Elementy badań operacyjnych programowanie liniowe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy badań operacyjnych programowanie liniowe"

Transkrypt

1 Elementy badań operacynych programowanie liniowe. Wprowadzenie. Formalny standardowy model liniowy maksymalizaci (minimalizaci) ako przykład realizaci dwóch klasycznych zasad sprawnego działania (A. osiągnąć maksymalny efekt przy danych nakładach, albo B. zminimalizować koszty osiągnięcia danego efektu). Przykładowe klasy zagadnień programowania liniowego.. Zagadnienie wyboru asortymentu produkci (określić, które wyroby w akie ilości produkować, aby osiągnąć ak nawiększe przychody z ich sprzedaży a ednocześnie nie przekroczyć limitów zużycia środków produkci).. Zagadnienie diety (mieszanek) (określić, które produkty żywnościowe, i w akich ilościach zakupić, aby dostarczyć zawartych w nich, a niezbędnych organizmowi, składników odżywczych przy ak namnieszych kosztach żywienia).. Zagadnienie wyboru procesu produkcynego (określić, które procesy technologiczne i z aką intensywnością należy zastosować, aby osiągnąć pożądany rozmiar produkci przy ak namnieszym odpadzie, koszcie).. Zagadnienia transportowe... Zamknięte i otwarte zagadnienia transportowe... Klasy zagadnień (transportowo-produkcyne, transportowo-produkcyno-magazynowe, lokalizaci produkci, minimalizaci pustych przebiegów). Program dualny.. Program dualny do zagadnienia standardowego.. iesymetryczne zagadnienie dualne.. Związki między rozwiązaniem zagadnienia pierwotnego i dualnego (podstawowe twierdzenia o dualizmie) Przeście od programu pierwotnego do dualnego; rozwiązanie zadania dualnego (metodą graficzną stosowną do rozwiązywania prostych zagadnień programowania liniowego) i powrót do programu pierwotnego (rozwiązanie z wykorzystaniem twierdzenia o różnicach sum dopełniaących.. Interpretaca zmiennych dualnych Literatura: Badania operacyne w przykładach i zadaniach, praca zbior. pod red. K. Kukuły, wydanie V, poprawione i rozszerzone, PW, Warszawa 007 Badania operacyne, praca zbior. pod red. W. Sikory, PWE, Warszawa 008 Guzik B., Wstęp do badań operacynych, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań 009 Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

2 . WPROWADZEIE Sprawność zarządzania przedsięwzięciami i firmami est ednym z głównych postulatów gospodarki rynkowe. Przy ego realizaci potrzebne są efektywne systemy wspomagania decyzi. Pomocne są tu badania operacyne, które dostarczaą modeli i metod poszukiwania rozwiązań optymalnych w danych warunkach ekonomicznych. Badania operacyne są stosunkowo młodą dziedziną rozwinęły się w czasie drugie wony światowe. Jak sama nazwa wskazue, rozwinęły się w związku z problematyką woskową. apierw w Wielkie Brytanii, potem w Stanach Zednoczonych przy dowództwach większych ednostek powołano grupy ekspertów składaące się z przedstawicieli różnych dyscyplin naukowych, których zadaniem była analiza niektórych zamierzonych operaci. Dziś z perspektywy czasu ocenia się, że nawiększą zasługą tych grup est to, iż potrafiły wypracować pewne ogólne metody. Metody te umożliwiły analizę wielu wariantów planu pewne operaci i wybranie wariantu nakorzystnieszego. Okazało się, że metody badań operacynych maą znacznie szersze zastosowanie niż do zagadnień woskowych, a w szczególności, że mogą być z powodzeniem stosowane do rozwiązywania problemów techniczno-ekonomicznych. Trzeba ednak zwrócić uwagę, iż historia badań operacynych sięga okresu przed II woną. Wymienić trzeba przede wszystkim nazwisko L.W. Kantorowicza, który w 99 r. opublikował pracę zawieraącą przegląd metod matematycznych do planowania przedsiębiorstwa oraz zawieraącą metody rozwiązywania modeli liniowych. Tym samym Kantorowicza uznae się za twórcę programowania liniowego, które kilka lat późnie rozwinęło się niezależnie w kraach zachodnich. Każda działalność (w tym także działalność gospodarcza) odbywa się w określonych warunkach, opiera się na pewnych zasobach (finansowych czy materialnych) oraz zasilaniu informacynym i podporządkowana est określonemu celowi (celom). Warunki działania wyznaczaą zakres możliwych planów realizaci określonego przedsięwzięcia. Plany zgodne z wymaganiami narzuconymi przez warunki działania nazywane są planami (decyzami) dopuszczalnymi. atomiast nie każdy plan dopuszczalny est ednakowo dobry w świetle celów aki stawiaą sobie podmioty gospodarcze. Stąd powstae problem wyboru planu nalepszego optymalnego, zgodnie ze sformułowanym kryterium optymalności. Badania operacyne (zaliczane do nauk o zarządzaniu) dostarczaą metod wspomagaących podemowanie decyzi. Można powiedzieć, że badania operacyne zamuą się analizą celowych działalności (operaci), generowaniem i oceną ilościową różnych decyzi kierowniczych (taktycznych lub strategicznych). W analizie różnych decyzi wykorzystywane są metody matematyczne (szczególnie optymalizacyne), heurystyczne oraz symulaca komputerowa. W badaniach operacynych wyróżnia się cztery następuące etapy:. Sformułowanie problemu i budowa modelu. ależy tu początkowo opisowo określić: o czym mamy decydować, co est celem działania, akie są warunki w których działamy, akie środki wchodzą w grę i co stanowi kryterium umożliwiaące ocenę wyników działania, a następnie zapisać to w postaci modelu matematycznego. Model odzwierciedla interesuący nas fragment rzeczywistości z pominięciem mnie istotnych elementów te rzeczywistości. Buduąc model matematyczny należy zawsze pamiętać o tym, aby uwzględniał on wszystkie istotne elementy, mogące mieć wpływ na podemowaną decyzę.. Rozwiązanie modelu, czyli wyznaczenie decyzi optymalne.. Weryfikaca modelu i uzyskanego rozwiązania. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

3 Jest to konieczne, zanim rozwiązanie zostanie zastosowane w praktyce. Chodzi o konfrontacę uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością w takim zakresie w akim to est możliwe. Jeżeli okaże się, że model czy ego rozwiązanie nie est adekwatne do rzeczywistości, że przeoczono czynniki istotne - powinna nastąpić korekta modelu i poszczególne kroki procedury powinny być powtórzone.. Wdrożenie rozwiązania i opracowanie systemu kontroli. Rozwiązany model stanowi wskazówkę do podęcia decyzi. Równocześnie trzeba pamiętać, że rzeczywistość nie est statyczna, że podlega nieustannym zmianom (mogą zmienić się warunki działania co wyraża się zmianami wartości parametrów, może się także zmienić charakter relaci występuących w modelu) w związku z tym rozwiązanie które kiedyś uznano za optymalne po pewnym czasie może przestać być optymalnym. System kontroli powinien zapewniać szybką informacę o zmianie warunków a także umożliwiać szybką zmianę rozwiązania, by było ono optymalne w nowych warunkach. Bardzo często algorytmy rozwiązywania modeli badań operacynych uzupełnione są o dodatkowe moduły (metody) umożliwiaące analizę wrażliwości uzyskanego rozwiązania na zmiany parametrów modelu. Do analizy decyzi niezbędna est informaca, dana ako parametry modelu. W zależności od charakteru posiadanych informaci wyróżnia się kilka typów modeli badań operacynych. Z typami wiążą się z kolei metody ich rozwiązywania. Jeżeli wszystkie parametry modelu są wielkościami znanymi i stałymi to mamy do czynienia z modelami deterministycznymi. W tych modelach każda możliwa decyza prowadzi do ednoznacznie określonych wyników. Metody stosowane przy rozwiązywaniu modeli deterministycznych to: rachunek różniczkowy który umożliwia wyznaczenie ekstremum funkci wielu zmiennych; stosowany est ednak tylko do rozwiązywania bardzo prostych problemów, programowanie liniowe modele w których wszystkie relace maą charakter liniowy; metoda ta odgrywa w badaniach operacynych szczególną rolę, bowiem w praktyce często spotykamy się z zagadnieniami, które daą się uąć w postaci modelu liniowego, lub za pomocą odpowiednich przekształceń można e sprowadzić do modelu liniowego, programowanie nieliniowe pod tą nazwą występue szereg różnych metod, stosowanych do rozwiązywania problemów, których nie da się opisać bez specalnego zniekształcania rzeczywistości modelem liniowym. Jeżeli parametry modelu są nieznane, ale znane są ich rozkłady prawdopodobieństwa, to mamy do czynienia z modelami w warunkach ryzyka (modele statystyczne lub probabilistyczne). Wreszcie modele, w których nie są znane nawet rozkłady parametrów, a znany est z reguły tylko zbiór wartości akie parametry mogą przymować nazywane są modelami podemowania decyzi w warunkach niepewności (modelami strategicznymi), ich typowym przykładem są modele teorii gier. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

4 . PROGRAM LIIOWY Programem liniowym (PL) nazywamy zadanie o następuące postaci: lub c c c ma funkca celu (funkca kryterium) a a a b a a a b warunki ograniczaące... a M am am bm,,, 0 warunki brzegowe c c min funkca celu (funkca kryterium) a a a b a a a b warunki ograniczaące... a M am am M bm,,, 0 warunki brzegowe c Program liniowy () nazywamy standardowym zadaniem maksymalizaci a program () standardowym zadaniem minimalizaci. W programie tym występuą pewne wielkości dane parametry: a i, b i, c (i =,,...,M; =,,...,) oraz wielkości, które należy ustalić zmienne decyzyne: ( =,,...,). Elementami każdego programu liniowego są: warunki ograniczaące, warunki brzegowe i funkca celu. Warunki ograniczaące to układ równań lub nierówności opisuących warunki działania. W konkretnych sytuacach decyzynych nierówności w warunkach ograniczaących mogą oczywiście mieć przeciwny zwrot, mogą to także być równości. W warunkach brzegowych zakłada się, że zmienne decyzyne, które są pewnymi wielkościami ekonomicznymi będą liczbami nieuemnymi. Funkca celu umożliwia wybór optymalnego przy istnieących ograniczeniach wariantu planu; może być maksymalizowana lub minimalizowana. Zbiór wartości zmiennych decyzynych spełniaący warunki ograniczaące i warunki brzegowe nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym PL. Rozwiązań dopuszczalnych est zwykle wiele. Spośród nich wybiera się takie, dla którego (których) funkca celu przymue wartość ekstremalną (w zależności od sytuaci maksymalną lub minimalną). Jest to rozwiązanie optymalne. Standardowy program liniowy może być odpowiednio także zapisany w notaci macierzowe: c T ma c T min A b A b () 0 0 gdzie: A est macierzą współczynników stoących po lewe stronie układu warunków ograniczaących (o wymiarach M), b est wektorem (kolumnowym, o wymiarach M) wyrazów wolnych układu warunków ograniczaących, c T est wektorem wierszowym (o wymiarach ) współczynników funkci celu i est wektorem zmiennych decyzynych (o wymiarach ). () () Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

5 Zatem, rozwiązanie programu liniowego polega na wyznaczeniu optymalnych wartości zmiennych decyzynych. Uniwersalną, numeryczną metodą rozwiązywania programów liniowych est tzw. algorytm simpleks. Jest to procedura iteracyna (etapowa), która polega na tym, że wyznacza się dowolne początkowe rozwiązanie dopuszczalne, tzw. rozwiązanie bazowe i to rozwiązanie poprawia się w kolenych iteracach, aż do momentu stwierdzenia, że dalsza poprawa est niemożliwa. Odpowiednie procedury zapewniaą, że każde kolene rozwiązanie bazowe est lepsze (a przynamnie nie gorsze) od poprzedniego. Poprawa rozwiązań w kolenych iteracach polega na osiąganiu coraz wyższe wartości funkci celu, która est maksymalizowana (lub coraz niższe wartości funkci celu, która est minimalizowana). Jest to procedura pracochłonna i zwykle realizuą ą wyspecalizowane pakiety komputerowe, ak np. CMMS, QSB, Lindo. Można ą także zrealizować w arkuszu kalkulacynym Ecel, wykorzystuąc moduł (narzędzie) akim est Solver, pamiętaąc ednakże, aby w opcach zaznaczyć, iż interesue nas optymalizaca liniowa, gdyż Solver potrafi także szukać ekstremum (zarówno warunkowego, ak i bezwarunkowego) modeli nieliniowych, ale uruchamia w tym celu podmoduły różniczkowania numerycznego, zupełnie zbędne w optymalizaci liniowe. W szczególnym przypadku, gdy w modelu występuą dwie zmienne decyzyne można program liniowy rozwiązać metodą geometryczną. Innym szczególnym przypadkiem są modele w których występuą więce niż dwie zmienne decyzyne ale tylko dwa warunki ograniczaące. Do rozwiązania takiego modelu można wykorzystać zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym, tzn. rozwiązać program dualny (w którym będą tylko dwie zmienne decyzyne), a następnie prześć do rozwiązania programu pierwotnego wykorzystuąc odpowiednie twierdzenie.. PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADIEŃ PROGRAMOWAIA LIIOWEGO Za pomocą modeli programowania liniowego można opisać bardzo wiele sytuaci decyzynych, w których zależności pomiędzy zmiennymi są typu liniowego. aczęście omawiane są trzy problemy mikroekonomiczne: wybór wielkości i struktury produkci w zakładzie produkcynym, wybór procesu technologicznego oraz problem diety (mieszanki). Znaomość tych typowych problemów stanowi zwykle podstawę umożliwiaącą rozwiązanie także innych problemów poawiaących się w praktyce... Wybór asortymentu produkci w zakładzie przemysłowym. Zakład (firma) może produkować wyrobów. Do ich produkci zużywane są różne środki produkci, z których część est dostępna w ograniczonych ilościach, załóżmy że est do dyspozyci M limitowanych środków produkci. Dane są normy zużycia środków produkci na ednostkę każdego wyrobu, zasoby środków produkci, ceny lub zyski ednostkowe ze sprzedaży wyrobów, mogą być także dodatkowe informace o popycie na produkowane wyroby (maksymalne ilości aką będzie można sprzedać lub minimalne ilości aką trzeba wyprodukować aby zrealizować zamówienia odbiorców). Zatem parametrami w modelu matematycznym zagadnienia są: a i zużycie i-tego limitowanego środka produkci na wytworzenie ednostki -tego wyrobu (i =,..., M; =,..., ), b i posiadany zasób i-tego limitowanego środka produkci, c cena lub zysk ednostkowy ze sprzedaży -tego wyrobu, Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 5

