzi: Iczej jest to zwrtość dwutleku sirki w powietrzu. ug/m 3 (mikrogrm metr sześciey) ug = 0, g = 0-6 g wśród porostów zbrkie brodczki kępowej złotorost postrzępioy giie w ekosystemie miseczic proszkowt zik z ekosystemu Przykłd. 60 g 30 g C p = m s /m r * 00% C p = 60/60 * 00% = 37,5 C p = 30/30 * 00% = 3 3

25 Przykłd 3. (fizyk) Str. 53 Nuczyciel przerysowuje rysuek z podręczik i zdje pyti ucziom: Z jką prędkością p fizyk jechł skuterem? Z jką prędkością p fizyk jechł smochodem? Jk był średi prędkość jzdy trsie A B A? Czy średi rytmetycz prędkości jzdy smochodem i skuterem był by rów średiej prędkości? Przykłd 3. V = 0 = 30 4 [km] h V = 0 = 60 [km] h s = = 40 t = + 4 = 6 V = 40 = 6 40[km] h Odpowiedź ie. Przykłd 4. (medycy) Str. 54 Altertywy sposób obliczei współczyik BMI (Body Mss Idex) Wzór: Wg w kilogrmch BMI = (wzrost w metrch) Tbel BMI do 8.4 iedowg w ormie dwg otyłość duż otyłość 40 lub więcej ekstreml otyłość Zdie 8.70 str. 03 (zbiór) Rozpuszczlość substcji, czyli mksyml ilość tej substcji, wyrżo w grmch, którą moż rozpuścić w 00 grmch rozpuszczlik w dej temperturze. Zdie 8.7 str. 04 (zbiór) Nuczyciel przerysowuje rysuek z podręczik i zdje pyti ucziom: ) O której godzeie zotowo jiższą temperturę, i ile o wyosił? b) Ile stopi wyosił różic między jwyższą i jiższą temperturą tej doby? c) W jkich godzich tempertur rosłą? Przykłd 4. Ucziowie obliczją włsy współczyik BMI. Zdie 70 ) Z wykresu odczytujemy: chlorek sodu b) Z wykresu odczytujemy: 58 o C c) Z wykresu odczytujemy: 40 o C d) C p = m s /m r * 00% C p = 0/0 * 00% = 6 3 % Zdie 7 ) Z wykresu odczytujemy: O 5:00 i wyosił -3 o C. b) Z wykresu odczytujemy: = 8 o C Iczej mplitud tempertur. c) Z wykresu odczytujemy: Od 5:00 do 4:00

26 d) W jkich godzich tempertur wyosił 4 o C? Zdie 8.7 str. 04 (zbiór) ) Z jką prędkością szł Ai do przystku utobusowego? b) Ile miut czekł Ai utobus? c) Jką drogę pokoł Ai utobusem? d) Z jką średią prędkością jechł utobus? Zdie 8.73 str. 05 (zbiór) ) O której motocyklist dogoi rowerzystę? Zdie rozwiąż grficzie, uzupełijąc poiższy rysuek o wykres drogi motocyklisty. Odczytj rozwiązie z rysuku. b) Po jkim czsie od przyjzdu do szkoły motocyklisty, miejsce dotrł rowerzyst? Zdie 8.74 str. 06 (zbiór) ) Jkim ruchem poruszło się ciło w ciągu pierwszych 6 sekud? Oblicz przyśpieszeie, z jkim poruszło się to ciło. b) Od 6 sekudy ciło poruszło się ruchem jedostjym. Podj prędkość tego ruchu. c) Jką drogę przebyło to ciło w ciągu pierwszych sekud? d) Oblicz średią prędkość tego cił w czsie pierwszych sekud tego ruchu. Wyrź ją w km/h. d) Z wykresu odczytujemy: O :00 i 9:00 Zdie 8.7 ) t = h s = 3km 3 V = s V = 4,5 t b) 0 mi c) 48km 3km = 45km d) s = 45km t = 5 h 6 V = 54 km h Zdie 8.73 ) Po 0 km b) 9:40 dojzd motocyklisty 0:40 dojzd rowerzysty Odp: Po godziie. Zdie 8.74 ) = przyrost prędkości = V czs t = 7 6 = 4 [m s ] b) 7 [ m s ] c) V = s s t = Vt s = 6 m Drogę w ruchu jedostjym liczymy ze wzoru: s = V p+v k t s = V p t + t s = 8 m s = s + s = 43 m d) V = 43 = 0,5 m = 0,5 3,6 km s s V = 7,9 km s Zdie 8.75 str. 06 (zbiór) Ze względu stłą wrtość przyśpieszei ziemskiego i pomijjąc opór powietrz mmy tu do czyiei z ruchem Zdie 8.75 Odp: B

27 jedostjym. Prędkość stle spd Az do osiągięci mksymlej wysokości potem spd i wprost proporcjolym przyśpieszeiem. Zdie 8.76 str. 05 (zbiór) ) Czs połowiczego rozpdu strotu-90 ( czyli czs, po którym liczb jąder tomowych zmiejszy się o połowę)? b) Po ilu ltch pozostie,5 g strotu-90? c) Ile grmów strotu-90 pozostie po 70 ltch? Zdie 8.76 ) 7,5 roku b) 40 ltch c) ¾ g = 0,75 g Podsumowie: Zdie prcy domowej Zdie 8.07 str. 5 (zbiór)

28 Kls Temt: Wielkości wprost proporcjole i odwrotie proporcjole. Czs: Jed godziy lekcyje. Cele: stosowie wielkości wprost proporcjolych i odwrotie proporcjolych, stosowie pojęć i rozróżiie wielkości wprost proporcjolych i odwrotie proporcjolych, opisywie zleżość odwrotie proporcjolych i wprost proporcjolych tbelką, rozwiązywie zdi z wykorzystiem zleżości odwrotie proporcjolych. Metody: rozmow kierow, metod ćwiczeiow. Typ lekcji: powtórzeiowo-ćwiczeiow. Środki dydktycze: Zdi przygotowe przez uczyciel. Mtemtyk - Zbiór zdń do liceów i techików kls - Oficy Edukcyj Krzysztof Pzdro M. Kurbcz, E. Kurbcz, E. Świd. Nuczyciel 3. Sprwdzeie listy obecości. Czyości wstępe Uczeń 3. Przygotowie zeszytów i przyborów szkolych. 4. Nuczyciel podje temt lekcji. 4. Ucziowie zpisują temt lekcji w zeszytch.

29 Część Prktycz Rozpoczymy rozwiązywie zdń. Nuczyciel wyzcz koleje osoby rozwiązujące zdi tblicy. Co to są wielkości wprost proporcjole? Ucziowie wyzczei przez uczyciel rozwiązują zdi tblicy, gdy reszt klsy zpisuje swoje rozwiązi w zeszytch. Dwie wielkości są wprost proporcjole jeżeli wrz ze wzrostem jedej wielkości drug wielkość rośie tyle smo rzy. Np. Dł. boku kwdrtu. Włsości: 3 6 = 4 Jeżeli weźmiemy dwie liczby z pierwszego wiersz i podzielimy przez siebie to będą oe rówe odpowidjącym liczbą z drugiego wiersz. 6 = 48 6 Jeżeli weźmiemy ilorz dwóch odpowidjących sobie liczb to będzie o rówy dwóm iym odpowidjącym liczbą. Zdie 8 cm drewiej deski wży 3 dg. Ile wży desk o dł. 4 cm? Zdie N przejechie 4 km ze stłą prędkością uto spl 7,l bezyy. Ile przejedzie spljąc 8 litry? Co to są wielkości odwrotie proporcjole? Zdie Dł. deski 8cm 4cm Wg deski 3 dg x 8 3 = 4 x 8x = 46 x = 53,5 [dg] Zdie Dysts 4 x Splie 7, 8 4 7, = x 8 7,x = 3444 x = 478 [km] 3 Dwie wielkości są odwrotie proporcjole jeżeli wrz ze wzrostem jedej wielkości drug wielkość mleje tyle smo rzy. li. os kwot ,(3) = 4 5 = 5 0 = 00

30 Zdie 3 Przelot smolotem ze średią prędkością 650 km h trw 6,5h. Z jką śr. Prędkością leżłoby lecieć by lot był o godzię krótszy? Zdie 4 Pewie dom ekip 5 robotików budowł 4 di. Ilu dodtkowych robotików leżłoby ztrudić, by te sm dom wybudowć dw rzy szybciej? Zdie 3 Śr. prędkość 650 x Czs lotu 6,5 6,5 = 5, ,5 = 5,5 x 45 = 5,5 x x = = Odpowiedź: Nleżło by lecieć z prędkością 768 km/h. Zdie 4 L. rob x L. di 4 4 = = (5 + x) = 7 x x = 5 Odpowiedź: Potrzeb 5 robotików więcej. Zdie ,4 b 0-5 c 3 D 0 e Zdie = 50 c 50 = 50 c c = Oblicz, b, c, d i e. ( 3 ) = 5 3 = 50 = 50 0,4 d = 5 d = 5 0 b = 5 b = 5 (0 5 ) e = e = 0 5 e = 0 e = ( + ) e = 4 e = 0 + 5

31 Zdie 6.97 Wypisz wszystkie pry liczb turlych spełijących zleżość: )xy = 4 Zdie 6.98 Wypisz wszystkie pry liczb cłkowitych spełijących zleżość: b)xy = 64 Zdie 6.97 y = 4 x x y Zdie 6.98 y = 64 x x y x y Zdie 6.99 Brygd 6 robotików wykoie pewej liczby części smochodowych potrzebuje 8h 5mi. Ile czsu potrzeb wykoie tej smej prcy brygdzie robotików, przy złożeiu, że wydjość prcy kżdego robotik się ie zmiei? Zdie 6.00 Zps żywości w stołówce szkolej dl 60 osób wystrczy 5 di. N ile di wystrczyłoby tej żywości, jeśli liczb osób stołujących się w szkole wzrosł by o 40 osób (zkłdmy, że rcje żywościowe pozostą tkie sme)? Zdie 6.0 Smochód osobowy jdący ze średią prędkością 70 km/h pokouje pew drogę w czsie h i mi. W jkim czsie poko tę drogę motorowerzyst jdący ze średią prędkością km/h? Z jką prędkością leży jechć, by tę drogę pokoć w czsie 3,5h? Zdie 6.99 L. rob. 6 Czs prcy 8h 5mi x = x 3 = x x = Odpowiedź: Potrzeb by było godzi. Zdie 6.00 L. os Czs 5 di x 60 5 = 00x x = x = 3 Odpowiedź: Żywości wystrczyłoby 3 di. Zdie 6.0 Prędkość 70 Czs h mi x )W jkim czsie tę drogę poko motorowerzyst? 70 = x 5 54 = x x = 7 [h] Odpowiedź: Rowerzyście pokoie tej trsy zjęło 7 godzi.

32 b) Z jką prędkością trzeb jechć by te drogę pokoć w czsie 3,5h? Prędkość 70 y Czs h mi 3,5 70 = 3,5 y 5 54 = 3,5y y = 44 km h Odpowiedź: Trzeb jechć z prędkością 44 km/h Zdie 6.03 Koło o obwodzie, m pewym odciku drogi wykoło 300 obrotów. )Ile obrotów wyko tej drodze koło o obwodzie 0,3m? b) Jki jest promień koł, które tej drodze wykoło 60 obrotów? Zdie 6.03 Obwód, 0,3 Obrót 300 x 0,3x = 60, 300 = 0,3 x x = Odpowiedź: Koło wyko 066 obrotu. 3 Obwód, y Obrót Promień, 300 = 60 y 60y = 60 y = 0 3 [m] l = πr 0 3 = πr r = 5 6π Odpowiedź: Promień koł wyosi 5. 6π Podsumowie: Zdie prcy domowej Zdi ie zrelizowe w czsie zjęć i zdie 6.97 b, 6.98, 6.0.

33 Kls Temt: Fukcj homogrficz. Cele ogóle: - ksztłceie umiejętości logiczego myślei, - ćwiczeie sprwości obliczeiowych. Cele szczegółowe: - pozie przez ucziów wykresu fukcji homogrficzej, - przypomieie widomości dotyczących przesuięć wykresu fukcji, - ćwiczeie umiejętości przeksztłci wzoru fukcji postci x+b do postci podstwowej x i wyzczi wektor przesuięci. Metody: - pogdk, - ćwiczeiow. Typ lekcji: - wprowdzeiow. Środki dydktycze: - zestwy zdń dl ucziów. cx+d Czyości uczyciel Temt: Fukcj homogrficz. Nrysujcie wykres fukcji f(x) = x i g(x) = x Opiszcie ich dziedzię, zbiór wrtości, mootoiczość. Czyości uczi Dwóch ucziów rysuje wykresy tblicy, pozostli w swoich zeszytch. x - - f(x)=/x - -

34 Nuczyciel dyktuje ucziom ottkę: Wykresmi fukcji f(x) = i g(x) = są głęzie x x hiperboli, które są położoe w I i III ćwirtce ukłdu współrzędych lub w II i IV ćwirtce ukłdu współrzędych, o czym decyduje liczb w licziku. D f :x R{0} ZW: y R{0} Fukcj mlejąc x - - g(x)=-/x - - Przesuńmy wykres fukcji g(x) o wektor [,]. Jk będzie wyglądł wykres fukcji g (x) i jej wzór? ZW: y R{0} Fukcj rosąc D f : x R{0} Asymptotmi fukcji g(x) po przesuięciu o wektor [,] są proste x= i y=, fukcj określo jest wzorem: g (x) = x +. Fukcją homogrficzą zywmy fukcję, któr jest ilorzem dwóch fukcji liiowych, czyli fukcję określoą wzorem f(x) = x+b, gdzie cx + d 0, cx+d wykresem tej fukcji są głęzie hiperboli. g (x) = x + Zd. Npisz wzór fukcji f po przesuięciu o wektor v, doprowdź ją do postci f(x) = x+b ) f(x) = 3, v = [,5] x b) f(x) = 0, v = [ 5, ] x c) f(x) =, v = [7,5] x cx+d. ) f (x) = 3 x+ + 5 f (x) = 3+5(x+) x+

35 Zd. Mjąc wzór fukcji homogrficzej podj wzór fukcji podstwowej, czyli f(x) = orz wektor x przesuięci. ) f(x) = 3x x+ b) f(x) = 4x+3 x c) f(x) = 0x+ x+7 d) f(x) = x+3 x 4 e) f(x) = x+ x Podsumowie Nuczyciel zdje pyti dotyczące lekcji. Prc domow Zd. Mjąc wzór fukcji homogrficzej f(x) = x 3 x podj wzór fukcji podstwowej, czyli f(x) = orz wektor przesuięci i rysuj jej x wykres. f (x) = 5x+3 x+ b) f (x) = 0 x+5 f (x) = 0 (x+5) x+5 f (x) = x 0 x+5 c) f (x) = x f (x) = +5(x 7) x 7 f (x) = 5x 34 x 7 ) f(x) = 3x x+ = 3(x+) 5 x+ f (x) = 5, v = [,3] x b) f(x) = 4x+3 x = 4(x ) 5 x f (x) = 5, v = [, 4] x c) f(x) = 0x+ x+7 = 0(x+7) 69 x+7 f (x) = 69, v = [ 7,0] x d) f(x) = x+3 x 4 = (x 4)+ x 4 f (x) =, v = [4,] x e) f(x) = x+ x = (x )+ x f (x) =, v = [, ] x = 5 x+ + 3 = 5 x 4 = 69 x = x+4 + = x Ucziowie odpowidją pyti uczyciel. f(x) = x (x ) = = x x x + f (x) =, v = [,] x

36 . INFORMACJE WSTĘPNE Kls liceum Czs trwi lekcji; 45 miut Nuczy przedmiot; mtemtyk SCENARIUSZ LEKCJI.PROGRAM NAUCZANIA Mtemtyk poziom podstwowy. Podręczik i zbiór zdń do liceów i techików kls. Mrcik Kurczb, Elżbiet Kurczb, Elżbiet Świd. Oficy Edukcyj Krzysztof Pzdro. 3.TEMAT LEKCJI Postć iloczyow fukcji kwdrtowej 4. CELE LEKCJI -uczeń stosuje defiicję fukcji kwdrtowej -uczeń rozpozje włsości fukcji kwdrtowej -uczeń stosuje postć iloczyową fukcji kwdrtowej 5. METODY NAUCZANIA -pogdk -prc z podręczikiem i zbiorem 6.ZASADY NAUCZANIA -wyrbiie pewości siebie u uczi przez wypowiedz i czyy udził w zjecich -stopiowie trudości -trwłość wiedzy -wiązie teorii z prktyką 7.FORMY PRACY UCZNIÓW -zbiorow 8. ŚRODKI DYDAKTYCZNE -tblic, kred - podręczik, zbiór zdń

37 9. STRUKTURA LEKCJI CZYNNOŚCI NAUCZYCIELA -czyości orgizcyje -sprwdzeie prcy domowej -przypomieie temtyki poprzediej lekcji -podie temtu i celów lekcji -wprowdzeie do lekcji CZYNNOŚĆI UCZNIA -przygotowie zeszytów -zpisie temtu lekcji -czyy udził w lekcji- ucziowie zpisują iformcje pode przez uczyciel orz rozwiązują przykłdy według określoych zsd Fukcj kwdrtow zpis w postci iloczyowej m postć: f(x)=(x-x )(x-x ) W powyższym wzorze jest współczyikiem liczbowym tkim, że jest róże od zer. Litery x,x ozczją miejsc zerowe fukcji f(x). Uwg! Jeżeli fukcj kwdrtow ie m miejsc zerowych to postć iloczyow ie istieje. Jeżeli zmy postć ogólą fukcji kwdrtowej i delt jest większ od zer to możemy obliczyć miejsc zerowe x i x korzystjąc ze wzorów: b x = b + x = Zletą postci iloczyowej jest to, ze widć z iej od rzu miejsc zerowe fukcji kwdrtowej. Po współczyiku możemy określić rówież czy rmio prboli są skierowe do góry czy do dołu. Zdie.4/4 Wyzcz miejsc zerowe (o ile istieją) fukcji kwdrtowej f, jeśli: e) f(x) = 5x +0x f) f(x) = 3 x 6x Zdie.44/4 Przedstw wzór fukcji kwdrtowej f w postci iloczyowej (o ile to możliwe), jeśli: b) f(x) = 4 x + 4 x c) f(x) = 3 x + 6x + f) f(x) = 3 x 54 Zdie.46/4 N podstwie wzoru fukcji kwdrtowej f w postci iloczyowej podj miejsc zerowe tej fukcji: d) f(x) = x(x 6) 5 Zdie.4/4 ) i b) do domu Zdie.46/4 ) do domu

38 Zdie.47/4 De są miejsc zerowe fukcji kwdrtowej orz współczyik. Podj wzór tej fukcji w postci iloczyowej, jeśli: ) x = - 4, x = 0,5, = f) x 0 = -, =7 Zdie.48/4 Dy jest wzór fukcji kwdrtowej f w postci iloczyowej. Podj wzór fukcji f w postci ogólej, jeśli: b) f(x) = 4 x(x + 6), 3 c) f(x) = 5 (x )(x + 3), 6 Zdie.49/4 Dy jest wzór fukcji kwdrtowej f w postci koiczej. Podj wzór fukcji f w postci iloczyowej(o ile to możliwe) bez wyzczi wzoru fukcji f w postci ogólej. d) f(x) = -9(x + ) + 36 f) f(x) = - 0,5(x + 7) Zdie.5/43 Przedstw wzór fukcji kwdrtowej f(x) = 9x +x + 4 w postci koiczej orz iloczyowej. Podj współrzęde wierzchołk prboli i miejsc zerowe fukcji f. Zdie.53/43 do domu

39 Temt: Fukcj wykłdicz i jej włsości. Kls Typ lekcji: wprowdzjąc, Czs trwi zjęć: godzi lekcyj (45 miut). CELE NAUCZANIA Cel ogóly : - szkicowie wykresów fukcji wykłdiczej i określie jej włsości. Cele szczegółowe : Uczeń: - uczeń szkicuje wykresy fukcji wykłdiczej, - określ włsości fukcji wykłdiczej. Cele wychowwcze: - Rozwijie umiejętości poprwego formułowi myśli. Metody prcy: - Metod podjąc, - Metod treigow rozwiązywie zdń. Formy prcy: - Idywidul, - Prc z cłą klsą. Środki dydktycze: - Krt prcy, - Zeszyty, - Tblic, kred.

40 Przebieg lekcji Ogiwo lekcji Czyości uczyciel Czyości uczi.czyości Sprwdz obecość ucziów lekcji, Zgłsz ieobecość kolegów. Orgizcyje zzcz ewetule ieobecości..część wstęp: ) zpozie z celmi lekcji b)sformułowie temtu lekcji c)wprowdzeie widomości )Celem dzisiejszej lekcji jest zdobycie umiejętości szkicowi wykresów fukcji wykłdiczych. b)podje temt Fukcj wykłdicz i jej włsości. Defiicj Fukcją wykłdiczą zywmy fukcję y = x (f(x) = x ), gdzie x R i jest ustloą liczbą dodtią. Mootoiczość fukcji wykłdiczej: gdy (0,) to fukcj wykłdicz jest mlejąc (tz. wrz ze wzrostem rgumetów mleją wrtości fukcji, czyli dl dowolych dwóch rgumetów x < x x > x ) ) Przewiduje czego będzie dotyczył lekcj. b)zpisuje temt lekcji. c)ptrzy tblicę i sporządz ottki. p. < 3 le ( 3 ) > ( 3 )3, 9 > 7 gdy (, + ) iczej >, to fukcj wykłdicz jest rosąc (tz. wrz ze wzrostem rgumetów rosą wrtości fukcji, czyli dl dowolych dwóch rgumetów x < x x <

41 x ) p. < 3 i 3 < 3 3, 9 < 7 Fukcj wykłdicz f(x) = x dl R + \{} jest różowrtościow, czyli dl dowolych dwóch rgumetów x, x zchodzi wruek: x = x x = x Zdie. (Krt prcy) Nszkicuj wykres fukcji i określ jej włsości. )y = x b)y = 3 x Zdie. (Krt prcy) Rozwiązie: ) c)y = ( )x d)y = ( 3 )x e)y = (0,3) x f)y = () x g)y = (3) x+ h)y = x i)y = 9 3x j)y = x + D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 b)

42 D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 c) D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj mlejąc m.z.: brk symptot: y = 0 d) D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj mlejąc m.z.: brk symptot: y = 0 e)

43 D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj mlejąc m.z.: brk symptot: y = 0 f) D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 g) D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 h)

44 D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 i) D: x R z.w.: y (0, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = 0 j)

45 D: x R z.w.: y (, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk symptot: y = Zdie. (Krt prcy) Nrysuj wykres fukcji f określoej przedzile, wzorem: )f(x) = x b)f(x) = x orz określ włsości tej fukcji. Zdie. (Krt prcy) Rozwiązie: ) D: x <, > z.w.: y ( 3 4, 3) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: (0,0) b)

46 D: x <, > z.w.: y (, 8) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk Zdie 3. (Krt prcy) Nrysuj wykres fukcji i określ jej włsości. f(x) = 3 x+ + 3 Zdie 3. (Krt prcy) Rozwiązie: D: x R z.w.: y (3, + ) mootoiczość: fukcj rosąc m.z.: brk

47 3. Część głów: )rozwiązywie zdń tblicy 4.Część końcow: )Podsumowie lekcji )Kotroluje prce ucziów i koryguje błędy. )Zdje pyti związe z temtem lekcji i ocei ktywość ucziów. symptot: y = 3 ) Rozwiązuje zdi tblicy. Zpisuje rozwiązi w zeszycie. ) Odpowid pyti dotyczące temtu lekcji.

48 Temt: Zstosowie fukcji wykłdiczej. Cele ogóle: Kls - ksztłceie umiejętości logiczego myślei, - ćwiczeie sprwości rchukowych, Cele szczegółowe: - przypomieie defiicji fukcji wykłdiczej i jej włsości, - ćwiczeie umiejętości stosowi pozych widomości w zdich. Metody: - ćwiczeiow. Typ lekcji: - powtórzeiow. Środki dydktycze: - Mtemtyk LO podręczik E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb - Mtemtyk. Kls. Zbiór zdń - szkoł podgimzjl E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb. Czyości uczyciel Temt: Zstosowie fukcji wykłdiczej. Przypomijcie defiicję fukcji wykłdiczej. Kiedy fukcj wykłdicz jest mlejąc, kiedy rosąc? Czyości uczi Fukcją wykłdiczą zywmy fukcję y = x (f(x) = x ), gdzie x R i jest ustloą liczbą dodtią. Mootoiczość fukcji wykłdiczej: gdy (0,) to fukcj wykłdicz jest mlejąc

49 gdy (, + ) iczej >, to fukcj wykłdicz jest rosąc Czy fukcj wykłdicz jest różowrtościow? Zd. Ktoś wymyślił plotkę i przekzł ją w ciągu pięciu miut tylko trzem osobom, te (wierząc w prwdziwość iformcji) przekzły je w pięć miut kolejym trzem osobom (które jej jeszcze ie słyszły). Sytucj powtrzł się w podoby sposób, ż po godziie okzło się, że iformcj jest ieprwdziw. Ile osób usłyszło plotkę? Fukcj wykłdicz f(x) = x dl R + \{} jest różowrtościow, czyli dl dowolych dwóch rgumetów x, x zchodzi wruek: x = x x = x Zd. 0 mi 5 mi 3 osoby 5 mi 0 mi 3*3=9 osób 0 mi 5 mi 3*3*3=7 osób itd. Wzór fukcji, gdzie x to umer pięciomiutowego odstępu czsu. f(x) = 3 x f() + f() + f(3) + f(4) + + f() = = = = = Odp. Plotkę usłyszło osób. Zd. Liczebość pewej koloii bkterii wyosi milioy. Co kżde cztery miuty koloi powiększ swoją liczebość o 5%. Ile bkterii będzie liczyć t koloi po upływie jedej godziy? (Wyik podj w zokrągleiu do tysięcy) Zd. 3 Wrtości pewych kcji zyskują wrtości 8% roczie. Ile będą wrte po 6 ltch, jeśli Pweł kupił pkiet kcji z złotych? Zd. Wzór fukcji opisującej liczebość bkterii po upływie x czteromiutowych odcików czsu: f(x) = (,05) x W jedej godziie jest 5 odcików czteromiutowych, więc: f(5) = (,05) 5 f(5) = Odp. Po godziie koloi będzie liczył około 4 milioów 58 tysięcy bkterii. Zd. 3 Wzór fukcji opisującej wrtość kcji po x ltch: f(x) = (,08) x Po sześciu ltch: f(6) = (,08) 6 = 58687,43 zł Odp. Po sześciu ltch Pweł otrzym 58687,43 złotych. Zd. 4 Jed wrstw mteriłu użytego zsłoę przepuszcz 80% świtł. Ile świtł przepuszcz zsło wyko z 6 wrstw? Zd. 4 Wzór fukcji opisującej przepuszczlość świtł w x zsłoch: f(x) = (0,8) x

50 W sześciu wrstwch mmy: f(6) = (0,8) 6 = 0,644 0,644 00% = 6,44% Odp. Zsło złożo z 6 wrstw będzie przepuszczć 6,44% świtł. Zd. 5 Komputer trci wrtości 30% roczie. Jką wrtość po pięciu ltch będzie mił komputer Mrty, który zostł kupioy z 4000 zł? Powtórzeie Nuczyciel zdje ucziom pyti dotyczące lekcji. Prc domow Zd. Czs połowiczego rozpdu promieiotwórczego izotopu pltyy wyosi 50 lt. Oblicz msę tego izotopu, któr pozostie po 50 ltch, jeśli ms początkow próbki wyosił 4 g. Zd. 5 Wzór fukcji opisującej wrtość komputer po x ltch: f(x) = 4000 (0,7) x Po pięciu ltch mmy: f(5) = 4000 (0,7) 5 = ,6807 = = 67,8 Odp. Komputer Mrty po 5 ltch będzie wrt 67,8 złotych. Ucziowie odpowidją pyti uczyciel. Zd. Wzór fukcji opisującej rozpd izotopu po x pięćdziesięcioletich odcikch czsu. f(x) = 4 (0,5) x Podczs 50 lt mmy 5 odcików czsu po 50 lt więc: f(5) = 4 (0,5) 5 = 4 0,035 = 0,5 Odp. Izotop będzie wżył 0,5 g.

51 Kls 3 Temt: Powtórk przed mturą fukcj kwdrtow. Czs: Jed godziy lekcyje. Cele: utrwleie widomości o fukcjch kwdrtowych, zstosowie pojęć dotyczących fukcji kwdrtowych, rozwijie umiejętości rozwiązywi zdń z rkuszy mturlych; Metody: rozmow kierow, metod ćwiczeiow. Typ lekcji: powtórzeiowo-ćwiczeiow. Środki dydktycze: Zdi przygotowe przez uczyciel. Nuczyciel Uczeń 5. Sprwdzeie listy obecości. Czyości wstępe 5. Przygotowie zeszytów i przyborów szkolych. 6. Nuczyciel podje temt lekcji. 6. Ucziowie zpisują temt lekcji w zeszytch. Część Prktycz

52 Nuczyciel rozpoczy lekcję od sprwdzei prcy domowej. Odpowiedź ucziów: Rozpoczymy rozwiązywie zdń. Nuczyciel wyzcz koleje osoby rozwiązujące zdi tblicy. Ucziowie wyzczei przez uczyciel rozwiązują zdi tblicy, gdy reszt klsy zpisuje swoje rozwiązi w zeszytch. Zdie Pukt P = (4,3) leży do wykresu fukcji f(x) = x + bx 3. Zjdź miejsce zerowe fukcji f. Zdie f(x) = x + bx 3 3 = 4 + 4b 3 3 = 6 + 4b 3 0 = 4b 0 = b f(x) = x 3 0 = x 3 3 = x x = 3 lub x = 3 Zdie Wykż, że jeżeli c 0, to trójmi kwdrtowy y x + bx + c m dw róże miejsc zerowe. Zdie 3 Zjdź rówie prostej prostopdłej do osi OY i mjącej z wykresem fukcji f(x) = x + 8x + 9 jede pukt wspóly. Zdie Zpisujemy wyróżik dego trójmiu kwdrtowego: b 4c. Poiewż c 0 to 4c 0. Stąd jest sumą dwóch wyrżeń: ieujemego i dodtiego, czyli jest dodti. A ztem trójmiy y x bx c m dw róże miejsc zerowe. Zdie 3 x w = b y w = 4 = b 4c = = = 8 y w = 8 = 7 4 Odpowiedź: Prost y = -7 jest prostopdły do osi OX i m jede pukt wspóly z fukcj f. Zdie 4 Wyzcz współrzęde puktu wspólego Zdie 4 x + 7x + 3 = x + 5x +

53 wykresów fukcji f(x) = x + 7x + 3 i g(x) = x + 5x +. Zdie 5 Sum kwdrtów dwóch kolejych liczb turlych jest o 33 większych od iloczyu tych liczb. Zjdź te liczby. Zdie 6 Wyzcz cztery koleje liczby cłkowite tkie, że jwiększ z ich jest rów sumie kwdrtów trzech pozostłych liczb. x + x + = 0 (x + )(x + ) = 0 x = f( ) = f( ) = Odpowiedź: Fukcj przeci się w jedym pukcje (-, -). Zdie 5 x + (x + ) = x(x + ) + 33 x + x + x + = x + x + 33 x + x 3 = 0 = b 4c = 59 x = 3 = 3 = - ie jest liczbą turlą x = +3 = Odpowiedź są to liczby,. Zdie 6 Niech ozcz jmiejszą z czterech szukych liczb cłkowitych. Wtedy koleje liczby to:,, 3. Zpisujemy ztem rówie kwdrtowe + 3 = + ( + ) + ( + ) które po przeksztłceiu przyjmuje postć = 0. Rówie to m dw rozwiązi: = -, = - 3. Rozwiązie - 3 odrzucmy jko sprzecze z treścią zdi (ie jest to liczb cłkowit). Ztem szuke liczby to:, 0,,. Zdie 7 Liczbę 68 rozłóż tkie dw czyiki, których sum jest rów 3. Zdie 7 = 89 xy = 68 x + y = 3 x = 3 y (3 y)y = 68 y 3y 68 = 0 = b 4c = y = = 4

54 Zdie 8 Zjdź współrzęde wszystkich puktów leżących do wykresu fukcji f(x) = x 4x +, których rzęd jest o 5 większ od odciętej. Podsumowie: Zdie prcy domowej : -zdi ie zrelizowe w czsie zjęć -zdie testowe przygotowe przez uczyciel 3 7 y = = 7 x = 7 x = 4 Odpowiedź: Są to liczby 7 i 4. Zdie 8 (x,y) (odcięt, rzęd) f(x) = y y = x + 5 x + 5 = x 4x + 0 = x 5x + 6 = = x = 5 + = 3 x = 5 = y = 8 y = 7 Odpowiedź: Są to współrzęde (,7) i (3,8).

55 Kls Temt lekcji: Ciągi mootoicze. Typ lekcji: wprowdzjąc; Czs trwi zjęć: 45 miut Cele opercyje: Uczeń: stosuje defiicję ciągu: rosącego, mlejącego, iemlejącego, ierosącego, stłego; potrfi zbdć mootoiczość dego ciągu ). ( Metody prcy: podjące; słowe (opowidie, pogdk, opis). Formy prcy: idywidul; prc z cłą klsą. Środki dydktycze: zestw zdń przygotowy przez uczyciel Sceriusz lekcji Czyości uczyciel Czyości uczi I. Część wstęp. Przywitie ucziów orz sprwdzeie listy obecości. Czyości orgizcyjo-porządkowe.. Podie celów dzisiejszych zjęć orz sformułowie temtu lekcji. 3. Rozwiązywie zdi przygotowego przez uczyciel. Przygotowie się do zjęć. Ucziowie ktywie uczesticzą w lekcji, odpowidją pyti uczyciel. Zdie Poiżej zpiso wzory ogóle trzech ciągów: ( )( 3) 4 5 b,, b, b b Zpisz wyrżei w postci ( )( 3) ( 4) 4

56 ( )( 3) ( )( 3) Defiicj: Ciąg ) jest: ( ) rosący, gdy dl kżdego N, czyli 0 ) mlejący, gdy dl kżdego N, czyli 0 3) iemlejący, gdy dl kżdego N, czyli 0 4) ierosący, gdy dl kżdego N, czyli 0 5) stły, gdy dl kżdego N, czyli 0 Przykłdy: 3 3( ) (3 ) 3 3 Odp. Różic jest dodti, czyli ciąg jest rosący. ( ) ( ) ( ) ( ) Odp. Różic jest ujem dl dowolego turlego, czyli ciąg jest mlejący. Symbol [] ozcz część cłkowitą liczby, tz. jwiększą z liczb cłkowitych ie większych iż. Np. [7] = 7, [5,7] = 5, 3 = -, [π] = 3 itd., czyli (,,, 3, 3, ) jest iemlejący., czyli (, 0, 0, -, -, ) jest ierosący Mówimy, że kżdy ciąg rosący jest iemlejącym i kżdy ciąg mlejący jest ierosącym. Ciąg mootoiczy jest to ciąg iemlejący lub ierosący. 3 0 b 4( ) b b 4( ) 5 (4 9)

57 Przykłd ciągu, który ie jest mootoiczy. (), czyli (-,, -,, ) Ciąg stły jest iemlejący i ierosący. II. Część włściw. Rozwiązywie zdń przygotowych przez uczyciel. Zdie Zbdj mootoiczość ciągu ). ) 0 b) 5 7 c) d) 4 e) 8 7 f) 5 3 g) ( ) ( Ucziowie wykoują zdi przy tblicy. Rozwiązie: ) ( ) ( 0) 8 0 Różic < 0 dl dowolego turlego, czyli ciąg jest mlejący. b) 5 7( ) (5 7) Różic < 0 dl dowolego turlego, czyli ciąg jest mlejący. c) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) Różic > 0 dl dowolego turlego, czyli ciąg jest rosący. ( ) 4( ) d)

58 ) 4 ( 6 6 Różic > 0 dl dowolego turlego, czyli ciąg jest rosący. e) ) 8( ) ( ) 8 ( 6 Wrtość wyrżei może być liczbą dodtią ( p. dl = 4) lub ujemą (p. dl = 3). Ztem ciąg ie jest i rosący, i mlejący. f) ) 5 ( Różic > 0 dl dowolego turlego, czyli ciąg jest rosący. g) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (( ) ( ) ( Wrtość wyrżei może być liczbą dodtią ( p. dl = ) lub ujemą (p. dl = 4). Ztem ciąg ie jest i rosący, i mlejący. III. Część końcow. Podsumowie temtu dzisiejszych zjęć.

59 Kls Temt: Ciągi mootoicze. Cele: uczeń podje defiicję ciągu rosącego, mlejącego, iemlejącego, ierosącego i stłego, uczeń stosuje defiicję ciągu rosącego, mlejącego, iemlejącego, ierosącego i stłego w zdich, uczeń bd mootoiczość ciągów, Metod: wykłdowo-ćwiczeiow Środki dydktycze: Mtemtyk LO podręczik E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb Mtemtyk. Kls. Zbiór zdń - szkoł podgimzjl E. Kurczb, M. Świd, M. Kurczb, Czyości uczyciel Część wykłdow Czyości uczi. Nuczyciel przygotowuję się do lekcji: sprwdz listę obecości, podje temt ucziom, rozdję zdi,. Nuczyciel określ czym kls będzie zjmowł się lekcji i zczy część wykłdową.. Ucziowie przygotowują się do lekcji: zjmują miejsc, przygotowują książki i przybory szkole,. Ucziowie słuchją i zpisują w zeszytch. Poiewż kżdy ciąg jest fukcją, więc moż dl ich też zdefiiowć pojęcie mootoiczości w idetyczy sposób. Otrzymujemy w te sposób defiicje ciągu stłego, ciągu rosącego, ciągu mlejącego, ciągu ierosącego, ciągu iemlejącego, ciągu mootoiczego i ciągu ściśle mootoiczego. Ituicyjie, wyrzy ciągu rosącego ciągle się zwiększją, mlejącego ciągle mleją. Aby zbdć mootoiczość ciągu o dym wyrzie ogólym, leży zbdć zk różicy +. Jeśli jest o dodti wtedy ciąg jest rosący, jeśli ujem ciąg jest mlejścy, jeśli rów 0, to ciąg jest stły.