GRANICZNA FUNKCJA KOSZTU DLA ODDZIAŁÓW

Transkrypt

1 Jerzy Marzec GRANICZNA FUNKCJA KOSZTU DLA ODDZIAŁÓW BANKU: WYNIKI ESTYMACJI BAYESOWSKIEJ 1 1. Wprowadzene W śwatowej lteraturze analza efektywnośc kosztowej jest często wykorzystywana do ekonomcznej oceny dzałalnośc jednorodnych grup frm. Termn efektywność kosztowa (ang. cost effcency) defnuje sę jako loraz mnmalnego kosztu nezbędnego do wytworzena danej welkośc produkcj kosztu rzeczywśce ponesonego. Zatem jeżel przedsęborstwo przy danych cenach czynnków produkcj ponos koszt wytworzena określonego pozomu produkcj wększy nż wynka on z mkroekonomcznej (tzw. grancznej) funkcj kosztu, to sytuację tę określa sę manem neefektywnośc kosztowej bądź kosztów; zob. Marzec, Osewalsk [ ]. Empryczne badana efektywnośc kosztowej prowadzone są w oparcu o stochastyczne modele granczne (ang. stochastc fronter models), będące równoczesną propozycją dwóch zespołów badawczych: Agner, Lovell, Schmdt [1977] oraz Meeusen, van den Broeck [1977]. Dalszego rozwoju tej metodolog dokonal m. n. Stevenson [1980], Ptt, Lee [1981], Jondrow, Lovell, Materov, Schmdt [198], Schmdt, Sckles [1984], Beckers, Hammond [1987], Greene [1980], [1990], van den Broeck, Koop, Osewalsk, Steel [1994] oraz Koop, Osewalsk, Steel [1994], [1997]. Stochastyczne modele granczne mają szeroke zastosowane aplkacyjne, m.n. od połowy lat osemdzesątych wykorzystuje sę je w zagadnenach efektywnośc kosztowej banków nnych nstytucj fnansowych. W latach 90-tych roku ukazały sę lczne artykuły z tego zakresu pośwęcone badanu efektywnośc nstytucj fnansowych w Journal of Bankng and Fnance, Journal of Productvty Analyss Journal of Money, Credt and Bankng; zob. np. Berg, Forsund, Hjalmarsson, Soumnen [1993], Berger [1993], Cebenoyan, Cooperman, Regster, Hudgns [1993], Färe, Promont [1993], Grabowsk, Ragan, Rezvanan [1993], Kaparaks, Mller, Noulas [1994], Mester [1993], Muldur, Sassenou [1993]. 1 Praca wykonana w ramach projektu badawczego Komtetu Badań Naukowych (nr 1-H0B-0-18). Artykuł prezentuje główne założena wynk rozprawy doktorskej autora, zob. Marzec [000]. Badana nad bayesowskm modelowanem kosztów zostały podjęte wspólne z profesorem Jackem Osewalskm, któremu autor pragne podzękować za nsprację, pomoc, dyskusję cenne uwag. 78

2 W polskej lteraturze naukowej, zarówno statystyczno-ekonometrycznej jak bankowej, brak jest pozycj pośwęconych aspektom metodologcznym badanom emprycznym z zakresu efektywnośc techncznej czy kosztowej banków. Warto dodać, że w ostatnch paru latach ukazały sę popularyzatorske artykuły przeglądowe Rogowskego (m.n. Bank nr 1, styczeń 1998, str. 4-7) na temat analzy efektywnośc oddzałów banku; zob. też Rogowsk [1998b], Kopczewsk [1999]. Autor ten wskazał na ogromną potrzebę pomaru porównań efektywnośc ekonomcznej banków, co może stanowć cenne uzupełnene tradycyjnych metod analz wskaźnkowych stosowanych przez bank. Uważa on, że zastosowane metod ekonometrycznych umożlw mędzy nnym obektywzację kryterów oceny oddzałów. Nnejsze opracowane przedstawa założena rezultaty badań emprycznych dotyczących ekonometrycznej analzy efektywnośc kosztowej oddzałów jednego z dużych polskch banków komercyjnych. W częśc drugej zostane przedstawony bayesowsk stochastyczny model granczny o zmennym rozkładze efektywnośc, a następne szczegółowe wynk dotyczące technolog efektywnośc kosztowej oddzałów.. Bayesowsk stochastyczny model granczny o zmennym rozkładze efektywnośc Stochastyczny model granczny w przypadku funkcj kosztu zakłada, ż odchylene kosztu obserwowanego od teoretycznej mkroekonomcznej funkcj kosztu spowodowane jest zakłócenam czysto losowym oraz neefektywnoścą. W przypadku danych przekrojowoczasowych o krótkm horyzonce czasu dość często zakłada sę, że efektywność jest tzw. czystym losowym efektem ndywdualnym dla każdego oddzału co oznacza, że z t z, gdze zmenna z reprezentuje neefektywność, to ndeks frmy, a t czasu. W efekce założene to pozwala na bardzej precyzyjny szacunek przecętnej efektywnośc każdego obektu. Otrzymany model efektów losowych przyjmuje postać (zob. Ptt, Lee [1981], Schmdt, Sckles [1984]): t ( xt ) + vt z y = h, β +, (=1,,N; t=1,,t), gdze y t jest wartoścą zaobserwowanego logarytmu naturalnego kosztu -tej frmy w okrese t (=1,,N; t=1,,t), x t to wektor wersz zmennych egzogencznych (będących funkcjam produktów, cen czynnków ewentualne nakładów czynnków stałych), h oznacza odpowedno wyspecyfkowaną granczną funkcją kosztu (najczęścej lnową względem K+1 neznanych parametrów tworzących wektor β), składnk v t z są zmennym losowym, z których perwszy jest symetryczny względem zera, a drug neujemny o wartośc oczekwanej wększej od zera. Zakłada sę, że składnk z v t są nezależne od sebe po frmach, a v t także po czase. Marą efektywnośc kosztowej jest r =exp(-z ), która jest łatwo nterpretowalną welkoścą o wartoścach z przedzału (0,1]. 79

