Statystyczna Analiza Danych - Zadania 5

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Statystyczna Analiza Danych - Zadania 5"

Eugeniusz Chmiel
6 lat temu
Przeglądów:

1 Zadanie 1 Statystyczna Analiza Danych - Zadania 5 Aleksander Adamowski (s1869) Liczba nie zdanych egzaminów w ciągu semestru przez losowo wybranego studenta pewnej uczelni jest zmienn ą losow ą X o funkcji prawdopodobieństwa danej tabel ą x p(x) 0, 7 0,25 0,05 Oblicz wartość średni ą i wariancj ę liczby nie zdanych egzaminów przez studenta tej uczelni. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że losowo wybrany student nie zda 2 egzaminów, jeśli wiadomo, że nie zdał co najmniej jednego egzaminu. Wartość średnia: X =0 0,7 1 0,25 2 0,05 =0,35 > wartosci<-c(0,1,2) > prawdopodobienstwa<-c(0.8,0.25,0.05) > weighted.mean(wartosci, prawdopodobienstwa) [1] 0.35 Wariancja: X 2 = 0 0,35 2 0,7 1 0,35 2 0,25 2 0,35 2 0,05 =0,3275 > sum(((wartosci-weighted.mean(wartosci, prawdopodobienstwa))^2) *prawdopodobienstwa) [1] Niech A oznacza nie zdanie 2 egzaminów, B oznacza nie zdanie co najmniej jednego egzaminu. P(A) = 0,05 P(B) = 0,25 + 0,05 = 0,3 P A B =0,05 P A B = P A B = 0,05 P B 0,3 0,1667 Zadanie 2 Firma zakupiła nowe monitory tej samej marki.

2 Prawdopodobieństwo, że monitor tej marki ulegnie awarii w okresie gwarancji wynosi 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa monitory ulegn ą awarii w okresie gwarancji, nie wszystkie monitory ulegn ą awarii w okresie gwarancji, (c) co najmniej jeden monitor ulegnie awarii w okresie gwarancji. Jaka jest wartość średnia i wariancja liczby komputerów, które ulegną awarii w okresie gwarancji? Niech zmienna losowa X oznacza liczb ę monitorów, które uległy awarii. Zmienna ma rozkład dwumianowy z n = i p = 0,05. Zatem P X=2 =b 2 ;, 0,05 = 2 0,052 0,95 2 =0, P X =b 0 ;, 0,05 b 1 ;, 0,05 b 2 ;, 0,05 b 3 ;, 0,05 P X = 0 0,050 0,95 1 0,051 0, ,052 0, ,053 0,95 1 (c) P X 1 =1 b 0 ;, 0,05 P X 1 =1 0 0,10 0,9 =0, Wartość ś rednia i wariancja: P X =0, a) Obliczenie wszystkich wartości funkcji prawdopodobieństwa: P X=0 =b 0 ;, 0,05 = 0 0,10 0,9 =0, P X=1 =b 1 ;, 0,05 = 1 0,11 0,9 3 =0,17175 P X=2 =b 2 ;, 0,05 = 2 0,12 0,9 2 =0, P X=3 =b 3 ;, 0,05 = 3 0,13 0,9 1 =0,00075 P X= =b ;, 0,05 = 0,1 0,9 0 =0, b) wartość średnia: 0 0, , , , , =0,2

3 c) wariancja: 0 0,2 2 0, ,2 2 0, ,2 2 0, ,2 2 0, ,2 2 0, =0,19 Pomocniczy program zadania5_2.r: # Pomocnicza funkcja wyliczajaca b(k; n, p): rdwumianfunkcjap<-function(k, n, p) { if(!missing(k) &!missing(n) &!missing(p)) { return(choose(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)) } return(na); } options(digits=7) num<- prob<-0.05 # Wyliczenia dla zadania nr. 2: zad2x<-(0:) zad2prawdopodobienstwa = sapply(zad2x, rdwumianfunkcjap, n=num, p=prob) print("prawdopodobienstwa:") print(zad2prawdopodobienstwa) # Czy prawdopodobienstwa sumuja sie do jednego? print(paste("prawdopodobienstwa sumuja sie do:", sum(zad2prawdopodobienstwa))) # Wartosc srednia: # Wartosc srednia: mi<-weighted.mean(zad2x, zad2prawdopodobienstwa) print(paste("wartosc srednia:", mi)) # Wariancja: war<-sum(((zad2x-mi)^2)*zad2prawdopodobienstwa) print(paste("wariancja:", war)) Wynik działania: > source("zadania5_2.r") [1] "Prawdopodobienstwa:" [1] [1] "Prawdopodobienstwa sumuja sie do: 1" [1] "Wartosc srednia: 0.2" [1] "Wariancja: 0.19" Zadanie 3 Liczba huraganów w ciągu roku w pewnym rejonie USA jest zmienną losow ą o rozkładzie Poissona ze średni ą 2. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w ciągu roku w tym rejonie wystąpi ą 3 huragany,

4 będzie co najmniej 1 huragan, (c) nie będzie huraganu. Niech zmienna losowa X oznacza liczb ę huraganów. P X=3 =p 3 ;2 = e > dpois(3,2) [1] ! = 3 e 2 0,180 P X 0 =1 P X=0 =1 p 0 ;2 =1 e > ppois(0, 2, lower.tail = FALSE) [1] (c) P X=0 =p 0 ;2 = e > dpois(0,2) [1] Zadanie 0! = 1 e 2 0,1353 0! =1 1 e 2 0,867 Liczba zamówie ń na usługi informatyczne, które otrzymuje w ciągu miesiąca pewna firma komputerowa jest zmienn ą losow ą o rozkładzie Poissona ze średni ą 9. Korzystając z przybliżenia rozkładem normalnym oblicz przybliżone prawdopodobieństwo, że firma otrzyma w ciągu miesiąca co najmniej 0 zamówie ń, mniej ni ż 55 zamówie ń. Niech zmienna losowa X oznacza liczb ę zamówie ń.

5 P X 39 =P X P Z 10 7 =1 P Z 10 7 = P X = ,9222 Ostatnia wartość wzięta z tablic w książce KM. P X 5 =P X wzięta z tablic w książce KM. Pomocniczy program zadania5_.r: P Z 5 7 = 5 7 0,7611. Ostatnia wartość print("prawdopodobienstwo, ze firma otrzyma w ciagu miesiaca co najmniej 0 zamowien:") print("wg rozkladu Poissona:") print(ppois(39, 9, lower.tail = FALSE)) print("wg rozkladu normalnego:") print(pnorm(39, 9, sqrt(9), lower.tail = FALSE)) print("prawdopodobienstwo, ze firma otrzyma w ciagu miesiaca mniej niz 55 zamowien:") print("wg rozkladu Poissona:") print(ppois(5, 9, lower.tail = TRUE)) print("wg rozkladu normalnego:") print(pnorm(5, 9, sqrt(9), lower.tail = TRUE)) Wynik działania: > source("zadania5_.r") [1] "prawdopodobienstwo, ze firma otrzyma w ciagu miesiaca co najmniej 0 zamowien:" [1] "wg rozkladu Poissona:" [1] [1] "wg rozkladu normalnego:" [1] [1] "prawdopodobienstwo, ze firma otrzyma w ciagu miesiaca mniej niz 55 zamowien:" [1] "wg rozkladu Poissona:" [1] [1] "wg rozkladu normalnego:" [1]