10 Udowodnić, że rozwiązanie równania Laplace a nie może posiadać lokalnych ekstremów we wnętrzu obszaru na którym może być określone.

Transkrypt

1 1 Elektrostatyka 1 Z prawa Coulomba obliczyć pole elektryczne od jednorodnie naładowanego odcinka. Wykonać przejście graniczne l 0 (przy ustalonym ładunku odcinka) oraz l (przy ustalonej gęstości liniowej ładunku w odcinku). 2 Z prawa Coulomba obliczyć pole nad środkiem krążka o promieniu r naładowanego jednorodnie z gęstością powierzchniową σ. Wykonać przejścia graniczne r 0 (przy ustalonym ładunku krążka) oraz r (przy ustalonej gęstości powierzchniowej ładunku na krążku). 3 Obliczyć potencjał pola wytwarzanego przez jednorodnie naładowany odcinek o długości l. Obliczyć jego gradient. Wykonać we wzorze na potencjał przejście graniczne gdy l 0 (przy ustalonym ładunku). 4 Dlaczego we wzorze na potencjał dla jednorodnie naładowanego odcinka nie można zrobić przejścia granicznego l przy zachowanej gęstości liniowej? Ze wzoru na pole od nieskoczonego odcinka naładowanego z gęstością liniową λ znaleźć wzór na potencjał pola. 5 Obliczyć potencjał pola wytwarzanego przez jednorodnie naładowany krążek o promieniu r. Obliczyć jego gradient. Wykonać we wzorze na potencjał przejście graniczne gdy r 0 (przy ustalonym ładunku krążka). 6 Dlaczego we wzorze na potencjał dla jednorodnie naładowanego krążka nie można zrobić przejścia granicznego r przy zachowanej gęstości powierzchniowej? Ze wzoru na pole od nieskoczonej płaszczyzny naładowanej z gęstością powierzchniową σ znaleźć wzór na potencjał pola. 7 Z prawa Gaussa znaleźć pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy q, nieskończoną prostą naładowaną z gęstością liniową λ, nieskończoną płaszczyznę nałądowaną z gęstością σ. 8 Z prawa Gaussa znaleźć pole elektryczne wytwarzane przez kulę o sferycznie symetrycznym rozkładzie ładunku ρ(r). 9 Z prawa Gaussa znaleźć pole elektryczne wytwarzane przez nieskońćzenie długi przewodnik z dielektryczną izolacją. 10 Udowodnić, że rozwiązanie równania Laplace a nie może posiadać lokalnych ekstremów we wnętrzu obszaru na którym może być określone. 11 Korzystając z własności, że rozwiązanie równania Laplace a nie posiada lokalnych ekstremów wewnątrz przedziału w którym jest określone, udowodnić jednoznaczność rozwiązania równania Poissona. 12 Pokazać, że w zamkniętej wnęce w materiale przewodzącym pozbawionej ładunków potencjał jest stały. 13 Korzystając z własności, że rozwiązanie równania Laplace a nie posiada lokalnych ekstremów wewnątrz przedziału w którym jest określone, udowodnić twierdzenie Earnshawa: ładunku w próżni nie da się utrzymać w miejscu 1

2 siłami elektrostatycznymi. 14 Obliczyć wartości całek: π 0 sin(nx) cos(mx)dx = π/2δ nm 15 Mamy dwie równoległe nieskończone powierzchnie, z których jedna jest uziemiona, a na drugiej utrzymywany jest potencjał V 0. Znaleźć rozkład potencjału w obszarze pomiędzy nimi. 16 Nieskończony obszar ograniczony jest z góry i z dołu uziemionymi półpłaszczyznami odległymi o a, a z lewej strony pionową ścianką z izolatora, na której utrzymywany jest potencjał V 0 (y). Znaleźć rozkład potencjału wewnątrz obszaru. 