EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 2012

Transkrypt

1 EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 202 Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu Wrocław 202

2 Redaktor Wydawnictwa: Dorota Pitulec Redaktor techniczny: Barbara Łopusiewicz Korektor: Barbara Cibis Łamanie: Małgorzata Czupryńska Projekt okładki: Beata Dębska Publikacja dofinansowana przez Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego Publikacja jest dostępna na stronie Streszczenia opublikowanych artykułów są dostępne w międzynarodowej bazie danych The Central European Journal of Social Sciences and Humanities oraz w The Central and Eastern European Online Library a także w adnotowanej bibliografii zagadnień ekonomicznych BazEkon bazy_ae/bazekon/nowy/index.php Informacje o naborze artykułów i zasadach recenzowania znajdują się na stronie internetowej Wydawnictwa Kopiowanie i powielanie w jakiejkolwiek formie wymaga pisemnej zgody Wydawcy Copyright by Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wrocław 202 ISSN Wersja pierwotna: publikacja drukowana Druk: Drukarnia TOTEM Nakład: 200 egz.

3 Spis treści Wstęp... 7 Anna Zięba, Grupowanie stresorów społeczno-ekonomicznych z wykorzystaniem analizy skupień... 9 Roman Szostek, Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów w transporcie lotniczym w Polsce... 6 Wiktor Ejsmont, Wpływ wiedzy zdobytej w szkole podstawowej na późniejszy przyrost wiedzy w liceum Marcin Łupiński, Konstrukcja spektralnego oscylatora MACD dla wybranych cen akcji banków notowanych na GPW w Warszawie Karolina Bartos, Sieć SOM jako przykład sieci samoorganizującej się Recenzja Jadwiga Suchecka: Analiza wybranych aspektów wyników egzaminu gimnazjalnego, Anna Błaczkowska, Józef Dziechciarz, Alicja Grześkowiak, Anna Król, Agnieszka Stanimir, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, Wroclaw Summaries Anna Zięba, Grouping of social-economic stressors with cluster analysis... 5 Roman Szostek, Generalized Holt s model exemplified by the forecast on the number of air travellers in Poland Wiktor Ejsmont, Impact of knowledge acquired in elementary school on the subsequent increase of knowledge in high school Marcin Łupiński, Construction of spectral MACD oscillator for selected Polish banks stock prices Karolina Bartos, SOM neural network as an example of the self-organizing neural network... 74

4 EKONOMETRIA ECONOMETRICS 2(36) 202 ISSN Roman Szostek Politechnika Rzeszowska UOGÓLNIONY MODEL HOLTA NA PRZYKŁADZIE PROGNOZOWANIA LICZBY PASAŻERÓW W TRANSPORCIE LOTNICZYM W POLSCE Streszczenie: W pracy zostały przedstawione zaproponowane przez autora modyfikacje metody Holta. Po pierwsze, przyjęto, że wartości parametrów występujących w modelu Holta nie muszą być ograniczone, tak jak to się powszechnie przyjmuje, do przedziału [0, ]. Po drugie, został zaproponowany precyzyjniejszy sposób prognozowania wartości szeregu dla bardziej odległych chwil czasu. Celem opracowania jest zaproponowanie modyfikacji modelu Holta, która pozwoli na uzyskiwanie lepszych prognoz. Artykuł prezentuje ideę oraz efekty proponowanej modyfikacji na przykładzie danych dotyczących liczby pasażerów w transporcie lotniczym w Polsce. Słowa kluczowe: metoda Holta, optymalizacja, prognozowanie.. Wstęp Metoda Holta jest jedną z metod wygładzania wykładniczego. Polega na wygładzaniu analizowanego szeregu czasowego za pomocą średniej ruchomej i służy do wygładzania szeregów czasowych, w których występuje tendencja rozwojowa z wahaniami przypadkowymi. Dzięki wygładzeniu szeregu uzyskiwana jest informacja o jego własnościach wykorzystywana do wyznaczenia prognozy. Wygładzanie wykładnicze może być oparte na różnych modelach, odpowiednio dobieranych do przebiegu badanego szeregu. Oprócz modelu Holta stosowany jest prosty model wygładzania wykładniczego oraz model Wintersa. 2. Model Holta Model Holta pozwala na wygładzanie szeregu czasowego, w którym występuje tendencja rozwojowa oraz wahania przypadkowe. Wartości prognozowanego szeregu zostały oznaczone symbolami x 0, x,..., x n-. Model ten ma dwa parametry α oraz β i następującą postać: F = x, ()

5 Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów... 7 S = x x, (2) 0 Ft = α xt + ( α)( Ft + St ), (3) S = β ( F F ) + ( β ) S, (4) t t t t gdzie: t = 2,, n, F t wygładzona wartość szeregu czasowego, S t wygładzona wartość przyrostu trendu na moment t, α, β parametry modelu. Wartości F t oraz S t wyliczane są w sposób rekurencyjny. Prognozy przyszłych wartości szeregu wyznaczane są w następujący sposób: gdzie: k =, 2, 3, x, (5) * n+ k = Fn + k Sn Parametry modelu Holta α oraz β są dobierane tak, aby zminimalizować błędy prognoz wygasłych. W tym celu przyjmuje się jakieś konkretne wartości tych parametrów i wyznacza, zgodnie z (5), gdy n = t oraz k =, prognozy wygasłe x (6) * = + t Ft St dla chwil czasu t (t = 2, 3,, n ) na podstawie wartości szeregu z okresu wcześniejszego (x 0, x,..., x t- ). Prognozy te można porównać z faktycznymi wartościami szeregu x t. Otrzymane różnice są błędami prognoz wygasłych, jakie daje model dla przyjętych parametrów α oraz β. Jako miarę jakości metody należy przyjąć średnią z błędów prognoz wygasłych. Może to być średnia liniowa lub średnia kwadratowa n 2 t= 2 J = Ft + St xt (7) n n 2 2 = ( Ft + St xt ) n 2 t= 2 J. (8) Ostatecznie należy spośród wszystkich możliwych wartości parametrów α oraz β wybrać takie, które dają najmniejszą wartość błędu J lub J 2. W ten sposób zostają wyznaczone optymalne wartości parametrów modelu, czyli przeprowadzona jest jego optymalizacja. Wartość J jest miarą błędu prognozy wyznaczonej za pomocą tego modelu.

6 8 Roman Szostek Powszechnie przyjmuje się, że α [0, ] oraz β [0, ]. Wydaje się jednak, że to ograniczenie jest niepotrzebne, dlatego w przeprowadzonych obliczeniach zrezygnowano z niego. Tak więc zostało przyjęte, że najlepszymi parametrami modelu są takie, dla których model najlepiej wyznacza prognozy wygasłe niezależnie od tego, czy parametry te będą większe, czy mniejsze od jedności. Wyznaczanie optymalnych wartości parametrów α oraz β przeprowadza się metodami numerycznymi. 3. Analiza danych Analizowany szereg czasowy został przedstawiony w tab.. Zawiera on informację o liczbie pasażerów w transporcie lotniczym w Polsce w okresach rocznych. Tabela. Przewozy pasażerów transportem lotniczym w Polsce Rok Liczba pasażerów (tys. osób) Rok Liczba pasażerów (tys. osób) Źródło: Główny Urząd Statystyczny ( Wartości optymalnych parametrów modelu Holta są różne w zależności od przyjętej miary jakości. Siatkę parametrów przeglądano z dokładnością do Prognozy zostały wyznaczone na trzy przyszłe okresy. Dla miary liniowej (7) optymalne są parametry α =.4483 oraz β = (9) Dla miary kwadratowej (8) optymalne są parametry α =.5676 oraz β = (0) Szereg czasowy wraz z prognozą dla miary (7) został przedstawiony na rys..

7 Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów... 9 Rys.. Prognozy, gdy w modelu α =.4483 oraz β = Źródło: opracowanie własne. Szereg czasowy wraz z prognozą dla miary (8) został przedstawiony na rys. 2. Rys. 2. Prognozy, gdy w modelu α =.5676 oraz β = Źródło: opracowanie własne. Dla porównania, gdy wartości parametrów modelu α oraz β są ograniczone do przedziału [0, ], wtedy optymalne wartości tych parametrów dla miary liniowej (7) wynoszą

8 20 Roman Szostek natomiast dla miary kwadratowej (8) wynoszą α =.0000 oraz β =.0000, () α =.0000 oraz β = (2) Szereg czasowy wraz z prognozą dla przypadku gdy α =.0 oraz β =.0 został przedstawiony na rys. 3. Rys. 3. Prognozy, gdy w modelu α =.0 oraz β =.0 Źródło: opracowanie własne. W tab. 2 zostały przedstawione wyniki obliczeń dla trzech powyższych przypadków. Optymalne wartości miary jakości zostały w tabeli wytłuszczone. Tabela 2. Wyniki obliczeń. Porównanie trzech rozwiązań t X(t) a =,4483 b = 0,454 a =,5676 b = 0,720 a =,000 b =,000 F(t) S(t) X*[t] F(t) S(t) X*[t] F(t) S(t) X*[t] ,00-507,00 208,00-507,00 208,00-507, ,9-45,47 70,00 567,88-357,90 70,00 254,00 46,00 70, ,77-3,72 356,44 55,69-305,32 209,99 405,00 5,00 300, ,85 7,26 33,05 84,88-20,34 20,37 596,00 9,00 556, ,7 05,84 794, 979,5-38,39 63,54 847,00 25,00 787, ,79 49,28 976,55 257,59-83,96 84,2 2043,00 96, , , 9, , , -26, , ,00 244, , ,66 272, , ,08 4,06 238, ,00 345,00 253, ,77 50,9 2960,56 250,80 -,28 285,4 262,00 -, , ,53 286,47 259, ,96 9, , ,00 259,00 260,00

9 Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów ,42 357, , ,8 58,37 387, ,00 556,00 339, ,78 243,00 384, ,09 39, , ,00 23, , ,55 338,60 383, ,2 96, , ,00 3, , ,4 7, ,5 3902,26 29,8 4293, ,00 66, , , 527, , ,72 292,46 403, ,00 593,00 40, ,73 45, , ,69 307,5 5273,7 5329,00 692, , ,9 755, , ,45 449, ,20 694,00 865,00 602, ,76-352,75 758, ,67 50,58 694, ,00-73, , ,00-352, ,0 465,96-36, , ,00-3, , ,05 296, , ,64 95,27 429,0 4990,00 640, , , ,9 5630,00 22 prognozy: 6027,60 prognozy: 5869,8 prognozy: 6270, , ,45 690,00 błąd liniowy 345, błąd kwadratowy 529, Źródło: opracowanie własne. Ograniczanie wartości parametrów α oraz β do przedziału [0, ] powoduje, że pewnej dużej rodzinie szeregów czasowych przyporządkowywany jest ten sam model Holta o parametrze α =.0 (lub β =.0). Tak też jest dla rozważanego szeregu. W tej sytuacji wiele różnorodnych szeregów jest opisywanych tym samym modelem. Tymczasem parametry modelu Holta można dobrać tak, aby model dokładniej wyznaczał prognozy wygasłe. Te parametry powinny być wykorzystane do prognozowania. 4. Prognoza na dalsze chwile czasowe W klasycznym podejściu przedstawionym w postaci równań ()-(5) optymalne wartości parametrów modelu są wyznaczane na podstawie prognoz wygasłych obliczanych na jeden krok do przodu. Jeżeli jednak za pomocą modelu ma być wyznaczana prognoza na k kroków do przodu, to powinno się wykonywać optymalizację modelu pod kątem prognoz wygasłych na k kroków do przodu. Zaproponowano więc tutaj, aby dla każdej chwili czasowej, na którą ma być wyznaczona prognoza, wyznaczyć inny model, za każdym razem na podstawie innej miary jakości. Jeżeli prognoza ma być wykonana na k-ty krok do przodu, wtedy należy wyznaczyć parametry modelu, minimalizując miarę jakości w postaci J ( k) = Ft k + k St k xt (3) n k n t= k+

10 22 Roman Szostek lub gdzie: k =, 2, 3, J, (4) n 2 2 ( k) = ( Ft k + k St k xt ) n k t= k+ Obliczenia zostały wykonane za pomocą programu w języku C++ o następującym kodzie: int main(int argc, char *argv[]) { double X[2]={75, 208, 254, 405, 596, 847, 2043, 2287, 2632, 262, 2880, 3436, 3667, 3978, 4044, 4637, 5329, 694, 5463, 4350, 4990}; Double F[2], S[2], F_opt, S_opt; // wielkość tablicy musi mieć rozmiar n double J2, J, a_opt, b_opt, J2_min= , J_min= ; double a, b, krok=0.000; int t, n=2, k=; // k oznacza na ile krokow do przodu jest prognoza F[]=X[]; S[]=X[]-X[0]; for (a=.4; a<=.5; a=a+krok) { for (b=0.4; b<=0.5; b=b+krok) { J2=0; J=0; for (t=2;t<n;t++) { F[t]=a*X[t]+(-a)*(F[t-]+S[t-]); S[t]=b*(F[t]-F[t-])+(-b)*S[t-]; if (t>=(k+)) { J=J+fabs(F[t-k]+k*S[t-k]-X[t]); //błąd liniowy J2=J2+pow((F[t-k]+k*S[t-k]-X[t]),2); //błąd kwadratowy } } if (J < J_min) //minimalizacja bledu liniowego { J2_min=J2; J_min=J; a_opt=a; b_opt=b; F_opt=F[n-]; S_opt=S[n-]; } } } J_min=J_min/(n-k-); //błąd liniowy J2_min=sqrt(J2_min/(n-k-)); //błąd kwadratowy

11 Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów cout << "optymalne a = " << a_opt << endl; cout << "optymalne b = " << b_opt << endl; cout << "blad liniowy J = " << J_min << endl; cout << "blad kwadratowy J2 = " << J2_min << endl; } Wartość prognozy na k kroków do przodu jest wyliczana zgodnie z zależnością (5). Wyniki obliczeń dla miary jakości (3) zostały przedstawione w tab. 3 oraz na rys. 4. W przypadku zmodyfikowanej metody prognozy nie muszą się znajdować na prostej, tak jak jest zawsze w przypadku metody tradycyjnej. Tabela 3. Wyniki obliczeń dla zmodyfikowanej miary jakości J (k) k = k = 2 k = 3 t X(t) a =,4483 b = 0,454 a =,087 b = 0,5667 a = 0,5858 b = 0,74 F(t) S(t) X*[t] F(t) S(t) X*[t] F(t) S(t) X*[t] 0 75,00 208,00 208,00-507,00 208,00-507,00 208,00-507, ,00 50,9-45,47 70,00 299,8-68,0 024,95-276, ,00 426,77-3,72 356,44 427,37-0,5 94,00 33,04-2, ,00 722,85 7,26 33,05 609,79 03,3 963,6 403,03 9,23-33, ,00 870,7 05,84 794, 857,94 85,39 427,07 742,32 296,56 95, , ,79 49,28 976, ,97 85,9 86,4 204,29 298,28 24, ,00 236, 9, ,07 229,8 22, , ,77 276,37 976, , ,66 272, ,84 264,72 294,6 243,35 262,59 295,90 263, , ,77 50,9 2960, ,27 0,4 2734, ,08 76, , ,00 304,53 286,47 259, ,00 23, , ,98 6,02 337, , ,42 357, , ,74 44, , ,60 39, , , ,78 243,00 384, ,84 285, , ,4 348,4 3268, , ,55 338,60 383,78 398,48 3,67 429,40 398,54 344, , , ,4 7, ,5 4023,64 58, ,95 460,85 227,0 4236, ,00 498, 527, , ,3 437, , ,8 330, , , ,73 45, , ,76 570,75 434,53 536,66 524,35 505, , ,9 755, ,99 626,59 740, ,2 5973,24 746,47 484, , ,76-352,75 758, ,95-75, , ,53 222, , , ,00-352, ,0 4283,38-675, ,07 58,87-550, , , ,05 296, ,24 502,9 7, ,00 485,22-374,98 822,63 2 prognoza: 573,33 22 prognoza: 5446,50 23 prognoza: 3690,27 Błąd progn. J () = 345,6 J (2) = 596,72 J (3) = 822,0 Źródło: opracowanie własne.

12 24 Roman Szostek Rys. 4. Prognozy dla zmodyfikowanej miary jakości J (k) Źródło: opracowanie własne. Dzięki przedstawionej modyfikacji zostały uzyskane mniejsze średnie błędy prognoz wygasłych. Zostały one zestawione w tab. 4 (dla liniowej miary jakości). Błędy te dla metody tradycyjnej zostały wyznaczone dla modelu, w którym α oraz β mają wartości (9), ale według zależności (3). Natomiast dla zmodyfikowanej metody błędy prognoz wygasłych pochodzą z tab. 3. Tabela 4. Porównanie średnich błędów prognoz wygasłych dla liniowej miary jakości Prognoza na k kroków do przodu k = k = 2 k = 3 Metoda tradycyjna 345,6 625,99 929, Metoda zmodyfikowana 345,6 596,72 822,0 Źródło: opracowanie własne. Na podstawie kryterium, jakim jest średni błąd prognoz wygasłych, można stwierdzić, że zmodyfikowana metoda pozwala na wyznaczanie wiarygodniejszych prognoz. 5. Wnioski W klasycznych zastosowaniach modelu Holta wartości jego parametrów są ograniczane do przedziału [0, ]. Podejście takie zastosowano na przykład w pakiecie Statistica. W artykule zaproponowano, aby nie ograniczać wartości parametrów tego

13 Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasażerów modelu do przedziału [0, ]. Modele takie mogą lepiej wyznaczać prognozy wygasłe. Są więc lepszym sposobem wyznaczania przyszłych prognoz. Ograniczenie wartości parametrów α oraz β do przedziału [0, ] wynikało zapewne z koncepcji, według której nowe wartości szeregów F t oraz S t są w pewnym procencie wcześniejszymi wartościami tych szeregów, a w pozostałej części wartościami innego czynnika (zgodnie z (3) oraz (4)). Rezygnacja z ograniczenia wartości tych parametrów jest naturalnym uogólnieniem metody. W przypadkach, gdy w modelu uzyskano parametr α >, nie zawsze szereg F t był wygładzeniem szeregu x t. Dla niektórych analizowanych przykładów wartości szeregu F t oscylowały wokół wartości szeregu x t. Wtedy szereg F t nie tyle wygładzał, co wyostrzał wahania oryginalnego szeregu. Niemniej jednak zawsze zmodyfikowane modele lepiej wyznaczały prognozy wygasłe, są więc lepszym narzędziem do wyznaczania przyszłych prognoz. W artykule zaproponowano także zmodyfikowany sposób optymalizacji modelu Holta. Polega on na niezależnej optymalizacji kilku modeli, po jednym dla każdej prognozy na k-ty okres do przodu. W ten sposób wyznaczanych jest tyle modeli Holta, na ile kroków do przodu jest wykonywana prognoza. Taki zmodyfikowany model wyznacza prognozy wygasłe z mniejszym średnim błędem. Jest więc lepszym sposobem wyznaczania przyszłych prognoz. Uzyskane w ten sposób prognozy nie muszą znajdować się na prostej (rys. 4), tak jak jest zawsze w podejściu klasycznym. Literatura Dittmann P., Metody prognozowania sprzedaży w przedsiębiorstwie, Wydawnictwo AE, Wrocław 999. Główny Urząd Statystyczny Transport wyniki działalności, gus/publ_til_transport_wyniki_dzialalnosci_200.pdf. Lipińska Z., Smiłowska T., Suchecki B., Wybrane metody prognozowania krótkookresowego, GUS ZBSE, Warszawa 984. Pawełek B., Wanat S., Zeliaś A., Prognozowanie ekonomiczne. Teoria, przykłady, zadania, PWN, Warszawa Siedlecka U., Prognozy ostrzegawcze, Wydawnictwo AE, Wrocław 993. Zeliaś A., Teoria prognozy, PWE, Warszawa 997.

14 26 Roman Szostek GENERALIZED HOLT S MODEL EXEMPLIFIED BY THE FORECAST ON THE NUMBER OF AIR TRAVELLERS IN POLAND Summary: The work presents, proposed by the author, changes in the Holt s method. First, it is assumed that the parameter values in the Holt s model do not need to be limited, as it is commonly assumed, to the range of [0,]. Secondly, it is proposed a more accurate way of forecasting the number of moments for the more distant time. The aim of the paper is to evaluate the modified approach. Calculations were carried out on the example of data on the number of air travellers in Poland. Keywords: Holt's method, optimization, forecasting.