POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i .

Transkrypt

1 POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne i zwięzłe przedstawienie materiału, który jest obrazowany licznymi przykładami sprawi, że nawet najbardziej skomplikowane zadnie stanie się banalnie proste. Książka obejmuje wszystkie zagadnienia obowiązujące na egzaminie maturalnym z matematyki, zarówno na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym, tj. podstawowe działania (procenty, średnie, wykresy i diagramy), funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, równania i nierówności algebraiczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, elementy logiki indukcja matematyczna, dwumian Newtona, ciągi liczbowe, funkcja i rachunek różniczkowy, planimetria, stereometria, geometria analityczna, przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i zmienna losowa oraz elementy statystyki. Nieocenioną pomocą dla sprawdzenia swojej wiedzy jest II część Matematyka nowa matura 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Książka zawiera 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań. Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można osobno. Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do egzaminu maturalnego. Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: drugie wrzesień 005 Format: A5 Ilość stron: 46 Cena detaliczna: 35,- PLN ISBN:

2 Matematyka nowa matura - 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami cz.ii. Książka zawiera 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań przeznaczoną do przygotowania się do nowej matury z matematyki. Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Doskonałym uzupełnieniem drugiej części książki jest Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz. gdzie zawarta jest teoria niezbędna do rozwiązywania zadań. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można osobno. Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do egzaminu maturalnego. Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: drugie wrzesień 005 Format: A5 Wydanie: drugie wrzesień 005 Ilość stron: 60 Cena detaliczna: 49,90 PLN ISBN: Książki można zamówić na naszej stronie internetowej w korzystnych cenach!

3 Matematyka 63 oryginalnych zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Książka zawiera 63 oryginalnych zadań maturalnych z matematyki z lat z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Publikowane zadania, stanowiące niezastąpioną bazę zadań, pochodzą ze wszystkich przeprowadzonych dotychczasowo egzaminów maturalnych tj.: próbne egzaminy maturalne, przeprowadzone przez Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Warszawie, Poznaniu, Krakowie i Wrocławiu (004), próbny egzamin maturalny (grudzień 005), egzamin maturalny (styczeń 006), egzamin maturalny (maj 005), egzamin maturalny (maj 006). Dla ułatwienia korzystania z publikacji, zadania zostały ułożone według głównych działów matematyki, z wyraźnym odznaczeniem zadań na poziom podstawowy i rozszerzony: podstawowe działania na liczbach rzeczywistych, funkcje jednej zmiennej, analiza matematyczna: ciągi liczbowe, rachunek różniczkowy, metody optymalizacji, geometria, rachunek prawdopodobieństwa ze statystyką; procent składany. Niniejsza publikacja stanowi doskonały materiał do treningu dla uczniów szkół średnich, zdających matematykę na egzaminie maturalnym i pozwoli zorientować się, czego można się spodziewać na egzaminie maturalnym z matematyki. Do książki dołączono, w postaci książeczki, zestaw wybranych wzorów matematycznych opracowany i dopuszczony przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Stanowi on dokładne odzwierciedlenie oryginalnego zestawu, z którego maturzysta korzysta na egzaminie maturalnym z matematyki. W każdej książce znajduje się zestaw wybranych wzorów matematycznych! Autor: Artur Nowoświat Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: pierwsze sierpień 006 Format: B5 Ilość stron: 34 Cena detaliczna: 9,90 PLN ISBN: Informacje i zamówienia:

4 PRÓBNA MATURA 006 Matematyka Arkusz I PEŁNE rozwiązania zadań. 7 listopada 006 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut ZADANIE. (3 pkt) Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika. ZADANIE. (4 pkt) Dany jest kwadrat o boku długości a. W prostokącie ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy niż bok kwadratu, a bok AD jest o cm krótszy od boku kwadratu. Pole tego prostokąta jest o cm większe od pola kwadratu. Oblicz długość boku kwadratu. ZADANIE 3. (5 pkt) Z prostokąta o szerokości 60 cm wycina się detale w kształcie półkola o promieniu 60 cm. Sposób wycinania detali ilustruje poniższy rysunek. Oblicz najmniejszą długość prostokąta potrzebnego do wycięcia dwóch takich detali. Wynik zaokrąglij do pełnego centymetra. ZADANIE 4. (3 pkt) 4 3 Wielomian W( ) = jest podzielny przez dwumian ( + ) pierwiastki tego wielomianu.. Wyznacz CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona

5 ZADANIE 5. (5 pkt) Dane są proste o równaniach y 3= 0, 3y 7 = 0. a) Zaznacz w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie kąt opisany układem nierówności y 3 0 3y 7 0 b) Oblicz odległość punktu przecięcia się tych prostych od punktu S = ( 3, 8). ZADANIE 6. (5 pkt) W urnie znajdują się kule z kolejnymi liczbami 0,,, 3,..., 50, przy czym kul z liczbą 0 jest 0, kul z liczbą jest itd., a kul z liczbą 50 jest 50. Z urny tej losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę z liczbą parzystą. ZADANIE 7. (6 pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy ma długość 8 cm i tworzy z przekątną ściany bocznej, z którą ma wspólny wierzchołek kąt, którego cosinus jest równy 3. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona

6 ZADANIE 8. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji y = f ( ) określonej dla 6,6 Korzystając z wykresu funkcji zapisz: a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca, b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, c) największą wartość funkcji f w przedziale 5,5, d) miejsca zerowe funkcji g( ) f ( ) =, e) najmniejszą wartość funkcji h( ) = f ( ) +. CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 3

7 ZADANIE 9. (4 pkt) Nauczyciele informatyki, chcąc wyłonić reprezentację szkoły na wojewódzki konkurs informatyczny, przeprowadzili w klasach IA i IB test z zakresu poznanych wiadomości. Każdy z nich przygotował zestawienie wyników swoich uczniów w innej formie. Na podstawie analizy przedstawionych poniżej wyników obu klas: a) oblicz średni wynik z testu każdej klasy, b) oblicz, ile procent uczniów klasy IB uzyskało wynik wyższy niż średni w swojej klasie, c) podaj medianę wyników uzyskanych w klasie IA. ZADANIE 0. (6 pkt) Dane są zbiory: { R :5 3}, B = { : 9 0} A = a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory A, B i C. R, + C = R : b) Wyznacz i zapisz za pomocą przedziału liczbowego zbiór C \ ( A B). ZADANIE. (4 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej z przedziału 4, połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o 8. a) Podaj wzór tej funkcji. b) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f w podanym przedziale. CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 4

8 ROZWIĄZANIA ZADAŃ ROZWIĄZANIE ZADANIA. cena początkowa. Wykorzystując wzór na procent składany, mamy: = 449, = 449, =, 05 9 = 500 zł. ROZWIĄZANIE ZADANIA. a = = 64, a a 4 8 = < 0 - sprzeczność 4+ 8 = = 6. a Odp. Bok kwadratu ma 6 cm. S = a, S = a( a ). Rozwiązujemy równanie: ( ) a a a a =, 4a = 0, CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 5

9 ROZWIĄZANIE ZADANIA 3. Przedstawmy pełny rysunek: Szukana szerokość prostokąta ma długość 0+ PP O Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta O P P mamy: OP + PO = OO gdzie OP = 60 + PP. O P P Przyjmując PP ( ) = mamy: + + =, = 4400 Stąd = 0. ( ) ( ) = = = = = = = Zatem = = = 0 3. Stąd = < 0- sprzeczność lub ( ) = = szerokość = ( 3 ) = 60( ) = 60( + 3) 4cm CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 6

10 ROZWIĄZANIE ZADANIA 4 Wykonujemy dzielenie ( ) ( ) = = = : Rozwiązujemy równania: = ( ) ( ) + = ( )( ) = 0 ( ) = ( + )( 3)( + 3) = ( + )( 3)( 3)( + 3) W Stąd = = 3 = 3 = 3. ROZWIĄZANIE ZADANIA 5 y 3 7 y 3 y Rozwiązujemy układ równań: y 3 = 0 3y 7 = 0 5 Odejmując równania stronami mamy y + 4 = 0, y =, 3 zatem =. Wyznaczamy odległość d: d = 3 + ( + 8) = + 36 = = = CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 7

11 ROZWIĄZANIE ZADANIA Ω= = 4= 30 4= 30, A = = = 30 = P( A ) = = 30 4 ROZWIĄZANIE ZADANIA 7 V = a b, SC = a + 4ab α Ostatecznie V = ( 4 ) = 64, Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat, więc 8 = a, stąd a = 4. Wykorzystując funkcje trygonometryczne mamy: 4 cosα = stąd = 4 zatem = 6 3 Zauważmy, że jest przekątną ściany bocznej (prostokąta) zatem ( ) 4 + b = 6, 3 b 36 + =, b =. ( ) ( ) S = = = 3 + C ROZWIĄZANIE ZADANIA 8 a) Funkcja jest rosnąca w przedziale 3,0, 3,6 b) Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla: 5,6) (,) ( 5,6. c) y ma ( 0) = w przedziale 5,5 d) Wykres funkcji f ( ) jest przesunięciem wykresu funkcji f ( ) zatem miejscami zerowymi funkcji g są: = 4, = 0, =, = o jedną jednostkę w prawo, e) Wykres funkcji h jest przesunięciem wykresu funkcji f o dwie jednostki w górę, zatem: y min a ( ) y ( ) 3 = 3 = min α a b CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 8

12 ROZWIĄZANIE ZADANIA 9 a) Średni wynik dla klasy IA wynosi: = = 5,6 30 Średni wynik dla klasy IB wynosi: = = 6,08 5 b) uczniów z 5 otrzymało więcej punktów od średniej, czyli jest to: 00% 48% 5 =. c) Uporządkujmy próbkę rosnąco: 0,,,,,,, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5 zatem me = an + an = ( ) = 5,5 + ROZWIĄZANIE ZADANIA 0 a) Rozwiązujemy nierówność: a n a n, , 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 0, 0, 0 A 8 A Rozwiązaniem nierówności 9 0 jest poniższy zbiór: B 3 3 Rozwiązujemy nierówność: < C Część wspólną zbiorów A i B zaznaczono poniżej A B 3 8 B A B Zatem końcowy wynik można przedstawić jak na poniższym rysunku. 3 ( ) C\ A B Odp. C \( A B) = ( 3,) CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 9

13 ROZWIĄZANIE ZADANIA f = 8 a) ( ) b) Najmniejszą wartością paraboli o współczynniku a > 0 jest wierzchołek paraboli. Mamy: = 0 4,. w Zatem sprawdzamy wartości funkcji na krańcach przedziału: f ( 4) = 8 8 = 0, f ( ) = 8 = 6 Odp. fmin ( ) = 6 Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A., Gliwice 006. Pełne rozwiązania zadań opracował zespół Centrum Kształcenia Akademickiego CKA. Nie są to oficjalne rozwiązania prezentowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentów rozwiązań zadań w jakiejkolwiek postaci jest zabronione bez zgody CKA. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną a także kopiowanie na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. CKA 006. Plik pobrany ze strony - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz I strona 0