17 Nieskończona rura (wzdłuż osi Z)o przekroju kwadratu (w płaszczyźnie XY ) ma trzy przewodzące ścianki, które są uziemione, i jedną (x = a) zrobioną z izolatora i na niej utrzymywany jest potencjał V 0 (y). Znaleźć rozkład potencjału wewnątrz rury. 18 Nieskończona rura (wzdłuż osi Z)o przekroju kwadratu (w płaszczyźnie XY ) ma dwie przewodzące ścianki, które są uziemione, i dwie przewodzące odizolowane od pozostałych nałądowane do stałego potencjału V 0. Znaleźć rozkład potencjału wewnątrz rury dla przypadków: ścianki naładowane leżą naprzeciw siebie ścianki naładowane sąsiadują 19 Pudełko złożone z 5 zespawanych kwadratowych płyt o boku a jest uziemione. Górna ścianka pudełka, również metalowa, jest odizolowana od reszty pudełka i naładowana do potencjału V 0. Znaleźć potencjał wewnątrz pudełka. 20 Rura o przekroju prostokąta o bokach a i b rozciąga się od 0 do. Ściany boczne są uziemione, a na izolującej ściance zamkającej rurę z jednej strony utrzymywany jest potencjał V 0 (x, y) 21 W lampie elektronowej z rozżarzonej katody płyną elektrony do anody. Wytwarza się w niej pewnien przestrzenny rozkład ładunku. Znaleźć ten rozkład rozwiązując równianie Poissona dla obszaru pomiedzy elektrodami oraz równanie ciągłości ładunku i zasadę zachowania energii dla elektronu. Przyjąć że pole w lampie zależy tylko od odległości od katody i znika poza obszarem pomiędzy elektrodami. 22 Dla rozkładu potencjału otrzymanego w poprzednim zadaniu sprawdzić, że napięcie pomiędzy okładkami jest proporcjonalne do prądu płynącego przez lampę do potęgi 2/3 (Prawo Childa Langmuira), czyli że jest ona elementem nie spełniającym prawa Ohma. 23 Laplasjan we współrzędnych cylindrycznych ma postać: 1 r ( r r V r ) + 1 r 2 2 V φ V z 2 Pokazać że dla problemu symetrycznego względem translacji wzdłuż osi z 2

3 rozwiązaniem równania Laplace a jest: V (r, φ) = B 0 ln(r) + D 0 + (r k (A k sin(kφ) + B k cos(kφ)) + r k (C k sin(kφ) + D k cos(kφ))) k=1 24 Nieskończona przewodząca rura o przekroju okręgu podzielona jest podłużnymi łaczeniami z izolatora na cztery ścianki, każda o rozmiarze kątowym π/2. Przeciwległe ścianki są połaczone przewodami. Jedna para ma potencjał V, a druga V. Obliczyć rozkład potencjału wewnątrz rury. 25 Nieskończona przewodząca rura o przekroju okręgu jest umieszczona prostopadle do stałego pola elekrycznego. Znaleźć rozkład potencjału dla tej sytuacji oraz powierzchniową gęstość wyindukowanego ładunku. 26 Na powierzchni walca znajduje się ładunek o gęstości danej wzorem: σ(φ) = σ 0 sin(5φ). Znaleźć potenacjał na zewnątrz i wewnątrz walca. 27 Na powierzchni sfery jest symetryczny na kąt φ rozkład potencjału V (θ). Znaleźć rozkład potencjału na zewnątrz i wewnątrz sfery. 28 Kulę przewodzącą umieszczono w stałym, jednorodnym polu elektrycznym. Znaleźć rozkład potencjału. Jaka siła działa na kulę? W jakim polu siłą ta byłaby niezerowa? 29 Kulę wykonaną z dielektryka o przenikalności elektrycznej ɛ umieszczono w stałym, jednorodnym polu elektrycznym. Znaleźć rozkład potencjału. Jaka siła działa na kulę? W jakim polu siłą ta byłaby niezerowa? 30 Ładunek na powierzchni kuli dany jest wzorem σ = σ 0 sin θ 2. Znaleźć potencjał na zewnątrz i wewnątrz kuli. 2 Energia elektryczna, przewodniki, kondensatory 31 Wyprowadzić wzór na energię elektrostatyczną układu ładunków punktowych. 32 Wyprowadzić wzór na energię elektrostatyczną rozciągłego rozkładu ładunku, wyrażoną poprzez pole elektryczne. 33 Obliczyć energię elektrostatyczną sfery o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową σ. 34 Obliczyć energię elektrostatyczną kuli o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością ρ. 35 Obliczyć siłę, z jaką odpychają się półsfery sfery o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową σ. 36 Obliczyć siłę, z jaką odpychają się półkule kuli o promieniu R naładowanej ze stałą gęstością ρ. 3

4 37 Nad nieskończoną uziemioną przewodzącą płaszczyzną znajduje się ładunek punktowy q. Obliczyć siłę, z jaką płaszczyzna przyciąga ładunek punktowy. 38 Znaleźć rozkład gęstości powierzchniowej ładunku, który wyindukował się na płaszczyźnie z poprzedniego zadania. Obliczyć wartość całkowitą wyindukowanego ładunku. 39 W odległości a od przewodzącej uziemionej kuli o promieniu R znajduje się ładunek punktowy Q. Obliczyć siłę, z jaką kula przyciąga ładunek punktowy. Z jaką potęgą odległości maleje siła daleko od kuli? 40 Znaleźć rozkład powierzchniowy ładunku, który wyindukował się na powierzchni kuli z poprzedniego zadania. 41 W odległości a od przewodzącej nieuziemionej kuli o promieniu R znajduje się ładunek punktowy Q. Obliczyć siłę, z jaką kula przyciąga ładunek punktowy. Z jaką potęgą odległości maleje siła daleko od kuli? Daje to odpowiedź na pytanie, z jaką siłą obojętna elektrycznie przewodząca kula wciągana jest w centralne pole elektryczne - porównaj tą siłę z siłą działającą na kulę w stałym polu elektrycznym w zadaniu Znaleźć rozkład powierzchniowy ładunku, który wyindukował się na powierzchni kuli z poprzedniego zadania. 43 W odległości a od przewodzącej, uziemnionej nieskończonej płaszczyzny znajduje się jednorodnie naładowany nieskończony przewodnik liniowy o liniowej gęstości ładunku λ. Obliczyć siłę, z jaką płaszczyzna przyciąga przewodnik. 44 Znaleźć rozkład gęstości powierzchniowej ładunku, który wyindukował się na płaszczyźnie z poprzedniego zadania. 45 W odległości a od cylindrycznego uziemionego ekranu biegnie równoległy do niego przewód naładowany liniową gęstością ładunku λ. Znaleźć rozkład gęstości powierzchniowej ładunku wyindukowanego na ekranie. 46 Obliczyć pojemność kondensatora zbudowanego z: dwóch równoległych płytek o powierzchni S oddalonych od siebie o d. dwóch współosiowych cylindrów o promieniach a i b i długości l. dwóch współśrodkowych kul o promieniach a i b. 47 Znaleźć pojemność przypadającą na jednostkę długości kabla koncentrycznego o promieniu wewnętrznego przewodu a. Przewód zewnętrzny ma średnicę wewnętrzną b i zewnętrzną c. Pomiędzy przewodami jest warstwa izolatora o przenikalności dielektrycznej ɛ. 48 Wyprowadzić wzór na energię zgromadzoną w kondensatorze. 4

5 49 Znaleźć wzór na siłę przyciągania okładek kondensatora płaskiego naładowanego ładunkiem Q, gdy powierzchnia okładek wynosi S, a odległość między nimi d. 50 Znaleźć wzór na siłę odpychania okładek kondensatora płaskiego podłączonego do napięcia U, gdy powierzchnia okładek wynosi S, a odległość między nimi d. 51 Znaleźć wzór na siłę w funkcji poziomu cieczy, z jaką ciecz dielektryczna o przenikalności ɛ wciągana jest w kondensator płaski, o okładkach ustawionych prostopadle do powierzchni cieczy, naładowany ładunkiem Q i odłączony. Jak ustali się poziom równowagi, jeżeli gęstość cieczy wynosi ρ? 52 Znaleźć wzór na siłę w funkcji poziomu cieczy, z jaką ciecz dielektryczna o przenikalności ɛ wypychana jest z kondensatora płaskiego, o okładkach ustawionych prostopadle do powierzchni cieczy i podłączonego do źródła o napięciu U. Jak ustali się poziom równowagi, jeżeli gęstość cieczy wynosi ρ? 53 Pokazać, że dla kondensatora dowolnego kształtu siła wciągająca dieelektryk przy stałym ładunku jest równa co do wartości sile wypychającej dielektryk przy stałym napięciu. 54 Znaleźć wzór na siłę w funkcji poziomu cieczy, z jaką ciecz dielektryczna o przenikalności ɛ wciągana jest w kondensator cylindryczny ustawiony prostopadle do powierzchni, naładowany ładunkiem Q i odłączony. Jak ustali się poziom równowagi, jeżeli gęstość cieczy wynosi ρ? 55 Znaleźć wzór na siłę w funkcji poziomu cieczy, z jaką ciecz dielektryczna o przenikalności ɛ wypychana jest z kondensatora cylindrycznego ustawionego prostopadle do powierzchni i podłączonego do źródła o napięciu U. Jak ustali się poziom równowagi, jeżeli gęstość cieczy wynosi ρ? 56 Wyprowadzić wzór na energię dipola w polu elektrycznym. 57 Znaleźć potencjał pola elektrycznego dipola umieszczonego w środku układu współrzędnych wzdłuż osi z, a następnie zapisać wynik w postaci niezależnej od wyboru układu współrzędnych. 58 Kula o promieniu R naładowana jest gęstością ładunku ρ(r, θ) = ρ 0 R r 2 (R 2r) sin θ. Znaleźć wartości dwóch pierwszych niezerowych współczynników rozwinięcia multipolowego dla punktów wzdłuż osi z. 3 Magnetostatyka i indukcja elektromagnetyczna 59 Rozwiązując równania Newtona z siłą Lorenza pokazać, że cząstka naładowana w stałym jednorodnym polu magnetycznym porusza się po okręgu. 60 Pokazać, że cząstka w prostopadłych stałych i jednorodnych polach elektrycznym i magnetycznym porusza się po cykloidzie. W jaki sposób kształt cykloidy zależy od prędkości początkowej cząstki. 5

6 61 Rozwiązać równania Newtona dla cząstki poruszajacej się w prostopadłych, stałych i jednorodnych polach elektrycznym i magnetycznym z siłą oporu proporcjonalną do prędkości. Przyjąć, że w chwili 0 prędkość jest prostopadła do obu pól. 62 Pole magnetyczne skierowane wzdłuż osi z o symetrii walcowej (zależy tylko od odległości od osi z) zajmuje obszar o promieniu R wokół osi z. 63 Udowodnić, że pole magnetyczne nie wykonuje pracy. 64 Z prawa Ampere a znaleźć pole magnetyczne wytwarzane w zwojnicy: prostej i nieskończenie długiej, o dowolnym przekroju, o n zwojach na jednostkę długości o kształcie torusa o dowolnym przekroju, o całkowitej liczbie zwojów N. 65 Dla nieskończenie długiego przewodnika z prądem o natężeniu I znaleźć wytwarzane pole magnetyczne z prawa Ampera i z prawa Biota-Savarta. 66 Z prawa Biota-Savarta znaleźć pole magnetyczne na osi kołowego przewodnika, w którym płynie prąd I. 67 Znaleźć pole magnetyczne na osi symetrii nieprzewodzącego cylindra obracającego się wokół tej osi z prędkością kątową ω, naładowanego z gęstością powierzchniową σ, o promieniu R i wysokości h. 68 Znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez płytę gramofonową o promieniu R naładowaną jednorodnie z gęstością powierzchniową σ i obracającą się z prędkością kątową ω, na osi obrotu. 69 Znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez nieprzewodzącą sferę o promieniu R naładowaną jednorodnie z gęstością powierzchniową σ i obracającą się z prędkością kątową ω, na osi obrotu. Scałkować dla przypadków granicznych h << R oraz h >> R. 70 Znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez nieprzewodzącą sferę o promieniu R naładowaną jednorodnie z gęstością powierzchniową σ i obracającą się z prędkością kątową ω, na osi obrotu. Scałkować w przypadku ogólnym 71 Znaleźć potencjał wektorowy pola magnetycznego wytwarzany w punkcie r przez sferę naładowaną jednorodnie z gęstością powierzchniową ρ o promieniu R obracającą się z prędkością kątową ω. A zew = µ 0ρ R 4 ( ω r) 3 r 3 A wew = µ 0ρ R( ω r) 3 6

7 72 Wyprowadzić wzór na rotację iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych: ( a b) = ( b) a + ( b ) a ( a) b ( a ) b 73 Wyprowadzić wzór na rotację rotacji: ( a) = ( a) a 74 Wyprowadzić wzór na dywergencję iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych: ( a b) = b ( a) a ( b) 75 Dla iloczynu wektorowego z zadania 71 znaleźć pole magnetyczne. B zew = µ 0ρ 3 B wew = 2 3 µ 0ρR ω R 4 [ ] ( ω r) r ω 3 r 3 r 2 76 Znaleźć moment siły obracającej ramkę z prądem w jednorodnym polu magnetycznym. Wyprowadzić wzór na energię dipola magnetycznego w polu magnetycznym E = B m. 77 Znaleźć zależność podatności magnetycznej paramagnetyka od wartości pola zewnętrznego i temperatury (wzór Langevine a) ( χ = N m, m = m cth( mb kt ) kt ) mb, gdzie N jest gęstością momentów magnetycznych. 78 Pokazać, że dla małych x: ( cthx 1 ) 1 x 3 x Pokazać, że dla dużych x ( cthx 1 ) 1 x Poazać, że dla małego stosunku B/T pole wyindukowane w substancji paamagnetycznej jest liniową funkcją pola zewnętrznego i jest odwrotnie proporcjonalne do temperatury (prawo Curie). 79 Na dwóch równoległych szynach toczy się z prędkością v metalowy walec o masie m. W obszarze pomiędzy szynami jest jednorodne pole magnetyczne o indukcji B prostopadłe do płaszczyzny, w której leżą szyny. Szyny są zwarte źródłem światła o oporze R. Jak zmienia się prąd płynący przez źródło w funkcji czasu? Jaka całkowita energia zostanie wypromieniowana ze źródła? 80 W jednej płaszczyźnie leży ramka o boku a o oporze R i nieskończony przewodnik w którym płynie prąd I, równoległy do jednego z boków ramki i odległy od niej o b. Jaki ładunek przepłynie przez ramkę, gdy wyłączymy prąd w przewodniku? 7

8 81 Wewnątrz nieprzewodzącego cylindra o promieniu R naładowanego równomiernie rozłożonym ładunkiem Q znajduje się współosiowy obszar cylindryczny o promieniu r R stałego pola magnetycznego o indukcji B. Obliczyć, jaki moment pędu uzyska naładowany cylinder jeżeli pole magnetyczne zaniknie. L = r 2 BQ/2 82 Obwód elektryczny składa się ze źródła o SEM ɛ zasilającego połaczone szeregowo zwojnicę i opornik. W chwili t = 0 źródło zastępujemy zwarciem. Rozwiązać równanie różniczkowe na prąd w obwodzie i obliczyć energię, która od tego czasu wydzieli się na oporniku. Jest to energia zmagazynowana w polu magnetycznym zwojnicy. 83 Korzystając z równoważności dwóch wzorów na energię zgromadzoną w polu magnetycznym elementu indukcyjnego: W = 1 2 LI2 = 1 B 2 dv 2µ 0 R 3 obliczyć samoindukcyjność odcinka kabla koncentrycznego o długości l. Przyjąć, że dielektryk rozdzielający przewody ma przenikalność magnetyczną równą przenikalności magnetycznej próżni. 4 Zasady zachowania, równania falowe, promieniowanie, relatywistyka 84 Naładowana kula rozładowuje się promieniując izotropowo ładunek. Pokazać, że taki przepływ prądu nie wytwarza żadnego pola magnetycznego (uzasadnia to istnienie członu odpowiadającego za prąd przesunięcia w prawie Ampere a). 85 Wyprowadzić z równań Maxwella równanie ciągłości dla ładunku. 86 Wyprowadzić z równań Maxwella zasadę zachowania energii dla pola elektromagnetycznego. Wykorzystać w tym celu tożsamość: ( a b) = b ( a) a ( b) 87 Kondensator płaski naładowany ładunkiem Q znajduje się w polu magnetycznym równoległym do okładek kondensatora. Po zwarciu okładek kondensatora zacznie się on poruszać. Znaleźć pęd końcowy kondensatora z II zasady dynamiki oraz z zasady zachowania pędu. 88 Odcinek kabla koncentrycznego o długości l z jednej strony podłączony jest do źródła napięcia o napięciu U, a z drugiej strony zwarty opornikiem R. Pojemność odcinka kabla koncentrycznego o długości l wynosi: C = 2πɛ 0l ln b a W chwili t = 0 zamykamy obwód i czekamy aż parametry układu się ustalą. Dla sytuacji ustalonej: 8

9 Znaleźć energię przepływającą przez przekrój przewodu w jednostce czasu. Znaleźć pęd pola w układzie. IUl/c 2 Po zamknięciu obwodu pojawia się pęd zgromadzony w polu. Jest on równoważony przez pęd mechaniczny nośników ładunku (wytłumaczalny tylko w mechanice relatywistycznej). 89 Długa zwojnica wytwarzająca wewnątrz stałe jednorodne pole magnetyczne B zawiera w sobie nieprzewodzący cylinder o promieniu a < b naładowany ładunkiem Q, a na zewnątrz nieprzewodzący cylinder o promieniu c > b naładowany ładunkiem Q. Zwojnica i cylindry są współosiowe. Po wyłączeniu prądu w zwojnicy cylindry zaczną sie obracać. Znaleźć wypadkowy moment pędu obu cylindrów z zasady zachowania momentu pędu i z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego. Wykorzystać wynik zadania Wyprowadzić równania falowe dla potencjałów, tak dobrać cechowanie, by równania przyjęły najprostszą postać. ( A µ0 ɛ 2 ) ( ) A 0 t A + V 2 µ0 ɛ 0 t = µ0j V + t ( A) = 1 ɛ 0 ρ Po wybraniu cechowania Lorenza układ czterech niezależnych równań falowych. 91 W nieskończonym przewodniku z prądem w chwili t = 0 włączany jest prąd o natężeniu I 0. Znaleźć potencjały pól w funkcji czasu. A = ˆv µ 0I 0 2π ln ct (ct ) 2 s + 1, s gdzie ˆv jest wektorem jednostkowym o kierunku przewodnika i zwrocie prądu. 92 W nieskończonym przewodniku z prądem w chwili t = 0 płynie bardzo duży prąd zwarciowy I 0 w bardzo krótkim czasie t 0. Można przyjąć, że natężenie prądu jest dane funkcją I 0 δ(t/t 0 ). Znaleźć potencjały pól w funkcji czasu. A = ˆv µ 0I 0 2πct, gdzie ˆv jest wektorem jednostkowym o kierunku przewodnika i zwrocie prądu. 93 Pokazać, że jeżeli kierunek pola f jest w każdym punkcie wzdłuż osi z, a wartość pola zależy tylko od odległości r od osi z, to ( f(r)) f = ˆφ. r 94 Znaleźć pole elektryczne i magnetyczne dla potencjału z zadania Znaleźć kierunek i zależność czasową wektora Pointinga dla pola z poprzedniego zadania. 9

10 96 Znaleźć pole elektryczne i magnetyczne oraz pole wektora Pointinga dla potencjału z zadania Dwie przewodzące kule połączone są odcinkiem przewodnika o długości d. leżącym wzdłuż osi z. Układ jest energetycznie obojętny, a ładunek kul zmienia się w czasie jak ±q 0 cos(ωt). Znaleźć potencjały pola elektromagnetycznego promieniowanego przez taki układ w odległości r >> d. V = q 0 sin ( 2πɛ 0 ω ( )) ( t r r c sin ωd cos θ) 2c A = ẑ µ 0q 0 ω 4πr + cos ( ω ( t r c ( ( ( )) sin ω t r d/2 c d/2 cos ( ωd cos 2c θ) dz )) d/2 d/2 sin ( ωd 2c cos θ) dz ) 98 Pokazać, że jeżeli długość fali promieniowania λ >> d, to wynik poprzedniego zadania można zapisać jako: V = p 0 r sin ( 4πɛ 0 ω ( )) t r r 2 λ c, A = µ 0 p 0 ω 4πr sin ( ω ( t r c gdzie p 0 oznacza amplitudę momentu dipolowego układu. 99 Dla potencjałów z poprzedniego zadania znaleźć pole elektryczne magnetyczne oraz pole wektora Pointinga. Jaki jest kierunek, zwrot oraz zależność czasowa wektora Pointinga? Wykorzystać wynik zadania 93 oraz wzór na gradient we współrzędnych kulistych: )) f = ˆr r f + ˆφ 1 r sin θ φf + ˆθ 1 r θf E = µ 0p 0 ω 2 4π B = 1 c µ 0 p 0 ω 2 4π sin θ r sin θ r cos ( ω ( t r c cos ( ω ( t r c )) ˆθ )) ˆφ 100 Bez używania wzorów transformacyjnych znaleźć pole elektryczne i magnetyczne dla nieskończenie długiego przewodnika z prądem, który porusza się ruchem jednostajnym wdłuż swojej osi z prędkością v i który w układzie spoczynkowym ma liniową gęstość ładunku λ. 101 Obkładając tensor pola elektromagnetycznego macierzami obrotu hiperbolicznego wyprowadzić równania na transformacje pól elektrycznego i magnetycznego przy przechodzeniu do innego inercjalnego układu odniesienia. 102 Przy użyciu wzorów transformacyjnych znaleźć pole elektryczne dla poruszającego się ładunku punktowego. 103 W przewodniku z prądem nośniki ładunków poruszają się z prędkością u. Obserwator spoczywający widzi przewodnik jako obojętny (gęstość ładunków 10

11 dodatnich i ujemnych jest sobie równa). Jaką gęstość ładunku będzie widział w przewodniku obserwator poruszający się równolegle do nigo z prędkością v? Obliczyć siłę Coulomba działającą na ładunek poruszający się z prędkością v równolegle do przewodnika. 104 Pokazać, że dla ramki z prądem o momencie magnetycznym m umieszczonej w stałym polu elektrycznym pojawia się niezerowy pęd nośników ładunku: p = 1 c 2 m E 11