Ilo ciowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji

Transkrypt

1 UNIWERSYTET RZESZOWSKI WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY INSTYTUT FIZYKI ZAKŁAD DYNAMIKI MATERII Ilo ciowe charakterystyki fluktuacji i korelacji na polskim rynku akcji Rafał Rak Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Stanisława Dro d a Rzeszów 2008

2 Podzi kowania Składam serdeczne podzi kowania mojemu promotorowi Prof. dr hab. Stanisławowi Dro d owi owi za czas po wi cony na liczne dyskusje dotycz ce problemów prezentowanych w tej pracy, inspiruj ce i konstruktywne uwagi oraz za naprawd wielki trud wło ony w pomoc przy redagowaniu rozprawy. Jestem tak e wdzi czny moim kolegom dr Jarosławowi Kwapieniowi oraz dr Pawłowi O wi wi cimce za niezwykle mił współprac, której konsekwencj były mi dzy innymi wspólnie napisane publikacje. Dzi kuje mojej onie onie, naszym Rodzicom, Siostrze oraz Bratu za ich zrozumienie, cierpliwo i wsparcie

3 Spis tre ci Wst p Ilo ciowe charakterystyki fluktuacji.... Modelowanie fluktuacji finansowych...2 Rozkłady prawdopodobie stwa stóp zwrotu indeksu WIG Nieekstensywno fluktuacji indeksu WIG Charakterystyki fluktuacji wybranych spółek GPW Charakterystyki korelacji czasowych Korelacje krótko i długookresowe Subtelne efekty persystencji zyski a korelacje czasowe Sygnatury multifraktalno ci Od fraktali do multifraktali Wymiary fraktalne a spektrum osobliwo ci f ( α ) Metody wyznaczania spektrum multifraktalnego f ( α ) Multifraktalne skalowania indeksu WIG Osobliwo ci skalowania fluktuacji w dynamice cen spółek indeksu WIG Macierzowe uj cie korelacji Formalizm macierzy korelacji Korelacje pomi dzy spółkami Dekompozycja fluktuacji indeksu WIG20 na składowe ortogonalne..8 Podsumowanie i wnioski Dodatek Historia rozwoju rynku akcji w Polsce 94.2 Polska giełda jako rynek wschodz cy Indeksy giełdowe na GPW Definicja indeksu WIG Literatura

4 Wst p Fizyka, ekonomia i matematyka to dziedziny nauki, które w wyniku poł czenia zaowocowały powstaniem interdyscyplinarnej w ostatnich latach pr nie rozwijaj cej si dyscypliny naukowej zwanej ekonofizyk. Mówi c bardzo ogólnie jest to dziedzina, która wykorzystuje wielkie do wiadczenie i narz dzia fizyki dla potrzeb wyja niania i modelowania szeroko rozumianych zjawisk ekonomicznych. Rynki finansowe oferuj niezwykle bogat baz danych i generuj wiele interesuj cych zjawisk, które obecnie stanowi wielkie wyzwanie dla fizyków. wiat finansów, b d cy jednym z najbardziej zło onych, samoorganizuj cych si systemów stawia wiele interesuj cych pyta, na które fizyka w ostatnich latach stara si odpowiedzie. Nale y jednak pami ta, e zwi zek mi dzy fizyk a ekonomi zacz ł si o wiele wcze niej. Pierwsze prace naukowe pojawiły si ju na przełomie XIX i XX wieku, kiedy to L.Bachelier [] w 900 roku zaproponował pierwszy model dynamiki cen akcji, który jak si pó niej okazało był analogiczny do modelu opisuj cego stochastyczny ruch cz stki Brownowskiej, czyli tzw. klasyczny ruch Browna lub ruch Wienera-Browna. I cho dzi wiemy, e model ten nie opisuje w dynamiki rynku giełdowego to jednak stanowił du y wkład do powstania rozwoju matematyki finansowej i ekonofizyki. Niedoskonało ci modelu opartego na bł dzeniu przypadkowym okazało si zało enie, e rozkłady prawdopodobie stwa fluktuacji cen akcji podlegaj rozkładowi Gaussa. Dzi wiemy, e empiryczne rozkłady maj cz sto znacznie grubsze ogony, które dla relatywnie du ych spełniaj zdarze prawa pot gowe [2,3,4,5,6,7,8,9]. Koncepcj rozkładów pot gowych zapocz tkował włoski ekonomista i socjolog V.Pareto, który zaproponował je do statystycznego opisu zjawisk socjologicznych [0]. Kolejne lata pokazały jednak ich zastosowanie w ekonomi pot gowe rozkłady Levy ego [] oraz ich aplikowanie do rzeczywistych fluktuacji finansowych przez B.Mandelbrota [2]. Wiadomo jednak, e rozkłady Levy ego równie nie do ko ca odzwierciedlaj natur rynków finansowych, dla których współczynnik skaluj cy ogony ich rozkładów le y poza stabilnym obszarem Levy ego. Na rynkach finansowych, niezale nie od miejsca czy strefy czasowej, dokonywana jest ogromna liczba transakcji giełdowych. Z tego punktu widzenia niezwykle wa nym jest pytanie o korelacje pomi dzy ró nymi aktywami finansowymi. O ile zagadnienie to jest znane i odgrywa kluczow rol mi dzy innymi w teorii doboru najefektywniejszego portfela [3,4] to nadal pozostaje nie w pełni zrozumiałe. Niezwykła zło ono serii finansowych dostrzegalna jest ju na poziomie badania funkcji autokorelacji zmienno ci (modułów stóp zwrotu), któr charakteryzuje długookresowa pami dochodz ca nawet do kilku miesi cy [8,5], podczas gdy ta sama funkcja dla ruchu Browna natychmiast spada do zera