6 u minimalna ilość -tego wyrobu aką trzeba wyprodukować, v maksymalna ilość -tego wyrobu aką można sprzedać. ależy określić wielkość produkci poszczególnych wyrobów, tak aby nie przekraczaąc posiadanych zasobów środków produkci i ewentualnie spełniaąc pewne dodatkowe ograniczenia dotyczące struktury produkci zmaksymalizować przychód (lub zysk) z ich sprzedaży. Zmiennymi decyzynymi w tym zagadnieniu są zatem wielkości produkci wyrobów: - wielkość produkci -tego wyrobu, a ogólny model zagadnienia można zapisać następuąco: c c c ma a a a b am am am bm u v dla niektórych,, n 0 lub nadal skalarnie, ednakże w sposób bardzie zwarty: c ma ai bi, i,..., M u v dla niektórych 0,,..., gdzie pierwsze M warunków dotyczy ograniczonych zasobów środków produkci, pozostałe zaś warunki, które nie zawsze występuą związane są z ograniczeniami ze strony popytu. Przykład. Przedsiębiorstwo produkue dwa wyroby: W i W. Ograniczeniem w procesie produkci est czas pracy trzech maszyn: M, M i M. W tablicy podano zużycie czasu pracy każde z tych maszyn na produkcę ednostki poszczególnych wyrobów, dopuszczalne czasy pracy maszyn oraz ceny wyrobów. Tablica Maszyny Zużycie czasu pracy maszyny (w godz.) ma ednostkę wyrobu Dopuszczalny czas pracy maszyny W W (w godz.) M 000 M 00 M,5 600 Ceny (zł) 0 0 a) ależy określić w akich ilościach produkować poszczególne wyroby, aby przy istnieących ograniczeniach przychód z ich sprzedaży był możliwie nawiększy. b) Czy optymalna struktura produkci ulegnie zmianie, eżeli cena wyrobu W wzrośnie do 0 zł. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 6

7 R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić wielkość produkci dwóch wyrobów, zatem zmiennymi decyzynymi będą: wielkość produkci wyrobu W i wielkość produkci wyrobu W. W warunkach ograniczaących należy zapisać, iż wielkości produkci tych wyrobów powinny być takie, aby nie zostały przekroczone dopuszczalne czasy pracy maszyn. Dla maszyny M warunek będzie miał postać: (gdzie to zużycie czasu pracy M na produkcę wyrobu W a to zużycie czasu pracy te maszyny na produkcę wyrobu W ). Analogiczne warunki dla maszyn M i M przymuą postać: + 00 i, Ponieważ nie ma tu żadnych dodatkowych ograniczeń dotyczących wielkości produkci poszczególnych wyrobów, wystarczy dodać warunki brzegowe i funkcę celu maksymalizuącą przychód ze sprzedaży: 0 +0 ma (gdzie 0 to przychód ze sprzedaży wyrobu W, a 0 to przychód ze sprzedaży wyrobu W ). Zatem w całości PL dla powyższe sytuaci decyzyne ma postać: F(, ) ),5 ), ) ) ma. Ponieważ w programie występuą tylko dwie zmienne decyzyne można go rozwiązać metodą geometryczną (na układzie współrzędnych). Aby narysować równania poszczególnych prostych należy dla każde z nich znaleźć dwa punkty przez które e wykres przechodzi. ałatwie est znaleźć punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych. I tak np. dla warunku (), eżeli przymiemy, że = 0 wówczas = 500; ten punkt zaznaczamy na osi. Jeżeli z kolei przymiemy = 0 wówczas = 000; ten punkt zaznaczamy na osi. Te dwa punkty łączymy prostą a ponieważ warunek () ma postać nierówności ego geometrycznym obrazem est półpłaszczyzna leżąca poniże (na lewo) wraz z punktami należącymi do proste, co na rysunku zaznaczono za pomocą strzałki skierowane w dół. Analogicznie zaznaczono na rys.. pozostałe dwa warunki: prosta () przecina oś w punkcie 800 i oś w punkcie 800 a warunek spełniaą punkty leżące na proste i poniże; graficznym obrazem warunku () est półpłaszczyzna poniże proste (łącznie z tą prostą) równoległe do osi o równaniu = 00. Obszar spełniaący wszystkie warunki to pięciobok ABCDE; punkty (o współrzędnych i ) leżące na ego krawędziach (brzegach) i wewnątrz są rozwiązaniem dopuszczalnym PL. W tym wieloboku należy znaleźć punkt lub punkty stanowiące rozwiązanie optymalne, przy czym kryterium optymalności est maksymalizaca przychodu ze sprzedaży, danego funkcą F(, ). Rozwiązanie optymalne, eśli istniee, znadue się zawsze w wierzchołku (lub wierzchołkach, ale wtedy cała krawędź, łącząca te wierzchołki est rozwiązaniem optymalnym) zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Można e zatem znaleźć obliczaąc wartości funkci celu we wszystkich ego wierzchołkach. Współrzędne wierzchołków znaduemy rozwiązuąc odpowiednie układy równań dla par przecinaących się w nich warunków (prostych). I tak, w naszym przykładzie, mamy: A(0; 0) F(A) = = 0, B(00; 0) F(B) = = 000, C(00; 00) F(C) = = 6 000, Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 7

8 D(00; 600) F(D) = = 8000, E(0; 800) F(E) = = awyższą wartość funkca celu przymue w punkcie D; zatem współrzędne tego punktu stanowią rozwiązanie optymalne problemu. Rozwiązanie optymalne można znaleźć także znacznie szybcie. Przymue się mianowicie dowolną wartość funkci celu (taką aby można było ą nanieść na rysunek) i rysue e wykres, dla odróżnienia od warunków ograniczaących na rys.. zaznaczono ą linią przerywaną. Przymimy np. wartość początkową Mamy zatem F(, ) = = 6000; funkca przecina oś w punkcie 00 i oś w punkcie 00. Zauważmy, że gdybyśmy przyęli wartość wyższą np., 000 to otrzymalibyśmy prostą o równaniu F(, ) = = 000. Prosta ta byłaby równoległa do pierwsze proste, ale bardzie oddalona od początku układu współrzędnych. Gdybyśmy natomiast wzięli pewną wartość niższą np. 000, to prosta F(, ) = = 000 byłaby też równoległa do proste pierwsze, ale leżałaby bliże początku układu współrzędnych. Widzimy zatem, iż gdybyśmy na rysunek nanieśli proste dla różnych wartości F(, ), wszystkie one byłyby równoległe do siebie i do pierwsze wyznaczone proste. Znalezienie punktu optymalnego sprowadza się do tego, aby w wieloboku rozwiązań dopuszczalnych znaleźć punkt leżący na proste o nawyższe wartości funkci celu. Praktycznie ednak wystarczy wykreślić edną prostą i ą przesuwać równolegle, w zależności od potrzeb w górę lub w dół, tak aby w przypadku maksymalizaci funkci celu znaleźć punkt zbioru rozwiązań dopuszczalnych położony możliwie nadale od początku układu współrzędnych (eżeli funkca celu est minimalizowana będziemy szukać punktu położo- Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 8

9 nego możliwie nabliże początku układu współrzędnych). Jak widać F(, ) = = 6000 można przesunąć równolegle tak, że będzie ona styczna do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w punkcie D o współrzędnych: = 00; = 600; F(, ) = = Zatem należy produkować 00 sztuk wyrobu W i 600 sztuk wyroby W, co da przychód ze sprzedaży (maksymalny przy istnieących ograniczeniach) w wysokości 8000 zł. Ad b) Jeżeli cena wyrobu W zostanie podwyższona do 0 zł, zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie ulegnie zmianie, może natomiast zmienić się rozwiązanie optymalne, bo zmienia się kąt nachylenia (współczynnik kierunkowy) funkci celu. owa funkca kryterium przymue postać: F (, ) = 0 + 0, a po przyęciu e początkowe wartości np wykres funkci F (, ) = = 8000 zaznaczono także na rys... Przesuwamy ą następnie w górę szukaąc punktu należącego do wieloboku ABCDE położonego możliwie nadale od początku układu. Jak widać nawyższe e położenie pokrywa się z odcinkiem CD zbioru rozwiązań dopuszczalnych [nietrudno zauważyć, iż funkca F (, ) est równoległa do proste (), do które należy odcinek DE, tzn. ich współczynniki są odpowiednio proporconalne], zatem cały odcinek CD będzie obecnie zbiorem rozwiązań dopuszczalnych. Jak łatwo sprawdzić, wartość funkci celu w obu punktach est taka sama: F (C)= = 0000 i F (D) = = Taką samą wartość przymie funkca celu w dowolnym innym punkcie odcinka CD. W tym przypadku mamy nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych, dwa przykładowe to: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 9

10 00, 600, lub 00, 00. Przy takich strukturach produkci przychód ze sprzedaży wyrobów wyniesie zł. Przykład. Przedsiębiorstwo produkue trzy wyroby: A, B, C do produkci których zużywa m. in. dwa limitowane surowce. W ciągu miesiąca można zużyć nie więce niż 000 kg surowca S i nie więce niż 500 kg surowca S. Inne niezbędne dane zawiera tabl.. Surowce Tablica Zużycie surowca (w kg) na ednostkę wyrobu A B C S 6 8 S 6 Cena wyrobu (zł) a) Ustalić miesięczną wielkość produkci tych wyrobów, tak aby zmaksymalizować przychód z ich sprzedaży. b) Załóżmy, że będzie można dokupić miesięcznie dodatkowe 0 kg surowca S. Jak wpłynie to na przychód ze sprzedaży? R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić dzienną wielkość produkci trzech wyrobów, zatem w modelu zagadnienia wystąpią trzy zmienne decyzyne: wielkość produkci wyrobu A, wielkość produkci wyrobu B, wielkość produkci wyrobu C. Ograniczeniem w procesie produkci są tylko zasoby dwóch surowców. Warunek ograniczaący zużycie surowca S ma postać: Analogiczny warunek dla surowca ma postać: Po dodaniu warunków brzegowych i funkci celu model przymue postać: F(, 6, 6,, 8 0 ) Ponieważ w modelu występuą trzy zmienne decyzyne, trudno byłoby go rozwiązać metodą geometryczną, natomiast ze względu na tylko dwa warunki ograniczaące łatwo można go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym, bowiem w programie dualnym (PD) wystąpią tylko dwie zmienne decyzyne, powiedzmy y i y, odpowiadaące warunkom ograniczaącym programu pierwotnego (PP). atomiast kolene warunki PD konstruuemy ze współczynników stoących przy odpowiednich zmiennych PP. Zgodnie z omówionymi dale pozostałymi zasadami konstrukci PD przymue on postać: F( y, y ) ) ) ) y 6y 8y y, y ) 000y 6y y y y Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 0 ma min

11 Jak łatwo sprawdzić, posługuąc się np. metodą geometryczną, rozwiązanie optymalne programu dualnego oraz optymalna wartość funkci celu kształtuą się: y =,8; y = 0,8; F(y, y ) = 000, ,8 = 600. Znaąc rozwiązanie programu dualnego (PD) można prześć do rozwiązania programu pierwotnego (PP) korzystaąc z przytoczonych dale twierdzeń. Sprawdzimy zatem ak (ostro czy słabo), dla rozwiązania optymalnego (y, y ) spełnione są poszczególne warunki PD. Otrzymuemy: ) ) ),8 60,8 70, 6 6,8 0, ,8 0,8 6 6 A więc ostro spełniony est warunek (), z czego wynika że odpowiadaąca mu optymalna wartość zmienne w PP ( ) przymue wartość 0, natomiast y i y są dodatnie, więc odpowiadaące im warunki ) i ) PP są dla rozwiązań optymalnych i spełnione słabo (lewa i prawa strona są sobie równe zachodzą z równością). Wstawiaąc więc 0 do PP otrzymuemy układ równań: którego rozwiązanie to: = 00, = 50. Zatem optymalne rozwiązanie zagadnienia (PP), to: 0; 00; 50, F (,, ) F ( y, y ). 0 Jak więc widać, zgodnie z podstawowym twierdzeniem o dualizmie: wartości funkci celu dla rozwiązań optymalnych obu programów są sobie równe. ależy zatem produkować 00 sztuk wyrobu B i 50 sztuk wyrobu C, natomiast wyrobu A nie produkować. Miesięczny przychód ze sprzedaży tych wyrobów wyniesie 600 zł. Ad b) W odpowiedzi na pytanie ak wzrośnie przychód ze sprzedaży wyrobów, eżeli zasób surowca S wzrośnie o 0 kg wykorzystamy interpretacę zmiennych dualnych. Załóżmy na wstępie, że można dokupić kg surowca S i wyznaczmy rozwiązanie układu (przy założeniu, że ten dodatkowy zasób nie wpłynie na zmianę rozwiązania optymalnego): Jest nim = 99,9; = 50, ( = 0), a F(,, ) = , , = 60,8. Wzrost zasobu surowca S o kg dał przyrost przychodu ze sprzedaży (wartości funkci celu) o F = 60,8 600 =,8 = y. Można także sprawdzić, iż gdyby o kg wzrósł zasób surowca S, to rozwiązaniem układu równań: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

12 są wartości = 00,; = 9,7, a F(,, ) = , + 69,7 = 60,8. Zatem wartość przychodu ze sprzedaży wzrosła o F = 60,8 600 = 0,8 = y. Można także sprawdzić, iż eżeli zasób surowca S wzrośnie o 0 kg, to przychód ze sprzedaży wyrobów wzrośnie o 8 zł (0,8) podkreślmy raz eszcze, że zakłada się iż taka zmiana zasobu środka nie powodue zmiany rozwiązania optymalnego. Zgodnie z neoklasyczną teorią ekonomii, zmienna dualna y i określa więc krańcową produktywność ednostki i-tego środka. a zakończenie warto zwrócić uwagę na ciekawą interpretacę ekonomiczną programu dualnego do zagadnienia wyboru asortymentu produkci. Przede wszystkim zauważmy, iż zmienne dualne interpretowane są także ako ceny dualne. W tym przypadku to ceny środków produkci, wyrażone w zł na ednostkę środka produkci. Załóżmy, że konkurent chce odkupić od producenta środki produkci. Buduąc a następnie rozwiązuąc program dualny konkurent oblicza akie ceny powinien producentowi zaoferować. Z edne strony chciałby odkupić środki ak natanie, proponue więc aby b i y i, czyli wartość funkci celu programu dualnego była ak naniższa. Z drugie ednak strony konkurent musi liczyć się z faktem, że eżeli zaoferue producentowi zbyt niską cenę, to ten posiadanych środków nie sprzeda. Cena za niska, to taka, przy które przychód ze sprzedaży tych środków byłby niższy od przychodu aki producent mógłby uzyskać produkuąc ze środków wyroby i sprzedaąc te wyroby. Gdyby producent sprzedał środki niezbędne do produkci ednostki -tego wyrobu po cenach y i (i =,..., M), to dostałby sumę a i y i, a więc opłaci mu się sprzedać, eżeli ta suma będzie nie mniesza od ceny lub zysku ze sprzedaży tego wyrobu, czyli: a i y i c ( =,,..., ), a warunki te stanowią ograniczenia programu dualnego. Zatem pogram dualny do zagadnienia wyboru asortymentu produkci to program, który powinien rozwiązać konkurent pragnący nabyć środki produkci od producenta, eżeli chciałby działać raconalnie i liczy na raconalne zachowanie producenta... Wybór procesu technologicznego Zakład ma wyprodukować M wyrobów w ilościach b, b,...,b M. Do wytwarzania tych wyrobów można stosować procesów technologicznych. Stosuąc ty proces z ednostkową intensywnością (w skali ednostkowe eden raz) uzyskue się poszczególne produkty w ilościach a i ponosząc koszty c. ależy tak dobrać procesy technologiczne by wytworzyć potrzebne ilości wyrobów przy namnieszych kosztach. Zatem zmienne decyzyne oznaczaą tu intensywność z aką powinny być stosowane poszczególne procesy technologiczne (skalę ich zastosowania). Zadanie to sprowadza się do rozwiązania następuącego modelu: c c a a... a M, a a a c M,, a a 0 a M min b b b Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

13 gdzie, powtórzmy raz eszcze, poszczególne parametry oznaczaą: a i ilość i tego wyrobu uzyskana przy zastosowaniu tego procesu technologicznego z ednostkową intensywnością (i =,,..., M; =,,..., ), b i planowana wielkość produkci i tego wyrobu, c koszt zastosowania tego procesu technologicznego z ednostkową intensywnością. Zagadnienie wyboru procesu technologicznego ma wiele różnych wariantów. Jednym z nich est problem znany w literaturze ako problem rozkrou. Z pewnego surowca (np. kłody drewna, arkusze blachy, bele papieru) należy wykroić określone elementy (belki o pewne długości, detale o określonym kształcie. Istnieą na ogół różne sposoby rozkrou surowca daące pożądane elementy w różnych ilościach. Sposoby rozkrou to procesy technologiczne. Przez intensywność danego procesu (sposobu rozkrou) rozumie się liczbę ednostek surowca rozkroonych danym sposobem. atomiast kosztem ednostkowym est odpad aki powstae po wykroeniu z surowca tych elementów (lub koszt odpadu). Tę sytuacę ilustrue koleny przykład. Przykład. Klient dostarczył do tartaku kłody o długości, m, zlecaąc pocięcie ich tak, aby otrzymać 00 kompletów belek. a komplet składaą się: belka o długości 0,8 m i belki o długości, m. ależy podać optymalny sposób rozkrou surowca, aby zrealizować zamówienie minimalizuąc koszt odpadów, eżeli wiadomo, że m odpadów kosztue 0 zł. R o z w i ą z a n i e: Mamy tu do czynienia z bardzo prostymi sposobami rozkrou kłody drewna należy pociąć na krótsze belki, sposoby te łatwo można znaleźć. Przykładowo z kłody można otrzymać 5 belek o długości 0,8 m; zużye się na to 50,8 = m, zatem odpad wyniesie 0, m (, = 0,). Inny sposób rozkrou może dać np. belki o długości 0,8 m i belkę o długości, m, wykorzysta się przy tym, sposobie 0,8 +, =, m, zatem odpad wyniesie 0, m. Wszystkie sposoby rozkrou zestawiono w poniższe tablicy uwzględniono w nie tylko sposoby efektywne, czyli takie które daą odpad mnieszy niż 0,8 m (czyli mnieszy niż długość krótsze belki). W ostatnim wierszu tablicy podany est odpad wyrażony w zł (odpad w metrach pomnożony przez 0 zł czyli koszt m odpadu). Belki o długości Sposoby rozkrou kłody I II III IV V Zamówiona ilość 0,8 m , m 0 00 Odpad (m) 0, 0, 0,6 0, 0 Odpad (zł) W ostatnie kolumnie te tablicy podano ilości belek akie należy klientowi dostarczyć (ilości belek w komplecie pomnożone przez liczbę zamówionych kompletów 00). Jak widać istniee 5 możliwych sposobów rozkrou kłody, zatem w modelu zagadnienia wystąpi 5 zmiennych decyzynych:,..., 5 które będą oznaczać intensywność zastosowania poszczególnych sposobów rozkrou, czyli inacze ilość kłód (o dł., m) pociętych sposobami 5. Model matematyczny zagadnienia ma postać: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona

14 F(,..., 5, 5,..., ) min W modelu występue 5 zmiennych decyzynych, ale tylko dwa warunki ograniczaące można zatem go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy programem pierwotnym i dualnym. Program dualny dla powyższego modelu ma postać: F( y, y ) ) ) ) 5) 6) 5y y y, y y ) 00y y y y y y y 6 0 a ego rozwiązaniem optymalnym, znalezionym metodą geometryczną, ak łatwo sprawdzić [zbiór rozwiązań dopuszczalnych redukue się do odcinka OA, gdzie O(0; 0) oraz A(0,5; 0)] bez wątpienia est współrzędne punktu A, t.: y Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona ma 0, 5; y 0; F ( y, y ) 000, Aby wrócić do rozwiązania PP sprawdzamy, ak (ostro czy słabo) w rozwiązaniu optymalnym PD spełnione są ego poszczególne warunki. Podstawiaąc optymalne wartości zmiennych dualnych mamy: ) 5 0,5,5 8 ) ) ) 5) 0,5 0 0,5 0 0, Wiedząc, że można łatwo znaleźć rozwiązanie programu pierwotnego: Zauważmy, że ponieważ y 0; zgodnie z twierdzeniem o dualności odpowiadaący te zmienne warunek w PP (warunek ) est spełniony ostro; stąd: ; Zadanie ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych: 00, 5 75; F(,..., 5 ) zł F( y, y ależy zatem 00 kłód pociąć sposobem drugim i co namnie 75 kłód sposobem piątym. Łączny koszt odpadów wyniesie 00 zł. Warto eszcze zwrócić uwagę na interpretacę zmiennych dualnych. Również w tym przypadku są to ceny dualne ceny dodatkowego wyrobu. Przypomnimy raz eszcze, że w myśl twierdzenia o dualizmie wartość zmienne dualne y i informue o ile wzrośnie wartość 5 ).

15 funkci celu PP, eżeli wyraz wolny w i tym ograniczeniu wzrośnie o. Zatem gdyby klient zażyczył sobie dodatkową belkę o długości 0,8 m, to koszt odpadów wzrósłby o y 0,5zł, gdyby zaś klient zażyczył sobie dodatkową belkę o długości, m, to koszt odpadów nie uległby zmianie ( y 0 )... Problem diety Z matematycznego punktu widzenia problem ten est bardzo podobny do poprzednich; stawiany est tak w odniesieniu do ludzi (poedynczego człowieka, lub określone grupy ludzi, np. dzieci w przedszkolu), ak i zwierząt domowych. Dla zaspokoenia potrzeb organizmu trzeba mu dostarczyć w różnych ilościach rozmaitych składników odżywczych (np. białka, tłuszcze, sole mineralne, witaminy, kalorie itd.). Składniki te zawarte są w różnych produktach żywnościowych. Załóżmy że mamy do dyspozyci produktów żywnościowych, w których powinno być zawarte M składników odżywczych. Parametrami (danymi) w tym zagadnieniu są: a i zawartość i tego składnika odżywczego w ednostce tego produktu (i =,,..., M; =,,..., ), b i tzw. norma żywienia, czyli minimalna (a czasami maksymalna) ilość i tego składnika aką organizmowi należy (można) dostarczyć c cena tego produktu żywnościowego. W konkretnych sytuacach decyzynych mogą być także wymagania np. aby dieta nie była zbyt monotonna, tzn. podane mogą być: u minimalna ilość tego produktu aką powinno się spożywać v maksymalna ilość tego produktu aką organizm może otrzymać. ależy określić takie wielkości zakupu poszczególnych produktów żywnościowych, które zapewnią organizmowi niezbędne składniki odżywcze i spełnią ewentualnie pewne dodatkowe ograniczenia, a równocześnie koszt ich zakupu będzie możliwie naniższy. Zatem zmiennymi decyzynymi:,..., n są ilości produktów, akie należy zakupić ( wielkość zakupu tego produktu żywnościowego), a problem diety sprowadza się do rozwiązania następuącego zadania: c c c min a a u M a a M v dla a a M b niektórych,, 0 Przykład Farmer musi ekstra wzbogacić dietę hodowlanych zwierząt o dwa składniki odżywcze (A i B), zwykle obecne, ale w rożnych ilościach, w większości gotowych mieszanek paszowych. W ciągu miesiąca zwierzęta powinny otrzymać co namnie 90 ednostek składnika A i dokładnie 50 ednostek składnika B. Dostępne w sprzedaży mieszanki: M i M zawieraą te składniki, ale est w nich obecna także pewna ilości składnika C, którego zwierzęta nie powinny otrzymać więce niż 96 ednostek. W tabl. podano zawartość składników odżywczych w mieszankach i ceny ich zakupu: b M Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 5

16 Mieszanka Zawartość składnika w kg mieszanki A B C Tablica Cena kg mieszanki (zł) M 6 5,5 M 5 0 Wiedząc ponadto, że mieszanki M nie należy podawać więce niż M i nie więce niż kg w ciągu miesiąca należy odpowiedzieć na następuące pytania: a) w akie ilości zakupić mieszanki M i M, aby zwierzęta otrzymały potrzebne składniki odżywcze przy możliwie naniższych kosztach zakupu mieszanek. b) czy optymalna dieta ulegnie zmianie, eżeli mieszanka M podrożee do zł. R o z w i ą z a n i e: Ad a) ależy ustalić optymalną wielkość zakupu dwóch mieszanek, zatem w modelu występuą dwie zmienne decyzyne: - wielkość zakupu mieszanki M i - wielkość zakupu mieszanki M, a model opisuący powyższy problem ma postać: F(, ) ) ) ) 5) 6) 6 5, ), min Zauważmy, że geometrycznym obrazem warunku () est prosta = i punkty leżące na lewo od nie. Zbiorem rozwiązań dopuszczalnych est odcinek proste () (warunek () est spełniony wyłącznie przez punkty leżące na proste) pomiędzy punktami A(0; 5) i B(;). Odcinek ten est równocześnie rozwiązaniem optymalnym zadania, bowiem wartość funkci celu w obydwu punktach est taka sama: F(A) =, = 5 = F(B) =,5 + = 5. Przykład 5. Odlewnia powinna wyprodukować w ramach zamówienia 600 ton żeliwa zawieraącego 6,5% Si i 8,75% Mn. W celu realizaci zamówienia odlewnia może kupić czterech rodzaów stopów żeliwnych, ale o inne proporci wyże wymienionych pierwiastków. Zawartości pierwiastków i ceny zakupu stopów, podanych w tablicy 5. a) Ile należy zakupić poszczególnych stopów, aby wyprodukować żeliwo o pożądanym składzie ponosząc możliwie naniższe koszty zakupu stopów. b) Jak wzrosną koszty zakupu stopów, eżeli wymagania dotyczące zawartości Si w żeliwie wzrosną o 0 ton. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 6

17 R o z w i ą z a n i e: Stop % zawartość pierwiastka w stopie Si Mn Tablica 5 Cena tony stopu (zł) S S S 70 - S Ad a) Przykład ten dotyczy zagadnienia mieszanki, będącego uogólnieniem zagadnienia diety. Zagadnienie mieszanki dotyczy ustalenia ilości podstawowych surowców akie należy zmieszać (zakupić) aby otrzymać produkt o pożądanym składzie chemicznym przy możliwie naniższych kosztach zakupu surowców. W tym przypadku surowcami są cztery rodzae stopów, zatem zmienne decyzyne,,, to odpowiednio ilości ton stopów S,... S. Wytworzone (w ilości 600 ton) żeliwo powinno zawierać 6,5% (czyli 6,5%600 = 000 ton) Si oraz 8,75% (czyli 8,75%600 = 00 ton) Mn. Program liniowy dla powyższego problemu przymue postać: F(,..., 0, 0,, 0,6 0,,, ) 5 0, ,8 0, ałatwie można go rozwiązać wykorzystuąc zależności pomiędzy PP i PD. Program dualny przedstawiono poniże: F( y, y 0,y 0,6 y 0,7 y 0,8 y y, y ) 000y 0,y 0, y 0, y y Rozwiązaniem optymalnym PD są współrzędne punktu P, w którym przecinaą się proste () i (). Rozwiązuąc układ tych dwu równań otrzymuemy: y 8, y 08, a wobec tego ma min F ( y, y ) Łatwo też sprawdzić, że te rozwiązania optymalne słabo (ako równości) spełniaą warunki () i (), natomiast ostro spełniaą warunki () i (). Stąd wiadomo, że 0. Pozostae zatem rozwiązanie układu równań: które est następuące: 0,6 0, 0,8 0, , 00 a wobec tego: F (,..., ) Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 7

18 Do produkci żeliwa należy zatem użyć 00 ton stopu S i 00 ton stopu S, łączne koszty zakupu surowców wyniosą zł. Ad b) Aby odpowiedzieć na pytanie: ak wzrosną koszty zakupu stopów, eżeli wymagania dotyczące zawartości Si w żeliwie wzrosną o 0 ton, t. do 00 ton, można wykorzystać interpretacę zmiennych dualnych lub rozwiązać układ równań: 0,6 0, 0,8 0, i porównać wartości funkci celu Otrzymuemy: 90, 0. F (,..., ) Zatem koszty zakupu surowców wzrosły o F = = 80 zł. Analogiczny wynik dae: y Zagadnienia transportowe Modele zagadnień transportowych ułatwiaą opracowywanie planów przewozu ednorodnych towarów z różnych źródeł zaopatrzenia do odbiorców zgłaszaących zapotrzebowanie na te towary. Kryterium optymalizaci planu przewozów est naczęście minimalizaca łącznych kosztów transportu (rzadzie minimalizaca odległości lub czasu transportu)... Zamknięte i otwarte zagadnienia transportowe Ogólny model zagadnienia est następuący. Danych est M dostawców, z których każdy dysponue A i ednostkami towaru. Zapotrzebowanie na towar zgłasza odbiorców, każdy w ilości B ednostek. Każdy z dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie, każdy odbiorca może otrzymać towar od dowolnego dostawcy. Dane są ponadto c i ednostkowe koszty transportu towaru od i-tego dostawcy do -tego odbiorcy (i =,,..., M; =,,..., ). Zakłada się, że całkowity koszt transportu est sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach. ależy opracować plan przewozu towaru pomiędzy dostawcami i odbiorcami, tak aby łączne koszty transportu były możliwie naniższe. Plan taki ma określić ile towaru powinien dostarczyć i-ty dostawca -temu odbiorcy i te wielkości są zmiennymi decyzynymi i w modelach zagadnień transportowych. Zauważmy eszcze, że aby model taki miał rozwiązanie musi być spełniony warunek: R A i i B, (podaż dostawców powinna być nie mniesza niż łączne zapotrzebowanie odbiorców). R i i Jeżeli warunek est spełniony z równością, tzn. A B, mamy do czynienia z zamkniętym zagadnieniem transportowym (ZZT), eżeli natomiast warunek est spełniony z R nierównością (ostro) A B, est to tzw. otwarte zagadnienie transportowe (OZT). i i Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 8

19 Model zagadnienia transportowego zamkniętego ma postać: M i i c min funkca celu M i i i 0 i i A B i (minimalizaca łącznych kosztów transportu - od wszystkich dostawców do wszystkich odbiorców). (i =,,..., M) warunki dla dostawców (i-ty dostawca ma dostarczyć wszystkim odbiorcom tyle towaru ile posiada; warunków tych est tyle ilu dostawców, czyli R) ( =,,..., ) warunki dla odbiorców (-ty odbiorca ma otrzymać od wszystkich dostawców tyle towaru, ile potrzebue; warunków tego typu est ) (i =,..., M; =,..., ) warunki brzegowe Modele zagadnień transportowych są szczególnym przypadkiem modeli liniowych, można zatem e rozwiązywać za pomocą algorytmu simpleks. Jednak specyficzna struktura warunków ograniczaących w tych modelach sprawia, że mogą one być rozwiązywane za pomocą algorytmów bardzie efektywnych. Uniwersalną metodą rozwiązywania zagadnień transportowych est algorytm transportowy (racze są, bo istniee wiele alternatywnych algorytmów transportowych). Jest to procedura iteracyna. W pierwszym kroku stosuąc edną z wielu znanych metod, wyznacza się początkowe rozwiązanie dopuszczalne, które następnie poprawia się w kolenych iteracach, aż do momentu stwierdzenia, że dalsza poprawa (obniżka wartości funkci celu) est niemożliwa. Podobnie ak nie omawialiśmy algorytmu simpleks, tak nie będziemy też omawiać algorytmów transportowych, bo są procedury pracochłonną i dzisia realizowane bez większych problemów za pomocą gotowych pakietów komputerowych. Pokazuemy edynie ak można wyznaczyć początkowe rozwiązanie dopuszczalne. Algorytm transportowy zakłada, że zadanie est zbilansowane (zamknięte). Zagadnienie otwarte (OZT) można sprowadzić do zamkniętego (ZZT) przez wprowadzenie fikcynego + szego odbiorcy, którego zapotrzebowanie B + est równe nadwyżce podaży nad popy- R i i tem, tzn. B A B. W rzeczywistości fikcynym odbiorcą est naczęście magazyn znaduący się u dostawców, tzn. zakłada się że nadwyżka towaru pozostanie w magazynach dostawców. Mogą być podane dodatkowo ednostkowe koszty magazynowania u poszczególnych dostawców (c i,+ ) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomialnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. c i,+ = 0). W funkci celu minimalizue się łączne koszty transportu i magazynowania. Poniże po lewe stronie przedstawiono ogólny model zagadnienia otwartego, po stronie prawe zagadnienie otwarte est sprowadzone do zamkniętego. Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 9

20 Funkca celu: M i Model OZT OZT sprowadzone do ZZT c min c min i i warunki dla dostawców: A ( i,..., M ), i i warunki dla odbiorców: B (,..., ), M i i M i M i i i i i A i B ( i,..., M ), (,..., ), warunki brzegowe i i =,..., M; i i =,..., M; =,..., ) =,..., + ).. Klasy zagadnień transportowych Przykład 6. Trzy magazyny zaopatruą w cukier cztery zakłady cukiernicze. Magazyny posiadaą odpowiednio: 70, 50 i 80 ton cukru natomiast zapotrzebowanie poszczególnych zakładów cukierniczych wynosi: 0, 60, 50 i 50 ton. Koszty transportu tony cukru z magazynów do zakładów cukierniczych (w zł) podano w tablicy 6. Tablica 6 Odbiorcy Z Z Z Z Dostawcy M M M ależy opracować plan przewozu cukru z magazynów do zakładów cukierniczych tak, aby łączne koszty transportu były możliwie naniższe. R o z w i ą z a n i e: Przepiszmy tablicę 6 uzupełniaąc ą o dodatkowy wiersz i kolumnę do których wpiszemy odpowiednio podaż i popyt: Tablica 6a Odbiorcy Z Z Z Z A i Dostawcy M M M B i i Ponieważ A ; B ; est to zatem zagadnienie transportowe zamknięte. Zmienne decyzyne i to ilość ton cukru, aką należy przewieźć z i-tego magazynu (i =,, ) do -tego zakładu cukierniczego ( =,..., ); zmiennych decyzynych będzie =. Model zagadnienia est następuący: Antoni Goryl, Anna Walkosz: Programowanie liniowe strona 0

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Zagadnienie transportowoprodukcyjne. programowanie liniowe Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Zagadnienie transportowoprodukcyjne ZT-P programowanie liniowe Ćw. L. 8 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały) ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW

WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego

Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Optymalizacja procesów technologicznych przy zastosowaniu programowania liniowego Wstęp Spośród różnych analitycznych metod stosowanych do rozwiązywania problemów optymalizacji procesów technologicznych

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).

Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). PROGRAMOWANIE LINIOWE Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). Problem. Przedsiębiorstwo przewozowe STAR zajmuje się dostarczaniem lodów do sklepów. Dane dotyczące

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n

celu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n 123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Wieloetapowe zagadnienia transportowe

Wieloetapowe zagadnienia transportowe Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver

Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700

Zagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700 Zagadnienie diety Marta prowadzi hodowlę zwierząt. Minimalne dzienne zapotrzebowanie hodowli na mikroelementy M1, M2 i M3 wynosi 300, 800 i 700 jednostek, przy czym dla mikroelementu M1 maksymalna dzienna

Bardziej szczegółowo

Analiza danych przy uz yciu Solvera

Analiza danych przy uz yciu Solvera Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA

ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe

Zadanie transportowe Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ.

WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. Wykład 1 Wprowadzenie do ekonomii menedżerskiej 1 WPROWADZENIE DO EKONOMII MENEDŻERSKIEJ. PODEJMOWANIE OPTYMALNYCH DECYZJI NA PODSTAWIE ANALIZY MARGINALNEJ. 1. EKONOMIA MENEDŻERSKA ekonomia menedżerska

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Analiza progu rentowności

Analiza progu rentowności Analiza progu rentowności Próg rentowności ( literaturze przedmiotu spotyka się również określenia: punkt równowagi, punkt krytyczny, punkt bez straty punkt zerowy) jest to taki punkt, w którym jednostka

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2

Badania operacyjne. Lista zadań projektowych nr 2 Badania operacyjne Lista zadań projektowych nr 2 1. Trzy PGR-y mają odstawić do czterech punktów skupu pszenicę w następujących ilościach: PGR I - 100 ton, PGR II - 250 ton, PGR III - 100 ton. Punkty skupu

Bardziej szczegółowo

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda

Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe. dr Adam Sojda Statystyka z elementami badań operacyjnych BADANIA OPERACYJNE - programowanie liniowe -programowanie sieciowe dr Adam Sojda Literatura o Kukuła K. (red.): Badania operacyjne w przykładach i zadaniach.

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego.

Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami programowania liniowego. Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela: Dane Pszenica Ryż Kukurydza Zawartość

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Metoda programowania dynamicznego........... 5

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220

Zagadnienie transportowe. Hurtownia Zapotrzebowanie (w tonach) 1 100 2 160 3 350 4 100 5 220 Zagadnienie transportowe Firma produkująca papier kserograficzny posiada 4 wytwórnie i 5 hurtowni, do których dostarczany jest papier. Każda z fabryk wytwarza określoną liczbę ton papieru na miesiąc, i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Maksymalizacja zysku

Maksymalizacja zysku Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek

Bardziej szczegółowo

Strategie wspó³zawodnictwa

Strategie wspó³zawodnictwa Strategie wspó³zawodnictwa W MESE można opracować trzy podstawowe strategie: 1) niskich cen (dużej ilości), 2) wysokich cen, 3) średnich cen. STRATEGIA NISKICH CEN (DUŻEJ ILOŚCI) Strategia ta wykorzystuje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92.

88. Czysta stopa procentowa. 89. Rynkowa (nominalna) stopa procentowa. 90. Efektywna stopa procentowa. 91. Oprocentowanie składane. 92. 34 Podstawowe pojęcia i zagadnienia mikroekonomii 88. zysta stopa procentowa zysta stopa procentowa jest teoretyczną ceną pieniądza, która ukształtowałaby się na rynku pod wpływem oddziaływania popytu

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego.

Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia. Zestaw 1. Modelowanie zadań programowania liniowego. Wydział Matematyki Programowanie liniowe Ćwiczenia Zestaw. Modelowanie zadań programowania liniowego. Zadania dotyczące zagadnienia planowania produkcji Zadanie.. Zapisać następujące zadanie w postaci

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8

Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8 Definicje Teoria produkcji i wyboru producenta Lista 8 krótki i długi okres stałe i zmienne czynniki produkcyjne produkt krzywa produktu całkowitego produkt krańcowy prawo malejącego produktu krańcowego

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna -. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Komputerowe wspomaganie rozwiązywania zadań programowania nieliniowego Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 3 Problem transportowy... 16 3.1 Wstęp... 16 3.2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11

1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo