MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04

2 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest funkcja f określona wzorem f( x) dla każdej liczby rzeczywistej x x 0 Wyznacz zbiór wartości tej funkcji Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej Sporządzanie wykresu, odczytywanie własności i rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym związanych z proporcjonalnością odwrotną (IIf, 4m) Rozwiązanie Wzór funkcji f możemy zapisać w każdym ze zbiorów:,,, \ 0 symbolu wartości bezwzględnej Wówczas czyli Wykres ma więc postać x x,, bez dla x, x xx f( x) dla x, 00,, x xx dla x, x dla x, f( x) dla x,00, x dla x, y x Zbiorem wartości funkcji f jest,, -

3 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt : zapisze przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej zaznaczy na osi liczbowej przedziały:,,,,, i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy, np przy korzystaniu z definicji wartości bezwzględnej Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x x zapisze licznik ułamka w przedziałach,,,,, x bez użycia symbolu wartości bezwzględnej, np: x x xx dla x,, x x x x dla,0 0, x, x x xx dla x, Nie wymagamy, żeby zdający rozpatrując funkcję f w przedziale x 0, zapisał warunek Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu poda jej zbiór wartości poprawnie narysuje wykres funkcji f i błędnie odczyta zbiór wartości (np R ) Rozwiązanie pełne 4 pkt poda zbiór wartości funkcji f:,, Jeżeli zdający narysuje poprawnie wykres funkcji i nie poda zbioru jej wartości, to otrzymuje punkty

4 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 ) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f ( x) x (m ) x m 5 ma dwa różne pierwiastki x, x takie, że suma kwadratów B x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa odległości punktów A x,0 i Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań (również umieszczonych w kontekście praktycznym), prowadzących do badania funkcji kwadratowej Obliczanie odległości punktu od prostej (IV4l, 8c) I sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0 Zatem Odległość punktu A x,0 m m 4 5 0, 4m 0, 4 m m 0,, m, od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d od tej prostej jest równa d x Suma kwadratów tych odległości jest równa, więc otrzymujemy równość x x Przekształcając równoważnie tę równość otrzymujemy x x, x xx x, x x x x 0 0, Analogicznie odległość punktu B x,0 x x x x x x 0 0 Wykorzystując wzory Viete a otrzymujemy równanie z niewiadomą m m m m 5 0 0, 4m 8m 4 4m 0 4m 4 0 0, 4m 8m 0, m m 0, m m 0

5 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 Stąd m lub m Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x II sposób rozwiązania Funkcja kwadratowa f ma dwa różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek 0 Zatem m 4m50, 4m 0, 4m m 0, m,, Odległość punktu A x,0 od prostej o równaniu x y 0 jest równa x 0 x d Analogicznie odległość punktu B x,0 od tej prostej jest równa d x Suma kwadratów tych odległości jest równa, więc otrzymujemy równość x x, czyli x x Pierwiastki x, x są równe: m 4m m 4m x m m 4 oraz x m m 4 Otrzymujemy więc równanie z niewiadomą m m m 4 m m 4, m m m m 4 4, m m 8, m m m m m m m m , m 4m4 m 0 0, m m 0, m m 0 Stąd m lub m Tylko dla m istnieją pierwiastki x, x Schemat oceniania I i II sposobu oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności 0 :,, m

6 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów Drugi etap polega na rozwiązaniu równania d d Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty Podział punktów za drugi etap rozwiązania: punkt zdający otrzymuje za zapisanie odległości punktu A lub B od prostej o równaniu x y 0 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu: x d, d x punkty zdający otrzymuje za zapisanie x x x x x x wyrażenia d d równości d d, w postaci równoważnej, np: w postaci: x x x x x x 0 0 równania z niewiadomą m w postaci: m m 4 m m 4 punkty zdający otrzymuje za zapisanie równania stopnia drugiego z jedną niewiadomą m, np: m m m m m lub 4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie tego równania: m lub m Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z etapu pierwszego i drugiego: m Rozwiązanie pełne (trzeci etap) pkt Wyznaczenie części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności i równania oraz podanie odpowiedzi: m Za ostatni etap punkt może zostać przyznany tylko wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etapy I i II rozwiązania poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu równania z etapu II, gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże równanie z etapu II

7 Zadanie (0 ) Rozwiąż równanie Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony cos x sin x w przedziale 0, 7 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych (IIeR) I sposób rozwiązania Równanie zapisujemy w postaci równoważnej cosx sinx Dzieląc obie strony równania przez otrzymujemy cos x sin x Ponieważ sin oraz cos, więc równanie możemy zapisać w postaci sin cos x cos sin x Ze wzoru na sinus różnicy dostajemy sin x Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, czyli x k lub x k W przedziale 0, są tylko dwa rozwiązania tego równania: x, x Równanie cos x sin x możemy również zapisać w postaci równoważnej cos cos xsin sin x, a następnie zastosować wzór na cosinus sumy Wtedy otrzymujemy cosx

8 8 Stąd więc Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Do równania elementarnego, np sin x możemy również dojść nieco inaczej sin Zauważmy, że tg, czyli Zatem równanie cosx sinx możemy cos zapisać w postaci równoważnej sin cos x sin x cos, sin x Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze równanie w postaci równoważnej, np: sin cos x cos sin x lub sin cos cos xsin sin x lub cos x sin x cos Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równanie w postaci równoważnej: sin x lub cosx Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiąże równanie w zbiorze R: x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty II sposób rozwiązania

9 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ prawa strona równania cos x sin x jest nieujemna, więc równanie ma rozwiązania tylko wtedy, gdy cos x 0 Wówczas podnosząc obie strony równania do kwadratu otrzymujemy równanie równoważne cos x sin x sin x Stąd i z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy sin x sin x sin, x 4sin x sin x 0, sin x sin x 0 Podstawiając t sin x otrzymujemy równanie kwadratowe t t 0, tt 0 Stąd t lub t Zatem sin x lub sin x Rozwiązaniem pierwszego z tych równań jest każda liczba x k, gdzie k jest liczbą 5 całkowitą Rozwiązaniem drugiego jest każda liczba x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą 5 5 Ponieważ dla każdego k jest liczbą całkowitą mamy cos k cos 0, więc 5 żadna z liczb x k nie jest rozwiązaniem naszego równania Spośród pozostałych rozwiązań, w przedziale 0, znajdują się tylko dwie takie liczby: x, x Zamiast przekształcać równanie cos x sin x w sposób równoważny do układu równania cos x sin x sin x i nierówności cos x 0 możemy wyznaczyć wszystkie liczby z przedziału 0,, spełniające równanie cos x sin x sin x, 5 a więc liczby x, x, x, a następnie sprawdzić, które z nich spełniają równanie cos x sin x Wówczas dla x lewa strona równania jest równa cos, a prawa sin, więc liczba x jest rozwiązaniem 5 równania cos x sin x Dla x lewa strona równania jest równa cos, a prawa sin, więc liczba x nie jest 9

10 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony rozwiązaniem równania cos x sin x Dla x lewa strona równania cos 0 0, a prawa sin 0, więc liczba x jest rozwiązaniem równania W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze założenie cos x 0, a następnie zapisze równanie w postaci równoważnej, np: sin xsin x 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze alternatywę równań: sin x lub sin x Wystarczy, że zdający zapisze t lub t, jeśli wykonał podstawienie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiąże równania sin x, sin x w zbiorze R: 5 x k, x k, x k, gdzie k jest liczbą całkowitą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań spośród x k, x k, i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty III sposób rozwiązania Dopisując do równania cosx sinx jedynkę trygonometryczną otrzymujemy układ równań cosx sinx sin xcos x z niewiadomymi sin x i cos x

11 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązując ten układ dostajemy kolejno: sin x cos x cos x cos x sin x cos x 4cos x cosx 0 sin x cos x 4cosx cosx 0 sin x cos x cos x0 lub cos x sin x sin x lub cos x 0 cos x Rozwiązując otrzymane równania elementarne mamy 5 x k x k lub x k lub, gdzie k jest liczbą całkowitą x k x k lub x k Stąd x k lub x k, gdzie k jest liczbą całkowitą W przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania: x, x Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze układ równań, w którym jedno z równań zawiera tylko jedną niewiadomą cos x lub sin x, np: sin x cos x cos x cos x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze alternatywę elementarnych równań trygonometrycznych wynikających z otrzymanego układu, np: cos x 0 lub cos x Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

12 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony rozwiąże otrzymane równania w zbiorze R: x k lub x k lub x k lub całkowitą 5 x k, gdzie k jest liczbą Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x Jeżeli zdający zapisze tylko jedną serię rozwiązań równania elementarnego i konsekwentnie poda tylko jedno rozwiązanie z przedziału 0,, to otrzymuje punkty IV sposób rozwiązania Narysujmy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji cos gxsin x określonych w przedziale 0, y f x x oraz y=g(x) 0 x - y= f (x) - W przedziale 0, funkcja f jest malejąca, a jej wartości maleją od do 0, natomiast funkcja g jest w tym przedziale rosnąca, a jej wartości rosną od do Zatem równanie f x gx ma w tym przedziale jedno rozwiązanie Rozwiązaniem tym jest x, gdyż f cos oraz g sin Drugim rozwiązaniem równania f x gx w przedziale 0, jest x Jest to wspólne miejsce zerowe funkcji f i g Zatem w przedziale 0, znajdują się dwa rozwiązania równania: x, x Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje wykres jednej z nich

13 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony może rozważać funkcje określone na dowolnym zbiorze zawierającym przedział 0, Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt rozważy dwie funkcje: f x cosx oraz g x sin x i narysuje w jednym układzie współrzędnych wykresu obu tych funkcji Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt poda rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x, ale nie sprawdzi, że f g Rozwiązanie pełne 4 pkt poda wszystkie rozwiązania równania z przedziału 0, : x, x i uzasadni, że są to wszystkie rozwiązania równania w tym przedziale, np wykona sprawdzenie f g Jeżeli zdający poda tylko jedno poprawne rozwiązanie równania z przedziału 0, : x x i wykona odpowiednie sprawdzenie, to otrzymuje punkty Zadanie 4 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x y x y y x x, y prawdziwa jest nierówność Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Przeprowadzenie dowodu twierdzenia związanego z działaniami na wyrażeniach wymiernych: dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem wyrażeń wymiernych, skracaniem, rozszerzaniem wyrażeń wymiernych (Vf) Rozwiązanie I sposób Przekształcając nierówność x y x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y xy, x x y y xy, x xy y x y 0, x y x y 0

14 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Ostatnia nierówność jest prawdziwa, gdyż x y 0 natomiast x 0 i y dla dowolnych liczb rzeczywistych, 0, gdyż liczby x i y są dodatnie To kończy dowód Schemat oceniania I sposobu rozwiązania otrzymuje pkt gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: x y x y poprzestanie lub dalej popełnia błędy 0 i na tym otrzymuje pkt gdy uzasadni prawdziwość nierówności x y x y 0, np stwierdzi, że x y 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz x 0 i y 0 dla liczb dodatnich x i y Rozwiązanie II sposób Ponieważ x 0 i y 0, więc x i y Stąd wynika, że x y x y x y x y y x y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, czyli y x x y x y W rezultacie x y y x y x, co kończy dowód x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej: Stąd y x y x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania otrzymuje pkt x y x y gdy zapisze, że x y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy y x y x otrzymuje pkt x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np stwierdzi, że suma liczby dodatniej y x i jej odwrotności jest zawsze co najmniej równa lub wykorzysta nierówność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną

15 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie III sposób x y Przekształcając nierówność x y y x w sposób równoważny otrzymujemy x x y y, y y x x x y x y y x y x Suma x y to suma liczby dodatniej i jej odwrotności, więc jest co najmniej równa, y x x y natomiast suma jest dodatnia, gdyż jest sumą dwóch dodatnich składników Zatem y x x y x y nierówność jest prawdziwa To kończy dowód y x y x x y Nierówność wynika również wprost z twierdzenia o średniej arytmetycznej y x x y y x x y x y i geometrycznej: Stąd y x y x Schemat oceniania III sposobu rozwiązania otrzymuje pkt x x y y gdy zapisze lewą stronę nierówności w postaci równoważnej: y y x x x y i w dalszym rozumowaniu dąży do wykazania, że suma jest nie mniejsza niż, ale y x popełnia błędy otrzymuje pkt x y x y x y gdy uzasadni prawdziwość nierówności, np stwierdzi, że jest y x y x y x prawdziwa dla dowolnych liczb dodatnich, co wynika z twierdzenia o sumie liczby dodatniej x i jej odwrotności oraz 0 y i y 0 dla liczb rzeczywistych dodatnich x i y x 5

16 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie 5 (0 5) Dane są trzy okręgi o środkach A, B, C i promieniach równych odpowiednio r, r, r Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (III7c) I sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku r M r A r K C r L r r B Pole trójkąta AMK jest równe PAMK AM AK sin r sin, pole trójkąta ABC jest równe PABC AC AB sin 4rrsin r sin Zatem r sin PAMK P ABC r sin Podobnie, pole trójkąta BKL jest równe PBKL BK BL sin r sin 4r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC BA BC sin r5rsin 5r sin,

17 więc Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 4 r sin 4 5 PBKL PABC 5r sin Pole trójkąta CLM jest równe PCLM CM CL sin r sin 9r sin, natomiast pole trójkąta ABC jest równe PABC CA CB sin 4r5rsin 0r sin, Zatem P 9 r sin CLM 9 P ABC 0r sin 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 4 9 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM PABC PABC PABC PABC PABC, czyli PKLM P 5 ABC 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyrazi pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od r i sinusa odpowiedniego kąta trójkąta ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy pole co najmniej jednego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od 4 9 pola trójkąta ABC, np: PAMK PABC, PBKL PABC, PCLM PABC 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy pole każdego z trójkątów AMK, BKL lub CLM w zależności od pola trójkąta 4 9 ABC, np: P P, P P, P P i na tym poprzestanie AMK ABC BKL 5 ABC obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) CLM 0 ABC

18 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC: P 5 II sposób rozwiązania Długości boków trójkąta ABC są równe AB r, AC 4r i BC 5r Ponieważ AB AC r r r r r r BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny Zatem 4r 4 r sin, sin oraz PABC r 4 r r 5r 5 5r 5 Pole trójkąta prostokątnego AMK jest równe PAMK AM AK r Pole trójkąta BKL jest równe 4 8 PBKL BK BL sin r sin 4r r, 5 5 a pole trójkąta CLM jest równe 7 PCLM CM CL sin r sin 9r r 5 0 Pole trójkąta KLM jest więc równe 8 7 PKLM PABC PAMK PBKL PCLM r r r r PABC, czyli PKLM P 5 ABC Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze, że trójkąt ABC jest prostokątny wyrazi pole trójkąta KLM jako różnicę pól odpowiednich trójkątów: P P P P P KLM ABC AMK BKL CLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 4 obliczy sinusy kątów ostrych trójkąta ABC: sin 5, sin wyznaczy pole trójkąta ABC w zależności od r: wyznaczy pole trójkąta AMK w zależności od r: PABC PAMK r r 5 ABC

19 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy pole trójkąta ABC i pole jednego z trójkątów AMK, BKL, CLM 8 7 w zależności od r: PABC r, PAMK r, PBKL r, PCLM r 5 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy pole każdego z trójkątów ABC, AMK, BKL lub CLM w zależności od r i na tym poprzestanie obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC, popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC: P 5 III sposób rozwiązania Niech AB, r BC 5, r CA 4r AK AM r, BK BL r, CL CM r Zauważamy, że BAC 90, ponieważ r 4r 5r, zatem ABC 9 KM r r r r cos CBA, cos ACB 5r 5 Zatem z twierdzenia kosinusów mamy 4 5 KL 4r 4r r r r 5 5 4r 4 5r LM 9r 9r r r r 5 5 Obliczamy cos KLM : cos r KM ML KL ML KL KLM 8r r r cos KLM r r cos KLM Zatem cos KLM 4 5, więc 4 5 sin KLM

20 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Wobec tego r P KLM r r Ponieważ P r 4 r r P więc otrzymujemy P ABC, KLM ABC 5 Można obliczyć miarę kąta KLM KLM ABC 80 ACB ABC ACB 9045 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt wyznaczy jeden z boków trójkąta KLM Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt wyznaczy trzy boki trójkąta KLM Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt wyznaczy kosinus jednego z kątów trójkąta KLM, np cos KLM Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt wyznaczy sinus jednego z kątów trójkąta KLM, np sin KLM Rozwiązanie pełne 5 pkt PKLM obliczy stosunek pól trójkątów KLM i ABC: P 5 ABC

21 Zadanie (0 ) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe odpowiednio, i 4 Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny Obszar standardów Rozumowanie i argumentacja Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Korzystanie ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (V5b, 7a) Rozwiązanie Suma kątów trójkąta jest równa 80 Zatem 4 80, więc 7 80 Stąd oraz To oznacza, że trójkąt ABC jest rozwartokątny C 4 B A S Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że BSC BAC oraz ASC ABC 4 Ponadto, wypukły kąt środkowy ASB ma miarę równą ASB BSC ASC jest arytmetyczny, a jego różnica jest równa Ciąg,4, To kończy dowód Schemat oceniania otrzymuje pkt 5 gdy obliczy miarę kąta CAB: i uzasadni, że trójkąt ABC jest 7 rozwartokątny

22 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony nie musi obliczać miary kąta CAB Wystarczy, że zapisze otrzymuje pkt gdy rozważy poprawnie wpisany w okrąg trójkąt ABC i wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym do wyznaczenia miary kątów środkowych ASC i BSC w zależności od : ASC 4 oraz BSC otrzymuje pkt gdy wyznaczy miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC i stwierdzi, że tworzą one w podanej kolejności ciąg arytmetyczny: ASB, ASC 4, BSC Jeżeli zdający nie uzasadni, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, a udowodni, że miary kątów tworzą ciąg arytmetyczny, to otrzymuje punkty Zadanie 7 (0 ) Ciąg geometryczny a n ma 00 wyrazów i są one liczbami dodatnimi Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz log alog a log a log a00 00 Oblicz a Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Badanie czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny Stosowanie wzorów na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego (II5b, c) Rozwiązanie Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu a n są dodatnie i suma wszystkich jego wyrazów o numerach nieparzystych jest 00 razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych, więc ciąg ten nie jest stały Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych również jest geometryczny, a jego iloraz jest równy q, gdzie q oznacza iloraz ciągu a n Tak samo ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny i jego iloraz również jest równy q Każdy z tych ciągów ma po 50 wyrazów Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie Stąd mamy 00 q q a 00a q q a a, czyli a 00aq Zatem q, gdyż a 0 00

23 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Ponieważ log alog a log a log a00 00, więc z własności logarytmów otrzymujemy log a a a a00 00 Z definicji logarytmu otrzymujemy więc 00 a a a a00 0 Stąd i ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego dostajemy równanie z niewiadomą a a a a a 0, a 0 00 Ze wzoru na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy Stąd a, a, a Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zauważy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest geometryczny oraz ciąg, którego kolejnymi wyrazami są wyrazy ciągu an o numerach parzystych jest geometryczny, a iloraz każdego z tych ciągów jest taki sam zapisze równość aaa5 a99 00aq aqa5qa99q wykorzysta wzór na sumę logarytmów i definicję logarytmu oraz zapisze równość 00 log a log a log a log a 00 w postaci: a a a a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisze równanie z niewiadomymi a i q: q q a 00a q q

24 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony zapisze równość a a a a 00qa a a a zapisze równość a a q a q a q Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt zapisze równanie z niewiadomą a, np: 99 a a a a zapisze zależności a q 0 i q 00 Jeżeli zdający obliczy iloraz ciągu geometrycznego: popełnia błędy rzeczowe, to otrzymuje punkty 00 q i na tym poprzestanie lub dalej 00 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt zapisze równanie w postaci popełnia błędy a i na tym zakończy lub dalej 00 Rozwiązanie pełne pkt 00 obliczy pierwszy wyraz ciągu: a 0 Zadanie 8 (0 4) Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A 0,, B, 0, a C leży na osi Ox Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E Obszar standardów Użycie i tworzenie strategii Opis wymagań Rozwiązywanie zadań dotyczących wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV8bR) Rozwiązanie Obliczmy długość boku sześciokąta AB 4 Ponieważ wierzchołek C tego sześciokąta leży na osi Ox, więc C,0

25 y Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 5 F E A S D 0 B C x Środek S okręgu opisanego na tym sześciokącie ma zatem współrzędne S 4, Punkt S jest środkiem przekątnej BE sześciokąta, więc xb xe yb ye xe 0 ye S,, Zatem x E ye 4 i Stąd xe i ye 4, więc E, 4 Styczna do okręgu opisanego na sześciokącie foremnym ABCDEF poprowadzona przez wierzchołek E tego sześciokąta jest prostopadła do prostej BE Ponieważ współczynnik kierunkowy prostej BE jest równy ye yb 4 0, x x E B więc współczynnik kierunkowy stycznej jest równy Zatem styczna ma równanie y x 4, czyli y x Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze długość boku sześciokąta ABCDEF: AB 4 zapisze współrzędne środka S okręgu opisanego na sześciokącie: S 4,

26 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej BE: i obliczy lub poda współrzędne wierzchołka E: E, 4 zapisze, że prosta AC jest równoległa do stycznej obliczy lub poda współczynnik kierunkowy prostej AC: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: Jeśli zdający obliczy współczynnik kierunkowy stycznej, ale nie obliczy współrzędnych punktu E, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne 4 pkt zapisze równanie stycznej: y x lub y x 4 Zadanie 9 (0 ) Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatka została przedstawiona na rysunku 5 C A 48 B 5 Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (III9b) I sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 5 Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku

27 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony S R C O D 0 E 4 0 A Ponieważ wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa mają tę samą długość, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa jest punktem przecięcia symetralnych boków jest podstawy, a więc jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC Obliczmy promień R tego okręgu Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40 Stąd DC 40 4 Trójkąty OEC i ADC są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku C), więc OC AC R 40, czyli CE CD 0 Stąd R 5 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta COS otrzymujemy OC SO CS, czyli 5 h 5 Stąd h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Pole trójkąta ABC możemy obliczyć stosując wzór Herona PABC p pa pb pc Promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC możemy obliczyć wykorzystując wzór h h h B

28 8 Stąd Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony P ABC abc 4R abc R 5 4P 478 ABC Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np DC obwód tego trójkąta Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy pole trójkąta ABC: P 78 ABC obliczy wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C oraz zapisze, że spodek O wysokości SO ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa Wystarczy, że zdający oblicza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze równanie pozwalające obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, R 40 np: 78 lub 4 R 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt obliczy wysokość ostrosłupa i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 0 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS 4080 pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 5, VABCS 070 Jeżeli zdający obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC: R 5 oraz zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa, np: 5 h 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty Rozwiązanie pełne pkt obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 50

29 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 9 Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe zadanie II sposób rozwiązania Przyjmijmy, że podstawą ostrosłupa jest trójkąt ABC Wówczas każda z krawędzi bocznych AS, BS i CS ma długość 5 Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie jak na rysunku S 5 5 h h h B C O x D 0 E 4 0 A Ponieważ krawędzie podstawy AC i BC mają równe długości i krawędzie boczne AS i BS mają równe długości, więc spodek O wysokości SO ostrosłupa leży na symetralnej CD odcinka AB Odcinek CD jest również wysokością trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC otrzymujemy AD DC AC, czyli 4 DC 40 Stąd DC 40 4 Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADS otrzymujemy AD DS AS, czyli 4 h 5 Stąd h Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów DOS i COS otrzymujemy czyli DO SO SD oraz x x 4 OC SO CS, h 49 oraz x h 5 h 49 oraz 4xx h 5

30 0 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Stąd więc 4x 49 5, x 7, h Pole trójkąta ABC jest równe PABC AB CD Objętość ostrosłupa jest więc równa VABCS PABC h Możemy też przyjąć, że podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt ABS i wówczas wysokość ostrosłupa będzie odcinkiem CM, gdzie punkt M leży na wysokości SD tej podstawy Tak jak w II sposobie rozwiązania obliczamy CD oraz SD 49 Oznaczając MD y oraz CM h, a następnie stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta MDC i trójkąta ASM otrzymujemy MD CM CD oraz SM CM CS, czyli y h oraz 49 y h 5, y h 04 oraz y y h 45, Stąd y 04 45, 4 y 49 4 Zatem h 04 y Pole trójkąta ABC jest równe PABS AB SD Objętość ostrosłupa jest więc równa 90 VABSC PABS h Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt obliczy jedną z wielkości potrzebnych do obliczenia pola trójkąta ABC, np DC obwód tego trójkąta

31 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt obliczy pole trójkąta ABC: P ABC 78 obliczy wysokość trójkąta ABS opuszczoną z wierzchołka S oraz wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C: SD 49, DC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S: x h 49 i x h 5 zapisze układ równań pozwalający obliczyć wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C: x h i 49 x h 5 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABC z wierzchołka S i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 0 obliczy wysokość ostrosłupa opuszczoną na podstawę ABS z wierzchołka C i na tym 90 poprzestanie lub dalej popełnia błędy: h 49 obliczy objętość popełniając błędy rachunkowe (nawet na wcześniejszych etapach rozwiązania) pominie we wzorze na objętość współczynnik i otrzyma: VABCS 4080 pominie we wzorze na pole trójkąta współczynnik i otrzyma: PABC 5, VABCS 070 Jeżeli zdający obliczy długość odcinka OD: x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty Podobnie jeśli zdający obliczy długość odcinka MD: 4 y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje 4 punkty 49 Rozwiązanie pełne pkt obliczy objętość ostrosłupa: VABCS 50

32 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Jeżeli zdający pominie we wzorze na objętość ostrosłupa współczynnik i pominie współczynnik we wzorze na pole trójkąta, to otrzymuje co najwyżej punkty za całe rozwiązanie Zadanie 0 (0 5) Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie x x x x mxm m 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste takie, że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Stosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych (IIIcR) I sposób rozwiązania Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0 Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc tymi m m pierwiastkami są liczby x m, x m Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Mamy więc m m m m lub m lub m Stąd m lub m 0 lub m Ponieważ m jest liczbą całkowitą, więc istnieją dwie szukane wartości parametru m: m 0 lub m Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

33 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony wyznaczy wszystkie pierwiastki wielomianu poprzestanie lub dalej popełnia błędy W x :, m, m i na tym Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m zapisze jedno z równań i konsekwentnie obliczy wartość parametru m (w przypadku mm równania sformułuje wniosek, że nie istnieje taka całkowita wartość parametru m) rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi, konsekwentnie formułując końcowy wniosek Rozwiązanie pełne 5 pkt wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0 Jeżeli zdający zapisze równania pozwalające obliczyć szukane wartości parametru m: mm m m lub m lub m, rozwiąże je i nie odrzuci m, to otrzymuje 4 punkty II sposób rozwiązania ( wzory Viete a ) Zauważmy, że jednym z pierwiastków równania jest liczba, gdyż 0 Pozostałe pierwiastki wielomianu równania to pierwiastki trójmianu kwadratowego P x x m xm m Ponieważ m 4 m m 4m 4m4m 4m, więc ten trójmian ma dwa różne pierwiastki x i x, spełniające zależności: xx m, x x m m Wyznaczymy teraz wszystkie wartości parametru m, dla których jeden z pierwiastków wielomianu W x jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych Zapisujemy więc równości x x x x lub x lub x Uwzględniając wzory Viete a, z pierwszego równania otrzymujemy m Ponieważ m jest liczba całkowitą, więc to rozwiązanie odrzucamy Z drugiego równania wyznaczamy x x, a następnie ze wzoru Viete a na sumę pierwiastków otrzymujemy x m Po podstawieniu tej zależności do wzoru Viete a na iloczyn pierwiastków otrzymujemy równanie:

34 4 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony m mm m Po przekształceniach to równanie przyjmuje postać: m m 0 Równanie to ma dwa rozwiązania: oraz 0, stanowiące szukane całkowite wartości parametru Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sprawdzi, że jednym z pierwiastków równania jest Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt stwierdzi, że pozostałymi pierwiastkami równania są pierwiastki trójmianu x m xm m kwadratowego Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt x x x x zapisze równanie i co najmniej jedno z równań x, x oraz oba równania wynikające z wzorów Viete a: xx m i x x m m x x Jeżeli zdający zapisze jedynie równanie, rozwiąże je, otrzymując m, i odrzuci ten wynik, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt doprowadzi układ równań, np x x x x m x x m m 4 do równania kwadratowego z niewiadomą m, np m mm m Rozwiązanie pełne 5 pkt wyznaczy szukane całkowite wartości parametru: m, m 0

35 Zadanie (0 4) Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony Z urny zawierającej 0 kul ponumerowanych liczbami od do 0 losujemy jednocześnie trzy kule Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych 5 Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa i stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (II0d) I sposób rozwiązania (model klasyczny-kombinacje) Zdarzeniami elementarnymi są trzyelementowe podzbiory abc,, zbioru,,, 0 Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 0! ! 7! Niech A oznacza zdarzenie - wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych Wystarczy wyznaczyć liczbę takich zbiorów abc,,, że a b c i a b c Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie I tak: , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 0, , więc są 4 takie podzbiory, gdzie a 9, 875, więc są takie podzbiory, gdzie a 8, 754, więc są takie podzbiory, gdzie a 7, 54, więc są takie podzbiory, gdzie a, 54, więc są takie podzbiory, gdzie a 5, 4, więc jest taki podzbiór, gdzie a 4,, więc jest taki podzbiór, gdzie a W rezultacie A Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ) 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt 0 zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: abc,,, gdzie opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci a b c i a b c

36 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony może również zapisać a b c lub b a c lub c a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a bcoraz obliczy ich liczbę: A 0 0 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: i opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 0 zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: oraz opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci abc,,, gdzie a b c i a b c oraz obliczy ich liczbę: A 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt 0 obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A pominie co najwyżej jeden przypadek i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A zapisze podzbiór, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe i otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie II sposób rozwiązania (model klasyczny-wariacje) Niech zdarzeniem elementarnym będzie trzywyrazowy ciąg abc,,, którego wyrazami są liczby ze zbioru,,, 0 takie, że a b i a c i b c Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Niech A oznacza zdarzenie, że wylosujemy takie trzy kule, że numer jednej z wylosowanych kul będzie równy sumie numerów dwóch pozostałych Wystarczy wyznaczyć liczbę takich ciągów abc,,, że a b c i a b c, czyli ciągów malejących Liczba a może przyjąć wszystkie wartości od 0 do włącznie I tak: , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 0, , więc są 4 takie ciągi, gdzie a 9, 875, więc są takie ciągi, gdzie a 8,

37 Kryteria oceniania odpowiedzi poziom rozszerzony 754, więc są takie ciągi, gdzie a 7, 54, więc są takie ciągi, gdzie a, 54, więc są takie ciągi, gdzie a 5, 4, więc jest taki ciąg, gdzie a 4,, więc jest taki ciąg, gdzie a Z każdego takiego ciągu malejącego można utworzyć! zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A W rezultacie A! Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe 0 PA ( ) 70 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisze liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 09 8 opisze zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub c a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt abc,,, gdzie a b c lub ba c lub opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, ab c i ab c): 49 opisze zdarzenia sprzyjające np w postaci,, ca b oraz obliczy liczbę ciągów,, abc, gdzie a b c i a b c ( abc, gdzie a b c lub ba c lub abc w jednej z tych sytuacji, np w sytuacji, gdy a b c zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 i opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub b a c lub ca b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 09 8 oraz opisze zdarzenia sprzyjające zajściu zdarzenia A, np w postaci abc,,, gdzie a b c lub ba c lub ca b oraz obliczy ich liczbę: A 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( )

38 8 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Uwagi Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci,, abc, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c), pominie co najwyżej jedno i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający wypisując zdarzenia elementarne sprzyjające postaci abc,,, gdzie a b c i a b c ( ab c i a b c) zapisze ciąg, który nie jest zdarzeniem elementarnym w przyjętym modelu, np 0,5,5, to może otrzymać co najwyżej punkt, o ile poprawnie zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych Jeżeli zdający poprawnie poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, poprawnie opisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A (lub je wypisze) i poda ich liczbę, ale popełni błędy rachunkowe, jednak otrzymany wynik jest z przedziału (0,), to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast otrzyma wynik PA ( ), to otrzymuje 0 punktów za całe zadanie 4 Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A, to otrzymuje 0 punktów