A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 162, Anna Szymańska*
|
|
- Laura Krupa
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 162, 22 Anna Szymańska* Z A S T O S O W A N IE M O D E L U R U IN Y U B E Z P IE C Z Y C IE L A D O O C E N Y R Y Z Y K A T O W A R Z Y S T W A U B E Z P IE C Z E N IO W E G O SRESZCZENIE. Towarzystwo ubezpieczeniowe jest firmą szczególnie narażoną na straty ze względu na specyfikę prowadzonej działalności. Dlatego warunkiem koniecznym wypłacalności towarzystwa ubezpieczeniowego jest między innymi przewidywanie przyszłych strat. Probabilistyczny model ruiny ubezpieczyciela pozwala oceniać ryzyko związane z działalnością ubezpieczeniową. W referacie porównano dwie metody szacowania prawdopodobieństwa ruiny ubezpieczyciela: Cramera-Lundberga oraz, przy różnych założeniach początkowych co do stanu rezerw ubezpieczyciela i wysokości dodatku bezpieczeństwa składek. Słowa kluczowe: ruina ubezpieczyciela, współczynnik bezpieczeństwa składki, bariera ruiny. I. UWAGI WSTĘPNE W wyniku zachodzących zmian gospodarczych polski rynek ubezpieczeń rozwija się bardzo dynamicznie, równocześnie poszukując metod wspomagających procesy decyzyjne. Badań wymagają również przenoszone na nasz rynek doświadczenia i rozwiązania stosowane w krajach wysoko rozwiniętych. Zarówno organy nadzoru ubezpieczeń, jak i klienci oczekują od towarzystwa ubezpieczeniowego gwarancji bezpieczeństwa, której podstawą jest zachowanie stałej wypłacalności. Jednym z warunków bezpiecznego funkcjonowania na rynku ubezpieczeniowym jest prawidłowe szacowanie przyszłych zysków, pozwalające zapobiegać stratom poprzez stosowanie odpowiedniej polityki składkowej, reasekuracyjnej, lokacyjnej. * Dr, Instytut Ekonometrii i Statystyki, Uniwersytet Łódzki.
2 Analizując raporty Państwowego Urzędu Nadzoru Ubezpieczeń (por. Biuletyn PUNU za rok 1998, 1999) stwierdzamy, że większość towarzystw ubezpieczeniowych poniosła straty na działalności ubezpieczeniowej, rozumianej jako różnica między otrzymanymi składkami a wypłaconymi odszkodowaniami. Straty te w przypadku niektórych firm ubezpieczeniowych rekompensowały dochody uzyskiwane z działalności lokacyjnej. Jedną z metod oceny ryzyka, rozumianego jako oczekiwana strata z działalności ubezpieczeniowej, jest szacowanie prawdopodobieństwa ruiny ubezpieczyciela. W praktyce ubezpieczeniowej ruina nie jest jednoznaczna z bankructwem ubezpieczyciela, jest terminem technicznym oznaczającym ujemny zysk firmy w danym okresie. Obliczanie prawdopodobieństwa ruiny organizacji ubezpieczeniowej jest jednak użyteczną miarą ryzyka finansowego firmy. Probabilistyczny model ruiny zaproponowany przez Lundberga ( B o w e r s 1986), (D a y k i n 1994) pozwala oszacować przyszłe zyski ubezpieczyciela oraz wyznaczyć bezpieczny poziom składek, przy zachowaniu minimalnych rezerw finansowych. Przedstawimy i porównamy dwie metody szacowania prawdopodobieństwa ruiny towarzystwa ubezpieczeniowego przy różnych założeniach początkowych. II. PROBABILISTYCZNY MODEL RUINY UBEZPIECZYCIELA Niech U(/) oznacza nadwyżkę ubezpieczyciela rozumianą jako wynik z działalności ubezpieczeniowej przy uwzględnieniu wolnych rezerw początkowych. Nadwyżkę ubezpieczyciela w chwili t opisuje równanie U(t) = u + ct - S(t) (1) gdzie u = (7() jest początkową rezerwą ubezpieczyciela, с jest stałą składką w każdym okresie rozrachunkowym, S(t) jest łączną sumą roszczeń do czasu t. Momentem ruiny nazywamy chwilę czasu T = inf { t : t > л /(/) < b), w której nadwyżka ubezpieczyciela U(t), określona równaniem (1), spada poniżej pewnej wartości b nazywanej barierą ruiny. Teoretycznie bariera ruiny może przyjmować dowolną, co pozwala na różne definiowanie miny ubezpieczyciela. Klasycznie ruiną ubezpieczyciela nazywany jest ujemny zysk z działalności ubezpieczeniowej ( B o w e r s 1986). W tym przypadku barierą ruiny jest liczba zero, a ruina występuje gdy funkcja nadwyżki ubezpieczyciela przyjmuje mniejszą od zera.
3 Prawdopodobieństwem ruiny w przedziale czasu [, t ) nazywamy funkcję 'Р(м.г) = Pr(T < t) (2) Prawdopodobieństwem ruiny w nieskończonym okresie nazywamy funkcję vf(m) = lim vf (M ) = Pr(7 < o) (3) /-»OO gdzie T = oo oznacza, że dla wszystkich t > jest U{t) >. Niech X będzie zmienną losową wielkości pojedynczego roszczenia. Załóżmy, że proces liczby roszczeń jest procesem Poissona oraz przeciętne odszkodowanie wynosi E[X] = /I. Wówczas proces łącznej sumy roszczeń ma złożony rozkład Poissona z parametrami Я i ß. Współczynnik bezpieczeństwa składki określony jest równaniem = -Я и (4) przy założeniu, że >. Współczynnik bezpieczeństwa składki jest wyznaczanym przez ubezpieczyciela procentowym dodatkiem do składki netto. Może on pełnić dwie role. Po pierwsze ma zabezpieczać ubezpieczyciela przed stratami, podwyższając składki. Po drugie może pełnić rolę marketingową, obniżając składki. Wysokość współczynnika bezpieczeństwa składek jest tajemnicą każdej firmy ubezpieczeniowej. W teorii ryzyka ubezpieczeniowego współczynnik bezpieczeństwa składki jest miarą stopnia, w którym składka przewyższa oczekiwaną odszkodowania. W indywidualnej teorii ryzyka, przy założeniu normalności rozkładu zagregowanych szkód, wyznacza się relatywny współczynnik bezpieczeństwa tak, żeby z określonym prawdopodobieństwem być pewnym, że składki pokryją wszystkie odszkodowania. Przyjmijmy, że zmienne losowe wypłat mają łączną dystrybuantę P(x) oraz że P(x) istnieje w przedziale ( -, Y) gdzie у >. Najmniejsze dodatnie rozwiązanie r równania Я/i M x ( r ) = ł + (l + )Air (5) nazywamy współczynnikiem dopasowania i oznaczamy R, gdzie M x jest funkcją generującą momenty rozkładu zmiennej losowej X.
4 Teoretycznie współczynnik R istnieje. Jednak w praktyce często równanie (5) nie ma rozwiązania. Wtedy w klasycznej bibliografii przyjmuje się, że R = ( B o w e r s (1986). Zależność między współczynnikiem dopasowania i prawdopodobieństwem ruiny dla u > jest następująca -K u E[e-RU(t)\ T < >] (6) III. METODA CRAMERA-LUNDBERGA SZACOWANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY W tablicy 1 porównano wartości dokładne prawdopodobieństwa ruiny, liczone ze wzoru 'F(m) = i e -«()/(i+) ; z wartościami aproksymowanymi formułą Cramera-Lundberga ( B o w e r s (1986). W(u)=e-e (8) dla różnych wartości początkowych rezerwy u = U() ubezpieczyciela oraz różnych współczynników dopasowania, gdy proces łącznej sumy roszczeń jest procesem Poissona i 1 oraz zmienne losowe roszczeń mają rozkład wykładniczy z parametrem ß >. Zastosowano kryterium długookresowe oraz przyjęto, że ruina nastąpi, gdy zysk spadnie poniżej poziomu rezerwy początkowej. Przyjęta formuła aproksymacyjna Cramera-Lundberga jest dokładniejsza dla małego współczynnika bezpieczeństwa. Mały dodatek bezpieczeństwa do składki oznacza, zgodnie z definicją prawdopodobieństwa ruiny i współczynnika bezpieczeństwa, duże prawdopodobieństwo ruiny. Przy wysokiej rezerwie początkowej i małym współczynniku bezpieczeństwa =.1 formuła aproksymacyjna Cramera-Lundberga bardzo dobrze przybliża wartości dokładne prawdopodobieństwa ruiny z błędem rzędu 1'3. Dla większych wartości współczynnika bezpieczeństwa obserwujemy duży wzrost błędu wraz ze wzrostem rezerwy początkowej u ubezpieczyciela. Zależność błędu od wielkości rezerwy początkowej
5 jest wadą metody Cramera-Lundberga. Na ogół w praktyce ubezpieczeniowej dodatek bezpieczeństwa nie przekracza 1%. W tym przypadku formuła aproksymacyjna Cramera-Lundberga może być stosowana do oceny sytuacji finansowej ubezpieczyciela. u Prawdopodobieństwo ruiny dla różnych wartości współczynnika bezpieczeństwa Ч'(и) dla =,1 Cramera- Lundberga oraz początkowej nadwyżki u. 4» dla =,1 Wartość Cramera- Lundberga T a b l i c a 1 1,36626,36788,44,89677,9484,9 2,14756,13534,828,81223,81873,8 3,5945,4979,1625,73567,7482,7 4,2395,1834,2342,66632,6732,6 5,965,674,316,6351,6653,5 6,389,248,3625,54662,54881,4 7,157,91,424,4959,49659,3 8,63,34,463,44842,44933,2 9,25,12,52,4615,4657,1 1,1,5,5,36786,36788,1 Ź r ó d ł o : Obliczenia własne. IV. METODA PANJERA SZACOWANIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY Kolejną zastosowaną szacowania prawdopodobieństwa ruiny jest metoda (D i c s o n (1991). Odmienność tej metody polega na przyjęciu założenia o zmiennym współczynniku bezpieczeństwa,: f9, gdy U (, ) < b }e gdy umu przy czym b jest ustaloną dodatnią wartością bariery ruiny. Towarzystwo ubezpieczeniowe będzie zagrożone bankructwem, gdy wynik finansowy z działalności ubezpieczeniowej osiągnie niższą od parametru ruiny b.
6 Jeżeli to przyjmujemy, że dla t > U(t) = u + (1 -,) ct - 5( (1) %(u) = Pr (U(t) < t/() = u) (11) Założono, że łączna suma roszczeń jest złożonym procesem Poissona ze średnią kwotą odszkodowania ц = 1 oraz że rozkład zmiennej losowej wartości pojedynczego odszkodowania jest typu wykładniczego. Porównano dokładne wartości prawdopodobieństwa ruiny wyznaczone na podstawie wzoru, ( v «+ /. gdy u < b U " { ^ ( «- ^ - o ^ e - J + z) gdy u > b (12) gdzie * = 1+(e.-e,)p W 1 '= '~ k <13) z wartościami szacowanymi przy użyciu formuły í - P i ň + t f & O - k ) W i { j ) = (14) 1 +,.- / o (14) dlay = 1, 2,..., gdzie P(X) jest dystrybuantą funkcji kwoty, przy której nadwyżka U{t) spada poniżej poziomu początkowego po raz pierwszy. Punktem początkowym obliczeń jest dla j =. Przy czym fo = P(,5h) (16) f s = P((j +,5)h ) - P(( j-,5)a) dla j = 1, 2, 3... i h > (17)
7 Wykorzystano metodę całkowania numerycznego Simpsona. Wyniki przedstawiono w tab T a b l i c a 2 Prawdopodobieństwo ruiny 'И(м) dla różnych wartości rezerwy początkowej u oraz różnych współczynników bezpieczeństwa j u ,95238,59157,36745,22824,14177,886 ЧЧм) dla =,1;, =,5 b =,95213,59142,36735,22816,14174,884,25,27,27,31,28,34 ЧЧм) dla,, =,1;, =,5 b= 1,93346,53615,3333,2686,12849,7981,93315,53596,33291,2677,12843,7978,34,34,36,39,39,5 (и ) dla o =,l i, =,5 b = 2,9278,44776,25718,15975,9922,6163,9242,44756,2576,15968,9918,616,4,42,42,5,4,49 Ź r ó d ł o : Obliczenia własne. T a b l i c a 3 Prawdopodobieństwo ruiny У(и) dla różnych wartości rezerwy początkowej u oraz różnych współczynników bezpieczeństwa j u ,999,36626,14756,5945,2395,965 4» dla o =,2;, =,1 b =,9867,3661,1475,5941,2393,965,45,44,41,5,42,856,27198,1958,4415,1779,717 4» dla O=,2 ; =,1 b= 1,85539,27178,1951,4411,1778,717,72,7,73,68,112,139 (и ) dla =,2 i i =,1 b = 2,83815,18172,5774,2326,937,378,83748,18156,5768,2324,936,377,81,83,87,86,265 Ź r ó d ł o : Obliczenia własne.
8 Na podstawie przeprowadzonego badania stwierdzamy, że dla metody jest rzędu 1 4 lub rzędu 1-3 (por. tab.2-3), co daje dobrą dokładność wykonywanych obliczeń. V. PODSUMOWANIE Metoda okazała się dokładniejsza od formuły Cramera-Lundberga. Błąd nie przyrasta wraz ze wzrostem rezerwy początkowej u. Obydwie metody mogą być zaakceptowane, gdyż aproksymacyjny nie jest duży (por. tab. 1-3). Prezentowane wyniki wskazują na możliwość zastosowania omawianych formuł aproksymacyjnych dla innych rozkładów indywidualnych roszczeń. Na podstawie wyników zamieszczonych w tab. 1-3 porównajmy wartości prawdopodobieństwa ruiny dla bariery ruiny b =, dla jednakowych rezerw początkowych i różnych współczynnikach bezpieczeństwa składki. W y k r e s 1 Prawdopodobieństwo miny szacowane Cramera-Lundberga (C-L) i (P) dla różnych wartości rezerwy początkowej i współczynników bezpieczeństwa składek 1. >.,9 'I,8 I,7,6 CL) S,5 ",4 t '3 1,2 ^,1, Rezerwa początkowa C-L (Q=.1) -C -L (Q=.1) P (Q=.1, Q1=.5) P (Q=.2, Q1=.1) Ź r ó d ł o : obliczenia własne. Przy zerowej wartości parametru ruiny oraz założeniu, że ruina nastąpi gdy zysk spadnie poniżej zera stosowaną wartością współczynnika bezpieczeństwa dla metody będzie ]. Z punktu widzenia ubezpieczyciela oceniającego przyszłe wyniki z działalności ubezpieczeniowej wartości prawdopo-
9 dobieństwa ruiny są najniższe dla =,1 (przy metodzie Cramera-Lundberga) oraz dla O=,2 i! =,1 (przy metodzie ). Dla tych wartości współczynników bezpieczeństwa wartości szacowanych prawdopodobieństw ruiny są porównywalne przy zastosowaniu obydwu metod. Zmniejszenie współczynników bezpieczeństwa do wartości =,1 i, =,5 przy metodzie powoduje wzrost prawdopodobieństwa ruiny. Zamieszczone formuły aproksymacyjne pozwalają towarzystwu ubezpieczeniowemu zmierzyć ryzyko w danym portfelu przy zadanych wartościach rezerwy początkowej, parametru bariery ruiny i współczynnika bezpieczeństwa składki. Mogą również służyć do wyznaczania wartości współczynnika bezpieczeństwa składki. Amerykańskie towarzystwa ubezpieczeniowe mają obowiązek dołączania do sprawozdań obliczanego prawdopodobieństwa ruiny i do szacowania prawdopodobieństwa ruiny stosują metody symulacyjne. Polskie towarzystwa ubezpieczeniowe nie mają ustawowego obowiązku szacowania prawdopodobieństwa ruiny. Ponoszone przez większość zakładów ubezpieczeń straty powinny jednak spowodować stosowanie możliwie różnorodnych metod wspomagających procesy decyzyjne, a wśród nich probabilistycznych modeli ruiny ubezpieczyciela. BIBLIOGRAFIA B o w e r s N., G e r b e r H., H i c k m a n J., J о n с s D., N c s b i 11 C. (1986), Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Itasca. D a y k i n C. D., P e n t i a i n e n T., P e s o n c n M. (1994), Practical Risk Theory fo r Actuaries, Chapman & Hall, London. D i c k s o n D. C. M. (1991), The Probability o f Ultimate Ruin with a Variable Premium Loading - a Special Case, Scandinavian Actuarial Journal, 1, D o m a ń s k i Cz., P r u s k a К. (2), Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa. A nna Szym ańska APPLICATION OF INSURER S RUIN MODEL TO ASSESSMENT OF COMPANY S RISK Insurance company is particularly exposed to losses due to its specific activity. Therefore, the necessary condition for company s solvency is forecasting possible future losses. The probabilistic model of insurer s ruin allows to assess insurance risk. In the paper two methods ol estimating insurer s ruin probability are compared (Cramer-Lundberg method and Panjero method) with different assumptions concerning insurer s initial reserves and additional safety.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Bardziej szczegółowoParametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f
Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowo01. dla x 0; 1 2 wynosi:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.04 r. Zadanie. Ryzyko X ma rozkład z atomami: Pr X 0 08. Pr X 0. i gęstością: f X x 0. dla x 0; Ryzyko Y ma rozkład z atomami: Pr Y 0 07. Pr Y 0. i gęstością: fy
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X
Zadanie. Mamy dany ciąg liczb q, q,..., q n z przedziału 0,, oraz ciąg m, m,..., m n liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe: o X X X... X n, gdzie X i ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach,q
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.
Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie 1. W pewnej populacji podmiotów każdy podmiot narażony jest na ryzyko straty X o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną równą μ i wariancją równą. Wszystkie podmioty z tej populacji kierują
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.0.00 r. Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej µ wariancji oraz momencie centralnym µ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Ryzyko w ubezpieczeniach Risk in insurances Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia
Bardziej szczegółowoZadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:
Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20: E X 20 8 oraz znamy następujące charakterystyki dotyczące przedziału 10, 20 : 3 Pr
Bardziej szczegółowoUBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA
KARIERA MATEMATYKĄ KREŚLONA UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA Ryzyko i ubezpieczenie Możliwość zajścia niechcianego zdarzenia nazywamy ryzykiem. Ryzyko prawie zawsze wiąże się ze stratą. Ryzyko i ubezpieczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku
Bardziej szczegółowoProces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką
z losową stopą procentową i losową składką Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej 10 czerwca 2008 Oznaczenia Wprowadzenie ξ n liczba wypłat w (n 1, n], Oznaczenia Wprowadzenie ξ n
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych..00 r. Zadanie. Proces szkód w pewnym ubezpieczeniu jest złożonym procesem Poissona z oczekiwaną liczbą szkód w ciągu roku równą λ i rozkładem wartości szkody o dystrybuancie
Bardziej szczegółowoRok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 222, Anna Szymańska*
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 222, 2008 Anna Szymańska* PROBLEM DOBORU POCZĄTKOWEGO ROZKŁADU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PRZY SZACOWANIU REZERW NA NIEWYPŁACONE ODSZKODOWANIA
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoA C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 244, 2010. Anna Szyma ska *
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 44, 010 * WPŁYW PARAMETRÓW ROZKŁADU WIELKO CI SZKÓD NA WYSOKOS SKŁADKI NETTO W UBEZPIECZENIACH KOMUNKACYJNYCH OC 1. TEORETYCZNE ZASADY
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba
Bardziej szczegółowoZadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),
Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:
Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:
Zadanie. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną: Pr Pr ( = k) ( N = k ) N = + k, k =,,,... Jeśli wiemy, że szkód wynosi: k= Pr( N = k) =, to prawdopodobieństwo,
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Ubezpieczenia majątkowe 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: III/6 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 5 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7.
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Wprowadzenie do ubezpieczeń Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Literatura N. L. Bowers i inni, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Itasca,
Bardziej szczegółowoWpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną
Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach
Bardziej szczegółowoOpis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD GOLDEN edition
Opis produktu Ubezpieczenie na życie i dożycie NORD GOLDEN edition to grupowe ubezpieczenie ze składką w PLN, płatną jednorazowo, w którym ochrony ubezpieczeniowej udziela MetLife Towarzystwo Ubezpieczeń
Bardziej szczegółowoREZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH
REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,
Bardziej szczegółowoLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III Matematyka ubezpieczeń majątkowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Komisja
Bardziej szczegółowoć ć Ż ź Ś Ó Ś ć Ś
Ł Ł Ł Ń ć ć Ż ź Ś Ó Ś ć Ś ź ź Ó Ó Ó ź Ś ć ź ź ź ź ź Ś ź ć ź ź ź ź ć ź ć ź ć ź ć ź Ń ź Ó Ó ź Ś Ś Ś Ó Ł ć Ś Ś ź ź ź Ł Ł Ś ć Ó ć ć ć Ł Ł ć Ł ć ź Ó Ń Ł Ł Ł Ń ć ć Ł ć ź ć ć ć ć ć Ś Ś ć ć ć ć ć ź Ó ź ź Ź ć
Bardziej szczegółowoż ż Ł ż ć ż ż ć ć ż ż ć ż ć ż ć ć ż ć ż ć ż ż ć ż ć ć ż ć ż ż
Ś ć ć Ó ż ć ż ć ż ż ć ż ć Ń ż Ś ż ć ż ć ć ż ż ż Ł ż ć ż ż ć ć ż ż ć ż ć ż ć ć ż ć ż ć ż ż ć ż ć ć ż ć ż ż Ł ź ź ć Ń ż ź ć ż ż ż ć Ń ż ć ż ż ź ć Ń ż ż ć ż ż ć ż ż ć ż ź ż Ń Ć ż ć Ń ż ż ż ż ż Ó ż Ń ż Ł ć
Bardziej szczegółowoÓ Ś
Ł ć ć Ż Ó Ś Ł Ż Ż ć Ż ć Ż Ż Ą Ż ć Ż ć ć Ż ć ć Ł Ź Ź ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ź Ł Ł Ż ć Ą ć ć Ź Ż Ź Ż Ś Ł Ą Ą Ą Ł Ą Ś ć Ł Ż Ż ć Ż ć Ń Ś Ż ć ź ć Ą Ł ź Ż ć ź Ł ć Ż ć ć ć Ą Ś Ł Ń Ć Ł ŚĆ Ś Ó Ż Ą ź Ą Ą Ą ź Ś Ś Ł Ź
Bardziej szczegółowoŁ Ł ŹŁ Ó Ź Ł Ł Ó Ł Ł Ń Ż
Ł ć Ł Ó Ó Ó ć Ó Ś Ó Ł Ł ŹŁ Ó Ź Ł Ł Ó Ł Ł Ń Ż Ż ŹŁ Ł Ź Ł Ń Ż ŹŁ ŻŁ Ź Ń Ł Ł Ł Ż Ł ć ć ć Ź ć ć ć Ł Ź Ł ć Ź Ź ć ź ć Ź ć ć ć Ż ć ć ć ć ć ć Ź ć Ó Ł Ó Ń ź ć Ź ć Ż ć ćż ć Ó Ł Ł ć ć ć ć ć ć ź Ź ć ć Ś Ć Ł Ó Ł ć
Bardziej szczegółowoWłasność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky
Własność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky ego Marek Kałuszka Michał Krzeszowiec Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia
Bardziej szczegółowoUbezpieczenie na życie z funduszem kapitałowym jako forma długoterminowego oszczędzania
Ubezpieczenie na życie z funduszem kapitałowym jako forma długoterminowego oszczędzania Ewa Wierzbicka Instytut Zarządzania Wartością, SGH w Warszawie Konferencja 20 21.06. 2016r. Ubezpieczenie na życie
Bardziej szczegółowoMUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)
MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss) 1. (6p.) Niech X oznacza ryzyko (zmienn a losow a o własności P (X 0) = 1), a H( ) niech oznacza formułȩ kalkulacji składki (przyporz adkowuj ac a każdemu ryzyku
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. Niech łączna wartość szkód: Ma złożony rozkład Poissona. Momenty rozkładu wartości poedyncze szkody wynoszą:, [ ]. Wiemy także, że momenty nadwyżki wartości poedyncze szkody ponad udział własny
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoOpis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD topp 5²
Opis produktu Ubezpieczenie na życie i dożycie NORD topp 5² to grupowe ubezpieczenie ze składką w PLN, płatną jednorazowo, w którym ochrony ubezpieczeniowej udziela MetLife Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie
Bardziej szczegółowoWarszawa, dnia 31 grudnia 2015 r. Poz ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW. z dnia 22 grudnia 2015 r.
DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 31 grudnia 2015 r. Poz. 2338 ROZPORZĄDZENIE 1), 2) MINISTRA FINANSÓW z dnia 22 grudnia 2015 r. w sprawie szczegółowego sposobu wyliczenia wysokości
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoBILANS SPORZĄDZONY NA DZIEŃ 31 GRUDNIA 2014 ROKU
BILANS SPORZĄDZONY NA DZIEŃ 31 GRUDNIA 2014 ROKU Wyszczególnienie Aktywa (w złotych) Stan na 31.12.2013 Stan na 31.12.2014 A B C A. Wartości niematerialne i prawne 2 125 628 3 468 486 1. Wartość firmy
Bardziej szczegółowoPROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1
Stanisław Heilpern Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu PROCES RYZYKA Z ZALEŻNYMI OKRESAMI MIĘDZY WYPŁATAMI ANALIZA PRAWDOPODOBIEŃSTWA RUINY 1 Wprowadzenie W pracy będzie rozpatrywany ciągły proces ryzyka,
Bardziej szczegółowoCzesław Domański* MOC TESTÓW LOSOWOŚCI OPARTYCH NA LICZBIE SERII WIELOKROTNYCH
A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 162, 2002 Czesław Domański* MOC TESTÓW LOSOWOŚCI OPARTYCH NA LICZBIE SER WIELOKROTNYCH STRESZCZENIE. Testy oparte na teorii serii
Bardziej szczegółowoOpis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD 5 stars
Opis produktu Ubezpieczenie na życie i dożycie NORD 5 stars to grupowe ubezpieczenie ze składką w PLN, płatną jednorazowo, w którym ochrony ubezpieczeniowej udziela Amplico Life Pierwsze Amerykańsko-Polskie
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoś ó ó ż
ź ś ó ó ż ó ó ó ć ż ó ó ś ś ś ć ó ó ć ż ś ó ś ć ó Ć ó ż ć ć ś ś ć ż ż Ć ć ż Ć ś ó ó ś ż ż ż ż ż ć ć ś ś ż ść ó ż ż ż ó ó ć ż ż ó ż ż ó ó ż ż ć ó ó ś ó ó Ż ó ć ć ó ć ś ż ó ń ć ń ś ś ż ń ó ź ń ź ż ż ó ó
Bardziej szczegółowoep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy
Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Wybrane aspekty ubezpieczeń i reasekuracji Nazwa w języku angielskim: Selected Aspects Of Insurance And Reinsurance Kierunek
Bardziej szczegółowoŚ ń Ś ć ź ź ń ń ń ź ć Ł ń Ł Ł ń Ś ź ń ć ń ń ń Ś Ś Ś Ł ń ć ń Ł ń ć Ł Ł Ś ń ć ć ć ń ń Ł Ł ź Ł ć ń ń Ś ć Ó ć ń ć Ó ć Ó ń Ś ć ź ń Ó ć ń ć Ć ć Ć Ź ć Ź Ó Ł ć Ł Ń ń ć ć ć Ź ź Ś ć Ł Ś Ń ĆÓ Ń Ć ź ń ń Ś Ł Ś
Bardziej szczegółowoŚ ż Ś ć Ś ż Ą ż Ś Ż ż Ż ć ż ż Ż Ż Ś Ś Ś Ś
Ą ź Ż ż Ś Ś Ź Ź ć Ś Ż Ś ź Ż Ż Ł Ż Ż Ż Ł Ś Ś Ź ć Ś Ś ż Ś ć Ś ż Ą ż Ś Ż ż Ż ć ż ż Ż Ż Ś Ś Ś Ś ć ć Ś Ść Ż Ó ż Ż Ń Ó ć ż ć ć Ść Ś Ś Ś Ż ć ć ż Ż ż Ż ć Ą Ż Ś Ś ż Ż Ó Ś ż ż Ż ż Ó Ż ć ż ż Ż ż ż Ż ć Ź Ź Ś ż Ść
Bardziej szczegółowoŁ Ł Ł Ś
Ń Ó Ł ź Ł ŚĆ Ł Ą Ł Ł Ł Ś ŚĆ Ż Ź Ż Ż ń ń Ł Ł ź Ł ń Ó Ż Ł Ż ń Ą Ż Ś ń Ą Ź Ą Ś Ś ń Ż ź ń ń Ż ń Ś Ą ń Ż ź Ź Ż ź Ś Ż Ś Ź Ś ź Ż Ż ń Ś ź Ż Ą ź ń ń ź Ż Ą Ż Ś Ź ń Ż ń Ż Ż ń ń Ż ń Ż Ą Ó Ą Ż ń Ó ń ń Ź ź Ą ń Ż Ł
Bardziej szczegółowoŁ Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł
Ł Ń Ó Ł Ą ź ź Ż ź Ź Ó Ó ź Ł ź Ń Ł Ź Ś Ł ź Ś Ó Ć Ą Ń Ą ź ź ź Ż ź ź Ź Ć ź ź Ł ź Ó Ą Ą Ł Ą Ą Ś ŚĆ Ł ź ź ź ź Ł ź Ń ź ź ź ź ź ź ź ź Ż Ą Ą Ó Ą Ł Ś Ś ź Ł ź Ł ź ź ź Ź Ź Ś Ź Ź Ó ź ź Ś Ó Ł Ś ź Ł ź ź Ź ź ź ź ź Ś
Bardziej szczegółowoKrzyżanowski R. 2017 – Zastosowanie metody mikroekstrakcji SPME w analizie pozostałości pestycydów. [W:] Badania naukowe w świetle uwarunkowań turbulentnego otoczenia – Gospodarka-Świat-Człowiek (red. Joanna Nowakowska-Grunt, Judyta Kabus). Wydawnictwo Naukowe Sophia, Katowice, pp. 79-86 (ISBN: 978-83-65929-09-9).
Bardziej szczegółowo
Ż Ś
Ł Ą ć Ż Ś Ś ć ć Ł Ą ź ź ź ź Ń ź ć ć ć ź ź ć Ń ć Ł ć Ś ć Ś Ś Ą ć Ń ć Ą Ą ć ź ć Ł Ł ź Ą ź ź ź Ł Ł ć ź Ą Ą Ł Ł Ł Ł Ą Ą Ł Ą Ł Ą Ł Ł Ł Ł Ą ć Ł Ł ź Ń Ą ć ć ź Ń ć Ń ź Ł ć ć ć Ń ź ć ć Ń ć ć ć Ś Ć ć Ń ć ć Ł ć
Bardziej szczegółowoĄ Ą Ż ć Ż ć Ń Ą
Ą Ż Ż Ż Ż Ż Ą Ą Ż ć Ż ć Ń Ą Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ż ć Ż Ą Ż Ż Ż Ż Ż Ż Ś ć Ą Ż Ż Ł Ł Ą Ą Ł Ż ć Ż Ż Ż Ż Ż ź ć Ż Ź Ą Ż Ż Ż ź Ą Ł Ż Ż ć Ź Ł Ń ź Ż Ż ź Ł Ż Ą Ń Ż Ż ć Ą Ż ć Ż Ą Ż Ż Ń Ą Ą ć Ą Ą ź Ż Ó Ó
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia majątkowe
Funkcje użyteczności a składki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych 2016/2017 Funkcja użyteczności Niech ω wielkość majątku decydenta wyrażona w j.p., u (ω) stopień
Bardziej szczegółowoApplication of SPME/GC-MS for determination of chlorophenoxy herbicide residues within weed tissues. W: Chemistry for Agriculture 7. (H. Górecki, Z. Dobrzański, P. Kafarski, red.). wyd. CZECH-POL-TRADE, Prague-Brussels, pp. 967-971 (ISBN: 80-239-7759-8).
Bardziej szczegółowo
ż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż
Ó Ń ń ż Ń ż ż ż ń ń Ł ń ń ż Ż ń ż ń Ż Ż ń ć ż ń ż ń ż Ą Ż ć ż ć ć ź ć ć ń Ż Ż ć Ż Ą Ż ć ń ć ć ż ć ć ć ć ć ć ż ć ć ż ć ń ć ć ż ć ć ż ż ć ż ć Ż ż ć Ż Ż Ż ż ż ć Ą ń Ż Ń ń Ą Ą ż Ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż ż
Bardziej szczegółowoŚ Ó Ł
Ę Ę Ę Ę Ę Ń Ż ć ż ć Ś Ó Ł Ń Ó Ś Ó Ę ć ż Ó Ź ż Ó Ś ż Ó Ó Ś Ó Ó ż ż ć ć Ó ć ż Ż Ś Ś Ż Ó Ś ż Ó ź Ó Ś ż Ś Ś Ś Ę ż ć Ś Ś Ś ż Ż Ś ć ż Ó ć Ć ż Ó ć Ś Ś ż Ż ć ż Ś ż ż ż Ę Ę ż ż Ś ż ć Ż Ś ż Ż ż ć Ó Ę Ś Ł Ś Ś Ś
Bardziej szczegółowoS Składki, odszkodowania i świadczenia oraz koszty wg linii biznesowych
S.02.01.02 Bilans Wartość bilansowa wg Wypłacalność II Aktywa Wartości niematerialne i prawne R0030 0 Aktywa z tytułu odroczonego podatku dochodowego R0040 0 Nadwyżka na funduszu świadczeń emerytalnych
Bardziej szczegółowoBILANS AKTYWA Towarzystwa Ubezpieczeń Wzajemnych "CUPRUM" według stanu na r
BILANS AKTYWA Towarzystwa Ubezpieczeń Wzajemnych "CUPRUM" według stanu na 31.12.2011 r Wyszczególnienie początek okresu koniec okresu A B C A. Wartości niematerialne i prawne 225 175 1. Wartość firmy 2.
Bardziej szczegółowoŻ Ł Ę Ę Ś Ł
Ż Ł Ę Ę Ś Ł Ż ć Ż Ż Ż Ź Ż ź ć Ż ć ć Ź Ź ć Ż Ż ć Ż Ż Ę Ś Ź Ż Ź ź ź Ż Ś Ś ć Ż Ś Ż ź ć ć Ś Ś Ż Ż Ź Ż Ś ź Ś ć Ż ć ź Ź ć ć ć Ż ć ć Ż ź ź ź Ż ć ź Ź ć ć ć Ż ć ć Ż ź ź ź Ś Ś Ż Ł Ż Ż Ż Ż Ż ź Ż Ż ć Ż ć Ż Ż Ż Ź ć
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoOgólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009
Rafał M. Łochowski Szkoła Główna Handlowa w Warszawie O pewnym modelu pojawiania się szkód Ogólnopolska Konferencja Aktuarialna Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka Warszawa, IE SGH 2009 Modele pojawiania
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoImmunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych
Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji
Bardziej szczegółowoAktuariat i matematyka finansowa. Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life
Aktuariat i matematyka finansowa Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typu non - life Budowa składki ubezpieczeniowej Składka ubezpieczeniowa cena jaką ubezpieczający płaci za ochronę ubezpieczeniowa
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoUbezpieczenia (konspekt 2) dr Małgorzata Mierzejewska
Ubezpieczenia (konspekt 2) dr Małgorzata Mierzejewska Podstawowe źródła prawa ubezpieczeniowego Umowa ubezpieczenia definicja Strony umowy ubezpieczenia Elementy umowy ubezpieczenia OWU Podstawowe źródła
Bardziej szczegółowoĄĄ
Ń Ę Ą Ą ĄĄ Ś ĘĘ Ę Ę Ę Ś Ń Ń Ę Ę Ę Ń Ę Ą ź Ę Ś Ą ź ź Ę Ę Ń Ę Ę ź ź ź Ę Ń Ę Ą Ę ź ź Ń Ó Ó Ś Ę Ń Ń ź Ę Ą Ł ź Ą ź Ą Ę ź Ń Ą ź ź ź Ń ź ź ź ź Ą ź Ą Ę Ą ź Ą Ą Ś ź Ą Ę Ę Ę Ę Ę Ę ź Ń Ń ź Ę ź Ę Ń Ł Ł Ń Ś ź Ń Ń Ę
Bardziej szczegółowoć
Ń ć Ś Ś ć Ó Ś Ń ć Ś Ż Ć Ń Ó ć ć Ó Ó Ś Ó Ó Ó Ź Ó Ś Ó ŚĆ Ź ŚĆ Ń Ó Ń ć ŚĆ Ś Ź Ź Ń Ó Ó Ó Ó Ń Ó Ó Ó Ó Ó Ź Ź Ź Ó Ń Ź Ó Ź Ż ć ć Ś ć Ó ć ć Ń Ó Ń Ó Ź Ż Ń Ó Ń Ń Ś Ż Ż Ó Ó Ń Ś ć Ó Ó Ń Ó Ó Ń Ó Ó Ó ć ć Ó Ó Ó Ś Ż
Bardziej szczegółowoŚ ć
Ś ć Ś Ś ć Ó Ś Ń ć ć ć ć Ś ŚĆ Ż Ń Ó Ż Ś ć Ń ć Ó Ó ć ć ć ć Ź Ś ć Ó Ó ć Ś Ń Ó Ś Ń Ż Ż Ź Ó Ń ć Ś Ź Ż ć Ś Ó ć ć ć ć Ż Ó Ś Ś Ó Ś Ś Ś Ś Ś ć ć Ś ć ć Ś ć Ó Ó ć Ó ć Ó ć ć Ó Ó Ó Ó Ś Ó ć Ż Ó ć Ń ć ć ć ć ć
Bardziej szczegółowoŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 4 006 Bogusław GUZIK ŚREDNI BŁĄD PROGNOZOWANIA DLA METODY EKSTRAPOLACJI PRZYROSTU EMPIRYCZNEGO W artykule sformułowano standardowy układ założeń stochastycznych
Bardziej szczegółowoPodstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk
Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności
Bardziej szczegółowo