Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie"

Transkrypt

1 Modelowanie Ekonometryczne i Prognozowanie David Ramsey strona domowa: 27 lutego / 77

2 Opis Kursu 1. Podstawy oraz Cele Modelowania Ekonometrycznego i Prognozowania. 2. Regresja. 3. Szeregi Czasowe. 2 / 77

3 1. Podstawy i Cele Ogólnie mówiąc, chcemy modelować jak pewna zmienna Y (zwana zależna) zależy od grupy zmiennych wyjaśniających X 1, X 2,..., X k. Tutaj używam słowa zależność w sensie matematycznym (czyli jeżeli Y zależy od X i, to nie znaczy koniecznie że istnieje związek przyczniowo-skutkowy między nimi). np. Liczba zachorowań na grypę zależy od sprzedaży lodów (im więcej lodów sprzedano, czyli gdy ogólnie jest ciepło, tym mniej zachorowań). np. Liczba urodzeń na 1000 osób w gminie zależy od liczby bocianów na kilometr kwadratowy (jest więcej urodzeń w gminach wiejskich). 3 / 77

4 Podstawy i Cele W tym celu, zbieramy obserwacje zmiennej Y, oznaczono Y 1, Y 2,..., Y n oraz odpowiadające im obserwacje zmiennych wyjaśniających. Obserwacje zmiennej X i oznaczono X i,1, X i,2,..., X i,n. Chcemy zbudować model (ekonometryczny), np. Y = f (X 1, X 2,..., X k ) + ɛ, który opisuje jak wartość Y zależy od wartości zmiennych wyjaśniających. Tutaj ɛ jest tak zwanym rezyduum (błędem losowym). Gdy ɛ > 0, Y jest więsze niż przewidujemy z modelu, a gdy ɛ < 0, Y jest mniejsze niż przewidujemy. 4 / 77

5 Rezydua 5 / 77

6 Regresja i Szeregi Czasowe Ogólnie, można podzielić modele na dwa rodzaje. 1. Modele regresyjne. 2. Szeregi czasowe. Mamy obserwacje X 1, X 2, X 3,..., X T, gdzie X t jest obserwacją zmiennej X w czasie t. 6 / 77

7 2. Regresja Wstęp Używamy modeli regresyjnych gdy obserwacje zmiennej Y nie są uporządkowane w czasie (lub możemy założyć że obserwacja zmiennej Y w danym momencie nie zależy od poprzednich obserwacji tej zmiennej). Na przykład, jeżeli popularny, niesezonowy produkt pierwszej potrzeby (np. szampon, makaron) jest na rynku od pewnego czasu, możemy założyć że sprzedaż nie zależy od czasu. 7 / 77

8 Regresja Chcemy zobaczyć jak sprzedaż tego produktu zależy od wydatków na reklamy a) telewizyjne, b) radiowe, c) na billboardach w danym miesiącu. Możemy zbudować prosty model liniowy Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ɛ, gdzie Y jest sprzedażą, X 1, X 2 i X 3 wydatkami na reklamy telewizyjne, radiowe i billboardowe, odpowiednio. W ten sposób zbudowaliśmy model sprzedaży zaobserwowanej w przeszłości (jest to pierwszy z celów modelowania). 8 / 77

9 Regresja i Prognozowanie Drugim celem jest prognozowanie sprzedaży w przyszłości przy danej strategii. W tym przypadku, firma ma kontrolę nad wyborem wartości zmiennych wyjaśniających. Według tego modelu, każda złotówka wydana na np. reklamy telewizyjne powiększy sprzedaż o β 1 złotówkach. Korzystając z takiego podejścia, firma powinna zainwestować w medium odpowiadające największemu współczynnikowi β i. 9 / 77

10 Reszty i Diagnostyka George Box ( ), który był bardzo ważną postacią w rozwoju modeli ekonometrycznych, powiedział: Każdy model jest błędny, niektóre są przydatne Na przykład, nasz model Y = β 0 + β 1 X 1 + β 2 X 2 + β 3 X 3 + ɛ jest na pewno błędny, bo zakłada że każda dodatkowa złotówka wydana na pewne medium przynosi ten sam wzrost przychodu. 10 / 77

11 Reszty i Diagnostyka Ale z powodu nasycenia, po jakimś czasie każda dodatkowa złotówka przynosi coraz mniejsze wzrosty przychodu (z powodu zmeczenia reklamami, przychód może nawet maleć). Z tego powodu, gdy bardzo dużo wydajemy na reklamy telewizyjne, sprzedaż będzie mniejsza niż przewidujemy. To znaczy że duże wydatki na reklamy telewizyjne są związane z ujemnymi rezyduami. 11 / 77

12 Reszty i Diagnostyka Regresja zakłada że rezydua nie są skorelowane z wartościami zmiennych wyjaśniającymi. Jeżeli rezydua się zmieniają dosyć systematcznie wzgłędem jednej zmiennej wyjaśniającej, jest to znak że model nie jest przydatny. 12 / 77

13 Wybór Zmiennych Wyjaśniających Mamy n obserwacji zmiennej zależnej Y oraz k zmiennych wyjaśniających. Chcemy żeby n było dużo większe niż k. Uwaga: Możemy DOKŁADNIE opisać n obserwacji zmiennej Y za pomocą obserwacji n 1 DOWOLNYCH zmiennych wyjaśniających, ale jak chcemy przewidzieć przyszłe obserwacje zmiennej Y, model taki jest KOMPLETNIE NIEPRZYDATNY. 13 / 77

14 Wybór Zmiennych Wyjaśniających Wybieramy zmienne wyjaśniające żeby 1. Zmienne X 1, X 2,..., X k były skorelowane z Y (najlepiej żeby istniał bezpośredni związek między X i a Y ). 2. Zmienne X 1, X 2,..., X k nie powinny być mocno skorelowane z sobą. Uwaga: Jeżeli chcemy modelować sprzedaż lodów, lepiej wziąć temperaturę jako zmienną wyjaśniająca (związek bezpośredni) niż liczbę zachorowań na grypę (związek pośredni poprzez temperaturę). 14 / 77

15 Problem Mocnych Korelacji między Zmiennymi Wyjaśniającymi Zakładamy że Y = X 1 + ɛ oraz X 1 = 2X 2, czyli istnieje doskonała korelacja między zmiennymi wyjaśniającymi X 1 a X 2. Wtedy, następujące modele regresyjne są RÓWNOWAŻNE. Y =X 1 + ɛ Y =2X 2 + ɛ Y =100X 1 198X 2 + ɛ Y =202X 2 100X 1 + ɛ 15 / 77

16 Problem Mocnych Korelacji między Zmiennymi Wyjaśniającymi Z pierwszych dwóch modeli, widać że Y jest dodatnio skorelowane z obiema zmiennymi wyjaśniającymi. Natomiast, z trzeciego modelu, wygląda na to, że X 2 jest ujemnie skorelowane z Y. Z ostatniego modelu, wygląda na to, że X 1 jest ujemnie skorelowane z Y. Chociaż wszystkie prognozy z tych modeli byłyby identyczne, ich interpretacje są skrajnie różne. 16 / 77

17 Problem Mocnych Korelacji między Zmiennymi Wyjaśniającymi Jeden sposób aby unikać tego problemu jest ustalaniem progu ρ 0, takiego że gdy r(x i, X j ) > ρ 0 (gdzie r jest odpowiednim współczynnikiem korelacji), wyrzucamy jedną z tych zmiennych z modelu. Wyrzucamy zmienną, która jest najsłabiej skorelowana z zmienną zależną (według bezwzględnego współczynnika korelacji). Lepszy sposób jest zastosowaniem regresji krokowej (zob. regresję wielokrotną). 17 / 77

18 Regresja Liniowa z Jedną Ilościową Zmienną Wyjaśniającą Mamy n obserwacji, (Y 1, Y 2,..., Y n ), zmiennej zależnej Y, oraz n obserwacji, (X 1, X 2,..., X n ), zmiennej wyjaśniającej X, gdzie X i Y są zmiennymi ilościowymi. Chcemy tworzyć model regresji postaci Y = β 0 + β 1 X + ɛ. β 0 jest stałą regresji, β 1 jest współczynnikiem regresji odpowiadającym zmiennej X 1, ɛ jest błędem losowym/rezyduum/resztą. 18 / 77

19 Regresja Liniowa z Jedną Ilościową Zmienną Wyjaśniającą Estymatory parametrów β 0, β 1 minimalizują sumę błędów kwadratowych, czyli n i=1 ɛ i, gdzie ɛ i = Y i β 0 β 1 X i = Y i Ŷ i. Ŷ i = β 0 + β 1 X i jest estymatorem (prognozą) wartości obserwacji zmiennej zależnej Y i w oparciu o wartość obserwacji zmiennej wyjaśniającej X i. Wynika z tego że suma rezyduów równa się zeru, czyli nie ma systematycznego błędu gdy przewidujemy wartość obserwacji Y i w oparciu o losowej wybranej obserwacji X i. Uwaga: Ale nie znaczy to prognoza wartości Y przy danej wartości X nie jest obarczona systematycznym błędem. 19 / 77

20 Założenia Regresji Liniowej 1. Błędy mają rozkład normalny z średnią 0 i są niezależne. Czyli ɛ N(0, σ 2 ɛ ). 2. Błędy nie zależą od wartości zmiennych wyjaśniających. Czyli reszty mają się zmienić losowo, a nie systematycznie. 20 / 77

21 Obserwacje Odstające Aby obliczyć standaryzowaną resztę, dzielimy resztę przez odchylenie standardowe reszt. Obserwacja jest odstająca gdy standaryzowana reszta jest większa od 3 (przy założeniach regresji liniowej ok. 1 na 400 obserwacji jest odstająca). Obserwacja odstająca może być błędna, może też być obserwacja w pewnym sensie wyjątkowa (trzeba sprawdzić poszczególne obserwacje odstające). Należy wykonać analizę i z obserwacjami odstającymi i bez nich, aby sprawdzić czy wnioski są odporne na możliwe błędy. 21 / 77

22 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Dane dotyczące 1170 mieszkań na sprzedaż we Wrocławiu znajdują się w pliku mieszkania.xls na mojej stronie domowej. Chcemy opisać jak cena mieszkania (w kolumnie E) zależy od jego metrażu (w kolumnie B). Wyznaczamy więc model Y = β 0 + β 1 X + ɛ, gdzie Y jest ceną mieszkania i X jego metrażem. 22 / 77

23 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Dzielnice to 1. Stare Miasto. 2. Śródmieście. 3. Krzyki. 4. Fabryczna. 5. Psie Pole. 23 / 77

24 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Z menu Dane wybieramy po kolei Analiza Danych i Regresja. Wprowadzamy zakres zmiennej zależnej (e2:e1171). Zaznaczamy poziom ufności (aby wyznaczyć przedziały ufności dla parametrów β 0 i β 1 ). Zacznaczamy standardowe składniki resztowe i rozkład reszt, aby obliczyć standaryzowane reszty oraz rozrzut reszt względem metrażu. 24 / 77

25 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Otrzymujemy tabelkę podsumującą jak model pasuje do cen mieszkań Wielokrotność R 0, R kwadrat 0, Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 66259,029 Obserwacje / 77

26 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Najważniejsza statystyka w tej tabelce jest R kwadrat (R 2 ). Jest to tak zwany współczynnik determinacji. Opisuje to proporcję wariancji zmiennej zależnej, która jest wyjaśniona przez zmienną wyjaśniającą. W tym przypadku, około 62% wariancji ceny mieszkania jest wyjaśnione jego metrażem (czyli dosyć dużo). Dopasowany R kwadrat uwzględnia karę opartą na liczbie zmiennych wyjaśniających (gdy k nie jest dużo mniejsze niż n, R 2 zawsze będzie duże nawet przy modelu pozbawionym sensu). 26 / 77

27 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Następująca tabelka podaje estymatory parametrów tego modelu Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 72352,7 6344,15 11,4046 1,22E , ,0 Zmienna X1 4755,60 108,718 43,7426 2,68E , ,91 27 / 77

28 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Kolumna Współczynniki daje estymatory parametrów tego modelu Czyli mamy Y = 72352, , 6X, gdzie Y jest ceną mieszkania a X jest jego metrażem. Współczynnik zmiennej X określa jak zmienna zależna średnio się zmienia gdy wartość zmiennej X rośnie o jednostkę. Czyli każdy dodatkowy metr kwadratowy średnio kosztuje 4755,60zł. 28 / 77

29 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Uwaga: Według tego modelu, cena za metr kwadratowy, Y /X, wyraża się wzorem Y X = 72352, , 60. X Czyli im większe jest mieszkanie, tym średnio mniejsza cena za metr kwadratowy. 29 / 77

30 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Kolumna Wartość-p daje wartości p dla testów typu 1. H 0 : β i = 0 wobec alternatywy 2. H A : β i 0. Dla i > 0, można zinterpretować H 0 jako hipotezę że zmienna wyjaśniająca i nie ma związku z zmienną zależną. Alternatywa mówi że zmienna wyjaśniająca i ma związek z zmienną zależną. 30 / 77

31 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Wartość p jest miarą wiarygodności hipotezy zerowej H 0 (że nie ma związku). Gdy wartość p spełnia 1. p > 0, 05 - Nie mamy dowodów przeciwko H , 01 < p < 0, 05 - Mamy dowody że H A jest prawidłowe. 3. 0, 001 < p < 0, 01 - Mamy mocne dowody że H A jest prawidłowe. 4. p < 0, Mamy bardzo mocne dowody że H A jest prawidłowe. 31 / 77

32 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Tutaj E-28 oznacza że pierwsza cyfra niezerowa się pojawia w 28-tym miejscu po przecinku. Z tego widać że mamy bardzo mocne dowody że stała regresji się różni od zera (jest dodatnia). Tak samo, mamy bardzo mocne dowody że β 1 0, czyli cena mieszkania zależy od metrażu (cena rośnie względem metrażu, bo ten współczynnik jest dodatni). 32 / 77

33 Regresja w Excelu - Ceny Mieszkań Kolumny Dolne 95% oraz Górne 95% podają krańce przedziału ufności dla danego parametru. Na przykład przedziałem ufności na poziomie ufności 95% dla kosztu dodatkowego metru kwadratowego we Wrocławiu jest (4542,30; 4968,91). Przedziałem ufności na poziomie ufności 95% dla wartości stałej regresji jest (59905,53; 84800,0). 33 / 77

34 Regresja w Excelu - Rozkład Reszt W Excelu mamy zmienną wyjaśniającą na osi X, a na osi Y reszty. 34 / 77

35 Regresja w Excelu - Diagnostyka Chociaż nie są to reszty standaryzowane, widać że jest parę wyraźnie odstających obserwacji. Gdy obserwacja jest odstająca, reszta jest dodatnia, czyli cena jest większa niż oczekujemy przy danym metrażu. Łatwiej znaleźć i wyrzucić takie obserwacje w pakiecie SPSS. Należy znaleźć te obserwacje odstające i poprawić lub zainterpretować (jak odpowiednio). 35 / 77

36 Regresja w Excelu - Diagnostyka Poza tym rozrzut jest troszkę stożkowaty (czyli średnio bezwzlędna reszta rośnie jak metraż rośnie. Wskazuje na to że model jest błędny (reszty zależą od wartości zmiennej wyjaśniającej). Jeżeli widać że założenia modelu nie są spełnione, wtedy warto się zastanawiać czy inny model byłby bardziej odpowiedni. W tym przypadku, wykres reszt nie obiega strasznie od idealnej chmury i wydaje się sensownie że cena rośnie w miarę liniowo względem metrażu, więc uznaję że model jest błędny, ale przydatny. 36 / 77

37 Regresja w Excelu - Diagnostyka Gdy mamy przydatny model, możemy prognozować w oparciu o ten model. Na przykład, możemy oszacować średnią cenę mieszkania o metrażu 60m za pomocą równania regresji Ŷ = 72352, , 6X. Podstawiając X = 60, otrzymujemy Ŷ = 72352, , 6 60 = , 70zł. Odchylenie standardowe tego estymatora równa się błędowi standardowemu z tabelki Statystyka Regresji czyli ,03zł. Oczywiście cena mieszkania zależy od innych czynników, np. od stanu mieszkania, położenia. Aby to uwzględnić musimy korzystać z regresji wielomiarowej. 37 / 77

38 Regresja w SPSS - Ceny Mieszkań Można łatwo wczytać plik Excelowski do SPSS. Domyślnie nazwy zmiennych znajdują się w pierwszym wierszu. Aby wykonać regresję, należy wybrać opcję Regresja z menu Analiza. Wybieramy opcję Liniowa 38 / 77

39 Regresja w SPSS - Ceny Mieszkań Trzeba umieścić zmienną Y w ramce Zmienna zależna. Zmienną X umieścimy w ramce Zmienne niezależne Aby obliczyć przedziały ufności dla parametrów klikniemy na Statystyki i zaznaczamy Przedziały Ufności. 39 / 77

40 Regresja w SPSS - Analiza reszt Aby narysować rozrzut reszt, klikniemy na wykresy. Na osi X umieścimy *ZPRED - są to standaryzowane wartości zmiennej wyjaśniającej. Na osi Y umieścimy *ZRESID - są to standaryzowane wartości prognozy. Zaznaczamy Histogram aby otrzymać histogram standaryzowanych reszt. Jest to przydatne do sprawdzenia czy reszty pochodzą z rozkładu normalnego. 40 / 77

41 Rozrzut Reszty w SPSS-ie Uwaga: Należy zanotować że na osi X mamy standaryzowane wartości prognozy. Jeżeli istnieje pozytywny związek między zmiennymi X a Y, duże standaryzowane wartości prognozy odpowiadają dużym wartościom zmiennej wyjaśniającej. W tym przypadku rozrzut reszt wygląda identycznie do tego otrzymanego w Excelu (jest tylko przeskalowany). 41 / 77

42 Rozrzut Reszty w SPSS-ie Natomiast, jeżeli istnieje negatywny związek między zmiennymi X a Y, duże standaryzowane wartości prognozy odpowiadają małym wartościom zmiennej wyjaśniającej. W tym przypadku rozrzut reszt jest odbiciem wykresu otrzymanego w Excelu (w prostej pionowej przechodzącej przez środek chmury ). W obu przypadkach, reszty mają tworzyć chmurę równoległą do osi X. 42 / 77

43 Regresja w SPSS - Analiza reszt Klikniemy na OK. Dostajemy te same informacje co w Excelu plus histogram standaryzowanych reszt. Standaryzowane reszty teraz się znajdują w skoroszycie jako zmienna ZRE / 77

44 Regresja w SPSS - Histogram standaryzowanych reszt 44 / 77

45 Regresja w SPSS - Histogram standaryzowanych reszt Widać że rozkład reszt nie pasuje do końca z rozkładem normalnyn z średnią Moda rozkładu (gdzie jest największa gęstość) jest raczej ujemna, a nie Rozkład jest prawostronnie skośny. Jest dosyć dużo obserwacji odstających gdzie cena jest dużo wyższa niż cena przewidywana. 45 / 77

46 Regresja w SPSS - Analiza reszt Aby wyłączyć zmienne odstające z naszej analizy, wybieramy opcję Wybierz obserwacje z menu Dane Zaznaczamy rubrykę Wybierz jeśli spełniony jest warunek. Definiujemy warunek. Tutaj standaryzowana reszta (ZRE 1 ) ma być większa od -3 a mniejsza od 3. Więc wpisujemy warunek ZRE 1 > 3 & ZRE 1 < 3. Obserwacje, które nie spełniają tego warunku, są wyłączone z analizy. 46 / 77

47 Regresja w SPSS - Analiza Reszt Numery obserwacji wyłączonych z analizy są przekreślone w skoroszycie. Łatwo można sprawdzić że jest 15 obserwacji odstających. Każda z tych obserwacji ma dodatnią resztę (czyli cena jest wyższa niż przewidywana przez model). 47 / 77

48 Regresja w SPSS - Analiza Reszt Jeżeli hipoteza o normalności reszt jest spełniona 1. Oczekujemy średnio 3 obserwacji odstających (mamy 1170 obserwacji, i średnio 1 na 400 ma być odstająca). 2. Prawdopodobieństwo że obserwacja odstająca odpowiada dodatniej standaryzowanej reszcie wynosi 0,5. 48 / 77

49 Regresja w SPSS - Analiza Reszt Więc mamy dużo więcej obserwacji odstających niż oczekujemy przy hipotezie o normalności reszt. W dodatku, fakt że każda obserwacja odstająca odpowiada dodatniej standaryzowanej reszcie wskazuje na to, że rozkład reszt jest skośny (czyli nie jest normalny). 49 / 77

50 Regresja w SPSS - Analiza Reszt Wśród tych obserwacji odstających znajduje się w Starym Mieście na Krzykach 3. 1 w Śródmieściu 50 / 77

51 Regresja w SPSS - Analiza Reszt Czyli wszystkie znajdują się w atrakcyjnych dzielnicach. Mając dostęp do źródła tych danych, można sprawdzić że te mieszkania raczej są luksusowymi mieszkaniami w ładnych dzielnicach (czyli raczej nie ma błędów ani w obserwacjach cen, ani w obserwacjach metrażu). 51 / 77

52 Regresja w SPSS - Wyniki po Wyłączeniu Odstających Obserwacji Po wyłączeniu odstających obserwacji, otrzymujemy następujące wyniki dotyczące modelu regresji. Model - podsumowanie R 0,834 R-kwadrat skorygowane 0,695 R-kwadrat 0,695 Błąd standardowy 54771,1 52 / 77

53 Regresja w SPSS - Wyniki po Wyłączeniu Odstających Obserwacji Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 74206,1 5281,52 14,050 0, , ,6 Zmienna X1 4648,06 90,715 51,238 0, , ,04 53 / 77

54 Regresja w SPSS - Wyniki po Wyłączeniu Odstających Obserwacji Widać z pierwszej tabelki że po wyłączeniu obserwacji odstających, model lepiej pasuje do danych (wyjaśnia prawie 70% wariancji ceny). Z drugiej tabelki, nasz model wyraża się wzorem Y = 74206, , 06X. Przedziałem ufności dla ceny dodatkowego metra kwadratowego jest (4470,07; 4826,04) Jakościowo, model jest bardzo podobny do oryginalnego (wartości estymatorów są podobne, stała jest trochę większa a estymator ceny dodatkowego metra kwadratowego jest trochę mniejszy). 54 / 77

55 Regresja w SPSS - Wyniki po Wyłączeniu Odstających Obserwacji Podstawiając X = 60, możemy oszacować cenę zwykłego mieszkania o metrażu 60m 2 Ŷ = 74206, , = , 70zł. Estymator ten jest trochę mniejszy niż estymator otrzymany za pomocą oryginalnego modelu (nic dziwnego, skoro teraz baza danych nie zawiera luksusowych mieszkań). 55 / 77

56 Przekształcenie Danych gdy Zależność nie jest Liniowa Rozważamy produkt krajowy Polski w latach w USD. (zob. plik gdppolski.xls - źródło: bank światowy). Rok jest liczbą lat po W tym przypadku, jest to szereg czasowy i GDP wyraźnie zależy od czasu, więc regresja nie jest najlepszą metodą analizy, ale służy to do ilustracji. Gdy mamy szereg czasowy, najpierw rysujemy wykres. Czas jest na osi X a obserwacje zmiennej X t są na osi Y. 56 / 77

57 Wykres dla GDP Polski 57 / 77

58 Wykres dla GDP Polski Wykres sugeruje że GDP rośnie szybciej niż liniowo. Jeżeli średni procentowy wzrost GDP jest stały, wtedy GDP rośnie wykładniczo. Dużo szeregów czasowych (szczególnie ekonomicznych) cechuje się wzrostem wykładniczym 58 / 77

59 Modele Więc rozważamy 2 modele 1. Liniowy: X t = β 0 + β 1 t. 2. Wykładniczy: X t = α 0 e α 1t. 59 / 77

60 Model Liniowy - Podsumowanie Podsumowanie modelu (widać że model wyjaśnia więcej niż 97% wariancji GDP). Wielokrotność R 0, R kwadrat 0, Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 888, Obserwacje / 77

61 Model Liniowy - Parametry Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 5150,09 374,451 13,7537 0, , ,82 Zmienna X1 831,039 32, ,9453 0, , , / 77

62 Model Liniowy - Parametry Więc model wyraża się wzorem X t = 5150, , 039t. Czyli oszacujemy że GDP rośnie o $831,039 rocznie [95% przedział (763,998; 898,080)]. Skoro model wyjaśnia więcej niż 97% wariancji GDP, wygląda na to że jest to dobra podstawa do prognozowania przyszłych wartości GDP. Ale parę wyników pokazuje że nie jest to prawda. 62 / 77

63 Model Liniowy - Prognozowanie Stała jest estymatorem GDP w czasie 0 (czyli w roku 1993). 95% przedział ufności (4366,35; 5933,82) nie pokrywa prawdziwego GDP w roku 1993 ($6180). Podstawiając t = 21, otrzymujemy prognozę GDP w roku ˆX 21 = 5150, , 039 = 22601, / 77

64 Model Liniowy - Prognozowanie Jest to mniejsze niż prawdziwe GDP w roku Jest to mało wiarygodne, skoro GDP rosło co roku przez 20 lat. Czyli nawet gdy model wyjaśnia więcej niż 97% wariancji zmiennej zależnej, może być kiepskim narzędziem do prognozowania. 64 / 77

65 Model Wykładniczy Mamy model X t = α 0 e α 1t. Przy takim modelu, α 1 jest średni wzrost (jako proporcja) na jednostkę czasu (tutaj rok). Najpierw, należy wyznaczyć zmienną Z t = f (X t ) taką że Z t zależy od t (zmiennej wyjaśniającej) w sposób liniowy. Weźmiemy funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej, czyli Z t = ln X t. W SPSS, aby obliczyć Z t, należy wybrać opcję Oblicz wartości zmiennej z menu Przekształcenia. 65 / 77

66 Model Wykładniczy Mamy X t = α 0 e α 1t. Z t = ln(x t )=ln(α 0 e α 1t ) =ln(α 0 ) + ln(e α 1t ) =ln(α 0 ) + α 1 t Pierwszy krok korzysta z faktu że ln(ab) = ln(a) + ln(b), drugi krok z faktu że logarytmowanie jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. 66 / 77

67 Model Wykładniczy Więc w Excelu lub SPSS-ie definiujemy trzecią zmienną Z t = ln(x t ), gdzie X t jest GDP w czasie t. Potem wyznaczamy równanie regresji gdzie zmienna zależna jest Z t i zmienna wyjaśniająca jest t. Ze wzoru na poprzednim slajdzie, stała w tym modelu jest ln(α 0 ) a współczynnik zmiennej Z t jest α / 77

68 Model Wykładniczy - Podsumowanie Podsumowanie modelu (widać że model wyjaśnia więcej niż 99% wariancji Z t (czyli ln(gdp) ). Wielokrotność R 0, R kwadrat 0, Dopasowany R kwadrat 0, Błąd standardowy 0, Obserwacje / 77

69 Model Wykładniczy - Parametry Współczynniki Błąd standardowy t Stat Wartość-p Dolne 95% Górne 95% Przecięcie 8, , ,136 0,0000 8, ,82121 Zmienna X1 0, , ,9663 0,0000 0, , / 77

70 Model Wykładniczy - Parametry Stała 8, = ln(α 0 ). Więc α 0 = e 8,79268 = 6585, 86. Współczynnik Z t 0, = α 1. Jest to średni wzrost (jako proporcja) w okresie (czyli około 6,4%). 70 / 77

71 Model Wykładniczy - Parametry Więc mamy model X t = α 0 e α 1t = 6585, 86e 0,064082t Podstawiając t = 21, otrzymujemy prognozę produktu krajowego w roku ˆX 21 = 6585, 86e 0, = 25296, 02. Prognoza ta lepiej pasuje do naszych danych, choć nie jest idealna (zob. analiza reszt). 71 / 77

72 Model Liniowy - Analiza Reszt 72 / 77

73 Model Liniowy - Analiza Reszt Widać że reszty zmieniają się bardzo systematycznie. Na początku i końcu reszty są dodatnie, a w środku ujemne. Wskazuje na to że wzrost jest szybszy niż liniowy (często w tych przypadkach wzrost jest wyładniczy). 73 / 77

74 Model Liniowy - Analiza Reszt Zakładamy że okazuje się że na początku i końcu reszty są ujemne, a w środku dodatnie. Wskazuje na to że wzrost jest powolniejszy niż liniowy (np. logarytmatyczny). 74 / 77

75 Model Wykładniczy - Analiza Reszt Uwaga: Skoro GDP rośnie względem roku, rozrzuty w SPSS-ie wyglądają identycznie. Duże wartości na osi X odpowiadają dużym wartościom zmiennej wyjaśniającej. 75 / 77

76 Model Wykładniczy - Analiza Reszt W tym przypadku reszty się zmieniają mniej systematycznie, ale widać że sąsiednie reszty mają podobne wartości. Czyli reszty są skorelowane. Wynika to z własności takiego szeregu. Jeśli GDP jest względnie duże (małe) w jednym roku w porównaniu z prognozą, prawdopodobnie będzie względnie duże (odpowiednio, małe) w następnym. Regresja nie uwzględnia tych korelacji, ale analiza szeregów czasowych je uwzględnia. 76 / 77

77 Model Wykładniczy - Analiza Reszt Z ostatniego wykresu, widać że ostatnie dwie reszty są ujemne (czyli GDP jest względnie małe w porównaniu z prognozą). Czyli w 2014 oczekujemy że GDP będzie małe w porównaniu z prognozą opartą na tym modelu. Więc nasza prognoza ($25296,02) raczej przeszacowuje GDP w roku Analogicznie, prognoza oparta na model liniowy ($22 601,91) raczej niedoszacowuje GDP w roku 2014 (ostatnie reszty są dodatnie). 77 / 77

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik

MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

ANALIZA REGRESJI SPSS

ANALIZA REGRESJI SPSS NLIZ REGRESJI SPSS Metody badań geografii społeczno-ekonomicznej KORELCJ REGRESJ O ile celem korelacji jest zmierzenie siły związku liniowego między (najczęściej dwoma) zmiennymi, o tyle w regresji związek

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

Zaawansowana eksploracja danych - sprawozdanie nr 1 Rafał Kwiatkowski 89777, Poznań

Zaawansowana eksploracja danych - sprawozdanie nr 1 Rafał Kwiatkowski 89777, Poznań Zaawansowana eksploracja danych - sprawozdanie nr 1 Rafał Kwiatkowski 89777, Poznań 6.11.1 1 Badanie współzależności atrybutów jakościowych w wielowymiarowych tabelach danych. 1.1 Analiza współzależności

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Przykład 2. Stopa bezrobocia

Przykład 2. Stopa bezrobocia Przykład 2 Stopa bezrobocia Stopa bezrobocia. Komentarz: model ekonometryczny stopy bezrobocia w Polsce jest modelem nieliniowym autoregresyjnym. Podobnie jak model podaŝy pieniądza zbudowany został w

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY Będziemy zapisywać wektory w postaci (,, ) albo traktując go jak macierz jednokolumnową (dzięki temu nie będzie kontrowersji przy transponowaniu wektora ) Model

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych. Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna

Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych. Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna 1 Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna Spis treści Laboratorium VIII: Analiza kanoniczna... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Wstęp teoretyczny.... 2 Przykład... 2 Podstawowe pojęcia... 2 Założenia analizy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2014/2015 Analiza danych pomiarowych 1 LaboratoriumV: Podstawy korelacji i regresji Spis treści Laboratorium V: Podstawy korelacji i regresji...1 Wiadomości ogólne...2 1. Wstęp teoretyczny....2 1.1 Korelacja....2 1.2 Funkcja regresji....5

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

R-PEARSONA Zależność liniowa

R-PEARSONA Zależność liniowa R-PEARSONA Zależność liniowa Interpretacja wyników: wraz ze wzrostem wartości jednej zmiennej (np. zarobków) liniowo rosną wartości drugiej zmiennej (np. kwoty przeznaczanej na wakacje) czyli np. im wyższe

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji wielokrotnej - hierarchiczna

Analiza regresji wielokrotnej - hierarchiczna Analiza regresji wielokrotnej - hierarchiczna Poniżej prezentujemy przykładowe pytania z rozwiązaniami dotyczącymi analizy regresji wielokrotnej wykonanej metodą hierarchiczną. Wszystkie rozwiązania są

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1)

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wprowadzenie W przypadku danych mających charakter liczbowy do ich charakterystyki można wykorzystać tak zwane STATYSTYKI OPISOWE. Za pomocą statystyk opisowych można

Bardziej szczegółowo

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami

Proces modelowania zjawiska handlu zagranicznego towarami Załącznik nr 1 do raportu końcowego z wykonania pracy badawczej pt. Handel zagraniczny w województwach (NTS2) realizowanej przez Centrum Badań i Edukacji Statystycznej z siedzibą w Jachrance na podstawie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Materiał dla studentów Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie (studium przypadku) Część 3: Przykłady testowania niestacjonarności Nazwa przedmiotu: ekonometria finansowa I (22204), analiza

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji liniowej, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pawel@cibis.pl 23 lutego 2007 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych

Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania

Bardziej szczegółowo

Regresja liniowa wprowadzenie

Regresja liniowa wprowadzenie Regresja liniowa wprowadzenie a) Model regresji liniowej ma postać: gdzie jest zmienną objaśnianą (zależną); są zmiennymi objaśniającymi (niezależnymi); natomiast są parametrami modelu. jest składnikiem

Bardziej szczegółowo

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU

LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU LINIOWOŚĆ METODY OZNACZANIA ZAWARTOŚCI SUBSTANCJI NA PRZYKŁADZIE CHROMATOGRAFU Tomasz Demski, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wprowadzenie Jednym z elementów walidacji metod pomiarowych jest sprawdzenie liniowości

Bardziej szczegółowo

Co to jest analiza regresji?

Co to jest analiza regresji? Co to jest analiza regresji? Celem analizy regresji jest badanie związków pomiędzy wieloma zmiennymi niezależnymi (objaśniającymi) a zmienną zależną (objaśnianą), która musi mieć charakter liczbowy. W

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Korelacja i regresja Ewa Szczurek szczurek@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski 1/30 Ostrożnie z interpretacją p wartości p wartości zależą od dwóch rzeczy

Bardziej szczegółowo

Mikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Mikroekonometria 13. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Mikroekonometria 13 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Endogeniczność regresja liniowa W regresji liniowej estymujemy następujące równanie: i i i Metoda Najmniejszych Kwadratów zakłada, że wszystkie zmienne

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady.

Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady. Współliniowość zmiennych objaśniających: test Walda i test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających - przykłady. Przykład: Test Walda a test Studenta w badaniu istotności zmiennych objaśniających.

Bardziej szczegółowo

Indeksy dynamiki (o stałej i zmiennej podstawie)

Indeksy dynamiki (o stałej i zmiennej podstawie) Indeksy dynamiki (o stałej i zmiennej podstawie) Proste indeksy dynamiki określają tempo zmian pojedynczego szeregu czasowego. Wyodrębnia się dwa podstawowe typy indeksów: indeksy o stałej podstawie; indeksy

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD?

Dlaczego należy uwzględniać zarówno wynik maturalny jak i wskaźnik EWD? EWD co to jest? Metoda EWD to zestaw technik statystycznych pozwalających oszacować wkład szkoły w końcowe wyniki egzaminacyjne. Wkład ten nazywamy właśnie edukacyjną wartością dodaną. EWD jest egzaminacyjnym

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 3) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Dwuczynnikowa analiza wariancji (2-way

Bardziej szczegółowo

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska

Analiza regresji część II. Agnieszka Nowak - Brzezińska Analiza regresji część II Agnieszka Nowak - Brzezińska Niebezpieczeństwo ekstrapolacji Analitycy powinni ograniczyć predykcję i estymację, które są wykonywane za pomocą równania regresji dla wartości objaśniającej

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej. Paweł Cibis

Ekonometria. Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej. Paweł Cibis Regresja liniowa, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, współczynnik korelacji wielorakiej Paweł Cibis pcibis@o2.pl 9 marca 2006 1 Regresja liniowa 2 wzory funkcje 3 Korelacja liniowa wzory

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Nieliniowe. Liniowe. Nieliniowe. Liniowe. względem parametrów. Linearyzowane. sensu stricto

Nieliniowe. Liniowe. Nieliniowe. Liniowe. względem parametrów. Linearyzowane. sensu stricto Ekonometria jak dorać funkcję? Przykłady użyte w materiałach opracowano w większości na azie danych ze skryptu B.Guzik, W.Jurek Podstawowe metody ekonometrii (wyd. AE Poznań 3) W doorze postaci funkcji

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne

6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne 6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej:

1. Eliminuje się ze zbioru potencjalnych zmiennych te zmienne dla których korelacja ze zmienną objaśnianą jest mniejsza od krytycznej: Metoda analizy macierzy współczynników korelacji Idea metody sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i równocześnie słabo skorelowane

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007

Ekonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007 Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa Paweł Cibis pawel@cibis.pl 24 marca 2007 1 Regresja liniowa 2 Metoda aprioryczna Metoda heurystyczna Metoda oceny wzrokowej rozrzutu

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii

Przedmowa Wykaz symboli Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii SPIS TREŚCI Przedmowa... 11 Wykaz symboli... 15 Litery alfabetu greckiego wykorzystywane w podręczniku... 15 Symbole wykorzystywane w zagadnieniach teorii mnogości (rachunku zbiorów)... 16 Symbole stosowane

Bardziej szczegółowo

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd. Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO

Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Zakres materiału obowiązujący do egzaminu poprawkowego z matematyki klasa 1 d LO Dział programowy. Zakres realizacji 1. Liczby, działania i procenty Liczby wymierne i liczby niewymierne-działania, kolejność

Bardziej szczegółowo

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6

Wielkość dziennego obrotu w tys. zł. (y) Liczba ekspedientek (x) 6 2 4 5,5 6,6 Zad. 1. Zbadano wydajność odmiany pomidorów na 100 poletkach doświadczalnych. W wyniku przeliczeń otrzymano przeciętną wydajność na w tonach na hektar x=30 i s 2 x =7. Przyjmując, że rozkład plonów pomidora

Bardziej szczegółowo

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Prezentacja materiału statystycznego Szeroko rozumiane modelowanie i prognozowanie jest zwykle kluczowym celem analizy danych. Aby zbudować model wyjaśniający relacje pomiędzy różnymi aspektami rozważanego

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy

Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań z R:

Szkice rozwiązań z R: Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami

Bardziej szczegółowo

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.

REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części

Bardziej szczegółowo

Staże Ośrodka RENOWATOR

Staże Ośrodka RENOWATOR Staże Ośrodka RENOWATOR Badanie zależności ceny nieruchomości od położenia i innych cech Analiza Beata Kalinowska-Rybka W listopadzie 26r zbierałam informacje dotyczące nieruchomości, o następującej postaci:

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ

REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ Korelacja oznacza fakt współzależności zmiennych, czyli istnienie powiązania pomiędzy nimi. Siłę i kierunek powiązania określa się za pomocą współczynnika korelacji

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 32 obserwacji 1964-1995 Zmienna zależna: st_g

Model 1: Estymacja KMNK z wykorzystaniem 32 obserwacji 1964-1995 Zmienna zależna: st_g Zadanie 1 Dla modelu DL dla zależności stopy wzrostu konsumpcji benzyny od stopy wzrostu dochodu oraz od stopy wzrostu cen benzyny w latach 1960 i 1995 otrzymaliśmy następujące oszacowanie parametrów.

Bardziej szczegółowo