1 Uogólniona Metoda Momentów

Transkrypt

1 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Uogólioa Metoda Mometów ZADANIE. Mamy astępujący model y i α + βx i ε i gdzie ε i ma rozkład wykładiczy o dystrybuacie F ε i x i exp ε i i ε i, ε j są iezależe dla i j.. Pokazać, że zalezieie estymatorów M N W parametrów α i β wymaga rozwiązaia ieliiowych układów rówań Podpowiedź: Skorzystaj z tego, że f z F z z. Wyprowdzić wzory aalitycze dla estymatorów UMM w tym modelu. Podpowiedź: Wartość oczekiwaa w rozkładzie wykładiczym o dystrybuacie F z exp βz β 3. Opisz, bez wyprowadzaia wzorów aalityczych, w jaki sposób moża uzyskać bardziej precyzyje oszacowaia α i β stosując estymator UMM z optymalą macierzą wag. ZADANIE. Aalizujemy prosty model liiowy z heteroskedastyczością: y i x i β + ε i ε i N 0, σ i σ i exp α 0 + α x i oraz wiemy, że ε i i ε j są iezależe dla i j.. Pokaż, że estymator MNW będzie wymagał w tym przypadku rozwiązaia ieliiowego układu rówań.. Zapropouj estymator UMM i wyprowadź jego aalityczą postać. Modele wielorówaiowe ZADANIE. Mamy astępujący model popytu i podaży pracy l t α 0 + α w t + α h t + ε t l t β w t + β k t + ε t l t l t gdzie l t l t l t ozacza logarytm zatrudieia, w t to logarytm płacy realej, h t liczba osób w wieku produkcyjym, a k t logarytm wielkości kapitału w gospodarce. Zmieymi edogeiczymi są l t, l t i w t. Zmiee h t i k t są traktowae jako egzogeicze.. Które z tych rówań jest według rówaiem popytu a pracę, a które podaży pracy? Odpowiedź uzasadić.. Sprawdzić idetyfikację poszczególych rówań. 3. Wyjaśić jaką postać będzie miała forma zredukowaa tego modelu. 4. Jaka jest różica między iterpretacją parametru przy h t w rówaiu dla popytu a pracę w formie strukturalej i rówaiem wilkości zatrudieia w formie zredukowaej tego modelu? 5. Wyjaśić, dlaczego rówaia popytu ie moża poprawie wyestymować za pomocą MNK.

2 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/ W jaki sposób moża użyć formy zredukowaej do policzeia estymatorów Pośrediej M N K? Wyprowadzić estymator β tej metody i wyjaśić uzyskae w te sposób oszacowaie jest jedozacze. 7. Jeśli zastosowalibyśmy do estymacji rówaia popytu M ZI, to jakie zmiee mogłyby być użyte jako istrumety? ZADANIE. W prostym modelu popytu i podaży w zapisie pomiięto ideksy obserwacji:. Sprawdzić idetyfikację rówań. Q D α 0 + α P + ε Q S β P + ε Q D Q S. Wyprowadzić estymator Pośrediej MNK dla parametrów w rówaiach, które są zidetyfikowae. 3. Wyprowadzić postać estymatora MZI dla parametrów w rówaiach, które są zidetyfikowae. 4. Policzyć graicę według prawdopodobieństwa estymatora MNK parametru β. Czy estymator te jest zgody? Założyć, że E ε E ε 0, Var ε σ,cov ε, ε σ, P t P t p P. ZADANIE.3 Mamy astępujący model wielorówaiowy C t α + α Y t + u t Y t C t + I t + G t przy czym zakładamy, że C t kosumpcja i Y t dochód arodowy jest edogeicze a I t iwestycje i G t wydatki rządowe są egzogeicze.. Zbadać, czy rówaia kosumpcji jest zidetyfikowae.. Wyjaśić z jakiego powodu w modelu tym występuje sprzeżeie zwrote i dlaczego powoduje oo, że estymator M N K ie będzie zgody.. 3. Jak azywamy rówaie o postaci takiej jak rówaie a Y t w tym modelu? Czym tego typu wyróżiają się tego typu rówaia? 4. Czy estymator wektora parametrów α α, α postaci α X Z Z y gdzie x i, y i a z i, I t jest estymatorem zgodym? Przy jakich założeiach? Odpowiedź uzasadij. 5. Czy moża w jakiś sposób wykorzystać jedocześie I t i G t w estymacji rówaia kosumpcji ZADANIE.4 Dla daych kwartalych dla Polski skostruowao astępującą wersję modelu IS/LM C t α + β Y t + ε t I t β 0 + β Y t + β 3 r t + ε t r t φ 0 + φ Y t + φ M t + ε 3t Y t C t + I t + G t + X t

3 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 gdzie C t - kosumpcja kosumpcja idywiduala, I t - iwestycje akumulacja, r t reala stopa procetowa stopa referecyja - CPI, Y t - produkt arodowy GDP, M t podaż pieiądza, G t - wydatki rzadowe spożycie zbiorowe, X t saldo wymiay z zagraicą. Zakłada się, że M t, G t, X t są egzogeicze. Wszytskie dae w ml zł. Testy przeprowdzamy a poziomie istotości α Wyestymywao rówaie kosumpcji za pomocą zwyklego MNK i uzyskao astępujące wyiki: Source SS df MS Number of obs F, Model 3.384e e+0 Prob > F Residual.338e R-squared Adj R-squared Total 3.476e Root MSE C Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] Y _cos Skometować poprawość tak przeprowadzoej estymacji.. Przeprowadzoo estymację rówaia Source SS df MS Number of obs F 3, Model e e+0 Prob > F Residual R-squared Adj R-squared Total 3.476e Root MSE 98.8 C Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] G M X _cos C t δ 0 + δ M t + δ G t + δ 3 X t + ξ t a Czy uzyskae oszacowaia parametrów δ 0, δ, δ będą zgode? b Ziterpretować oszacowaia tych parametrów. c Wyjaśić, czym różi się to rówaie od rówaia kosumpcji w modelu strukturalym. 3. Przeprowadzoo estymację rówaia kosumpcji za pomocą MNK i uzyskao astępujące wyiki: 3

4 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Istrumetal variables SLS regressio Source SS df MS Number of obs F, Model 3.33e e+0 Prob > F Residual.399e R-squared Adj R-squared Total 3.476e Root MSE C Coef. Std. Err. t P> t [95% Cof. Iterval] Y _cos Istrumeted: Y Istrumets: G M X a Ziterpretować uzyskae oszacowaia parametrów. b Czy oszacowae wielkości parametrów są zgode z postulatem Keyesa, że udział wydatków kosupcyjych w dochodzie średia skłoość do kosumpcji spada wraz z dochodem? c Przy jakich warukach uzyskae oszacowaia są prawidłowe? 4. Przeprowadzoo test Sargaa dla rówaia kosumpcji i uzyskao astępujący wyik: Tests of overidetifyig restrictios: Sarga N*R-sq test.05 Chi-sq P-value Basma test 5.55 Chi-sq P-value Ziterpretuj wyik testu. 5. Przeprowadzoo test Hausmaa dla rówaia kosumpcji i uzyskao astępujący wyik: ---- Coefficiets ---- b B b-b sqrtdiagv_b-v_b MZI MNK Differece S.E Y b cosistet uder Ho ad Ha; obtaied from ivreg B icosistet uder Ha, efficiet uder Ho; obtaied from regress Test: Ho: differece i coefficiets ot systematic chi b-b [V_b-V_B^-]b-B 3.37 Prob>chi

5 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Ziterpetować wyik testu. 5

6 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Rozwiazaia zadań Zadaie.. Poieważ ε i y i α+βx i, więc dystrybuata y i ma postać: F y i x i exp y i α+βx i. Fukcja gęstości y i ma postać f y i x i F y i x i exp y i y i α + βx i α + βx i Fukcja wiarygodości będzie miała postać [ ] y i L exp α + βx i α + βx i Logarytm fukcji wiarygodości l Pochode względem α i β mają postać: l α + βx i l α + α + βx i l β x i + α + βx i y i α + βx i y i α + βx i x i y i α + βx i Po to by zaleźć estymatory α i β MNW ależy rozwiązać ieliiowy układ rówań y i α + βx α + βx i i x i y i α + βx i x i α + βx i. Wartość oczekiwaa E y i x i α+βx i. Tak więc dla f α, β y i α βx i mamy, że E [f α, β x i ] 0. Jeśli za istrumety przyjmiemy stałą i x i to uzyskamy bazwarukowe ograiczeia a momety momety E [m i α, β] E [f i α, β] E y i α βx i 0 E [m i α, β] E [f i α, β x i ] E y i x i αx i βx i 0 Zamieiąjąc momety teoretycze empiryczymi uzyskujemy y α βx 0 yx αx βx 0 Co po rozwiązaiu daje am astępujące wzory β yx yx x x i α y βx. 3. Aby precyzyjiejsze oszacowaia α i β moża zastosować estymator U M M z optymalą macierzą wag. W tym celu: α, β i zajdujemy estymatory α i β mii- a liczymy estymatory α, β ze wzorów z puktu b zajdujemy macierz wag Âkl m k α, β malizując względem α, β formę kwadratową m l Q α, β m α, β Âm α, β gdzie m α, β [m i α, β, m i α, β]. 6

7 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Zadaie.. Fukcja gęstości rozkładu ormalego, dla każdej z obserwacji ma postać f y i x i exp y i x i β πσ i σ i Logarytm fukcji wiarygodości pomijamy elemety stałe będzie więc miał postać: l α 0, α, β l σ y x i β i σ i α 0 + α x i y x i β exp α 0 α x i Pierwsze pochode fukcji wiarygodości mają postać: l α 0, α, β α 0 + l α 0, α, β α l α 0, α, β β y i x i β exp α 0 + α x i x i + y i x i β x i exp α 0 + α x i y i x i β x i exp α 0 + α x i Zalezieie estymatorów MNW wymaga więc zalezieia rozwiązaia ieliiwoego układu rówań: y i x i β exp α 0 + α x i y i x i β xi exp α 0 + α x i y i x i exp α 0 + α x i x i x i β exp α 0 + α x i. Estymator UMM możemy wyprowadzić zauważając, że E ε i x i 0 oraz E ε i x i α0 α x i 0. Używając jako itrumetów w pierwszym przypadku oraz i x i w drugim otrzymujemy astępujące waruki arzucoe a momety bezwarukowe: E ε i E y i x i β 0 E ε ] i E [y i x i β α 0 α x i 0 E ε [ ] i x i E y i x i β x i α 0 x i α x i 0 Zastępując momety teoretycze empiryczymi uzyskujemy: y x β 0 y i x i β α 0 + α x y i x i β xi α 0 x + α x 7

8 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/005 Wzór a β y x uzyskujemy z pierwszego rówaia. Mając β możemy policzyć y i x i β y i x i β. i Wystarczy teraz rozwiązać układ rówań xi e i e e i x i e x i e α 0 + α x e x i α 0 x + α x Rozwiązując te układ rówań uzyskujemy x x α e x i e x α 0 e α x Zadaie.. Rówaiem podaży pracy jest pierwsze rówaie: podaż pracy zależy od płacy i liczby osób w wieku produkcyjym ale ie zależy od kapitału. Rówaiem popytu a pracę jest rówaie drugie: popyt a pracę zależy od płacy i wielkości kapitału w gospodarce. Zależość między popytem a pracę i kapitałem wyika z tego, że im miejszy kapitał, tym miejsza produkcyjość krańcowa i iższa płaca przy tej samej wielkości zatrudieia.. zmiee egzogeicze zmiee edogeicze, p t, q t l t, w t K 3 G K zidetyfikowae 3 K G + K 3 G K zidetyfikowae 3 K G + K 3. W formie zredukowaej po lewej stroie zajdują się zmiee edogeicze a po prawej wyłączie zmiee egzogeicze. W przypadku aalizowaego modelu, forma zredukowaa będzie więc miała postać: l t π 0 + π h t + π k t + ɛ t w t π 0 + π h t + π k t + ɛ t 4. Parametr α w rówaiu podaży pracy itepretujemy jako elestyczość podaży pracy względem zmiay liczby osób w wieku produkcyjym. Opisuje o ile procet zmiaiłaby się podaży pracy, gdyby liczba osób w wieku produkcyjym wzrosła o % a wysokość płacy pozostała iezmieioa. π jest możikiem wielkości zatrudieia względem liczby osób w wieku produkcyjym. Opisuje o o ile procet wzrosłoby zatrudieie, gdyby liczba osób w wieku produkcyjym wzrosła o % a płaca dostasowała się do owego poziomu rówowagi. 5. Rówaia popytu ie da się wyestymować za pomocą M N K, poieważ jeda ze zmieych objaśiających jest zmieą edogeiczą płaca co ozacza, że jest skorelowaa z błędem losowym. W tym przypadku MNK daje estymatory, które ie są zgode. 8

9 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/ Aby zaleźć postać estymatorów pośrediej M N K ależy zaleźć zaleźości między parametrami formy strukturalej i zredukowaej. Rozwiązując formę strukturalą dla l t i w t uzyskujemy l t β α 0 + α k t β α h t + α ε t β ε t α β }{{ α β }}{{ α β }}{{ α β }}{{ } π 0 π π ɛ t β w t α 0 + k t α h t + ε t ε t α β }{{ α β }}{{ α β }}{{ α β }}{{ } π 0 π π ɛ t Mamy więc astępujące zależości między parametrami formy strukturalej i zredukowaej π 0 α0 α β π β α β π α α β π 0 β α0 α β π α α β π β α α β Estymatory parametrów uzyskujemy estymując formę zredukowaą, zastępując π ij estymatorami π ij i rozwiązując te układ rówań dla α 0, α, α, β i β. Z rówań tych moża uzyskać dwa estymatory parametru β postaci: β π0 π 0, β π0 π 0. Uzyskaliśmy dwa oszacowaia jedego parametru! 7. Zmieymi istrumetalymi mogłyby być wszystkie zmiee egzogeicze a więc stała, h t i k t. Zadaie.. Sprawdzamy idetyfikację rówań zmiee egzogeicze zmiee edogeicze Q D, Q S, P K G K iezidetyfikowae K < G + K G K 0 zidetyfikowae K G + K Rówaie popytu ie jest zidetyfikowae, rówaie podaży jest zidetyfikowae. Budujemy formę zredukowaą. Jedyą zmieą egzogeiczą jest stała, forma zredukowaa ma postać: Q D Q S π 0 + ɛ P π + ɛ Rozwiązując formę strukturalą dla Q D, Q S i P otrzymujemy Q D Q S β α 0 + β ε α ε β α β α P α 0 + ε ε β α β α Zależości między parametrami formy strukturalej i zredukowaej π 0 π β α 0 β α α 0 β α Wyika z tego, że estymator Pośrediej MNK parametru β moża policzyć jako β π 0 π. Poieważ estymatorami MNK stałej w modelu tylko ze stała są średie zmieych zależych więc β Q P. 9

10 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/ Jedyym zidetyfikowaym rówaiem jest rówaie podaży Y [Q S,..., Q st ] a jedyą zmieą istrumetalą stała Z [,..., ]. Mamy dokładie tyle zmieych objaśiających X [P,..., P T ] Postać estymatora MZI w tym przypadku będzie astępująca: b MZI Z X Z y Q P a więc dokładie te sam wzór co w przypadku zastosowaia Pośrediej M N K. Sytuacja taka zachodzi zawsze, gdy rówaie jest dokładie zidetyfikowae. 4. Wzór a estymator MNK w rówaiu podaży jest astępujący b X X X t y P tq St t P t t P t β P t + ε t P t β + t P tε t P t Korzystając z wyprowadzoego wzoru a P t w formie zredukowaej, otrzymujemy T α 0 P t ε β α t Poieważ jedak plim E ε σ więc Estymator MNK ie jest zgody. T ε + t β α T t ε E ε 0, plim T ε ε β α t t plim b β + plim P tε plim β + plim β + T t T t ε ε Cov ε, ε σ, plim t P t T t P tε t P t σ σ β α P ε T t ε Zadaie.3. zmiee egzogeicze zmiee edogeicze, I t, G t C t, Y t K 3 G K zidetyfikowae 3 K G + K Idetyfikacji drugiego rówaia ie badamy bo ie ma w im parametrów do oszacowaia. C t wpływa a Y t a Y t wpływa a C t, mamy więc w modelu sprzężeie zwrote. Poieważ wpływ C t a Y t ozacza, że u t wpływa a Y t więc Y t i u t są skorelowae a tym samym w modelu występuje problem rówoczesości, który powoduje, że estymator MNK jest obciążoy. 3. Rówaie a Y t jest tożsamością wyikającą z rachukowości dochodu arodowego. Tożsamości odróżiają się od iych rówań tym, że ie występuje w ich błąd losowy ai parametry do oszacowaia. 4. Estymator α jest estymatorem MZI, będzie o zgody jeśli zmiea I t jest rzeczywiście egzogeicza a więc ieskorelowaa z zaburzeiem losowym u t. 0

11 Zbiór zadań z ekoometrii Copyright c 005 by Jerzy Mycielski wersja: 3/6/ Moża zastosować obie te zmiee jako zmiee istrumetale w uogólioym estymatorze zmieych istrumetalych postaci: b MZI X X X y, gdzie X Z Z Z Z X i Z jest macierzą obserwacji dla istrumetów zawierającą stałą, I t, G t Zadaie.4. Uzyskae w te sposób oszacowaia parametrów ie będą zgode poieważ w rówaiu kosumpcji występuje zmiea Y t dochód arodowy, która jest w modelu zmieą edogeiczą. Z racji a występowaie sprzężeia zwrotego między C t i Y t, zmiea Y t będzie skorelowaa z ε t a tym samym w rówaiu wystąpi rówoczesość i estymator MNK będzie iezgody.. a Poieważ po prawej stroie rówaia zajdują się jedyie zmiee egzogeicze więc oszacowaie MNK, tego rówaia da zgode estymatory parametrów δ 0, δ, δ, δ 3. b Poieważ oszacowae rówaie jest zredukowaą formą modelu strukturalego, więc oszacowae parametry będziemy itepretować jako możiki: wzrost wydatków o zł zwiększa kosumpcję w owym położeiu rówowagi o.884 zł, wzrost podaży pieiądza o zł zwiększa kosumpcję w owym położeiu rówowagi o zł, wzrost salda hadlu zagraiczego o zł zwiększa kosumpcję w owym położeiu rówowagi o zł. c Rówaie to jest rówaiem formy zredukowaej. Uzyskae wielkości parametrów dotyczą reakcji wartości zmieych edogeiczych w położeiu rówowagi a zmiay wartościach zmieych egzogeiczych. W formie strukuralej parametry opisują wpływ zmia pojedyczych zmieych edogeiczych i egzogeiczych a daą zmieą edogeiczą. 3. a Zmiaa wielkości dochodu arodowego o zł zwiększa kosumpcję o b Oszacowaa wielkość parametrów ie jest zgoda z postulatem Keesa. Średia skłoość do kosumpcji jest rówa C Y. Pierwsza pochoda C a+by Y Y Y Y a Y. Jedak asze oszacowaia wskazują, że a < 0, co implikuje, że średia skłoość do kosumpcji rośie wraz z dochodem! c Oszacowaia będą prawidłowe jeśli zastosowae istrumety G t, M t, X t będą rzeczywiście egzogeicze ieskorelowe z ε 4. Uzyskay wyik testu Sargaa sugeruje, że zastosowae itrumety ie są prawidłowe [.05, < 0.05] 5. Uzyskay wyik testu Hausmaa wskazuje, że w modelu istieje problem edogeiczości [3.37, < 0.05], ie powiiśmy stosować do estymacji tego rówaia MNK.