WIELOKRYTERIALNE HARMONOGRAMOWANIE PROJEKTU W PRZYPADKU ROZMYTYCH CZASÓW TRWANIA CZYNNOŚCI 1

Transkrypt

1 Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN Nr 7 05 Informatyka i Ekonometria Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Informatyki i Komunikaci Katedra Badań Operacynych krzeszowskab@o.pl WIELOKRYTERIALNE HARMONOGRAMOWANIE PROJEKTU W PRZYPADKU ROZMYTYCH CZASÓW TRWANIA CZYNNOŚCI Streszczenie: W praktyce zarządzania proektami mamy do czynienia z niezwykłą dynamiką działań i warunków które prowadzą do niepewności informaci i danych. Dlatego też stosowanie podeścia opartego na liczbach rozmytych do harmonogramowania proektu zdae się być zasadne. W artykule tym podeście oparte na liczbach rozmytych zostanie zastosowane do problemu wielokryterialnego harmonogramowania proektu. Celem opracowania est budowa wielokryterialnego modelu harmonogramowania proektu uwzględniaącego dwa kryteria: minimalizaci czasu trwania proektu oraz maksymalizaci zdyskontowanych przepływów pieniężnych. Stosowanym parametrem rozmytym zadania będzie czas trwania czynności który zostanie przedstawiony ako trapezowa liczba rozmyta. Zaproponowana zostanie adaptaca metody przeszukiwania z tabu celem rozwiązania tak postawionego problemu. Słowa kluczowe: wielokyrterialne podemowanie decyzi harmonogramowanie proektów trapezowa liczba rozmyta. Wprowadzenie W zarządzaniu proektami planowanie est edną z naważnieszych funkci. Plan definiue nie tylko cele akie maą zostać osiągnięte i działania akie należy podąć ale także ramy czasowe w których cele te powinny zostać osiągnięte. Aby móc w pełni określić ramy czasowe realizaci celów proektu należy przygotować ego harmonogram. W praktyce zarządzania proektami mamy do czy- Proekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych na podstawie decyzi numer DEC-0/07/N/HS/076.

2 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu... 5 nienia z niezwykłą dynamiką działań i warunków które prowadzą do niepewności informaci i danych. Dlatego też stosowanie deterministycznego podeścia do harmonogramowania proektu est obarczone ryzykiem dla terminowości realizaci proektu. Z te przyczyny zasadne stae się stosowanie podeścia opartego na liczbach rozmytych do harmonogramowania proektu. W problematyce budowy harmonogramów wyróżniamy dwa podeścia [Lambrechts Demeulemeester Herroelen 007]: podeście proaktywne oraz podeście reaktywne. Podeście proaktywne zakłada stworzenie harmonogramu odpornego na nieprzewidziane zdarzenie na etapie planowania. Podeście reaktywne zakłada z kolei aktualizace harmonogramu oraz podemowanie akci naprawczych w trakcie realizaci proektu. W ninieszym artykule będzie rozpatrywany problem oparty na proaktywnym podeściu do harmonogramowania proektów. Stosowanie liczb rozmytych ako miary niepewności w problemach harmonogramowania proektów est dość powszechne. Jednymi z pierwszych prac w których czas trwania czynności proektu został przedstawiony w sposób niedeterministyczny były prace Freemana [Freeman 960a 960b]. Od te pory wiele prac rozpatrue problem harmonogramowania proektów z niepewnością nie tylko czasu trwania ale również innych parametrów np. dostępności zasobów. Większość tych problemów rozpatrue ednak problem ednokryterialny w którym celem zadania est minimalizaca czasu trwania proektu [Soltani Hai 007]. Obecnie powstae niewiele opracowań dotyczących problemu wielokryterialnego harmonogramowania proektów z zastosowaniem liczb rozmytych. Przykładem takiego opracowania może być artykuł Castro-Lacouture Süer Gonzalez-Joaqui Yates [009] w którym autorzy rozpatruą problem dwukryterialny poszukiwania kompromisu pomiędzy czasem trwania a kosztem proektu wykorzystuąc do rozwiązania problemu symulace. Podobny problem poszukiwania kompromisu pomiędzy czasem trwania a kosztem proektu rozpatruą. Błaszyk Błaszyk Kania [0]. W swoe pracy Klein Langholz [998] proponuą zastosowanie metody przeszukiwania z tabu oraz metod symulowanego wyżarzania dedykowanych zadaniom z rozmytością parametrów do problemu wielokryterialnego harmonogramowania proektów. Kryteriami stosowanymi przez autorów są: akość rozwiązania (mierzona ako liczba godzin akie pracownicy pracuą nad zadaniami które nie są zgodne z ich profesą) koszt proektu oraz kryterium mierzące liczbę przepracowanych przez pracowników godzin w niedogodnym dla nich terminie. W artykule tym podeście oparte na liczbach rozmytych zostanie zastosowane do problemu proaktywnego wielokryterialnego harmonogramowania proektu. Celem est budowa wielokryterialnego modelu harmonogramowania pro-

3 5 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska ektu uwzględniaącego dwa kryteria: minimalizaci czasu trwania proektu oraz maksymalizaci NPV. Stosowanym parametrem rozmytym zadania będzie czas trwania czynności.. Optymalizaca harmonogramu proektu Problem optymalizaci harmonogramu proektu można opisać przez cztery główne komponenty: zbiór zasobów R zbiór czynności A zbiór relaci kolenościowych w zbiorze czynności A zbiór C będący zbiorem miar oceniaących harmonogram (celów i kryteriów). Ogólnie rzecz umuąc problem harmonogramowania proektu polega na takie alokaci zasobów ze zbioru R do czynności ze zbioru A aby wszystkie czynności mogły się zakończyć ograniczenia zostały spełnione oraz osiągnięty został nalepszy kompromis pomiędzy kryteriami ze zbioru C. Powyższy problem należy do problemów klasy NP-trudnych [Hapke Jaszkiewiecz Słowiński 988]. Istnieą trzy podstawowe typy kryteriów oceny harmonogramów proektów. Są to kryteria: czasowe finansowe (lub ekonomiczne) oraz zasobowe. Minimalizaca czasu trwania proektu est naprawdopodobnie naczęście badanym i naczęście stosowanym kryterium w harmonogramowaniu proektów. Innym kryterium czasowym oceny haromonogramu proektu est minimalizaca czasu trwania czynności proektu lub minimalizaca opóźnień czynności proektu względem czasów wcześnie zaplanowanych. Kryteriami finansowymi optymalizaci harmonogramu są: maksymalizaca zdyskontowanych przepływów pieniężnych netto (NPV) oraz minimalizaca kosztów proektu. Do narzadzie podemowanych kryteriów oceny harmonogramu należą kryteria oparte na zasobach. W tym przypadku oprócz minimalizaci odchyleń dotyczących wykorzystania zasobów optymalizaci podlega poziom wykorzystania zasobów w proekcie poprzez minimalizacę maksymalnego poziomu wykorzystania zasobów.. Liczby rozmyte ako miara niepewności.. Czas trwania czynności ako trapezowa liczba rozmyta Definica Niech R będzie przestrzenią liczb rzeczywistych. Zbiór rozmyty à est zbiorem par uporządkowanych {(x μ à (x)) x R} gdzie μ à (x) : R [0]. Funkcę μ à (x) nazywamy funkcą przynależności zbioru rozmytego.

4 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu... 5 Definica Wypukłym zbiorem rozmytym A nazywamy zbiór rozmyty w którym: x y R λ [0] μ ( λx + ( λ) y) min[ μ ( x) μ ( y)]. () A Definica Zbiór rozmyty A est nazywany pozytywnym eżeli funkca przynależności est taka że μ ( x) = 0 x 0. A Definica Trapezowa liczba rozmyta est wypukłym zbiorem rozmytym zdefiniowanym następuąco: A = ( x μ( x)) gdzie: A A μ A 0 x a b a ( x) = x d c d 0 x a a < x b b < x c. () c < x d x < d Trapezowa liczba rozmyta reprezentowana przez cztery parametry (będące liczbami rzeczywistymi) a b c d ( a b c d ) est opisana przez rys. : µ(x) x a b c d Rys.. Trapezowa liczba rozmyta Źródło: Soltani Hai [007].

5 5 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Definica 5 Trapezowa liczba rozmyta 0 a b c d. A = ( a b c d ) est nazywana pozytywną eżeli.. Działania na trapezowe liczbie rozmyte Mamy dane dwie trapezowe liczby rozmyte A = ( a b c d) oraz B = ( a b c d ) wtedy [Pan Willis Yeh 00]: dodawanie liczb rozmytych: A + B = ( a + a b + b c + c d + ) () maksimum rozmyte: M AX ( A B) = (max( a a d odemowanie liczb rozmytych: A B = ( a d b c c b d a )max( b b mnożenie liczby rozmyte przez stałą m: m A = ( ma mb mc md ) () )) (5) )) (6) ) (7) potęgowanie liczby rozmyte (dla pozytywne liczby rozmyte) [Bansal 0]: n n n n n A = ( a b c d ) (8) potęga liczby rzeczywiste m do liczby rozmyte [Bansal 0] Ã = (a b c d ): dzielenie przez liczbę rozmytą [Bansal 0]: / A = (/ d / c / b / )max( c c )max( d d minimum rozmyte: M I N( A B ) = (min( a a )min( b b )min( c c )min( d d A a a a a m = ( m m m m a ) (9) ). (0)

6 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu Metoda ścieżki krytyczne w uęciu rozmytym Wykorzystuąc relace z metody ścieżki krytyczne w przestrzeni rozmyte możemy dokonać kalkulaci następuących parametrów [Kuleewski Ibadov Zieliński 0]:. Nawcześnieszy moment rozmyty rozpoczęcia czynności ES : ES = MAX{ ES i P ( ) i D } () i gdzie: D rozmyty czas trwania czynności P() zbiór poprzedników i czynności ES i nawcześnieszy moment rozmyty rozpoczęcia poprzednika i.. Nawcześnieszy moment rozmyty zakończenia czynności EF : EF = ES D () gdzie: D ES i rozmyty czas trwania czynności nawcześnieszy moment rozmyty rozpoczęcia poprzednika i.. Rozmyty termin zakończenia realizaci proektu : gdzie: EF T F = EF () nawcześnieszy moment rozmyty zakończenia czynności.. Napóźnieszy moment rozmyty zakończenia czynności i LF i : T F MIN S ( i) = i LF { LF ( D )} T F S( i) φ () S( i) = φ

7 56 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska gdzie: S(i) zbiór następników czynności i LF D T F napóźnieszy moment rozmyty zakończenia czynności rozmyty czas trwania czynności rozmyty termin zakończenia realizaci proektu. 5. Napóźnieszy moment rozmyty rozpoczęcia czynności i LS i : LS i = LF ( D ) (5) i i gdzie: LF i D i napóźnieszy moment rozmyty zakończenia czynności i rozmyty czas trwania czynności i.. Wielokryterialne harmonogramowanie proektu przy rozmytych czasach trwania czynności.. Sformułowanie problemu decyzynego Należy utworzyć harmonogram proektu. Do wykonania proektów są wymagane pewne środki a relace kolenościowe pomiędzy czynnościami zostały ściśle określone. Poziom dostępności zasobów odnawialnych w poszczególnych ednostkach czasu est ograniczony. Czynności proektów są opisane przez następuące parametry: czas trwania typy oraz ilości wymaganych zasobów odnawialnych a także przepływy pieniężne przez nie generowane... Opis parametrów zadania W ninieszym artykule przyęto że parametrem rozmytym zadania będzie czas trwania. Czas trwania czynności est zatem trapezową liczbą rozmytą. Zmiennymi decyzynymi zadania będą momenty zakończenia poszczególnych czynności. Oznaczmy czynności ako = J. Czas trwania czynności wynosi D = ( d d d d ). Przez S oznaczamy moment rozpoczęcia czynności. Moment zakończenia czynności wynosi zatem:

8 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu (6) W ninieszym artykule rozpatruemy model wielokryterialny w którym optymalizaci będą podlegać trzy kryteria. Pierwsze kryterium polega ma minimalizaci czasu trwania proektu. Moment zakończenia proektu est równoznaczny z momentem zakończenia ostatnie ego czynności. Ponieważ nie zawsze możliwe est ednoznaczne wskazanie ostatnie czynności proektu będziemy minimalizować maksymalny z momentów zakończenia czynności proektu. Funkca ta ma zatem postać: ) min. (7) Kolenym kryterium optymalizaci est maksymalizaca NPV proektu. NPV ma następuącą postać: (8) gdzie: t przepływy pieniężne w momencie t I 0 nakłady początkowe r stopa dyskontowa. W zadaniu przymuemy założenie że przepływy pieniężne w proekcie są uzależnione od wykonanych czynności i są generowane w momencie ich zakończenia. Zatem NPV będzie zależne od momentu zakończenia czynności który est liczbą rozmytą. W związku z powyższym NPV będzie również liczbą rozmytą i będzie miało następuącą postać: Funkca kryterium maksymalizaci NPV ma zatem postać:. (9) Jeżeli przymiemy ako: przepływy pieniężne generowane przez czynności oraz F = ( F F F F ) F = ( F F F F ) momenty zakończeń czynności oraz wówczas mamy: F = S + D ( F =... J MAX NPV J t t = ( + r) = J NPV = = ( + r) F I 0 I 0 NPV max. (0)

9 58 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska NPV = ( + r) + ( F F F F ) ( F F F F ) ( ) + r I 0. () Korzystaąc ze wzoru (9) na potęgę liczby rzeczywiste m do liczby rozmyte otrzymuemy: NPV = (( + r) F ( + r) F ( + r) F ( + r) + ) (( + r) ( + r) Korzystaąc ze wzoru (0) na dzielenie przez liczbę rozmytą otrzymuemy: NPV = Korzystaąc ze wzoru () na dodawanie liczb rozmytych otrzymuemy: NPV = NPV = Odemuąc nakłady początkowe otrzymuemy: F. (). (). (). (5) Ze względu na fakt że przepływy pieniężne mogą być uemne uzyskana wartość NPV może nie być pozytywną liczbą trapezową lecz bliską zeru liczbą trapezową. Wyróżniamy trzy typy takie liczby [Bansal 0]: i. A = ( a b c d) = 0 est nazywaną liczbą trapezową bliską zeru typu N wtedy i tylko wtedy gdy a < b c < 0 < d. ii. A = ( a b c d) = 0 est nazywaną liczbą trapezową bliską zeru typu N wtedy i tylko wtedy gdy a < b < 0 < c < d. iii. A = ( a b c d) = 0 est nazywaną liczbą trapezową bliską zeru typu N wtedy i tylko wtedy gdy a < 0 b c < d. W artykule przymuemy następuące ograniczenia: ograniczenie dotyczące relaci kolenościowych poszczególnych czynności które est relacą typu zakończenie-początek i ma następuącą postać: F F ( + r) F ( + r) ( ) + ( F F F F F F F F ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( + r) ( F F F F F F F F ( + r) ( + r) + ( + r) ( + r) ( + r) I0 ( + r) ( + r) + ( + r) ( + r) I0 ( + r) ( + r) + ( + r) ( + r) I 0 ( + r) F I ) ) I (6) ( + r) + ( + r) 0 ) I ( F F F F F F F F 0 S F + D = i i 0 I ) 0

10 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu ograniczenie dostępności zasobów odnawialnych ( to maksymalna dostępność zasobu k): J r k = (7) ograniczenie zmienne decyzyne co do przymowanych wartości: R k R k F = ( F F F F ) (0000). (8).. Model matematyczny Model matematyczny problemu przedstawionego w ninieszym artykule ma zatem postać (koleno wzory ): ( F =... J MAX ) min NPV max S F + D = J r k = i R k i F = ( F F F F ) (0000). Metoda poszukiwania z tabu dla wielokryterialnych problemów rozmytych Do rozwiązania problemu przedstawionego powyże została zastosowana metoda poszukiwania z tabu dostosowana do zagadnienia rozpatruącego liczby rozmyte. W swoe pracy Klein i Langholz [998] zaproponowali algorytm który analizue ednocześnie edno rozwiązanie a porównanie rozwiązań przebiega poprzez ważenie kryteriów decyzynych. Warto zwrócić uwagę na fakt że powyższy algorytm przetwarza ednocześnie edno rozwiązanie podczas gdy algorytm przeszukiwania z tabu dla wielokryterialnych problemów deterministycznych est algorytmem populacynym rozpatruącym ednocześnie wiele rozwiązań. Dla przedstawionego w tym artykule problemu autorka zapropono-

11 60 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska wała dostosowanie metody przeszukiwania z tabu. W metodzie te operace są wykonywane na zbiorze rozwiązań oraz występue zbiór zewnętrzny zawieraący rozwiązania niezdominowane. Idea zbioru zewnętrznego została zaczerpnięta z elitarnych algorytmów ewolucynych dla problemów wielokryterialnych. Przeszukiwanie z tabu est metaheurystyką opartą na iteracynym przeszukiwaniu przestrzeni rozwiązań z wykorzystaniem sąsiedztwa pewnych elementów te przestrzeni oraz zapamiętaniem przy tym przeszukiwaniu ostatniego ruchu dopóki nie zostanie spełniony warunek końcowy. Ruchy wykonane w dane iteraci celem znalezienia kolenych rozwiązań są zapisywane na liście tabu. Obecność ruchu na liście tabu est tymczasowa (na określoną liczbę iteraci) i oznacza że danego ruchu nie można wykonać (tak długo ak długo znadue się on na liście tabu). Lista tabu ma za zadanie zmnieszyć prawdopodobieństwo zapętleń algorytmu. Wyątkiem kiedy est dozwolone wykonanie ruchu znaduącego się na liście tabu est spełnienie kryterium aspiraci. Jeżeli rozwiązanie uzyskane poprzez wykonanie ruchu zakazanego będzie nalepszym globalnym (dotychczas znanym) rozwiązaniem wówczas możliwe est wykonanie ruchu znaduącego się na liście tabu. W przypadku algorytmu poszukiwania z tabu są poszukiwane wartości maksymalizuące funkce celu dlatego też funkcę minimalizuącą moment zakończenia proektu należy przekształcić na funkcę maksymalizuącą. Do tego celu należy zastosować następuące działanie arytmetyczne na trapezowe funkci rozmyte: A = ( d c b ). (9) a Dla zadania maksymalizaci zestawu k funkci celu f(x) = (f (x)f (x)...f k (x)). Rozwiązanie x est niezdominowane eśli nie istniee dopuszczalne rozwiązanie y nie gorsze od x. Dla każde funkci celu f i : f i (x) f i (y). Dwa rozwiązania A = ( a b c d) oraz B = ( a b c d ) dla pewne funkci f będziemy porównywać w następuący sposób: A B ( a a b b c c d ). (0) d W algorytmie zastosowano następuące oznaczenia: n X = x... x } zbiór rozwiązań początkowych 0 { 0 0 X {... n i = xi xi } zbiór rozwiązań bieżących (w iteraci i) i licznik iteraci przy czym I oznacza maksymalną liczbę iteraci

12 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu... 6 ND zbiór rozwiązań niezdominowanych w którym może się znadować maksymalnie m rozwiązań Z T lista tabu w które może się znadować maksymalnie t ruchów zakazanych. Rozwiązanie zadania tą metodą przebiega w następuących krokach:. Ustaw: Z T = pustą listę tabu mogącą się składać z maksymalnie t rozwiązań; ND = pusty zbiór zewnętrzny mogący się składać z maksymalnie m rozwiązań; X 0 = pusty zbiór rozwiązań bieżących mieszczący n rozwiązań.. i =.. Wygeneru w sposób losowy zbiór n początkowych rozwiązań dopuszczalnych X n 0 = { x0... x0 }.. X 0 = X. 5. Oszacu wartości funkci kryterialnych dla wszystkich rozwiązań ze zbioru bieżącego. 6. Zidentyfiku rozwiązania niezdominowane w zbiorze P i = X i + ND i oraz skopiu e do zbioru ND i. A. Jeżeli liczba rozwiązań w zbiorze ND i < m dolosu rozwiązania ze zbioru rozwiązań bieżących. B. Jeżeli liczba rozwiązań w zbiorze ND i > m wylosu rozwiązania które zostaną ze zbioru usunięte. 7. i = +i. 8. Dla każdego rozwiązania ze zbioru ND i zidentyfiku rozwiązania sąsiaduące takie że ruch w kierunku rozwiązania nie znadue się na liście tabu oraz umieść rozwiązania w zbiorze X i+. 9. Uaktualni listę tabu. 0. Wykona kroki 5-9 I razy. 5. Przykład obliczeniowy Dany est proekt składaący się z czynności. Czasy trwania czynności są dane trapezową liczbą rozmytą. Ponadto dla każde z czynności zdefiniowano typy oraz ilości wymaganych zasobów oraz generowane przepływy pieniężne (tab. ). Zakładamy że przepływy pieniężne są generowane w momencie zakończenia czynności. Należy utworzyć harmonogram proektu optymalizuący kryteria opisane w punkcie ninieszego artykułu.

13 6 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Sieć proektu est dana następuącym grafem AON (Activity on Node) (rys. ) Rys.. Sieć proektu Źródło: Opracowanie własne. Maksymalny dostępny poziom zasobów odnawialnych w każde ednostce wynosi dla zasobu R oraz 6 dla zasobu R. Stopa dyskontowa wynosi 005. Tabela. Dane do przykładu obliczeniowego Czynność Czas trwania Zasób Zasób Przepływy pieniężne 0 (56) (6995) (050) (5805) (060) (805) (578) (5805) (850) (0505) (050)

14 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu... 6 Rozwiązanie zadania Krok Z T = φ ND = φ X 0 = φ Krok i = Krok Trzeci krok procedury zakłada wygenerowanie rozwiązań w sposób losowy. Do wygenerowania pierwszego zbioru rozwiązań dopuszczalnych zastosowano heurystykę opartą na regułach priorytetu. Zastosowano następuące reguły priorytetu (dla podeścia rozmytego): namnieszy z nawcześnieszych rozmytych momentów rozpoczęcia czynności ( ES ): min ES maksymalny rozmyty czas trwania ( PT ): max d minimalny rozmyty czas trwania ( PT ): min d nawiększe zapotrzebowanie na zasoby ( GRD ): max d r. Wartość poszczególnych reguł est następuąca (tab. ): Tabela. Wartości reguł priorytetu stosowanych do wygenerowania pierwszego zbioru rozwiązań Czynność/ reguła priorytetu ES 0 (0000) (56) (60) 0 (56) (6995) (8775) 0 (56) (050) (06560) 0 (56) (5805) (505) 05 (9) (060) (060) 06 (606) (805) (600) 07 (606) (578) (806) 08 (6) (85) (5805) (556075) 0 (056) (850) ( ) (85) (0505) (0000) (8756) (050) (050) (56076) 0 60 PT K k = k GRD

15 6 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Zbiór rozwiązań bieżących składa się z następuących rozwiązań (tab. ): Tabela. Momenty zakończenia czynności proektu uzyskane dzięki zastosowaniu reguł priorytetu Czynność min LF max d d 0 (56) (56) (56) (56) 0 (9) (9) (9) (9) 0 (606) (80) (80) (9856) 0 (6) (85) (85) (85) 05 (966) (8766) (960) (960) 06 (986) (076) (656) (785776) 07 (8569) (569) (979) (569) 08 (6566) (557) (976) (568) 09 (996) (056) ( ) (96709) 0 (76699) (566800) (67996) (67895) (66) (895066) (6557) (8756) (8598) (856586) (50709) (895066) (577790) (676900) (78906) (77905) min max d K r k k = Krok X 0 = X Krok 5 Oszacowanie wartości funkci kryterialnych dla wszystkich rozwiązań ze zbioru rozwiązań bieżących (tab. ). Tabela. Wartości funkci kryterium dla rozwiązań ze zbioru bieżącego x x f (577790) (678506) f ( ) (-0-585) x x f (78906) (77905) f ( ) ( ) Krok 6 Zidentyfiku rozwiązania niezdominowane w zbiorze P = X + ND. Aktualnie zbiór ND est zbiorem pustym dlatego rozwiązania będą identyfikowane tylko w zbiorze P =. X

16 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu Analizuąc rozwiązania można ednoznacznie stwierdzić że rozwiązanie dominue rozwiązania x oraz x. Nie możemy ednak ednoznacznie stwierdzić że rozwiązanie x est niezdominowane ponieważ nie esteśmy w stanie określić relaci dominaci między rozwiązaniem x a x. Analizuąc wartości funkci kryterium f można zauważyć że rozwiązanie x ma ednoznacznie lepsze rezultaty od rozwiązania x. Jednak nie esteśmy w stanie ednoznacznie określić które rozwiązanie est lepsze ze względu na wartość funkci kryterium f. Jeżeli zamienimy liczbę rozmytą reprezentuącą wartości funkci kryterium f dla rozwiązań x oraz x metodą środka maksimów to otrzymamy wartości f ( x ) = 5 ( f x ) = 07. Wówczas rozwiązania x oraz x uznaemy za rozwiązania niezdominowane w dane iteraci oraz umieszczamy e w zbiorze ND. Ponieważ liczba rozwiązań w zbiorze ND < losuemy brakuące rozwiązanie ze zbioru rozwiązań bieżących. Tym samym aktualnie zbiór ND składa się z rozwiązań: ND = { x x x }. x Krok 7 i = +i Krok 8 Identyfikuemy rozwiązania w sąsiedztwie rozwiązań znaduących się w zbiorze ND (tab. 5). x Tabela 5. Rozwiązania sąsiednie do rozwiązań znaduących się w zbiorze ND Czynność x x (56) (56) (56) (56) (9) (959) (9) (9) (606) (606) (80) (5066) (6) (85) (85) (85) 5 (966) (8766) (960) (960) 6 (6) (076) (656) (5678) 7 (8569) (569) (979) (7767) 8 (6566) (557) (956076) (657786) 9 (996) (056) (77577) (056) 0 (76699) (566800) (556980) (56076) (566) (895066) (6557) (8756) (56786) (856586) (58709) (895066) (577790) (676900) (65799) ( ) x x

17 66 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Krok 9 Uaktualni listę tabu. Iteraca Krok 5 Oszacowanie wartości funkci kryterialnych dla wszystkich rozwiązań ze zbioru rozwiązań bieżących (tab. 6). Tabela 6. Wartości funkci kryterium dla rozwiązań ze zbioru bieżącego x f (577790) (676900) f ( ) ( ) x f (65799) ( ) f ( ) ( ) x x Krok 6 Zidentyfiku rozwiązania niezdominowane w zbiorze : Rozwiązaniem niezdominowanym est rozwiązanie. Po wykonaniu 0 iteraci w zbiorze ND 0 znaduą się cztery rozwiązania przy czym dwa są rozwiązaniami niezdominowanymi. Są to rozwiązania x oraz (tab. 7). x Tabela 7. Zidentyfikowane rozwiązania niezdominowane po przeprowadzeniu 0 iteraci Czynność P = X + ND = { x x x x x x x x x x 0 (56) (56) 0 (9) (6) 0 (5066) (606) 0 (85) (85) 05 (960) (056) 06 (5678) (566) 07 (7767) (8976) 08 (657786) (66577) 09 (056) (806) 0 (56076) (656658) (8756) (05) (895066) (557) ( ) (666759) P }. x

18 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu Funkce przystosowania przymuą następuące wartości (tab. 8): Tabela 8. Wartości funkci przystawania rozwiązań niezdominowanych po przeprowadzeniu 0 iteraci x f ( ) (666759) f ( ) ( ) x Warto zwrócić uwagę że wartości funkci kryterialnych są znacznie lepsze niż rozwiązań ze zbioru początkowego co sugerue że tak powszechnie stosowane w harmonogramowaniu heurystyki oparte na regułach priorytetu mogą nie dawać satysfakconuących rozwiązań i powinny być łączone z innymi metodami. Podsumowanie W ninieszym artykule przedstawiono problem wielokryterialnego harmonogramowania proektu z ograniczonymi zasobami przy rozmytych czasach trwania. Kryteriami oceny harmonogramów była minimalizaca czasu trwania proektu oraz maksymalizaca NPV proektu. Powszechnie podemowany w literaturze est ednokryterialny problem harmonogramowania proektu z optymalizacą czasu trwania podczas gdy zaproponowana wielokryterialność zadania pozwala na uwzględnienie nie tylko czasu przy ocenie akości harmonogramów. Zaletą podeścia est możliwość przedstawienia czasu trwania zgodnego z posiadaną na temat dane czynności wiedzą pochodzącą od ekspertów oraz z doświadczeń czerpanych z poprzednich proektów (tzw. lessons learned). Podeście pozwala urealnić harmonogram proektu oraz uodpornić go na ryzyko nieprzewidzianych zdarzeń przez co ogranicza (nie eliminue) konieczność reaktywnego harmonogramowania proektu. Wadą podeścia bywa nieednoznaczność rezultatów. W przypadku próby identyfikaci rozwiązań niezdominowanych nie zawsze było możliwe ednoznaczne stwierdzenie czy dane rozwiązanie est rozwiązaniem niezdominowanym. Dalsze badania w te dziedzinie powinny być prowadzone w kierunku rozwou metod analizy rozwiązań w celu identyfikaci rozwiązań niezdominowanych przy rozmytych wartościach funkci kryterium oraz w kierunku porównania rezultatów proponowanego w artykule algorytmu z innymi metodami do rozwiązywania problemów wielokryterialnych przy rozmytych parametrach zadania.

19 68 Bogumiła Krzeszowska-Zakrzewska Literatura Bansal A. (0) Trapezoidal Fuzzy Numbers (abcd): Arithmetic Behavior International Journal of Physical and Mathematical Sciences () s. 9-. Błaszyk P. Błaszyk T. Kania M.B. (0) Theoretical Foundations of Fuzzy Bicriterial Approach to Proect Cost and Schedule Buffer Sizing Proceedings of the World Congress on Engineering and Computer Science. Castro-Lacouture D. Süer G.A. Gonzalez-Joaqui J. Yates J.K. (009) Construction Proect Scheduling with Time Cost and Material Restrictions Using Fuzzy Mathematical Models and Critical Path Method Journal of Construction Engineering and Management No 5 s ASCE. Freeman R.J. (960a) A Generalized PERT Operations Research 8 s Freeman R.J. (960b) A Generalized Network Approach to Proect Activity Sequencing IRE Transactions on Engineering Management 7 s Hapke M. Jaszkiewiecz A. Słowiński R. (988) Interactive Analysis of Multiplecriteria Proect Scheduling Problems European Journal of Operational Research 07 s. 5-. Klein Y. Langholz G. (998) Multi-Criteria Scheduling Optimization Using Fuzzy Logic. Systems Man and Cybernetics IEEE International Conference. Kuleewski J. Ibadov N. Zieliński B. (0) Zastosowanie teorii zbiorów rozmytych w harmonogramowaniu robot budowlanych metodą łańcucha krytycznego Budownictwo i Inżynieria Środowiska nr () Oficyna Wydawnicza Politechniki Białostockie s. -8. Lambrechts O. Demeulemeester E. Herroelen W. (007) Proactive and Reactive Strategies for Resource-constrained Proect Scheduling with Uncertain Resources Availabilities Springer. Nematian J. Eshghi K. Eshragh-Jaromi A. (00) A Resource-Constrained Proect Scheduling Problem with Fuzzy Random Duration Journal of Uncertain Systems. Pan H. Willis R.J. Yeh C.H. (00) Resource-constrained Proect Scheduling with Fuzziness Proceedings of 00 WSES International Conference on Fuzzy Sets and Fuzzy Systems (FSFS '0). Soltani A. Hai R. (007) Proect Scheduling Method Based on Fuzzy Theory Journal of Industrial and Systems Enigeering No s MULTIPLE CRITERIA PROJECT SCHEDULING WITH ACTIVITY FUZZY DURATION Summary: Planning is one of the most important aspect in proect management. Plan defines goals activities and timeframe for proect realization. To define proect timeframe proect schedule needs to be prepared. In real life applications proect managers have to deal with dynamic environment and uncertainty. In this situation deterministic approach for proect planning brings a risk for proect timely completion. This is the reason

20 Wielokryterialne harmonogramowanie proektu for using fuzzy numbers in proect scheduling problem. In this paper fuzzy based approach was used for multiple criteria proect scheduling problem. The purpose of this paper is to build fuzzy multiple criteria mathematical model with two obectives: proect time minimization and NPV maximization. Activities duration will be presented as fuzzy numbers. Keywords: multiple criteria decision making proect scheduling trapezoidal fuzzy number.