ROZDZIAŁ 9 TEORIA KATASTROF W BADANIACH EKONOMICZNYCH

Transkrypt

1 Aleksander Jakimowicz ROZDZIAŁ 9 TEORIA KATASTROF W BADANIACH EKONOMICZNYCH 1. Podstawy teorii katastro Twórcą teorii katastro, zwanej również teorią morogenezy lub teorią przejść nieciągłych, jest rancuski matematyk R. Thom 1. Opracował on ogólną metodę modelowania systemów, która wyjaśnia sposób powstawania nieciągłych eektów z ciągłych przyczyn. Początkowo była ona wykorzystywana do opisu biologicznej morogenezy, jednak stosunkowo szybko znalazła zastosowanie w innych dziedzinach nauki. Autorem wielu wzorcowych zastosowań teorii katastro w nauce jest E. C. Zeeman. Głównym źródłem matematycznym tej metody jest topologia. Dzięki temu teoria przejść nieciągłych odwołuje się do intuicji geometrycznych badacza. k n System dynamiczny opisany jest za pomocą gładkiej unkcji : R R R, gdzie k R reprezentuje przestrzeń kontrolną (przyczyny), a R przestrzeń stanów (skutki). Najczęściej przyjmuje się, że k 5, natomiast w stosunku do n nie ma żadnych ograniczeń. Funkcja może reprezentować potencjał, energię, prawdopodobieństwo lub koszt. Ta ostatnia interpretacja jest szczególnie cenna z ekonomicznego punktu widzenia, gdyż w naturalny sposób odzwierciedla akt, że w systemach realizowane jest podstawowe prawo ekonomii zasada racjonalnego gospodarowania. Przez katastroę należy rozumieć gwałtowne, nagłe przejście badanego układu do nowego stanu. Nie musi to być koniecznie stan gorszy od poprzedniego, a więc słowo katastroa ma w tej teorii znaczenie szersze od znaczenia potocznego, gdzie kojarzy się z czymś złym lub groźnym, z jakąś klęską. Katastroą może być zagotowanie się wody w czajniku, hossa na giełdzie lub likwidacja przedsiębiorstwa. Chodzi tu o nagłość zmian w zachowaniu obiektu w porównaniu do średniej zmiany w przeszłości. Teoria katastro łączy w jeden spójny system pojęciowy dwa pozornie sprzeczne i niezwiązane z sobą rodzaje opisu zjawisk: ewolucyjność i rewolucyjność, ciągłość i nieciągłość. Pozwala na przedstawienie całkowitej drogi obiektu jako zmian ciągłych, które przerywane są nagłymi zmianami jakościowymi. W ten sposób teoria ta staje się użytecznym narzędziem w badaniach strukturalnych. Podstawą teorii katastro jest twierdzenie klasyikacyjne. Zgodnie z nim liczba katastro elementarnych, tj. wszystkich możliwych sposobów maniestowania się nieciągłości, jest skończona, jeśli wymiar przestrzeni kontrolnej jest nie większy niż pięć. Powyżej tej wartości klasyikacja staje się nieskończona. Dla wymiaru równego pięć mamy jedenaście katastro elementarnych, które dzielą się na kaspoidy (ostrza) reprezentowane przez unkcje jednej zmiennej i ombiliki (pępki) reprezentowane przez unkcje dwóch zmiennych. Istnieje pięć typów ostrzy: zagięcie, wierzchołek, ogon jaskółki, motyl oraz wigwam. Ponadto mamy sześć typów pępków: hiperboliczny, eliptyczny, paraboliczny, drugi hiperboliczny, drugi eliptyczny i symboliczny. Nazwy elementarnych katastro wywodzą się z podobieństwa geometrii osobliwości do znanych powszechnie kształtów. Są one 1 R. Thom, Structural Stability and Morphogenesis. An Outline o a General Theory o Models, W. A. Benjamin, London E. C. Zeeman, Catastrophe Theory: Selected Papers, , Addison-Wesley, London n

2 88 Aleksander Jakimowicz reprezentowane przez proste wielomiany, stąd teoria katastro jest metodą dostępną nie tylko dla matematyków, mimo że dowód twierdzenia klasyikacyjnego jest stosunkowo trudny. Zastosowanie teorii katastro w danej dziedzinie nauki (np. ekonomii) ma sens jedynie wtedy, gdy istnieją tam dobrze określone prawa naukowe. Jeśli nie wiadomo, jakie czynniki są istotne przy podejmowaniu decyzji inwestycyjnych czy określaniu wielkości wydatków rządowych, to i teoria katastro okaże się bezsilna. Samo twierdzenie matematyczne nie da nam praw ekonomicznych ani jakichkolwiek innych, ale może pomóc je zidentyikować lub uściślić. Tylko przy znajomości prawa ekonomicznego rządzącego danym zjawiskiem lub procesem możemy oczekiwać, że teoria katastro umożliwi zbudowanie najprostszej struktury matematycznej, która będzie generowała zachowanie systemu zbliżone do obserwowanego w rzeczywistości. Jest to warunkiem koniecznym tranego przewidywania przyszłości, oczywiście w obrębie horyzontu przewidywalności określonego przez teorię chaosu deterministycznego. Teoria katastro kładzie nacisk na pewne jakościowe cechy systemów, do których zalicza się: Nieciągłość, która występuje, gdy zbiór zachowań systemu podzielony jest na jakościowo różne typy, a przeskoki między nimi pojawiają się na skutek ciągłych zmian w zbiorze przyczyn. Brak ciągłości wynika z istnienia w przestrzeni kontrolnej pewnych grani sprawiających, że układ staje się nadzwyczaj czuły i niewielkie zmiany parametrów mogą spowodować istotną zmianę jego struktury. Ekonomicznym przykładem nieciągłości jest skokowy rozwój gospodarczy, który charakteryzuje się zastąpieniem jednej ścieżki wzrostu przez inną, zmianą trajektorii rozwoju lub wymianą jednych reguł gry ekonomicznej na inne 4. Dywergencję (rozbieżność) polegającą na tym, że duże zmiany w przestrzeni stanów danego systemu są wynikiem niewielkiej zmiany trajektorii w przestrzeni parametrów, a przejście nieciągłe (katastroa) nie pojawia się. Multimodalność oznaczającą, że badany układ ma więcej niż jeden stan równowagi stabilnej. W ekonomii ta cecha jest oczywista. Od czasów J. M. Keynesa wiadomo, że istnieje wiele stanów równowagi gospodarczej, ale tylko jeden z nich odpowiada pełnemu zatrudnieniu czynników produkcji. Podobnie przedsiębiorstwo może znajdować się w wielu stanach równowagi stabilnej (np. punkt niwelacji i punkt zamknięcia). Alternatywność występującą wtedy, gdy przejście między dwoma punktami w przestrzeni parametrów może dokonać się zarówno za pomocą zmian ciągłych, jak i skoków nieciągłych. Niedostępność pewnych stanów systemu. Teoria katastro opisuje stany najbardziej prawdopodobne, a pomija wszystkie inne.. Katastroa wierzchołka i katastroa motyla Do przejść nieciągłych najczęściej występujących w zastosowaniach należą: katastroa wierzchołka i katastroa motyla. Ich charakterystykę przedstawiono w tabeli 1. Wymiar przestrzeni stanów jest w obu przypadkach taki sam i równa się jeden, natomiast wymiar przestrzeni kontrolnej wynosi dwa w przypadku wierzchołka i cztery dla motyla. Współczynniki przy wielomianach dobrano tak, aby uprościć deinicje rozmaitości katastroy, zbioru osobliwości i zbioru biurkacyjnego. M. Cieślak, A. Smoluk (red.), Zbiory rozmyte. Rozpoznawanie obrazów. Teoria katastro. Wybór tekstów, PWN, Warszawa 1988, s J. Kleer, M. Perczyński, Z. Dobosiewicz, Z doświadczeń rozwoju skokowego, PWE, Warszawa 1989, s. 0.

3 Teoria katastro w badaniach ekonomicznych 89 Charakterystyka katastroy wierzchołka i katastroy motyla Tabela 1 Podstawowe cechy Wierzchołek Motyl Wymiar przestrzeni stanów Wymiar przestrzeni kontrolnej Odwzorowanie : R R 1 R : R 4 R 1 R Funkcja potencjalna Rozmaitość katastroy Zbiór osobliwości Zbiór biurkacyjny ( a, = x + bx ax M 1 = x cx bx ax ( a, d, = ( a, : = 0, M5 = ( a, d, = x + bx + a d x d x 4 = 0, = x 5 cx bx a S = ( a, : = 0, S = ( a, d, d = x + b = 0 a d 5 d x = 5x 4 : : = 0, cx b = 0 B = ( a,b) : 4b + 7 = 0 B = [( a, d ): F( a, d ) 0] 5 =. Geometryczna interpretacja katastroy wierzchołka i katastroy motyla Na rys. 1 przedstawiono rozmaitość, zbiór osobliwości i zbiór biurkacyjny katastroy wierzchołka. Na powierzchni reakcji występuje charakterystyczna ałda, która dzieli przestrzeń stanów na dwa odmienne rodzaje zachowań systemu (bimodalność). W tym przypadku każda para parametrów (a, b) wyznacza wartość x, dla której pierwsza pochodna unkcji potencjalnej równa się zeru. W zastosowaniach istotną rolę odgrywają płaty górny i dolny rozmaitości, natomiast warstwa środkowa wyznacza stany zabronione systemu. Dowolny punkt przestrzeni kontrolnej o współrzędnych (a, b) jest początkiem półprostej, która jest prostopadła do płaszczyzny parametrów i przecina przestrzeń stanów w jednym, w

4 90 Aleksander Jakimowicz dwóch lub w trzech punktach. Te punkty przecięcia reprezentują trajektorię systemu w przestrzeni stanów. Rysunek 1. Geometria katastroy wierzchołka Katastroa wierzchołka posiada interesującą własność. Rozważmy dwie trajektorie w przestrzeni stanów: P 1 i P 1. Pierwsza z nich biegnie po drodze A0 A1 A A A4, natomiast druga w kierunku przeciwnym A4 A A5 A1 A0. Poruszając się wzdłuż P 1 napotykamy katastroę w punkcie A, a gdy przesuwany się zgodnie z P 1, przejście nieciągłe występuje w punkcie A 5. Wynika z tego, że powrót układu do poprzedniego stanu nie odbywa się po tej samej drodze. Zmiany w systemie są lokalnie nieodwracalne. Zjawisko to nazywamy histerezą. Na rys. 1 obowiązuje wprowadzona przez R. Thoma zasada doskonałego opóźnienia, zgodnie z którą system porusza się po ścieżce równowagi tak długo, jak to możliwe i opuszcza ją w ostatniej chwili. Następuje przeskok z płata górnego rozmaitości na dolny lub odwrotnie. Możliwe jest również przyjęcie zasady Maxwella zakładającej wystąpienie przeskoku w momencie, gdy dwa minima unkcji potencjalnej osiągną taką samą wartość. W tym ostatnim przypadku histereza nie wystąpi, gdyż zbiór biurkacyjny tworzy następująca półprosta: B = [( a, b) : b 0, a = 0]. W zastosowaniach katastroy wierzchołka ważne jest również określenie położenia zbioru biurkacyjnego w stosunku do obu osi współrzędnych, na których odkładane są parametry. W sytuacji przedstawionej na rys. 1 ( a) nazywa się parametrem normalnym, natomiast ( b) parametrem rozdzielającym. W innym ujęciu zakłada się, że jeden z parametrów zawiaduje płatem górnym rozmaitości katastroy, a drugi płatem dolnym. Mówi się wtedy, że przestrzeń parametrów zawiera dwa czynniki konliktowe. Przyjęcie określonej

5 Teoria katastro w badaniach ekonomicznych 91 konwencji wynika ze specyiki modelowanego zjawiska. Rysunek. Geometria katastroy motyla Na rys. przedstawiono geometryczną interpretację katastroy motyla. Stanowi ona uogólnienie katastroy wierzchołka. Należy zauważyć, że między dwoma stanami ekstremalnymi pojawił się stan trzeci pośredni, który jest szczególnie ważny w zastosowaniach. Z tego względu katastroa motyla nadaje się do opisu zachowania podmiotów gospodarczych, gdy w punkcie wyjścia istnieje polaryzacja stanowisk lub opinii w danej kwestii. Stan trzeci daje możliwość uwzględnienia w rozważaniach pewnej ugody, kompromisu. Zastosowanie katastroy motyla w naukach społecznych przynosi ciekawe rezultaty, nadaje się ona bowiem doskonale do opisu procesu powstawania i zanikania konliktów. Stanowić może zalążek przyszłej teorii konliktów. Gra reprezentujący katastroę motyla jest obiektem pięciowymiarowym, natomiast przestrzeń kontrolna ma cztery wymiary. Obiekty tego typu są trudne do wyobrażenia, ale możemy badać ich dwu- lub trzywymiarowe przekroje. Mówiąc ściśle, na rys. pokazano trzywymiarowy przekrój rozmaitości motyla i dwuwymiarowy przekrój jego przestrzeni kontrolnej przy założeniu, że parametry c i d są stałe. 4. Przegląd zastosowań ekonomicznych i wnioski W tabeli przedstawiono przykłady zjawisk ekonomicznych, do opisu których wykorzystano katastroę wierzchołka. Najważniejszym etapem modelowania jest zidentyikowanie przestrzeni kontrolnej i przestrzeni stanów. Jak wspomniano, dokonuje się tego na podstawie znajomości już odkrytych praw naukowych, ale można to zrobić również wykonując nowe badania empiryczne. W tym ostatnim przypadku teoria katastro, jako pewien generator modeli, ułatwia znalezienie prawidłowości w danych obserwacyjnych.

6 9 Aleksander Jakimowicz Tabela Przykłady zjawisk ekonomicznych modelowanych za pomocą katastroy wierzchołka Rodzaj zjawiska Przestrzeń kontrolna Przestrzeń stanu Cykl koniunkturalny Wzrost gospodarczy Polskie kryzysy społecznoekonomiczne Siły wytwórcze Rynek pracy Bilans płatniczy Polityka iskalna Płynne kursy walutowe Strategie zarządzania Polityka kadrowa Kapitał, bogactwo społeczne Delacja, relacja Polityka gospodarcza (ekspansywna, delacyjna), dewaluacja waluty krajowej Stopa inlacji, demokratyzacja życia społecznego Kapitał stały, kapitał zmienny Luka między potencjalnym a aktycznym poziomem PNB, opóźniona stopa bezrobocia Wydajność pracy w przemyśle krajowym, konkurencja na rynkach międzynarodowych Warunki prowadzenia działalności gospodarczej, przychody przedsiębiorców Stopa inlacji, eekty psychologiczne Atrakcyjność przedsiębiorstwa, atrakcyjność otoczenia Kwaliikacje, motywacja Dochód narodowy Stopa wzrostu gospodarczego Twórca modelu i data publikacji Varian, 1979 Zeeman, 1977 Jakimowicz, 00 Zeeman, 1975 Napięcie społeczne Łączkowski, 1984 Stan rozwoju sił wytwórczych Ribeill, 1975 Stopa bezrobocia Rosser, 199 Stan bilansu płatniczego (nadwyżka, deicyt) Formy opodatkowania małych i średnich przedsiębiorstw Jakimowicz, 00 Jakimowicz, 004 Kurs walutowy Jakimowicz, 1995 Stopień oensywności strategii Laszczak, 1999 Stan zatrudnienia Guastello, 1995

7 Teoria katastro w badaniach ekonomicznych 9 Tabela Przykłady zjawisk ekonomicznych modelowanych za pomocą katastroy motyla Rodzaj zjawiska Przestrzeń kontrolna Przestrzeń stanu Społecznopolityczne skutki recesji gospodarczych Negocjacje płacowe Motywacja w organizacji Wojny gospodarcze Synteza głównych szkół w makroekonomii Polityka gospodarcza Recesja gospodarcza, obietnice reorm gospodarczych, niepowodzenia reorm, presja wywierana na społeczeństwo Zyski, płace, stanowisko zajmowane przez pracownika, czas Zdolności, motywacja zewnętrzna, motywacja wewnętrzna, klimat organizacyjny Poczucie zagrożenia ekonomicznego, koszty operacji, stabilność systemu gospodarczego, czas Oddziaływanie na popyt, polityka podażowa, opcja polityczna, czas Przychód, warunki prowadzenia działalności gospodarczej, rodzaj polityki iskalnej, czas Opozycja w stosunku do rządowej polityki gospodarczej Stopa wzrostu płac w przedsiębiorstwie Innowacje, duże ilości, wysoka jakość produkcji; niekorzystne zmiany, niepokój Rodzaj więzi gospodarczych między krajami Rozmiary sektora państwowego w gospodarce Formy opodatkowania Twórca modelu i data publikacji Isnard, Zeeman, 1976 Zeeman, 1975 Guastello, 1995 Jakimowicz, 00 Jakimowicz, 00 Jakimowicz, 004 Tabela przedstawia przykłady zjawisk ekonomicznych modelowanych za pomocą katastroy motyla. Jest ona wykorzystywana stosunkowo rzadziej niż wierzchołek, co może być spowodowane trudnościami w określeniu czterowymiarowej przestrzeni parametrów. Zastosowanie motyla powinno być poprzedzone zbudowaniem modelu danego zjawiska na podstawie katastroy wierzchołka. Kolejne katastroy mogą wzbogacać i uściślać pierwotny model. Jeśli potraktujemy motyla jako podstawę teorii konliktu, to łatwo zauważyć, że prowadzi on do ważnego wniosku: kompromis jest zawsze możliwy. Być może zasada kompromisu ma w przyrodzie podstawowy charakter tak samo, jak zasada zachowania energii.