WIELOATRYBUTOWE PODEJMOWANIE DECYZJI: ANALYTIC HIERARCHY PROCESS

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WIELOATRYBUTOWE PODEJMOWANIE DECYZJI: ANALYTIC HIERARCHY PROCESS"

Transkrypt

1 WIELOATRYBUTOWE PODEJMOWANIE DECYZJI: ANALYTIC HIERARCHY PROCESS 1.1. ISTOTA METODY AHP... 1 Rysunek 1. Etapy rozwiązywania problemów z pomocą AHP... 3 Rysunek 2. Hierarchia decyzyjna AHP... 4 Tabela 1. Fundamentalna skala porównań T.L. Saaty ego... 5 Rysunek 3. Kwadratowa macierz porównań parami... 6 Rysunek 4. Macierz znormalizowanych ocen OBLICZANIE PRIORYTETÓW NA PODSTAWIE WEKTORA WŁASNEGO MACIERZ Y PORÓWNAŃ PARAMI... 6 Tabela 2. Losowy indeks niezgodności (RI)... 8 Tabela 3. Obliczanie wektora własnego macierzy porównań ZADANIE... 9 Krok Rysunek 5. Przykład widoku arkusza Założenia... 9 Krok Rysunek 6. Przykład widoku arkusza Kryteria Rysunek 7. Przykład widoku arkusza Kryteria Rysunek 8. Przykład widoku arkusza Kryteria Krok Rysunek 9. Przykład widoku arkusza Wyniki Rysunek 10. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) Rysunek 11. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) ISTOTA METODY AHP Metoda hierarchicznej analizy problemów decyzyjnych to ogólna teoria pomiaru wyników, łącząca w sobie elementy matematyki i psychologii. Jest bardzo szybko rozwijającą się w ostatnich latach i bardzo znaną metodą matematyczną, stosowaną do rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych. Różni się ona od innych wielokryterialnych metod w dwóch zasadniczych kwestiach. Pierwszą jest budowa struktury problemu w postaci hierarchicznej, na którą składają się cel nadrzędny, kryteria i cele pośrednie oraz atrybuty i alternatywy decyzyjne. Cel nadrzędny znajduje się na szczycie hierarchii, podczas gdy decyzje alternatywne tworzą poziom najniższy w hierarchii. Znaczenie oraz preferencje poszczególnych elementów decyzyjnych łączone są w pary, w odniesieniu do elementu znajdującego się bezpośrednio powyżej hierarchii. Drugą różnicę stanowi wprowadzenie względnej skali priorytetów do porównań pojęć zarówno ilościowych, jak i jakościowych. Odbywa się to poprzez bezpośrednie porównania stopnia ważności oraz preferencji każdej pary elementów decyzyjnych bez stosowania jednostek fizycznych. Z tego też powodu AHP znajduje zastosowanie zarówno w odniesieniu do analiz zmiennych ilościowych, jak i ilościowych. Rezultatem tych porównań jest model addytywny konstruowany w skali ilorazowej, który opisuje preferencje decydenta. Model ten nazwany jest funkcją priorytetową. Decyzja Katedra Informatyki Strona 1

2 alternatywna, której odpowiada najwyższa całkowita wartość funkcji priorytetowej, uważana jest za najlepszą i jest zalecana do wykorzystania w praktyce. Analityczny Proces Hierarchiczny (AHP) to jedna z najszybciej rozwijających się w ostatnich latach i najbardziej znanych w świecie metod matematycznych, stosowanych w zakresie rozwiązywania wielokryterialnych problemów decyzyjnych. AHP łączy w sobie pewne koncepcje z dziedziny matematyki i psychologii. Różni się ona od innych wielokryterialnych metod trzema aspektami, stanowiącymi jednocześnie jej podstawowe zasady. 1. Dekompozycja problemu Ta zasada stanowi o budowie struktury problemu w postaci hierarchicznej. Cel nadrzędny umieszczany jest na szczycie hierarchii, kolejny poziom zajmują kryteria (mogą to być cele podrzędne, atrybuty), następny subkryteria, subsubkryteria itd. Decyzje alternatywne (warianty, modele, scenariusze) tworzą najniższy poziom tej struktury. 2. Wyrażenie opinii poprzez porównania Wskazuje, iż bezpośrednie porównania stopnia ważności oraz preferencji elementów wykonuje się w parach, na każdym poziomie struktury hierarchicznej, w stosunku do wspólnego kryterium położonego na poziomie bezpośrednio wyższym. Porównania te mają na celu oszacowanie lokalnych priorytetów elementów w stosunku do tego nad-rzędnego kryterium. Do porównań wykorzystywana jest tzw. fundamentalna skala porównań Saaty ego, którą można zastosować zarówno do analiz zmiennych ilościowych, jak i jakościowych. Thomas L. Saaty opracował 27 różnych skał. Spośród nich największe zastosowanie ma 9-stopniowa fundamentalna skala porównań (tab. 1). Każda liczba w skali Saaty ego ma swój werbalny (słowny) i graficzny odpowiednik, określający stopień ważności porównywanych elementów. W hierarchicznej strukturze problemu (AHP) występują poziomy uporządkowane w kierunku malejącej ważności. Etapy w AHP od postawienia problemu do jego rozwiązania zaprezentowano na rys. 1. Katedra Informatyki Strona 2

