Dyskretna teoria Morse a

Transkrypt

1 Dyskretna teoria Morse a Toruńska Letnia Szkoła Matematyki 2011 Michał Kukieła Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu θ R θ

2 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka.

3 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n.

4 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n. Punkt krytyczny x M n jest niezdegenerowany, o ile macierz Hessego jest nieosobliwa. [ 2 ] f (x) x i x j i,j=1,...,n

5 Klasyczna teoria Morse a M n - zwarta rozmaitość gładka bez brzegu, f : M n R - funkcja gładka. Punkt x M n nazwiemy krytycznym, o ile f x i (x) = 0 dla i = 1,...,n. Punkt krytyczny x M n jest niezdegenerowany, o ile macierz Hessego jest nieosobliwa. [ 2 ] f (x) x i x j i,j=1,...,n Funkcję f nazywamy funkcja Morse a, o ile wszystkie jej punkty krytyczne sa niezdegenerowane.

6 Klasyczna teoria Morse a Oznaczmy: M a = {x M n : f(x) a} dla a R.

7 Klasyczna teoria Morse a Oznaczmy: M a = {x M n : f(x) a} dla a R.

8 Klasyczna teoria Morse a Twierdzenie: Niech f 1 ([a,b]) nie zawiera punktów krytycznych. Wówczas: M a jest dyfeomorficzne z M b (oraz M a jest retraktem deformacyjnym M b ), f 1 (a) jest dyfeomorficzne z f 1 (b), f 1 ([a,b]) jest dyfeomorficzne z f 1 (a) [a,b].

9 Klasyczna teoria Morse a Twierdzenie: Niech f 1 ([a,b]) nie zawiera punktów krytycznych. Wówczas: M a jest dyfeomorficzne z M b (oraz M a jest retraktem deformacyjnym M b ), f 1 (a) jest dyfeomorficzne z f 1 (b), f 1 ([a,b]) jest dyfeomorficzne z f 1 (a) [a,b].

10 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona.

11 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

12 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

13 Klasyczna teoria Morse a Indeksem punktu x M krytycznego funkcji f nazywamy maksymalny wymiar przestrzeni liniowej, na której forma kwadratowa wyznaczona przez macierz Hessego jest ujemnie określona. Twierdzenie: Niech x będzie jedynym punktem krytycznym funkcji f należacym do f 1 ([a,b]), gdzie a = f(x) ǫ, b = f(x) + ǫ. Wówczas przestrzeń M b jest homotopijnie równoważna przestrzeni M a g D i, gdzie g : D i M a, zaś i oznacza indeks punktu x.

14 Klasyczna teoria Morse a Dowolna funkcję Morse a można zaburzyć tak, aby na zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy zatem: Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse a f na rozmaitości M n posiada c i punktów krytycznych indeksu i, to M n jest homotopijnie równoważna CW-kompleksowi posiadajacemu dokładnie c i komórek wymiaru i.

15 Klasyczna teoria Morse a Dowolna funkcję Morse a można zaburzyć tak, aby na zbiorze punktów krytycznych była różnowartościowa. Mamy zatem: Twierdzenie: Jeśli funkcja Morse a f na rozmaitości M n posiada c i punktów krytycznych indeksu i, to M n jest homotopijnie równoważna CW-kompleksowi posiadajacemu dokładnie c i komórek wymiaru i. Wniosek (Nierówności Morse a): Niech b i oznacza i-ta liczbę Bettiego M n, zaś c i liczbę punktów krytycznych indeksu i. Wówczas: c k c k 1 + c k 2... ± c 0 c k c k 1 + c k 2... ± c 0 dla wszystkich k N; c i b i dla wszystkich i N; χ(m n ) = i N ( 1)i b i = i N ( 1)i c i.

16 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie.

17 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie. Komórkę σ X nazywamy krytyczn a, o ile u f (σ) =, d f (σ) =. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).

18 Dyskretne funkcje Morse a Niech X będzie regularnym CW-kompleksem. Funkcję f : X R ze zbioru komórek X w R nazywamy dyskretna funkcja Morse a na X, o ile dla każdej komórki σ X zbiory u f (σ) = {τ > σ : dim(τ) = dim(σ) + 1,f(τ) f(σ)} d f (σ) = {µ < σ : dim(µ) = dim(σ) 1,f(µ) f(σ)} maja co najwyżej po jednym elemencie. Komórkę σ X nazywamy krytyczn a, o ile u f (σ) =, d f (σ) =. Indeks komórki krytycznej σ jest równy dim(σ).

19 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R.

20 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n.

21 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n. Twierdzenie: Jeśli f 1 ([a,b]) nie zawiera komórek krytycznych, to CW kompleksy X a i X b sa homotopijnie równoważne. Co więcej, X b zgniata się do X a.

22 Dyskretna teoria Morse a Oznaczmy: X a = f(σ) a τ σ τ dla a R. Jeśli σ,τ X sa komórkami takimi, że σ < τ oraz σ δ dla każdej komórki δ τ, to X {τ,σ} jest retraktem deformacyjnym X. Mamy wówczas zgniecenie elementarne X ց e X {τ,σ}. Ciag zgnieceń elementarnych X ց e X 1 ց e X 2... ց e X n nazywamy zgnieceniem i piszemy X ց X n. Twierdzenie: Jeśli f 1 ([a,b]) nie zawiera komórek krytycznych, to CW kompleksy X a i X b sa homotopijnie równoważne. Co więcej, X b zgniata się do X a. Twierdzenie: Jeśli σ jest jedyna komórka krytyczna należac a do f 1 ([a,b]), to CW kompleks X b jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi powstałemu z X a poprzez doklejenie komórki wymiaru dim(σ).

23 Dyskretna teoria Morse a Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna funkcja Morse a f jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi posiadajacemu po jednej komórce i-wymiarowej na każda komórkę krytyczna o indeksie i.

24 Dyskretna teoria Morse a Twierdzenie: Regularny CW kompleks X z dyskretna funkcja Morse a f jest homotopijnie równoważny CW kompleksowi posiadajacemu po jednej komórce i-wymiarowej na każda komórkę krytyczna o indeksie i. Wniosek (Nierówności Morse a): Niech b i oznacza i-ta liczbę Bettiego X, zaś c i liczbę komórek krytycznych indeksu i. Wówczas: c k c k 1 + c k 2... ± c 0 c k c k 1 + c k 2... ± c 0 dla wszystkich k N; c i b i dla wszystkich i N; χ(x) = i N ( 1)i b i = i N ( 1)i c i.

25 Skojarzenia Morse a

26 Skojarzenia Morse a

27 Skojarzenia Morse a

28 Skojarzenia Morse a Twierdzenie: Skojarzenie na diagramie Hassego częściowego porzadku zawierania ścian CW kompleksu X odpowiada pewnej dyskretnej funkcji Morse a na X wtedy i tylko wtedy, gdy digraf uzyskany przez odwórcenie strzałek należacych do tego skojarzenia nie zawiera cykli.

29 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ci ag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }.

30 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ciag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }. W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace z σ i do τ i (tworza one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że jest to skojarzenie acykliczne.

31 Przykład - zgniatalność Przypuśćmy, że X ց Y, tzn. mamy ciag: X = X 0 ց e X 1... ց e X n = Y, gdzie X i+1 = X i {σ i < τ i }. W diagramie Hassego X odwracamy strzałki prowadzace z σ i do τ i (tworza one skojarzenie). Nietrudno zauważyć, że jest to skojarzenie acykliczne. Wniosek: Jeśli X ց Y, to na X istnieje dyskretna funkcja Morse a, której zbiorem komórek krytycznych jest Y.

32 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki),

33 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne,

34 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna,

35 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych,

36 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych, dyskretna teoria Morse a-wittena, Morse a-novikova,

37 Uogólnienia Wiele by można opowiadać: dyskretne pola wektorowe i przepływy gradientowe, dyskretne homologie Morse a, optymalizacja dyskretnych funkcji Morse a, kompleksy dyskretnych funkcji Morse a... Uogólnienia: szersza klasa przestrzeni (CW kompleksy nieregularne, częściowe porzadki), wersje algebraiczne, wersja ekwiwariantna, dyskretna teoria Morse a na kompleksach nieskończonych, dyskretna teoria Morse a-wittena, Morse a-novikova, ogólniej: dyskretna geometria różniczkowa.

38 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna,

39 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna,

40 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów,

41 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów, fizyka,

42 Zastosowania Zastosowania: kombinatoryka topologiczna, topologia kombinatoryczna, analiza obrazów, fizyka, matematyka ciagła?

43 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki?

44 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N.

45 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N. Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse a. Jednak dla wszystkich n 3 i k 0 istnieje triangulacja S n, na której każda dyskretna funkcja Morse a ma co najmniej k krytycznych komórek 1-wymiarowych.

46 Która teoria jest lepsza? Interesuje nas rozkład na jak najmniejsza liczbę komórek. Przypuśćmy, że mamy dana rozmaitość gładka i jej triangulację. Która teoria da mniejszy rozkład na komórki? Funkcja Morse a (dyskretna lub gładka) jest perfekcyjna, o ile c i = b i dla wszystkich i N. Na sferze S n istnieje perfekcyjna gładka funkcja Morse a. Jednak dla wszystkich n 3 i k 0 istnieje triangulacja S n, na której każda dyskretna funkcja Morse a ma co najmniej k krytycznych komórek 1-wymiarowych. Teoria dyskretna wypada blado. Co gdy pozwolimy na dowolność w wyborze triangulacji?

47 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i.

48 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula.

49 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula. Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla każdego n 5 istnieje rozmaitość M n, która nie jest homeomorficzna z kula, ale posiada triangulację zgniatalna do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL).

50 Która teoria jest lepsza? Twierdzenie(B. Benedetti, 2010): Niech M n będzie rozmaitościa z ustalona PL triangulacja oraz funkcja Morse a posiadajaca c i punktów krytycznych indeksu i. Wówczas istnieje k takie, że na k-tym podziale barycentrycznym triangulacji M n istnieje dyskretna funkcja Morse a o c i komórkach krytycznych wymiaru i. Twierdzenie(J.H.C. Whitehead, 1939): Jeśli pewna PL triangulacja M n jest zgniatalna do punktu, to M n jest homeomorficzna z kula. Twierdzenie(K. Adiprasito, B. Benedetti, 2011): Dla każdego n 5 istnieje rozmaitość M n, która nie jest homeomorficzna z kula, ale posiada triangulację zgniatalna do punktu. (Oczywiście, triangulacja ta nie jest PL). Wniosek: Teoria dyskretna jest lepsza!

51 Bibliografia K. Adiprasito, B. Benedetti, Metric geometry and collapsibility, arxiv: v1. B. Benedetti, Discrete Morse theory is as perfect as Morse theory, arxiv: v2. J. Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, R. Forman, Morse theory for cell complexes, Advances in Mathematics 134 (1998), V. Prasolov, Elements of combinatorial and differential topology, Graduate Studies in Mathematics 74,