3 O zmennych v t przyjmuje sę, że mają dentyczne, nezależne rozkłady normalne ze średną zero stałą warancją σ v (co oznacza sę jako N(0,σ v )), natomast dla z przyjmuje sę różne typy rozkładów określonych na dodatnej półos. Koop, Osewalsk, Steel [1997] zaproponowal model, w którym przyjęl dla z rozkład wykładnczy ze średną λ, która może zależeć od klku (przyjęl, że m-1) egzogencznych zmennych w j (j=,,m), wyjaśnających systematyczne różnce w efektywnośc frm. Dokonal on następującej parametryzacj λ : λ = m j= 1 φ wj j gdze φ j >0 są neznanym parametram, a w 1 1. Tak przypadek Koop, Osewalsk, Steel nazwal modelem o zmennym rozkładze efektywnośc (Varyng Effcency Dstrbuton VED, w odróżnenu od przypadku szczególnego m=1 (w j 0 dla j>1), tj. modelu o wspólnym rozkładze efektywnośc CED (Common Effcency Dstrbuton). Pełna bayesowska analza parametryczna wymaga określena oprócz rozkładu próbkowego także rozkładu a pror dla wektora parametrów θ=(β',σ v -,φ). Koop n. [1997] przyjęl następującą strukturę a pror, która ne wprowadza zbyt dużo subektywnej wedzy o θ: p( θ )= p( σ v )p( β )p( φ ) f G ( σ v n0 s0, )I( β B) m j= 1 f G ( φ 1, g ) gdze f G (. a,b) oznacza gęstość rozkładu Gamma ze średną a/b warancją a/b, przy czym a=1 odpowada rozkładow wykładnczemu. Funkcja wskaźnkowa I(β) odzwercedla warunk regularnośc określone przez teorę ekonom. Odpowedn dobór wartośc n 0, s 0 (np. n 0 =s 0 =10-6 ) oraz g j pozwol na przyjęce nkłej wedzy a pror o parametrze precyzj σ v - oraz welkoścach neobserwowalnych z. Przyjęto zatem, że g j =1 dla j>1 g 1 = - ln(r * ), gdze r * (0, 1) jest stałą zadawaną przez badacza, która w przypadku modelu CED jest nterpretowana jako medana brzego0wego rozkładu a pror efektywnośc r =exp(-z ); zob. van den Broeck, Koop, Osewalsk, Steel [1994]. Wynk prezentowane w rozdzale następnym uzyskano przyjmując r * =0.7. Ζałożene g j =1 (j>1) jest równoważne przyjęcu a pror, że zmenne w j mają newelk wpływ na ndywdualny pozom efektywnośc badanych obektów. Zatem rola danych statystycznych sprowadza sę m.n. do potwerdzene bądź odrzucena tej tezy. W efekce pełny bayesowsk stochastyczny model granczny omawany w nnejszej pracy przybera postać: p(y, z, θ X, W ) f G N σ T = 1 t= 1 v f n0 s0, I 1 N m ( β B) ) f ( φ 1, g ) j= 1 ( y h( x, β ) + z, σ ), t t v G j j N f j z j 1, G = 1 j= 1 gdze y X oznaczają odpowedno: wektor T N 1 obserwacj y t macerz T N (K+1) z x t jako werszam; a wektor z defnuje sę jako wektor o N 1 elementach z. Macerz W jest. m φ wj j 80

4 wymaru N m składa sę z wektorów-werszy w, które zawerają wartośc zmennych egzogencznych wyjaśnających potencjalną neefektywność -tej frmy, przy czym perwsza kolumna tej macerzy składa sę z tylko z jedynek. Stosując podejśce bayesowske zwykle napotyka sę problemy z otrzymanem rozkładów a posteror oraz ch charakterystyk. Także w omawanym przypadku zarówno momenty jak gęstośc brzegowe a posteror parametrów funkcj kosztu bądź ndywdualnych wskaźnków efektywnośc są na tyle skomplkowanym całkam, że ne mogą być znalezone analtyczne. Duży wymar całk którą należałoby oblczyć - rzędu K++m+N powoduje, że tradycyjne kwadratury metody Monte Carlo z nezależnym losowanam ne są efektywnym metodam przyblżana tych całek. Koop n. [1997] zauważyl, ż pełne rozkłady warunkowe posadają znane proste rozkłady, co pozwolło m na zastosowane metody Monte Carlo typu łancuchów Markowa, znaną jako Gbbs Samplng (losowane Gbbsa). Podejśce to omawają m.n. Casella, George [199] oraz Terney [1994], a także Koop n. [1997]. 3. Charakterystyka danych źródłowych Omówony krótko bayesowsk model VED został wykorzystany do emprycznej analzy efektywnośc kosztowej oddzałów banku komercyjnego w oparcu o krótkookresową funkcję kosztu zmennego. Założene, że oddzały należą do jednorodnej grupy, czyl charakteryzują sę tą samą technologą (lub mają do nej dostęp), wydaje sę być spełnone w przypadku oddzałów jednego banku. W celu estymacj modelu należy w perwszej kolejnośc określć dokonać pomaru zmennych objaśnających oraz zmennej objaśnanej, którym są odpowedno ceny zmennych czynnków produkcj, welkośc uzyskanych produktów (bądź agregat produkcj), nakłady czynnków stałych oraz koszt zmenny. W przypadku banków (bądź też oddzałów banku) określene oraz pomar czynnków produkcj samych produktów ne jest sprawą oczywstą budz wele kontrowersj. Podstawy obecne stosowanej mkroekonomcznej klasyfkacj czynnków produktów nstytucj fnansowych (w tym banków komercyjnych) wykorzystywanych m.n. w badanach efektywnośc ekonomcznej stworzyl Sealey, Lndley [1977]. Wg ch propozycj opartej na teze, ż głównym celem dzałalnośc banku jest maksymalzacja zysku, proces produkcj w banku jest procesem weloetapowym, w którym środk penężne (depozyty) pozyskane bezpośredno od deponentów lub pośredno na rynku mędzybankowym oraz usług śwadczone przez bank przy użycu kaptału, pracy materałowych czynnków produkcj są użyte do wytworzena aktywów generujących przychód (ang. earnng assets), główne różnych kategor kredytów. W nnejszej pracy to podejśce zostane wykorzystane do specyfkacj produktów bankowych, czynnków produkcj, a tym samym specyfkacj funkcj kosztów. Dodatkowo Proste rozkłady w tym znaczenu, ż stneją dla nch generatory lczb losowych. 81

5 fakt, że przedmotem zanteresowana są oddzały jednego banku ma wpływ na rozważane kategore czynnków produkcj produktów. Szczegółową dyskusję doboru zmennych w przypadku funkcj kosztu w sektorze bankowym oraz oddzałów banku przedstawa Marzec [1999], [000]. W celu estymacj grancznej krótkookresowej funkcj kosztu zmennego wykorzystano dane kwartalne obejmujące rok 1997 (T=4) pochodzące z 58 oddzałów (N=58). Z próby zostały wyelmnowane oddzały nowo powstałe oraz centrala banku, a fle analzowano łączne z macerzystym oddzałam. Zakres przekrój danych otrzymanych z central banku był w dużej częśc uzależnony od struktury zakładowego planu kont, wg którego wygenerowano potrzebne nformacje przy użycu stnejącego systemu nformatycznego ksęgowośc bankowej. Wykaz kont bankowych, z których pozyskano dane wykorzystywane w nnejszej pracy przedstawa Tabela 1. Sposób ewdencj danych znacząco ogranczył lczbę rodzaj czynnków fnansowych oraz produktów. Tabela 1. Wykaz kont ksęgowych jako źródło danych. 3 Nazwa konta Numer konta ZESPÓŁ 0 MAJĄTEK TRWAŁY Majątek trwały materalny: 01 Tereny budynk o charakterze eksploatacyjnym 011 Inwestycje - koszty ponesone w obce środk trwałe w zwązku z 01 przebudową, rozbudową adaptacją obektów na potrzeby ch użytkownków Wyposażena, maszyny, narzędza, środk transportowe nne 013 ZESPÓŁ 1 OPERACJE Z UDZIAŁEM ŚRODKÓW PIENIĘŻNYCH I OPERACJE MIĘDZYBANKOWE Należnośc zobowązana 1-18 ZESPÓŁ OPERACJE Z PODMIOTAMI NIEFINANSOWYMI Należnośc zobowązana 1-9 ZESPÓŁ 3 OPERACJE Z JEDNOSTAMI BUDŻETOWYMI I POZA BUDŻETOWYMI Należnośc zobowązana ZESPÓŁ 5 OPERACJE RÓŻNE Werzycele różn (podatk, składk ZUS, opłaty PZU, PFRON) 55 ZESPÓŁ 7 KONTA KOSZTÓW 1. Koszty operacj z udzałem środków płynnych oraz operacj 71 mędzybankowych: Odsetk prowzje 711, 71. Koszty operacj z klentam: 7 Odsetk prowzje 71, 7 3. Koszty operacj z jednostkam budżetowym lub pozabudżetowym: 73 Odsetk 7311, 731 Inne koszty 731, Koszty operacj paperam wartoścowym Koszty ogólne: 76 Wydatk na personel 761 Koszty eksploatacyjne zwązane z dzałalnoścą pozaeksploatacyjną 4 76, 763 Podatk opłaty wg Bankowego Planu Kont z Komentarzem Słownkem, pod redakcją J. Uryg, wyd. Interfn, Kraków, bez kosztów stałych, np. podatków od neruchomośc, środków transportu; ubezpeczeń majątkowych, kosztów usług remontowych konserwacyjnych, usług komunalnych, zużyca opału, koszty usług w zakrese ochrony mena tp. 8

6 Stosując podejśce Sealeya Lndleya wyróżnono cztery czynnk produkcj: neruchomośc (zmenną oznaczono lterą K), nne środk trwałe (m.n sprzęt komputerowy), materały akcesora burowe oraz wartośc nemateralne prawne (m.n. oprogramowane) (M), pracownków oddzałów (L), depozyty nne pozyskane przez oddzał środk (D), Trzy ostatne zmenne czynnk produkcj (M, L, D) znalazły sę w omawanej funkcj kosztu zmennego poprzez ch ceny, a neruchomośc (K) jako czynnk stały poprzez welkość zaangażowanego nakładu, merzonego poprzez powerzchnę (w metrach kwadratowych) pomeszczeń burowych własnych najmowanych, a eksploatowanych przez oddzał. Produkcję oddzału wyrażono poprzez wartośc udzelonych kredytów nnych pożyczonych przez oddzał środków fnansowych. Wyjaśnany przez model koszt zmenny (VC) jest sumą kosztów zaangażowana zmennych czynnków produkcj: kaptału ludzkego (C L ), fnansowego (C D ) kaptału fzycznego z wyłączenem neruchomośc (C M ). Koszty zatrudnena pracownków w postac funduszu płac powększono o wydatk, które ponos oddzał w forme m.n. składek ZUS, PFRON, PFŚP zalczek na podatek od osób fzycznych, poneważ mają one wpływ na rzeczywstą cenę tego czynnka, aczkolwek ne stanową kosztu w myśl ustawy o rachunkowośc. Szczegółowa specyfkacja elementów kosztów przedstawona jest ponżej: Składnk kosztu C L C D C M Ops Koszty osobowe bezosobowe oraz wydatk w postac składek ZUS, PFRON, PFŚP zalczek na podatek od osób fzycznych. Koszty z tytułu odsetek nalczonych, zapłaconych prowzj z tytułu pozyskana depozytów od podmotów fnansowych, nefnansowych budżetowych oraz ewentualne koszty pozyskana środków fnansujących nadwyżkę kredytów nad depozytam. Koszt zużyca materałów koszty usług obcych, amortyzacja wartośc nemateralnych prawnych oraz środków trwałych z wyłączenem neruchomośc. Ceny czynnków lczono jako loraz kosztu zaangażowana czynnka ( ewentualne nnych wydatków ne będących kosztem w myśl ustawy o rachunkowośc) przez jego welkość. Cena pracy (w L )jest wyznaczana jako loraz kosztu wynagrodzeń wydatków zwązanych z tym czynnkem (C L ) ponoszonych w kwartale oraz welkośc zaangażowana kaptału ludzkego merzonego przez przecętną lczbę zatrudnonych w kwartale (w przelczenu na etaty; z wyłączenem przebywających na urlopach macerzyńskch, wychowawczych bezpłatnych), która jest średną arytmetyczną ze stanów na konec trzech mesęcy kwartału. Ceną depozytów nnych pozyskanych środków (w D ) jest loraz kosztów fnansowych (C D ) welkośc zaangażowana tego czynnka 5, które wyrażono przez wartość sumy: 1 0 nadwyżk kredytów nad depozytam (środków pozyskanych z central) w przypadku oddzałów 5 Istnejący system nformatyczny ne pozwalał na uzyskane średnej ważonej ceny depozytów ogółem w oparcu o rzeczywste oprocentowane poszczególnych rachunków depozytowych. Przedstawona konstrukcja cen czynnków produkcj jako loraz kosztu do welkośc zaangażowana czynnka jest szeroko stosowana w śwatowej lteraturze przedmotu, a prezentuje ją np. Muldur, Sassenou [1993]. 83

7 kredytowych oraz 0 średnego stanu środków zgromadzonych na następujących rachunkach 6 : beżących pomocnczych podmotów gospodarczych osób prowadzących dzałalność gospodarczą (średn udzał w depozytach ogółem banku kształtował sę na pozome około 3.5%), oszczędnoścowo-rozlczenowych popularnych osób fzycznych (10%), rachunkach depozytu termnowego mennego na okazcela (48%), depozytowych typu call (1%), zgromadzonych z tytułu sprzedaży bonów oszczędnoścowych (0.5%), walutowych A, C (avsta lub termnowy) K (avsta lub termnowy) (1.75%), środków funduszy specjalnego przeznaczena depozytów zablokowanych (3.5%) oraz pozostałych (1%). Środk na rachunkach loro lokaty nnych banków ne były uwzględnane, poneważ występowały jedyne w central banku. Z uwag na fakt, ż centrala banku na drodze przetargu wybera dostawców sprzętu dla oddzałów (m.n. komputerów, drukarek, akcesorów komputerowych oraz oprogramowana) a dla każdemu pracownkow przysługuje ryczałt na zakup wybranych materałów burowych przyjęto, że cena tego czynnka (w M ) jest jednakowa dla każdego oddzału (także po czase). W konsekwencj ta cena (trudno merzalna w praktyce) ne pojawa sę w sposób jawny w funkcj kosztu zmennego. W badanach emprycznych zwykle ne rozważa sę zbyt dużej lczby produktów, bo naczej pojawają sę problemy na etape estymacj z powodu małej lczby stopn swobody. Zatem w omawanej analze produkcję wyrażono poprzez dwa zagregowane produkty, manowce: kredyty udzelone klentom komercyjnym (podmotom fnansowym, budżetowym nefnansowym z wyłączenem osób fzycznych ne prowadzących dzałalnośc gospodarczej) łączne z nadwyżką depozytów nad kredytam w przypadku oddzałów specjalzujących sę pozyskwanu środków (zmenna Q 1 wyrażona w tys. złotych), kredyty udzelone klentom detalcznych tj. osobom fzycznym z wyłączenem prowadzących dzałalność gospodarczą (zmenna Q wyrażona w tys. złotych). Na powyższe agregaty (z wyłączenem wyróżnonej nadwyżk) złożyły sę kredyty brutto udzelone obu typom klentów: w rachunku beżącym (9.5%), kredyty obrotowe (33.5%), nwestycyjne (19%), konsorcyjne (7%), dyskontowe (3.5%), ratalne (4.5%), kredyty w forme pożyczk gotówkowej dla ludnośc (m.n. na zakup samochodów) (9%), kredyty udzelone frmom leasngowym na fnansowane aktywów będących przedmotem leasngu fnansowego operacyjnego (4.5%), faktorng cesja werzytelnośc (6%) oraz pozostałe (4%) z wyłączenem rachunków nostro lokat w nnych bankach. Zarówno wartość depozytów pozyskanych jak kredytów udzelonych w badanym kwartale wyrażono przez średną ch wartość wg stanu na konec każdego mesąca w kwartale. W efekce w badanym 1997 roku średna cena depozytów wynosła 1.8%, natomast przecętne wynagrodzene pracownków wynosło 605 zł mesęczne wraz z narzutam. Wartość udzelonych kredytów komercyjnych (wraz z nadwyżką depozytów nad kredytam) detalcznych kształtowała sę na pozome odpowedno 106 mln zł 11 mln zł. Całkowty koszt zmenny ponoszony w cągu kwartału przez oddzał zatrudnający średno 84 pracownków posadający ponad 1600 m pomeszczeń burowych wynosł 4.67 mln zł. 6 Przy określanu nazw rachunków depozytowych rodzajów kredytów posłużono sę termnologą używaną w oddzałach badanego banku. 84

8 Dodatkowo w celu określena egzogencznych przyczyn zróżncowana pozomu efektywnośc (za pomocą przedstawonego wcześnej modelu VED) wyróżnono trzy zmenne dychotomczne (m=4, w 1 1), które mogą być odpowedzalne za zróżncowane pozomu efektywnośc w poszczególnych podgrupach oddzałów. Zmenne te odzwercedlają 1 0 specjalzację oddzałów (w ), 0 welkość oddzału merzoną wartoścą produkcj (w 3 ) 3 0 posadane przez oddzały fl mających szerok zakres uprawneń (w 4 ) 7. Samodzelność fl jest wyróżnona przez fakt posadana przez ną jednoznaczne dentyfkującego numeru rozlczenowego oraz pełnej oferty usługowej. Zmenna w 3 ma charakter zmennej cągłej, ale dokonano jej dychotomzacj wyodrębnając dwe różne grupy oddzałów ze względu na średną mesęczną wartość udzelonych kredytów. W szczególnośc: w = 1, gdy średna mesęczna wartość kredytów udzelonych przez oddzał była wększa od wartośc pozyskanych depozytów w badanych czterech kwartałach, w = 0 w przecwnym przypadku, w 3 = 1, gdy średna mesęczna wartość kredytów oddzału była wększa nż 100 mln złotych w 3 = 0 w przecwnym przypadku, w 4 = 1, gdy oddzał posada flę mającą szerok zakres podejmowana decyzj (tzn. śwadczącą pełny zakres usług bankowych), w 4 = 0 w przecwnym przypadku. Wartośc tych zmennych dla poszczególnych oddzałów są prezentowane wraz z omawanym wynkam estymacj mernków efektywnośc. 4. Krótkookresowa funkcja kosztu zmennego oddzałów banku: wynk estymacj Przyjmując ż neobserwowana cena sprzętu komputerowego, materałów akcesorów burowych oraz wartośc nemateralnych prawnych (m.n. oprogramowane) - w M - jest stała zarówno po oddzałach jak po czase, stochastyczny model grancznej translogarytmcznej krótkookresowej funkcj kosztu zmennego przyjmuje postać 8 : lnvc = δ + δ ln w + δ ln w + δ lnq + δ ln K + δ ln w ln w 4.1. t + δ ln w D + δ ln Q + δ ln Q + δ ln Q 1 ln Q D 1 ln K + δ 16 + δ ln w δ ln w ln K + δ 0 ( ln w ) + δ ( ln w ) + δ ( ln Q ) + δ ( ln K ) D L D D ln Q ln K + δ ln w ( ln Q ) + v + z, t δ ln w L L 4 L lnq ln Q δ ln w δ ln Q D 1 L 14 ln Q L ln K 7 Można też zaproponować nne zmenne, np. atrakcyjność regonu, w którym dzała oddzał, merzona welkoścą produktu narodowego w przelczenu na meszkańca. 8 Cena w M ne pojawa sę ona bezpośredno w funkcj kosztu, lecz jest ukryta w wyraze wolnym (zob. np. Osewalsk, Marzec [1998a], [1998b], Marzec [000]). 85

9 gdze zgodne z przyjętym oznaczenem VC oznacza sumę kosztów zaangażowana zmennych czynnków produkcj: kaptału ludzkego, fnansowego oraz materałów akcesorów komputerowych, Q 1 wolumen kredytów udzelonych klentom komercyjnym (plus będąca w dyspozycj central banku nadwyżka depozytów nad kredytam w przypadku oddzałów specjalzujących sę w pozyskwanu środków), Q wolumen kredytów udzelonych klentom detalcznym, w D - cenę czynnka fnansowego (depozytów środków z central fnansujących nadwyżkę kredytów nad depozytam w przypadku oddzałów mających taką nadwyżkę), w L to cena pracy, a K oznacza zaangażowane czynnka stałego (kaptału fzycznego) merzone poprzez powerzchnę (w metrach kwadratowych) pomeszczeń burowych własnych najmowanych, a eksploatowanych przez oddzał. Postać analtyczna funkcj użytej we wzorze 4.1 jest przykładem tzw. gętkej formy funkcyjnej, a została zaproponowana po raz perwszy przez Chrstensena, Jorgensona, Lau [1971] (zob. także Chrstensen, Jorgenson, Lau [1973]). Obecne jest ona powszechne stosowana w emprycznych pracach z zakresu analzy kosztu produkcj, także w bankowośc; zob. m.n. Berger [1993], Cebenoyan, Cooperman, Regster, Hudgns [1993], Kaparaks, Mller, Noulas [1994], Kraft, Trtroglu [1998], Mester [1993], Muldur, Sassenou [1993], Zardokooh, Kolar [1994]. Mkroekonomczna teora produkcj kosztu precyzuje warunk regularnośc ekonomcznej, które w badanym modelu zostały narzucone przez funkcję wskaźnkową I(β) w rozkładze a pror wektora parametrów β=[β 0,,β 0 ], zapewnając tym samym odpowedne znak dla elastycznośc. Warunek jednorodność funkcj kosztu względem cen czynnków jest w modelu 4.1 automatyczne spełnony, gdyż wszystke z cen oraz obserwowany koszt zostały wydzelone sę przez jedną z nch, w tym przypadku przez stałą cenę w M. W przypadku przedstawonej funkcj translogarytmcznej lczba wszystkch możlwych restrykcj na elastycznośc wynos 139. Tak duża ch lczba spowodowana jest tym, ż w tym modelu elastycznośc kosztu zmennego względem jakejkolwek z cen bądź welkośc produktów lub nakładu czynnka stałego - η(vc ) - są lnową funkcją logarytmów wszystkch tych zmennych objaśnających. Dla przykładu elastyczność kosztu względem ceny depozytów ma postać (dla przejrzystośc pomnęto oba ndeksy): ( VC wd ) = δ1 + δ 5 ln wl + δ 6 ln Q1 + δ 7 ln K + δ 11 ln wd δ16 ln Q η + W praktyce narzucono jedyne restrykcje dla przecętnego oddzału, tzn. takego, który charakteryzuje sę średnm z próby w czase po oddzałach - wartoścam zmennych objaśnających 9. W efekce uwzględnono warunek, ż elastycznośc dla przecętnej frmy względem produktów Q 1, Q cen w L, w D są wększe od zera, oraz że suma elastycznośc względem obu cen jest mnejsza od jednośc. Wynk a posteror pokazały, że warunk te były spełnone także dla poszczególnych oddzałów 10, jedyne restrykcja na sumę elastycznośc względem cen w przypadku klku była wążąca 11. Ne narzucono warunku 9 Równoważnym podejścem jest narzucene restrykcj dla średnch elastycznośc po oddzałach. 10 Elastycznośc oblczano dla każdego oddzału w oparcu o średne (z czterech kwartałów) wartośc zmennych objaśnających charakteryzujących oddzał. 11 Próba narzucena warunku dla każdego oddzału bardzo spowolnła algorytm Gbbsa, za sprawą klku obserwacj netypowych. 86

10 ujemnośc na elastycznośc krótkookresowej funkcj kosztu zmennego względem nakładów czynnka stałego (neruchomośc), poneważ dane empryczne wyraźne wskazywały na jego dodatność; w przypadku funkcj typu Cobba Douglasa (czyl szczególnego przypadku funkcj translogarytmcznej) te elastycznośc pownny meć znak ujemny, czego ne można uzasadnć dla ogólnej postac funkcj translogarytmcznej. Tabele ponżej prezentują podstawowe rezultaty estymacj bayesowskej modelu 4.1, tj. wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror parametrów, które ne posadają bezpośrednej nterpretacj ekonomcznej. Źródłem nformacj o charakterze technolog oddzałów banku są elastycznośc oblczone dla przecętnego oddzału (zob. Tabela 3) bądź poszczególnych oddzałów (Tabela 4). Tabela. Wartośc oczekwane (E) odchylena standardowe (D) a posteror parametrów modelu 4.1. (r * =0.7) Parametr Zmenna E( dane) D( dane) Parametr Zmenna E( dane) D( dane) δ 0 Stała δ 1 (lnw D ) δ 1 lnw D δ 13 (lnq 1 ) δ lnw L δ 14 (lnk) δ 3 lnq δ 15 lnq δ 4 lnk δ 16 lnw D lnq δ 5 lnw D lnw L δ 17 lnw L lnq δ 6 lnw D lnq δ 18 lnq 1 lnq δ 7 lnw D lnk δ 19 lnk lnq δ 8 lnw L lnq δ 0 (lnq ) δ 9 lnw L lnk φ 1 w 1 = δ 10 lnq 1 lnk φ w δ 11 (lnw L ) φ 3 w σ v φ 4 w Tabela 3. Średne wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror elastycznośc kosztu. η(vc w D ) η(vc w L ) η(vc Q 1 ) η(vc K) η(vc Q ) η(vc w D )+ η(vc w L ) η(vc Q 1 )+ η(vc Q ) wartość oczekwana odchylene standardowe Spośród wszystkch zmennych najwększy statystyczne stotny wpływ na kształtowane sę kosztu zmennego mają cena czynnka fnansowego, tj. depozytów (w D ) oraz welkość kredytów udzelonym klentom komercyjnym (Q 1 ). Wzrost ceny depozytów nnych pozyskanych środków (wyrażonej w punktach procentowych) o 1% powoduje wzrost kosztu zmennego o około 0.81% (±0.045%) ceters parbus. Natomast wzrost wartośc udzelonych kredytów o 1% powoduje wzrost kosztu zmennego o około 0.75% (±0.04%) ceters parbus. Zmana ceny pracy (podobne jak welkośc kredytów udzelonych klentom detalcznym) ma mnejszy wypływ na pozom kosztu, aczkolwek też odrywa stotną statystyczne rolę, tzn. wzrost tej perwszej welkośc o 1% powoduje wzrost kosztów zmennych o 0.18% (±0.03%), natomast wzrost drugej o 0.1% z błędem ±0.017%. Rola neobserwowanej, stałej dla oddzałów ceny czynnka materałowego (w M ) jest znkoma lub żadna. Uzyskane wynk wskazują, ż wraz ze wzrostem powerzchn pomeszczeń 87

11 burowych oddzału neznaczne rosną koszty zmenne 1. Przecętny oddzał charakteryzuje sę rosnącym efektem skal 13, który wynos około Oznacza to, że zmana kosztu zmennego o 1% w wynk proporcjonalnego wzrostu nakładów czynnków zmennych (zatrudnena, welkośc depozytów oraz środków trwałych (z wyłączenem neruchomośc) powoduje wzrost łącznej produkcj (czyl udzelonych kredytów) o 1.15%. Pełną wedzę statystyczną o charakterystykach kosztu oddzałów przedstawają brzegowe gęstośc w posteror dla średnego współczynnka efektu skal omówonych wcześnej średnch elastycznośc względem welkośc kredytów komercyjnych (Q 1 ), detalcznych (Q 1 ), ceny depozytów (w D ) pracy (w L ) oraz względem powerzchn budynków oddzałów. Rysunek 1. Rozkład a posteror współczynnka efektu skal oraz elastycznośc względem welkośc produktów Q 1, Q oraz nakładu czynnka stałego (K). p(η(vc/k) y,x) p(η(vc/q ) y,x) p(η(vc/q 1 ) y,x) p(1/[η(vc/q 1 )+η(vc/q )] y,x) Rysunek. Rozkład a posteror dla elastycznośc względem cen czynnków zmennych (pracy, depozytów czynnka materałowego). p(η(vc/w D 100) y,x) p(η(vc/w L ) y,x) p(1 - η(vc/w DL 100) - η(vc/w L )) y,x) Jedną z możlwych hpotez uzasadnających ten fakt jest przypuszczene, ż zwększene powerzchn (zwązane z otwarcem nowej fl lub kasy zewnętrznej) może ść w parze ze wzrostem zatrudnena, czyl wzrostu kosztów wynagrodzeń. Zatem zachodz być może komplementarność mędzy czynnkem ludzkm a kaptałem (neruchomośc, budynk tp.). 13 W przypadku rozważana welu produktów Panzar, Wllg [1977] proponują do pomaru efektu skal tzw. zagregowany współczynnk efektu skal (SL) defnowany jako odwrotność sumy elastycznośc kosztu względem każdego z produktów, czyl w omawanym przypadku wyrażene SL=[η(VC Q 1 )+ η(vc Q )]

12 Szczegółowe nformacje o technolog każdego z 58 oddzałów zawera ponższa tabela (oddzały są posortowane malejąco ze względu na średną wartość udzelonych kredytów w cągu badanego roku). Można zauważyć, że wększość z nch charakteryzuje sę rosnącym efektem skal produkcj, zatem z ekonomcznego punktu wdzena korzystne jest zwększane przez ne wolumenu kredytów (poprzez proporcjonalny wzrost nakładów czynnków zmennych) tak długo, aż osągną stały, a następne malejący efekt skal. Badane oddzały wykazują zróżncowane, np. w przypadku oddzału o numerze 8 cena depozytów ma bardzo slny stotny wpływ na kształtowane kosztu zmennego (elastyczność kształtuje sę na pozome (±0.038)), natomast dla oddzału 53 rola tego czynnka jest dużo mnejsza (0.667, ±0.071). Cena pracy ma najwększy wpływ na koszt zmenny w oddzale o numerze 58, który charakteryzuje sę najmnejszym wolumenem udzelonych kredytów. Natomast w oddzale prowadzącym najaktywnejszą poltykę kredytową (o numerze 1) rola tej ceny jest najmnejsza spośród wszystkch pozostałych oddzałów. Ponadto szczególną uwagę zwraca oddzał numer 7, posadający stotne ujemny znak elastycznoścą kosztu względem welkośc kredytów detalcznych. Spowodowane jest to nskm udzałem tych kredytów w łącznym wolumene kredytów, co ma także mejsce w przypadku oddzałów o numerze, 16, 33, 36, 41 43, dla których ta elastyczność przyjmuje wartośc blske zero. Występuje jeszcze grupa oddzałów, dla których znak elastycznośc kosztu zmennego względem nakładu czynnka stałego jest stotne ujemny. Dotyczy to oddzałów najwększych ze względu na powerzchnę posadanych lub najmowanych neruchomośc, wykorzystywanych do prowadzena dzałalnośc bankowej. może w nch pojawć sę klasyczna substytucja mędzy czynnkam (pracą neruchomoścam). Tabela 4. Współczynnk efektu skal (SL), wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror (w nawase) dla elastycznośc kosztu w poszczególnych oddzałach banku. 14 η(w D ) η(w L ) η(w D ) +η(w L ) η(q 1 ) η(q ) η(k) SL (0.06) (0.045) (0.107) (0.033) (0.00) 0.09 (0.04) (0.057) (0.034) (0.091) 0.86 (0.03) (0.019) (0.03) (0.057) (0.03) (0.089) (0.03) 0.4 (0.019) (0.03) (0.060) (0.034) 1.00 (0.093) (0.033) (0.019) (0.04) (0.04) (0.035) (0.077) (0.03) (0.015) (0.03) (0.041) (0.031) (0.071) 0.76 (0.03) (0.014) (0.0) (0.043) (0.03) (0.075) (0.03) -0.1 (0.015) (0.01) (0.04) (0.08) (0.069) (0.03) (0.015) (0.01) (0.070) (0.047) (0.118) (0.033) (0.08) 0.19 (0.031) (0.068) 0.18 (0.040) (0.108) (0.033) 0.17 (0.08) (0.031) (0.069) 0.17 (0.039) (0.108) (0.033) (0.08) (0.031) (0.066) 0.1 (0.038) (0.103) (0.033) 0.16 (0.07) 0.17 (0.031) (0.034) (0.08) (0.06) 0.7 (0.04) (0.013) (0.019) (0.033) (0.0) (0.055) (0.03) (0.013) (0.018) (0.033) (0.00) (0.053) (0.03) (0.013) (0.018) (0.034) (0.06) (0.060) (0.03) (0.01) (0.018) Przyjęce, że elastycznośc η(vc/q 1 ) η(vc/q ) posadają rozkład zblżony do normalnego powoduje, że momenty zmennej losowej [η(vc/q 1 ) + η(vc/q )] -1 ne stneją, w tym wartość oczekwana E([η(VC/Q 1 ) + η(q )] -1 ), zatem za ocenę SL przyjęto wyrażene [E(η(VC/Q 1 ) ) + E(η(VC/Q ) )] -1 89

13 η(w D ) η(w L ) η(w D ) +η(w L ) η(q 1 ) η(q ) η(k) SL (0.041) (0.08) (0.070) (0.06) (0.016) (0.0) (0.038) (0.06) (0.064) 0.73 (0.07) (0.015) (0.01) (0.041) (0.05) (0.066) (0.07) (0.015) (0.01) (0.041) (0.030) (0.071) 0.71 (0.07) (0.015) 0.04 (0.01) (0.035) (0.0) (0.057) (0.00) (0.013) (0.017) (0.036) (0.00) (0.056) 0.78 (0.01) (0.014) (0.017) (0.039) (0.01) (0.060) (0.01) 0.19 (0.015) (0.017) (0.046) (0.046) (0.093) 0.7 (0.01) (0.015) (0.017) (0.055) 0.07 (0.044) (0.100) (0.033) (0.00) (0.031) (0.049) 0.7 (0.037) (0.087) 0.67 (0.031) (0.00) (0.030) (0.053) (0.041) (0.094) (0.033) (0.00) (0.031) (0.047) 0.05 (0.046) (0.093) (0.030) (0.01) (0.09) (0.07) 0.14 (0.06) 0.95 (0.053) (0.019) (0.011) (0.015) (0.09) (0.01) (0.049) (0.00) 0.3 (0.011) (0.015) (0.030) (0.019) (0.049) 0.75 (0.01) (0.01) (0.016) (0.03) (0.06) (0.058) 0.69 (0.01) (0.011) (0.016) (0.041) (0.036) (0.077) (0.01) (0.016) (0.04) (0.038) 0.16 (0.09) 0.98 (0.067) (0.00) (0.016) (0.04) (0.041) (0.07) (0.067) (0.01) (0.016) 0.09 (0.04) (0.041) 0.17 (0.08) (0.069) (0.01) (0.016) (0.04) (0.035) 0.19 (0.035) (0.070) (0.018) 0.07 (0.015) (0.0) (0.034) (0.06) (0.061) (0.018) (0.015) 0.03 (0.01) (0.034) (0.03) (0.057) (0.018) 0.03 (0.015) (0.01) (0.037) (0.08) (0.065) 0.74 (0.018) (0.015) (0.0) (0.030) 0.3 (0.030) 1.00 (0.060) (0.018) (0.01) 0.18 (0.01) (0.03) 0.04 (0.05) (0.056) (0.019) (0.013) (0.01) (0.031) 0.35 (0.0) (0.053) (0.018) (0.013) (0.01) (0.030) 0.19 (0.019) (0.049) (0.018) (0.011) (0.01) (0.057) 0.48 (0.038) (0.095) (0.01) (0.018) (0.04) (0.055) 0.19 (0.035) (0.090) (0.01) 0.56 (0.018) (0.03) (0.060) 0.06 (0.038) (0.098) 0.69 (0.0) (0.019) 0.03 (0.04) (0.069) (0.044) 1.05 (0.113) (0.06) (0.00) 0.09 (0.06) (0.034) (0.07) 0.86 (0.061) (0.015) 0.09 (0.015) (0.015) (0.041) 0.17 (0.05) (0.066) (0.017) 0.05 (0.016) (0.015) (0.034) 0.34 (0.00) (0.055) 0.70 (0.015) 0.16 (0.015) (0.015) (0.037) 0.05 (0.06) (0.063) (0.016) 0.06 (0.014) (0.015) (0.071) (0.046) (0.117) 0.69 (0.08) 0.35 (0.031) (0.034) (0.074) 0.53 (0.043) (0.117) (0.09) (0.033) (0.035) (0.078) 0.09 (0.046) (0.14) (0.031) (0.034) (0.037) (0.078) 0.56 (0.049) (0.17) (0.031) (0.033) (0.037) (0.07) 0.53 (0.036) (0.063) (0.017) (0.011) (0.016) (0.05) (0.01) (0.046) (0.017) (0.011) (0.016) 1.55 Jednym z celów nnejszego opracowana jest m.n. ocena efektywnośc kosztowej badanych oddzałów. Do pomaru efektywnośc wykorzystano zmenną r =exp(-z ), której wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror prezentuje ponższa tabela, zawerająca dodatkowo nformacje o parametrze specjalzacj oddzału (w ), jego welkośc (w 3 ) oraz strukturze organzacyjnej (w 4 ) oraz o λ = φ φ φ φ 1 w w 3 3 w 4 4, czyl o wartośc oczekwanej warunkowego wykładnczego rozkładu neefektywnośc z. Przecętny oddzał 90

14 charakteryzuje sę efektywnoścą na pozome 0.98% (±0.018) co oznacza, że tylko ponad 7% ponoszonego kosztu jest kosztem nadwyżkowym, neuzasadnonym an cenam czynnków, an welkoścam produktów czy też nakładem czynnka stałego. W przypadku oddzału o numerze 58 (najmnej efektywnego) aż około 30% obserwowanego kosztu zmennego stanow koszt nadwyżkowy (w modelu z jednym zagregowanym produktem Q=Q 1 +Q nadwyżkowy koszt tego oddzału wynosł 5%; zob. Marzec [000]). Natomast oddzał 57 jest praktyczne w pełn efektywną, wzorcową placówką bankową, gdyż wartość oczekwana a posteror mernka efektywnośc wynos (przy odchylenu standardowym 0.006). Średne wartośc oczekwane mernków efektywnośc dla poszczególnych grup oddzałów (ze względu na zmenne w j ) ne wskazują jednoznaczne na stnene stotnej zależnośc mędzy wyróżnonym trzema zmennym dychotomcznym a zróżncowanem efektywnośc mędzy oddzałam. Dodatkowo odchylena standardowe są relatywne duże w stosunku do ewentualnych zróżncowana mernków efektywnośc. Dopero użyce odpowednch narzędz statystycznych, w tym przypadku podzborów (przedzałów) o najwększej gęstośc a posteror (ang. subsets of the hghest posteror densty; H.P.D. subsets, zob. Box, Tao [1973]) oraz bayesowskego odpowednka testu F, pozwolło na uzyskane bardzej precyzyjnych wynków (zob. Marzec [000]). W efekce uzyskano rezultaty, które wskazywały przede wszystkm na usunęce z omawanego modelu VED dwóch zmennych: w 3 w 4, nformujących odpowedno o skal prowadzonej dzałalnośc fakce posadana przez oddzał fl śwadczących pełny zakres usług bankowych. Powtórna estymacja zredukowanego modelu umocnła rolę specjalzacj oddzału jako egzogencznego czynnka wyjaśnającego zróżncowane efektywnośc oddzałów, w efekce oddzały kredytowe (w =1) charakteryzują sę średno wyższą efektywnoścą nż oddzały mające nadwyżkę depozytów nad kredytam. Tabela 5. Wartośc oczekwane odchylena standardowe a posteror wskaźnków efektywnośc modelu VED. w w 3 w 4 E(λ y,x,w) D(λ y,x,w) E(r y,x) D(r y,x)

15 9 w w 3 w 4 E(λ y,x,w) D(λ y,x,w) E(r y,x) D(r y,x) Średna dla oddzałów z w =1, w 3 =1 w 4 = Średna dla oddzałów z w =0, w 3 =0 w 4 = Średna dla oddzałów z w =1, w 3 =0 w 4 = Średna dla oddzałów z w =0, w 3 =1 w 4 = Średna dla oddzałów z w =0, w 3 =0 w 4 = Średna dla oddzałów z w =1, w 3 =1 w 4 = Średna dla oddzałów z w =0, w 3 =1 w 4 = Średna dla oddzałów z w = Średna dla oddzałów z w = Średna dla oddzałów z w 3 = Średna dla oddzałów z w 3 =

16 w w 3 w 4 E(λ y,x,w) D(λ y,x,w) E(r y,x) D(r y,x) Średna dla oddzałów z w 4 = Średna dla oddzałów z w 4 = Średna dla oddzałów Podsumowane W nnejszym opracowanu przedstawono najważnejsze wynk krótkookresowej analzy efektywnośc kosztowej oddzałów dużego polskego banku. W tym celu zastosowano bayesowsk model efektów losowych o zmennym rozkładze efektywnośc dla danych przekrojowo-czasowych. Wykorzystano translogarytmczną postać dla funkcj kosztu, co pozwolło m.n. na dokonane charakterystyk technolog każdego oddzału (poprzez wylczene elastycznośc efektu skal produkcj). Wększość oddzałów wykazuje rosnący efekt skal produkcj, zatem z ekonomcznego punktu wdzena pownny one dążyć do zwększena produkcj, czyl wolumenu udzelonych kredytów. Średna efektywność badanych oddzałów kształtowała sę na pozome około 93%, co jest wynkem dość wysokm, ale jest także wskazówką, ż ewentualnej obnżk kosztów należy także szukać w poprawe efektywnośc oddzałów mnej efektywnych. Pomar efektywnośc oraz rankng oddzałów może być w praktyce wykorzystany przez kerownctwo banku m.n. przy konstruowanu szczegółowych planów dzałalnośc operacyjnej rozwoju oddzałów bankowych. W podsumowanu należy stwerdzć, że podejśce bayesowske do estymacj model grancznych pozwolło na uzyskane bardzo welu nteresujących, cennych statystyczne stotnych nformacj zarówno o charakterze technolog, jak pozome efektywnośc kosztowej oddzałów badanego banku. Zastosowane podejśca klasycznego byłoby możlwe za cenę dodatkowych, często bardzo upraszczających założeń. Bblografa Agner, D., C.A.K. Lovell, P. Schmdt [1977], Formulaton and Estmaton of Stochastc Fronter Producton Functon Models, Journal of Econometrcs, vol. 6. Beckers, D.E., C.J. Hammond [1987], A tractable lkelhood functon for the normal-gamma stochastc fronter model, Economcs Letters, vol. 4. Berg, S.A, F.R. Forsund, L. Hjalmarsson, M. Soumnen [1993], Bankng effcency n the Nordc countres, Journal of Bankng and Fnance, vol. 17. Berger, A. N. [1993], Dstrbuton-free estmates of effcency n the U.S. bankng ndustry and tests of the standard dstrbutonal assumptons, The Journal of Productvty Analyss, vol. 4. Box, G., G. Tao [1973], Bayesan Inference n Statstcal Analyss, Addson-Wesley Publshng Company, Readng. Van den Broeck, J., G. Koop, J. Osewalsk, M.F.J. Steel [1994], Stochastc fronter models: A Bayesan perspectve, Journal of Econometrcs, vol

17 Casella, G., E. George [199], Explanng the Gbbs Sampler, The Amercan Statstcan, vol. 46. Cebenoyan, A.S., E.S. Cooperman, C.A. Regster, S.C. Hudgns [199], The relatve effcency of stock versus Mutual S&Ls: A stochastc cost fronter approach, Journal of Fnancal Servces Research, vol. 7. Chrstensen, L.R., D. Jorgenson, L. Lau [1973], Transcentendal Logarthmc Producton Fronters, The Revew of Economcs and Statstcs, vol. 55. Färe, R., D. Promont [1993], Measurng the effcency of multunt bankng: An actvty analyss approach, Journal of Bankng and Fnance, vol. 17. Grabowsk, R., N. Ragan, R. Rezvanan [1993], Organzatonal forms n bankng: An emprcal nvestgaton of cost effcency, Journal of Bankng and Fnance, vol. 17. Greene, W.H. [1980], Maxmum lkelhood estmaton of econometrc fronter functons, Journal of Econometrcs, vol. 13. Greene, W.H. [1990], A gamma-dstrbuted stochastc fronter model, Journal of Econometrcs, vol. 46. Jondrow, J., C.A.K. Lovell, I. Materov, P. Schmdt [198], On the estmaton of techncal neffcency n the stochastc fronter producton functon model, Journal of Econometrcs, vol. 19. Kaparaks, E., S. M. Mller, A.G. Noulas [1994], Short-run cost neffcency of commercal banks: A flexble stochastc fronter approach, Journal of Money, Cred and Bankng, vol. 6. Koop, G., J. Osewalsk, M.F.J Steel [1994], Bayesan effcency analyss wth a flexble form: The AIM cost functon, Journal of Busness and Economc Statstcs, vol. 1. Koop, G., J. Osewalsk, M.F.J Steel [1997], Hosptal effcency analyss wth ndvdual effects: A Bayesan approach, Journal of Econometrcs, vol. 76, s Kopczewsk, T. [1999], Racjonalność zachowań banków komercyjnych w Polsce w latach , maszynops pracy doktorskej, Unwersytet Warszawsk. Kraft, E., D. Trtroglu [1998], Bank effcency n Croatna: A stochastc-fronter Analyss, Journal of Comparatve Economcs, vol. 6. Marzec, J. [1999], Produkty, czynnk produkcj funkcja kosztów w badanach efektywnośc kosztowej banków, Ekonomsta, nr 3. Marzec, J. [000], Ekonometryczna analza efektywnośc kosztów w bankach komercyjnych, maszynops pracy doktorskej, Akadema Ekonomczna w Krakowe. Marzec, J., Osewalsk J. [ ], Pomar efektywnośc kosztowej banków: zarys metodolog, Fola Economca Cracovensa, nr Meeusen, W., J. van den Broeck [1977], Effcency Estmaton from Cobb-Douglas Producton Functons wth Composed Error, Internatonal Economc Revew, vol. 8. Mester, L.J. [1993], Effcency n the savngs and loan ndustry, Journal of Bankng and Fnance, vol. 17. Muldur, U., Sassenou M. [1993], Economes of scale and scope n French bankng and savngs nstutons, Journal of Productvty Analyss, vol. 4. Osewalsk, J., J. Marzec [1998a], Nowoczesne metody Monte Carlo w bayesowskej analze efektywnośc kosztowej banków, Zastosowana rozwązań nformatycznych w bankowośc (materały konferencyjne pod red. A. Gospodarowcza), Prace Naukowe AE we Wrocławu, nr 797, s Osewalsk, J., J. Marzec [1998b], Bayesowska analza efektywnośc kosztowej oddzałów banku: założena wynk, Prognozowane w zarządzanu frmą (materały konferencyjne pod red. M. Ceślak D. Kwatkowskej-Cotuchy), Prace Naukowe AE we Wrocławu, nr 808, s Panzar, J.C., R.D. Wllg [1977], Economes of scale n mult-output producton, Quarterly Journal of Economcs, vol. 91. Ptt, M., L.F. Lee [1981], The measurement and sources of techncal neffcency n the Indonesan weavng ndustry, Journal of Development Economcs, vol. 9. Rogowsk, G. [1998a], Analza efektywnośc oddzałów banku, Bank, nr 1. Rogowsk, G. [1998b], Metody analzy: oceny banku na potrzeby zarządzana strategcznego, Wyższa Szkoła Bankowośc, Poznań. Schmdt, P., R. Sckles [1984], Producton fronters and panel data, Journal of Busness and Economc Statstcs, vol.. 94

18 Sealey, C.W., J.T. Lndley [1977], Inputs, outputs, and a theory of producton and cost at depostory fnancal nsttutons, Journal of Fnance, vol. 3. Stevenson, R.E. [1980], Lkelhood functons for generalzed stochastc fronter estmaton, Journal of Econometrcs, vol. 13. Terney, L. [1994], Markov chans for explorng posteror dstrbutons, Annals of Statstcs, vol.. Zardokooh, A., J. Kolar [1994], Branch offce economes of scale and scope: Evdence from savngs banks n Fnland, Journal of Bankng and Fnance, vol