Dyskretna teoria Morse a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dyskretna teoria Morse a"

Transkrypt

1 Dyskretna teoria Morse a Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011 Michał Kukieła Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu θ R θ

2 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka.

3 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n.

4 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n. Punkt krytyczny x M n jest niezdegenerowany, o ile macierz Hessego jest nieosobliwa. [ 2 ] f (x) x i x j i,j=1,...,n

5 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n. Punkt krytyczny x M n jest niezdegenerowany, o ile macierz Hessego jest nieosobliwa. [ 2 ] f (x) x i x j i,j=1,...,n Funkcję f nazywamy funkcja Morse a, o ile wszystkie jej punkty krytyczne sa niezdegenerowane.

6 Klasyczna teoria Morse a Oznaczmy: M a = {x M n : f(x) a} dla a R.

7 Klasyczna teoria Morse a Oznaczmy: M a = {x M n : f(x) a} dla a R.

8 Klasyczna teoria Morse a Twierdzenie: Niech f 1 ([a,b]) nie zawiera punktów krytycznych. Wówczas: M a jest dyfeomorficzne z M b (oraz M a jest retraktem deformacyjnym M b ), f 1 (a) jest dyfeomorficzne z f 1 (b), f 1 ([a,b]) jest dyfeomorficzne z f 1 (a) [a,b].

9 Klasyczna teoria Morse a Twierdzenie: Niech f 1 ([a,b]) nie zawiera punktów krytycznych. Wówczas: M a jest dyfeomorficzne z M b (oraz M a jest retraktem deformacyjnym M b ), f 1 (a) jest dyfeomorficzne z f 1 (b), f 1 ([a,b]) jest dyfeomorficzne z f 1 (a) [a,b].

10 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona.

11 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

12 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

13 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

14 Klasyczna teoria Morse a Dowolna funkcję Morse a można zaburzyć tak, aby na zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy zatem: Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse a f na rozmaitości M n posiada c i punktów krytycznych indeksu i, to M n jest homotopijnie równoważna CW-kompleksowi posiadajacemu dokładnie c i komórek wymiaru i.

15 Klasyczna teoria Morse a Dowolna funkcję Morse a można zaburzyć tak, aby na zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy zatem: Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse a f na rozmaitości M n posiada c i punktów krytycznych indeksu i, to M n jest homotopijnie równoważna CW-kompleksowi posiadajacemu dokładnie c i komórek wymiaru i. Wniosek (Nierówności Morse a): Niech b i oznacza i-ta liczbę Bettiego M n, zaś c i liczbę punktów krytycznych indeksu i. Wówczas: c k c k 1 + c k 2... ± c 0 c k c k 1 + c k 2... ± c 0 dla wszystkich k N; c i b i dla wszystkich i N; χ(m n ) = i N ( 1)i b i = i N ( 1)i c i.

16 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie.

17 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie. Komórkę σ X nazywamy krytyczn a, o ile u f (σ) =, d f (σ) =. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).

18 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie. Komórkę σ X nazywamy krytyczn a, o ile u f (σ) =, d f (σ) =. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).

19 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R.

20 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n.

21 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n. Twierdzenie: Jeśli f 1 ([a,b]) nie zawiera komórek krytycznych, to CW kompleksy X a i X b sa homotopijnie równoważne. Co więcej, X b zgniata się do X a.

22 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n. Twierdzenie: Jeśli f 1 ([a,b]) nie zawiera komórek krytycznych, to CW kompleksy X a i X b sa homotopijnie równoważne. Co więcej, X b zgniata się do X a. Twierdzenie: Jeśli σ jest jedyna komórka krytyczna należac a do f 1 ([a,b]), to CW kompleks X b jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi powstałemu z X a poprzez doklejenie komórki wymiaru dim(σ).

23 Dyskretna teoria Morse a Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna funkcja Morse a f jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi posiadajacemu po jednej komórce i-wymiarowej na każda komórkę krytyczna o indeksie i.

24 Dyskretna teoria Morse a Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna funkcja Morse a f jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi posiadajacemu po jednej komórce i-wymiarowej na każda komórkę krytyczna o indeksie i. Wniosek (Nierówności Morse a): Niech b i oznacza i-ta liczbę Bettiego X, zaś c i liczbę komórek krytycznych indeksu i. Wówczas: c k c k 1 + c k 2... ± c 0 c k c k 1 + c k 2... ± c 0 dla wszystkich k N; c i b i dla wszystkich i N; χ(x) = i N ( 1)i b i = i N ( 1)i c i.

25 Skojarzenia Morse a

26 Skojarzenia Morse a

27 Skojarzenia Morse a

28 Skojarzenia Morse a Twierdzenie: Skojarzenie na diagramie Hassego częściowego porzadku zawierania ścian CW kompleksu X odpowiada pewnej dyskretnej funkcji Morse a na X wtedy i tylko wtedy, gdy digraf uzyskany przez odwórcenie strzałek należacych do tego skojarzenia nie zawiera cykli.

29 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ci ag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }.

30 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ciag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }. W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace z σ i do τ i (tworza one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że jest to skojarzenie acykliczne.

31 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ciag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }. W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace z σ i do τ i (tworza one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że jest to skojarzenie acykliczne. Wniosek: Jeśli X ց Y, to na X istnieje dyskretna funkcja Morse a, której zbiorem komórek krytycznych jest Y.

32 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki),

33 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne,

34 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna,

35 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych,

36 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych, dyskretna teoria Morse a-wittena, Morse a-novikova,

37 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych, dyskretna teoria Morse a-wittena, Morse a-novikova, ogólniej: dyskretna geometria różniczkowa.

38 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna,

39 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna,

40 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów,

41 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów, fizyka,

42 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów, fizyka, matematyka ciagła?

43 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki?

44 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N.

45 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N. Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse a. Jednak dla wszystkich n 3 i k 0 istnieje triangulacja S n, na której każda dyskretna funkcja Morse a ma co najmniej k krytycznych komórek 1-wymiarowych.

46 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N. Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse a. Jednak dla wszystkich n 3 i k 0 istnieje triangulacja S n, na której każda dyskretna funkcja Morse a ma co najmniej k krytycznych komórek 1-wymiarowych. Teoria dyskretna wypada blado. Co gdy pozwolimy na dowolność w wyborze triangulacji?

47 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i.

48 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula.

49 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula. Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla każdego n 5 istnieje rozmaitość M n, która nie jest homeomorficzna z kula, ale posiada triangulację zgniatalna do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL).

50 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula. Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla każdego n 5 istnieje rozmaitość M n, która nie jest homeomorficzna z kula, ale posiada triangulację zgniatalna do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL). Wniosek: Teoria dyskretna jest lepsza!

51 Bibliografia K. Adiprasito, B. Benedetti, Metric geometry and collapsibility, arxiv: v1. B. Benedetti, Discrete Morse theory is as perfect as Morse theory, arxiv: v2. J. Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, R. Forman, Morse theory for cell complexes, Advances in Mathematics 134 (1998), V. Prasolov, Elements of combinatorial and differential topology, Graduate Studies in Mathematics 74,

Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk

Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk Charakterystyka Eulera Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku Leonard Euler ur. 15 kwietnia 1707 w Bazylei (Szwajcaria) zm. 18 września 1783 w St. Petersburgu (Rosja). Wzór Eulera Twierdzenie 1. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza

Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Aleksander Doan Nr albumu: 290720 Rozwłóknienie Milnora i twierdzenie Picarda-Lefschetza Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca

Bardziej szczegółowo

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne

Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Poziom studiów: Studia II stopnia Forma i tryb studiów: Stacjonarne Specjalność: Matematyka ubezpieczeniowa Rocznik: 2016/2017 Język wykładowy: Polski

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa II wykład piąty

Geometria Różniczkowa II wykład piąty Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Niezmienniki wielomianowe: wielomian Aleksandra, wielomian Jonesa. Justyna Ostrowska 10 B2

Niezmienniki wielomianowe: wielomian Aleksandra, wielomian Jonesa. Justyna Ostrowska 10 B2 Niezmienniki wielomianowe: wielomian Aleksandra, wielomian Jonesa Justyna Ostrowska 10 B2 Przed rokiem 1920, było tylko kilka prac dotyczących węzłów, głównie autorstwa K. F Gaussa oraz Maxa Dehn a Teoria

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany Załóżmy, że wiemy co to są liczby naturalne... Język (I-go rzędu): V, { F n : n IN

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH

MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Julia Radwan-Pragłowska gr. 10B2. Elementy teorii węzłów

Julia Radwan-Pragłowska gr. 10B2. Elementy teorii węzłów Julia Radwan-Pragłowska gr. 10B2 Elementy teorii węzłów Plan prezentacji 1. Wprowadzenie Niezmiennik Wielomian Wielomian wielomian węzła Warkocz Grupa warkocza Wielomian Laurenta 2. Niezmienniki homologiczne

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

Struktury niewygładzalne Zdzisław POGODA, Kraków

Struktury niewygładzalne Zdzisław POGODA, Kraków Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIV Szkole Matematyki Poglądowej NIE w matematyce i okolicach, styczeń 2005. Rys.1 Struktury niewygładzalne Zdzisław POGODA, Kraków Podstawowym zadaniem topologii

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA

MATEMATYKA DYSKRETNA MATEMATYKA DYSKRETNA Wykład I Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Politechnika Częstochowska Kontakt Dr inż. Jolanta Błaszczuk Instytut Matematyki Częstochowa, ul. Dąbrowskiego 73, pok. 184 tel.:

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Trzeci problem milenijny: hipoteza Poincarégo

Trzeci problem milenijny: hipoteza Poincarégo ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXXVIII(2002) Roman Duda(Wrocław) Trzeci problem milenijny: hipoteza Poincarégo 1. Wstęp. Topologia jest dyscypliną niejednolitą

Bardziej szczegółowo

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy

Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim PODSTAWY GEOMETRII RÓŻNICZKOWEJ Nazwa w języku angielskim INTRODUCTION TO DIFFERENTIAL GEOMETRY Kierunek

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych

Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Kierunek matematyka Praca dyplomowa magisterska Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Promotor: dr Paweł Gładki

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja przestrzeni soczewkowych

Klasyfikacja przestrzeni soczewkowych Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Bartosz Wcisło Nr albumu: 276697 Klasyfikacja przestrzeni soczewkowych Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna

Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Piotr Kozarzewski Nr albumu: 291648 Struktura CW-kompleksu na rozmaitości Grassmanna Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

Paul Erdős i Dowody z Księgi

Paul Erdős i Dowody z Księgi Paul Erdős i Dowody z Księgi Antoni Kijowski, Michał Król, Krzysztof Kwiatkowski Faculty of Mathematics and Information Science Warsaw University of Technology Warsaw, 9 January 013 (Krótki kurs historii

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Normy wektorów i macierzy

Normy wektorów i macierzy Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 22 października 2013 1 Przestrzeń styczna i kostyczna c.d. Pora na podsumowanie: Zdefiniowaliśmy przestrzeń styczną do przestrzeni afinicznej

Bardziej szczegółowo

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2 TEORIA WĘZŁÓW Natalia Grzechnik 10B2 Słowem wstępu zastosowanie teorii węzłów Biologiczna rola węzłów w białkach Wyznaczanie topologii białek Kryptografia Biofizyka Opis struktur DNA, RNA, białek DNA a

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 1 Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 WSTĘP 2 Teoria węzłów to dziedzina matematyki, która wchodzi w skład topologii. Topologia to część matematyki, która zajmuje się badaniem kształtów. Obiektami zainteresowania

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do zgrubnej geometrii

Wprowadzenie do zgrubnej geometrii Wprowadzenie do zgrubnej geometrii Michał Skrzypczak 20 lutego 2008 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Przestrzenie metryczne 2 3 Abstrakcyjne przestrzenie zgrubne 3 4 Grupy 5 5 Wymiar asymptotyczny 6 6 Dodatki 7

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2 Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra Dominika Stelmach gr. 10B2 Teoria węzłów jest rzadkim przykładem dziedziny matematycznej, która współcześnie jest bardzo modna i intensywnie rozwijana.

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I 7 października 23 Powierzchnie zanurzone Tegoroczna wersja wykładu z geometrii różniczkowej będzie różniła się od poprzedniej kolejnością materiału. Zgodnie z

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30

Zał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30 WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne

Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład (wstępny). Producent twierdzi, że wadliwość produkcji wynosi 5%. My podejrzewamy, że rzeczywista wadliwość produkcji wynosi 15%. Pobieramy próbę stuelementową

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA.

ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. ZBIORY BORELOWSKIE I ANALITYCZNE ORAZ ICH ZASTOSOWANIA. PIOTR ZAKRZEWSKI 1. Wykłady 1/2 Definicja 1.1. Przestrzeń polska to przestrzeń topologiczna ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny. Przykład 1.2.

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki *

Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki * Wiad. Mat. 46 (1) 2010, 63 80 c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne Daniel Henry Gottlieb (Indiana) Historia twierdzenia Gaussa Bonneta i socjologia matematyki * Do napisania tej opowieści sprowokowała

Bardziej szczegółowo

1 Zmienne losowe wielowymiarowe.

1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1 Zmienne losowe wielowymiarowe. 1.1 Definicja i przykłady. Definicja1.1. Wektorem losowym n-wymiarowym(zmienna losowa n-wymiarowa )nazywamywektorn-wymiarowy,któregoskładowymisązmiennelosowex i dlai=1,,...,n,

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo