Wykład z modelowania matematycznego.
|
|
- Iwona Wysocka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład z modelowania matematycznego.
2 Modele z jedną populacją. Problem. Szybkość zmian zagęszczenia populacji. Założenia. Ciągłość procesów zachodzących w populacji (nawet w najkrótszym przedziale czasowym dzieje się coś co wpływa na dynamikę zagęszczenia - ktoś się rodzi i ktoś umiera). Oznaczenia. zagęszczenie populacji w chwili t N(t ) szybkość zmian zagęszczenia populacji w chwili t (t dt ) Uszczegółowienie problemu. Szybkość zmian zagęszczenia populacji przypadająca na jednego osobnika tej populacji lub inaczej względna szybkość zmian zagęszczenia populacji, tj. N dt N dt =? I. Model wzrostu wykładniczego Założenie. Szybkość zmian na jednego osobnika jest stała i równa r. Stała ta jest zwana współczynnikiem wzrostu populacji, r = b d, gdzie b jest współczynnikiem urodzeń, d jest współczynnikiem zgonów. N dt = r, N(t ) = N dt = rn, N(t ) = N Jest to równanie wzrostu wykładniczego (Thomas Malthus 798). Rozwiązanie. N(t) = N e r(t t ) Wnioski.. Jeśli N =, to szybkość zmian jest równa, czyli N(t) = dla każdego t t.. lim t N(t) = dla r < N dla r = dla r >. Malthus wydobył z rozwiązania tego równania katastroficzne wnioski dotyczące ludności świata wzrastającej w tempie wykładniczym. Interpretacja biologiczna założeń. ażdy z osobników populacji produkuje pewną ilość potomstwa dozywającego do momentu, gdy samo się zacznie rozmnażać. Współczynnik r jest średnią liczbą potomstwa dożywającego do reprodukcji. Słabością modelu jest to, że nie uwzględnia on ograniczeń zasobów środowiska. II. Model logistyczny Zaobserwowano, że w wielu przypadkach, gdy populacja jest mała zmiany zagęszczenia na jednego osobnika są dość małe, choć dodatnie, i rosną przy zwiększaniu zagęszczenia, po osiągnięciu maksimum przyrostu szybkość zmian zagęszczenia spada. Obrazuje to efekt wzrostu ilości zgonów z powodu przegęszczenia środowiska.
3 5,, t,6,8 Rysunek : rzywa wykładnicza dla r = (czerwony), r = (zielony), r = (niebieski), r = (czarny), N = Założenie. Szybkość zmian na jednego osobnika zależy od zagęszczenia w sposób liniowy, ale wzrost zagęszczenia powoduje spadek szybkości. ( N dt = r N ), N(t ) = N dt = rn r N, N(t ) = N, gdzie r, są stałymi różnymi od. Jest to równanie logistyczne (Pierre François Verhulst 85). Inna interpretacja założeń. Ilość urodzeń na jednego osobnika, czyli b/n, jest stała, zaś ilość zgonów na jednego osobnika, czyli d/n, rośnie proporcjonalnie do N. Stąd i w konsekwencji Rozwiązanie. b N = r, d N = an N = b N d N = r an, gdzie a = r. N(t) = + N N e r(t t ) Wnioski.. Jeśli N = lub N =, to szybkość zmian jest równa, czyli N(t) = lub N(t) = odpowiednio, dla każdego t t.. lim N(t) = t { dla r < N dla r > (r < N = )
4 t 5 Rysunek : rzywa logistyczna dla r = (czerwony), r = (zielony), r = (niebieski), r = (czarny), =, N = Uwaga. Jeśli r >, to N = jest niestabilnym punktem równowagi a N = jest stabilnym punktem równowagi. Jeśli r <, to N = jest stabilnym punktem równowagi a N = jest niestabilnym punktem równowagi. Wnioski biologiczne.. Zagęszczenie populacji na poziomie jest zagęszczeniem stabilnej równowagi w środowisku. Stała w równaniu logistycznym charakteryzuje więc środowisko i jest zwana pojemnością środowiska.. Stała r ma wpływ na tzw. czas powrotu T R do położenia równowagi, czyli czas po jakim zostanie osiągnięte zagęszczenie zbliżone do równowagi (czyli ). Zależy to od zagęszczenia początkowego. Im większe jest r, tym szybciej zmienia się zagęszczenie, zwłaszcza w fazie początkowej. Przyjmuje się, że III. Model Gompertza T R = r. N = r log N, N(t ) = N równanie Gompertza (Benjamin Gompertz 85) Rozwiązanie. ( N(t) = exp exp ( rt + ln ln )). N Lotka 95 uzasadnił fakt, że zmiany zagęszczenia populacji można opisać równaniem N dt = f(n), ()
5 t 5 Rysunek : rzywa Gompertza dla r = (czerwony), r = (zielony), r = (niebieski), r = (czarny), =, N = gdzie f jest pewną funkcją zmiennej N. f(n) = r równanie wzrostu wykładniczego f(n) = r ( ) N równanie logistyczne f(n) = r ln równanie Gompertza N Jeśli w równaniu = Nf(N) funkcja Nf(N) jest analityczna w otoczeniu, to ma rozwinięcie dt w szereg Taylora: Nf(N) = (Nf(N)) N= + d (Nf(N)) N= N + d! (Nf(N)) N= N +... Przyjmując d (Nf(N)) d N= = a,! (Nf(N)) N= = b oraz pomijając następne wyrazy w rozwinięciu Taylora (można je zaniedbać przyjmując, że potęgi trzecia i wyższe zagęszczenia N są bardzo małe i prawie równe ) mamy Nf(N) an + bn czyli an + bn dt Wniosek. Dowolny model pojedynczej populacji musi zawierać tzw. jądro logistyczne. Efektem rozważań Lotki stało się sformułowanie założeń biologicznych wykorzystywane w modelu pojedynczej populacji.. Wszystko co się dzieje w pojedynczej populacji, a co ma wpływ na jej dynamikę, zależy od liczebności lub zagęszczenia.. Wszystkie procesy przebiegają w populacji w sposób ciągły. W każdej chwili ktoś się rodzi, ktoś umiera lub ktoś migruje. Pokolenia zachodzą na siebie. 5
6 . Środowisko jest stałe w czasie.. Zmiany w liczebności lub w zagęszczeniu oddziaływują w sposób natychmiastowy. Nie ma żadnych opóźnień. 5. W całym zakresie zmian liczebości lub zagęszczenia obowiązują te same mechanizmy. Nie pojawiają się efekty losowe. 6. Organizmy tworzące populację są jednakowe a ich cechy stałe w czasie. 7. W opisie nieuwzględnia się przestrzeni. Jest ona jednorodna. Zjawiska zachodzące w populacji są jednorodne w przestrzeni. onsekwencją przyjętych założeń było m.in.udowodnienie, że rozwiązania równania () mogą być tylko funkcje stałe lub monotoniczne, nie można otrzymać rozwiązań oscylujących wokół położenia równowagi. Rozwiązania oscylacyjne pojawią się jeśli ograniczymy listę powyższych założeń. Odrzucenie założenia. prowadzi do modeli z opóźnieniem. W tej sytuacji szybkość zmian zagęszczenia przypadającego na jednego osobnika zależy od zagęszczenia osobników w wieku T, czyli od zagęszczenia osobników, które urodziły się w chwili t T i dożyły chwili t. Jeśli przyjmiemy, że w chwili t T zagęszczenie było małe, to urodziło się wiele osobników młodych, jeśli zagęszczenie było duże, to urodziło się mało osobników młodych. Można przyjąć więc, że szybkość zmian zagęszczenia na jednego osobnika opisać można najłatwiej funkcją liniową malejącą. Mamy więc (t) N(t) dt = r ( N(t T ) ), () Jest to równanie logistyczne z opóźnieniem (Hutchinson, 98). Opóźnienie w modelu dynamiki populacji jest w istocie (prymitywnym) uwzględnieniem struktury wieku istniejącej w populacji. Jeśli opóźnienie jest małe w porównaniu z czasem powrotu T R do położenia równowagi, to rozwiązanie równania jest funkcją asymptotycznie zdążającą do wartości równowagi lub charakteryzuje się zanikającymi oscylacjami wokół położenia równowagi (rys.). Jeśli T T R, to pojawiają się trwałe oscylacje (o charakterze stabilnego cyklu granicznego) (rys.), czyli zagęszczenie niezależnie od początkowej wartości od pewnego momentu zaczyna oscylować w ściśle określony sposób. Dalsze zwiększenie opóźnienia prowadzi do rozbieżnych oscylacji (rys.) i w konsekwencji po pewnym czasie zagęszczenie stanie się równe, czyli populacja wyginie. Uogólnieniem równania () jest równanie różniczkowo-całkowe (t) dt t = an(t) bn(t) d N(s)k(t s)ds, () gdzie a, b, d są stałymi. Całka występująca po prawej stronie sumuje wszystkie zagęszczenia występujące w przeszłości do czasu t. Funkcja k pełni rolę wagi lub funkcji gęstości - k jest tak dobrane, że zagęszczenia coraz bardziej odległe w czasie są uwzględniane z coraz mniejszą wagą. Modele z opóźnieniem nazywa się też modelami z pamięcią. Odrzucając założenie 6 (ściśle rzecz biorąc fakt, że osobniki nie różnią się wiekiem) mogą się pojawić modele macierzowe, różnicowe lub nawet stochastyczne. Przyjmując, że wiek osobników zmienia się nie w sposób ciągły, lecz w obrębie pewnych klas wieku. Różnice pomiędzy klasami wyrażają się różną rozrodczością i śmiertelnością osobników, ale w obrębie jednej klasy te cechy są jednakowe. Przypuśćmy, że mamy n klas wiekowych (o równej długości każda). Cała populacja jest zatem opisana wektorem [Nt... Nt n ] T, gdzie Nt i oznacza liczebność w chwili t klasy o numerze i. Załóżmy ponadto, że odstępy czasowe w których analizujemy zmiany populacji są równe długości klas. 6
7 Oznacza to, że po upływie jednostki czasu osobnik z danej klasy bądź przeszedł do klasy następnej bądź umarł (nic z dawnej zawartości klasy nie pozostaje w tej samej klasie na następny okres). Jeśli częstość obserwacji nie pokrywa się z długością przedziałów klas, to wprowadza się w wektorze N dodatkowe elementy oznaczające stadia rozwoju osobnika w danej klasie. Zmiany populacji można więc zapisać albo schematem graficznym (rys.) albo odwzorowaniem Φ : N t. N n t N t+. N n t+, Φ(N t ) = N t+. Oznaczmy przez m i liczbę potomstwa, którą daje w jednostce czasu osobnik i-tej klasy przy założeniu, że dożywa ono do końca danego odcinka czasowego oraz przez s i przeżywalność osobników i-tej klasy, czyli ilość osobników tej klasy, które dożyły do końca odcinka czasowego i przeszły do klasy i +. Mamy więc m m m n m n Nt s N t+ = Φ(N t ) = A N t = s s n Nt n = N t m N n t m n N t s. N n t Zatem aby znać stan populacji w dowolnej chwili, należy stosować powyższy wzór krokowo (iteracyjnie), o ile nie zmieniają się w czasie stałe m i, s i. Ten typ modelu zwany jest modelem Lesliego (95). Model się tylko nieznacznie komplikuje, gdy w rozważaniach uwzględnia się płeć osobników. Wtedy N M,t, N F,t oznaczają odpowiednio ilość osobników płci męskiej i żeńskiej w chwili t, m M,i, m F,i - ilość potomstwa odpowiednio płci męskiej i żeńskiej produkowanego przez osobniki (płci żeńskiej) i-tej klasy, s M,i, s F,i - przeżywalność osobników odpowiednio płci męskiej i żeńskiej z i-tej klasy. Wymiar wektorów N t i macierzy A staje się odpowiednio n oraz n n. Przykład. plik z.xls Problem. Czy możliwa jest sytuacja, że w każdym kolejnym kroku zachowana zostaje proporcja frakcji osobników należących do danych klas? lub równoważnie N t+ = λn t, λ > A N t = λn t Zatem λ jest wartością własną macierzy A, N t jest wektorem własnym macierzy A. Jeśli istnieje taka stała λ, to mówimy, że populacja ma stabilną strukturę wieku. Jeśli λ =, to populacja jest stacjonarna. Problem. Czy często się zdarza sytuacja, że populacja stabilizuje po pewnym czasie swą strukturę? Nie będzie stabilizacji jeśli w pierwszym wierszu macierzy A niezerowe wartości mają te liczby m i dla których indeksów wspólnym podzielnikiem nie jest (np. niezerowe są m, m ). Mogą się pojawić cykliczne zmiany struktury wieku! Mogą być np. dwa lub więcej stanów stabilnych (por. równanie logistyczne dyskretne). Uwaga. Tworzy się też modele macierzowe z pamięcią. Współczynniki m i, s i dzieli się przez q i = + α N t i + α N t, s n 7
8 gdzie α, α >, N t jest aktualną liczebnością, zaś N t i jest liczebnością w chwili kiedy rodziły się osobniki, które aktualnie (czyli w chwili t) są w i-tej klasie wiekowej. Jako efekt pojawić się mogą zanikające oscylacje całkowitej liczebności wokół położenia równowagi. ćwiczenia Załóżmy, że pokolenia w populacji nie zachodzą na siebie, np. długość życia pokolenia trwa jeden sezon. Na początku sezonu samice, które przezimowały składają jaja, z nich rozwijają się osobniki dorosłe. Początkowo liczebność populacji rośnie, pod koniec sezonu liczebność spada, część osobników zimuje. Z ich potomstwa w następnym roku rozwija się kolejne pokolenie. Interesuje nas mechanizm rządzący zmianami liczebności z sezonu na sezon. Model ten może opisywać wiele populacji roślin jednorocznych lub owadów. Niech N t oznacza liczebność maksymalną (lub inną charakterystykę liczbową) populacji w sezonie o numerze t. Znając N t chcemy wyznaczyć N t+, czyli liczebność w następnym sezonie (o numerze t + ). Szukamy funkcji F takiej, że N t+ = F (N t ). Jest to ogólna postać różnicowego modelu dynamiki pojedynczej populacji. Dobierając odpowiednie F otrzymujemy modele analogiczne do modeli różniczkowych. Odpowiednikiem równania dt = rn mającego rozwiązanie N(t) = N e r(t t ) jest równanie mające rozwiązanie Odpowiednikiem równania logistycznego jest równanie logistyczne dyskretne N t+ = e r N t () N t+ = N e r(t+ t ). (5) ( dt = N r N ) ( ( N t+ = N t + r N )) t, r, >. (6) W modelu tym, jeśli N t > r ( + r), to N t+ <. Oznacza to, że populacja wymiera. Modyfikacją modelu logistycznego, który unika tej konsekwencji jest model Rickera Jeszcze innym stosowanym modelem jest ( ( N t+ = N t exp r N t )). (7) N t+ = γn t ( + αn t ) β. (8) Rozważmy na koniec równanie logistyczne, w którym dokonujemy podstawień Równanie (6) przyjmuje postać a = + r, b = r, X t = b a N t. X t+ = ax t ( X t ), a >. (9) 8
9 Z postaci równania logistycznego wynika, że aby populacja opisana tym równaniem nie wymarła musi być X t <. Ponieważ maksymalna wartość X t+ wynosi a, dla X t =, więc musi być a <. Otrzymujemy więc równanie X t+ = ax t ( X t ), < a <. () Prowadzi ono do ciekawych zagadnień związanych z chaosem. Modele z dwiema populacjami. Problem. Szybkość zmian zagęszczenia populacji dwóch gatunków - drapieżców i ofiar. Oznaczenia. zagęszczenie populacji drapieżców w chwili t P (t) zagęszczenie populacji ofiar w chwili t N(t) I. Założenie. Gdy nie ma drapieżców zagęszczenie ofiar rośnie wykładniczo. Gdy nie ma ofiar zagęszczenie drapieżców maleje wykładniczo. N dt = r, dp P dt = r N(t ) = N, P (t ) = P, r, r > o ile osobniki tych gatunków nie oddziałują na siebie. Rozwiązanie. N(t) = N e r (t t ), P (t) = P e r (t t ) Można wyrugować parametr t i mamy wtedy N(t) r P (t) r = N r P r z tym, że przy niemożliwym do spełnienia w rzeczywistości założeniu, że populacje żyją obok siebie, powyższy związek nie ma aspektu biologicznego. II. Założenie. Osobniki obu populacji są wymieszane. Istnienie populacji drapieżców powoduje obniżenie szybkości przyrostu populacji ofiar (ofiara jest zjadana przez drapieżcę). Istnienie populacji ofiar zwiększa szybkość przyrostu populacji drapieżców (zjedzoną ofiarę drapieżca zużywa na produkcję potomstwa). N dt = r dp γ P, P dt = r + γ N N(t ) = N, P (t ) = P, r, r, γ, γ > Jest to model Lotki-Volterry (lata. XX wieku). Rozwiązanie. N (t) = r N(t) γ N(t)P (t) P (t) = r P (t) + γ N(t)P (t) 9
10 5 5 Rysunek : Model wykładniczy, r = (czerwony), r = (zielony), r = (niebieski), r = (brązowy), r = (czarny), =, warunki początkowe N =, P = Mnożąc równanie pierwsze przez γ a drugie przez γ i dodając stronami otrzymamy równanie γ N (t) + γ P (t) = r γ N(t) r γ P (t). Mnożąc równanie pierwsze przez r /N(t) a drugie przez r /P (t) i dodając stronami otrzymamy równanie N (t) r N(t) + r P (t) P (t) = r γ N(t) r γ P (t). Stąd ładąc N (t) r N(t) + r P (t) P (t) = γ N (t) + γ P (t) r ln N(t) + r ln P (t) = γ N(t) + γ P (t) + C N(t) r P (t) r = exp (γ N(t)) exp (γ P (t)) C P (t) r exp ( γ P (t)) N(t) r exp ( γ N(t)) = C g(x; a, b) = x a e bx i uwzględniając warunki początkowe mamy ostatecznie g(p (t); r, γ ) g(n(t); r, γ ) = g(p ; r, γ ) g(n ; r, γ ). Poprawność przyjętych założeń potwierdzona została eksperymentalnie - słynne badania dotyczące populacji rysi i zajęcy w anadzie w latach 87-9.
11 8 y 6 x 6 8 Rysunek 5: Model Lotki-Volterry, r = (czerwony), r = (zielony), r = (niebieski), r = (brązowy), r = (czarny), =, warunki początkowe N =, P =
MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU
MODELE ROZWOJU POPULACJI Z UWZGLĘDNIENIEM WIEKU Dr Wioleta Drobik-Czwarno CIĄG FIBONACCIEGO Schemat: http://blogiceo.nq.pl/matematycznyblog/2013/02/06/kroliki-fibonacciego/ JAK MOŻEMY ULEPSZYĆ DOTYCHCZASOWE
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO MODELE ZMIAN ZAGĘSZCZENIA POPULACJI Wyróżniamy modele: z czasem dyskretnym wykorzystujemy równania różnicowe z
Bardziej szczegółowo14 Modele z czasem dyskretnym
14 Modele z czasem dyskretnym Przykłady i zadania z tego rozdziału ilustrują materiał zawarty w rozdziałach 12 i 15 książki 141 Metoda pajęczynowa PRZYŁAD 141 Na poniższych rysunkach zilustrowano metodę
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład 2. Rodzaje konkurencji. Modele wzrostu populacji
Wykład 2 Rodzaje konkurencji. Modele wzrostu populacji Konkurencja o charakterze eksploatacji konkurencja o zasoby, które są w niedomiarze działanie jednego konkurenta zmniejsza ilość zasobów dostępną
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii. Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW
Wprowadzenie do modelowania matematycznego w biologii Na podstawie wykładów dr Urszuli Foryś, MIM UW Model matematyczny Jest to teoretyczny opis danego zjawiska na podstawie bieżącej wiedzy (często zwany
Bardziej szczegółowoInterakcje. Konkurencja. wykład 2
Interakcje. Konkurencja wykład 2 Ekologiczna istota konkurencji Kiedy konkurujące gatunki mogą współwystępować? Kiedy na skutek konkurencji jeden z nich wyginie? wykład 2/2 Tempo wzrostu populacji Tempo
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Bardziej szczegółowoModele cyklu ekonomicznego
Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoGenetyka populacji. Analiza Trwałości Populacji
Genetyka populacji Analiza Trwałości Populacji Analiza Trwałości Populacji Ocena Środowiska i Trwałości Populacji- PHVA to wielostronne opracowanie przygotowywane na ogół podczas tworzenia planu ochrony
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI
WYKŁAD 3. DYNAMIKA ROZWOJU POPULACJI MODELE Z CZASEM DYSKRETNYM BUDOWA MODELU MATEMATYCZNEGO DR WIOLETA DROBIK- CZWARNO STAN POPULACJI Stan populacji wyrażany jako liczebność lub zagęszczenie wszystkich
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoEgzamin test GRUPA A (c) maleje na przedziale (1, 6). 0, ,5 1
Matematyka dla Biologów Warszawa, stycznia 04. Imię i nazwisko:... Egzamin test GRUPA A nr indeksu:... Przy każdym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy fałszywy (NIE). Za każde pytanie można
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoMODELE WIELOPOPULACYJNE. Biomatematyka Dr Wioleta Drobik
MODELE WIELOPOPULACYJNE Biomatematyka Dr Wioleta Drobik UKŁADY RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH Warunek początkowy: x(t 0 )=x 0, y(t 0 )=y 0 Funkcje f i g to zadane funkcje ciągłe trzech zmiennych: t,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoModel pajęczyny: Równania modelu: Q d (t)=α-βp(t) Q s (t)=-γ+δp(t-1) Q d (t)= Q s (t) t=0,1,2. α,β,γ,δ>0
Model pajęczyny: Dorota Pawlicka Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t=0,1,2 Rozważmy rynek pewnego pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ścieżki cenowej {} na dobro aby
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoModele epidemiologiczne
Modele epidemiologiczne Anna Zesławska 20 maj 2013 Wstęp Wstęp Przyjrzymy się dwóm podstawowym modelom epidemiologicznym: bez nabywania odporności Model Kermacka-McKendricka SIR z jej uwzględnieniem Celem
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoc - częstość narodzin drapieżników lub współczynnik przyrostu drapieżników,
SIMULINK 3 Zawartość Równanie Lotki-Volterry dwa słowa wstępu... 1 Potrzebne elementy... 2 Kosmetyka 1... 3 Łączenie elementów... 3 Kosmetyka 2... 6 Symulacja... 8 Do pobrania... 10 Równanie Lotki-Volterry
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony w roku t L t
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoUkład RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:
Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: 151021
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego r = U t Z t L t gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony
Bardziej szczegółowoFilmy o numerycznym prognozowaniu pogody Pogodna matematyka : zakładka: Filmy
Modelowanie komputerowe w ochronie środowiska Wykłady x 4 Ćwiczenia x 3 Strona: http://www.icm.edu.pl/~aniat/modele/msos26.html Literatura: Urszula Foryś, Matematyka w biologii, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoPorównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regu
Porównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regulacji genów 8 stycznia 2010 Plan prezentacji 1 Praca źródłowa Sieci regulacji genów 2 Założenia Funkcja Hill a Modele dyskretne 3 Przykład Modele
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne 2.
Procesy stochastyczne 2. Listy zadań 1-3. Autor: dr hab.a. Jurlewicz WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok, rok akad. 211/12 1 Lista 1: Własność braku pamięci. Procesy o przyrostach niezależnych,
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoDynamika populacyjna. Ryszard Rudnicki
Dynamika populacyjna Ryszard Rudnicki Spis treści Rozdział 1. Wstęp 5 1. Uwagi ogólne 5 2. Pierwsze modele populacyjne 6 3. Sezonowość w dynamice populacyjnej 10 Zadania 14 Rozdział 2. Modele wielo-populacyjne
Bardziej szczegółowoTwierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit
Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą
Bardziej szczegółowoDyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoElementy rachunku różniczkowego i całkowego
Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.
Ćwiczenia 3 (16.05.2014) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych
dr inż. Ryszard Rębowski 1 OPIS ZJAWISKA Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne/stacjonarne Model Przepływów Międzygałęziowych 8 listopada 2015 1 Opis zjawiska Będziemy obserwowali proces tworzenia
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 6. Symulacja komputerowa wybranych procesów farmakokinetycznych z uwzględnieniem farmakokinetyki bezmodelowej
Ćwiczenie 6. Symulacja komputerowa wybranych procesów farmakokinetycznych z uwzględnieniem farmakokinetyki bezmodelowej Celem ćwiczenia jest wyznaczenie podstawowych parametrów farmakokinetycznych paracetamolu
Bardziej szczegółowoZagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoModele wielorownaniowe
Część 1. e e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e jednorównaniowe są znacznym uproszczeniem rzeczywistości gospodarczej e makroekonomiczne z reguły składają się z większej
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi
Bardziej szczegółowoAnaliza wymiarowa i równania różnicowe
Część 1: i równania różnicowe Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 5 Plan Część 1: 1 Część 1: 2 Część 1: Układ SI (Système International d Unités) Siedem jednostek
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, 18 września 2013 Biomatematyka
Biomatematyka Liczebność populacji pewnego gatunku jest modelowana przez równanie różnicowe w którym N k stałymi. rn 2 n N n+1 =, A+Nn 2 oznacza liczebność populacji w k tej generacji, a r i A są dodatnimi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
Biomatematyka 91...... Zadanie 1. (8 punktów) Liczebność pewnej populacji jest opisana równaniem różniczkowym: dn = r N(α N)(N β), (1) dt w którym, N(t) oznacza liczebność populacji w chwili t, a r > 0
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowo26 marzec, Łańcuchy Markowa z czasem ciągłym. Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136
Procesy Stochastyczne, wykład 7, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 26 marzec, 212 Łańcuchy z czasem ciągłym S = {, 1,..., }, B S = 2 S, ale T = [, ) lub T = (, ). Gdy S skończone,
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowo