1 Zbiór liczb rzeczywistych

Transkrypt

1 Zbiór liczb rzeczywistych Pojęcieliczbyzmieniałosięwczasie.Najpierwbyłyliczbynaturalne:,,,...,potem ułamki, czyli liczby wymierne. W czasach Pitagorasa pojawiły się liczby niewymierne takiejaknp.,aznaczniepóźniejliczbyujemneiliczba0(dopierowviiiwieku). Wszystkie te liczby obejmujemy wspólną nazwą liczb rzeczywistych. Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. Podkreślamy, że 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna. Inną ważną liczbą niewymierną jest ( e=lim n + n) n,78... nazywanateżliczbąeulera. Każda liczba niewymierna ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne. Jest to warunek konieczny niewymierności liczby. Nie jest on jednak dostateczny, bo liczby wymierne(a nawetnaturalne!)teżmogąmiećnieskończonerozwinięciadziesiętne,np. =0,(), =0,(9).(wtymzapisienawiasoznacza,żecyfrapowtarzasięnieskończeniewiele razy) Pojęcia definiowane dalej odnoszą się do zbiorów będących podzbiorami liczb rzeczywistych.. Zbioryograniczone DefinicjaZbiórXjestograniczonyzdołu,gdyistniejetakaliczbam,że x X x m. Analogicznie,Xjestograniczonyzgóry,gdyistniejetakaliczbaM,że x X x m. Liczby m, M nazywamy ograniczeniem dolnym i ograniczeniem górnym zbioru X. Przykłady.ZbiórA={,5,9,,...}jestograniczonyzdołu(ograniczeniemjestliczba,lub dowolna liczba mniejsza od ), nie jest natomiast ograniczony z góry..przedziałb=(,)niejestograniczonyzdołu,alejestograniczonyzgóry(liczbą lubliczbąwiększąod)..zbiórd={ n 7:n N}jestograniczonyzdołu(możnawykazać,żewszystkie pierwiastki sa większe od ), i z góry(łatwo wykazać, że wszystkie pierwiastki sa mniejsze od7). Więcejinformacjiwrozdzialeociągach.

2 . Kresyzbiorów Jak widzieliśmy, ograniczenia zbiorów(jeśli w ogóle istnieją) nie są wyznaczone jednoznacznie. Dość naturalne jest żądanie, by podać najmniejsze ograniczenie górne i największe ograniczenie dolne. Definicja Kresem dolnym zbioru X ograniczonego z dołu nazywamy największą liczbę a ograniczającą ten zbiór z dołu. Symbolicznie warunek ten możemy zapisać następująco: x X x a ǫ>0 x0 Xx 0 <a+ǫ. Piszemy:a=infX.DlazbiorunieograniczonegoinfX=. Definicja Kresem górnym zbioru X ograniczonego z góry nazywamy najmniejszą liczbę b ograniczającą ten zbiór z góry. Symbolicznie warunek ten możemy zapisać następująco: x X x b ǫ>0 x0 Xx 0 >b ǫ. Piszemy:b=supX.DlazbiorunieograniczonegosupX=. Przykłady(patrz przykłady wyżej).zbióra={,5,9,,...}makresdolny,aniemakresugórnego:infa=, supa=..przedziałb=(,)niemakresudolnego,akresemgórnymjest:infb=, supb=..dlazbiorud={ n 7:n N}mamy:infD=,supD=7. Zwróćmy uwagę, że kres może(lecz nie musi!) być elementem danego zbioru. W przykładzieinfa= A,wprzykładziesupB= B,wprzykładzieinfD= D, supd=7= 7 D.Zauważmyteż,żekresdolny(odp.:górny)jestelementemdanego zbioru, gdy w tym zbiorze istnieje element najmniejszy(odp.: największy). Pojęcie kresu jest wygodniejsze od pojęcia elementu najmniejszego, czy największego, bo te elementy niezawszeistnieją,akresy tak. Funkcje podstawowe pojęcia Definicja Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Piszemy np.f:x Y.Wartośćfunkcjifwpunkciexoznaczamyf(x). Funkcja jest więc zbiorem par liczb postaci(x, f(x)), a więc jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X Y. Zaznaczając te pary jako punkty w układzie współrzędnych Oxyotrzymujemywykresfunkcji.ZbiórXnazywamydziedzinąfunkcji(ozn.D f ),ay przeciwdziedziną. Z kolei zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji. Wymienimy teraz ważniejsze typy funkcji. {f(x) Y :x D f }

3 Funkcjęf:X Rnazywamyokresową,gdy T>0 x X x±t Xorazf(x+T)=f(x). Warunek ten geometrycznie oznacza, że wykres funkcji nie zmienia się po przesunięciu owektor v=(t,0).liczbętnazywamyokresemfunkcji.okresniejestwyznaczony jednoznacznie,bojeślitjestokresemfunkcjif,tokażdaliczba±t,±t,...jestteż okresem. Najchętniej posługujemy się okresem minimalnym, np. dla funkcji sin x, cos x jestto,adlafunkcjitgx,ctgx liczba.jednakokresminimalnyniemusiistnieć każdafunkcjastałaf(x)=cjestfunkcjąokresową,aokresemjestdowolnaliczba! Innym przykładem funkcji okresowej bez okresu minimalnego jest funkcja Dirichleta: gdyx Q f(x)= 0 gdyx Q. Okresem tej funkcji jest każda liczba wymierna. Funkcjęf:X Rnazywamyparzystą,gdy x X x Xorazf( x)=f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy. Funkcjęf:X Rnazywamynieparzystą,gdy x X x Xorazf( x)= f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Nazwy biorą się stąd, że wśród wielomianów funkcjami parzystymi są te, które mają wykładnikiparzyste,np.x,x 7x.Zkoleinieparzystetonp.x +x.funkcjami nieparzystymisateżsinx,ctgx,tgx,natomiastcosxjestfunkcjąparzystą. Jeżeli zbiór wartości funkcji jest ograniczony, to funkcję nazywamy ograniczoną. Ta własność istotnie zależy od dziedziny funkcji. Np. funkcja tg x rozpatrywana w przedziale [ /, /] jest ograniczona(zbiorem wartości jest przedział[, ]), a w przedziale ( /, /) jest nieograniczona(zbiorem wartości jest przedział(, )). Na koniec przypomnimy pojęcie funkcji monotonicznej. Ta nazwa obejmuje funkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące. FunkcjafjestrosnącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x )<f(x )). FunkcjafjestmalejącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x )>f(x )). FunkcjafjestniemalejącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x ) f(x )). FunkcjafjestnierosnącanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x <x )= (f(x ) f(x )). Monotonicznośćfunkcjistwierdzamybadającznakróżnicyf(x ) f(x )przyzałożeniu, żex >x.jeślijestonstały,tofunkcjajestmonotoniczna.rodzajznaku(>0,<0, 0, 0)wyjaśniajakijesttypmonotoniczności.

4 . Funkcjezłożone Definicja5Niechf:X Y,g:Z W,przyczymY Z.Wtedyfunkcję nazywamy złożeniem funkcji f i g. (g f)(x)=g(f(x)) dlax X Funkcję g f nazywamy funkcją złożoną; funkcje f nazywamy wewnętrzną, funkcję g zewnętrzną. Jak widać, złożenie istnieje tylko wtedy, gdy każda wartość funkcji wewnętrznej należy do dziedziny funkcji zewnętrznej(przykład niżej). Składaniefunkcjijestnieprzemienne,tzn.naogółg fjestczyminnymniżf g. Przykłady.Niechf(x)=x,g(x)= x.wtedy(g f)(x)= x dlax R,a(f g)(x)=xdla x 0..Niechf(x)=sinx,g(x)= x.wtedy(g f)(x)= sinx dlax R,a(f g)(x)=sin( x ) dlax R..Niechf(x)= x,g(x)=logx.wtedy(g f)(x)nieistnieje,a(f g)(x)= (logx) dlax>0.. Funkcjeodwrotne Definicja6FunkcjafjestróżnowartościowanazbiorzeA D f,jeżeli x,x A(x x )= (f(x ) f(x )). Znaczy to, że różnym wartościom argumentu odpowiadają różne wartości funkcji. Implikację powyższą można przekształcić korzystając z prawa transpozycji( patrz s.??): x,x A(f(x )=f(x ))= (x =x ). Warunek zapisany w tej postaci jest łatwiejszy do sprawdzenia. PrzykładWykażemy,żefunkcjaf(x)=x +x+jestróżnowartościowa.zakładamy, żef(x )=f(x ),czyli x +x +=x +x +, x x +x x =0, (x x )(x +x x +x )+(x x )=0, (x x )(x +x x +x +)=0. Alex +x x +x +=x +(x +x ) +x +>0,więcmusibyćx x =0, czylix =x. O funkcjach różnowartościowych mówimy też, że są wzajemnie jednoznaczne lub jednojednoznaczne. Totakjakzzakładaniemskarpetekibutów kolejnośćjestważna.

5 y y=x y=x y= x x Rysunek : Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych Definicja7Niechfunkcjaf :X Y będzieróżnowartościowanaxiniechjej zbioremwartościbędziecałyzbióry.funkcjęf :Y Xokreślonąwarunkiem: nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f. f (y)=x y=f(x) Zwyczajowo zamieniamy zmienne miejscami; chodzi o to, żeby argumentem był x, a wartością y. Skutkiem tej zamiany jest symetria wykresów funkcji wzajemnie odwrotnych. Pokazujemytonaprzykładziefunkcjiy=x iy= x. Przykład Znaleźć funkcję odwrotną do danej:.y= x + Tafunkcjajestróżnowartościowadlax Rijejzbioremwartościjest(0,).Aby znaleźć odwrotną traktujemy wzór określający funkcję jak równanie z niewiadomą x. Mamy zatem: y( x +)=, x += y, x = y, x=log ( y ). Zamieniamyxzy: y=log ( x ). Jesttofunkcja(0,) R.Jejwykresjestsymetrycznydowykresufunkcjiy= x + względemprostejy=x. 5

6 y y=log ( x ) y=x y= x + x Rysunek : Wykresy funkcji z przykładu.y= x+ x Dziedziną jest(, /) (/, ), zbiorem wartości(, /) (/, ). Wyliczamy x: y(x )=x+, Pozamianiexzy: xy x=y+, x(y )=y+, x= y+ y. y= x+ x. Jest to funkcja(, /) (/, ) (, /) (/, ). Wykres jest symetryczny dowykresufunkcjiy= x+ x względemprostejy=x. Funkcjewielomianowe Definicja 8 Funkcją wielomianową(krócej: wielomianem) nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=a n x n +a n x n + +a x+a 0, a n 0. Liczbya k,gdziek=0,,...nnazywamywspółczynnikamiwielomianu.liczbęnnazywamy stopniem wielomianu. Jeżeli jest tylko jeden współczynnik niezerowy, to wielomian nazywamy jednomianem. Analogicznie używamy nazw: dwumian, trójmian. Dziedziną naturalną funkcji wielomianowej jest cały zbiór R. 6

7 y=x y=x x Rysunek : Wykresy przykładowych wielomianów Funkcjewykładnicze Definicja 9 Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=a x, gdziea>0,a 8 7 ( )x = x 0 x e x x Rysunek : Wykresy niektórych funkcji wykładniczych 7

8 Dziedziną naturalną funkcji wykładniczej jest cały zbiór R. Funkcjawykładniczajestrosnącagdypodstawaajestwiększaod,amalejącagdya jest mniejsza od. 5 Funkcjelogarytmiczne Definicja 0 Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję określoną wzorem: f(x)=log a x, gdziea>0,a Naturalnądziedzinątejfunkcjijestzbiór R + liczbwiększychodzera. Funkcja logarytmiczna jest rosnąca gdy podstawa a jest większa od, a malejąca gdy a jest mniejsza od. log x lnx 0 log 0 x log 0.5 x Rysunek 5: Wykresy niektórych funkcji logarytmicznych 6 Funkcjetrygonometryczne Przyjmujemy, że Czytelnik zna określenia funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, i ogólniej: kąta skierowanego(kąt jest mierzony w stopniach). Podamy teraz określenia funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej. Zaczniemy od wprowadzenia innej niż stopnie miary kąta. Definicja Niech będzie dany dowolny kąt. Z jego wierzchołka zataczamy okrąg o dowolnym promieniu r. Niech l oznacza łuk będący częścią wspólną tego okręgu i obszaru danego kąta. Stosunek długości tego łuku do promienia nazywamy łukową miarą kąta. Zatem łukowamiarakąta= l r. Zauważmy, że przy zmianie promienia r zmienia się proporcjonalnie łuk l, zatem stosunek jest zawsze taki sam. 8

9 Jeżeli łukowa miara kąta jest równa, to kąt nazywamy radianem. Inaczej, radian jest miarą kąta w którym łuk jest równy promieniowi. Przykłady. Miarą łukową kąta pełnego jest, bo łuk zatoczony promieniem r ma wtedy długość r..kątpółpełnymamiarę. Każdy nieco lepszy kalkulator pozwala na przeliczenie miary łukowej na stopniową, i odwrotnie. Zasada zamiany jednej miary na drugą jest prosta. Jeśli miarę łukową danego kątaoznaczymyprzezϕ,akątową:ϕ,tozachodziproporcja czyli ϕ:=ϕ :80, ϕ = 80 ϕ oraz ϕ= 80 ϕ. Przykłady.Jakajestmiarałukowakąta?. Wyrazić radian w stopniach. ϕ= 80 =0,7505. ϕ = 80 =57,958. Cyfrypoprzecinkuoznaczają Zwyklestopieńdzielimynaminuty,ate nasekundy.zatem. radian= Poniższa tabelka pokazuje miary łukowe kątów podanych w stopniach. Stopnie Radiany Od tej pory przyjmujemy, że funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej to funkcje łukowej miary kąta. Definicja Sinusem liczby x nazywamy sinus kąta skierowanego, którego miarą łukowąjestx. Analogicznie określamy pozostałe funkcje trygonometryczne. Znane własności funkcji trygonometrycznych należy teraz wysłowić inaczej. Oto przykłady. Okresempodstawowymfunkcjisinxjestliczba.Zatemsin(x+k)=sinxdla dowolnej liczby całkowitej k. Analogicznie jest dla cosinusa. Okresempodstawowymfunkcjitgxjestliczba.Zatemtg(x+k)=tgxdladowolnej liczby całkowitej k. Analogicznie jest dla cotangensa. Funkcjesinxicosxsąokreślonewprzedziale(,+ ). 9

10 Funkcjatgxjestokreślonawkażdymprzedzialepostaci( +k, +k),gdziek= 0,±,±,... Funkcjactgxjestokreślonawkażdymprzedzialepostaci(k,(k+)),gdziek= 0,±,±,... Sinus jest funkcja nieparzystą, tzn. sin( x) = sin x. Cosinus jest funkcja parzystą, tzn.cos( x)=cosx. Funkcje tangens i cotangens są nieparzyste. Poniższa tabelka zawiera wartości funkcji trygonometrycznych, które należy znać na pamięć. Symbol X oznacza, że wartość nie istnieje. Kąt 0 6 sinx 0 cosx tgx 0 ctgx X 0 X 0 Wartości funkcji trygonometrycznych dla innych kątów znajdujemy korzystając z tzw. wzorów redukcyjnych. Oto niektóre z nich. sin( x)=cosxsin( x)=sinx cos( x)=sinxcos( x)= cosx tg( x)=ctgx Ogólnezasadysątakie:jeżeliwewzorzewystępujekąt lub,tofunkcjazmieniasię na kofunkcję; jeżeli we wzorze występuje kąt lub, to funkcja pozostaje bez zmian. Natomiast znak po prawej stronie ustalamy posługując się wiedzą o znakach funkcji w poszczególnych ćwiartkach(każdy powinien znać wierszyk: w pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tanges i cotangens, a w czwartej cosinus). y y=sinx 5 6 x Rysunek 6: Wykres funkcji sinus. 0

11 y y=cosx 5 6 x Rysunek 7: Wykres funkcji cosinus. y x Rysunek 8: Wykres funkcji tangens. y x Rysunek 9: Wykres funkcji cotangens. Jakwiadomo,ctgx= tgx.zatemtam,gdzietangenswynosi0,cotangensnieistnieje (występują asymptoty pionowe), i na odwrót.

12 7 Funkcjecyklometryczne Funkcje trygonometryczne nie są wprawdzie różnowartościowe na całej swojej dziedzinie, ale dla każdej z nich można łatwo znaleźć przedział na którym są różnowartościowe, i wtedy można określić funkcję odwrotną. DefinicjaRozpatrzmyfunkcjęsinx:[ /,/] [,].Funkcjęodwrotnądo niej nazywamy funkcją arc sin x. Zatem: y=arcsinx x=siny x [,] y [ /,/]. DefinicjaRozpatrzmyfunkcjęcosx:[0,] [,].Funkcjęodwrotnądoniej nazywamy funkcją arc cos x. Zatem: y=arccosx x=cosy x [,] y [0,]. Definicja5Rozpatrzmyfunkcjętgx:( /,/) (, ).Funkcjęodwrotną doniejnazywamyfunkcjąarctgx.zatem: y=arctgx x=tgy x (, ) y ( /,/). Definicja6Rozpatrzmyfunkcjęctgx:(0,) (, ).Funkcjęodwrotnądoniej nazywamy funkcją arc ctg x. Zatem: y=arcctgx x=ctgy x (, ) y (0,). Te cztery funkcje obejmujemy wspólną nazwą funkcji cyklometrycznych. Skrót arc w nazwach tych funkcji oznacza łuk, bo każda z tych funkcji przyporządkowuje liczbie będącej wartością funkcji trygonometrycznej miarę łukową odpowiedniego kąta. Ważne jest, by pamiętać dziedziny i przedziały wartości funkcji cyklometrycznych. Np. funkcja y = sin x posiada funkcje odwrotne w rozmaitych przedziałach, ale tylko dla przedziału[ /, /] używamy oznaczenia arc sin x. Istnieje wiele tożsamości dla funkcji trygonometrycznych, a z nich wynikają tożsamości dla funkcji cyklometrycznych. Przykład Wykazać, że arcsinx+arccosx=. Dowód.Oznaczmyu=arcsinx,v=arccosx.Zatemx [,],u [ /,/], v [0,].Ponadto: x=sinu, x=cosv, oraz ze wzoru redukcyjnego: Zatem sinu=cos(/ u). cos(/ u)=cosv. Alezarówno/ ujakivnależądoprzedziału[0,],wktórymfunkcjacosxjest różnowartościowa.stądwynika,żeargumentymusząbyćrówne:/ u=v,więc u+v=/,czyli: arcsinx+arccosx=.

13 PrzykładObliczyćarcsin /. Niechx=arcsin /.Wtedyzdefinicjisinx= /orazx [/,/].Zatem x=/. PrzykładWykazać,żecos(arcsinx)= x dla x. Oznaczmyarcsinx=y.Wtedysiny=x,y [/,/]oraz cos(arcsinx)=cosy=± sin y=± x. Aleznakminusjestwykluczony,bocosx 0w[/,/].Zatem 8 Funkcjeelementarne cos(arcsinx)= x. Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Natomiast funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi. W szczególności są to: wartość bezwzględna, wielomiany, funkcje wymierne. Funkcjami elementarnymi są również tzw. funkcje hiperboliczne zdefiniowane następująco. Definicja 7 Sinusem hiperbolicznym, oznaczanym sinh x nazywamy funkcję: sinhx= ex e x. Definicja 8 Cosinusem hiperbolicznym, oznaczanym cosh x nazywamy funkcję: coshx= ex +e x. Definicja 9 Tangensem hiperbolicznym, oznaczanym tgh x nazywamy funkcję: tghx= sinhx coshx =ex e x e x +e x. Definicja 0 Cotagensem hiperbolicznym, oznaczanym ctgh x nazywamy funkcję: ctghx= coshx sinhx =ex +e x e x e x. Dla funkcji hiperbolicznych istnieją tożsamości przypominające te dla funkcji trygonometrycznych. Przykładowo: cosh x sinh x=, sinhx=sinhxcoshx, coshx=cosh x+sinh x. Tożsamości te łatwo sprawdzić rachunkowo.

14 y y=coshx y=sinhx x Rysunek 0: Wykresy sinusa i cosinusa hiperbolicznego Łatwo sprawdzić także, że sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą, a cosinus hiperboliczny parzystą. Oprócz powyżej wymienionych, będziemy posługiwać się dwiema funkcjami nieelementarnymi:. Funkcja część całkowita przyporządkowująca liczbie x największą liczbę całkowitą niewiększą niż x: [x]=k dla k x<k+, gdzie k Z. Np.[ ]=0,[,]=,[,56]= 5,[ ]=.

15 . Funkcja signum(znak), oznaczana sgn x, i zdefiniowana następująco: sgnx= dla x<0 0 dla x=0 dla x>0 5