Derywacje. Spis treści

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Derywacje. Spis treści"

Transkrypt

1 Derywacje Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, Toruń ( anow@mat.uni.torun.pl) Maj 1995 Spis treści 1 Derywacje algebr ogólnych Pojęcia wstępne Szeregi z podzielonymi potęgami Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe Pierścień wielomianów różniczkowych Twierdzenie Ritta-Raudenbusha Rozszerzeniach ciał różniczkowych Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne Ciała różniczkowo domknięte Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach Różniczkowa teoria Galois Pojęcia wstępne Problemy różniczkowej teorii Galois Ogólne fakty Wrońskiany Pierścień wielomianów różniczkowych Rozszerzenia Picarda-Vessiot Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach Dwa specjalne przypadki Rozszerzenia Liouville a Spis cytowanej literatury 15 i

2 1. Derywacje algebr ogólnych 1 1 Derywacje algebr ogólnych 1.1 Pojęcia wstępne Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Algebrą ogólną nad k lub k-algebrą ogólną nazywamy każdy lewy k-moduł A wraz z odwzorowaniem k-dwuliniowym (, ) : A A A, zwanym mnożeniem. Jeśli A jest k-algebrą ogólną, to element postaci (x, y), gdzie x, y A, zapisujemy jako xy. Dwuliniowość mnożenia oznacza, że: (αx)y = α(xy) = x(αy), (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, dla wszystkich x, y, z A, α k. Algebrą ogólną jest w szczególności każda k-algebra przemienna z jedynką lub k-algebra łączna lub k-algebra Liego. Homomorfizmem ogólnych k-algebr A i B nazywamy każde odwzorowanie k-liniowe f : A B takie, że f(xy) = f(x)f(y), dla wszystkich x, y A. Niech A będzie k-algebrą ogólną. Każde k-liniowe odwzorowanie d : A A, spełniające warunek nazywamy k-derywacją k-algebry A. d(ab) = d(a)b + ad(b), dla a, b A, Jeśli i 1,..., i s są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to przez i 1,..., i s oznaczamy nieujemną liczbę całkowitą, zwaną liczbą Newtona, zdefiniowaną wzorem i 1,..., i s = (i1+ +is)! i 1! i s!. Poniższy wzór, zwany wzorem Leibniza, jest dobrze znany w przypadku przemiennym lub łącznym. Jego dowód jest standardowym sprawdzeniem. Stwierdzenie Jeśli d jest k-derywacją ogólnej k-algebry A, to d n (xy) = i, j d i (x)d j (y), dla wszystkich n 0, x, y A. i+j=n Suma i iloczyn Liego dwóch k-derywacji są k-derywacjami. Jeśli d jest k-derywacją i α k, to αd jest k-derywacją. Jeśli algebra A posiada jedynkę, to dla każdej k-derywacji d tej algebry zachodzi równość d(1) = 0. Każdą parę postaci (A, d), gdzie A jest ogólną k-algebrą i d jest jej k-derywacją, nazywamy k- algebrą różniczkową (ogólną). Homomorfizmem k-algebr różniczkowych (A, d A ) i (B, d B ) nazywamy każdy k-algebrowy homomorfizm f : A B taki, że d B f = fd A. Złøżenie homomorfizmów jest homomorfizmem. Odwzorowanie tożsamościowe jest homomorfizmem. Zmierzamy do wykazania, że istnieje funktor z kategorii k-algebr ogólnych do kategorii k-algebr różniczkowych, który jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania (A, d) A. 1.2 Szeregi z podzielonymi potęgami Niech A będzie algebrą ogólną nad pierścieniem k (przemiennym z jedynką). Niech A = At n

3 1. Derywacje algebr ogólnych 2 będzie produktem przeliczalnej ilości k-modułu A, tzn. k-modułem wszystkich ciągów (x 0, x 1,... ), o wyrazach należących do A. Ciąg postaci (x 0, x 1,... ) oznaczać będziemy przez x nt n. Dodawanie i mnożenie przez skalar w A są więc określone następująco: x n t n + y n t n = (x n + y n )t n, Określamy w A mnożenie przyjmując α x n t n = (αx n )t n. x n t n y n t n = z n t n, gdzie z n = i+j=n i, j x i y j. Stwierdzenie Moduł A, wraz z powyższym mnożeniem, jest k-algebrą ogólną. Odwzorowanie A A, x xt 0 + 0t 1 + 0t 2 +, jest k-algebrową injekcją. Algebrę A nazywamy algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A. Stwierdzenie Jeśli algebra A jest łączna lub przemienna lub z jedynką lub Liego, to tę samą własność ma algebra A. Dowód. Jeśli p, q, j są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to p + q, j p, q = p, q, j. Stąd wynika, że jeśli x = x n t n, y = y n, z = z n są elementami należącymi do A, to (xy)z = an t n, x(yz) = b n t n, gdzie a n = p+q+j=n p, q, j (x p y q )z j, b n = p+q+j=n p, q, j x p (y q z j ). Jeżeli więc algebra A jest łączna, to a n = b n (dla wszystkich n) i stąd (xy)z = x(yz). Jest oczywiste, że jeśli A jest przemienne, to A również. Jeśli A posiada jedynkę, to element 1t 0 jest jedynką w A. Załóżmy teraz, że A jest algebrą Liego. Z powyższych wzorów wynika, że każde trzy elementy x, y, z A spełniają równość Jacobiego. Równość xx = 0, dla x = x n t n A, wynika z równości Zatem A jest k-algebrą Liego. i, i x i x i = 0, i, j x i x j + j, i x j x i = i, j (x i x j + x j x i ) = 0. Pewne własności i zastosowania algebr szeregów z podzielonymi potęgami w przypadku przemiennym opisane są w [7] , [2] oraz AlgHom i , D , , Lemat Jeśli x 0, x 1,..., y 0, y 1,... są elementami k-algebry ogólnej A, to dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n zachodzi równość i, j x i y j = p, q (x p+1 y q + x p y q+1 ). i+j=n+1 p+q=n Dowód. Sprawdzamy to tak samo jak w sytuacji przemiennej. Patrz D Niech δ A : A A będzie odwzorowaniem określonym wzorem δ A ( x n t n ) = x n+1 t n.

4 1. Derywacje algebr ogólnych 3 Stwierdzenie Odwzorowanie δ A jest k-derywacją k-algebry A. Dowód. Liniowość odwzorowania δ A jest oczywista. Niech x, y A i niech x = x n t n, y = yn t n. Pokażemy, że δ A (xy) = δ A (x)y + xδ A (y). W tym celu wykorzystamy poprzedni lemat. Sprawdzamy: ( ( ) ) δ A (xy) = δ A n i+j=n i, j x iy j t n = ( ) n i+j=n+1 i, j x iy j t n = ( ) n i+j=n i, j (x i+1y j + x i y j+1 ) = ( ) n i+j=n i, j x i+1y j t n + n = n x n+1t n n y nt n + n x nt n n y n+1t n = δ A (x)y + xδ A (y). t n ( i+j=n i, j x iy j+1 ) t n Niech (A, d) będzie ogólną k-algebrą różniczkową. Definiujemy odwzorowanie η (A,d) : (A, d) (A, δ A ), x d n (x)t n. Stwierdzenie Odwzorowanie η (A,d) jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych. Dowód. Niech η = η (A,d) i niech a, b A. Pokażemy, że η(ab) = η(a)η(b) oraz ηd = δ A d. Pierwsza równość wynika ze wzoru Leibniza: η(ab) = n dn (ab)t n = ( ) n i+j=n i, j di (a)d j (b) = n dn (a)t n n dn (b)t n = η(a)η(b). Sprawdzamy drugą równość: t n ηd(a) = n dn+1 (a)t n = δ A ( n dn (a)t n ) = δ A η(a). 1.3 Funktor prawostronnie sprzężony do funktora zapominania Niech Alg k, DAlg k oznaczają odpowiednio kategorię ogólnych k-algebr i kategorię ogólnych k-algebr różniczkowych. Niech F : DAlg k Alg k, (A, d) A, będzie funktorem zapominania. Zdefiniujemy teraz funktor G : Alg k DAlg k. Jeśli A jest ogólną k-algebrą, to przyjmujemy G(A) = (A, δ A ), gdzie A jest algebrą szeregów z podzielonymi potęgami algebry A oraz δ A : A A jest k-derywacją wprowadzoną w poprzednim podrozdziale, tzn. δ A ( n x nt n ) = n x n+1t n. Jeśli f : A B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy G(f) = f, gdzie f : A B, x n t n f(x n )t n. n n Łatwo sprawdzić, że f jest homomorfizmem k-algebr różniczkowych G(A) = (A, δ A ) i G(B) = (B, δ B ).

5 1. Derywacje algebr ogólnych 4 Twierdzenie (D 4 116). Funktor G : Alg k DAlg k jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania F : DAlg k Alg k. Innymi słowy: jeśli (A, d) jest różniczkową k-algebrą i B jest k- algebrą ogólną, to istnieje naturalny izomorfizm α DAlg k ((A, d), G(B)) Alg k (F (A, d), B). β Dowód. Jeśli B jest ogólną k-algebrą, to przez ε B : B B oznaczamy k-algebrowy homomorfizm określony wzorem n x nt n x 0. Przypomnijmy, że jeśli (A, d) jest k-algebrą różniczkową, to η (A,d) : (A, d) (A, δ A ), x d n (x)t n jest homomorfizmem różniczkowych k-algebr (patrz poprzedni podrozdział). Przyporządkowania α, β definiujemy w następujący sposób. Niech f : (A, d) G(B) = (B, δ B ) będzie homomorfizmem różniczkowych k-algebr. Wtedy przyjmujemy: α(f) = ε B F (f). Jeśli g : F (A, d) = A B jest homomorfizmem ogólnych k-algebr, to przyjmujemy: β(g) = G(g) η (A,d). Pokażemy, że funkcje α i β są wzajemnie odwrotne. Niech η = η (A,d), ε = ε B i niech a A. Wtedy: αβ(g)(a) = α(g(g)η)(a) = εf (G(g)η)(a) = ε(g(g)(η(a))) = εg(g)( n dn (a)t n ) = ε( n gdn (a)t n ) = gd 0 (a) = g(a). Zatem złożenie αβ jest tożsamością. Niech teraz f(a) = n f n(a)t n, gdzie elementy postaci f n (a) należą do B. Zauważmy, że wtedy δ n B f(a) = p f n+p(a)t p. Mamy więc: βα(f)(a) = β(εf (f))(a) = G(εF (f))η(a) = G(εF (f))( n dn (a)t n ) = n (εf (f)dn (a))t n = n (εfdn (a))t n = n (εδn B f(a))t n = n (εδn B ( p f p(a)t p ))t n = n (ε( p f n+p(a)t p ))t n = n f n(a)t n = f(a). Zatem złożenie βα jest również tożsamością. Naturalność funkcji α i β sprawdza się w standardowy sposób (szczegóły są w D ). Powyższe konstrukcje i dowody oraz Stwierdzenie świadczą o tym, że Twierdzenie zachodzi także, gdy parę kategorii (DAlg k, Alg k ) zastąpimy parą kategorii k-algebr specjalnego typu. Wniosek Niech Alg k będzie jedną z następujących kategorii k-algebr (a) łącznych, (b) łącznych z jedynką, (c) przemiennych, (d) Liego. Niech DAlg k będzie odpowiednią kategorią k-algebr różniczkowych. Wtedy funktor G : Alg k DAlg k jest prawostronnie sprzężony do funktora zapominania F : DAlg k Alg k.

