Kinematyka prosta: reprezentacja Denavita-Hartenberga

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kinematyka prosta: reprezentacja Denavita-Hartenberga"

Transkrypt

1 Knematyka prota: reprezentaja Denavta-Hartenberga

2 Przypomnene: ruhy ztywne Ruh ztywny jet połązenem obrotu przeunęa zefnowany maerzą obrotu (R) wektorem przeunęa () grupę wzytkh ruhów ztywnyh (R) nazywa ę pejalną grupą eukleową SE(3) Ruhy ztywne (obroty przeunęa) możemy reprezentować w pota mnożena maerzy Mnożene przez maerz H określa ę jako przekztałene jenorone; mamy T R H Przekztałene owrotne: T T R R H

3 Przypomnene: przekztałena jenorone Przekztałena potawowe: Trzy zyte obroty trzy zyte przeunęa b a z b y a x Tran Tran Tran z y x Rot Rot Rot

4 Przykła Kąty Eulera: omawalśmy tylko kąty Eulera ZYZ. Jak jet zbór wzytkh możlwyh zetawów kątów Eulera któryh można używać o reprezentaj owolnej maerzy obrotu? XYZ YZX ZXY XYX YZY ZXZ XZY YXZ ZYX XZX YXY ZYZ ZZY ne można użyć o opu owolnej zaanej maerzy obrotu poneważ wa kolejne obroty wokół o Z reukują ę o jenego obrotu

5 Przykła Wyznazyć przekztałene jenorone opująe przeunęe o 3 jenotk wzłuż o x po którym natępuje obrót o / wokół beżąej o z a potem przeunęe o jenotkę wzłuż o y ukłau perwotnego. 3 3 / 3 z x y T T T T

6 Knematyka prota: wprowazene Zaane: mają ane wzytke parametry przegubów manpulatora określć pozyję orentaję ukłau wpółrzęnyh końówk robozej Ukła końówk robozej: ukła wpółrzęnyh zwązany na ztywno z najbarzej oległym złonem manpulatora Ukła neryjny: utalony (neruhomy) ukła wpółrzęnyh zwązany na ztywno z najblżzym potawe złonem manpulatora W konekwenj pozukujemy owzorowana męzy ukłaem końówk robozej ukłaem neryjnym Bęze ono funkją parametrów wzytkh przegubów geometr manpulatora Problem zyto geometryzny: ne przejmujemy ę momentam obrotowym an ynamką Jenak

7 Konwenja Manpulator o n topnah woboy ma n przegubów (obrotowyh albo pryzmatyznyh) n+ złonów (bo każy przegub łązy wa złony) Zakłaamy że każy przegub ma tylko jeen topeń woboy. Choć wyaje ę że ne uwzglęna to np. przegubów kulowyh lub kelhowyh zauważmy że możemy je traktować jak kombnaje przegubów o pojeynzyh topnah woboy z zerową ługośą złonów męzy nm. Ukła o jet neryjny. o n jet ukłaem narzęza. Przegub łązy złony - an. o jet zwązany z złonem. Zmenne przegubowe q q gy przegub jet obrotowy gy przegub jet pryzmatyzny

8 Konwenja Powezelśmy że przekztałene jenorone pozwala na wyrażene położena orentaj o j wzglęem o To zego hemy to położene orentaja ukłau końówk robozej wzglęem ukłau neryjnego. Pośrenm krokem jet określene maerzy tranformaj ająej położene orentaję o wzglęem o - : Teraz możemy zefnować przekztałene o j o o natępująo: T j... I j T gy j j j gy gy j j

9 Konwenja W końu położene orentaja ukłau narzęza wzglęem ukłau neryjnego ą ane maerzą przekztałena jenoronego: Dla manpulatora o n topnah woboy H R o n n Tn q q q Tak wę aby w pełn zefnować knematykę protą la owolnego manpulatora zeregowego wzytko zego potrzebujemy to określć przekztałena wykonać mnożene maerzowe. n n Jenak tneją pewne prote pooby pozwalająe okonać tego przy mnejzym wyłku

10 Konwenja Denavta-Hartenberga (DH) Reprezentowane każego pojeynzego przekztałena jenoronego jako lozynu ztereh przekztałeń potawowyh: x a x z z a a a Rot Tran Tran Rot

11 Konwenja Denavt-Hartenberg (DH) Cztery parametry DH: a : ługość złonu : kręene złonu : ounęe przegubu : kąt przegubu Poneważ każa maerz jet funkją tylko jenej zmennej la anego złonu trzy z tyh parametrów bęą tałe. bęą zmenne la przegubów pryzmatyznyh a bęą zmenne la przegubów obrotowyh Stwerzlśmy jenak że poane położena orentaj każego ała ztywnego wymaga parametrów: trzeh kątów (np. kąty Eulera) oraz trójelementowego wektora położena. Jak wę można mówć tylko o ztereh parametrah DH?...

