FREQUENCY ANALYSIS OF VIBRATION ISOLATION SYSTEM WITH MAGNETIC SPRING

Transkrypt

1 JACEK SNAMINA, PIOTR HABEL ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADU WIBROIZOLACJI ZE SPRĘŻYNĄ MAGNETYCZNĄ FREQUENCY ANALYSIS OF VIBRATION ISOLATION SYSTEM WITH MAGNETIC SPRING S t r e s z c z e n i e A b s t r a c t W artykule przedstawiono analizę częstotliwościową układu wibroizolacji ze sprężyną magnetyczną. Podstawowymi elementami sprężyny magnetycznej są magnesy neodymowe oraz odpowiednio skonstruowany obwód magnetyczny zawierający układ cewek zasilanych z zewnętrznego źródła. Wyznaczono rodzinę charakterystyk amplitudowo-częstotliwościowych dla różnych wariantów konfiguracji sprężyny magnetycznej. Słowa kluczowe: sprężyna magnetyczna, analiza częstotliwościowa wibroizolacji The paper summarizes frequency analysis of the vibration isolation system with magnetic spring. The basic elements of magnetic spring are neodymium magnets and especially designed magnetic core includes coils system which are supplied from an external source. The family of amplitude-frequency characteristics for different configuration of magnetic spring were determined. Keywords: magnetic spring, frequency analysis of vibration isolation Dr hab. inż. Jacek Snamina, mgr inż. Piotr Habel, Katedra Automatyzacji Procesów, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki, AGH Akademia Górniczo-Hutnicza.

2 224 Oznaczenia A amplituda [m] f częstotliwość [Hz] F siła [N] i natężenie prądu [A] m masa [kg] x przemieszczenie [m] 1. Wstęp W ostatnich latach obserwuje się duże zainteresowanie aktywnymi układami wibroizolacji w związku ze stałym rozwojem przemysłu maszynowego. W celu lepszej ochrony użytkowników przed drganiami powstają nowoczesne układy wibroizolacji oraz algorytmy sterowania. Tradycyjne metody redukcji drgań związane z zastosowaniem elementów pasywnych są w wielu przypadkach nieefektywne. Zupełnie nowe możliwości dają aktywne metody sterowania drganiami, do których można zaliczyć układ ze sterowaną sprężyną magnetyczną. Zastosowanie sprężyny magnetycznej w układach wibroizolacji jest tematem artykułów oraz przedmiotem patentów. Puppin i Fratello [1] przedstawiają zastosowanie sprężyny magnetycznej do wibroizolacji zawieszenia płyty. Praca ta nie uwzględnia jednak możliwości sterowania sztywnością układu. Zainstalowanie układu magnesów stałych i cewek równolegle z tłumikiem i sprężyną mechaniczną zostało zaproponowane w pracy [2] przez autorów: Mizuno, Takasaki, Kishita i Hirakawa. Rozważany układ o dwóch stopniach swobody przedstawiono w kilku konfiguracjach układu wibroizolacji. Autorzy przeprowadzili analizę teoretyczną oraz potwierdzili wyniki obliczeń pomiarami przeprowadzonymi na obiekcie laboratoryjnym. Patent USA nr [3] przedstawia możliwość wykorzystania elektromagnesu równolegle do sprężyny mechanicznej. Powstały w ten sposób układ zapewnia zmianę właściwości mechanicznych poprzez ograniczenie zjawiska rezonansu. Wpływa to istotnie na zachowanie całego układu, zwłaszcza w obszarze częstotliwości rezonansowych. 2. Charakterystyka sprężyny magnetycznej Sprężyna magnetyczna została skonstruowana jako element, który będzie wykorzystany w aktywnych układach wibroizolacji. Zmieniając natężenie prądu płynącego w cewkach, można sterować siłą wytwarzaną przez sprężynę. Cewki będące elementem układu magnetycznego sprężyny są zasilane z zewnętrznego, sterowanego źródła prądu Zasada działania sprężyny magnetycznej Schemat sprężyny magnetycznej przedstawiono na rys. 1. Dwa neodymowe magnesy górne (1) zamocowane są do końca trzpienia prowadzącego (7), a kolejne dwa (2) do obudowy w punkcie leżącym w osi sprężyny. Magnesy zostały zamocowane w sposób, aby siły oddziaływania pomiędzy nimi były siłami odpychającymi. Trzpień prowadzący (7) umożliwia ruch magnesów górnych (1) w osi sprężyny dzięki umieszczeniu go w łożysku

3 225 liniowym (8). Obwód magnetyczny składa się z czterech rozgałęzień bocznych (3), na których znajdują się cewki (6), części górnej (4) oraz części dolnej (5), do której przymocowane są magnesy dolne (2). Odpowiednie ułożenie wszystkich elementów zapewniają obudowy górna (9) oraz dolna (10) połączone ze sobą za pomocą czterech prętów stabilizujących konstrukcję (11). Umieszczone w obwodzie magnetycznym cztery cewki (6) wpływają na rozkład pola magnetycznego w przestrzeni pomiędzy magnesami. Dzięki zmianie natężenia prądów płynących w cewkach istnieje możliwość sterowania polem magnetycznym, a w efekcie siłą sprężyny. Rys. 1. Schemat sprężyny magnetycznej Fig. 1. Scheme of magnetic spring 2.2. Zastosowanie MES w celu wyznaczenia parametrów sprężyny magnetycznej Na etapie projektowania sprężyny magnetycznej zbudowano model MES przedstawiony na rys. 2. Model sprężyny posiada dwie płaszczyzny symetrii. Do przeprowadzenia symulacji działania sprężyny przyjęto następujące parametry magnesów neodymowych użytych w prototypie sprężyny magnetycznej koercję magnetyczną H c = ,8 A/m Rys. 2. Model MES sprężyny magnetycznej w programie ANSYS Fig. 2. FEM Model of magnetic spring in ANSYS Rys. 3. Indukcja magnetyczna w modelu sprężyny magnetycznej Fig. 3. Magnetic flux density in magnetic spring model

4 226 oraz indukcję resztkową B r = 1,28 T. Model sprężyny magnetycznej wykonano w programie CATIA V5R17. Obliczenia zostały wykonane z użyciem programu ANSYS Przykładowy wynik obliczeń pokazano na rys Badania laboratoryjne sprężyny magnetycznej Zdjęcie stanowiska laboratoryjnego przedstawiono na rys. 4. Układ napędowy wzbudnika drgań wyposażono w siłownik hydrauliczny (H) dwustronnego działania z jednostronnym tłoczyskiem posiadającym wbudowany czujnik położenia BALLUFF BTL5. Siłownik hydrauliczny jest sterowany za pomocą serwozaworu (S) MOOG model D typ S63FOFMAVPL oraz zasilany przez agregat hydrauliczny (A). Zadane wymuszenie kinematyczne platformy dolnej (PD), do której jest przymocowana obudowa sprężyny magnetycznej (O), jest realizowane za pomocą siłownika hydraulicznego. Czujnik siły (F) ZEPWN typ CL 16 nr 4374 jest zainstalowany w osi sprężyny pomiędzy trzpieniem prowadzącym (W) a platformą górną (PG). Siła oddziaływania sprężyny magnetycznej w badanym układzie to siła działająca między obudową sprężyny a trzpieniem prowadzącym sprężyny (W) oraz jednocześnie między platformą dolną a platformą górną. Platforma górna zastała utwierdzona. Wraz ze zmianą położenia platformy dolnej następuje zmiana siły oddziaływania pomiędzy magnesami. Cewki (C) zainstalowane na specjalnie skonstruowanym magnetowodzie są zasilane z zasilaczy stałoprądowych (Z) MeanWell SP Przeprowadzone badania laboratoryjne potwierdzają obliczenia symulacyjne. Błąd względny wyników obliczeń siły oddziaływania sprężyny nie przekracza 13%, co jest wynikiem zadowalającym przy przyjętych uproszczeniach. Rys. 4. Stanowisko laboratoryjne Fig. 4. Experimental set-up

5 3. Algorytm sterowania sprężyną magnetyczną 227 Siła oddziaływania sprężyny magnetycznej F mag może zostać zapisana w postaci sumy: F mag = F stat + F i (1) w której F stat oznacza siłę oddziaływania magnesów, gdy cewki są nieaktywne (i = 0 linia ciągła na rys. 5), natomiast F i jest dodatkową składową siły występującą po załączeniu prądu płynącego w cewkach (i 0). Sterowanie siłą oddziaływania sprężyny magnetycznej F mag polega na takim zasilaniu cewek, aby siła F i była proporcjonalna do prędkości wibroizolowanej bryły. Biorąc pod uwagę zależność siły od natężenia prądu, cewki powinny być zasilane prądem o natężeniu proporcjonalnym do prędkości bryły. Natężenie prądu w cewkach może być zmieniane w przedziale i < 7:7> A. Zmiana pomiędzy charakterystykami statycznymi przedstawionymi na rys. 5 jest uzyskana w wyniku zmiany natężenia prądu w założonym przedziale. W przypadku zasilania cewki prądem i = 7 A wartość siły F mag jest oznaczona linią przerywaną, dla prądu i = 7 A wartość siły F mag oznaczono linią kropkowaną (rys. 5). Krzywe przedstawiające wartość siły w funkcji przemieszczenia zostały aproksymowane wielomianem trzeciego stopnia F(x,i) = a 3 (i)x 3 + a 1 (i)x + a 0 (i). Współczynniki a 0 (0), a 1 (0), a 3 (0) są współczynnikami wielomianu dla wartości prądu i = 0 (linia ciągła na rys. 5). Zakres siły F i, którą można uzyskać sterując natężeniem prądu i, przedstawiono na rys. 6. Rys. 5. Charakterystyka statyczna sprężyny magnetycznej Fig. 5. Static characteristic of magnetic spring Rys. 6. Porównanie sił dla zasilania i = ±7 A względem F i = 0 N Fig. 6. Force comparison between forces for current i = ±7 A and F i = 0 N W obliczeniach przyjęto algorytm sterowania prądem i w zależności od wartości prędkości v. Prędkość maksymalna v max bryły o masie m została wyznaczona iteracyjnie na podstawie badań symulacyjnych przebiegów czasowych. Jednostka sterująca skaluje wartość prądu w zależności od aktualnej wartości prędkości bryły v(t). Prąd i = 7 A jest sygnałem sterującym w przypadku v(t) = v max, wtedy F i = F max (rys. 6). Prąd i = 7 A jest sygnałem sterującym w przypadku v(t) = v max, wtedy F i = F min (rys. 6). Dla prędkości

6 228 v(t) = 0 cewki są nieaktywne i = 0 A, wtedy F i = 0 N (rys. 6). W wyniku działania jednostki sterującej siła F i jest siłą skierowaną przeciwnie do prędkości, a więc siłą tłumiącą ruch bryły. Charakterystyki statyczne dla wartości prądu i = 7, 0, 7 A były podstawą do określenia funkcji dwóch zmiennych opisującej zależność siły F mag od przemieszczenia x < 0,008:0,008> m oraz prądu i < 7:7> A. Zależność siły od przemieszczenia i prądu zobrazowano graficznie w postaci powierzchni na rys. 7. Rys. 7. Siła oddziaływania pomiędzy magnesami w funkcji przemieszczenia x [m] oraz wartości natężenia prądu i [A] Fig. 7. The interaction force between the magnets as a function of displacement x [m] and the value of current i [A] 4. Analiza częstotliwościowa układu wibroizolacji Istotnym elementem badania układów drgających jest analiza zachowania się układu przy wymuszeniu zmiennym sinusoidalnie o różnych częstotliwościach. Charakterystyki częstotliwościowe układów nieliniowych zostały omówione w [4, 5, 6, 7]. Metody opisane w pozycji [7] zawierają adaptację konwencjonalnej funkcji opisującej dla członów odcinkowo-liniowych. Metody analizy częstotliwościowej zawarte w pracach [5, 6] wykorzystują metodę Galerkina, metodę bilansów harmonicznych oraz metodę małego parametru. Rozważany układ wibroizolacji sprężyny magnetycznej przedstawiono na rys. 8. Analizę częstotliwościową układu wibroizolacji o jednym stopniu swobody z wykorzystaniem sprężyny magnetycznej wykonano metodą Galerkina. Obliczenia symulacyjne przeprowadzono z zastosowaniem programu MATLAB R2009b. Rys. 8. Schemat układu wibroizolacji Fig. 8. Scheme of the vibration isolation

7 Równania drgań wymuszonych układu mają postać: 0 mag 229 mx ɺɺ = P cos( ϖt) F (2) Współrzędna x opisuje położenie bryły o masie m względem położenia równowagi statycznej. Rozwiązanie przybliżone zakładamy w postaci: M x = Am φm ( t) (3) m= 1 Jako funkcje aproksymujące przyjęto w obliczeniach: φ ( t) = cos( ϖ t) oraz φ ( t) = 1 2 = sin( ϖ t). Założone rozwiązanie równania (2) przyjmuje wobec tego postać: x = A cos( ϖ t) + A sin( ϖ t) (4) 1 2 w metodzie Galerkina spełnione muszą być warunki ortogonalności: T ( mx ɺɺ + F mag P 0 cos( ϖ t )) φ m ( t ) dt = 0 (5) 0 Podstawiając założone rozwiązanie (3) do warunków ortogonalności (5) i kolejno całkując, otrzymano układ dwóch nieliniowych równań algebraicznych (6), w których niewiadomymi są współczynniki A 1 i A a3vmax A1 A 16mϖ vmax A1 + d3ϖ A1 A + 16a1v max A1 + 2d1ϖ A1 A ϖ e0vmax A2 + 16P0 vmax = a3v max A2 A 16mϖ vmax A2 + d3ϖ A2 A + 16a1v max A2 + 2d1ϖ A2 A + 8 ϖ e0vmax A1 = 0 gdzie A jest amplitudą drgań bryły o masie m wyrażona wzorem: (6) A = A + A (7) W obliczeniach przyjęto następujące oznaczenia: współczynniki a 0, a 1, a 3 są współczynnikami wielomianu opisującego siłę F stat (dla wartości prądu i = 0), współczynniki b 0, b 1, b 3 wprowadzono przy opisie siły F max (dla wartości prądu i = 7 A), natomiast współczynniki c 0, c 1, c 3 występują w opisie siły F min (dla wartości prądu i = 7 A). Współczynniki d i i e i zostały wprowadzone jako pomocnicze według następującej zależności: d i = b i + c i 2a i oraz e i = b i c i dla i = 0, 1, 3. Wykorzystując zależności (6), (7), otrzymano ostatecznie równanie krzywej rezonansowej: d3( a1 mϖ ) 4 8 d1( a1 mϖ ) 2 8e 0 A 24ϖ vmax a3d3 A + + 2a3d1 A + A A a + v + A ϖ (2 d + A d ) = 256P v mϖ 4a max max (8)

8 230 ϖ Zależność amplitudy drgań A od częstotliwości wymuszenia f = można przed- 2 π stawić graficznie w postaci krzywych rezonansowych (rys. 9). Krzywe rezonansowe wykreślono dla trzech wartości amplitudy wymuszenia P 0 = 30, 60, 120 N. Wraz ze wzrostem siły wymuszającej P 0 wartość amplitudy A wzrasta. Wykorzystanie cewek zgodnie z przyjętym algorytmem obniża amplitudę drgań. Największy efekt redukcji drgań występuje przy wykorzystaniu wszystkich czterech cewek. Liczba aktywnych cewek wpływa na położenie krzywej rezonansowej. Kiedy wzrasta liczba cewek, krzywa rezonansowa obniża się, co jest związane z lepszą efektywnością tłumienia drgań. Rys. 9. Krzywe rezonansowe dla siły wymuszającej: a) P 0 = 30 N, b) P 0 = 60 N, c) P 0 = 120 N Fig. 9. Resonance curves for exciting force: a) P 0 = 30 N, b) P 0 = 60 N, c) P 0 = 120 N 5. Wnioski Uzyskane wyniki pozwalają na analizę zachowania się układu wibroizolacji w zakresie częstotliwości f <0:15> Hz, uwzględniając przy tym różne warianty sterowania układem. Ilość aktywnych cewek ma wpływ na zachowanie się układu wibroizolacji dla zadanej częstotliwości. Najlepszy efekt tłumienia drgań występuje z wykorzystaniem czterech cewek linia ciągła na rys. 9. Rozważana sprężyna magnetyczna posiada charakterystykę twardą krzywa rezonansowa jest pochylona w prawo. Proponowana sprężyna magnetyczna może zostać zastosowana w wibroizolacji maszyn roboczych.

9 L i t e r a t u r a 231 [1] P u p p i n E., F r a t e l l o V., Vibration isolation with magnet spring, Review of Scientific Instruments, [2] M i z u n o T., T a k a s a k i M., K i s h i t a D., H i r a k a w a K., Vibration isolation system combining zero-power magnetic suspension with springs, Control Engineering Practice, [3] Patent USA nr , Spring neutralized magnetic vibration isolator. [4] M e i r o v i t c h L., Elements of vibration analysis, McGraw-Hill Publishing Company, [5] Ł u c z k o J., Drgania regularne i chaotyczne w nieliniowych układach mechanicznych, Monografia, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków [6] A w r e j c e w i c z J., Dynamika nieliniowa maszyn, Wydawnictwo Politechniki Łódzkiej, Łódź [7] G i b s o n J., Nieliniowe układy sterowania automatycznego, WNT, Warszawa 1968.