1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń
|
|
- Ryszard Pietrzak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń. (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa niż 3? Podaj co najmniej dwa poprawne rozwiązania, dające różne (!) odpowiedzi.. Z przystanku przy uczelni w kierunku domu Jacka kursują dwie linie autobusowe, 39 i 59, każda z nich co 5 minut. Po zakończeniu zajęć na uczelni Jacek przychodzi na przystanek (zakładamy, że chwila ta jest losowa, bo np. pogada chwilkę z kolegami) i wsiada do pierwszego pasującego autobusu. Jacek ze zdziwieniem zauważył, że w czasie 00 dni zajęć w semestrze, około 90 razy wracał 39-ką i tylko około 0 razy 59-ką. Czy ta obserwacja przeczy założeniu, że Jacek przychodzi w momencie losowym? A może przeczy całemu rachunkowi prawdopodobieństwa?.3 Zbadaj, czy w Twojej grupie ćwiczeniowej są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia. Nie wykonując żadnych rachunków podaj, ile według Ciebie osób powinna liczyć losowo dobrana grupa, aby prawdopodobieństwo tego, że znajdą się w niej dwie osoby o jednakowym dniu urodzin, było większe niż. Fakt: Jak podaje Ian Stewart w swojej książce Co za traf!, średnia z uzyskanych odpowiedzi na to pytanie zadane studentom amerykańskim wyniosła 385. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta wykaż, że 385 to czysty absurd. Ile co najmniej osób powinna liczyć grupa, aby to prawdopodobieństwo było równe?.4 (szalona sekretarka) Sekretarka ma n różnych listów i n kopert zaadresowanych do n różnych osób. Wkłada je losowo do kopert i wysyła. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej jeden list trafi do właściwej osoby..5 (rozkład geometryczny) Rzucamy symetryczną kostką. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwsza szóstka pojawi się w n-tym rzucie. Uogólnij zadanie na przypadek, gdy szóstka pojawia się z prawdopodobieństwem p..6 (zadanie o loterii czyli rozkład hipergeometryczny) Spośród N losów na loterii M wygrywa. Kupiliśmy k losów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie r naszych losów wygra?.7 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt?.8 Odcinek [0, ] łamiemy losowo na dwie części, następnie większą część znów łamiemy na dwie części. Punkty złamania mają rozkład jednostajny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że z tak otrzymanych trzech odcinków da się zbudować trójkąt..9 zadane Buffona) Na płaszczyźnie narysowane są równoległe proste, przy czym odległość dwóch sąsiednich jest równa L (Cała płaszczyzna jest poliniowana w ten sposób). Na tę płaszczyznę rzucamy losowo igłę długości l, przy czym l <L. (a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie którąkolwiek z prostych. (b) Przeprowadź eksperyment i oszacuj na jego podstawie liczbę π..0 (zagadnienie ruiny gracza) Ania i Bartek grają w orła i reszkę symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, to Ania płaci Bartkowi zł, a gdy reszka to Bartek płaci Ani. Na początku gry Ania ma 6 zł, a Bartek 4 zł. Gra kończy się, gdy którekolwiek z nich zostanie bez pieniędzy. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gra nigdy się nie skończy? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wygra Ania? (c) Jak brzmią odpowiedzi na (a) i (b), gdy orzeł wypada z prawdopodobieństwem p (0, )?. Ania i Bartek znudzeni grą z poprzedniego zadania postanowili zagrać w inną: jedno z nich (uczciwie!) rzuca monetą dotąd, aż wypadnie jedna z kombinacji OOR albo ORR. Ania wygrywa, gdy jako pierwsze wypadnie OOR, Bartek natomiast, gdy jako pierwsze wypadnie ORR. Jakie są szanse wygranej Ani, a jakie Bartka? (Wskazówka dla ułatwienia (utrudnienia?): prawidłową odpowiedzią NIE JEST.). Zapewne każdy zaobserwował następującą sytuację: Przychodzę do sklepu (dziekanatu, urzędu itp) i ustawiam się w długiej kolejce. Załatwiam sprawę i wtedy zauważam, że gdybym przyszedł teraz to albo w ogóle bym nie czekał, albo czekałbym krótko, bo kolejka bardzo zmalała. Ponieważ powtarza się to dość często, zastanawiam się czy jestem aż takim pechowcem? A może właśnie tak zbudowany jest świat?
2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa; σ-ciała. Klasa F = X Ω : #X < #Ω\X < } zbiorów przeliczalnych lub mających przeliczalne dopełnienia jest σ-ciałem. Dodatkowo, jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to F jest istotnie mniejsze od Ω.. Niech } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T.3 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum)..4 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie..5 (wzór włączeń i wyłączeń) Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A, B, C zachodzi równość P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C). Sformułuj analogiczny wzór dla n zdarzeń..6 Niech napis A oznacza zachodzi zdarzenie A. Za pomocą oznaczeń teorii mnogości zapisz zdania: Spośród zdarzeń A, B, C: (a) zachodzi tylko A, (b) zachodzą tylko A i B, (c) zachodzi co najmniej jedno z nich, (d) zachodzą wszystkie trzy, (e) zachodzi dokładnie jedno z nich, (f) zachodzą co najwyżej dwa z nich, (g) zachodzą dokładnie dwa z nich, (h) żadne nie zachodzi..7 Niech } F τ będzie rodziną σ-ciał, a T dowolnym zbiorem indeksów. Wtedy F = F τ jest σ-ciałem. τ T.8 Każde nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne (co więcej, jest mocy co najmniej continuum)..9 Niech Ω będzie zbiorem nieprzeliczalnym. Opisz wszystkie σ-ciała podzbiorów zbioru Ω generowane przez: (a) wszystkie podzbiory jednopunktowe; (b) wszystkie podzbiory przeliczalne; (c) wszystkie podzbiory nieprzeliczalne; (d) wszystkie podzbiory nieskończone; (e) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie 0; (f) wszystkie zbiory o prawdopodobieństwie..0 Zapisz wymyślone przez Ciebie 00 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 00 rzutów i porównaj otrzymane wyniki.. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych z zadania 0.. (a) Rzucamy monetą aż do uzyskania orła. (b) Rzucamy monetą aż do uzyskania drugiego orła. (c) Rzucamy monetą aż do uzyskania dwóch orłów pod rząd. Opisz σ-ciała zdarzeń elementarnych w powyższych doświadczeniach losowych..3 Wybieramy losowo rzeczywisty trójmian kwadratowy. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Zakładając rozsądną miarę probabilistyczną, odpowiedz na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania trójmianu o pierwiastkach różnych znaków..4 Patyk o długości jednostkowej łamiemy losowo w dwu punktach, wybranych niezależnie. Opisz σ-ciało zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z powstałych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? Def: Zbiorem nieistotnym nazywać będziemy podzbiór A R o tej własności, że dla każdego ε>0 istnieje rodzina przedziałów I k } (niekoniecznie skończona i niekoniecznie rozłączna) taka, że A I k oraz I k < ε. k k.5 Pokazać następujące fakty: (a) Zbiory dyskretne są zbiorami nieistotnymi. (b) Podzbiór liczb wymiernych zawartych w odcinku [0, ] jest nieistotny. (c) Zbiór liczb wymiernych jest nieistotny. (d) Każdy zbiór przeliczalny jest nieistotny. Podać przykład nieprzeliczalnego zbioru nieistotnego. τ T τ T
