Zadania. Oblicz PKB tej gospodarki 3 sposobami. Czy w tej gospodarce spełniony jest warunek bilansowania się oszczędności i inwestycji.

Transkrypt

1 Makroekonomia II Dr Michał Gradzewicz Zadania Pomiar wielkości makroekonomicznych Zad 1. (pomiar PKB 3 sposobami) Poddajmy analizie gospodarkę składająca się z 2 producentów: ziarna i chleba. W danym roku producent ziarna wytwarza ton ziarna, sprzedaje ton producentowi chleba po 3 USD za tonę, eksportuje ton po 3 USD za tonę i resztę odkłada na zapasy. Producent ziarna płaci również USD płac swoim pracownikom. Producent chleba wytwarza sztuk chleba i sprzedaje wszystko krajowym konsumentom po 2 USD. Producent chleba ponosi również koszty wynagrodzeń w wysokości USD. Konsumenci importują również sztuk chleba po 1 USD sztuka i do nich należą zyski generowane przez oba przedsiębiorstwa. Oblicz PKB tej gospodarki 3 sposobami. Czy w tej gospodarce spełniony jest warunek bilansowania się oszczędności i inwestycji. Zad 2. (pomiar PKB 3 sposobami) Wyobraźmy sobie gospodarkę składającą się z farmera, restauracji, rządu, zagranicy i gospodarstw domowych (świadczących pracę dla pozostałych podmiotów krajowych i będących konsumentami). Farmer wytwarza 13 marchewek. Przetrzymuje 3 marchewki jako zapasy, a sprzedaje na rynku 10 marchewek po 2 PLN każda. Rolnik płaci 5 PLN swoim pracownikom, 0,5 PLN kosztów pożyczki od niektórych konsumentów i 1,5 PLN podatków (od produkcji). 4 marchewki są sprzedawane bezpośrednio konsumentom (po 2 PLN każda), a 6 marchewek farmer sprzedaje restauracji przygotowującej zupę marchewkową. Restauracja kupuje również 2 marchewki z zagranicy, wycenianych w walucie krajowej na 2 PLN każda. Restauracja sprzedaje zupy za 30 PLN, płaci 4 PLN swoim pracownikom oraz 3 PLN podatków (od producenta). Konsumenci pracują dla obu firm oraz dla rządu, trafiają do nich również zyski producentów oraz płatności odsetkowe od farmera. Ponadto, płacą 1 PLN podatków dochodowych. Rząd finansuje zebranymi podatkami armię, czyli płaci wynagrodzenia dla części gospodarstw domowych pracujących w wojsku. Oblicz PKB tej gospodarki 3 sposobami. Czy w tej gospodarce spełniony jest warunek bilansowania się oszczędności i inwestycji. 1

2 Zad 3. (pomiar nominalnego i realnego PKB) W gospodarce produkowane są 2 dobra: pociągi oraz lemoniada. Ceny obu dóbr oraz produkowane ilości w 2 okresach dane są poniżej: Rok 1 Rok2 Pociągi Lemoniada Cena P P 1 = 1000 P L 1 = 1 Ilość Q P 1 = 20 Q L 1 = 1000 Cena P P 2 = 1500 P L 2 = 1.1 Ilość Q P 2 = 25 Q L 2 = 1200 a. Policz nominalny PKB w każdym roku i tempo jego wzrostu. b. Policz realny PKB dla obu okresów w cenach bazowych roku 1 i jego stopę wzrostu (tzw. indeks Laspeyresa). Policz deflator PKB i stopę inflacji. Czy suma stopy wzrostu realnego PKB i stopy wzrostu deflatora równa się stopie wzrostu PKB nominalnego? c. Policz realny PKB dla obu okresów w cenach bazowych roku 2 i jego stopę wzrostu (tzw. indeks Paashego). Policz deflator PKB i stopę inflacji. d. Policz wzrost PKB wg. metody Fishera (chain-weighted growth rate). Jeśli teraz wybierzesz arbitralnie rok 1 jako bazowy, to jaki będzie realny poziom PKB w roku 2? Jaka będzie wtedy stopa inflacji. Czy stopy inflacji i wzrostu PKB składają się do wzrostu nominalnego? Zad.4 (wzrost gospodarczy) Załóżmy, że znamy długookresowe (przeciętne) tempo wzrostu danej gospodarki g. Po ilu latach poziom PKB ulegnie podwojeniu, jeśli g = 1%, g = 2%, g = 4%? Zad. 5 (niwelowanie różnic rozwojowych) Rozważmy sytuację 2 gospodarek. Gospodarka 1 jest początkowo bardziej rozwinięta (ma wyższy poziom PKB), ale jej długookresowe roczne tempo wzrostu g 1 jest niższe, z kolei gospodarka 2 jest w punkcie startowym mniej rozwinięta (załóżmy, że 2 razy mniej), ale rośnie szybciej (w tempie g 2 ). Po ilu latach dystans rozwojowy pomiędzy obiema gospodarkami zmniejszy się dwukrotnie (czyli w tym przypadku będą miały podobny poziom PKB), jeśli g 1 = 2%, g 2 = 4%. Czy ten czas zależy relatywnego poziomu rozwoju w okresie początkowym? 2

3 Teoria wzrostu model Solowa Zad 1. (model Solowa w czasie ciągłym, bez postępu technologicznego) Gospodarka, spełniająca założenia modelu Solowa charakteryzuje się funkcją produkcji Cobba-Douglasa postaci F(K, L) = 10 KL. Stopa oszczędzania wynosi 0.8, stopa deprecjacji kapitału δ = 0.07 a populacja rośnie w tempie n = a. Jaką postać ma funkcja produkcji w formie intensywnej? b. Ile wynosi k, y, r oraz K w stanie ustalonym? W jakim tempie rośnie K, Y, Y w stanie Y L ustalonym? Czy na te dynamiki wpływa stopa oszczędności? c. Czy gospodarka ta jest dynamicznie efektywna? Co wynika z analizy dynamicznej efektywności tej gospodarki? d. Jak musiałaby by być stopa oszczędności, aby gospodarka ta osiągnęła stan nazywany złota regułą? Co to oznacza dla konsumpcji? Zad 2. (model Solowa w czasie ciągłym, z postępem technologicznym) Gospodarka, spełniająca założenia modelu Solowa charakteryzuje się funkcją produkcji Cobba-Douglasa postaci F(K, A L) = K α (A L) 1 α. Stopa oszczędzania wynosi s, stopa deprecjacji kapitału δ, populacja rośnie w tempie n, a postęp technologiczny rośnie w tempie g. a. (*) Ile wynosi k w stanie ustalonym? b. (*) Jakie musiałoby być s, aby gospodarka osiągnęła stan nazywany złota regułą? Jaka byłaby wtedy stopa procentowa? c. Jak wzrost s wpływa na k, y oraz r? Od czego zależy reakcja c? Załóż, że konsumpcja rośnie po wzroście stopy oszczędności, narysuj na wykresie zachowanie się w czasie Y, r oraz C na ścieżce dostosowawczej do nowego stanu ustalonego. Zad 3. (model Solowa w czasie dyskretnym) Wyprowadź model Solowa w czasie dyskretnym (z egzogenicznym poziomem technologicznym z, który jest stały w czasie), jeśli F(K t, L t ) = z K α t L 1 α t, a równanie ruchu kapitału ma postać: K t+1 = I t + (1 δ)k t a I t = sy t natomiast L t rośnie w stałym tempie n. Znajdź punkt równowagi długookresowej na wykresie i przeanalizuj graficznie efekty trwałego polepszenia wykorzystywanej technologii z w tej gospodarce. Czy zachodzą tu jakieś podobieństwa do skutków zmian stopy oszczędzania? 3

4 Konsumpcja i wybór międzyokresowy Zad 1. (użyteczność CRRA, własności, efekty opodatkowania) Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy. Zdyskontowany na okres 1 majątek GD wynosi Ω. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi r, a GD dyskontują przyszłość według stopy ρ. Jednookresowa (chwilowa) funkcja użyteczności GD ma postać U(c) = c1 θ (jest to funkcja należąca do klasy CRRA - Constant Relative Risk Aversion). a. Znajdź (albo korzystając z metody Lagrange a albo poprzez podstawinie) optymalny rozkład konsumpcji w czasie. Kiedy profil konsumpcji jest rosnący, a kiedy malejący? b. Co się dzieje z rozkładem konsumpcji w czasie gdy r = ρ? c. (dla chętnych) Przyjmij, że y 1 = Ω, czyli GD dostaje cały swój dochód w okresie 1, a później tylko konsumuje. Wyznacz wielkość oszczędności w okresie 1 i zbadaj przy jakich warunkach jest ona rosnąca (malejąca) względem r. Przedyskutuj wynik w kontekście wygładzania konsumpcji w czasie i relatywnego znaczenia efektu dochodowego i substytucyjnego. d. Przyjmij Ω = 1000, r = 0.1, ρ = 0.05, θ = 2. Jak wygląda rozkład konsumpcji w czasie. Czy konsumpcje w obu okresach sumują się do 1000? e. Jak zmieni się rozkład konsumpcji w czasie, gdy parametr θ = 1. Skomentuj wyniki 2 na tle uzyskanych w punkcie poprzednim. f. Co się stanie z rozkładem konsumpcji (wróćmy do θ = 2), gdy do tej gospodarki wprowadzimy rząd opodatkowujący ryczałtowo (lump-sum taxes) dochody GD i równoważący w każdym okresie swój budżet, gdy T 1 = G 1 = 200 oraz T 2 = G 2 = 100. Co się stanie (kierunkowo) z użytecznością GD? g. O ile zmieni się Ω i co się stanie z rozkładem konsumpcji w czasie, gdy rząd postanowi zwiększyć swoje wydatki (rząd zapożycza się wg. tej samej stopy procentowej, co GD, czyli r) w okresie 1, a następnie zwiększyć podatki w okresie 2, tak, aby operacja ta nie zmieniała bieżącej zdyskontowanej wartości rozmiaru rządu (czyli zwiększając G 1 o x, jednocześnie zwiększając T 2 o y 1+r = x). Zad 2. (użyteczność logarytmiczna, skłonność do konsumpcji, ekwiwalent konsumpcji) Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy, dysponując dochodem y 1 w okresie 1 oraz y 2 w okresie 2. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi r, a czynnik dyskontujący GD wynosi β (β = 1 gdzie ρ jest stopa dyskontową tego GD). Jednookresowa (chwilowa) 1+ρ funkcja użyteczności GD ma postać U(c) = ln (c) (jest to lim c1 θ, czyli szczególny przypadek θ 1 1 θ funkcji CRRA). a. Znajdź rozkład konsumpcji GD w czasie. b. Przyjmij, że β = 0.93 (co oznacza, że ρ 0.07) a r = 5%. Ile wynosi krańcowa skłonność do konsumpcji w okresie 1 i 2 z dochodu w okresie θ

5 c. Co się stanie z konsumpcją w okresie 1 i 2, jeśli dochód wzrośnie o jednostkę zarówno dziś, jak i jutro (wzrost dochodu ma charakter bardziej permanentny)? d. Przy parametrach podanych wyżej wyznacz wielkość konsumpcji w obu okresach oraz oszczędności w 1 okresie, gdy 1) y 1 = 50, y 2 = 100 oraz gdy 2) y 1 = 100, y 2 = 50. Skomentuj uzyskane wyniki. e. Przypuśćmy, że GD z punktu d. będące w sytuacji 1), czyli przy rosnącym profilu dochodów nie może się zapożyczać. Jaki będzie jego rozkład konsumpcji w czasie? Narysuj obie sytuacje na wykresie w przestrzeni (c 1, c 2 ). W jakim kierunku i o ile procent zmieni się użyteczność GD? f. O ile zmieni się użyteczność GD z pkt. d. będącego w sytuacji 1), gdy jego majątek Ω zwiększy się o jednostkę? g. Powróćmy do GD, które nie mogło się zapożyczyć (punkt e.). Jaki procent swojej konsumpcji (zarówno dzisiejszej, jak i jutrzejszej) byłoby gotowe poświęcić takie GD, aby znaleźć się w sytuacji bez obostrzeń w dostępie do kredytu? Innymi słowy, jak dużo wart jest, w ekwiwalencie konsumpcji (consumption equivalent), dostęp do rynków finansowych? Zad 3. (ubezpieczenia emerytalne PAYG) Gospodarstwo domowe (GD) żyje przez 2 okresy, pracując i uzyskując dochód y 1 w okresie 1 a w okresie 2 jedynie konsumując. Rynkowa realna stopa procentowa wynosi r, a czynnik dyskontujący GD wynosi β. Jednookresowa (chwilowa) funkcja użyteczności GD ma postać U(c) = ln (c) a. Znajdź rozkład konsumpcji GD w czasie. Jaka jest postać Ω? b. Wprowadź do rozważań system emerytalny typu PAYG, finansowany z opodatkowania dochodu w okresie 1 (wg. stopy τ), a wypłacany w okresie 2. Wartość systemu emerytalnego SS rośnie wraz ze wzrostem dochodu (g) oraz populacji (n), i jest on zbilansowany, czyli: SS = (1 + g)(1 + n)τy 1. Jaka jest postać Ω w tej sytuacji? Jak wygląda alokacja konsumpcji w czasie? Kiedy (dla jakich n, g, r) konsumenci są szczęśliwsi (ich konsumpcja jest wyższa w obu okresach) po wprowadzeniu systemu PAYG? 5

6 Rynek pracy Zad. 1 (równowaga na rynku pracy i bezrobocie) Reprezentatywne gospodarstwo domowe ma funkcję użyteczności U(c, l) = α ln(c) + (1 α)ln (l), gdzie c jest wielkością konsumpcji, a l jest czasem wolnym. Całkowity zasób czasu dla GD wynosi L, stawka jednostkowa wynagrodzenia wynosi w, a konsumpcja może być finansowana jedynie dochodem z pracy. Reprezentatywne przedsiębiorstwo produkuje dobro finalne używając jedynie pracy (zasób kapitału jest stały i nie wchodzi w problem optymalizacyjny przedsiębiorstwa) mając do dyspozycji technologię produkcji: Y = F(L) = 2L 1 2 a. Metodą mnożnika Lagrange a wyznacz krzywą podaży pracy L s (w) i znak jej zależności od w. Wyznacz również popyt konsumpcyjny. b. Wyznacz krzywą popytu na pracę L D (w) i znak jej zależności od w. c. Wyznacz płace równowagi oraz zatrudnienie czynnika pracy, jeśli L = 24 a α = 2 3. d. Co by się działo na tym rynku, jeśli płaca wynosiłaby w = 1. Wyznacz i narysuj skalę 2 nierównowagi na rynku (stopę bezrobocia). Zad 2. (równowaga na rynku pracy) Reprezentatywne gospodarstwo domowe ma funkcję użyteczności U(c, l) = c + l, gdzie c jest wielkością konsumpcji, a l jest czasem wolnym. Całkowity zasób czasu dla GD wynosi L, stawka jednostkowa wynagrodzenia wynosi w, a konsumpcja może być finansowana jedynie dochodem z pracy. Reprezentatywne przedsiębiorstwo produkuje dobro finalne używając jedynie pracy (zasób kapitału jest stały i nie wchodzi w problem optymalizacyjny przedsiębiorstwa) mając do dyspozycji technologię produkcji: Y = F(L) = lnl a. Wyznacz krzywą podaży pracy L s (w) i znak jej zależności od w. b. Wyznacz krzywą popytu na pracę L D (w) i znak jej zależności od w. c. Wyznacz płace równowagi oraz zatrudnienie czynnika pracy, jeśli L = 2? d. Co by się działo na tym rynku, jeśli płaca wynosiłaby w = 2? Zad 3. (przepływy na rynku pracy) Załóżmy, że na analizowanym rynku pracy nie ma nieaktywności zawodowej i przepływów z nią związanych (mówimy o modelu dwustanowym rynku pracy). Na początku okresu t (liczby dotyczą gospodarki Polski z pierwszego kwartału 2012 r. i są przeskalowane przez 1000) było 1982 bezrobotnych oraz pracujących, a w trakcie okresu t pracę straciło 691 osób a znalazło 532 osób. a. Ile wynosiła stopa bezrobocia w okresie t oraz t + 1 (na początku obu okresów). 6

7 b. Znajdź stopę podjęć pracy (prawdopodobieństwo znalezienia pracy) oraz zwolnień z pracy (prawdopodobieństwo utraty pracy). Zakładając homogeniczność osób bezrobotnych oraz niezależność prawdopodobieństwa znalezienia pracy od czasu jej szukania (co nie jest zgodne z empirią rynku pracy, ale upraszcza analizę), znajdź przeciętny czas poszukiwania pracy (w kwartałach) przez osobę bezrobotną. c. Znajdź stopę bezrobocia frykcyjnego (równoważąca przepływy, tzn. taką, dla której ΔU = 0) d. (dla chętnych) Ekonomiści czasami operują pojęciem stopy wzrostu bezzatrudnieniowego (czyli stopy wzrostu PKB, dopiero po przekroczeniu której gospodarka generuje wzrost zatrudnienia). Wyznacz stopę wzrostu bezzatrudnieniowego (zakładając, że ΔU = ΔE) w analizowanym kwartale, wiedząc, że PKB spadł w tym okresie o 0,1% w ujęciu kwartalnym, jeśli założysz, że prawdopodobieństwa utraty pracy są acykliczne (nie zależą od PKB), a analiza ekonometryczna wykazała, że zależność pomiędzy f t oraz g t = lnpkb t lnpkb t 1 ma postać: f t = g t. 7

8 Inwestycje Zad 1. (optymalny popyt inwestycyjny) Reprezentatywne przedsiębiorstwo operuje w 2 okresach, maksymalizując bieżącą zdyskontowaną wartość swoich zysków, decydując o wielkości inwestycji w okresie 1. Przedsiębiorca ma dostęp do technologii Y = F(K) = 2.2lnK (zakładamy, że jedynym czynnikiem produkcji, na który wpływ ma przedsiębiorstwo jest kapitał K). Kapitał w tej gospodarce nie ulega deprecjacji (δ = 0). Przedsiębiorstwo posiada kapitał początkowy w okresie 1 równy K 1 = 1 i wie, że inwestując I 1 musi liczyć się z kosztami instalacji kapitału równymi Φ ( I 1 K 1 ) = 1 2 ( I 1 K 1 ) 2, ponoszonymi w okresie 1, a przedsiębiorca może alternatywnie zainwestować posiadane środki na rynku finansowym na którym stopa procentowa wynosi r = 10%. Kapitał pozostały pod koniec okresu 2 przedsiębiorstwo może sprzedać i stanowi on jego przychód w tym okresie. a. Ile wynosi I 1 oraz optymalna stopa inwestycji I 1 K 1? (wskazówka: optymalizować zyski należy zarówno po I 1, jak i po K 2 ) Zad 2. (PIM, czyli Perpetual Inventory Method i wyznaczanie kapitału początkowego) a. Pokaż jaka jest zależność bieżącego poziomu kapitału (w okresie t) od wcześniej dokonanych inwestycji (strumienia inwestycji od początku świata ). Jak wygląda ta zależność jeśli znasz poziom kapitału w momencie 0? b. W gospodarce w momentach t 0, t 1, t 2, t 3 dokonano po 100 jednostek inwestycji w każdym okresie. Jaki jest poziom kapitału w okresie t 3, jeśli stopa deprecjacji wynosi δ = 0.1 a stopa wzrostu gospodarczego w stanu ustalonym g = 2%. Ile wynosi K w Y momencie początkowym, jeśli inwestycje stanowią 20% PKB. (wskazówka: do policzenia początkowej wielkości kapitału skorzystaj z przewidywań modelu Solowa dla stanu ustalonego). Zad 3. (optymalny popyt inwestycyjny) Reprezentatywne przedsiębiorstwo działa w 2 okresach, używając technologii produkcji postaci Y = F(K) = 2K 0,5, maksymalizując bieżącą zdyskontowaną wartość swoich zysków i decydując o wielkości inwestycji w okresie 1. Kapitał pozostały pod koniec okresu 2 jest przez przedsiębiorstwo sprzedawany. Stopa deprecjacji kapitału wynosi δ, rynkowa stopa procentowa wynosi r, a kapitał w okresie 1 wynosi K 1. 8

9 a. Wyprowadź ogólny wzór na popyt inwestycyjny reprezentatywnego przedsiębiorstwa i sprawdź czy rośnie on czy maleje po wzroście stopy procentowej (wskazówka: zyski optymalizować należy zarówno po I 1, jak i po K 2 ) b. Przyjmując δ = 0,1; r = 0,1; K 1 = 20 wyznacz wielkość inwestycji, kapitału w okresie 2, czyli K 2 oraz wielkość zysków z okresu 1 i 2. 9

10 Krzywa Phillipsa Zad 1. (rola oczekiwań) Niech krzywa Phillipsa będzie dana wzorem π t = βe t π t+1 + λmc t, gdzie mc jest miarą kosztów krańcowych, a π oznacza inflację. a. Jak wygląda zależność pomiędzy inflacją a kosztami krańcowymi, jeśli oczekiwania mają charakter czysto adaptacyjny E t π t = π t 1? b. Jak wygląda zależność pomiędzy inflacją a kosztami krańcowymi, jeśli oczekiwania E t π t mają charakter antycypacyjny (są matematycznymi oczekiwaniami)? (wskazówka: skorzystaj z prawa iterowanych oczekiwań E t (E t+1 x) = E t x) Zad 2. (NAWRU i metoda Elmeskova) Jeśli założysz, że β = 1, oczekiwania są adaptacyjne, inflacja cen jest równa inflacji płac a mc t = f(u t U t N ) otrzymasz następująca krzywą Phillipsa ΔlogW t = logw t logw t 1 = log ( W t W t 1 ) = log(π t W ) π t W : ΔlogW t = ΔlogW t 1 a(u t U t N ) Ekonomiście w praktyce myśląc o stopie bezrobocia równowagi w kontekście polityki pieniężnej używają koncepcji NAWRU, czyli stopy bezrobocia nie przyspieszającej inflacji (Non Accelerating Inflation Rate of Unemployment), zatem NAWRU t = U t N. Wyznacz stopę NAWRU z powyższej krzywej Phillipsa, zakładając, że jest one stałe pomiędzy 2 sąsiednimi okresami (jest to tzw. metoda Elmeskova wyznaczania NAWRU). 10

11 Model AD-AS Zad. 1. Przypomnijmy podstawowy model AD-AS: Y t = Y t α(r t ρ) + ε t (popyt na dobra i usługi) r t = i t E t π t+1 (równanie Fishera) π t = E t 1 π t + φ(y t Y t ) + θ t (krzywa Phillipsa) E t π t+1 = π t (oczekiwania adaptacyjne) i t = π t + ρ + θ π (π t π t ) + θ Y (Y t Y t ) (Reguła Taylora) a. Znajdź rozwiązanie modelu w niestochastycznym stanie ustalonym (w długim okresie)? Co to oznacza dla oczekiwań inflacyjnych i szoków? b. Załóż, że bank centralny stabilizuje gospodarkę wokół innej stopy realnej ρ, niż sektor realny. Jak wtedy wygląd stan ustalony (co się dzieje z produktem, realną i nominalna stopą procentową oraz inflacją)?. Czy inflacja jest zgodna z celem inflacyjnym banku centralnego? c. Zazwyczaj analizujemy co się dzieje z gospodarką, kiedy dotykają ją tymczasowe szoki (wtedy w długim okresie wraca ona do równowagi. A jakie będą konsekwencja dla zmiennych w długim okresie (stanie ustalonym), jeśli gospodarka będzie pod wpływem permanentnego szok popytowego? (wskazówka: rozwiąż stan ustalony, kiedy ε nie wynosi 0). A co się dzieje w stanie ustalonym poddanym permanentnym szokiem podażowym? d. Wyprowadź krzywą AD i AS. e. (dla chętnych, na podstawie arkusza Excela) Rozwiąż model i utwórz arkusz w excelu, obrazujący rozwiązanie modelu (jako ścieżkę w czasie) w zależności od przyjętych parametrów (rozsądnym zestawem jest: Y t = 100; π t = 2.0; α = 1; ρ = 2; φ = 0.25; θ π = 0.5; θ Y = 0.5) oraz wartości szoków ε, θ. Przeprowadź symulację reakcji produktu, inflacji, realnej i nominalnej stopy procentowej dla: 1) dodatniego szoku podażowego w okresie 2, 2) dodatniego szoku popytowego w okresach 2-8; 3) trwałego podniesienia celu inflacyjnego do 3% od okresu 2. 11

12 Równowaga ogólna w jednym okresie Zad 1. Reprezentatywne gospodarstwo domowe podejmując swoje decyzje maksymalizuje użyteczność U(c, l) = ln(c) + γ(1 l), gdzie c jest konsumpcją, a l jest częścią łącznego zasobu czasu poświęcanego na pracę. Gospodarstwo domowe dochód pochodzący z pracy i wynajmu kapitału k po stopie r (GD jest właścicielem kapitału, którego zasób jest dany i nie można go zmieniać) przeznacza na finansowanie konsumpcji oraz opłaca z niego podatek ryczałtowy T. Reprezentatywna firma maksymalizuje zyski, wynajmując od gospodarstwa domowego kapitał (i płacąc mu cenę jednostkową r) oraz pracę (i płacąc mu cenę jednostkową w), używając technologii F(k, l) = Ak α l (1 α), gdzie A mierzy efektywność procesów wytwórczych. Rząd ściąga ryczałtowe podatki od GD i finansuje nimi swoje wydatki G (będące w proporcji g do produkcji w tej gospodarce). a. Zdefiniuj i wyznacz równowagę ogólną w tej gospodarce (jest to alokacja, odpowiadające jej ceny i polityka rządu, która zapewnia optymalne decyzje podmiotów i czyszczenie się rynków) b. Wyznacz zmienne w równowadze dla A = 1; g = 0.2; α = 1 ; k = 1; γ = 2. 3 c. Co się stanie w równowadze po wzroście g? d. Co się stanie w równowadze po wzroście A? e. Co się stanie w równowadze po wzroście k? 12