5 Wa nym punktem odniesienia w procesie badania korelacji pomi dzy wieloma sygnałami (np. spółkami giełdowymi) okazała si by Teoria Macierzy Przypadkowych. Teoria ta została sformułowana przez E.Wignera w latach pi dziesi tych XX w. dla potrzeb mechaniki kwantowej wielu ciał. Jest ona na tyle ogólnym i niezwykle u ytecznym narz dziem, e dzi posiada szerokie zastosowanie tylko w finansach ale w teorii szkieł spinowych, w teorii chaosu, w chromodynamice kwantowej, w teorii strun, w teorii dwuwymiarowej grawitacji i w wielu innych zagadnieniach [6]. Inn, wa n cech szeregów finansowych jest samopodobie stwo w sensie statystycznym. Porównuj c dwa wykresy notowa tego samego instrumentu finansowego, jeden notowany np. co jedn minut, drugi dotycz cy notowa dziennych, na ogół nie jeste my w stanie ich rozró ni. Cecha ta jest typowa dla fraktali. Pierwszych tego typu obserwacji dokonał w 963 roku B.Mandelbrot [7]. Jego dalsze prace nad tym zagadnieniem spowodowały niezwykle silny rozwój i zainteresowanie teori fraktali, która dzisiaj z powodzeniem wykorzystywana jest równie w budowaniu modeli fluktuacji finansowych [8,9,20,2]. Pomocnym stał si s s tak e rozwój technik obliczeniowych umo liwiaj cy badanie tak skomlikowanych struktur jakimi fraktale. Ostatnie lata bada dowodz, e szeregi finansowe jeszcze bardziej skomplikowane ni pojedynczy fraktal stanowi one hierarchiczn konwolucj s wielu pojedynczych fraktali tworz c tzw. multifraktale. W takim sensie klasyczny ruch Browna jest monofraktalem. W procesie badania dynamiki finansów szczególn uwag po wi ca przede wszystkim dojrzałym rynkom. Jednak coraz cz ciej pojawiaj si prace, w których analizowane tzw. rynki wschodz ce [22], do których cz sto zalicza si s rynek polski [23,24]. Celem niniejszej pracy jest szeroko rozumiana ilo ciowa analiza fluktuacji i korelacji finansowych generowanych w procesie handlu aktywami na polskiej Giełdzie Papierów Warto ciowych. Dane, które zostały przeanalizowane to ceny akcji 39 spółek, które w pewnych okresach nale ały do portfela najwi kszego polskiego indeksu WIG20 (szczegółowe informacje przedstawiono w tabeli ). Z tego punktu widzenia to najbardziej reprezentatywne spółki notowane na GPW. Do analizy wzi to notowania z przedziału czasu od do Niezale n seri stanowi równie najwy szej cz sto ci (min) notowania indeksu WIG20. Wi cej szczegółów na temat tych danych zawarto w dalszych rozdziałach pracy. Rozprawa składa si z czterech zasadniczych rozdziałów. Rozdział pierwszy dotyczy analizy rozkładów prawdopodobie stwa stóp zwrotu na ró nych skalach czasowych, zarówno dla indeksu WIG20 jak i spółek

6 U ytecznym okazuje si tu teoria nieekstensywnej mechaniki statystycznej, która w sposób naturalny prowadzi do nowej klasy rozkładów zwanych q-gaussianami [25,26,27,28]. W pracy wyprowadzono analityczn posta tych rozkładów w wersji skumulowanej i podj to prób dopasowania ich do rozkładów otrzymanych z danych rzeczywistych. W rozdziale tym scharakteryzowano równie rozkłady prawdopodobie stwa czasów mi dzytransakcyjnych. W rozdziale drugim zwrócono uwag głównie na korelacje czasowe krótko i długookresowe. Tu oparto si mi dzy innymi analizie funkcji autokorelacji stóp zwrotu i zmienno ci zarówno na poziomie spółek jak i indeksu. Ponadto, rozwa ono funkcj autokorelacji krzy owej pomi dzy stopami zwrotu a zmienno ci. Istotnych informacji dostarczyła równie analiza zmian warto ci odchylenia standardowego w zale no ci od ró nych skal czasowych. W rozdziale tym wprowadzono tak e now miar persystencji, bazuj c bezpo- rednio na definicji, która stanowi alternatyw dla powszechnie znanej miary persystencji tzw. eksponenty Hursta [29]. W oparciu o otrzymane wyniki zasymulowano gr na danych rzeczywistych indeksu WIG20. Rozdział trzeci stanowi obszern analiz fluktuacji i korelacji polskiego rynku akcji z punktu widzenia multifraktali. Na pocz tku rozdziału przedstawiono podstawy formalizmu oraz najbardziej znan i uznan metod wyznaczania spektrum multifraktalnego (MF-DFA) dla danych dyskretnych [30,3]. Aby poprawi niedoskonało ci tej metody dla krótkich serii czasowych [32], podj to prób jej ulepszenia. W dalszej cz ci rozdziału dyskutowano mi dzy innymi spektra multifraktalne jednominutowych, logarytmicznych stóp zwrotu indeksu WIG20 wyznaczone odpowiednio dla ró nych lat (od roku 200 do roku 2005). Niszczenie wszelkich korelacji czasowych w analizowanych seriach uzyskano poprzez przypadkowe wymieszanie (tasowanie) danych rzeczywistych. Multifraktalna analiza porównawcza danych oryginalnych i wymieszanych pozwoliła okre li jaki wpływ na szeroko i poło enie spektrów multifraktalnych (a tym samym na zło ono szeregów finansowych) maj odpowiednio rozkłady i korelacje czasowe. Oprócz multifraktalnej analizy stóp zwrotu przedstawiono tak e analogiczne analizy dla czasów mi dzytransakcyjnych. Zestawienie tych charakterystyk stanowi istot Multifraktalnego Modelu Stóp Zwrotu (ang. Multifractal Model of Asset Returns) [9]. Rozdział ko czy multifraktalna analiza porównawcza dla najwi kszych i najmniejszych spółek. Korelacje ogólnie mo na podzieli na korelacje w przestrzeni (pomi dzy spółkami obj tymi przez dany rynek giełdowy, mi dzy grup firm z danego sektora handlowego a nawet mi dzy ró nymi geograficznie rynkami giełdowymi) i korelacje w czasie. Okazuje si, e oba typy korelacji mog by okre lane ilo ciowo w oparciu o odpowiednio zdefiniowan macierz korelacji. Ostatni, czwarty rozdział traktuje głównie o macierzowym uj ciu zagadnienia korelacji finansowych na rynku akcji

7 Aby dokona swego rodzaju odszumienia informacji dostarczanych przez spektra warto ci własnych odwołano si do Teorii Macierzy Przypadkowych, która w sposób jednoznaczny wyznacza obszar szumu [33,34,35,36]. Na tej podstawie mo emy oceni ewentualn obecno i sił czynnika kolektywnego, który w ogólno ci zwi zany jest z najwi ksz warto ci własn analizowanej macierzy korelacji. Pokazano tak e, jak zmienia si warto tej globalnej miary korelacji, gdy wydłu amy skal czasow s notowa akcji. Rozdział ko czy macierzowa analiza korelacji pomi dzy dziennymi i tygodniowymi okresami handlu dla jednominutowych stóp zwrotu indeksu WIG20. Za pomoc tych sygnałów własnych [37,38,39], które bezpo rednio zwi zane z najwi kszymi warto ciami własnymi, wskazano poło enia wzmo onych (dziennych i tygodniowych) aktywno ci rynku. Prac ko czy dodatek, w którym w sposób ogólny scharakteryzowano polski rynek akcji i porównano go z innymi rynkami [40]. Aparat algorytmiczny, wszystkie obliczenia i rysunki opracowano w programie Mathematica

8 i. Ilo ciowe charakterystyki fluktuacji. Modelowanie fluktuacji finansowych W 827 roku brytyjski biolog Robert Brown obserwuj c przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, znajduj si one w nieustannym, chaotycznym ruchu. W konsekwencji, te na pozór niewinne ruchy (ruchy Browna) dowiodły, e druga zasada termodynamiki ma czysto statystyczny charakter i odnosi si do wielko ci rednich oraz stały si siln przesłank na istnienie atomów. Okazało si bowiem, e nie mo na wyja ni ich istnienia przyjmuj c ci gł budow materii. Niemal 80 lat pó niej A. Einstein [4] i M. Smoluchowski [42] dokonali niezale nie matematycznego opisu tego typu zjawiska. Jednak wcze niej, bo 900 roku, Louis Bachelier w swojej pracy doktorskiej z matematyki pt. Teoria spekulacji, zaproponował pewien teoretyczny model procesu stochastycznego maj cy opisywa s zachowanie fluktuacji akcji na giełdzie paryskiej []. Po sze dziesi ciu latach odkryto na nowo jego prac i okazało si, e równania, które przedstawił opisywały ruchy Browna. W kolejnych latach zaproponowano bardziej ogóln posta tego ruchu, tzw. ułamkowy ruch Browna (ang. FBM) lub inaczej ułamkowy szum gaussowski [8,43]. Procesy tego typu oznaczmy je BH ( t ) procesami gaussowskimi o zadanym parametrze H ( 0, ), warto ci redniej równej zero oraz kowariancji 2 σ 2 ( ( ) ( )) ( ) 2 H H 2 H Cov BH t ; BH t2 = t t t2 + t2. () 2 Parametr H nazywany wykładnikiem Hursta [29] (jego znaczenie szerzej zostanie omówione w rozdziale drugim) wprowadza du e uogólnienie do procesu Browna. Mo na wyró ni tu nast puj ce charakterystyczne przedziały H : gdy H ( 0. 5, ) to szereg czasowy odznacza dodatni (korelacj ) gdy H ( 0, 0. 5) to szereg czasowy odznacza (antypersystencj si ujemn persystencj - antykorelacj ) szczególnym przypadkiem tego uogólnionego ruchu jest ruch bez jakichkolwiek korelacji, tzw. klasyczny ruch Browna (nazywany równie ruchem Browna Wienera) i wyst puje on gdy H = 0. 5 (jeden z paneli rysunku ). Przedstawiony przez L. Bacheliera model zakładał nast puj c ró niczk stochastyczn []: dm ( t ) = λ dt + σ db( t ), (2) - -

9 BHt BHt H0.85` BHt BHt H0.6` t t s H0.5` H0.3` s t t Rysunek. Symulacja ułamkowego ruchu Browna dla czterech ró nych wykładników Hursta H = { 0. 85, 0. 6, 0. 5, 0. 3}. gdzie λ i σ stałymi, oznaczaj cymi odpowiednio dryft i zmienno ( σ > 0) cen akcji, a B( t ) zakładał klasyczny ruch Browna, dla którego B ( 0) = 0 jest zdarzeniem pewnym (prawdopodobie stwo wynosi ), przyrosty B( t ) = B( t) B( ϕ ) dla 0 ϕ < t niezale ne i maj rozkład gaussowki z warto ci redni s równ 0 i wariancj ( t ϕ ), realizacje procesu ci głe. Przy warunku pocz tkowym m 0 otrzymujemy nast puj cy proces: M ( t ) = m0 + λ t + σ B( t ), (3) okre lany jako arytmetyczny ruch Browna. Niedoskonało tego modelu polegała na tym, e przyjmowane przez ten proces warto ci mogły by ujemne. Dlatego w latach sze dziesi tych ubiegłego wieku została zaproponowana niezale nie przez Osborna (959) i Samuelsona (965) formuła, która rozwi zała problem ujemnych cen akcji. Jej posta ró niczkowa, dm ( t ) = λ M ( t ) dt + σ M ( t) db( t ), (4) po zastosowaniu formuły Itô [44] i warunku pocz tkowym ( ) 0 rozwi zanie ( ) 0 ( 2 / 2 ) t + B( t) M 0 = m daje M t = m e λ σ σ. (5) Proces ten nosi nazw geometrycznego ruch Browna [45] i stał si podstaw modelu wyceny finansowych instrumentów pochodnych

10 W szczególno ci, za podanie wzoru na wycen opcji (usług finansowych) Scholes i Merton w 997 otrzymali Nagrod Nobla w dziedzinie ekonomii. Z perspektywy dynamiki finansów procesy stochastyczne opisane powy ej maj mi dzy innymi jedno zasadnicze uproszczenie zakładaj Gaussowskie rozkłady prawdopodobie stwa co generalnie nie jest zgodne z rzeczywistymi obserwacjami. Dlatego w kolejnych latach podejmowano próby zast pienia ruchu Browna prowadz cego do rozkładu normalnego alternatywnymi procesami stabilnymi, które dla ró nych instrumentów finansowych lepiej odzwierciedlały rozkłady logarytmicznych stóp zwrotu. W 963 roku Mandelbrot, po wnikliwej analizie cen akcji bawełny zauwa ył, e empiryczne rozkłady daj du o grubsze ogony ni rozkład Gaussa [2]. Oznaczało to, e bardzo rzadkie zdarzenia z punktu widzenia rozkładu normalnego, wyst puj z du o wi kszym prawdopodobie stwem w rzeczywistych obserwacjach. (lotem Levy ego) je eli: L( t ) = 0 jest zdarzeniem pewnym (prawdopodobie stwo wynosi ), niezale ne a ich rozkład g sto ci prawdopodobie stwa jest α -stabilnym rozkładem Levy ego: + α ( t ϕ ) k L( x; ( t ϕ )) = e cos ( kx) dk (6) 2π Dlatego zaproponował on zastosowanie tzw. α -stabilnych rozkładów Levy ego. Proces stochastyczny L( t ) nazywamy α - stabilnym ruchem Levy ego s przyrosty L( t) = L( t ) L( ϕ ) dla 0 ϕ < t gdzie, ( 0, 2] α jest parametrem stabilno ci i decyduje o grubo ci ogonów rozkładu. Stosuj c nast puj ce rozwini cie asymptotyczne: ( ( ϕ) ) n+ n ( ) ( t ϕ) παn ( α + nα ) (7) L x; t = Γ + n sin π n! x 2 n= dostrzegamy, e pierwszy i wiod cy człon tego rozwini cia dla x >> ma posta : ( ) L x ( +α ) x. (8) Zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Granicznym (ang. CLT), aby rozkład zmiennej losowej b d cej superpozycj zmiennych niezale nych d ył do rozkładu Gaussa, drugi moment rozkładu wyj ciowego musi by sko czony, czyli: σ + ρ ( x) x dx. (9) = < 2 2 O tym decyduje szybko zanikania ogonów rozkładu, co prowadzi do warunku, e α 2. W przeciwnym przypadku tradycyjne CLT nie stosuje si i mamy wtedy do czynienia ze stabilnym rozkładem Levy ego, którego pot gowa asymptotyka jest zachowana

11 Rozkład Levy ego jest na tyle ogólnym rozkładem, e mo e przyjmowa posta rozkładu Gaussa (dla α = 2 ), rozkładu Cauchy ego (dla α = ) oraz inne, po rednie zale nie od parametru α. Po uwzgl dnieniu w równaniu (4) ruchu Levy ego L( t) otrzymujemy nast puj ce równanie: dm ( t ) = λ M ( t ) dt + σ M ( t) dl( t ), (0) Jego rozwi zaniem dla warunku pocz tkowego M ( 0) = m0 jest proces zwany geometrycznym ruchem Levy ego [46]: t L( t) M ( t) = m0e λ + σ () Czy i w jakim stopniu procesy opisane powy ej oka si dobrym odzwierciedleniem procesów rzeczywistych, zachodz cych na rynkach finansowych, zostanie omówione w dalszej cz ci pracy..2 Rozkłady prawdopodobie stwa stóp zwrotu indeksu WIG20 Własno ci statystyczne fluktuacji finansowych na ró nych skalach czasowych odgrywaj jedn s s z najwa niejszych ról w modelowaniu rynków finansowych a ich skwantyfikowane własno ci jednym z najciekawszych zagadnie ekonofizyki. Nowopowstaj ce rynki akcji, zwykle rz dzone nieco inn dynamik ni s s te bardziej ustanowione, a ogony rozkładów prawdopodobie stw stóp zwrotu cz sto typu eksponencjalnego [47,48]. Je eli chodzi o rozkłady dla indeksów takich jak DAX, NASDAQ, S&P500, DJIA to dla nich, w odniesieniu do najkrótszych skal czasowych, zaobserwowano skalowanie si ogonów zgodnie z tzw. odwrotnym prawem kubicznym [49] (wi cej o nim w dalszej cz ci pracy). Oczywi cie oba typy rozkładów Levy niestabilne i dla stosunkowo długich skal czasowych zbiega mog do rozkładu Gaussa. W zwi zku z powy szym, w rozdziale tym zostanie przedstawiona systematyczna analiza rozkładów prawdopodobie stw stóp zwrotu indeksu WIG20 na skalach od do 60 minut a szczególna uwaga zostanie zwrócona na stopie leptokurtyczno ci tych rozkładów. Wybrano ten indeks bowiem jest on wypadkow 20 najwi kszych polskich spółek giełdowych, przez co jest powszechnie uwa any za najlepszy instrument finansowy charakteryzuj cy jako i nastroje polskiego rynku akcji. Wi cej jako ciowych informacji na temat polskiej giełdy i indeksu WIG20 zawarto w dodatku niniejszej pracy. Analiza ta b dzie dotyczyła notowa indeksu od stycznia 999 do 3 pa dziernika 2005 roku (rysunek 2a)

12 NASDAQ WIG20 US$ N ASDAQ,S& P 50 0, WIG2 0 WIG20 WIG20 S&P500 S&P500 s WIG20 US$ NASDAQ CZAS Rysunek 2a. Indeks WIG20, WIG20(US$), NASDAQ i S&P500 w okresie od do Dane zebrane w tym okresie czasu danymi najwy szej dost pnej cz sto ci i dla jednominutowych notowa licz s do ponad rekordów - tak du a statystyka sprawia, e prezentowane tu wyniki wysoce wiarygodne. Rysunek 2a przedstawia jak zmieniał si indeks WIG20 w przeci gu tego okresu. Pokazano na nim równie WIG20 w walucie ameryka skiej oraz jako swego rodzaju punkty odniesienia dwa inne indeksy giełdowe: NASDAQ i S&P Rozpatrzmy szereg czasowy W ( t ) reprezentuj cy warto indeksu WIG20 w czasie t. R zdefiniowane przez nast puj c formuł : R R( t, t ) = lnw ( t + t ) lnw ( t), (2) nazywane jest logarytmiczn stop zwrotu (ang. return). W kolejnym kroku normalizujemy stopy zwrotu: R R T r r ( t, t ) = (3) v gdzie v v( t) jest odchyleniem standardowym stóp zwrotu w czasie T, v R R T T = i... T jest redni po T. NASDAQ (National Association of Securities Dealers Automated Quotations), całkowicie elektroniczny system obrotu papierami warto ciowymi w Stanach Zjednoczonych. Obecnie na NASDAQ notowanych jest około 3200 spółek. 2 S&P 500 (Standard and Poor's) jest jednym z dwóch głównych indeksów giełdowych odwzorowuj cym notowania cen akcji 500 najwi kszych firm ameryka skich. Firmy wchodz ce w skład indeksu S&P 500 reprezentuj wszystkie wiod ce bran e gospodarki USA poczynaj c od przedsi biorstw naftowych, po czołowe spółki bran y nowych technologii

13 Na rysunku 2b pokazano znormalizowane stopy zwrotu r dla t = min. Rysunek 2b. Fluktuacje znormalizowanych, jednominutowych stóp zwrotu indeksu WIG20 w okresie od do W czasie rozwa anego tu przedziału prawie siedmiu lat notowa indeksu WIG20 giełda miała 3 ró ne (mog ce mie wpływ na dynamik ) okresy zwi zane z liczb godzin trwania dnia handlowego, tzn. handel akcjami odbywał si : od do w godzinach od 3 00 do 6 00 od do w godzinach od 2 00 do 6 00 od do w godzinach od 0 00 do 6 Dzie s s s dla GPW w Warszawie był bardzo wa nym, bowiem w tym dniu wprowadzono nowy system transakcyjny WARSET 3 (Warsaw Stock Exchange Trading System). Podobne systemy wykorzystywane na giełdach m.in. w Pary u, Brukseli, Amsterdamie, Chicago oraz Singapurze. Skumulowane rozkłady (CDF) modułów jednominutowych stóp zwrotu ( t = min) dla trzech charakterystycznych okresów handlu pokazano na rysunku 3. Pokazano nim rozkłady modułów, bowiem analizowane tu fluktuacje z dobrym przybli eniem symetryczne (rysunek 2b). Wykresy przedstawione w skali log-log, poniewa wtedy mo emy bardzo wyra nie widzie zachowanie si ogonów rozkładów a w szczególno ci identyfikowa rzadkie zdarzenia, które maj istotny wpływ na dynamik s fluktuacji stóp zwrotu. Z porównania rozkładów w panelach b), c), d) wida, e cho okresy handlu na giełdzie znacznie si ró niły (trwały odpowiednio 3, 4 i ponad 6 godzin w ci gu dnia) to rozkłady zasadniczo niezmienne. 3 WARSET zapewnił pełn automatyzacj przekazywania zlece, zawierania transakcji, sprawny dost p uczestników rynku do systemu obrotu papierami warto ciowymi oraz szerokie mo liwo ci korzystania z informacji o sytuacji na rynku (np. wszystkie informacje dotycz ce sytuacji na rynku giełdowym trafiaj do Satelitarnego Systemu Dystrybucji Informacji Giełdowej (SSDIG) i docieraj do wszystkich odbiorców jednocze nie). Ponadto WARSET umo liwił inwestorom szersze wykorzystanie mo liwo ci przesyłania zlece przez internet. Inn cech charakterystyczn systemu WARSET jest publikowanie w fazie przed otwarciem (zamkni ciem i w fazie równowa enia) tzw. teoretycznego kursu otwarcia, czyli wyliczonej na dany moment ceny papieru warto ciowego

14 Rozkłady fluktuacji przedstawione na rysunku 3 wykazuj bardzo podobne zachowanie jak dla fluktuacji dojrzałych indeksów pokazanych w pracach [2,49,50]. W szczególno ci obserwujemy pot gowe skalowanie si tzw. ogonów rozkładów, P( r > x ) x α (4) zgodne z odwrotnym prawem kubicznym, dla którego α = 3. Rozkłady, które spełniaj to prawo maj sko czony drugi moment (w tym przypadku próbka ma sko czon s długo ), wi c rozkładami niestabilnymi w sensie Levy ego. W tym kontek cie oznacza to, e rozkłady stóp zwrotu dla dostatecznie du ych skal czasowych t, powinny zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Granicznym wykazywa tendencj zbie no ci do rozkładu Gaussa. Rozkład skumulowany Rozkład skumulowany s Rysunek 3. Skumulowane rozkłady znormalizowanych jednominutowych ( t = min, ( ) ) stóp zwrotu indeksu WIG20 dla czterech okresów czasu: a) okres I od do ; b) okres II od do ; c) okres III od do ; d) okres IV od do Linia przerywana reprezentuje skumulowany rozkład Gaussa. Oczywi cie analizowane fluktuacje posiadaj korelacje wy szego rz du (czego dowodem wnioski z analiz multifraktalnych pokazane w dalszej cz ci pracy), dlatego ta zbie no mo e by wolniejsza ni dla procesów stochastycznych nieskorelowanych, do których odnosi si to twierdzenie

15 Jak zmienia si charakterystyka rozkładów stóp zwrotu indeksu WIG20 podczas gdy zwi kszamy parametr t pokazane jest na rysunku 4. Rozkład skumulowany Rysunek 4. Skumulowane rozkłady modułów znormalizowanych stóp zwrotu indeksu WIG20 notowanego w okresie od do dla ró nych skal czasowych t = {, 2, 4, 8, 6, 32, 60}. Na wykresie skale czasowe oznaczono symbolami graficznymi. Linia przerywana odpowiada skumulowanemu rozkładowi Gaussa. Widzimy, e na krótkich skalach czasowych, z dobrym przybli eniem, rozkłady fluktuacji spełniaj odwrotne prawo kubiczne. Odchylenie od tego prawa skalowania obserwowane jest jednak ju na poziomie niewiele wi kszym ni 6 minut. Dla t = 60 min obszar skalowania jest ju bardzo krótki a rozkład du o bli szy gaussowskiemu

16 .3 Nieekstensywno fluktuacji indeksu WIG20 W poprzednim paragrafie tego rozdziału pokazano, e rozkład prawdopodobie stwa znormalizowanych stóp zwrotu indeksu WIG20 dla najkrótszych skal czasowych nie jest ani rozkładem Levy ego ani rozkładem Gaussa. Pogl dowe zestawienie tych rozkładów pokazano na rysunku 5. 0 S Stopazwrotu Rysunek 5. Trzy typy skumulowanych rozkładów modułów znormalizowanych fluktuacji analogicznych do stóp zwrotu. one wynikiem symulacji numerycznych i reprezentuj odpowiednio: rozkład Levy ego z α =.5 ( ) ; rozkład normalny ( ) ; rozkład spełniaj cy. Obszary skalowania ogonów rozkładów oznaczono Rozkł ad skumulowan y odwrotne prawo kubiczne ( ) ( P r x x 3 ) kolorami: niebieskim (Levy) i czerwonym ( ) >. Tłuste ogony rozkładów rzeczywistych fluktuacji finansowych oraz ich zło ony charakter le cy u podstaw szeroko rozumianych korelacji [5,5,52,53,54] sugeruj, e konwencjonalne poj cie ergodyczno ci mo e by nieodpowiednim do opisu i modelowania tego typu zjawisk. W takim wypadku, formalizm uogólnionej, nieekstensywnej mechaniki statystycznej mo e zaoferowa bardziej odpowiedni struktur. Obecnie najbardziej konsystentnym uj ciem zagadnienia nieekstensywno ci jest formalizm oparty na zapostulowanej w 988 roku przez C. Tsallisa uogólnionej entropii [25,26,27,28], która dla zbioru N zdarze { x i } charakteryzowanych przez prawdopodobie stwa { } p i wyra a si wzorem: - 9 -

17 S N q q pi lnq pi =, (5) gdzie, parametr q jest parametrem nieekstensywno ci, a i= uogólnionym logarytmem lub q-logarytmem: q ln q nazywany jest x lnq x =. (6) q Entropia ta jest na tyle ogólna, e je eli przyj q = to redukuje si ona do klasycznej entropii Boltzmanna-Gibbsa. Nieekstensywne własno ci entropii Tsallisa uwidaczniaj si gdy zastosujemy prawo składania entropii dla dwóch statystycznie niezale nych systemów np. X i Y. Dla statystyki Tsallisa i Boltzmanna-Gibbsa otrzymamy odpowiednio: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S X + Y = S X + S Y + q S X S Y, q q q q q ( ) ( ) ( ) S X + Y = S X + S Y. BG BG BG W zale no ci od parametru q mo emy mówi o poziomie ekstensywno ci, i tak dla: q <, Sq ( X Y ) Sq ( X ) Sq ( Y ) q >, S ( X Y ) S ( X ) S ( Y ) + > + mówimy o superekstensywno ci, + < + mówimy o subekstensywno ci. q q q Przy odpowiednich zało eniach [25,26], ekstremalizacja uogólnionej entropii S q w wersji uci glonej prowadzi do nowej i bardzo ciekawej klasy rozkładów g sto ci prawdopodobie stwa zwanych q-gaussianami: gdzie 2 q pq ( x) = N q + Bq ( q )( x µ q ), ( q < 3), N q 5 3q Γ 2 2q - q B q dla q < 2 q π Γ q = Γ q q Bq dla < q < 3 3 q π Γ 2( q ) ( ) ( ) p x µ = x dx x p x dx q q q q (7), (8), (9)

18 q 2 p ( x) 2 2 σ q = ( x µ q ) dx q ( x µ q ), (20) p( x) dx q 2 Bq = ( 3 q) σ q. (2) 2 2 Zwi zek pomi dzy σ, czyli standardow wariancj, a σ q, czyli wariancj uogólnion 2 jest nast puj cy: σ 2 q = σ ( 5 3 q) / ( 3 q). Funkcj ( ) g sto prawdopodobie stwa dla q-gaussianów zapisa jako: x eq = + q x x x, e e, (22) nazywamy q-eksponent. Funkcja ta jest funkcj odwrotn do wprowadzonego q x powy ej q-logarytmu. Bior c pod uwag, e 0 e = dla ( ) q ( q x) + 0 mo emy posta B ( ) ( ) 2 q x µ q pq x = Nqeq (23) m + 3 Dla q = m +, rozkład (23) przyjmuje g sto ci prawdopodobie stwa rozkładu t-studenta o stopniach swobody m = {, 2, 3,... }. Innym, wa nym argumentem, który w wietle tych rozwa a podnosi rang rozkładu pq ( x ), jest jego asymptotyczne zachowanie przyjmuj ce dla x >> posta prawa pot gowego: 2 q pq ( x) x. (24) W szczególno ci, w odniesieniu do scałkowanych rozkładów, pq ( x ) dla q = 3 / 2 asymptotycznie przyjmuje posta odwrotnego prawa kubicznego (4). Mo na wskaza równie inne przedziały q, które jeszcze dobitniej uogólnion podkre laj posta ( p x ) : dla q =, p ( ) q q x przyjmuje własno ci rozkładu Gaussa, α + 3 dla q =, asymptotyka ogonów pq ( x ) pokrywa si z ogonami α -stabilnych α + rozkładów Levy ego. Pierwsze próby przydatno ci tej formy rozkładów do opisywania rozkładów prawdopodobie stwa finansowych szeregów czasowych okazały si całkiem obiecuj ce [55]. Dlatego poni ej, zostanie przedstawiona próba opisania rozkładów stóp zwrotu indeksu WIG20 dla ró nych skal czasowych przez rodzin rozkładów ( ) p x. q - 2 -

19 Jednak dla uzyskania lepszej stabilno ci wyniku, zamiast g sto ci prawdopodobie stwa p ( ) q x zostanie wprowadzona skumulowana posta tego rozkładu: x ( ) ( ) Pq ± x = pq x dx (25) gdzie, + i oznaczaj odpowiednio prawe i lewe skrzydło rozkładu. Wstawiaj c (23) do (25), po scałkowaniu otrzymujemy [24]: ± α β γ δ jest hipergeome- (27) + rozkładów stóp zwrotu indeksu WIG20 dla skal czasowych w takiej samej sekwencji jak na rysunku 4. Do danych empirycznych dopasowano teoretyczne rozkłady (26) w zale no ci od q. Rezultat wydaje si bardzo interesuj cym ze wzgl du na du e pokrywanie zachowa si rzeczywistych z teori. Jedyn widoczn niezgodno ci jest to, e dla t, zarówno dla dodatnich jak i ujemnych ogonów, kilka q±. Niemniej jednak, dla małych t otrzymany teoretyczny wynik jest bliski q = 3 / 2, co jest konsystentne z odwrotnym prawem kubicznym (4). Wraz z wydłu aniem si t teoretyczne (najlepiej dopasowane) warto ci q systematycznie zmniejszaj si, a odpowiadaj ce im q-gaussiany, stanowi w pełni satysfakcjonuj c reprezentacj dla całej klasy skal czasowych rozkładów prawdopodobie stwa stóp zwrotu. π Γ ( 3 q) β 2 Pq ± ( x) = N q ± ( x µ q ) 2 F ( α, β ; γ ; δ ) B q 2 ( β ) Γ β gdzie α =, 2 β = q, 3 γ =, δ = B ( )( ) 2 q q µ q x a 2 F (, ; ; ) 2 tryczn funkcj Gaussa [56], zdefiniowan przez nast puj cy szereg: + k αβ α ( α + ) β ( β + ) δ 2 ( α ) ( β ) k k 2 F ( α, β ; γ ; δ ) = + δ + δ +... =! γ 2! γ ( γ ) k = 0 k!( γ ) k Rysunek 6 przedstawia praw i lew cz skumulowanych krótkich skal czasowych zdarze rzadkich le y poza obszarem teoretycznej reprezentacji P ( r ), (26)

20 Rozkład skumulowany Rysunek 6. Skumulowane rozkłady znormalizowanych stóp zwrotu (oznaczono symbolami) indeksu WIG20 notowanego w okresie od do dla ró nych skal czasowych. Linie ci głe reprezentuj najlepsze dopasowanie q-gaussianów (26) do empirycznych danych, od góry do dołu odpowiednio: q =. 46 ( t = min, ), q =. 44 ( t = 2 min, ), q =. 35 ( t = 4 min, ), q =. 425 ( t = 8 min, ), q =. 4 ( t = 6 min, ), q =. 395 ( t = 32 min, ) i q =. 4 ( t = 60min, ). Linia przerywana odpowiada rozkładowi Gaussa o warto ci redniej 0 i wariancji. Pokazane rozkłady zostały przeskalowane, po to by lepiej móc je porównywa. Głównym wnioskiem podsumowuj cym niniejszy paragraf, w którym poddano analizie rozkłady stóp zwrotu indeksu WIG20 jest to, e formalizm nieekstensywnej mechaniki statystycznej oparty na uogólnionej entropii Tsallisa i wynikaj ca z niej rodzina rozkładów tzw. q-gaussianów, stanowi na dzie dzisiejszy najbardziej zwart, teoretyczn struktur opisuj c rozkłady prawdopodobie stwa tego typu fluktuacji finansowych na ró nych skalach czasowych. Powy szy wniosek mo e okaza si równie pomocnym w formułowaniu uogólnionego Centralnego Twierdzenia Granicznego, dla którego zsumowane zmienne stochastyczne jak np. finansowe szeregi czasowe nie byłyby zupełnie nieskorelowane