6 2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 5 2 Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D 1 -D 11, DC 1, PH 3. Algebra różniczkowa, to dział algebry rozpatrujący obiekty, w których obok operacji dodawania i mnożenia występują operacje różniczkowania. Algebra różniczkowa zajmuje się między innymi pierścieniami różniczkowymi, modułami różniczkowymi, ciałami różniczkowymi, a także różniczkowymi rozmaitościami algebraicznymi. Wielomian różniczkowy, to jeden z głównych obiektów algebry różniczkowej; odpowiednik zwykłego wielomianu w algebrze przemiennej. Przypomnijmy, że algebrą Ritta nazywamy każdy różniczkowy pierścień (przemienny) zawierający ciało Q liczb wymiernych. 2.1 Pierścień wielomianów różniczkowych Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów różniczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczalnej ilości zmiennych y (0) = y, y (1), y (2),... nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R R taką, że d(y (n) ) = y (n+1). Pierścień wielomianów różniczkowych nad R zmiennych y 1,... y n (który oznacza się przez R{y 1,..., y n }) definiuje się indukcyjnie przyjmując R{y 1,..., y n } = R{y 1,..., y n 1 }{y n }. Jeśli K jest ciałem, to ciało ułamków pierścienia K{y 1,..., y n } oznacza się przez K y 1,..., y n. W szczególności K y jest ciałem ułamków pierścienia K{y}. Stwierdzenie (DC 1 70). Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to K{y 1,..., y n } d = K y 1,..., y n d = K d. 2.2 Twierdzenie Ritta-Raudenbusha Twierdzenie, o którym teraz powiemy jest różniczkową wersją twierdzenia Hilberta o bazie. Nie jest prawdą, że jeśli R jest różniczkowym pierścieniem, w którym każdy wstępujący ciąg ideałów różniczkowych stabilizuje sią, to R{y} jest również takim pierścieniem. Nie jest to prawdą nawet wtedy, gdy R jest różniczkowym ciałem. W tym przypadku mamy na przykład następujący ciąg ideałów różniczkowych, który nie stabilizuje się. [y 2 ] [y 2, d(y) 2 ] [y 2, d(y) 2, d 2 (y) 2 ].... Przez [A] oznaczamy najmniejszy ideał różniczkowy zawierający zbiór A. Mówimy, że różniczkowy pierścień R jest radykalnie różniczkowo noetherowski (w skrócie: RRN) jeśli każdy wstępujący ciąg radykalnych ideałów różniczkowych stabilizuje się. Twierdzenie (Ritta-Raudenbusha, [1] 45, D 1 222). R{y} również jest RRN. Niech R jest RRN algebrą Ritta, to Każdy zwykły pierścień przemienny jest pierścieniem różniczkowym (z zerową derywacją). Z dowodu powyższego twierdzenia można uzyskać następujący wniosek. Wniosek Jeśli R jest zwykłym radykalnie noetherowskim pierścieniem przemiennym zawierającym Q, to pierścień zwykłych wielomianów R[X] jest radykalnie noetherowski.

7 2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 6 Zanotujmy również: Wniosek Jeśli K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, to K{y 1,..., y n } jest RRN. W pierścieniu RRN każdy radykalny ideał różniczkowy jest przekrojem skończonej ilości pierwszych ideałów różniczkowych. Rozkład nieskracalny jest jednoznaczny. 2.3 Rozszerzeniach ciał różniczkowych Przez ciało różniczkowe rozumie się w ogólnym przypadku parę (K, ), w której K jest ciałem, a jest zbiorem derywacji ciała K. Mówimy, że ciało różniczkowe (L, ) jest rozszerzeniem różniczkowego ciała (K, ), jeśli K L oraz K =, tzn. = {δ K; δ }. W tym przypadku mówimy również, że ciało różniczkowe (K, ) jest różniczkowym podciałem różniczkowego ciała (L, ). Zbiór oznaczać będziemy też przez. Przez cały czas zakładać będziemy, że każdy zbiór postaci jest przemienny. Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Przekrój dowolnej ilości różniczkowych podciał jest różniczkowym podciałem. Jeśli Σ jest podzbiorem ciała L, to przez K Σ ozanczamy najmniejsze podciało różniczkowe w L zawierające K i Σ. Mówimy w tym przypadku, że K Σ jest różniczkowym rozszerzeniem ciała K generowanym przez Σ. Jeśli Σ jest zbiorem skończonym, to mówimy o rozszerzeniu skończenie generowanym. Jeśli natomiast Σ jest zbiorem jednoelementowym, to mówimy o rozszerzeniu pojedyńczym. Złożeniem różniczkowych podciał K 1 i K 2 nazywamy różniczkowe podciało K 1 K 2 = K 1 K 2 = K 2 K 1. Niech Θ będzie wolną półgrupą przemienną o bazie. Elementy półgrupy Θ nazywa się operatorami różniczkowymi. Niech A będzie podzbiorem różniczkowego ciała L K. Mówimy, że zbiór A jest różniczkowo algebraicznie zależny nad K, jeśli zbiór {θa; a A, θ Θ} jest algebraicznie zależny nad K. W przeciwnym wypadku mówimy o różniczkowo algebraicznej niezależności W podobny sposób definiuje się zależnoćć (lub niezależność) różniczkowo rozdzielczą. Dla rozszerzeń ciał różniczkowych istnieje następujący analog twierdzenia Abela o elemencie prymitywnym. Twierdzenie ([5] 4 900). Jeśli K K a 1,..., a s jest różniczkowo algebraicznym rozszerzeniem rozdzielczym, to istnieje element b taki, że K a 1,..., a s = K b. Istnieje również analog twierdzenia Lürotha (w przypadku, gdy zbiór jest jednoelementowy). Twierdzenie ([5] 4 900). takie, że M = K b. Jeśli K M K a są różniczkowymi ciałami, to istnieje b M Załóżmy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero z jedną derywacją. Niech f K{y} będzie nieprzywiedlnym wielomianem różniczkowym jednej zmiennej. Załóżmy ponadto, że a, b są elementami pewnego ciała różniczkowego zawierającego K takimi, że f(a) = f(b) = 0. Następujące pytanie, to tzw. problem Ritta. Pytanie Czy istnieje różniczkowy K-izomorfizm K a K b? Jeśli f jest wielomianem rzędu co najwyżej 2 (tzn. w wielomianie f nie występują zmienne y (s), dla S > 2), to odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnił to Ritt. Znane są różne dowody tego faktu. Istnieją też pewne drobne uogólnienia wyniku Ritta (B. Lando, R. M. Cohn). Problem jest jednak nadal otwarty.

8 2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe Rozszerzenia uniwersalne i silnie-normalne Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero (ze skończonym zbiorem, parami przemiennych derywacji). Jeśli K L jest różniczkowo skończenie generowanym rozszerzeniem ciał różniczkowych, to fakt ten zapisujemy jako K fg L. Definicja ([6]). Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K U jest uniwersalne (co zapisujemy jako K u U ) jeśli dla każdego rozszerzenia ciał różniczkowych K fg F U oraz dla każdego F fg G istnieje ciało różniczkowe F takie, że K F F U i F G nad F. Twierdzenie ([5] 4 900). Dla każdego różniczkowego ciała K charakterystyki zero istnieje różniczkowe rozszerzenie uniwersalne K u U. Niech U będzie ustalonym uniwersalnym ciałem różniczkowym charakterystyki zero i niech K będzie jego ciałem stałym. Załóżmy, że M jest ciałem różniczkowym zawartym w U i σ : M U jest różniczkowym homomorfizmem. Definicja ([5] 4 902). Mówimy, że homomorfizm σ jest silny jeśli: (1) σ(a) = a, dla wszystkich a M, (2) σ(m) KM, (3) M Kσ(M). Definicja ([5] 4 902). Niech L M U będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Mówimy, że rozszerzenie L M jest silnie-normalne jeśli: (a) L fg L, (b) każdy L-homomorfizm różniczkowy z M do U jest silny. Rozszerzenia silnie-normalne odgrywają pewną rolę w różniczkowej teorii Galois. Wyjaśnimy to później. Załóżmy teraz, że L M U jest rozszerzeniem ciał różniczkowych charakterystyki zero, przy czym rozszerzenie L U jest uniwersalne. Można udowodnić, że jeśli rozszerzenie L M jest różniczkowo skończenie generowane lub jest różniczkowo algebraiczne, to rozszerzenie M U jest uniwersalne. Twierdzenie (Kolchin 1980, [6] 82). rozszerzenie M U jest uniwersalne. 2.5 Ciała różniczkowo domknięte Na podstawie [6], PH Jeśli rozszerzenie L M jest silnie-normalne, to Z ciałami różniczkowo domkniętymi były i są nadal problemy. Ciała te pojawiły się w pracach Ritta i Seidenberga. W 1959 roku A. Robinson pokazał, na gruncie teorii logiki, że ciała różniczkowe dopuszczają modelowe dopełnienia. Podał definicję ciała różniczkowo domkniętego. Aksjomatykę takiego ciała podał L. Blum w Definicja ([6] 82). Niech K będzie ciałem różniczkowym charakterystyki zero. Mówimy, że ciało K jest różniczkowo domknięte jeśli dowolny system składający się z równania różniczkowego P (y) = 0 rzędu n (gdzie P (y) K{y}) i nierówności postaci Q(y) 0, gdzie Q(y) jest wielomianem różniczkowym należącym do K{y} rzędu ostro mniejszego od n, ma rozwiązanie w K. Dzięki wynikom prac F. Bluma, P. Bluma i S. Shelah a z lat siedemdziesiątych można było wprowadzić pojęcie różniczkowego domknięcia danego różniczkowego ciała charakterystyki zero. Definicja ([6] 82). Różniczkowym domknięciem różniczkowego ciała K nazywamy rożniczkowe ciało K takie, że: (1) K K jest rozszerzeniem ciał różniczkowych, (2) ciało K jest różniczkowo domknięte, (3) jeśli Ω jest różniczkowo domkniętym ciałem różniczkowym zawierającym K, to istnieje K- homomorfizm różniczkowy K Ω.

9 2. Wielomiany różniczkowe i ciała różniczkowe 8 Definicja ([6] 82). Mówimy,,ze różniczkowe domknięcie K jest minimalne jeśli nie istnieje różniczkowy K-homomorfizm σ : K L K, gdzie L K. Przypuszczano najpierw (G. E. Sacks 1972), że każde różniczkowe domknięcie jest minimalne. Tak jednak w ogólności nie jest. W 1973 roku Kolchin, Shelah i Rosenlicht pokazali niezależnie, że różniczkowe domknięcie ciała Q, liczb wymiernych, nie jest minimalne. M. F. Singer (lata siedemdziesiąte) udowodnił, że różniczkowe ciała rzeczywiste uporządkowane posiadają różniczkowe domknięcia i domknięcia te są minimalne. Powyższe wyniki dotyczą charakterystyki zero. Istnieją prace (np. C. Wood 1974) o podobnej tematyce dla ciał charakterystyki dodatniej. Istnieją w tym przypadku różniczkowe domknięcia, ale nie można mówić o minimalności. 2.6 Różniczkowe twierdzenie Hilberta o zerach Zakładamy, że K jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero, którego ciało stałych jest algebraicznie domknięte. Zakładamy ponadto, że Ω jest uniwersalnym ciałem różniczkowym zawaierającym ciało K. Jeśli A jest podzbiorem pierścienia K{y 1,..., y n }, to przez V(A) oznaczmy podzbiór w Ω n zdefiniowany jako V(A) = {a Ω n ; f A f(a) = 0}. Jest oczywiste, że V(A) = V((A)) = V([A]) = V({A}), gdzie (A) jest ideałem generowanym przez A, [A] jest najmniejszym ideałem różniczkowym zawierającym A oraz {A} jest najmniejszym radykalnym ideałem różniczkowym zawierającym A. Z twierdzenia Ritta-Raudenbusha (tzn. z różniczkowego twierdzenia Hilberta o bazie) wynika, że istnieje skończony podzbiór A A taki, że V(A) = V(A ). Rodzina wszystkich zbiorów postaci V(A), gdzie A K{y 1,..., y n }, spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów domkniętych. Mamy zatem topologię na zbiorze Ω n, zwaną różniczkową topologią Zariskiego. Istnieje następujący różniczkowy analog twierdzenia Hilberta o zerach. Twierdzenie ([5] 2 242). Niech f 1,..., f s będą wielomianami różniczkowymi należącymi do pierścienia K{y 1,..., y n }. Niech g K{y 1,..., y n } będzie takim wielomianem różniczkowym, który zeruje się we wszystkich punktach zbioru V(f 1,..., f s ). Wtedy pewna potęga wielomianu g należy, do ideału różniczkowego [f 1,..., f s ]. Stąd wynika w szczególności, że jeśli V(A) jest zbiorem pustym, to [A] = {A} = K{y 1,..., y n }. Następne dwa twierdzenia, to równoważne sformułowania twierdzenia powyższego. Twierdzenie Jeśli A K{y 1,..., y n }, to IV(A) = {A}, gdzie I(X) = {f K{y 1,..., y n }; f(a) = 0 dla a X}. Twierdzenie Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy zbiorami domkniętymi w Ω n, a radykalnymi ideałami różniczkowymi w K{y 1,..., y n }. Każdy zbiór domknięty w Ω n jest skończoną sumą domkniętych zbiorów nieprzywiedlnych. Zbiorom nieprzywiedlnym odpowiadają różniczkowe ideały pierwsze w K{y 1,..., y n }. Nie ma dobrych twierdzeń i algorytmów dotyczących rozkładu na sumę nieprzywiedlnych zbiorów domkniętych.

10 3. Różniczkowa teoria Galois 9 3 Różniczkowa teoria Galois Na podstawie [3], [4], [1], [5], [6], D 1, D , PH , Teczka Różniczki. 3.1 Pojęcia wstępne Ciałem różniczkowym nazywamy parę (L, d), w której L jest ciałem, a d : L L jest derywacją. Homomorfizmem ciał różniczkowych (L, d), (M, δ) nazywamy każdy homomorfizm ciał f : L M taki, że δd = fd. Mówimy, źe ciało K jest podciałem różniczkowym (krótko d-podciałem) różniczkowego ciała (L, d), jeśli d(k) K. Jeśli K jest d-podciałem w (L, d), to para (K, d K) jest ciałem różniczkowym. Włożenie K L jest wtedy homomorfizmem ciał różniczkowych. Zdanie K L są ciałami różniczkowymi oznacza, że K jest d-podciałem różniczkowego ciała (L, d). W tym przypadku mówić będziemy również, że K L jest rozszerzeniem ciał różniczkowych. Niech K L będą ciałami różniczkowymi. Zwykłą grupę Galois rozszerzenia K L oznaczamy przez G K (L). Przypomnijmy, że G K (L) jest zbiorem wszystkich K-auotomorfizmów ciała L, tzn. wszystkich automorfizmów σ : L L takich, że σ K = 1 K. Przez Gd K (L) oznaczać będziemy grupę wszystkich różniczkowych K-automorfizmów ciała L. Nazywać ją będziemy różniczkową grupą Galois rozszerzenia K L. Odwzorowanie σ : L L należy do Gd K (L) wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest zwykłym automorfizmem ciała L takim, że dσ = σd oraz σ K = 1 K. Jest oczywiste, że Gd K (L) jest podgrupą grupy G K (L). Jeśli H jest podzbiorem grupy Gd K (L), to przez L H oznaczamy zbiór L H = {a L; σ H σ(a) = a}. Zbiór L H jest d-podciałem ciała L zawierającym ciało K. 3.2 Problemy różniczkowej teorii Galois Z rozszerzeniem K L (ciał różniczkowych) stowarzyszone są dwa następujące zbiory. K = zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K M L, G = zbiór wszystkich podgrup grupy Gd K (L). Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję. Definiujemy dwa antymorfizmy (tzn. odwzorowania zmieniające inkluzję, patrz [8]) α : K G, β : G K przyjmując α(m) = Gd M (L), dla M K, β(h) = L H, dla H G. Nie jest trudno wykazać, że antymorfizmy α, β tworzą związek Galois (patrz [8]), tzn. M K M βα(m), H G H αβ(h). Mówimy, że ciało M K jest stacjonarne (lub domknięte) jeśli βα(m) = M. Mówimy, że podgrupa H G jest stacjonarna (lub domknięta) jeśli αβ(h) = H. Spełnione są założenia ogólnej teorii Galois ([8]). Mamy zatem dwa główne problemy: Problem G1. Opisać ciała i podgrupy stacjonarne. Problem G2. Kiedy odwzorowania α i β są wzajemnie odwrotne?

11 3. Różniczkowa teoria Galois Ogólne fakty Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych. Stwierdzenie Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami stacjonarnymi należącymi do K, a podgrupami stacjonarnymi należącymi do G. Dowód. Odpowiedniość tę zadaje związek Galois (α, β). Jest to oczywisty fakt ogólnej teorii Galois. Każde ciało stacjonarne jest postaci β(h), gdzie H G. Natomiast każda podgrupa stacjonarna jest postaci α(m), gdzie M K. Ponadto, αβα = α, βαβ = β. Jeśli A jest podgrupą grupy B, to przez (B : A) oznaczamy indeks grupy B względem A. Jeśli natomiast C jest podciałem ciała D, to przez (D : C) oznaczamy wymiar przestrzeni liniowej D nad C. Stwierdzenie ([1] 18, D 5 54). (1) Niech M 1, M 2 K, M 1 M 2. Jeśli (M 2 : M 1 ) = n <, to (α(m 1 ) : α(m 2 )) n. (2) Niech H 1, H 2 G, H 1 H 2. Jeśli (H 2 : H 1 ) = n <, to (β(h 1 ) : β(h 2 )) n. Stwierdzenie ([1] 19, D 5 54). (1) Niech M 1, M 2 K, M 1 M 2. Jeśli ciało M 1 jest stacjonarne i (M 2 : M 1 ) = n <, to ciało M 2 również jest stacjonarne. (2) Niech H 1, H 2 G, H 1 H 2. Jeśli podgrupa H 1 jest stacjonarna i (H 2 : H 1 ) = n <, to podgrupa H 2 również jest stacjonarna. Stwierdzenie ([1] 19, D 5 55). Niech G = Gd K (L). (1) Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w G, to σ(β(h)) = β(h), dla każdego σ G. (2) Niech M K będzie takim ciałem, że σ(m) = M, dla wszystkich σ G. Wtedy grupa α(m) jest dzielnikiem normalnym w G i grupa ilorazowa G/α(M) jest grupą wszystkich różniczkowych automorfizmów ciała M zachowujących K i dających się rozszerzyć do L. Stwierdzenie (D 5 55). Jeśli H jest dzielnikiem normalnym w Gd K (L), to αβ(h) jest dzielnikiem normalnym w Gd K (L). 3.4 Wrońskiany Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym i niech y 1,..., y n K. Definicja Wrońskianem elementów y 1,..., y n nazywamy wyznacznik (n n) macierzy [d i (y j )], gdzie i = 0,..., n 1, j = 1,..., n. Stwierdzenie ([1] 21). Elementy y 1,..., y n K są liniowo zależne nad K d wtedy i tylko wtedy, gdy wrońskian tych elementów jest równy zero. 3.5 Pierścień wielomianów różniczkowych Jeśli (R, d) jest pierścieniem różniczkowym, to przez R{y} oznaczamy pierścień wielomianów różniczkowych jednej zmiennej y nad R. Pierścień ten jest zwykłym pierścieniem wielomianów przeliczalnej ilości zmiennych y (0) = y, y (1), y (2),... nad R. Posiada on standardową derywację d, będącą rozszerzeniem derywacji d : R R taką, że d(y (n) ) = y (n+1). Załóżmy teraz, że (K, d) jest ciałem różniczkowym. Jeśli charakterystyka ciała K jest równa zero, to K{y} d = K d. Ciało ułamków pierścienia K{y} oznacza się przez K y. W zerowej charakterystyce K y d = K d (patrz DC 1 70). Pierścień wielomianów różniczkowych nad K zmiennych y 1,... y n (który oznacza się przez K{y 1,..., y n }) definiuje się indukcyjnie przyjmując K{y 1,..., y n } = K{y 1,..., y n 1 }{y n }. Ciało ułamków takiego pierścienia oznacza się zwykle przez K y 1,..., y n.