12 Itnene jenoznazność Key możemy reprezentować przekztałene jenorone toują ztery parametru DH? Przykłaowo rozważmy wa ukłay wpółrzęnyh o oraz o. Itneje jenoznazne przekztałene jenorone mezy tym ukłaam. Teraz przyjmjmy wa założena:. DH: xˆ zˆ. DH: xˆ zˆ Jeżel ą pełnone twerzmy że tneje jenoznazne przekztałene : Rot R z Tran o z Tran x a Rot x

13 Itnene jenoznazność Dowó:. Zakłaamy że R ma potać. Użyjmy DH o prawzena pota R xˆ zˆ r r r 3 T x z r 3 R R z R x r r r r r r r3 r Werze kolumny R ą wektoram jenotkowym: Pozotałe elementy R wynkają z włanoś maerzy obrotu. Zatem naze założene że tneje jenoznazne oraz ająe R jet poprawne po pełnenu DH. R r r 3 r r 33

14 Itnene jenoznazność Dowó:. Użyjmy DH o określene pota o. Poneważ we oe przenają ę przeunęe męzy woma rozważanym ukłaam wpółrzęnyh można przetawć jako lnową kombnaję tyh wóh o (w obrębe płazzyzny utworzonej przez x z ) a a a o ax z o z x ˆ ˆ

15 Interpretaja fzyzna parametrów DH a : ługość złonu oległość męzy oam z z (wzłuż x ) : kręene złonu kąt męzy z z (merzony wokół x ) : ounęe przegubu oległość męzy o a przeęem o z x (wzłuż z ) : kąt przegubu kąt męzy x x (merzony wokół z ) Znak kątów:

16 Przypywane ukłaów wpółrzęnyh Dla owolnego manpulatora n-złonowego można zawze wybrać ukłay wpółrzęnyh pozwalająe pełnć DH an DH. Wybór ne jet jenoznazny ale końowy rezultat bęze zawze tak am.. Wyberz z jako oś obrotu przegubu + z jet oą obrotu przegubu z jet oą obrotu przegubu t. Gy przegub + jet obrotowy z jet oą obrotu przegubu +. Gy przegub + jet pryzmatyzny z jet oą przeunęa la przegubu +.

17 Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. Przypz ukła bazowy Pozątkem może być owolny punkt na o z. 3. Wyberz x y ająe ukła prawokrętny.. Rozpozynamy terayjny proe efnowana ukłau wzglęem -: Rozważamy trzy przypak zwązków z - z :. z - z ne leżą w jenej płazzyźne. z - z przenają ę. z - z ą równoległe z - z leżą w jenej płazzyźne

18 Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z ne leżą w jenej płazzyźne Itneje ( jet tylko jeen) najkrótzy onek łąząy obe oe. Wyberz ten onek o wyznazena kerunku o x o leży na przeęu z x Wyberz y na potawe reguły prawej łon.

19 Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z przenają ę Jako oś x wyberz normalną o płazzyzny wyznazonej przez z z - o leży na przeęu z x Wyberz y wg reguły prawej łon.

20 Przypywane ukłaów wpółrzęnyh. z - z ą równoległe Itneje nekońzene wele onków normalnyh o z oraz z - łąząyh te oe. Mają one jenakową ługość. Można wybrać o gzekolwek na z jenak gy wyberzemy x wzłuż normalnej przehoząej przez punkt o - opowena oległość bęze zerowa. Wyberz y wg reguły prawej ręk.

21 Przypywane ukłau końówk robozej Poprzene przypana obowązują aż o ukłau n-. Przypane ukłau narzęza najzęśej efnuje ę oam n a: a jet kerunkem zblżana (ang. approah reton); jet kerunkem przeuwana (ang. lng reton); w tym kerunku przeuwają ę pale typowego hwytaka poza zamykana otwerana; n jet kerunkem normalnym (ang. normal) o płazzyzny wyznazonej przez a.

22 Przykła : wuzłonowy manpulator planarny topne woboy: należy przypać trzy ukłay wpółrzęnyh. Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ukła bazowy). Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ) 3. Wyberz oś z (ukła końówk robozej) Dla tego przypaku jet owolny poneważ ne opano żanej kś/hwytaka. W takm raze zefnujmy z jako równoległą o z z (la jenoltoś).. Wyberz oe x Wzytke oe z ą równoległe. Wyberzmy wę x tak by przeąć o -.

23 Przykła : wuzłonowy manpulator planarny Zefnujmy parametry DH najperw zefnujmy tałe parametry a ; alej zefnujmy zmenne parametry ; ą zerowe bo wzytke z ą równoległe; Zatem tylko ą zmenne. złon a a a a a a a a a a a T T

24 Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny 3 topne woboy: należy przypać ztery ukłay wpółrzęnyh.. Wyberz oś z (oś obrotu przegubu ukła bazowy).. Wyberz oś z (oś przeunęa przegubu ). 3. Wyberz oś z (oś przeunęa przegubu 3).. Wyberz oś z 3 (ukła końówk robozej) Wybór jet znowu owolny bo ne opujemy an kś an hwytaka. Zamat tego efnujemy z 3 jako równoległą o z.

25 Przykła : trójzłonowy robot ylnryzny Zefnujmy parametry DH: najperw zefnujmy tałe parametry a ; potem zefnujmy zmenne parametry. złon a T

26 Przykła 3: kść feryzna 3 topne woboy: należy przypać ztery ukłay wpółrzęnyh ohylene nahylene obrót ( ) wzytke przenająe ę w jenym punke o (punkt śrokowy k)

27 Przykła 3: kść feryzna złon a -9 9 Zefnujmy parametry DH: najperw tałe parametry a ; potem zmenne parametry. 3 3 T

Kinematyka prosta i odwrotna ES159/259

Kinematyka prosta i odwrotna ES159/259 Knematyka prota owrotna ES9/9 Przypomnene: ruh ała ztywnego Ruh ała ztywnego jet kombnają obrotów przeunęć Zefnowany przez maerz rotaj (R) wektor przeunęa () Grupa wzytkh takh par (R) jet znana jako Spejalna

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA MANIPULATORÓW

KINEMATYKA MANIPULATORÓW KIEMK MIULOÓW WOWDEIE. Manpulator obot można podzelć na zęść terująą mehanzną. Część mehanzna nazywana jet manpulatorem. punktu wdzena Mehank ta zęść jet najbardzej ntereująa. Manpulator zaadnzo można

Bardziej szczegółowo

Inercjalne układy odniesienia

Inercjalne układy odniesienia Inecjalne ukłay onesena I II zasaa ynamk Newtona są spełnone tylko w pewnej klase ukłaów onesena. Nazywamy je necjalnym ukłaam onesena. Kyteum ukłau necjalnego: I zasaa jeżel F 0, to a 0. Jeżel stneje

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013

Arytmetyka finansowa Wykład z dnia 30.04.2013 Arytmetyka fnansowa Wykła z na 30042013 Wesław Krakowak W tym rozzale bęzemy baać wartość aktualną rent pewnych, W szczególnośc, wartość obecną renty, a równeż wartość końcową Do wartośc końcowej renty

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Robotyki w Przemyśle

Zastosowanie Robotyki w Przemyśle Zastosowane Robotyk w Przemyśle Dr nż. Tomasz Buratowsk Wyzał nżyner Mechancznej Robotyk Katera Robotyk Mechatronk WPROWADZENIE Robotyka jest zezną nauk, która łączy różne traycyjne gałęze nauk techncznych.

Bardziej szczegółowo

Kinematyka prosta i odwrotna

Kinematyka prosta i odwrotna Knemtk pot owotn Pzpomnene: epezentj Denvt-Htenbeg Repezentowne kżego pojenzego pzekztłen jenoonego jko loznu zteeh pzekztłeń bzowh: z z Rot Tn Tn Rot Pzpomnene: potw fzzn pmetów DH : ługość złonu oległość

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym otwartym i zamkniętym. Pręt o przekroju cienkościennym otwartym

Wykład 4. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju cienkościennym otwartym i zamkniętym. Pręt o przekroju cienkościennym otwartym Wykład 4. Skręane nekrępowane prętów o przekroju enkośennym otwartym zamknętym. Pręt o przekroju enkośennym otwartym la przekroju pręta pokazanego na ryunku przyjmjmy funkje naprężeń Prandtla, która tylko

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0

WYKŁAD nr Ekstrema funkcji jednej zmiennej o ciągłych pochodnych. xˆ ( ) 0 WYKŁAD nr 4. Zaanie programowania nieliniowego ZP. Ekstrema unkcji jenej zmiennej o ciągłych pochonych Przypuśćmy ze punkt jest punktem stacjonarnym unkcji gzie punktem stacjonarnym nazywamy punkt la którego

Bardziej szczegółowo

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE

DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ I PODWÓJNEJ SZCZELINIE YFRAKCJA NA POJEYNCZEJ POWÓJNEJ SZCZELNE. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem yfrakcji światła na pojeynczej i powójnej szczelinie. Pomiar ługości fali światła laserowego, oległości mięzy śrokami szczelin

Bardziej szczegółowo

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych. Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t

Bardziej szczegółowo

r i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

r i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamka ruchu obrotowego bryły sztywnej Bryła sztywna - zbór punktów materalnych (neskończene welu), których wzajemne położene ne zmena sę po wpływem załających sł F wyp R C O r m R F wyp C Śroek masy

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykład 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykła 1. Wprowazenie o teorii grafów 1 / 111 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka la programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowazenie o algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B. Wright;

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty

Geometria Różniczkowa II wykład dziesiąty Geometria Różniczkowa II wykła ziesiąty Wykła ziesiąty rozpoczyna serię wykłaów poświęconych geometrii symplektycznej. Zajmować się bęziemy głównie zastosowaniami geometrii symplektycznej w mechanice,

Bardziej szczegółowo

KO OF Szczecin:

KO OF Szczecin: XXXI OLIMPIADA FIZYCZNA (1981/198) Stopień III, zaanie teoretyczne T Źróło: Nazwa zaania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiay Fizycznej; Anrzej Kotlicki; Anrzej Naolny: Fizyka w Szkole, nr

Bardziej szczegółowo

Ważny przykład oscylator harmoniczny

Ważny przykład oscylator harmoniczny 6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:

Bardziej szczegółowo

Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na sieciach przestrzennych

Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na sieciach przestrzennych FOTON 13, Wiosna 016 43 1nm Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na sieciach przestrzennych Jerzy Ginter Wyział Fizyki UW Dyfrakcja fal elektromagnetycznych na przestrzennych strukturach perioycznych jest

Bardziej szczegółowo

Wykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

Wykład Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna Wykła 5 5. Pole magnetyczne, inukcja elektromagnetyczna Prawo Ampera Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występujące rozkłay prąów, takich jak przewoniki prostoliniowe, cewki

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II 1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność

Bardziej szczegółowo

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12

Geometria płaska - matura Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 7cm poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość: 12 Geometria płaska - matura 010 1. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają ługości 7cm i 4 7cm. Wysokość poprowazona z wierzchołka kąta prostego ma ługość: 1 5 A. 7cm B. cm C. 8 7cm D. 7 7cm 5 7. Miara

Bardziej szczegółowo

P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2018/2019 PIERWSZE ZAJĘCIA ZADANIA

P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2018/2019 PIERWSZE ZAJĘCIA ZADANIA P O D S T W Y E L E K T R O D Y N M I K I Ć W I C Z E N I Semestr zimowy r ak 8/9 PIERWSZE ZJĘCI Ukła kartezjański, wektory jenostkowe wersory Skalary, wektory, tensory Iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych

Rozdział 8: Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych 183 Rozział 8: ostawowe zaania geoezyjne z rachunku współrzęnych 8.1. Orientacja pomiarów geoezyjnych W rozziale 1 przestawiliśmy krótką charakterystykę ukłaów współrzęnych stosowanych w geoezji, w tym

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Rozwiązanie. opracował: Jacek Izdebski.

Zadanie 1. Rozwiązanie. opracował: Jacek Izdebski. Zaanie 1 Jaką pracę należy wykonać, aby w przetrzeń mięzy okłakami konenatora płakiego wunąć ielektryk całkowicie tę przetrzeń wypełniający, jeśli napięcie na okłakach zmienia ię w trakcie tej operacji

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii

Bardziej szczegółowo

Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy

Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy etoy energetyczne rzykła Wyznaczyć współczynnk z - α z a przekroju prostokątnego który wzłuż os y ma wymar b wzłuż os Funkcja momentu statycznego ocętej częśc przekroju a prostokąta wyraża sę wzorem b

Bardziej szczegółowo

P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2016/2017 ZADANIA

P O D S T A W Y E L E K T R O D Y N A M I K I Ć W I C Z E N I A Semestr zimowy r. ak. 2016/2017 ZADANIA Semestr zimowy r ak 6/7 ZDNI I Pokazać, że iv rot =, rot gra f =, iv (gra f gra g) =, gzie wektor i skalary f i g owolne funkcje różniczkowalne Wykazać tożsamości wektorowe (f, g wektory, B owolne funkcje

Bardziej szczegółowo

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC

Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prądu w stanach dynamicznych w przekształtniku AC/DC Piotr FALKOWSKI, Marian Roch DUBOWSKI Politechnika Białostocka, Wyział Elektryczny, Katera Energoelektroniki i Napęów Elektrycznych Porównanie właściwości wybranych wektorowych regulatorów prąu w stanach

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [ ] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale spełna je także unkcja [ ] Q. Dokłaając warunek cąłośc unkcj [ ]

Bardziej szczegółowo

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale

; -1 x 1 spełnia powyższe warunki. Ale AIB-Inormatka-Wkła - r Aam Ćmel cmel@.ah.eu.pl Funkcje uwkłane Przkła.ozważm równane np. nech. Ptane Cz la owolneo [] stneje tak że? Nech. Wówczas unkcja - spełna powższe warunk. Ale [ ] Q spełna je także

Bardziej szczegółowo

Umowa o korzystanie z usług Serwisu Transakcyjno-Informacyjnego zwana dalej Umową

Umowa o korzystanie z usług Serwisu Transakcyjno-Informacyjnego zwana dalej Umową Umowa o korzystanie z usług Serwisu Transakyjno-Informayjnego zwana alej Umową Nowy Klient 1 Aneks Zmiana Danyh Klienta * zawarta w niu... pomięzy: ProServie Agent Transferowy Spółka z ogranizoną opowiezialnośią

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII

POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII POLTECHNA ŚLĄSA WYDZAŁ GÓNCTWA GEOLOG oman aula WYBANE METODY DOBOU NASTAW PAAMETÓW EGULATOA PD PLAN WYŁADU Wprowazenie ryterium Zieglera-Nichola Metoa linii pierwiatkowych ryterium minimalizacji kwaratowego

Bardziej szczegółowo

Metoda obrazów wielki skrypt przed poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa

Metoda obrazów wielki skrypt przed poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa Metoa obrazów wielki skrypt prze poświąteczny, CZĘŚĆ POTRZEBNA DO OFa 1. Równania i warunki brzegowe Dlaczego w ogóle metoa obrazów ziała? W elektrostatyce o policzenia wszystkiego wystarczą 2 rzeczy:

Bardziej szczegółowo

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 5: RENTY ŻYCIOWE Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy

Bardziej szczegółowo

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH

UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI. Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH UNIWESRYTET EKONOMICZNY WE WROCŁAWIU HOSSA ProCAPITAL WYCENA OPCJI Sebastian Gajęcki WYDZIAŁ NAUK EKONOMICZNYCH WPROWADZENIE Opcje są instrumentem pochonym, zatem takim, którego cena zależy o ceny instrumentu

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy udarów wspinaczkowych

Teoretyczne podstawy udarów wspinaczkowych Teoretyzne postawy uarów wspinazkowyh Marek Kujawiński Współzesny sprzęt wspinazkowy jest tak mony, że na pewno wytrzyma - to oraz zęśiej wypowiaana i promowana przez wielu wspinazy opinia, a przeież nie

Bardziej szczegółowo

- ---Ą

- ---Ą Ą ż ą ą ą Ą ó ą ł ą ł Ąą ż ś Ę ÓŁ Ę Ó ŁĄ ŁŚĆ ł ż ł ż ó ł Ó Ć Ą Ł ŁÓ ŁŚ Ą ż Ó ŁÓ Ę ś ś ł ż ł Ą ęś Ą ń ź ć ą ą ę ń ż ąń ę ę ć óź ŁĄ ą ł ę ę ł ę ń Ą Ęł ą Ł ł ł ż ó ą ł ęę ĘĘ ęć ó ą ń ł ą Ą ęś ł ś ÓŁ Ą ę ę

Bardziej szczegółowo

γ i ciężar objętościowy warstwy [kn/m 3 ].

γ i ciężar objętościowy warstwy [kn/m 3 ]. NAPRĘŻENIA PO FUNAMENTEM BEZPOŚRENIM Naprężena po funaente oblca ę w celu oceny poewanego oaana położa. tan naprężeń w ośroku gruntowy po geoetrycny śroke bepośrenego, protokątnego funaentu, poaowonego

Bardziej szczegółowo

16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS

16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS 6. CHAATEYSTYI CZASOWE UŁADÓW SS 6.. SPOT FUNCJI A) DEFINICJA Niec ane bęą wie unkcje () i () całkowalne w każym przeziale (, ),

Bardziej szczegółowo

Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich 4

Obliczanie geometrycznych momentów figur płaskich 4 Obzane geometrznh momentów fgur płaskh Postawowe zaeżnoś Geometrzne moment bezwłanoś fgur płaskh wzgęem os ukłau współrzęnh obzm w oparu o ponższe zaeżnoś: (.a) (.b) Geometrzn moment bezwłanoś wzgęem punktu

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5

Laboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5 Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 5 Rotacje 3D, transformacje jednorodne i kinematyka manipulatorów. Celem ćwiczenia jest analiza wybranych

Bardziej szczegółowo

Barbara Siemek Zakład Fizyki, Uniwersytet Rolniczy im.h.kołłątaja w Krakowie ĆWICZENIE 14 WYZNACZANIE CIEPŁA TOPNIENIA LODU. Kraków, 2016 r.

Barbara Siemek Zakład Fizyki, Uniwersytet Rolniczy im.h.kołłątaja w Krakowie ĆWICZENIE 14 WYZNACZANIE CIEPŁA TOPNIENIA LODU. Kraków, 2016 r. Barbara Siemek Zakła Fizyki, Uniwersytet Rolniczy im.h.kołłątaja w Krakowie ĆWICZENIE 14 WYZNACZANIE CIEPŁA TOPNIENIA LODU Kraków, 016 r. Do użytku wewnętrznego SPIS TREŚCI I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA... 1. UKŁADY

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie dławieniowe-równoległe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie dławieniowe-równoległe prędkością ruchu odbiornika hydraulicznego Intrukcja o ćwiczeń laboratoryjnych Sterowanie ławieniowe-równoległe rękością ruchu obiornika hyraulicznego Wtę teoretyczny Niniejza intrukcja oświęcona jet terowaniu ławieniowemu równoległemu jenemu ze

Bardziej szczegółowo

Kinematyka prosta i odwrotna, cz. II ES159/259

Kinematyka prosta i odwrotna, cz. II ES159/259 Knemtyk pot owotn z. II ES9/9 ES9/9 Powtók: Konwenj Denvt-Htenbeg (DH) Kż nywuln tnfomj homogenzn jko lozyn zteeh tnfomj bzowyh: z z α α α α α α α α α α α Rot Tn Tn Rot Powtók: fzyzn ntepetj pmetów DH

Bardziej szczegółowo

Efektywne wyszukiwanie wzorców w systemach automatycznej generacji sygnatur ataków sieciowych

Efektywne wyszukiwanie wzorców w systemach automatycznej generacji sygnatur ataków sieciowych Efektywne wyszukiwanie wzorców w systemach automatycznej generacji sygnatur ataków sieciowych Tomasz Joran Kruk NASK Dział Naukowy Cezary Rzewuski Politechnika Warszawska NASK/ PW Konferencja SECURE 2006,

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

Równanie Schrödingera

Równanie Schrödingera 3.10.2004 4. Równanie Schröingera 52 Rozział 4 Równanie Schröingera Równanie Schröingera jest postulatem mechaniki kwantowej określającym tzw. ynamikę. Zaaje ono (przy opowienio obranym warunku początkowym)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

1 Postulaty mechaniki kwantowej

1 Postulaty mechaniki kwantowej 1 1.1 Postulat Pierwszy Stan ukłau kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r 1, r 2,..., r N, t) zwana także funkcją stanu taka, że kwarat jej moułu: Ψ 2 = Ψ Ψ pomnożony przez element objętości

Bardziej szczegółowo

ć Ź Ę ź Ó ż ż Ś Ć Ś

ć Ź Ę ź Ó ż ż Ś Ć Ś Ż Ę Ę Ó Ę Ś ż ć Ź Ę ź Ó ż ż Ś Ć Ś Ż ć Ć ć Ś ć Ó Ń Ż ć Ć Ż Ą Ę Ż Ż Ż Ó Ż Ó Ó Ś Ż Ć Ę Ź ć ż Ó ÓĘ ż Ż Ó Ę Ż ż Ą Ą Ż Ś Ć ż Ź Ż ć ć Ś ć ż Ą Ś Ó ć Ź ć Ó Ó Ść ż Ó Ó Ć Ó Ó Ść ć Ś ć ż ć Ó Ó ć ć ć Ó ć Ó ć Ó ć Ó

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Ż Ę ć Ć ć ć Ą

Ż Ę ć Ć ć ć Ą Ś Ł Ż Ą Ż Ę ć Ć ć ć Ą ŚĘ Ż ź Ś Ż Ś Ś Ń Ę Ą Ś Ł Ś Ł Ż Ż ź ż Ą Ś Ż Ż Ś Ł Ą Ą Ó Ż Ż ż ć Ż ż ć ż Ó Ż ż ć ż ć ż Ą Ę ż Ó Ó ż ż Ó ć Ż ć Ż ć ć ź Ę Ę Ę ć Ż Ź Ż ż ć ż Ź Ę Ż ż ć Ś ć Ż Ę ż Ę ż ż ż Ż ż ż ż ż ĘŁ ż ż

Bardziej szczegółowo

ŁĄ ę ł

ŁĄ ę ł ŁĄ ę ł ł ń ł ł ł ł ł ó ą Ń ł ń ł ł ł ż Ł ń ąó ż ąó ó ą ę ó ąę ą ł ą ę ń ł ś ół ż ł ł ł ą ń ś ół ń ł ł ę ł ó ł Ćć ć Ą ż ł ć ć ć ł ł ż ó ąę ó ó ą ś ó ół ż ą ń ł ó ą ę ą ó ę ś ś ó ą ę ą ą ęś ć ś ę ą ę ł ę

Bardziej szczegółowo

Ę Ą Ę Ł Ł Ę ż Ł ż Ą ż ż ż ć ż ć Ł ż Ę Ą Ę Ł ż Ó ć ŚĆ Ś Ś Ń ż ż Ż Ć Ń Ę Ę ÓĘ ć ż ż Ó Ę Ó ć ć ż ż ż ż ż Ą ć Ł ż Ó ć ć Ł Ś ć Ż Ź Ś ć ć ż Ę ż ć ć ż ć Ą ż Ś Ł Ł ż ć ż ć Ą ż ć Ś ż ż ż ć ć ć ć Ć ż ć ż ć ż ż ż

Bardziej szczegółowo

Ó Ć Ó Ż Ó Ó Ó Ó Ż Ó Ę Ę Ę Ó Ź Ź Ę Ź Ź Ó Ź Ż Ó Ó Ę Ó Ń Ą Ó Ą Ź Ź Ó Ę Ź Ó Ż Ń Ź Ż Ż Ź Ę Ż Ł Ó Ź Ó Ń Ż Ę Ó Ź Ó Ż Ó Ć Ę Ó Ó Ó Ć Ż Ę Ę Ó ÓĘ Ż Ź Ż Ę Ó Ź Ź Ą Ó Ę Ź Ó Ź Ł Ń Ę Ę Ń Ó Ó Ę Ó Ó Ź Ż Ó Ó Ź Ź Ó Ó Ż Ó

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI Ćwiczenie LP Projektowanie regulacji metoą linii pierwiastkowych Zaanie: Zaprojektować sposób stabilizowania owróconego wahała (rys.1) la małych ochyleń o położenia pionowego.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5. Renty życiowe

ROZDZIAŁ 5. Renty życiowe ROZDZIAŁ 5 Renty życiowe Rentą życiową nazywamy ciąg płatności który ustaje w chwili śmierci pewnej osoby (zwykle ubezpieczonego) Mówiąc o rencie życiowej nie zaznaczamy czy osoba której przyszły czas

Bardziej szczegółowo

ę ą ę ó ń ń ń ó ń ó ó ń ź ą ę Ń ą ó ę ą ó ą ą ć ś ą ó ś ó ń ó ą Ń Ą ś ę ńś Ą ń ó ń ó ńś ó ś Ą ś ś ó ó ś ś ó ą ń ó ń Ę ń ć ńś ę ó ś ś Ę ń Ł ó ń ź ń ś ę

ę ą ę ó ń ń ń ó ń ó ó ń ź ą ę Ń ą ó ę ą ó ą ą ć ś ą ó ś ó ń ó ą Ń Ą ś ę ńś Ą ń ó ń ó ńś ó ś Ą ś ś ó ó ś ś ó ą ń ó ń Ę ń ć ńś ę ó ś ś Ę ń Ł ó ń ź ń ś ę ń ę ś Ą Ń ó ę ą ń ą ś Ł ń ń ź ń ś ó ń ę ę ę Ń ą ą ń ą ź ą ź ń ć ę ó ó ę ś ą ść ńś ś ę ź ó ń ó ń ę ń ą ń ś ę ó ó Ę ó ń ę ń ó ń ń ń ą Ę ą ź ą ą ń ó ą ę ó ć ą ś ę ó ą ń ś ę ą ę ó ń ń ń ó ń ó ó ń ź ą ę Ń ą

Bardziej szczegółowo

Mieszanie. otrzymanie jednorodnych roztworów, emulsji i zawiesin intensyfikacja procesów wymiany ciepła intensyfikacja procesów wymiany masy

Mieszanie. otrzymanie jednorodnych roztworów, emulsji i zawiesin intensyfikacja procesów wymiany ciepła intensyfikacja procesów wymiany masy ieszaie Celem procesu mieszaia jest : otrzymaie jeoroych roztworów, emulsji i zawiesi itesyfikacja procesów wymiay ciepła itesyfikacja procesów wymiay masy Sposoby prowazeia mieszaia w śroowisku ciekłym

Bardziej szczegółowo

17.2. Jednakowe oporniki o oporach R każdy połączono jak na rysunku. Oblicz opór zastępczy układu między punktami A i B oraz B i C.

17.2. Jednakowe oporniki o oporach R każdy połączono jak na rysunku. Oblicz opór zastępczy układu między punktami A i B oraz B i C. 7. uch łaunku w polu elekomagneycznym. Pą elekyczny Wybó opacowane Maek hmelewk 7.. Z alumnowego pęa o pzekoju popzecznym S wykonano zamknęy peśceń o pomenu. Ten peśceń wuje z pękoścą kąową wokół o pzechozącej

Bardziej szczegółowo

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki

Kompresja fraktalna obrazów. obraz. 1. Kopiarka wielokrotnie redukująca 1.1. Zasada działania ania najprostszej kopiarki Kompresa fratalna obraów. Kopara welorotne reuuąca.. Zasaa ałana ana naprostse opar Koncepca opar welorotne reuuące Naprosts prła opar. Moel matematcn obrau opara cęś ęścowa. obra weścow opara obra wścow

Bardziej szczegółowo

Analityczne metody kinematyki mechanizmów

Analityczne metody kinematyki mechanizmów J Buśkiewicz Analityczne Metoy Kinematyki w Teorii Mechanizmów Analityczne metoy kinematyki mechanizmów Spis treści Współrzęne opisujące położenia ogniw pary kinematycznej Mechanizm korowo-wozikowy (crank-slier

Bardziej szczegółowo

N a l e W y u n i k a ć d ł u g o t r w a ł e g o k o n t a k t u p o l a k i e r o w a n y c h p o w i e r z c h n i z w y s o k i m i t e m p e r a

N a l e W y u n i k a ć d ł u g o t r w a ł e g o k o n t a k t u p o l a k i e r o w a n y c h p o w i e r z c h n i z w y s o k i m i t e m p e r a J L G 3 6 6 P A W I L O N O G R O D O W Y J L G 3 6 6 I N S T R U K C J A M O N T A V U I B E Z P I E C Z E Ń S T W A S z a n o w n i P a s t w o, D z i ę k u j e m y z a z a k u p p a w i l o n u o g

Bardziej szczegółowo

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ ALUMINIUM

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ ALUMINIUM POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNOŚCI CIEPLNEJ ALUMINIUM I. Cel ćwiczenia: pomiar współczynnika przewoności cieplnej aluminium. II. Przyrząy: III. Literatura: zestaw oświaczalny złożony z izolowanego aluminiowego

Bardziej szczegółowo

Geometria Analityczna w Przestrzeni

Geometria Analityczna w Przestrzeni Algebra p. 1/25 Algebra Geometria Analityczna w Przestrzeni Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045

Bardziej szczegółowo

i j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015

i j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015 WM-E; kier. MBM, lisa za. nr. p. (z kary przemiou): Rozwiązywanie zaań z zakresu: ransformacji ukłaów współrzęnych, rachunku wekorowego i różniczkowo-całkowego o kursu Fizyka.6, r. ak. 05/6; po koniec

Bardziej szczegółowo

Teoria Przekształtników - kurs elementarny

Teoria Przekształtników - kurs elementarny Teria Przekształtników - kurs elementarny W5. PRZEKSZTAŁTNIKI IMPSOWE PRĄD STAŁEGO -(1) [ str199-16, str. 5 161-177, 6 str. 161-190-199] Jest t grupa przekształtników najliczniejsza bwiem znajuje zastswanie

Bardziej szczegółowo

Składowe wektora y. Długość wektora y

Składowe wektora y. Długość wektora y FIZYKA I Wykła II Rachunek Pojęcia postawowe wektorowy i (I) historia b a Skłaowe wektora y n = n cos(α) y n = n sin(α) y b Ԧa = a, y a a b = b, y b b a Długość wektora y Ԧa = a + y a y b b = b + y b b

Bardziej szczegółowo

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) (1.1) (1.2a)

Pole temperatury - niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu) (1.1) (1.2a) PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe. wykład nr 5. metody Monte Carlo zastosowanie metod do obliczenia całek wielokrotnych. Nr: 1

Metody obliczeniowe. wykład nr 5. metody Monte Carlo zastosowanie metod do obliczenia całek wielokrotnych. Nr: 1 Nr: Metoy obliczeniowe wykła nr 5 etoy Monte Carlo zastosowanie eto o obliczenia całek wielokrotnych Nr: Obliczanie całek wielokrotnych... f (,..., n... n? kubatury - wielowyiarowe opowieniki kwaratur

Bardziej szczegółowo

Podstawy robotyki wykład III. Kinematyka manipulatora

Podstawy robotyki wykład III. Kinematyka manipulatora Podstawy robotyki Wykład III sztywnego Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Manipulator typu PUMA ogniwo 2 ogniwo 3 ogniwo 1 PUMA układy

Bardziej szczegółowo

ć Ó Ó Ż

ć Ó Ó Ż Ą Ą Ł Ą Ą ć Ó Ó Ż ć ć Ó ć Ó Ó Ó Ó Ó Ż Ą Ó Ż Ż Ż Ó Ó Ó Ó Ź Ó Ż Ó Ż Ą Ó Ó Ż ż Ż Ż Ż Ó Ó Ó Ó ÓĘ Ó Ż ż Ć Ż Ż Ż Ż Ł Ż Ó Ó Ó Ż Ó Ó Ó Ó Ć Ó Ó Ż ć Ó Ó Ż ŻĄ Ż Ó Ó Ż Ż Ż ć Ą ż ż Ź Ż Ź Ź Ż Ż Ó Ź Ó Ą Ó Ó Ó Ż Ó Ż Ó

Bardziej szczegółowo

Programowanie ilorazowe #1

Programowanie ilorazowe #1 Programowanie ilorazowe #1 Problem programowania ilorazowego (PI) jest przykłaem problemu programowania matematyznego nieliniowego, który można skuteznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako

Bardziej szczegółowo

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła PODSAWY WYMIANY CIEPŁA. Postawowe pojęcia w wymianie ciepła Sposoby transportu ciepła: przewozenie konwekcja - swobona - wymuszona promieniowanie ransport ciepła w ciałach stałych obywa się na roze przewozenia.

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stałej Kerra

Wyznaczanie stałej Kerra Ćwiczenie Nr 557:. Literatura; Wyznaczanie stałej Kerra 1. Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Cz praca zbiorowa po reakcją. Kruk i J. Typka. Wyawnictwo Uczelniane PS. Szczecin 007.. Problemy teoretyczne:

Bardziej szczegółowo

elektryczna. Elektryczność

elektryczna. Elektryczność Pojemność elektryczna. Elektryczność ść. Wykła 4 Wrocław University of Technology 4-3- Pojemność elektryczna Okłaki konensatora są przewonikami, a więc są powierzchniami ekwipotencjalnymi: wszystkie punkty

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących

Bardziej szczegółowo

Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś

Ę ż Ł ś ą ł ść ó ą ż ę ł Ł ś ą ś Ż ż ż ń ż ł ś ń ż żę Ł ż ó ń ę ż ł ńó ó ł ń ą ż ę ż ą ą ż Ń ż ż ż óź ź ź ż Ę ż ś ż ł ó ń ż ć óź ż ę ż ż ńś ś ó ń ó ś Ę Ł ś ą ł ść ą ę ł Ł ś ą ś Ż ł ś ę Ł ę ł ł ą ę ą ą Ń ź ź ź Ę ś ł ć Ź ę ś ś ś Ę ł ś ć Ę ś ł ś ą ź ą ą ą ą ą ą ą ą ś ą ęń ś ł ą ś Ł ś ś ź Ą ł ć ą ą Ę ą ś ź Ł ź ć ś ę ę ź ą Ż ć ć Ą ć ć ł ł ś ł ś ę ą łą ć

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD V. Elektrostatyka

WYKŁAD V. Elektrostatyka WYKŁAD V Elektrostatyka ELEKTOSTAYKA ODDZIAŁYWANIA Obecnie znane są cztery funamentalne oziaływania: silne, elektromagnetyczne, słabe i grawitacyjne. Silne i słabe oziaływania ogrywają ecyującą role w

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKULTYWACJI ĆWICZENIE NR 5

INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKULTYWACJI ĆWICZENIE NR 5 INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA ZAKŁAD GEOINŻYNIERII I REKUTYWACJI aboratorium z mechaniki płynów ĆWICZENIE NR 5 POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA STRAT PRZEPŁYWU NA DŁUGOŚCI. ZASTOSOWANIE PRAWA HAGENA POISEU A 1. Cel

Bardziej szczegółowo

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Optyka 2. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Optka Projekt współinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funuszu Społecznego Optka II Promień świetln paając na powierzchnię zwierciała obija się zgonie z prawem obicia omówionm w poprzeniej

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo