Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Modelowanie matematyczne elementów systemu sterowania (obwody elektryczne, mechaniczne i płynowe) Zadania do ćwiczeń termin T3 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Michał Grochowski, dr inż. Robert Piotrowski, dr inż. Tomasz Rutkowski, dr inż. Gdańsk, październik

2 Zadanie 1 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem wejściowym a napięciem wyjściowym u wy (t) nieobciążonego prądowo czwórnika RR (dzielnik napięcia) przedstawionego na Rysunku 1. R1 i R1 (t) i obc (t) u R1 (t) u R2 (t) i R2 (t) R2 u wy (t) Rysunek 1. Czwórnik RR (dzielnik napięcia) Zadanie 2 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem wejściowym a napięciem wyjściowym u wy (t) nieobciążonego prądowo czwórnika RC (kondensator ładowany przez rezystor) przedstawionego na Rysunku 2. R i R (t) i obc (t) u R (t) u C (t) i C (t) C u wy (t) Rysunek 2. Czwórnik RC 2

3 Zadanie 3 Zbudować model matematyczny umożliwiający badanie zależności pomiędzy napięciem wejściowym a prądem płynącym przez układ i RL (t) czwórnika RL przedstawionego na Rysunku 3. R i RL (t) u R (t) u L (t) L Rysunek 3. Obwód RL Zadanie 4 Dany jest układ elektryczny przedstawiony na rysunku 4. W i RL R L i C u w (t) u R (t) u L (t) i Ro u Ro (t) R 0 C u C (t). Rysunek 4. Obwód z rozładowanym kondensatorem Do zacisków układu podłączone jest napięcie uwe( t) = E. W chwili tuż przed włączeniem t 0 wyłącznika W w obwodzie panują następujące warunki t 0 0 u C. W chwili t=0 zostaje włączony wyłącznik W. Zbudować model matematyczny pozwalający badać zależność przebiegu napięcia na kondensatorze przy zadanym napięciu. 3

4 Zadanie 5 Rozpatrzmy system mechaniczny amortyzatora samochodowego, przedstawiony na Rysunku 5. Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał badanie zależności pomiędzy siłą f(t) działającą na masę m a jej przesunięciem wzdłuż osi y oraz pomiędzy siła f(t) a prędkością masy m wzdłuż osi y. a) b) f(t) m y k B gdzie: m masa nadwozia samochodu k współczynnik sprężystości amortyzatora B współczynnik tłumienia amortyzatora Rysunek 5 Amortyzator samochodowy: a) rzeczywisty amortyzator samochodowy (foto: b) prosty model ideowy amortyzatora samochodowego Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 5, zgodnie z wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia: - ruch odbywa się w płaszczyźnie w kierunku zaznaczonej osi y, - na system nie oddziaływają żadne zewnętrzne siły poza siłami przedstawionymi na Rysunku 5. Z założeń wynikają następujące fakty: - system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż tylko jednej osi y, - nie uwzględniamy żadnej z sił, która nie jest zaznaczona na Rysunku 5 jako siła zewnętrzna, - nie uwzględniamy siły ciążenia, w zadaniu się o niej nie wspomina (jej uwzględnienie wprowadza jedynie drobne modyfikacje do modelu wynikowego), - uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona), 4

5 - dodatkowo uwzględniamy następujące siły: zewnętrznego wymuszenia f(t), siłę sprężystości i tłumienia amortyzatora. Zadanie 6 Rozpatrzmy system mechaniczny połączenie sprężyste pomiędzy lokomotywą a wagonikiem przedstawiony na Rysunku 6. Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał analizę zachowania systemu (położenie i prędkości lokomotywy i wagonika) ze względu na parametry połączenia sprężystego pomiędzy lokomotywą a wagonikiem. a) b) x f t k m 1 m 2 Rysunek 6. System mechaniczny lokomotywa-wagonik : a) układ rzeczywisty (foto: b) prosty model ideowy składu lokomotywa-wagonik Przy budowie modelu matematycznego systemu mechanicznego na Rysunku 6, zgodnie z wymogami zadania przyjmujemy następujące założenia: - kolejka porusza się na płaszczyźnie, w jednym kierunku wzdłuż zaznaczonej osi x ze stałą prędkością, 5

6 - na układ działa siła ciążenia, kolejka może się poruszać z dużymi prędkościami względnymi w wyniku czego należy uwzględnić siłę tarcia tocznego w odpowiedniej postaci (siła tarcia tocznego zależna od prędkości). Z założeń wynikają następujące fakty: - system nie będzie się nam bujał na boki, porusza się na płaszczyźnie wzdłuż jednej osi, - uwzględniamy siłę bezwładności (II zasad dynamiki Newtona), - uwzględniamy siłę ciążenia, - dodatkowo uwzględniamy siły: zewnętrznego wymuszenia f(t) (napęd lokomotywy), siłę sprężystości połączenia lokomotywa-wagonik (masa m1 masa m2), siła tarcia tocznego na styku kółka kolejki a tory (zależną od prędkości po ponieważ kolejka porusza się z dużymi prędkościami względnymi co wynika z założenia zadania). W przypadku małych prędkości względnych, siła tarcia nie zależałaby od prędkości. Uwzględnienie jej w takiej postaci nieznacznie zmodyfikuje dalsze równania. Zadanie 7 Rozpatrzmy system płynowy ( zbiornik ze swobodnym wypływem ) przedstawiony na Rysunku 7. Opracujemy taki model matematyczny wspomnianego systemu, który będzie umożliwiał analizę zależności pomiędzy poziomem wody w zbiorniku h a natężeniem dopływu wody Q we do zbiornika. Natężenie dopływu wody Q we Powierzchnia lustra wody A Poziom wody w zbiorniku h Objętość wody w zbiorniku V Zawór Natężenie wypływu wody Q wy Rysunek 7. System płynowy zbiornik ze swobodnym wypływem. 6