12 3. Różniczkowa teoria Galois Rozszerzenia Picarda-Vessiot Niech (K, d) będzie ciałem różniczkowym. Rozpatrzmy wielomian różniczkowy F (y) K{y} postaci F (y) = y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y (1) + a n y. Jest to jednorodny wielomian różniczkowy liniowy o współczynnikach z ciała K. Zerem tego wielomianu nazywamy każdy element b należący do ciała K (lub do różniczkowego rozszerzenia ciała K) taki, że F (b) = 0, gdzie F (b) = d n (b) + a 1 d n 1 (b) + + a n 1 d 1 (b) + a n b. Ze Stwierdzenia wynika, że wielomian F (y) może mieć, co najwyżej n zer liniowo niezależnych nad K d. Definicja Mówimy, że różniczkowe ciało L jest rozszerzeniem Picarda-Vessiot (lub PV-rozszerzeniem) ciała K względem równania F (y) = 0 jeśli: (1) ciało stałych ciała L jest identyczne z ciałem stałych ciała K, (2) istnieją elementy b 1,..., b n L, liniowo niezależne nad K d, będą zerami wielomianu F (y) i takie, że L = K b 1,..., b n (najmniejsze podciało różniczkowe ciała L, zawierające K oraz b 1,..., b n ). Jeśli K jest ciałem funkcji meromorficznych (określonych na pewnym obszarze płaszczyzny), to pewne klasyczne twierdzenie mówi, że istnieje PV-rozszerzenie każdego równania postaci F (y) = 0, gdzie F (y) jest takie, jak powyżej. Można (dosyć łatwo) podać przykład takiego PV-rozszerzenia pewnego różniczkowego ciała K (charakterystyki zero) względem pewnego równania, że różniczkowa grupa Galois tego rozszerzenia jest pełną grupą liniową GL n (K d ) ([1] 22, D 1 126). Stwierdzenie (PH 3 81). Niech K L będzie PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. Niech σ Gd K (L). Jeśli b L jest zerem równania F (y) = 0, to σ(b) również jest zerem tego równania. Dowód. Niech F (y) = y (n) + a 1 y (n 1) + + a n 1 y (1) + a n y, gdzie a 1,..., a n σ(a i ) = a i, dla i = 1,..., n oraz σd = dσ. Mamy zatem K. Wtedy 0 = σ(0) = σ(d n (b) + + a n b) = d n (σ(b)) + a n σ(b) = F (σ(b)). Stwierdzenie (PH 3 81). Niech K L = K b 1,..., b n będzie PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. Wówczas różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest izomorficzna z pewną podgrupą grupy GL n (K d ). Dowód. Niech σ Gd K (L). Z powyższych faktów wynika, że wówczas σ(b i ) = n k ij b j, k ij K d. j=1 Mamy więc przyporządkowanie σ [k ij ]. Oczywiśćie [k ij ] GL n (K d ), gdyż σ jest automorfizmem (ma więc automorfizm odwrotny). Złożeniu automorfizmów odpowiada iloczyn macierzy. 3.7 Główne twierdzenia o PV-rozszerzeniach Przedstawiamy (bez dowodów) główne fakty dotyczące PV-rozszerzeń. Twierdzenie ([3], [1] 36). Różniczkowa grupa Galois PV-rozszerzenia jest algebraiczną grupą macierzową nad ciałem stałych. Twierdzenie (Kolchin [3]). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Wówczas dla każdego równania postaci F (y) = 0 istnieje PV-rozszerzenie ciała K.

13 3. Różniczkowa teoria Galois 12 Dowód tego twierdzenia opracowany jest w D 1. Trudna część dowodu: wykazanie, że ciała stałych są identyczne. Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K L jest różniczkowo normalne (lub, że jest d- normalne) jeśli a L K σ GdK (L) σ(a) a. Stwierdzenie Niech K L będzie rozszerzeniem ciał różniczkowych i niech G = Gd K (L). Następujące warunki są równoważne. (1) Rozszerzenie K L jest d-normalne. (2) Istnieje podgrupa H G taka, że L H = K. (3) L G = K. Dowód. (3) (1). Niech a L K. Wtedy a L G, więc σ(a) a dla pewnego σ G. (1) (3). Przypuśćmy, że K L G. Niech a L G K. Wtedy a L K oraz σ(a) = a dla wszystkich σ G. Jest to sprzeczne z (1). (3) (2) oczywiste. (2) (3). H G, więc K = L H L G K, czyli L G = K. Z powyższego stwierdzenia wynika, że jeśli rozszerzenie K L jest d-normalne, to K jest ciałem stacjonarnym. Stąd wynika również, że każde rozszerzenie d-normalne jest rozszerzeniem normalnym w zwykłym (nieróżniczkowym) sensie. W charakterystyce zerowej są więc to zawsze rozszerzenia Galois. Twierdzenie ([3], [1] 36). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Wtedy każde PV-rozszerzenie ciała K jest d-normalne Załóżmy, że K L jest PV-rozszerzeniem. Wiemy (Twierdzenie 3.7.1), że wtedy różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest algebraiczną grupą macierzową. Mamy wtedy dwa następujące zbiory. K = zbiór wszystkich ciał różniczkowych M takich, że K M L, G = zbiór wszystkich algebraicznych podgrup grupy Gd K (L). Są to zbiory częściowo uporządkowane ze względu na inkluzję. Twierdzenie ([3], [1] 38). Niech (K, d) będzie różniczkowym ciałem charakterystyki zero takim, że ciało stałych K d jest algebraicznie domknięte. Załóżmy, że różniczkowe ciało (L, d) jest PVrozszerzeniem ciała (K, d). Istnieje wówczas wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy ciałami różniczkowymi należącymi do K, a podgrupami należącymi do G. Przy tej odpowiedniości podgrupom normalnym odpowiadają rozszerzenia d-normalne ciała K. 3.8 Dwa specjalne przypadki Zakładamy,że (K, d) jest różniczkowym ciałem charakterystyki zero. Niech b będzie elementem pewnego różniczkowego ciała zawierającego ciało K. Załóżmy, że b K, d(b) = a K, d(u) a, dla u K. Stwierdzenie ([1] 23, D 1 154). (1) Element b jest przestępny nad K. (2) Ciało K b jest ciałem K(b), funkcji wymiernych jednej zmiennej. (3) K b d = K d. (4) Elementy 1, b są zerami różniczkowego wielomianu F (y) K{y}, gdzie F (y) = y (2) d(a) a y(1). (5) Rozszerzenie K K b jest PV-rozszerzeniem równania F (y) = 0. (6) Różniczkowa grupa Galois Gd K (K b ) jest addytywną grupą ciała K d.

14 3. Różniczkowa teoria Galois 13 Dowód. (1). Przypuśćmy, że element b jest algebraiczny nad K. Wtedy b n + u 1 b n u n = 0, dla pewnych u 1,..., u n K. Załóżmy, że n jest minimalne. Działając derywacją d otrzymujemy nb n 1 a + d(u 1 )b n 1 + (n 1)u 1 b n 2 a + = 0. Ponieważ n jest minimalne, więc na + d(u 1 ) = 0, czyli a = d( n 1 u 1 ) wbrew temu, że a nie jest postaci d(u), dla u K. (2). Z (1) wiemy, że K(b) jest ciałem funkcji wymiernych zmiennej b nad K. Ciało K(b) jest oczywiście zawarte w K b. Każdy element z K b jest postaci G(b)/H(b), gdzie G(y), H(y) K{y}. Ponieważ d(b) K więc G(b), H(b) K[b], a zatem G(b)/H(b) K(b). (3). Najpierw pokażemy, że K[b] d = K d. Niech u n b n + +U 1 b 1 +u 0 K[b] d, gdzie u n,..., u 0 K i u n 0. Przypuśćmy, że n 1. Wtedy 0 = d(u n b n + + u 0 ) = d(u n )b n + nu n ab n 1 + d(u n 1 )b n 1 +, a zatem d(u n ) = 0 oraz nu n a + d(u n 1 ) = 0. Stąd wynika, że a = d( un 1 nu n ), wbrew temu, że element a nie jest postaci d(u), u K. Zatem n = 0, czyli K[B] d = K d. Niech teraz w K b = K(b) będzie dowolnym elementem ciała K b d. Niech w = f/g, gdzie f, g K[b]. Możemy założyć, że wielomian g jest unormowany i jego stopień jest minimalny. Jeśli deg g = 0, to w K[b] d = K. Przypuśćmy, że deg g > 0. Ponieważ d(w) = 0 więc w = f/g = d(f)/d(g). Mamy zatem sprzeczność z minimalnością stopnia (bowiem deg d(g) < deg g. (4). F (1) = d 2 (1) d(a) a d(1) = 0, F (b) = d2 (b) d(a) d(a) a d(b) = d(a) a a = 0. (5) K b = K 1, b. Elementy 1, b są liniowo niezależnymi nad K d zerami równania F (y) = 0 oraz (na mocy (2)) K b d = K d. (6). Niech σ Gd K (K b ). Wtedy d(σ(b)) = a. Istotnie, d(σ(b)) = σ(d(b)) = σ(a) = a. Zatem d(σ(b) b) = a a = 0, czyli σ(b) = b+c, dla pewnego c K b d = K d. Zachodzi też oczywiście odwrotnie; jeśli c K d, to istnieje dokładnie jeden różniczkowy automorfizm σ Gd K (K b ) taki, że σ(b) = b + c. Stąd wynika, że grupa Gd K (K b ) jest izomorficzna z grupą wszystkich liniowych K d -automorfizmów σ K d -przestrzeni liniowej K d 1 + K d b takich, że σ(b) = b + c, σ(1) = 1, czyli automorfizmów liniowych o macierzy Zatem Gd K (K b ) (K d, +). [ 1 c 0 1 ], c K d. Ciało postaci K b, gdzie b jest takim elementem jak powyżej, nazywamy rozszerzeniem całkowym ciała K. Zajmiemy się teraz drugim przykładem PV-rozszerzenia. Niech w będzie elementem pewnego różniczkowego ciała L zawierającego K. Załóżmy, że d(w) = aw, dla pewnego a K. Wówczas ciało K w pokrywa się z ciałem K(w) (najmniejszym podciałem w L zawierającym K oraz w). Jeśli element w jest taki jak powyżej i K w d = K d, to ciało K w nazywamy wykładniczym rozszerzeniem ciała K.

15 3. Różniczkowa teoria Galois 14 Stwierdzenie Wykładnicze rozszerzenie jest PV-rozszerzeniem (ciała K). Dowód. Wynika to z definicji PV-rozszerzenia. Oczywiście F (w) = 0, gdzie F = y (1) ay. Założenie K w d = K d jest tutaj istotne i może w ogólnym przypadku nie zachodzić. Przykład Niech K = k(x) będzie ciałem funkcji wymiernych jednej zmiennej x nad ciałem k charakterystyki zero. Niech d : K K będzie k-derywacją taką, że d(x) = x. Mamy wtedy różniczkowe ciało (K, d) i K d = k. Niech L = k(x, y) będzie ciałem funkcji wymiernych dwóch zmiennych. Rozszerzamy derywację d do k-derywacji ciała L przyjmując d(y) = y. Wtedy K y = k(x, y), d(y) = 1y oraz K y d K d = k, gdyż x/y K y d k. Rozszerzenie K y nie jest więc PV-rozszerzeniem ciała K. Stwierdzenie ([1] 23, D 1 154). Jeśli K w jest rozszerzeniem wykładniczym ciała K, to różniczkowa grupa Galois Gd K (K w ) jest izomorficzna z podgrupą multyplikatywnej grupy ciała K d. Dowód. Niech, tak jak poprzednio, d(w) = aw, gdzie a K. Wiemy, że K w = K(w). Niech σ Gd K (K(w)). Wtedy d(σ(w)) = σ(d(w)) = σ(aw) = aσ(w). Zatem d(σ(w)/w)) = 0, czyli σ(w)/w K(w) d = K d. Stąd wynika, że σ(w) = cw, dla pewnego niezerowego c K d. Można łatwo wykazać (D 1 160), że jeśli (K w ) jest rozszerzeniem wykładniczym i w jest elementem algebraicznym nad K, to grupa Gd K (K w ) jest skończona. Jeśli natomiast w jest elementem przestępnym nad K, to Gd K (K w ) K d {0}. 3.9 Rozszerzenia Liouville a Mówimy, że rozszerzenie ciał różniczkowych K L jest Liouville a jeśli L d = K d oraz istnieje skończony ciąg różniczkowych ciał pośrednich K = K 0 K 1 K 2 K n = L takich, że każde rozszerzenie K i K i+1 jest całkowe lub wykładnicze. Stwierdzenie ([1] 24). Jeśli K L jest rozszerzeniem Liouville a, to różniczkowa grupa Galois Gd K (L) jest rozwiązalna. Istnieją również uogólnione rozszerzenia Liouville a. Różniczkowa grupa Galois takich uogólnionych rozszerzeń jest algebraiczna i jej składowa jedności jest grupą rozwiązalną. Teoria PV-rozszerzeń została uogólniona przez Kolchina na klasę różniczkowych rozszerzeń silnienormalnych. Różniczkowa grupa Galois dla taich rozszerzeń jest również algebraiczna. Istnieje tutaj wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy różniczkowymi ciałami pośrednimi, a podgrupami różniczkowej grupy Galois.

16 Literatura 15 Literatura [1] I. Kaplansky, An Introduction to Differential Algebra, Hermann, Paris, [2] W. F. Keigher, Adjunctions and comonads in differential algebra, Pac. J. Math., 59(1975). [3] E. R. Kolchin, Algebraic matric groups and the Picard-Vessiot theory of homogeneous linear ordinary differential equations, Bull. Amer. Math. Soc., 54(1948), [4] E. R. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, New York, London, [5] Matematyczna Encyklopedia, Tomy 1-5, Moskwa, [6] A. V. Mikhalev, E. V. Pankrat ev, Differential and difference algebra, Itogi Nauki, 1987, [7] A. Nowicki, Differential ideals and rings, Ph. D. thesis (Polish), Toruń UMK, [8] A. Nowicki, Wybrane zagadnienia algebry, Preprint 1995.

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?

CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których

Bardziej szczegółowo

Pojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański

Pojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. 12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Algebraiczna geometria rzutowa

Algebraiczna geometria rzutowa Algebraiczna geometria rzutowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Czerwiec 2003 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Definicje- Algebra III

Definicje- Algebra III Definicje- Algebra III Opracowane na podstawie notatek z wykładu w semetrze zimowym roku 2007r. (mocno niekompletne- umieszczono kilka pierwszych wykładów) 21.11.2007r. Algebry Definicja1(K-algebra)- Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put

Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put Hipoteza Grothendiecka dla równania Rischa y = ay + b M. van der Put A. Nowel kwiecień 2017 Marius van der Put, Grothendieck s conjecture for the Risch equation y = ay + b. Indag. Math. (N.S.) 12 (2001),

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Algebra liniowa z geometrią. wykład I Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH

O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1 1. (a) Udowodnić, że jeśli grupa ilorazowa G/Z(G) jest cykliczna, to grupa G jest abelowa (Z(G) oznacza centrum grupy

Bardziej szczegółowo

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian

i=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian 9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM. DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie, algebry

1 Pierścienie, algebry Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Maciej Grzesiak. Wielomiany Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy 1 Grupy 1.1 Grupy 1.1.1. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 2 = a 2 b 2 dla dowolnych a, b G. Udowodnić, że grupa G jest abelowa. 1.1.2. Niech G będzie taką grupa, że (ab) 1 = a 1 b 1 dla dowolnych a,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Baza i stopień rozszerzenia.

Baza i stopień rozszerzenia. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X.

Rodzinę spełniającą trzeci warunek tylko dla sumy skończonej nazywamy ciałem (algebrą) w zbiorze X. 1 σ-ciała Definicja 1.1 (σ - ciało) σ - ciałem (σ - algebrą) w danym zbiorze X (zwanym przestrzenią) nazywamy rodzinę M pewnych podzbiorów zbioru X, spełniającą trzy warunki: 1 o M; 2 o jeśli A M, to X

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Wielomiany i rozszerzenia ciał

Wielomiany i rozszerzenia ciał Wielomiany i rozszerzenia ciał Maciej Grzesiak 1 Pierścień wielomianów 1.1 Pojęcia podstawowe Z wielomianami spotykamy się już w pierwszych latach nauki w szkole średniej. Jest to bowiem najprostsza pojęciowo

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo