Pytania filozoficzne a pytania naukowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pytania filozoficzne a pytania naukowe"

Transkrypt

1 Pytania filozoficzne a pytania naukowe Inaczej, niż wiele podręczników, nie będę próbował odpowiedzieć wprost na pytanie, co to jest filozofia. Zamiast tego zacznę od scharakteryzowania pytań, czy problemów filozoficznych, głównie przez skontrastowanie ich z pytaniami, czy problemami naukowymi. Najlepszym wprowadzeniem do wprowadzenia do filozofii teoretycznej wydaje mi się przedstawienie trzech sensacyjnych tez Gorgiasza z Leontinoi (V w. p.n.e.): 1. Nic nie istnieje. 2. Nawet gdyby coś istniało, nie dałoby się poznać. 3. Nawet gdyby coś istniało i dało się poznać, nie dałoby się nic o tym powiedzieć. Tezy te, na pozór, brzmią absurdalnie. Kiedy jednak poznamy kontekst, w którym zostały sformułowane, okażą się całkiem sensowne. Na przykład pierwsza teza przeciwstawia się zasadniczo stanowisku Parmenidesa głosząc, że nie istnieje Byt. Inaczej mówiąc, nic nie istnieje, jeżeli założyć, jak Parmenides, że to, co istnieje, jest wieczne, niezmienne i jedno. Tezy Gorgiasza są odpowiedziami na główne pytania filozofii teoretycznej: 1. Co istnieje? 2. Co (i skąd) można wiedzieć? 3. Dzięki czemu słowa coś znaczą? Wokół tych pytań koncentruje się problematyka głównych działów filozofii teoretycznej. Są to: 1. Ontologia (metafizyka), (gr. ont = byt; metafizyka = to, co następuje po fizyce); 2. Epistemologia (teoria poznania), (gr. episteme = wiedza); 3. Semiotyka (czyli nauka o znakach, a także filozofia języka oraz szeroko pojęta logika). Uwaga: terminy ontologia i metafizyka nie zawsze używane są zamiennie. Tę kwestię zostawimy na boku, podobnie jak kwestię wyjaśnienia stosunków między semiotyką, logiką i filozofią języka. Zamiast semiotyki większość podręczników wymienia logikę jako dyscyplinę bardziej podstawową, chociaż w wielu ujęciach traktuje się tę drugą jako zawartą w pierwszej 1. Sam termin filozofia teoretyczna, cokolwiek archaiczny, pochodzi od greckiego theorein = przyglądać się. Filozofia teoretyczna przygląda się zatem temu, co jest (ontologia), a także samemu przyglądaniu się (epistemologia) oraz pokazywaniu (semiotyka, logika). Prócz filozofii teoretycznej jest jeszcze filozofia praktyczna (od praxis = działanie), która zajmuje się pytaniami o to, co należy czynić po tym, jak już się rozglądniemy. Zacznijmy od pytania co istnieje?. O to (niekompletna) lista rodzajów przedmiotów, istnienie których rozważa się w ontologii. 1. Przedmioty fikcyjne (np. krasnoludki, Szklana Góra, Zagłoba). 2. Teoretyczne przedmioty nauki (np. elektrony, geny, dominacja, introwersja). 3. Przedmioty abstrakcyjne (np. liczby, białość, sprawiedliwość, IX Symfonia). 4. Powszechniki, inaczej uniwersalia (np. białość, człowiek w ogóle, a nie ten oto człowiek). 5. Przedmioty potocznego doświadczenia (np. to oto drzewo, a nie drzewo, drzewo w ogóle). Pytania czy istnieją krasnoludki, Szklana Góra, Zagłoba? są, odpowiednio, pytaniami z zakresu zoologii, geografii i historii. Natomiast pytanie czy istnieją przedmioty fikcyjne w ogóle? jest pytaniem filozoficznym (z zakresu ontologii). Podobnie pytania czy istnieją elektrony, geny, dominacja, introwersja? należą, odpowiednio, do zakresu fizyki, biologii (genetyki), nauk społecznych i psychologii. 1 Logikę można ująć jako naukę o języku jako systemie znaków, zwłaszcza o związkach zachodzących ze względu budowę, a nie treść wyrażeń językowych). A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 1

2 Natomiast czy istnieją przedmioty, o których mowa w teoriach naukowych, a które nie są dostępne ludzkiemu doświadczeniu jest pytaniem filozoficznym (z zakresu ontologii, filozofii nauki). Czy istnieje rozwiązanie takiego-a-takiego równania? jest pytaniem matematycznym, zaś czy liczby w ogóle istnieją (bo przecież nie ma ich w żadnym określonym miejscu)? jest pytaniem filozoficznym. Te przykłady pozwalają zauważyć, że pytania filozoficzne (w tym przypadku metafizyczne) są o wiele ogólniejsze od pytań naukowych. Mają one charakter podstawowy, natomiast pytania naukowe z góry zakładają już określone rozstrzygnięcia metafizyczne (na przykład fizyka klasyczna zakłada z góry, że istnieją przedmioty konkretne, tj. przedmioty usytuowane w przestrzeni i czasie, a matematyka klasyczna zakłada z góry, że istnieją przedmioty abstrakcyjne, jak liczby, zbiory, funkcje itp.). Podstawowa zasada rozstrzygania pytań o istnienie określonych rodzajów przedmiotów pochodzi od Parmenidesa: Podstawowa zasada ontologiczna: istnieje to, i tylko to, co jest identyczne ze sobą. No entity without identity czyli istnieć = zachowywać tożsamość. Smok Wawelski istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją podstawy do rozstrzygnięcia, czy w powieści Pagaczewskiego o profesorze Gąbce występuje ten sam Smok Wawelski, o którym legenda mówi, że pożerał dziewice do czasu, kiedy szewczyk Skuba dał mu popalić, czy też jakiś inny Smok Wawelski, który akurat tak samo się nazywa. (W pierwszym przypadku jest niemożliwe, aby zarówno legenda, jak i powieści Pagaczewskiego mówiły prawdę). Jeżeli nie ma podstaw do znalezienia odpowiedzi na to pytanie, Smok Wawelski nie istnieje. IX Symfonia istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy można zasadnie ustalić, czy melodia, którą gwiżdżę sobie przy goleniu, jest tą samą IX Symfonią, którą wczoraj wykonała Wielka Orkiestra Opery Głównej pod batutą Naczelnego Dyrygenta. Ja istnieję dzięki temu, że Państwo mają podstawy, aby uważać, że Adam Grobler, który rozpoczął ten wykład, jest tym samym Adamem Groblerem, który teraz mówi te słowa (ja też mam takie podstawy). Teorie metafizyczne a teorie naukowe Do wniosku, że nic nie istnieje, doprowadziło Gorgiasza następujące rozumowanie: 1. Istnieje tylko jeden, wieczny i niezmienny Byt (jak głosi Parmenides). 2. Ale gdzie Byt istnieje? 3. Nie może istnieć w Bycie, bo nic nie istnieje w sobie samym. 4. Nie może istnieć w Niebycie, bo Niebytu nie ma. 5. Byt nie istnieje nigdzie. 6. Zatem nic nie istnieje. Wniosek jest nie do przyjęcia. W takim razie trzeba znaleźć błąd w rozumowaniu, albo zrewidować jego przesłanki. Rewizję przeprowadził Demokryt z Abdery (V/IV w. pne) Istnieją wieczne i niezmienne atomy (byt), których jest wiele. 2. Istnieje też niebyt, czyli próżnia, w której atomy się poruszają. 3. Rzeczy są skupiskami atomów. 4. Atomy różnią się między sobą wielkością i kształtem. 5. Dlatego rzeczy są zróżnicowane. 6. Skutkiem zderzeń atomy łączą się i rozdzielają. 7. Dlatego rzeczy się zmieniają. 2 Albo jego legendarny (nie wiadomo, czy jest postacią autentyczną) nauczyciel, Leukippos. A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 2

3 Czy Demokryt zmyślił to, co dzięki nauce dziś wiadomo? Czy Dalton dowiedział się o atomach czegoś, czego Demokryt nie wiedział? Krótka historia pojęcia atomu (część I) 1. Rozkwit (III w. pne) i upadek atomizmu jako ateizmu (I w.) 2. Przypomnienie atomizmu w XVII w. (Gassendi) 3. Nieudana próba wyjaśnienia barw światła (Newton) 4. Prawo stałych stosunków wagowych (Proust 1799) 5. Teoria atomistyczna Johna Daltona (1802) Teoria Daltona: Synteza polega na łączeniu się atomów różnych pierwiastków w cząsteczki związku. Cząsteczki związku mają jednakowy skład (składają się ze ściśle określonej liczby atomów każdego z pierwiastków biorących udział w syntezie). Atomy tego samego pierwiastka są jednakowe (m.in. pod względem wagi). Stąd logicznie wynika prawo stałych stosunków wagowych (pierwiastki łączą się w związki chemiczne w stałych stosunkach wagowych, niezależnie od sposobu przeprowadzenia syntezy), co jest wyjaśnieniem, dlaczego to prawo zachodzi. Teoria Daltona jest tak samo wyssana z palca, jak teoria Demokryta. Różnica polega na tym, że teoria Demokryta jest niewrażliwa na świadectwo empiryczne: cokolwiek się zdarzy, można to wyjaśnić mówiąc, że atomy tak akurat się poruszyły. Gdyby jednak odkryto naruszenie prawa stałych wagowych (jakieś pierwiastki połączyłyby się raz w jednym stosunku, a kiedy indziej w innym), teorię Daltona trzeba byłoby odwołać. Na tym polega jej naukowość, a nie na tym, że uczeni podglądnęli atomy (nie mieli jak). Dostarczając bardziej szczegółowego wyjaśnienia doświadczenia, teoria Daltona zaczerpnęła od Demokryta pojęcie atomu. Na tym jednak nie kończy się historia zastosowania pojęcia atomu w nauce: Krótka historia pojęcia atomu (część II) 6. Prawo prostych stosunków objętościowych (Gay-Lussac 1805) 7. Wyznaczenie ciężarów atomowych jako liczb całkowitych (Prout 1815) 8. Hipoteza składalności atomów z atomów wodoru ( właściwych atomów ) 9. Odkrycie promieni katodowych (Crookes 1869) i kanalikowych 10. Odkrycia kolejnych cząstek elementarnych ( atomów drugiej generacji ) 11. Hipoteza kwarków (Gell-Mann 1964) ( atomów trzeciej generacji ) Podsumowanie: Nauka a metafizyka 1. Obie mają na celu teoretyczne wyjaśnienie doświadczenia. 2. Teorie naukowe, inaczej niż metafizyczne, są wrażliwe na świadectwa empiryczne. 3. Metafizyka dostarcza pojęć nauce. Przykłady innych pojęć naukowych o pochodzeniu metafizycznym: Wpływ metafizyki na naukę nie zamyka się w lamusie historii. Mimo spektakularnych sukcesów nauka współczesna od kilkudziesięciu lat nie poczyniła postępów w sprawie uzgodnienia ze sobą najlepszych teorii fizyki: mechaniki kwantowej i ogólnej teorii względności. Przypuszczalnie trzeba do tego nowych pomysłów metafizycznych: nowego ujęcia przyczynowości w dziedzinie subatomowej. Można śmiało zaryzykować tezę, że nauka powstała w naszym kręgu kulturowym dzięki filozofii. Nie powstała na przykład w Chinach, gdzie wcześniej niż w Europie wynaleziono papier i proch. Chińczycy zatem nie byli mniej pomysłowi od europejczyków. Różnica przypuszczalnie polega na tym, że Chińczycy mieli Konfucjusza, a my m.in. Demokryta. pierwiastek chemiczny, siła, presja społeczna, stres, zasada zachowania (np. energii), prawo przyrody. A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 3

4 Krytyka teorii metafizycznych Teorie naukowe, inaczej niż metafizyczne, muszą wytrzymać próbę doświadczenia. Nie znaczy to jednak, że teorie metafizyczne są równie niewrażliwe na krytykę jak pomysły niektórych naszych ministrów. Wbrew utartemu stereotypowi, filozofia nie składa się z poglądów. Poglądy mają portierzy, taksówkarze i słuchacze Radia Marya. Nie one jednak składają się na filozofię. Filozofia składa się z poglądów, czyli tez, teorii, doktryn, które mają na celu rozwiązać jakiś doniosły problem pojęciowy, oraz argumentów za i przeciw poszczególnym rozwiązaniom. Dynamikę krytyki, którą żywi się filozofia można prześledzić na przykładzie z samych początków greckiej filozofii: Problem początku (zasady bytu, arche): 1. Przedmioty zmysłowe powstają i giną. 2. Mogłyby w ogóle nie istnieć. 3. Musi zatem istnieć jakiś początek bytu, który nie powstaje, ani nie ginie. Tales z Miletu (VII/VI w. pne) Teza: początkiem bytu jest woda. Argumenty: w każdej rzeczy jest jakaś wilgoć, woda jest niezbędna do życia. Anaksymander (VI w. pne) Krytyka poprzednika: woda jest jedną z rzeczy zmysłowych, toteż nie może być początkiem. Teza: początkiem bytu jest bezkres (apeiron). Argument: bezkres nie jest żadną z rzeczy zmysłowych, sam nie ma początku. Przy okazji Anaksymander sformułował naczelną zasadę wyjaśniania naukowego: wyjaśniać jawne przez niejawne, znane przez nieznane (nauka wyjaśnia, na przykład, znane nam zmiany pogody jako skutki przemieszczania się niewidocznych frontów atmosferycznych, znane objawy chorobowe za pomocą nieznanych drobnoustrojów, znane nam zjawiska spalania za pomocą ukrytego działania elektronów walencyjnych itd.) Anaksymenes (VI w. pne) Krytyka poprzednika: jak wyjaśnić związek między bezkresem a rzeczami zmysłowymi? Teza: początkiem bytu jest powietrze. Argument: powietrze jest niejawne, lecz może działać. Problem tożsamości i zmiany: 1. Co się zmienia, staje się czymś innym, niż było. 2. Zatem przestaje istnieć. 3. Przedmioty zmysłowe wciąż się zmieniają. 4. Ledwie zaistnieją, przestają istnieć. 5. Zatem nie istnieją. Heraklit z Efezu (VI/V w. pne) Założenie: coś jednak istnieje. Teza: panta rhei (wszystko płynie), zmienność (ogień) jest zasadą bytu (wariabilizm). Krytyka: o czym można orzec, że się zmieniło, jeżeli zmiana jest utratą tożsamości? A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 4

5 Parmenides z Elei (VI/V w. pne) Teza: 1. istnieje jeden, wieczny i niezmienny Byt; 2. zmienne, przemijające i wielorakie zjawiska są tylko Pozorem. Argument: 1. Tylko to, co jest, istnieje; Byt jest, Niebytu nie ma. 2. Byt nie mógł powstać, bo nie mógł powstać ani z Bytu, ani z Niebytu. 3. Byt nie może przestać być, bo ani Byt, ani Niebyt nie mogą go unicestwić. 4. Byt jest jedyny, bo to, co istnieje jest identyczne z tym, co istnieje. 5. Byt nie może zmienić się ani w Byt, ani w Niebyt. Krytyka: 1. Jak wyjaśnić związek między Bytem i Pozorem? (porównaj z krytyką Anaksymandra). 2. Argument Gorgiasza, zob. wyżej. Zauważ, że przeciw teorii Parmenidesa przemawia nie to, że jest ona niezgodna z doświadczeniem. Konfrontacja z doświadczeniem jest zasadą krytyki naukowej. Natomiast doświadczenie samo może być przedmiotem krytyki filozoficznej, jak się stało na przykład w argumentacji Zenona z Elei. Dowodził on, że doświadczenie nas łudzi, gdy idzie o możliwość ruchu i że dlatego Parmenides słusznie ufa bardziej rozumowi niż doświadczeniu. Argumenty przeciw teorii Parmenidesa mają charakter pojęciowy: trzeba zdać sprawę ze związków między pojęciami bytu, tożsamości i zmiany. Paradoksy Zenona a rozwój matematyki Kim dla nauki był Demokryt, tym dla matematyki był Zenon z Elei. Usiłował on dowieść Parmenidesa teorię bytu pokazując, że samo pojęcie ruchu i zmiany prowadzi do sprzeczności. Achilles i żółw W wyścigu szybszy biegacz nie może nigdy prześcignąć najpowolniejszego, bo ścigający musi najpierw osiągnąć punkt, z którego ścigany już wyruszył, tak że powolniejszy zawsze go wyprzedza. Zenon konstruuje nieskończony ciąg chwil takich, że w każdej z nich Achilles jest w tyle za żółwiem. Mimo że różnica między kolejnymi chwilami (czas, który upływa od jednej chwili do następnej) zmniejsza się do liczby dowolnie małej, i podobnie zmniejsza się odległość między Achillesem a żółwiem, Zenon twierdzi, że w żadnej chwili wyścigu Achilles nie zrównuje się z żółwiem. Ten paradoks przyczynił się do powstania pojęcia granicy. Niech t 1, t 2, t 3,... będzie nieskończonym ciągiem chwil wyścigu Achillesa z żółwiem. Spełnia on tzw. warunek Cauchy ego 3 : Jeżeli istnieje liczba g spełniająca warunek 4 to nazywa się ona granicą ciągu t 1, t 2, t 3 ε > 0 n 0 n> n 0 t n+1 -t n < ε. ε > 0 n 0 n> n 0 t n -g < ε, Zatem ciąg chwil wyścigu Achillesa z żółwiem ma granicę, w której Achilles dogania żółwia. 3 W przekładzie na język polski warunek ten mówi: dla dowolnej liczby dodatniej istnieje taki wyraz ciągu, że każde dwa wyrazy po nim następujące różnią się od siebie mniej, niż o tę liczbę. Inaczej: można znaleźć kolejne wyrazy ciągu, które będą różniły się od siebie dowolnie mało, o ile posuniemy się wystarczająco daleko w tym ciągu. Formuły zostały zapisane w konwencji stosowanej w matematyce, w logice wymagana jest nieco większa precyzja (zgodność z regułami gramatyki ). 4 W przekładzie na języki polski: liczba, która różni się dowolnie mało od odpowiednio odległych wyrazów ciągu. A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 5

6 Dychotomia Ruch nie istnieje. To bowiem, co znajduje się w ruchu, musi wpierw przebyć połowę drogi, zanim osiągnie cel. A jest niemożliwe, by jakieś ciało mogło przebyć nieskończoną ilość punktów lub zetknąć się z nimi w skończonym okresie czasu. (Inaczej: nie jest możliwy start, bo chwila startu musiałaby być nieskończenie odległa w czasie od chwili dotarcia do mety). Matematyczne sformułowanie problemu: czy istnieje zupełny i rozłączny podział zbioru miary skończonej na nieskończenie wiele podzbiorów? Odpowiedź: NIE, jeżeli założyć, że miara każdego elementu podziału jest nie mniejsza od pewnej, dowolnie ustalonej, liczby dodatniej. TAK, jeżeli dopuścić, że elementy podziału mogą być miary dowolnie małej (kres dolny miar elementów podziału jest równy zero). Odkrycia Cauchy ego (zob. ramka) pozwalają na skonstruowanie matematycznego continuum z punktów o mierze zerowej. Pojęcie miary jest naturalnym uogólnieniem geometrycznych pojęć odległości, pola i objętości. Strzała August Cauchy ( ), matematyk francuski, udowodnił m.in. że każdy ciąg, który ma granicę, spełnia warunek Cauchy ego oraz że jeżeli ciągi t1, t2, t3, u1, u2, u3 spełniają warunek ε > 0 n 0 n > n 0 tn - u n < ε to jeżeli jeden z nich ma granicę, to drugi też, i granice obu ciągów są równe. To umożliwiło Cauchy emu zdefiniowanie liczby niewymiernej jako (w pewnym uproszczeniu) granicy takiego ciągu liczb wymiernych, który spełnia warunek Cauchy ego, ale żadna liczba wymierna nie jest jego granicą. (Przykładem takiego ciągu może być ciąg przybliżeń dziesiętnych stosunku długości obwodu koła do jego średnicy, którego granicę nazywa się p). Przy takiej definicji liczby rzeczywistej (wymiernej lub niewymiernej) każdy ciąg spełniający warunek Cauchy ego ma granicę. Wypuszczona strzała znajduje się w spoczynku, ponieważ w każdej chwili swojego lotu zajmuje jakieś miejsce. Rozumowanie Zenona zakłada, że czas składa się z szeregu teraz. Sformułowanie matematyczne problemu: jak suma zbiorów miary zero (punktów) może być zbiorem ciągłym? Jest to tzw. problem continuum. Same liczby wymierne nie tworzą continuum. Tworzy je dopiero zbiór liczb rzeczywistych czyli suma zbioru liczb wymiernych i niewymiernych. Pojęcie ciągłości, podobnie jak konstrukcja liczb niewymiernych, pochodzi od Cauchy ego. Pożyteczne lektury: 1. Na temat zasady no entity without identity i istnienia różnych rodzajów przedmiotów polecam W.V. Quine, O tym, co istnieje w: (tegoż) Z punktu widzenia logiki. Wersja elektroniczna: 2. Argumenty Gorgiasza są szczegółowo przedstawione w: Sekstus Empiryk, Przeciw logikom. 3. Historię pojęcia atomu przystępnie przedstawia G. Białkowski, Stare i nowe drogi fizyki. Cz. I: U źródeł fizyki współczesnej. 4. O paradoksach Zenona można poczytać w: Ajdukiewicz K. Zmiana i sprzeczność w (tegoż): Język i poznanie, t. II, przedruk w: J.J. Jadacki, T. Bigaj i A. Lisowska (red.) Co istnieje, t. II. 5. Bardziej zaawansowany tekst o paradoksach Zenona: Placek T. Paradoksy ruchu Zenona z Elei a problem continuum w: Studia filozoficzne 1989, nr 4, przedruk w: J.J. Jadacki et al. (red.), Co istnieje, t. II. Studentom, którzy nie mają zapału do studiowania logiki, zwracam uwagę, że Przeciw logikom jest tekstem starożytnym, zaś Z punktu widzenia logiki jest współczesnym dziełem jednego z największych filozofów XX wieku. A. Grobler, Wprowadzenie do filozofii 1 6

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta

Filozofia przyrody - Filozofia Eleatów i Demokryta 5 lutego 2012 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 4 Materializm Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów.

Filozofia, ISE, Wykład V - Filozofia Eleatów. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia Parmenidesa z Elei Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii 2 3 Ontologia Parmenidesa Epistemologiczny aspekt Parmenidejskiej filozofii

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna

Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna Filozofia, Socjologia, Wykład II - Podział filozofii. Filozofia archaiczna 2011-10-01 Plan wykładu 1 Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych Metafizyka Ontologia Epistemologia Logika Etyka Estetyka

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna

Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna Filozofia, Pedagogika, Wykład III - Filozofia archaiczna 2009-09-04 Plan wykładu 1 Jońska filozofia przyrody - wprowadzenie 2 3 Jońska filozofia przyrody - problematyka Centralna problematyka filozofii

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

1. Dyscypliny filozoficzne. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 1. Dyscypliny filozoficzne Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Pochodzenie nazwy filozofia Wyraz filozofia pochodzi od dwóch greckich słów:

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych

Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych Filozofia, ISE, Wykład III - Klasyfikacja dyscyplin filozoficznych 2011-10-01 Plan wykładu 1 Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych 2 Podział dyscyplin filozoficznych Klasyczny podział dyscyplin filozoficznych:

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU:

SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU: Autorka: Małgorzata Kacprzykowska SCENARIUSZ LEKCJI DO DZIAŁU: Wprowadzenie do filozofii Temat (4): Dlaczego zadajemy pytania? Cele lekcji: poznanie istoty pytań filozoficznych, stawianie pytań filozoficznych,

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA a FILOZOFIA

INFORMATYKA a FILOZOFIA INFORMATYKA a FILOZOFIA (Pytania i odpowiedzi) Pytanie 1: Czy potrafisz wymienić pięciu filozofów, którzy zajmowali się także matematyką, logiką lub informatyką? Ewentualnie na odwrót: Matematyków, logików

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia przyrody, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2011-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Różnice w metodzie uprawiania nauki Krytyka platońskiej teorii idei Podział

Bardziej szczegółowo

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Filozofia INFORMATYKA Metodologia Wykład 1. Wprowadzenie. Filozofia, metodologia, informatyka Czym jest FILOZOFIA? (objaśnienie ogólne) Filozofią nazywa się

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład I - Wprowadzenie.

Filozofia, Germanistyka, Wykład I - Wprowadzenie. 2010-10-01 Plan wykładu 1 Czym jest filozofia Klasyczna definicja filozofii Inne próby zdefiniowania filozofii 2 Filozoficzna geneza nauk szczegółowych - przykłady 3 Metafizyka Ontologia Epistemologia

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Starożytne poglądy na czas, ruch i przestrzeń (cz. I)

Starożytne poglądy na czas, ruch i przestrzeń (cz. I) Starożytne poglądy na czas, ruch i przestrzeń (cz. I) 1. Cele lekcji a) Wiadomości 1. Uczeń zna poglądy Heraklita z Efezu. 2. Uczeń zna poglądy Parmenidesa z Elei. 3. Uczeń zna paradoksy dotyczące ruchu,

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei

Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei Filozofia, Historia, Wykład IV - Platońska teoria idei 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Metafora jaskini 2 Świat materialny - świat pozoru Świat idei - świat prawdziwy Relacja między światem idei i światem

Bardziej szczegółowo

Nowoczesna teoria atomistyczna

Nowoczesna teoria atomistyczna Nowoczesna teoria atomistyczna Joseph Louis Proust Prawo stosunków stałych (1797) (1754-1826) John Dalton, Prawo stosunków wielokrotnych (1804) Louis Joseph Gay-Lussac Prawo stosunków objętościowych (1808)

Bardziej szczegółowo

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego

Weronika Łabaj. Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Weronika Łabaj Geometria Bolyaia-Łobaczewskiego Tematem mojej pracy jest geometria hiperboliczna, od nazwisk jej twórców nazywana też geometrią Bolyaia-Łobaczewskiego. Mimo, że odkryto ją dopiero w XIX

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

O liczbach niewymiernych

O liczbach niewymiernych O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0 Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA

EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 2010 FILOZOFIA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 2010 2 Zadanie 1. (0 2) problemów i tez z zakresu ontologii, epistemologii,

Bardziej szczegółowo

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów

Logika I. Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 1. Wprowadzenie do rachunku zbiorów 1 Podstawowe pojęcia rachunku zbiorów Uwaga 1.1. W teorii mnogości mówimy o zbiorach

Bardziej szczegółowo

Paradoksy log o i g czne czn i inne 4 marca 2010

Paradoksy log o i g czne czn i inne 4 marca 2010 Paradoksy logiczne i inne 4 marca 2010 Paradoks Twierdzenie niezgodne z powszechnie przyjętym mniemaniem, rozumowanie, którego elementy są pozornie oczywiste, ale wskutek zawartego w nim błędu logicznego

Bardziej szczegółowo

WYNIKI ANKIETY PRZEPROWADZONEJ WŚRÓD UCZESTNIKÓW WARSZTATÓW W DNIACH

WYNIKI ANKIETY PRZEPROWADZONEJ WŚRÓD UCZESTNIKÓW WARSZTATÓW W DNIACH WYNIKI ANKIETY PRZEPROWADZONEJ WŚRÓD UCZESTNIKÓW WARSZTATÓW W DNIACH 21-23.02.2017 TYTUŁ ANKIETY: Ankietę Poglądy na temat istoty nauki przeprowadzono wśród uczestników warsztatów Natura nauki i jej powiązania

Bardziej szczegółowo

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga

Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant

Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant Filozofia, Germanistyka, Wykład IX - Immanuel Kant 2011-10-01 Plan wykładu 1 Immanuel Kant - uwagi biograficzne 2 3 4 5 6 7 Immanuel Kant (1724-1804) Rysunek: Immanuel Kant - niemiecki filozof, całe życie

Bardziej szczegółowo

Tytuł: Dzień dobry, mam na imię Atom. Autor: Ada Umińska. Data publikacji:

Tytuł: Dzień dobry, mam na imię Atom. Autor: Ada Umińska. Data publikacji: Tytuł: Dzień dobry, mam na imię Atom. Autor: Ada Umińska Data publikacji: 13.04.2012 Uwaga: zabrania się kopiowania/ wykorzystania tekstu bez podania źródła oraz autora publikacji! Historia atomu. Już

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa

Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa Filozofia, Historia, Wykład V - Filozofia Arystotelesa 2010-10-01 Tematyka wykładu 1 Arystoteles - filozof systematyczny 2 3 4 Podział nauk Arystoteles podzielił wszystkie dyscypliny wiedzy na trzy grupy:

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna.

Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. Filozofia, ISE, Wykład X - Filozofia średniowieczna. 2011-10-01 Plan wykładu 1 Filozofia średniowieczna a starożytna 2 3 Ogólna charakterystyka filozofii średniowiecznej Ogólna charakterystyka filozofii

Bardziej szczegółowo

Fizyka współczesna a ontologie Demokryta i Platona

Fizyka współczesna a ontologie Demokryta i Platona Fizyka współczesna a ontologie Demokryta i Platona Współczesne interpretacje zjawisk mikroświata niewiele mają wspólnego z prawdziwie materialistyczną filozofią. Można właściwie powiedzieć, że fizyka atomowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej

Matematyka II - Organizacja zajęć. Egzamin w sesji letniej Matematyka II - Organizacja zajęć Wykład (45 godz.): 30 godzin - prof. zw. dr hab. inż. Jan Węglarz poniedziałek godz.11.45 15 godzin - środa godz. 13.30 (tygodnie nieparzyste) s. A Egzamin w sesji letniej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2.

Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2. Filozofia, ISE, Wykład VII - Platońska teoria idei cz. 2. Artur Machlarz 2011-10-01 Plan wykładu 1 Czym według Platona jest wiedza prawdziwa i jak ją osiągnąć? 2 3 Protagoras - człowiek jest miarą wszechrzeczy...

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,

Bardziej szczegółowo

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI

Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Elementy filozofii i metodologii INFORMATYKI Filozofia INFORMATYKA Metodologia Czym jest FILOZOFIA? (objaśnienie ogólne) Filozofią nazywa się Ogół rozmyślań, nie zawsze naukowych, nad naturą człowieka,

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Tekst piątej drogi (z celowości): Piąta Droga wywodzi się z faktu kierowania rzeczami. Stwierdzamy bowiem, że pewne rzeczy, które są pozbawione

Bardziej szczegółowo

Sylabus LICZBA GODZIN. Treści merytoryczne przedmiotu

Sylabus LICZBA GODZIN. Treści merytoryczne przedmiotu Sylabus Nazwa Przedmiotu: Teoria bytu (ontologia) Typ przedmiotu: obligatoryjny Poziom przedmiotu: zaawansowany rok studiów, semestr: I rok, semestr II; II rok, semestr I (studia filozoficzne I stopnia)

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Argument teleologiczny

Argument teleologiczny tekst Argument teleologiczny i piąta droga św. Tomasza z Akwinu Argument z celowości 1. W świecie obserwujemy celowe działanie rzeczy, które nie są obdarzone poznaniem (np. działanie zgodnie z prawami

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień

Troszkę Geometrii. Kinga Kolczyńska - Przybycień Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Spis tresci O Geometrii 1 O Geometrii 2 3 4 5 6 7 Kilka słów o mierzeniu Otóż jak sama nazwa Geometria (z gr geo-ziemia, metria-miara) ma ona coś wspólnego

Bardziej szczegółowo

3. Spór o uniwersalia. Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016

3. Spór o uniwersalia. Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 3. Spór o uniwersalia Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Nieco semiotyki nazwa napis lub dźwięk pojęcie znaczenie nazwy desygnat nazwy każdy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,

Bardziej szczegółowo

Wstęp Komentarze jako metoda wyjaśniania oraz interpretacji w średniowieczu Komentarz Akwinaty do Etyki nikomachejskiej krótka prezentacja Próba

Wstęp Komentarze jako metoda wyjaśniania oraz interpretacji w średniowieczu Komentarz Akwinaty do Etyki nikomachejskiej krótka prezentacja Próba Izabella Andrzejuk Wstęp Komentarze jako metoda wyjaśniania oraz interpretacji w średniowieczu Komentarz Akwinaty do Etyki nikomachejskiej krótka prezentacja Próba analizy fragmentu Komentarza według reguł

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a

Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Modele atomu wodoru Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a Demokryt: V w. p.n.e najmniejszy, niepodzielny metodami chemicznymi składnik materii. atomos - niepodzielny Co to jest atom? trochę

Bardziej szczegółowo

6. Zagadnienia źródła poznania I Psychologiczne zagadnienie źródła poznania

6. Zagadnienia źródła poznania I Psychologiczne zagadnienie źródła poznania 6. Zagadnienia źródła poznania I Psychologiczne zagadnienie źródła poznania Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Dwa zagadnienia źródła poznania

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

O geometrii semialgebraicznej

O geometrii semialgebraicznej Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI

TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI Wydział Matematyki i Informatyki Studenckie Interdyscyplinarne Koło Naukowe Dydaktyki Matematyki 1. Przedstawienie się. 2. Wstęp pytania do publiczności. TAJEMNICE NIESKOŃCZONOŚCI W tej części chcę poznać

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI I. WPROWADZENIE - FILOZOFIA JAKO TYP POZNANIA. 1. Człowiek poznający Poznanie naukowe... 16

SPIS TREŚCI I. WPROWADZENIE - FILOZOFIA JAKO TYP POZNANIA. 1. Człowiek poznający Poznanie naukowe... 16 SPIS TREŚCI P r z e d m o w a... 5 P r z e d m o w a do d r u g i e g o w y d a n i a... 7 P r z e d m o w a do t r z e c i e g o w y d a n i a... 9 P r z e d m o w a do c z w a r t e g o w y d a n i a...

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ MONIKA FABIJAŃCZYK ANNA WARĘŻAK REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ DEFINICJE TWIERDZENIA PRZYKŁADY I KOMENTARZE Skrypt dla studentów przygotowujących się do egzaminu licencjackiego

Bardziej szczegółowo

Trzy razy o indukcji

Trzy razy o indukcji Trzy razy o indukcji Antoni Kościelski 18 października 01 1 Co to są liczby naturalne? Indukcja matematyczna wiąże się bardzo z pojęciem liczby naturalnej. W szkole zwykle najpierw uczymy się posługiwać

Bardziej szczegółowo

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym

Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym Tadeusz Socha Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym tom V uzupełnienie do matury od 2015 roku o treści zwiększające wymagania maturalne Copyright by Socha Tadeusz, 2013 ISBN 978-83-936602-9-2 www.maturzysta.info

Bardziej szczegółowo

Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym.

Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym. NR1 LICZBY RZECZYWISTE ZASTOSOWANIE: Są to liczby najpowszechniej używane w życiu codziennym. Określanie ilości lat, Określanie ilości osób znajdujących się w pokoju i tym podobne, Określanie wzrostu,

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Spór o atom droga do mechaniki kwantowej. Wpływ filozofii antycznej na współczesną fizykę według Wernera Heisenberga

Spór o atom droga do mechaniki kwantowej. Wpływ filozofii antycznej na współczesną fizykę według Wernera Heisenberga Semina Nr 2 Scientiarum 2003 Spór o atom droga do mechaniki kwantowej. Wpływ filozofii antycznej na współczesną fizykę według Wernera Heisenberga Żeby zrozumieć późniejszych filozofów, trzeba się uczyć

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża,

Wstęp do logiki. Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża, Prof. UAM, dr hab. Zbigniew Tworak Zakład Logiki i Metodologii Nauk Instytut Filozofii Wstęp do logiki Kto jasno i konsekwentnie myśli, ściśle i z ładem się wyraża, kto poprawnie wnioskuje i uzasadnia

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Semiotyka cd.

Wstęp do logiki. Semiotyka cd. Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Wśród prostokątów o jednakowym obwodzie największe pole. ma kwadrat. Scenariusz zajęć z pytaniem problemowym dla. gimnazjalistów.

Wśród prostokątów o jednakowym obwodzie największe pole. ma kwadrat. Scenariusz zajęć z pytaniem problemowym dla. gimnazjalistów. 1 Wśród prostokątów o jednakowym obwodzie największe pole ma kwadrat. Scenariusz zajęć z pytaniem problemowym dla gimnazjalistów. Czas trwania zajęć: 45 minut Potencjalne pytania badawcze: 1. Jaki prostokąt

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Filozofia, Pedagogika, Wykład I - Miejsce filozofii wśród innych nauk

Filozofia, Pedagogika, Wykład I - Miejsce filozofii wśród innych nauk Filozofia, Pedagogika, Wykład I - Miejsce filozofii wśród innych nauk 10 października 2009 Plan wykładu Czym jest filozofia 1 Czym jest filozofia 2 Filozoficzna geneza nauk szczegółowych - przykłady Znaczenie

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.

Modelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd. Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne

Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem

Bardziej szczegółowo

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe

13. Równania różniczkowe - portrety fazowe 13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /

Bardziej szczegółowo

Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia

Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki

Bardziej szczegółowo

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe

14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe 14a. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi liczbowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 14a. wanaliza Krakowie) zmiennych dyskretnych: ciągi

Bardziej szczegółowo

Andrzej L. Zachariasz. ISTNIENIE Jego momenty i absolut czyli w poszukiwaniu przedmiotu einanologii

Andrzej L. Zachariasz. ISTNIENIE Jego momenty i absolut czyli w poszukiwaniu przedmiotu einanologii Andrzej L. Zachariasz ISTNIENIE Jego momenty i absolut czyli w poszukiwaniu przedmiotu einanologii WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU RZESZOWSKIEGO RZESZÓW 2004 Opiniowali Prof. zw. dr hab. KAROL BAL Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Filozofia jako przedmiot nauczania w szkole średniej. Adam Grobler Uniwersytet Opolski

Filozofia jako przedmiot nauczania w szkole średniej. Adam Grobler Uniwersytet Opolski Filozofia jako przedmiot nauczania w szkole średniej Adam Grobler Uniwersytet Opolski http://adam-grobler.w.interia.pl Naczelne założenia Filozofia jest składnikiem wykształcenia ogólnego a nie przedmiotem

Bardziej szczegółowo