3 3 Prawdopodobieństwo warunkowe (def. klasyczna); wzór Bayesa 3. Niech P (A... A n ) > 0. Wykaż, że zachodzi równość: P (A... A n ) = P (A ) P (A A ) P (A 3 A A ) P (A n A... A n ). 3. Niech A, B, C będą takimi zdarzeniami, że C A B oraz B A. Pokazać, że wtedy P (C A) > P (C A B). Powyższa własność prawdopodobieństw warunkowych nie jest zupełnie oczywista. Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że ma asa pik jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej jednego asa. 3.3 Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których możemy się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi otworzyć drzwi. Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trafi na właściwy klucz za k-tym razem. 3.4 W sakiewce jest 00 monet, z których 99 normalnych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy losowo jedną monetę i rzuciliśmy nią 5 razy otrzymując 5 orłów. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami po obu stronach? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy dodatkowo rzucimy 5 razy tą monetą, to otrzymamy 5 orłów? 3.5 Pewien gen obecny jest u jednej osoby na 000. Opracowano test do badania jego obecności. Test jednak czasami myli się wykrywa rzeczywistą obecność genu w 98 przypadkach na 00, a w przypadku braku genu stwierdza jego obecność w 3 przypadkach na 00. Wylosowano jedną osobę i test stwierdził u niej obecność tego genu. Oblicz prawdopodobieństwo, że tak jest naprawdę, tzn. wylosowana osoba ma ten gen. Jakiej rady można w tym przypadku udzielić wynalazcy tego testu? 3.6 (zadanie Banacha o zapałkach) Pewien matematyk nosi w kieszeniach dwa pudełka zapałek jedno w prawej kieszeni, drugie w lewej. Gdy potrzebuje zapałki, wybiera losowo jedną kieszeń, tak że kolejne próby stanowią ciąg prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p =. Załóżmy, że początkowo każde pudełko zawiera n zapałek i rozpatrzmy chwilę, gdy po raz pierwszy matematyk wyciągnie puste pudełko. W tym momencie drugie pudełko może zawierać k = 0,,,..., n zapałek. Oznaczmy odpowiednie prawdopodobieństwo przez p k. Oblicz p k. 3.7 W urnie są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest n, przegrywających m, jest też k losów graj dalej. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej? (b) Jak zmieni się prawdopodobieństwo wygranej, jeśli po wyciągnięciu losu graj dalej wrzucamy go do urny przed ponownym losowaniem? 3.8 (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia: (a) kuli białej za drugim razem? (b) kuli czarnej za trzecim razem? (c) k kul czarnych w n losowaniach? 3.9 (problem Serbelloni ) Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający strażnika, korzystając z okazji spytał go: Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto będzie zwolniony, podaj mi jedno nazwisko. Strażnik namyślał się chwilę i nie widząc przeciwwskazań powiedział, że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A zmalało z 3 do? 3.0 (problem Monty Halla) Teleturniej 3 polega na wyborze jednej z trzech bram, przy czym nagroda jest tylko za jedną z nich. Prowadzący oczywiście wie, za którą bramą jest nagroda. Kiedy uczestnik teleturnieju wybrał już jedną bramę (nie otwierając jej!), prowadzący otwiera jedną z dwóch pozostałych tę, za którą nic nie ma. Po otwarciu tej bramy prowadzący pyta, czy gracz chce zmienić swój wybór i wybrać trzecią z bram. Co powinien teraz zrobić gracz: pozostać przy początkowym wyborze, czy zmienić go na trzecią bramę? kłótnia o jego rozwiązanie omal nie doprowadziła do zerwania pewnej konferencji z zastosowań matematyki w willi Serbelloni we Włoszech w 966 roku W pierwotnej wersji zadania jeden z więźniów miał być po prostu ścięty. 3 prowadzony przez Monty Halla, stąd nazwa zadania 3
4 4 Zmienne losowe 4. Dana jest funkcja prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X: Wyznacz: i x i p i 0, 0, 0, 0, C 0, (a) stałą C, (b) wykres funkcji prawdopodobieństwa, (c) dystrybuantę zmiennej X, (d) prawdopodobieństwa: P (X =), P (X =), P (X <3), P (X ), P (X >0), P ( X <3). 4. Dana jest dystrybuanta dyskretnej zmiennej losowej X: x (, ) [, 0) [0, ) [, 3) [3, + ) F (x) 0 0, 0, 5 0, 8 Znajdź (a) rozkład prawdopodobieństwa zmiennej X, (b) prawdopodobieństwa: P (X =), P (X 3), P (X <), P (X >0), P ( <X <3). 4.3 Czas bezawaryjnej pracy licznika opisuje zmienna losowa T o funkcji gęstości f(t) = τ exp ( t τ (a) Przyjmując τ = oblicz prawdopodobieństwo, że licznik zepsuje się pomiędzy t =5 a t =0. (b) Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej T. (c) Oblicz prawdopodobieństwo, że bezawaryjny czas pracy wyniesie co najmniej dwie godziny. (d) Oblicz medianę 4 oraz górny i dolny kwartyl 5. ), dla t>0 godz. 4.4 (Rozkład geometryczny) Wykonujemy co sekundę doświadczenie w schemacie Bernoulli ego aż do chwili otrzymania pierwszego sukcesu (przy czym pstwo sukcesu w jednej próbie to p). Niech X oznacza liczbę wykonanych doświadczeń, a Y czas oczekiwania na sukces. Wyznacz rozkłady zmiennych X i Y, ich wartości oczekiwane i wariancje. 4.5 (Rozkład wykładniczy) Przypuśćmy, że doświadczenie z zad.4 wykonujemy n razy na sekundę, a pstwo sukcesu wynosi n p. Niech Y n oznacza czas w sekundach oczekiwania na sukces. Wyznaczyć rozkład zmiennej Y n, jej dystrybuantę, wartość oczekiwaną, itp. Zbadaj zachowanie Y n przy n dążącym do nieskończoności (Y ). 4.6 Operator sieci komórkowej nalicza opłatę za każdą rozpoczętą minutę w wysokości c złotych. Zakładając wykładniczy (z parametrem λ) rozkład długości trwania połączenia telefonicznego wyznacz rozkład zmiennej opisującej wielkość opłaty za połączenie. Czy rzeczywiście abonent średnio płaci c złotych za połączenie? Co dzieje się w przypadku naliczania sekundowego? A w przypadku opłaty za pierwszą minutę, a po jej upływie naliczania co sekundę 60 c złotych? 4.7 Wykaż, że rozkłady geometryczny i wykładniczy mają następującą własność: P (X > t+s X > t) = p(x > s) zwaną własnością braku pamięci (albo własnością Markowa). Pokaż, że są to jedyne rozkłady wśród dyskretnych skupionych na N i wśród ciągłych skupionych na [0, + ), które mają własność braku pamięci. 4.8 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na [ A, A]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. Czy jest to zmienna o rozkładzie ciągłym? 4.9 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Zbadaj rozkład zmiennej Y = e X. 4.0 Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X, a f X jej gęstością (o ile istnieje). Wyznacz dystrybuanty i gęstości następujących zmiennych losowych: (a) ax + b, a 0, (b) X, (c) X, (d) ln X, przy założeniu P (X 0) = 0 (e) X, przy założeniu P (X <0) = 0, (f) sin X. 4 Mediana to taka wartość m R, że P (T m) = 5 Kwartyle dolny i górny to odpowiednio takie liczby rzeczywiste q 5%, q 75% R, że P (T q 5% ) = 4 oraz P (T q 75%) =
5 5 Wektory losowe 5. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech X będzie liczbą oczek w pierwszym rzucie, a X liczbą oczek w drugim rzucie. Wyznacz (a) rozkład łączny i dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i X, (d) macierz kowariancji wektora (X, X ). 5. Rzucamy dwa razy monetą. Niech X będzie liczbą orłów w pierwszym rzucie, a Y liczbą orłów w obu rzutach. Wyznacz (a) rozkład łączny i dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (d) macierz kowariancji wektora (X, Y ). 5.3 Rzucamy n razy monetą. Niech X i oznacza liczbę orłów w i-tym rzucie. Wyznacz (a) rozkład łączny i wektor oczekiwany, (b) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i, (c) macierz kowariancji wektora (X,..., X n ). 5.4 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: (x + y)e (x+y), dla x, y 0 f(x, y) = 0, dla pozostałych (x, y) Wyznacz (a) dystrybuantę tej zmiennej, (b) wartość oczekiwaną, (c) P (X < Y >), (d) P (0<X Y <), (e) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (f) macierz kowariancji wektora (X, Y ), (g) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej X +Y oraz (h) jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5.5 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości: cx, dla 0 x y x, f(x, y) = 0, w pozostałych przypadkach. Wyznacz (a) wartość parametru c, (b) dystrybuantę tej zmiennej, (c) wartość oczekiwaną, (d) P (X < Y > ), (e) P (0<X Y <), (f) dystrybuantę i rozkład brzegowy zmiennych losowych X i Y, (g) macierz kowariancji wektora (X, Y ), (h) dystrybuantę i rozkład zmiennej losowej U = X Y oraz (i) jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5
6 6 Funkcje zmiennych losowych 6. Niech F X będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = F X (X) (przy założeniu, że istnieje funkcja odwrotna do F X ). 6. Niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady dyskretne, przy czym rozkład zmiennej X skupiony jest w n punktach, a zmiennej Y w k punktach. (a) Wykaż, że rozkład zmiennej X + Y też jest dyskretny. (b) Rozkład zmiennej X +Y skupiony jest w N punktach, przy czym n+k < N < nk. (c) Wskaż dwa przykłady: jeden, w którym N = n+k i drugi, w którym N = nk. 6.3 Dana jest zmienna losowa X o rozkładzie niejednopunktowym. Znajdź zmienną Y, monotoniczną na R (np. nierosnącą, tj. spełniającą), o takim samym rozkładzie jak X, tj. X d = Y (podaj przepis na konstrukcję Y ). 6.4 Wykaż, że jeżeli zmienne X oraz Y są niezależne i mają jednakowy rozkład, to dla t > 0 zachodzą nierówności a) P ( X Y > t) < P ( X > t/), b) jeżeli a > 0 jest tak wybrane, aby P (X < a) > p, P (X > a) > p, to P ( X Y > t) > p P ( X > t+a), c) jeśli więc a = 0 jest medianą rozkładu X, to P ( X Y > t) > P ( X > t). Wskazówka: Feller tom II, rozdział V, par Niech X będzie zmienną losową, a µ X jej rozkładem. Określmy funkcję tworzącą momenty 6 zmiennej X wzorem M X (t) = E(e t X) = + e tx dµ X x. Funkcja jest określona dla tych t, dla których całka po prawej stronie jest skończona. Oblicz funkcje tworzące momenty zmiennych (a) o rozkładzie normalnym N(0, ), (b) o rozkładzie wykładniczym E(λ) z parametrem λ, (c) o rozkładzie Poissona P(λ) z parametrem λ. 6.6 Znajdź rozkład zmiennej losowej X, której momenty są określone wzorem: (a) m n (X) = n n+ dla n =,,... (b) m k (X) = 4 + k dla k =,, Niech funkcja tworząca momenty zmiennej X będzie określona dla t ( t 0, t 0 ), gdzie t 0 > 0. Wykaż, że wówczas (a) zmienna X ma wszystkie momenty skończone, tzn. E ( X n) < + dla n =,, 3,... (b) M X (t) = + k=0 t k m k(x) k! (c) k-ta pochodna M (k) X (0) = m k(x). 6.8 Znając funkcję tworzącą momenty rozkładu normalnego N(0, ) (z zad. 5), wykorzystaj zad. 7c do obliczenia momentów zmiennej o rozkładzie N(0, ). 6.9 Wykaż, że jeśli funkcje tworzące momenty zmiennych X i Y są równe na przedziale ( t 0, t 0 ) dla pewnego t 0 > 0, to zmienne te mają jednakowy rozkład. 6.0 (przykład dwóch różnych rozkładów o jednakowych momentach) Niech f(x) = π (ln x) x e l (0,+ ) (x) i określmy g(x) = f(x) ( + sin(π ln x) ). Wykaż, że obie funkcje są gęstościami (różnymi), ale mają jednakowe momenty rzędu k =,, 3,... 6 k-tym momentem zmiennej X nazywamy liczbę m k,x = E(X k ) = R x k dµ X (x). 6
7 7 Zadania różne 7. Zmienna losowa X ma rozkłąd wykładniczy E(λ). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y = X p dla każdego p > 0. Co można powiedzieć o przypadku p < 0 (p = 0)? 7. Urządzenie skłąda się z dwóch elementów pracujących niezależnie od siebie. Każdy z nich ulega awarii po czasie T (w godzinach), który jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = 0, e 0, x dla x > 0 (poza tym f(x) = 0). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że urządzenie będzie działało bez awarii przez co najmniej 0 godzin 7.3 Egzamin składa się z dziesięciu pytań, na które wybiera się jedną z pięciu odpowiedzi. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo udzielenia poprawnej odpowiedzi na co najmniej połowę pytań, jeśli wybiera się odpowiedzi na chybił trafił? (b) Jaka jest wartość oczekiwana liczby punktów uzyskanych przy odpowiedzi metodą chybił trafił, jeśli za udzielenie poprawnej odpowiedzi otrzymuje się 3 punkty, a za złą odejmuje się punkty? (c) Jaka jest odpowiedź w punkcie (b), jeśli udziela się odpowiedzi jedynie na k = 0,,... pytań? Zadania z egzaminu aktuarialnego z działu: Prawdopodobieństwo i Statystyka (nr w nawiasie oznacza zad./egz.) (/LXIX) Niech X,..., X n,... będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości 3x, gdy x (0, ) n f(x) = Niech T 0, gdy x (0, ) n = X 3/n i. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe? (A) (B) (C) lim P (T n e) } n > e = 0,03, lim P T n e } n > e = 0,3, lim P T n < e } =, i= (D) (E) lim P T n e } n > e = 0,046, lim P (T n e) } n > e = 0,03. (6/LXIX) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości π, gdy x > 0 i y (0, ) f(x, y) = 0 w przeciwnym wypadku Niech Z = Y X i V = X + Y. Wtedy łączny rozkład zmiennych Z, V jest taki, że: (A) E(Z) = 0, (B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej Z wyraża się wzorem g(z) = (C) mediana rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równa (D) zmienne Z i V są zależne,, (E) kwantyl rzędu 0,5 rozkładu brzegowego zmiennej Z jest równy. π( + z ) (3/LXVIII) Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości e x, gdy y (0, ) f(x, y) = Niech Z = X + Y. Wtedy E(X Z = 3) jest równa: 0 w przeciwnym wypadku dla z (0, + ), (A) 4e 3 e 3 (B) e e (C) 4e e (D) e 3 e 3 (E) e 3 e (5/LXVIII) Załóżmy, że X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym ciągłym rozkładzie prawdopodobieństwa, mającym momenty rzędu, i 3. Znamy µ = E(X i ) i σ = Var(X i ). Niech f(x) oznacza gęstość pojedynczej zmiennej X i. Wiemy, że rozkład jest symetryczny w tym sensie, że f(µ + x) = f(µ x) dla każdego x. Niech X + + X n, gdy N = n > 0 S N = 0, gdy n = 0 gdzie N jest zmienną o rozkładzie Poissona o wartości oczekiwanej. Trzeci moment E(SN 3 ) jest równy: 7
8 (A) 6µ 3 + 6µσ (B) 5µ 3 + 6µσ (C) 5µ 3 + 3µσ (D) µ 3 + 6µσ (E) µ 3 + 3µσ (6/LXVIII) Pan A przeznaczył 6 zł na pewną grę. W pojedynczej kolejce pan A wygrywa zł z prawdopodobieństwem 3 lub przegrywa zł z prawdopodobieństwem 3. Pan A kończy grę, gdy wszystko przegra lub gdy będzie miał 9 zł. Prawdopodobieństwo. że pan A wszystko przegra jest równe : (A) 0,88, (B) 0,67, (C) 0,50, (D) 0,97, (E) 0,77. (5/LXVII) Mamy dwie urny: I i II. Na początku doświadczenia w każdej z urn znajdują się kule białe i czarne. Losujemy po jednej kuli z każdej urny po czym kulę wylosowaną z urny I wrzucamy do urny II, a tę wylosowaną z urny II wrzucamy do urny I. Czynność tę powtarzamy wielokrotnie. Niech X n oznacza zmienną losową równą liczbie kul białych w urnie I po n-tym powtórzeniu czynności. Wtedy granica lim E( X n X n+ ) jest równa: (A) 4, (B), (C) 30 7, (D) 3 3, (E) 0 3. (/LXVI) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym o gęstości f(x) = e x dla x > 0 i niech Z oznacza część całkowitą zmiennej X (Z = [X]), a U część ułamkową (U = X}). Wtedy wartość oczekiwana E ( ZU ) jest równa: (A) (e ), (B) e e(e ), (C) e (e ), (D) e e, (E) e(e ) (e ). (4/LXVI) W urnie znajduje się r = 5 kul, z których m = 5 jest białych i r m = 0 czarnych. Losujemy bez zwracania najpierw n = 6 kul, a następnie spośród kul pozostałych w urnie, losujemy bez zwracania n = 9 kul. Niech S oznacza liczbę białych kul wybranych w pierwszym losowaniu, S oznacza liczbę białych kul wybranych w obu losowaniach. Oblicz Cov(S, S). (A),4, (B) 0,54, (C) 0,60, (D) 0,90, (E) 0,36. (6/LXVI) Załóżmy, że X, X,..., X n,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0, ], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem P ( N = n ) ( ) = n+ p 3 ( p) n dla n = 0,,,..., niezależną od zmiennych X, X,..., X n,... n min(x, X Niech M n =,..., X N ), gdy N > 0 0, gdy N = 0 Wtedy E(M N) jest równa: (A) p p3, (B) p + p, (C) + p p, (D) p + p p 3, (E) p + p p 3. (4/LXV) Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład prawdopodobieństwa o funkcji gęstości f(x, y) = e x, gdy 0 < y < x < +, oraz f(x, y) = 0 w przeciwnym przypadku. Niech U = Y X i V = Y + X. Wtedy E ( V U = ) jest równa (A) 5, (B), (C) 3, (D) 4, (E). (5/LXV) Niech Z, Z,..., Z n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości danej wzorem f(x) = ( + x) 3, gdy x > 0. Wtedy E ( Z +Z + +Z n min(z, Z,..., Z n ) = t ), gdzie t jest ustaloną liczbą dodatnią, jest równa (A) n + t, (B) (n )t + n, (C) nt + n, (D) (n )t + n, (E) (n + )t + n. (7/LXV) Rzucono niezależnie 6 razy symetryczną monetą. Obliczyć prawdopodobieństwo, że uzyskano mniej niż 6 serii, jeśli wiadomo, że uzyskano 0 orłów i 6 reszek. (A) 48 00, (B) 47 00, (C) 44 00, (D) 46 00, (E) UWAGA: Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciągu aaabbbaabbbba jest 5 serii (3 serie elementów a i serie elementów b). 8
9 (4/LXIV) Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej. Niech U = ln X Y. Wtedy: (A) zmienne U i Y są niezależne (B) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = (C) P ( U > 0 ) = 3 (D) E ( Y U = ) = e e + (E) funkcja gęstości rozkładu brzegowego zmiennej U wyraża się wzorem g(u) = e u ( + e u dla u R ) e u ( + e u dla u>0 ) (0/LXIV) Rzucamy trzema sześciennymi kostkami do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi, na których nie wypadły jedynki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kostkami, na których do tej pory nie wypadły jedynki. Oblicz prawdopodobieństwo, że po co najwyżej trzech rundach na wszystkich kostkach będą jedynki (wybierz najbliższą wartość) (A) 0,0, (B) 0,050, (C) 0,06, (D) 0,07, (E) 0,075. (7/LXIII) Zmienna losowa (X, Y, Z) ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = 0, EY = EZ = i macierzą 0 kowariancji 4. Obliczyć Var ( X(Y + Z) ) 0 4 (A), (B) 3, (C) 6, (D) 7, (E) 8. (0/LXIII) Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym danym wzorem ( ) ( ) n 3 P (N = n) = (n + ) dla n = 0,,,..., zaś X, X,..., X n,... zmiennymi losowymi niezależnymi 4 4 od N i od siebie nawzajem. Zakładamy, że każda ze zmiennych X i ma rozkład Benoulli ego P (X i = ) = p i P (X i = 0) = q, gdzie p+q =, 0 < p <. Niech N = N X i gdy N > 0, oraz 0 gdy N = 0, i niech N 0 = N N. ( ) i= N Wtedy E jest równa N 0 + ( 7p (A) 6q, (C) p ( ) ) 3 p, (E) q 4 q 3(q + ). ( (B) p q, (D) p ( ) ) 3, q 4 p (6/LXIII) Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0, ), X zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ), X 3 zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na (0, X ) itd. Niech N oznacza zmienną λ n losową taką, że P (N = n) = n! (e λ gdy n =,, 3,..., gdzie λ > 0 jest ustaloną liczbą. Zmienna N jest ) niezależna od zmiennych X, X, X 3,... Wtedy E ( X X X N N! ) jest równa (A) eλ λ λ(e λ ), (B) e λ +, (C) λ(eλ λ) e λ, (D), (E) eλ ( + λ) λ(e λ ). (6/LXII) Z urny, w której są dwie kule białe i trzy czarne, wylosowano jedną kulę, a następnie wrzucono ją z powrotem dorzucając kulę w tym samym kolorze, co wylosowana. Następnie z urny wylosowano dwie kule i wrzucono je z powrotem dorzucając dwie kule identyczne z wylosowanymi. Następnie wylosowano trzy kule. Okazało się, że są to trzy kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugim losowaniu wylosowano kule różnych kolorów. (A) 6 44, (B) 9 8, (C) 4 7, (D) 3 7, (E)
Zadania. 1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń
Zadania 1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń 1.1 (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu 1. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość
Bardziej szczegółowo0.7 Zapisz wymyślone przez Ciebie 200 wyników, jakie można uzyskać rzucając monetą. Następnie wykonaj 200 rzutów i porównaj otrzymane wyniki.
0 Zadania wstępne 0.1 Klasa F = { X Ω : #X < #Ω\X < } zbiorów przeliczalnych lub mających przeliczalne dopełnienia jest σ-ciałem. Dodatkowo, jeśli Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym, to F jest istotnie mniejsze
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowo5.Dzienne zużycie energii (1=100kWh) pewnej firmy jest zmienną losową. 0, gdy x 0 lub x 3
LISTA 4 1.Liczba komputerów, które mogą być zarażone wirusem poprzez pewną sieć ma rozkład Poissona z parametrem λ = 7. Prawdopodobieństwo,że wirus uaktywni się w zarażonym komputerze wynosi p. Jakie jest
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoX P 0,2 0,5 0,2 0,1
Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość
Bardziej szczegółowoPrzykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie:
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadanie. Niech (X, Y) ) będzie dwuwymiarową zmienną losową, o wartości oczekiwanej (μ, μ, wariancji każdej ze współrzędnych równej σ oraz kowariancji równej X Y ρσ. Staramy się obserwować niezależne realizacje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowo