ZJAWISKA TRANSPORTU ZAŁOŻENIA

Transkrypt

1 ZJAWISKA TRANSPORTU Procesy ruchu ładunków/ masy/ energii pod wpływem czynników zewnętrznych (E B T m) ZAŁOŻENIA Stan równowagowy opisuje funkcja FD; Gdy pojawiają się pola zewnętrzne, rozkład elektronów zmienia się. Rozkład ten opisuje nierównowagowa funkcja rozkładu f(r,k,t); Zewnętrzne pola są na tyle słabe że nie powodują zmiany widma energii elektronów. Co oznacza ostatnie założenie? 1

2 Pole magnetyczne Słabe pola (?) Pole elektryczne Słabe pola (?) 2

3 Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne W polu elektrycznym nośniki ładunku przestają poruszać się wyłącznie bezładnym ruchem. Są unoszone w polu elektrycznym - pojawia się pewna prędkość (albo zgodna, albo przeciwna do pola elektrycznego)= prędkość unoszenia. Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne To, że nośniki ładunku mają pewną prędkość w kierunku pola elektrycznego oznacza również, że zmienia się funkcja rozkładu elektronów. kula Fermiego bez pola elektrycznego kula Fermiego w polu elektrycznym 3

4 Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne Wykres przedstawiający funkcję rozkładu Fermiego- Diraca: Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne Wielkość przesunięcia kuli Fermiego: k=mv d /ħ kula Fermiego w polu elektrycznym 4

5 Szczególny przypadek: tylko pole elektryczne To, że nośniki ładunku mają pewną prędkość w kierunku pola elektrycznego oznacza, że płynie prąd elektryczny. Prąd Natężenie prądu: wypadkowy ładunek (q) na jednostkę czasu (t) przepływający przez przekrój przewodnika. I= q/t I powierzchnia S Częściej korzysta się z pojęcia gęstości prądu. Gęstość prądu: wypadkowy ładunek na jednostkę czasu przepływający przez jednostkę powierzchni przekróju przewodnika j = q/ts 5

6 Prąd I x=v d t j = q/ts=ne/ts=n(ls)e/ts j=nel/t j=nev d S = pole przekroju poprzecznego przewodnika N = ładunek w objętości V= xs n = ilość nośników ładunku na jednostkę objętości (koncentracja) Prąd I x Prawo Ohma U = RI x R = ρ U = E x S j = I S j = 1 E ρ = σe 6

7 oporność i przewodność właściwa Prąd Elektron przyspiesza w czasie pomiędzy zderzeniami (czas τ) Velocity gained along x Present time v x1 -u x1 Last collision Electron 1 time t 1 Free time t v x1 -u x1 t 2 Electron 2 t time v x1 -u x1 v d qeτ = m t 3 Electron 3 t time Fig. 2.3: Velocity gained in the x-direction at time t from the electric field (Ex) for three electrons. There will be N electrons to consider in the metal. From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap ( McGraw-Hill, 2002) Prąd oporność i przewodność właściwa w stanie równowagi średnia prędkość unoszenia jest ustalona; tzn. przyspieszenie a = 0. v d qeτ = m j = nqv d = 2 nq Eτ m σ = j E = 2 nq τ m 7

8 Podsumowanie Prędkość unoszenia to prędkość kierunkowego ruchu nośników ładunku. Prędkość, którą nośniki nabywają przyspieszane przez pole elektryczne w czasie między zderzeniami. qeτ v d = m τ: czas pomiędzy zderzeniami (czas relaksacji). Przykłady V d n w metalu wynosi około e - cm -3 Typowe V d to kilka cm na sekundę Uwaga: średnia prędkość elektronów w metalu w temperaturze pokojowej: kilka * 10 8 cms -1! Większość drutów stopiłoby się przy prędkości V d rzędu 100 cms -1 8

9 Ruchliwość nośników ładunku n vd E µ = p vd E µ = τ e n * mn eτn * mp Miarą ruchliwości jest prędkość nabyta przez nośnik ładunku w jednostkowym polu elektrycznym (cm 2 /V.s). Dziury i elektrony różnią się ruchliwością. σ = en µ, j = enµ E n n n σ = ep µ, j = epµ E p x x n p x x Metale i półprzewodniki metal: półprzewodnik: 2 2 ne τ σ = m * ne τ σ n n =, σ p = m * n pe m 2 p τ p * 9

10 Przewodnictwo elektryczne: zależność od temperatury Przewodność elektryczna zależy od: koncentracji nośników ładunku, ich masy efektywnej oraz od czasu relaksacji. W przypadku metali tylko czas relaksacji zależy od temperatury. W półprzewodnikach: również koncentracja nośników ładunku. Przewodnictwo elektryczne: zależność od temperatury Istnieje wiele mechanizmów rozpraszania elektronów: na fononach domieszkach zjonizowanych domieszkach obojętnych innych defektach (np. dyslokacjach) domieszkach magnetycznych (efekt Kondo) elektronach 10

11 Przewodnictwo elektryczne: zależność od temperatury Strained region by impurity exerts a scattering force F = - d(pe) /dx Rozpraszanie elektronów τ I τ Τ Fig. 2.5: Two different types of scattering processes involving scattering from impurities alone and thermal vibrations alone. From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap ( McGraw-Hill, 2002) Przewodnictwo elektryczne: zależność od temperatury Wszystkie procesy rozpraszania są obecne jednocześnie. O tym, który z nich, w danych warunkach dominuje decyduje proces najszybszy (reguła Matthiesena). 1 1 = τ τ i Reguła Matthiesena: prawdopodobieństwo rozproszenia elektronu jest sumą prawdopodobieństw rozproszenia za pomocą poszczególnych procesów: 11

12 Metale W temperaturach wysokich dominuje rozpraszanie elektronfonon V = V na poziomie Fermiego = const Czas relaksacji : τ T -1. W niskich temperaturach w metalu zachodzi nisko-kątowe rozpraszanie elektron-fonon, w którym: τ T -5. Metale W temperaturach niskich dominuje rozpraszanie elektrondomieszki zjonizowane V = V na poziomie Fermiego = const Czas relaksacji : τ = const Domieszki obojętne, dyslokacje, naprężenia i inne defekty wnoszą wkład do oporu resztkowego (albo bardzo słaba zależność od temperatury, albo stały czynnik). 12

13 Metale W bardzo czystych metalach, w niskich temperaturach obserwuje się wkład do oporu od rozpraszania elektron-elektron. Oba elektrony uczestniczące w rozpraszaniu muszą mieć energię w zakresie kt wokół energii Fermiego. Dlatego prawdopodobieństwo rozproszenia jest zależne od temperatury: 1 = τ ( kt ) 2 E F 2 Metale Razem: 13

14 Zależność oporu metalu od temperatury w całym zakresie ρ T Resistivity (nω m) ρ = ρ R ρ T 5 ρ (nω m) ρ T ρ T ρ = ρ R T (K) Temperature (K) Fig.2.7: The resistivity of copper from lowest to highest temperatures (near melting temperature, 1358 K) on a log-log plot. Above about 100 K, ρ T, whereas at low temperatures, ρ T 5 and at the lowest temperatures ρ approaches the residual resistivity ρ R. The inset shows the ρ vs. T behavior below 100 K on a linear plot ( ρ R is too small on this scale). From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap ( McGraw-Hill, 2002) Efekt Kondo W niektórych metalach zawierających domieszki magnetyczne obserwuje się tzw efekt Kondo: minimum oporu w pewnej, niskiej temperaturze. Za to zjawisko odpowiedzialne jest rozpraszanie elektronów ze zmianą spinu. 14

15 PÓŁPRZEWODNIK W temperaturach wysokich dominuje rozpraszanie elektronfonon V jest proporcjonalne do T 1/2 Czas relaksacji : <τ > T -3/2. PÓŁPRZEWODNIK W temperaturach niskich dominuje rozpraszanie elektrondomieszki zjonizowane V jest proporcjonalne do T 1/2 Czas relaksacji : <τ> T 3/2. 15

16 PÓŁPRZEWODNIK Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od temperatury w półprzewodniku niezdegenerowanym. PÓŁPRZEWODNIK Zależność ruchliwości (czasu relaksacji) od temperatury w półprzewodniku niezdegenerowanym wraz z prawdziwymi wynikami. 16

17 PÓŁPRZEWODNIK O przewodnictwie półprzewodnika decyduje zależność koncentracji nośników ładunku od temperatury. W przypadku półprzewodnika domieszkowanego: ln(n d ) ln(n) T i Intrinsic slope = -E g /2k n i (T) Extrinsic T s Ionization slope = - E/2k Fig. 5.15: The temperature dependence of the electron concentration in an n-type semiconductor. 1/T From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap ( McGraw-Hill, 2002) Transport ciepła Transport ciepła może odbywać się wskutek: zjawisk dyfuzyjnych wynikających z istnienia gradientu temperatury; uporządkowanego ruchu ładunków; r W = Π r j κ T 17

18 Przewodnictwo cieplne: podstawy. cząstkami przenoszącymi energię cieplną są: Fonony (kwanty drgań sieci krystalicznej, są to nie tyle cząstki, co tzw. quasicząstki); Elektrony (ich udział jest istotny tylko w metalach i półprzewodnikach); j q r = nev = κ T Przewodnictwo cieplne: podstawy. Pewna cząstka, w pewnej chwili, znajduje się w punkcie x o temperaturze T. Ma ona, zatem energię odpowiadającą tej temperaturze E(T(x)). Po czasie τ, cząstka ta ulegnie rozproszeniu na czymś, co znajduje się w punkcie x+vτ. Punkt ten ma inną temperaturę, zatem po rozproszeniu, cząstka też będzie miała odpowiednio inną energię; E(T(x+vτ)). T(x), E(T(x)), v x T(x), E(T(x)), v x T(x+vτ), E(T(x+vτ)), v x+vτ 18

19 Zatem, współczynnik przewodnictwa cieplnego wynosi: Gdzie: Przewodnictwo cieplne: podstawy. κ = 1 vc vλ = v τc v v jest średnią prędkością cząstki przenoszącej energię cieplną; λ jest jej średnią drogą swobodną (przebywaną między zderzeniami); c v jest odpowiednim ciepłem właściwym. τ- czas relaksacji Całkowite przewodnictwo cieplne ciała stałego jest sumą przewodnictwa elektronowego i sieciowego. W metalach poniżej temperatury Debye a dominuje przewodnictwo elektronowe. W półprzewodnikach dopiero w wysokich temperaturach przewodnictwo elektronowe staje się istotne (InSb T>500K, Si T>1000K). Wyniki doświadczalne: miedź NaF (przewodnictwo wyłącznie fononowe 19

20 Elektronowe przewodnictwo cieplne metalu HEAT HOT COLD Electron Gas Vibrating Cu + ions Fig. 2.18: Thermal conduction in a metal involves transferring energy from the hot region to the cold region by conduction electrons. More energetic electrons (shown with longer velocity vectors) from the hotter regions arrive at cooler regions and collide there with lattice vibrations and transfer their energy. Lengths of arrowed lines on atoms represent the magnitudes of atomic vibrations. From Principles of Electronic Materials and Devices, Second Edition, S.O. Kasap ( McGraw-Hill, 2002) W metalach znane jest również eksperymentalne prawo Wiedemannna Franza: κ L = = σ T const 20

21 Prawo Wiedemanna- Franza : W niezbyt niskich temperaturach, stosunek przewodnictwa cieplnego metalu do jego przewodnictwa elektrycznego jest proporcjonalny do temperatury, a stała proporcjonalności nie zależy od rodzaju metalu. K el σt = π 2 nk B2 τ 3m * ne 2 τ m * = π 2 3 k B e 2 L = W Ω / K 2 Metal 0 C 100 C Metal 0 C 100 C Ag Pb Au Pt Cu W Mo Zn Przewodnictwo cieplne w T=298 K, [W/mK] 1. Diament Nanorurki Cu Au Al

22 Wpływ gradientu temperatury na funkcję rozkładu 22