3 Rysunek 1. Etapy rozwiązywania problemów z pomocą AHP AHP opiera się na trzech aksjomatach: 1. Pierwszym z nich jest tzw. aksjomat odwrotności ocen. Jako przykład można podać porównanie wielkości dwóch elementów A i B w odniesieniu do C. Jeśli A jest 3 razy większe od B, to B stanowi 1/3 wielkości A. Oraz jeśli B jest 2 razy większe od C, to A jest większe od C sześć razy. 2. Drugi jest aksjomat jednorodności (homogeniczności). Wskazuje, iż konstruując strukturę hierarchiczną należy pamiętać o odpowiednim doborze i grupowaniu porównywalnych z sobą elementów oraz aby unikać dużych różnic między nimi. Elementy na danym poziomie lub w danej grupie nie powinny się różnić więcej niż o jednostkę wielkości (w AHP zakres skali kształtuje się od 1 do 9). 3. Trzeci aksjomat zakłada, że priorytety elementów na danym poziomie hierarchii nie zależą od priorytetów niżej położonych elementów. Rozpatrywany problem przedstawiany jest w postaci wielopoziomowej struktury hierarchicznej. Poziomy są w niej uporządkowane w kierunku malejącej ważności (rys. 2). Elementy porównywane są parami na każdym poziomie hierarchicznym. Dokonując tego, określa się dominację (przewagę) jednego elementu nad drugim, w odniesieniu do elementów położonych na poziomie bezpośrednio wyższym. Strzałki wyprowadzane są w kierunku od góry do dołu, czyli od celu głównego (umieszczanego na szczycie hierarchii) poprzez kryteria, subkryteria, sub-subkryteria aż do alternatyw (wariantów) decyzyjnych. Liczba porównywalnych elementów n powinna zawierać się w przedziale [5 9]. Zakres ten opiera się na tzw. magicznej liczbie siedem tj. 7+/ 2. Przy większej liczbie porównywalnych kryteriów istnieje większe prawdopodobieństwo wyrażenia błędnych opinii i wniosków. Wynika to z niemożności ogarnięcia przez umysł człowieka w stosunkowo Katedra Informatyki Strona 3

4 krótkim czasie większej liczby zmiennych i bezbłędnego ich porównania. Fakty te zostały wielokrotnie potwierdzone w literaturze psychologicznej. Problemy z wykorzystaniem dokładnych ilościowych oszacowań od decydentów, mogą zostać przezwyciężone przez zastosowanie informacji o preferencjach danego pracownika (np. raczej tak, na pewno tak itp.). Badania wykazały, że ilościowa ocena i porównanie różnych obiektów była dużo trudniejsza dla podmiotów ludzkich niż przeprowadzenie tych samych operacji przy zastosowaniu jakościowego wyrażenia preferencji. Stąd w przyjętej metodzie używa się skał z opisami słownymi, które po ich kwantyfikacji (skalowaniu) nadadzą wartościowy wyraz kryteriom w modelach. AHP umożliwia wprowadzenie relatywnej skali ocen priorytetów do porównania pojęć kwantytatywnych i kwalitatywnych. Bazą są werbalne opinie uczonych i ekspertów, istniejące pomiary i dane statystyczne niezbędne do podjęcia decyzji. Głównym problemem tej metody jest dokonanie pomiaru czynników kwalitatywnych (jakościowych). Aby dokonać pomiaru niepoliczalnych kryteriów i celów, dotychczas wyrażane opinie w postaci werbalnej (słownej) należy przedstawić w postaci numerycznej, np. posługując się fundamentalną skalą porównań Saaty ego (tab. 1). Rysunek 2. Hierarchia decyzyjna AHP Skala ta umożliwia włączenie doświadczeń i wiedzy osoby podejmującej decyzje. Osoba może wyrazić swoje preferencje pomiędzy każdą parą elementów, najpierw słownie jako: równe znaczenie, słaba (umiarkowana) przewaga, silna przewaga, bardzo silna prze-waga i ekstremalna przewaga. Katedra Informatyki Strona 4

5 Te opisowe preferencje są następnie zapisywane w postaci liczb jako 1, 3, 5, 7, 9. Ponadto wprowadzane są również liczby pośrednie (parzyste), tj. 2, 4, 6, 8, które są wtedy stosowane, gdy trudno nam wyrazić nasze opinie i odczucia, np. liczba 4 wskazuje ponad słabą (między słabą a silną) przewagę jednego elementu nad drugim. Stąd dokonując porównań mamy do wyboru 17 możliwych wielkości {1/9, 1/8,,1/2, 1, 2,, 8, 9}. Tabela 1. Fundamentalna skala porównań T.L. Saaty ego W AHP dokonuje się tzw. odwracalnych porównań parami, dla których: a ij = 1/a ji oraz a ii = 1 Jest to znacznie dokładniejsze i daje lepsze rezultaty niż bezpośrednie wskazanie rozwiązania. Opinie te umieszcza się w tzw. kwadratowej macierzy porównań parami (n x n) A[a ij ]. Macierz (rys. 3) stanowi fundamentalne narzędzie, niezbędne do struktury pracy w AHP. Prezentuje się w niej oceny wskazujące przewagę (wpływ) elementów znajdujących się po lewej stronie macierzy nad elementami znajdującymi się na jej górze. W macierzy tej wykonuje się n(n 1)/2 porównań parami. Liczba tych porównań wynika z tego, iż na przekątnej macierzy n elementów znajduje się n jedynek, a połowa opinii to odwrotność. Macierze porównań parami A konstruowane są dla elementów znajdujących się na każdym poziomie struktury hierarchicznej. Katedra Informatyki Strona 5

6 Stąd w hierarchii najpierw buduje się macierz dla określenia stopnia ważności kryteriów, w odniesieniu do założonego celu głównego. Następnie macierze dla określenia znaczenia subkryteriów w obrębie każdego kryterium. 1 a 12 a 1n 1 a12 1 a 2n A = 1 1 a1n a2n 1 [ ] Rysunek 3. Kwadratowa macierz porównań parami Na końcu są macierze, które wskazują stopień ważności przyjętych wariantów decyzyjnych w odniesieniu do każdego subkryterium znajdującego się na poziomie bezpośrednio wyższym. Macierz Znormalizowanych Ocen W = (W1,, Wn) W ij = a ij n i=1 aij ma następujący widok (rys. 4): W = 1 a 12 a1n ai2 n ain n i=1 a n1 a n2 [ n i=1 ai1 n 1 i=1 ai2 i=1 a 21 1 a2n ai1 n ain n i=1 i=1 ] Rysunek 4. Macierz znormalizowanych ocen 1.2. OBLICZANIE PRIORYTETÓW NA PODSTAWIE WEKTORA WŁASNEGO MACIERZ Y PORÓWNAŃ PARAMI Wektory własne macierzy porównań A obliczane są wtedy, gdy porównania ważności elementów są zgodne. Opinie możemy uważać za zgodne, gdy współczynnik niezgodności CR 10%. Saaty proponuje 4 sposoby obliczenia wektorów własnych. Jeden z nich następujący (tab. 3): 1. Obliczanie Wektora Priorytetów macierzy porównań parami: Katedra Informatyki Strona 6

7 a) Są obliczane sumy S i elementów w każdym wierszu Macierzy Znormalizowanych Ocen W. b) Są obliczane średni wartości P i elementów w każdym wierszu Macierzy Znormalizowanych Ocen. Ta średnia wartość P i nazywa się Wektor Priorytetów i określa Względną Ważność (wagę) elementów decyzyjnych i kryteriów, subkryteriów na każdym poziomie struktury hierarchicznej. Suma priorytetów jest zawsze równa jedności. Stanowią one priorytety lokalne i wyrażają one względny udział danego elementu, w stosunku do tego znajdującego się na poziomie bezpośrednio wyższym. Priorytety lokalne stanowią podstawę do obliczenia priorytetów globalnych i reprezentują one udział każdego elementu decyzji, z poszczególnych poziomów, w osiąganiu celu głównego. 2. Obliczanie Miary Zgodności Porównań, która odzwierciedla proporcjonalność preferencji: a) Znajduję się suma iloczynów elementów SUM_LI i w każdym wierszu macierzy nieznormalizowanych ocen i elementów wektora względnej ważność. b) Każda ta suma SUM_LI i dla odpowiednego elementu i macierzy musi być podzielona na jego wagę P i. Dzięki temu otrzymujemy wartości Wektora Własnego: WW i = SUM_LI i / P i c) λ max jest miarą zgodności porównań, która odzwierciedla proporcjonalność preferencji. Obliczamy ją jako średnia Własna Wartość macierzy. d) Na bazie tej wartości λ max konstruuje się indeks niezgodności (braku konsekwencji porównań) CI, który reprezentuje odchylenie od zgodności. Obliczamy go ze wzoru: CI = (λ max n) / (n-1) e) Kolejną wielkością mierzącą koherencję porównań parami jest współczynnik niezgodności CR. Jest on bardziej użyteczną miarą niż CI (indeks niezgodności), ponieważ CI jest trudny w interpretacji, a CR możemy wyrazić w procentach: CR = 100 *CI / RI Współczynnik ten określa, w jakim stopniu wzajemnie porównania ważności charakterystyk są niezgodne (niekonsekwentne). W celu oszacowania współczynnika niezgodności (CR) należy wyznaczyć RI, czyli losowy indeks niezgodności, obliczony z losowo generowanej macierzy o wymiarach n. Wielkości RI przedstawiono w tabeli 2. Katedra Informatyki Strona 7

8 Rząd macierzy Indeks losowy Tabela 2. Losowy indeks niezgodności (RI) n RI 0 0 0,52 0,89 1,11 1,25 1,35 1,40 1,45 1,49 1,52 1,54 1,56 1,58 1,59 Praktyczną zasadą AHP jest to, aby wartość CR: dla macierzy (3 x 3) była mniejsza lub równa 5%, dla macierzy (4 x 4) była mniejsza lub równa 8%, zaś dla większych macierzy wynosiła nie więcej niż 10% (CR 10). Uważamy wówczas, że współczynnik niezgodności jest akceptowany, a porównania są konsekwentne (zgodne). W przeciwnym wypadku wszystkie lub niektóre porównania zaleca się powtórzyć w celu pozbycia się niezgodności porównań parami. W przypadku pełnej zgodności porównań opinii λ max = n; CI = 0 oraz CR = 0. Tabela 3. Obliczanie wektora własnego macierzy porównań A1 A2 A3 Sumy S i Wektor Priorytetów (Względną Ważność) P i Priorytety Lokalne Wektor Własna (Wartość Własna) WW i A1 1 W 12 W 13 S 1 = 1 + W 12 + W 13 P 1 = S 1 / 3 WW1=SUM_LI1 / P1 A2 W 21 1 W 23 S 2 = W W 23 P 2 = S 2 / 3 WW2=SUM_LI2 / P2 A3 W 31 W 32 1 S 3 = W 31 + W P 3 = S 2 / 3 WW3=SUM_LI2 / P2 Miara zgodności λ max = (WW 1 + WW 2 + WW 3 ) / 3 Indeks niezgodności CI = (λ max n) / (n - 1) Losowy indeks niezgodności RI = 1,11 Współczynnik niezgodności CR = 100 *CI / RI CR <=10%? Na ostatnim poziomie struktury hierarchicznej, na którym znajdują się warianty decyzyjne, obliczanie priorytetów przeprowadza się podobnie do opisanego powyżej sposobu. Przebiega ono według następujących kroków: 1. Porównuje się ważność wariantów decyzyjnych w odniesieniu do poszczególnych (sub)kryteriów. W wyniku tego uzyskuje się znaczenie poszczególnych wariantów decyzyjnych w realizacji danego (sub)kryterium (priorytety lokalne P i ). 2. Otrzymane priorytety lokalne mnoży się przez odpowiadające im priorytety globalne dla (sub)kryteriów. Wielkości te nazwane są cząstkowymi priorytetami globalnymi. Pokazują one udział danego wariantu decyzyjnego w osiąganiu celu głównego, poprzez realizację rozpatrywanego subkryterium. 3. Suma cząstkowych priorytetów globalnych danego wariantu decyzyjnego jest jego priorytetem globalnym. Wariant z najwyższą wielkością priorytetu uznaje się za najlepszy. Katedra Informatyki Strona 8

9 2. ZADANIE Zadanie dodatkowe: Wszystkie działania będą wykonywane za pomocą Makr! Należy zaprojektować system informatyczny realizacji wielokryterialnej metody wspomagania decyzji Metody Analizy Hierarchii stworzonej przez Saaty ego. Aby wykonać dane zadanie należy opracować następujące zadania: Krok 1 Budowa drzewa hierarchicznego złożonego z czynników wpływu. W tym celu w arkuszu Założenia należy sformułować (rys. 5): 1. Cel zadania (na przykład: wybór projektu, wybór dostawcy, wybór kierownika itd.) 2. Kryteria, według których będzie dokonywane porównanie i wybór alternatyw (wariantów, modeli, scenariuszów). 3. Alternatywy, spośród których będzie dokonywany wybór. Krok 2 Rysunek 5. Przykład widoku arkusza Założenia Określenie znaczenia elementów decyzyjnych poprzez dokonanie na każdym poziomie hierarchicznym porównań elementów parami. W tym celu należy: 1. W arkuszu Kryterium stworzyć moduł określenia znaczenia kryteria w stosunku do celu głównego. Żeby wykonać zadanie, należy: a) Zaprojektować podstawową konstrukcję Kwestionariusza dla oceny i porównania kryteriów parami. Przy projektowaniu należy korzystać z formantów: Deweloper Formanty Formanty formularza Pasek przewijania (rys. 6). Katedra Informatyki Strona 9

10 Rysunek 6. Przykład widoku arkusza Kryteria b) Zaprojektować kwadratową Macierz Porównań Parami. Dla przekształcenia wyników wykorzystania formantów Paska Przewijania w wartości macierzy a ij i a ji = 1/a ij należy skorzystać, na przykład, z funkcji WYSZUKAJ.POZIOMO. W tym celu trzeba zaprojektować dodatkową tabele, która będzie zawierać reguły odpowiedniości pomiędzy wartościami Łącze komórki i ewentualnymi wartościami Macierzy Porównań Parami. c) Wypełnić Kwestionariusz dowolnymi wartościami. d) Obliczyć sumy wartości w kolumnach (rys. 7). e) Zaprojektować Macierz Znormalizowanych Ocen. Obliczyć znormalizowane oceny W macierzy porównań parami (rys. 4) f) Sprawdzić poprawność dokonanych obliczeń poprzez znalezienie sum wartości w kolumnach (musi być równa 1). g) Obliczyć sumy wartości w wierszach (kolumna AN). h) Obliczyć średnie wartości w wierszach Wektor Priorytetów (Względna Ważność) (kolumna AO). i) Obliczyć Wartości Właśnie, jako sumy iloczynów elementów wierszy Macierzy Porównań Parami i elementów Wektora Priorytetów (AO4:AO8) (funkcja MACIERZ.ILOCZYN). Każda suma musi być podzielona przez odpowiednią Względną ważność (A04:AO8). j) Obliczyć Indeks Niezgodności CI. k) Wyszukać Losowy Indeks Niezgodności RI (tab. 2). Katedra Informatyki Strona 10

11 l) Obliczyć Współczynnik Niezgodności CR= CI / RI. m) Sprawdzić, czy Współczynnik Niezgodności jest akceptowany (CR 0,1). Wszystkie lub niektóre porównania zaleca się powtórzyć w celu pozbycia się niezgodności porównań parami. Głównymi wynikami wykorzystania tego modułu są (rys. 8): otrzymany wektor wskaźnika Względne Ważności w stosunku do celu głównego (kolumna AO). Rysunek 7. Przykład widoku arkusza Kryteria Rysunek 8. Przykład widoku arkusza Kryteria Katedra Informatyki Strona 11

12 2. Zaprojektować pięć arkuszy (ponieważ mamy 5 Kryteriów), podobnych do arkusza Kryteria, w celu stworzenia modułów określających znaczenie alternatyw w stosunku do celu i Kryteriów. Wypełnić Kwestionariusze dowolnymi wartościami. Głównymi wynikami tych modułów są otrzymane Względne Ważności alternatyw w stosunku do każdego kryterium. Krok 3 Hierarchiczna kompozycja (synteza) priorytetów kryterium i alternatyw. Rozwiązanie problemu decyzyjnego. W tym celu: Zaprojektować arkusz Wyniki (rys. 9)rozwiązania problemu decyzyjnego, na którem: a) Umieścić wartości Względnych Ważności kryterium (zakres B2:F2) i alternatyw (zakres B3:F7) czyli zastosować odwołania do odpowiednich arkuszy. b) Obliczyć Globalne Priorytety alternatyw jako sumy iloczynów elementów odpowiednych wierszy Względnych Ważności alternatyw i Względnych Ważności kryterium (kolumna G, funkcja SUMA.ILOCZYNOW). c) Zaprezentować wyniki rozwiązania problemu decyzyjnego za pomocą wykresów (rys. 10, 11). Rysunek 9. Przykład widoku arkusza Wyniki Katedra Informatyki Strona 12

13 Rysunek 10. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) Rysunek 11. Przykład wykresu (arkusz Wyniki) Katedra Informatyki Strona 13

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Istnieje wiele heurystycznych podejść do rozwiązania tego problemu,

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WYBÓR DOSTAWCY USŁUG WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE. AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI WYBÓR DOSTAWCY USŁUG

LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WYBÓR DOSTAWCY USŁUG WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE. AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI WYBÓR DOSTAWCY USŁUG 1 LOGISTYKA DYSTRYBUCJI II ćwiczenia 3 WIELOKRYTERIALNE MODELE DECYZYJNE AUTOR: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI METODY OCENY I WYBORU DOSTAWCÓW 2 Wybór odpowiedniego dostawcy jest gwarantem niezawodności realizowanych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza

ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ. Joanna Bryndza ANALIZA HIERARCHICZNA PROBLEMU W SZACOWANIU RYZYKA PROJEKTU INFORMATYCZNEGO METODĄ PUNKTOWĄ Joanna Bryndza Wprowadzenie Jednym z kluczowych problemów w szacowaniu poziomu ryzyka przedsięwzięcia informatycznego

Bardziej szczegółowo

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i Spis treści Przedmowa do wydania polskiego - Tadeusz Tyszka Słowo wstępne - Lawrence D. Phillips Przedmowa 1. : rola i zastosowanie analizy decyzyjnej Decyzje złożone Rola analizy decyzyjnej Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

http://localhost/wachowicz/negocalc.php

http://localhost/wachowicz/negocalc.php Page 1 of 8 Witryna naukowa Tomasza Wachowicza poświęcona modelowaniu i wspomaganiu negocjacji, negocjacji elekronicznych i mediacji Aktualności Publikacje Dydaktyka e-negocalc O autorze Kontakt e-negocalc

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie metody AHP do wyboru umiejscowienia nadzoru nad rynkiem finansowym

Zastosowanie metody AHP do wyboru umiejscowienia nadzoru nad rynkiem finansowym Bank i Kredyt 41 (4), 2010, 73 100 www.bankikredyt.nbp.pl www.bankandcredit.nbp.pl Zastosowanie metody AHP do wyboru umiejscowienia nadzoru nad rynkiem finansowym Wiktor Adamus*, Piotr Łasak # Nadesłany:

Bardziej szczegółowo

MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Obsługa baz danych. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 25

MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Obsługa baz danych. prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś. Kraków: 2008 04 25 MS Excel 2007 Kurs zaawansowany Obsługa baz danych prowadzi: Dr inż. Tomasz Bartuś Kraków: 2008 04 25 Bazy danych Microsoft Excel 2007 udostępnia szereg funkcji i mechanizmów obsługi baz danych (zwanych

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja wielokryterialna

Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Optymalizacja wielokryterialna Dział badań operacyjnych zajmujący się wyznaczaniem optymalnej decyzji w przypadku, gdy występuje więcej niż jedno kryterium Problem wielokryterialny

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce Autor: prof. dr hab. inż. Waldemar Kamrat Politechnika Gdańska, Katedra Elektroenergetyki ( Energetyka

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum

Kryteria oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum Kryteria oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum 1) Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym - wprowadza dane do arkusza i z pomocą wpisuje formuły, - z pomocą rozwiązuje proste zadania w arkuszu,

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik

Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik Wielokryterialne wspomaganie decyzji Redakcja naukowa Tadeusz Trzaskalik W książce autorzy przedstawiają dyskretne problemy wielokryterialne, w których liczba rozpatrywanych przez decydenta wariantów decyzyjnych

Bardziej szczegółowo

MODEL WYBORU PARTNERA BIZNESOWEGO DO WIRTUALNEGO KONSORCJUM

MODEL WYBORU PARTNERA BIZNESOWEGO DO WIRTUALNEGO KONSORCJUM MODEL WYBORU PARTNERA BIZNESOWEGO DO WIRTUALNEGO KONSORCJUM Józef GAWLIK, Sabina MOTYKA Streszczenie: W artykule przedstawiono krótką charakterystykę i istotę działania przedsiębiorstw wirtualnych w ujęciu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce 2)

Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce 2) Waldemar Kamrat 1) Zastosowanie hierarchicznej analizy problemowej w badaniach efektywności inwestowania w elektroenergetyce 2) Analytic hierarchy process application for investment effectiveness studies

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE GIMNAZJUM NR 2 W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z INFORMATYKI w klasie II gimnazjum str. 1 1. Algorytmika i programowanie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25

Testowanie hipotez. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Testowanie hipotez 1 / 25 Testowanie hipotez Aby porównać ze sobą dwie statystyki z próby stosuje się testy istotności. Mówią one o tym czy uzyskane

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych metodą AHP

Wspomaganie podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych metodą AHP Rozdział 32 Wspomaganie podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych metodą AHP Streszczenie. Rozdział zawiera propozycje wspomagania podejmowania decyzji w rozmytych bazach danych (BD). Hierarchiczna

Bardziej szczegółowo

LOGISTYKA ZAOPATRZENIA PRODUKCJI. Katedra Systemów Logistycznych

LOGISTYKA ZAOPATRZENIA PRODUKCJI. Katedra Systemów Logistycznych LOGISTYKA ZAOPATRZENIA I PRODUKCJI Katedra Systemów Logistycznych ĆwICZENIA 6 wybór DOSTAwCY wybór ODPOwIEDNIEGO DOSTAwCY JEST GwARANTEm NIEZAwODNOśCI REALIZOwANYCh DOSTAw materiałów Metody oceny i wyboru

Bardziej szczegółowo

Hierarchiczna analiza skupień

Hierarchiczna analiza skupień Hierarchiczna analiza skupień Cel analizy Analiza skupień ma na celu wykrycie w zbiorze obserwacji klastrów, czyli rozłącznych podzbiorów obserwacji, wewnątrz których obserwacje są sobie w jakimś określonym

Bardziej szczegółowo

AHP pomoże podjąć decyzję

AHP pomoże podjąć decyzję Akademia Wiedzy BCC /akademia AHP pomoże podjąć decyzję Narzędzie dla menedżerów Czy tylko intuicja? Zarządzanie projektami od kilku lat jest ważną częścią biznesu wielu firm komercyjnych (m.in. konsultingowych,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Komputerowe systemy wspomagania decyzji Computerized systems for the decision making aiding. Poziom przedmiotu: II stopnia

Komputerowe systemy wspomagania decyzji Computerized systems for the decision making aiding. Poziom przedmiotu: II stopnia Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści dodatkowych Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU Komputerowe systemy wspomagania decyzji

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1)

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wprowadzenie W przypadku danych mających charakter liczbowy do ich charakterystyki można wykorzystać tak zwane STATYSTYKI OPISOWE. Za pomocą statystyk opisowych można

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II

Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II Z nowym bitem. Informatyka dla gimnazjum. Część II Wymagania na poszczególne oceny szkolne Grażyna Koba Spis treści 1. Algorytmika i programowanie... 2 2. Obliczenia w arkuszu kalkulacyjnym... 4 3. Bazy

Bardziej szczegółowo

Raport z wyników sprawdzianu szóstoklasistów w SP Nr 40 kwiecień 2015

Raport z wyników sprawdzianu szóstoklasistów w SP Nr 40 kwiecień 2015 Raport z wyników sprawdzianu szóstoklasistów w SP Nr 40 kwiecień 2015 1 Spis treści 1. Część pierwsza sprawdzianu język polski i matematyka... 3 1.1. Podstawowe parametry statystyczne... 3 1.2. Poziom

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

MODELE DECYZYJNE Z WYKORZYSTANIEM METODY ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) W OBSZARZE TRANSPORTU

MODELE DECYZYJNE Z WYKORZYSTANIEM METODY ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) W OBSZARZE TRANSPORTU 2-2007 PROBLEMY EKSPLOATACJI 171 Adam TUŁECKI, Sylwia KRÓL Politechnika Krakowska, Kraków MODELE DECYZYJNE Z WYKORZYSTANIEM METODY ANALYTIC HIERARCHY PROCESS (AHP) W OBSZARZE TRANSPORTU Słowa kluczowe

Bardziej szczegółowo

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH 1. Przedmiot nie wymaga przedmiotów poprzedzających 2. Treść przedmiotu Proces i cykl decyzyjny. Rola modelowania matematycznego w procesach decyzyjnych.

Bardziej szczegółowo

(x j x)(y j ȳ) r xy =

(x j x)(y j ȳ) r xy = KORELACJA. WSPÓŁCZYNNIKI KORELACJI Gdy w badaniu mamy kilka cech, często interesujemy się stopniem powiązania tych cech między sobą. Pod słowem korelacja rozumiemy współzależność. Mówimy np. o korelacji

Bardziej szczegółowo

Podstawowe definicje statystyczne

Podstawowe definicje statystyczne Podstawowe definicje statystyczne 1. Definicje podstawowych wskaźników statystycznych Do opisu wyników surowych (w punktach, w skali procentowej) stosuje się następujące wskaźniki statystyczne: wynik minimalny

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2 - 1 - MS EXCEL CZ.2 FUNKCJE Program Excel zawiera ok. 200 funkcji, będących predefiniowanymi formułami, słuŝącymi do wykonywania określonych obliczeń. KaŜda funkcja składa się z nazwy funkcji, która określa

Bardziej szczegółowo

Nowe narzędzia zarządzania jakością

Nowe narzędzia zarządzania jakością Nowe narzędzia zarządzania jakością Agnieszka Michalak 106947 Piotr Michalak 106928 Filip Najdek 106946 Co to jest? Nowe narzędzia jakości - grupa siedmiu nowych narzędzi zarządzania jakością, które mają

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

AHP Analityczny Hierarchiczny Proces

AHP Analityczny Hierarchiczny Proces 1/ 38 AHP Analityczny Hierarchiczny Proces Przemysław Klęsk pklesk@wi.zut.edu.pl AHP (Thomas L. Saaty, lata 70-te) 2/ 38 Literatura ogólnie o metodzie: 1 Analytical Planning/the Logic of Priorities (Analytic

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.1 Formuły, funkcje, typy adresowania komórek, proste obliczenia.

ARKUSZ KALKULACYJNY MICROSOFT EXCEL cz.1 Formuły, funkcje, typy adresowania komórek, proste obliczenia. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: ENS1C 100 003 oraz ENZ1C 100 003 Ćwiczenie pt. ARKUSZ KALKULACYJNY

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny Excel

Arkusz kalkulacyjny Excel Arkusz kalkulacyjny Excel Ćwiczenie 1. Sumy pośrednie (częściowe). POMOC DO ĆWICZENIA Dzięki funkcji sum pośrednich (częściowych) nie jest konieczne ręczne wprowadzanie odpowiednich formuł. Dzięki nim

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe KONIECZNE PODSTAWOWE ROZSZERZAJĄCE DOPEŁNIAJACE WYKRACZAJĄCE czytać teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1

Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Wpisywanie tekstu Wprowadzenie do programu Mathcad 15 cz. 1 Domyślnie, Mathcad traktuje wpisywany tekst jako wyrażenia matematyczne. Do trybu tekstowego można przejść na dwa sposoby: Zaczynając wpisywanie

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

3.1. Na dobry początek

3.1. Na dobry początek Klasa I 3.1. Na dobry początek Regulamin pracowni i przepisy BHP podczas pracy przy komputerze Wykorzystanie komputera we współczesnym świecie Zna regulamin pracowni i przestrzega go. Potrafi poprawnie

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych. dr inż. Jakub Możaryn. Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 9 - Podstawy matematyczne automatyki procesów dyskretnych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Kody liczb całkowitych nieujemnych Kody liczbowe dzielimy na analityczne nieanalityczne (symboliczne)

Bardziej szczegółowo

WSPOMAGANIE DECYZJI WIELOKRYTERIALNYCH W ROZWIĄZYWANIU WYBRANYCH PROBLEMÓW ORGANIZACYJNYCH I MENEDŻERSKICH

WSPOMAGANIE DECYZJI WIELOKRYTERIALNYCH W ROZWIĄZYWANIU WYBRANYCH PROBLEMÓW ORGANIZACYJNYCH I MENEDŻERSKICH B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 2 25 Wiktor ADAMUS* Anna GRĘDA** WSPOMAGANIE DECYZJI WIELOKRYTERIALNYCH W ROZWIĄZYWANIU WYBRANYCH PROBLEMÓW ORGANIZACYJNYCH I MENEDŻERSKICH Zaprezentowano

Bardziej szczegółowo

Wyniki egzaminu gimnazjalnego 2014/2015 część humanistyczna język polski

Wyniki egzaminu gimnazjalnego 2014/2015 część humanistyczna język polski Wyniki egzaminu gimnazjalnego 2014/2015 część humanistyczna język polski Gimnazjum w Pietrowicach Wielkich X 2015 Opracowała Wyniki egzaminu gimnazjalnego `2015 część humanistyczna j. polski 90 85 80 75

Bardziej szczegółowo

Excel zadania sprawdzające 263

Excel zadania sprawdzające 263 Excel zadania sprawdzające 263 Przykładowe zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie 1 Wpisać dane i wykonać odpowiednie obliczenia. Wykorzystać wbudowane funkcje Excela: SUMA oraz ŚREDNIA. Sformatować

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

która metoda jest najlepsza

która metoda jest najlepsza która metoda jest najlepsza dr inż. Marek Żabka Instytut Matematyki Wydział Matematyki Stosowanej Politechnika Śląska 20 września 2012r Nowa metoda tworzenia grafiki na stronie internetowej: element,,canvas

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

A N A L I Z A W Y N I K Ó W S P R A W D Z I A N U S Z Ó S T O K L A S I S T Ó W. r o k u

A N A L I Z A W Y N I K Ó W S P R A W D Z I A N U S Z Ó S T O K L A S I S T Ó W. r o k u S Z K O Ł A P O D S T A W O W A W C Z E R N I K O W I E A N A L I Z A W Y N I K Ó W S P R A W D Z I A N U S Z Ó S T O K L A S I S T Ó W w r o k u 2 2 W R Z E S I E Ń 22 2 CELE SPRAWDZIANU. Sprawdzenie

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika

Wykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

MOŻLIWOŚCI WERYFIKACJI WYCEN WARTOŚCI NIERUCHOMOŚCI Z POMOCĄ NARZĘDZI ANALIZY WIELOKRYTERIALNEJ

MOŻLIWOŚCI WERYFIKACJI WYCEN WARTOŚCI NIERUCHOMOŚCI Z POMOCĄ NARZĘDZI ANALIZY WIELOKRYTERIALNEJ MOŻLIWOŚCI WERYFIKACJI WYCEN WARTOŚCI NIERUCHOMOŚCI Z POMOCĄ NARZĘZI ANALIZY WIELOKRYTERIALNEJ Mirosław YTCZAK, Grzegorz GINA, Maciej SZPRINGIER Streszczenie: Wycena uwarunkowana jest wieloma prawnymi

Bardziej szczegółowo

TP1 - TABELE PRZESTAWNE od A do Z

TP1 - TABELE PRZESTAWNE od A do Z TP1 - TABELE PRZESTAWNE od A do Z Program szkolenia 1. Tabele programu Excel 1.1. Wstawianie tabeli 1.2. Style tabeli 1.3. Właściwości tabeli 1.4. Narzędzia tabel 1.4.1. Usuń duplikaty 1.4.2. Konwertuj

Bardziej szczegółowo

Projekt O czym świadczy moja masa ciała i wzrost

Projekt O czym świadczy moja masa ciała i wzrost Projekt O czym świadczy moja masa ciała i wzrost Zajęcia realizowane metodą przewodniego tekstu Cel główny: Określanie masy ciała na podstawie BMI i przedstawienie konsekwencji zdrowotnych niewłaściwego

Bardziej szczegółowo

MS EXCEL KURS DLA ZAAWANSOWANYCH Z WYKORZYSTANIEM VBA

MS EXCEL KURS DLA ZAAWANSOWANYCH Z WYKORZYSTANIEM VBA COGNITY Praktyczne Skuteczne Szkolenia i Konsultacje tel. 12 421 87 54 biuro@cognity.pl www.cognity.pl MS EXCEL KURS DLA ZAAWANSOWANYCH Z WYKORZYSTANIEM VBA C O G N I T Y SZKOLENIE MS EXCEL KURS ZAAWANSOWANYCH

Bardziej szczegółowo

Analiza progu rentowności

Analiza progu rentowności Analiza progu rentowności Próg rentowności ( literaturze przedmiotu spotyka się również określenia: punkt równowagi, punkt krytyczny, punkt bez straty punkt zerowy) jest to taki punkt, w którym jednostka

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

Żurek INFOBroker. Szkolenia warsztaty konsultacje MS Excel. www.excel.jzurek.com. tel. 601 517 216

Żurek INFOBroker. Szkolenia warsztaty konsultacje MS Excel. www.excel.jzurek.com. tel. 601 517 216 Żurek INFOBroker Szkolenia warsztaty konsultacje MS Excel www.excel.jzurek.com tel. 601 517 216 MS Excel szkolenie dla początkujących i laików (program ramowy): o zastosowanie i budowa programu - do czego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z informatyki w gimnazjum klasa III Rok szkolny 2015/16

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z informatyki w gimnazjum klasa III Rok szkolny 2015/16 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z informatyki w gimnazjum klasa III Rok szkolny 2015/16 Internet i sieci Temat lekcji Wymagania programowe 6 5 4 3 2 1 Sieci komputerowe. Rodzaje sieci, topologie,

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości

Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości Działania na ułamkach zwykłych powtórzenie wiadomości. Cele lekcji a) Wiadomości. Uczeń zna pojęcia sumy, różnicy i iloczynu. 2. Uczeń zna sposób obliczania sumy ułamków zwykłych, różnicy ułamków zwykłych,

Bardziej szczegółowo

Analiza sprawdzianu 2013 klas szóstych szkoły podstawowej

Analiza sprawdzianu 2013 klas szóstych szkoły podstawowej Zespół Szkolno - Przedszkolny w Rudzicy im. Jana Pawła II Analiza sprawdzianu 2013 klas szóstych szkoły podstawowej Opracowała: mgr Magdalena Balcy SPIS TREŚCI 1. Informacje wstępne... 3 2. Charakterystyka

Bardziej szczegółowo

Uczeń otrzymuje ocenę z przedmiotu uzależnioną od opanowania przez niego wymagań edukacyjnych na określonym poziomie.

Uczeń otrzymuje ocenę z przedmiotu uzależnioną od opanowania przez niego wymagań edukacyjnych na określonym poziomie. Wymagania edukacyjne w klasie III z przedmiotu Informatyka obowiązujące w Gimnazjum Nr 4 w Bielsku-Białej. Uczeń otrzymuje ocenę z przedmiotu uzależnioną od opanowania przez niego wymagań edukacyjnych

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH. Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASYFIKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS TRZECICH Sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności uczniów 1. Odpowiedzi ustne. 2. Sprawdziany pisemne. 3. Kartkówki. 4. Testy.

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych; - badanie skuteczności nowego leku; - badanie stopnia zanieczyszczenia gleb metalami

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Scilab: macierze

Wprowadzenie do Scilab: macierze Wprowadzenie do Scilab: macierze Narzędzia Informatyki Magdalena Deckert Izabela Szczęch Barbara Wołyńska Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Agenda Definiowanie macierzy Funkcje

Bardziej szczegółowo

CZYNNIKI MOTYWUJĄCE PRACOWNIKÓW PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNICZEGO W UJĘCIU ANALITYCZNEGO PROCESU HIERARCHICZNEGO

CZYNNIKI MOTYWUJĄCE PRACOWNIKÓW PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNICZEGO W UJĘCIU ANALITYCZNEGO PROCESU HIERARCHICZNEGO FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomica 258 (49), 93 98 Anna LEWIŃSKA CZYNNIKI MOTYWUJĄCE PRACOWNIKÓW PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNICZEGO W UJĘCIU ANALITYCZNEGO

Bardziej szczegółowo

Sposoby przedstawiania algorytmów

Sposoby przedstawiania algorytmów Temat 1. Sposoby przedstawiania algorytmów Realizacja podstawy programowej 5. 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych problemów; 2) formułuje ścisły

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2

Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze

Bardziej szczegółowo

Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2

Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2 Programowanie w języku C++ Agnieszka Nowak Brzezińska Laboratorium nr 2 1 program Kontynuujemy program który wczytuje dystans i ilości paliwa zużytego na trasie, ale z kontrolą danych. A więc jeśli coś

Bardziej szczegółowo

Kryteria końcoworoczne oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum rok szkolny 2014/2015

Kryteria końcoworoczne oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum rok szkolny 2014/2015 Kryteria końcoworoczne oceniania uczniów z informatyki w klasie II gimnazjum rok szkolny 2014/2015 Ocena niedostateczny - nie stosuje się do regulaminu pracowni komputerowej, - nie zna kryteriów oceniania

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY

PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY PRZETWARZANIE I ORGANIZOWANIE DANYCH: ARKUSZ KALKULACYJNY Dr inż. Marcin Witczak Uniwersytet Zielonogórski Przetwarzanie i organizowanie danych: arkusz kalkulacyjny 1 PLAN WPROWADZENIA Profesjonalne systemy

Bardziej szczegółowo

Informatyka wspomaga przedmioty ścisłe w szkole

Informatyka wspomaga przedmioty ścisłe w szkole Informatyka wspomaga przedmioty ścisłe w szkole Prezentuje : Dorota Roman - Jurdzińska W arkuszu I na obu poziomach występują dwa zadania związane z algorytmiką: Arkusz I bez komputera analiza algorytmów,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 6: ARKUSZ MS EXCEL JAKO BAZA DANYCH

LABORATORIUM 6: ARKUSZ MS EXCEL JAKO BAZA DANYCH UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI INSTYTUT INFORMATYKI I ELEKTROTECHNIKI ZAKŁAD INŻYNIERII KOMPUTEROWEJ Przygotował: dr inż. Janusz Jabłoński LABORATORIUM 6: ARKUSZ MS EXCEL JAKO BAZA DANYCH Jeżeli nie jest potrzebna

Bardziej szczegółowo