V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie. Zadania i rozwiązania
|
|
- Ryszard Dziedzic
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania września 2011
2 Zadania- grupa młodsza Konkurs- dzień pierwszy 1. Niech n będzie liczbą całkowitą większą od 2. Wykazać, że wśród ułamków ułamków nieskracalnych jest parzyście wiele. 2. Znajdź resztę z dzielenia przez 1000 liczby: 1 n, 2 n,... n 1 n }{{}. 999 cyfr 3. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, przy czym AB = AC. Niech D będzie punktem należącymdobokuab,zaśeniechbędzietakimpunktemnaprzedłużeniubokuac,że BD = CE. OdcinekDEprzecinabokBCwpunkcieG.Wykazać,że DG = GE. 4. Dana jest siatka złożona z 16 punktów ułożonych w czterech rzędach i czterech kolumnach, przy czym odległość pomiędzy każdym rzędem i kolumną wynosi 1. Powiemy, że łamana jest rosnąca jeśli kolejne jej odcinki składowe mają coraz większą długość. Z ilu najwięcej odcinków może się składać łamana rosnąca o wierzchołkach położonych na powyższej siatce? Ile jest takich łamanych? Konkurs- dzień drugi 1. Znajdź największą wielokrotność liczby 360 o tej własności, że jej zapis dziesiętny składa się z parami różnych cyfr parzystych. 2.Udowodnij,żerównanieb 2 +b+1=a 2 niemarozwiązańwliczbachcałkowitychdodatnich. 3.DanyjesttrójkątrównobocznyABCobokudługości1.NiechDbędzieśrodkiembokuBC.Na bokachab,acobieramypunktye,ftakie,że EDF=90.Udowodnić,że BE + CF > EF. 4. Na płaszczyźnie znajduje się 2011 punktów białych i 2011 punktów czarnych. Położone są tak, że każdy odcinek łączący punkty tego samego koloru zawiera także punkt drugiego koloru. Udowodnij, że istnieje taka prosta l, która zawiera wszystkie punkty białe i wszystkie punkty czarne. Konkurs- dzień trzeci 1.Znajdźwszystkieliczbytrzycyfrowenotejwłasności,żesumacyfrliczbyn+3jest 1 3 sumycyfr liczby n. 2.Załóżmy,żedanyjesttrójkątobokachdługościa,b,c.Czyzodcinkówdługości a, b, cdasię stworzyć trójkąt?
3 3. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych kwadratów liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej. 4. Udowodnij, że wśród 7 kolejnych liczb całkowitych istnieja zawsze dwie takie, że ich suma lub różnica jest podzielna przez 10. Zadania- grupa starsza Konkurs- dzień pierwszy 1.Udowodnij,żeciąg: ( ) 2011, 1 zawiera nieparzyście wiele liczb nieparzystych. ( ) ( ) 2011,..., wież umieszczono na szachownicy Mówimy, że dwie wieże wzajemnie sie atakują, jeśli stoją one w tym samym wierszu lub kolumnie szachownicy. Pokazać, że wśród 41 wież istnieje 5 takich, spośród których żadne dwie nie atakują się wzajemnie. 3.WtrójkącieABCpunktMjestśrodkiembokuBC.Załóżmy,żepunktyP,Rleżąodpowiednio nabokachab,ac,zaśqjestpunktemprzecięciaodcinkaamzodcinkiempr.wykaż,żejeśli punktqjestśrodkiemodcinkapr,wówczaspr BC. 4.Dlaliczbynaturalnejnniechg(n)oznaczanajwiększąpotęgę2,zjakąwchodzionadorozkładun naczynnikipierwsze.dlaprzykładug(20)=4,g(15)=0,g(16)=16itd.załóżmy,żepjestliczbą pierwszą. Wyznaczyć wszystkie takie p, że suma 2 p 1 k=1 jest kwadratem liczby naturalnej. g(2k)=g(2)+g(4)+g(6)+...+g(2 p ) Konkurs- dzień drugi 1. Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości 1. Niech P będzie dowolnym punktem na przeciwprostokątnej AB, zaś Q, R niech będzą rzutami prostokątnymipunktupnaprzyprostokątneac,bc.rozważmypolatrójkątów:apqorazpbr,jak również pole prostokąta QCRP. Wykaż, że niezależnie od wyboru P największe z tych pól równe jest co najmniej 2/9. 2. Udowodnij, że z dowolnego zbioru dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych(w zapisie dzięsiętnym) możliwy jest wybór dwóch niepustych i rozłącznych podzbiorów, których suma elementów jest identyczna. [ ] 3.Udowodnij,żedlax>1zachodzirówność: [ x] = [ x ].
4 4.DanyjesttrójkątprostokątnyrównoramiennyABC,przyczym A=90.PunktEjestśrodkiem bokuac,zaśfjesttakimpunktemnabokubc,żeef BE.Załóżmy,że AB =1.Obliczpole trojkąta CEF. Konkurs- dzień trzeci 1. Załóżmy, że liczba trzycyfrowa abc dzieli sie przez 37. Udowodnij, że także liczba bca jest także podzielnaprzez37.wskazówka:999= Udowodnij,żedladowolnychx,y Rzachodzinierównośćx 4 +y 4 +88xy. 3. Dany jest skończony zbiór X punktów na płaszczyźnie o tej własności, że pole każdego z trójkątów, którego wierzchołki należą do X jest mniejsze od 1. Wykazać, że wszystkie punkty zbioru X zmieścić możnawewnątrzlubnabrzegutrójkątaopolu4. 4. Niech n będzie liczbą naturalną. Rozważamy sumę S(n) odwrotności wszystkich(niezerowych) cyfr występujących w zapisie dziesiętnym wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Dla przykładu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S(12) = Znaleźćnajmniejszentakie,żeS(10 n )jestliczbąnaturalną. Rozwiązania- grupa młodsza Rozwiązania zadań z pierwszego dnia 1. Niech n będzie liczbą całkowitą większą od 2. Wykazać, że wśród ułamków ułamków nieskracalnych jest parzyście wiele. Rozwiązanie.Zauważmy,żejeśliułamek k n 1 n, 2 n,... n 1 n jestnieskracalny,totakżeułamek n k n jest nieskracalny.zatemwszystkieteułamkinieskracalne,dlaktórych n k n k n możnapodgrupowaćwpary. Równość n k n = k n niemożezachodzićdlaułamkanieskracalnegoprzyn>2.oznaczaonabowiem, że2k=n,awięcskoron>2,toułamek k n jestskracalny.sprzecznośćtapokazuje,żewszystkie ułamkinieskracalnemożnaustawićwpary.jestichzatemparzyściewiele. 2. Znajdź resztę z dzielenia przez 1000 liczby: }{{}. 999 cyfr Rozwiązanie. Zauważmy, że iloczyn = Zatem reszta z dzielenia powyższego ilocznuprzez1000jesttakasama,jakresztazdzieleniailoczynu ,awięc109.
5 3. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, przy czym AB = AC. Niech D będzie punktem należącymdobokuab,zaśeniechbędzietakimpunktemnaprzedłużeniubokuac,że BD = CE. OdcinekDEprzecinabokBCwpunkcieG.Wykazać,że DG = GE. Rozwiązanie.NiechFbędzietakimpunktemnabokuBC,żeDF AE. Wówczasrównesąmiarykątów FDG= CEGoraz DGF= EGC.SkorozaśtrójkątABC jestrównoramienny,to BFD= BCA= DBF,awięc DF = DB = CE.Stądnamocy cechykąt-bok-kąttrójkątydfgorazecgsąprzystające,awięc DG = GE. 4. Dana jest siatka złożona z 16 punktów ułożonych w czterech rzędach i czterech kolumnach, przy czym odległość pomiędzy każdym rzędem i kolumną wynosi 1. Powiemy, że łamana jest rosnąca jeśli kolejne jej odcinki składowe mają coraz większą długość. Z ilu najwięcej odcinków może się składać łamana rosnąca o wierzchołkach położonych na powyższej siatce? Ile jest takich łamanych? Rozwiązanie. Zauważmy, że możliwych jest tylko 9 odległości pomiędzy punktami rozważanej siatki: 1< 2<2< 5<2 2<3< 10< 13<3 2. A więc najdłuższa łamana może mieć max 9 odcinków składowych(w szczególności nie może być to łamana zamknięta). Czy łamana taka istnieje? Z łatwością przekonamy się, że tak. Policzymy od razu ile ich jest. Ważne jest by pamiętać, że tworząc taką łamaną nie możemy wrócić do wierzchołka, w którym już byliśmy. Dla ułatwienia ponumerujmy wierzchołki naszej siatki. Zaczniemy od końca, a więc od najdłuższego odcinka. Możemy go wybrać na 4 sposoby, bo musimy połączyć przeciwległe wierzchołki siatki. Załóżmy, że startujemy z 1 do 16. To był pierwszy odcinek. Wybierającdrugiodcinekmamytylkodwiemożliwościodległeo 13 sątopunkty2lub5.możemy założyć, że idziemy do punktu 2(każdą łamaną, która powstaje w tym momencie przez pójście
6 do 5 możemy przez symetrię względem przekątnej przerobić na łamaną, która idzie w tym kroku przez2). Zpunktu2musimy,wtrzecimkroku,wykonaćodległość 10 znowusądwiemożliwości:13lub 15.Jeślijednakpójdziemydo13,topotemniedasiępójśćo3dojakiegokolwiekpunktu,którynie byłbyjużzajęty.zatemwtrzecimkrokumusimyiśćz2do15. Wnastępnychkrokachniemawyboru:o3możemyprzejśćtylkozpunktu15do3.Potemz3 możemypójśćo2 2tylkodo9,apotemmusimyiśćdopunktów7(o 5),potemdopunktu5 (o2)iwreszciedo10(oodległość 2).Tuzostajeostatnikrok,którymożemywykonaćna3sposoby. Zatemłączniemamyilemożliwości?Napoczątku4opcje(przywyborzeodcinkadługości3 2), potem2opcje(przywyborzetrasyo 13)i3opcjenasamymkońcu.Łącznie24możliwetrasy. Rozwiązania zadań z drugiego dnia 1. Znajdź największą wielokrotność liczby 360 o tej własności, że jej zapis dziesiętny składa się z parami różnych cyfr parzystych. Rozwiązanie.Skorowszystkiecyfrymusząbyćparamiróżne,tomamydowyboru0,2,4,6,8. Wiemy, że szukana liczba będzie podzielna przez 9(dlaczego?), a więc suma cyfr musi być podzielna przez9.alesuma =20inietrudnowidzieć,żejedyniewyrzuceniedwójkidaje namwielokrotność9.stądcyfryjakiemożemyużyćto0,4,6,8.największaznichto8640iona jestwielokrotnością Udowodnij,żerównanieb 2 +b+1=a 2 niemarozwiązańwliczbachcałkowitychdodatnich. Rozwiązanie.Załóżmy,żejestjakieśrozwiązanie.Wtedyb+1=a 2 b 2 =(a b)(a+b).skoro b+1>0,toa b>0,awięcb+1a+b.alejeslia=1,tob 2 +b=0,coniemarozwiązańw liczbachcałkowitychdodatnich. 3.DanyjesttrójkątrównobocznyABCobokudługości1.NiechDbędzieśrodkiembokuBC.Na bokachab,acobieramypunktye,ftakie,że EDF=90.Udowodnić,że BE + CF > EF.
7 Rozwiązanie. Chcemy dokonać takiego przekształcenia, aby długości odcinków BE, CF, oraz EF odnaleźćnajednymtrójkącie.obracamytrójkątcdfo180 wkierunkuprzeciwnymdoruchu wskazówek zegara wokół punktu D. Wówczas wierzchołek C przechodzi na B, D zostaje w miejscu, zaśflądujewpunkcie,któryoznaczmyprzezg.wtensposób CF = BG.Pozostajewykazać, że EG = EF i dowód wynikać będzie z nierówności trójkąta. Zauważmy jednak, że trójkąty EFDorazEGDsąprzystającenamocycechybok,kąt,bok.Istotnie, FD = GD,bokEDjest wspólny, zaś kąt pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami jest prosty. Stąd: BE + CF = BE + BG > GE = EF. 4. Na płaszczyźnie znajduje się 2011 punktów białych i 2011 punktów czarnych. Położone są tak, że każdy odcinek łączący punkty tego samego koloru zawiera także punkt drugiego koloru. Udowodnij, że istnieje taka prosta l, która zawiera wszystkie punkty białe i wszystkie punkty czarne. Rozwiązanie.O wyróżnionych 2011 punktach białych i 2011 punktach czarnych będziemy mówili: kolorowe. Załóżmy, że istnieją trzy kolorowe punkty, które nie leżą na jednej prostej. Nazwijmy je X, Y, Z. Załóżmy, że ze wszystkich takich niepokojących przypadków(a więc takich trójek, które nie leżą na jednej prostej) akurat trójkąt XY Z ma najmniejsze pole. Innymisłowy,jeślipewnetrzykolorowepunktyX,Y,Z nieleżąnajednejprostej,topoletrójkąta XYZjestmniejszeniżpoletrójkątaX Y Z.DwazpunktówX,Y,Zmusząbyćtegosamegokoloru. Możemyzałożyć,żesątoX,Yiżeichkolorjestbiały.WówczaswewnątrzodcinkaXYleżyjakiś czarny punkt G. Ale w ten sposób dostajemy trójkąt XGZ, który ma kolorowe wierzchołki a jego polejestmniejszeniżpoletrójkątaxyz.stądsprzecznośćzwyborempunktówx,y,z. Rozwiązania zadań z trzeciego dnia 1.Znajdźwszystkieliczbytrzycyfrowenotejwłasności,żesumacyfrliczbyn+3jest 1 3 sumycyfr liczby n. Rozwiązanie.Niechn=abc.Zauważmy,żeliczbac7.Istotnie,wprzeciwnymrazieliczbya,b sięniezmieniąisumacyfrn+3będziewiększaniżsumacyfrn.niechs 0 oznaczasumęcyfrliczby n,zaśs 1 sumęcyfrliczbyn+3.zauważmy,żemożliwesąnastępująceprzypadki: a=b=9.wówczasnmożebyćrówneodpowiednio997,998,999,alewżadnychznichsuma cyfrn+3niejest1/3sumycyfrwn.
8 Jeślia<9,b=9,toS 0 =a+9+c,zaśs 1 =a+1+(c+3 10)=a+c 6/Stąd 3(a+c 6)=a+9+c,awięc2(a+c)=27.Sprzeczność. Jeślib<9,toS 0 =a+b+c,zaśs 1 =a+(b+1)+(c+3 10)=a+b+c 6.Stąda+b+c=9. Wychodzi: 108, 117, Załóżmy,żedanyjesttrójkątobokachdługościa,b,c.Czyzodcinkówdługości a, b, cdasię stworzyć trójkąt? Rozwiązanie.Należyudowodnić,żespełnionajestnierównośćtrójkąta,awięc a+ b> c. Jest ona równoważna nierówności, którą otrzymamy po podniesieniu obydwu stron do kwadratu: a+b+2 ab>c.alenamocyzałożenia,a+b+2 ab>a+b>c,boa,b,csąbokamitrójkąta. 3. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych kwadratów liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej. Rozwiązanie.Zauważmy,żepięćkolejnychkwadratówliczbcałkowitychmapostać:(n 2) 2,(n 1) 2,n 2,(n+1) 2,(n+2) 2.Sumatychliczbto5(n 2 +2).Jeśliliczbatajestkwadratem,ton 2 +2 jestpodzielneprzez5.aletooznacza,żecyfrajednościliczbyn 2 wynosi3lub8.aleniematakich kwadratów. 4. Udowodnij, że wśród 7 kolejnych liczb całkowitych istnieja zawsze dwie takie, że ich suma lub różnica jest podzielna przez 10. Rozwiązanie. Korzystamy z zasady szufladkowej. Rozważmy następujące 6 zbiorów reszt z dzieleniaprzez10:{0},{5},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}.będątonaszeszufladki.zauważmy,żejeślidwie liczbydająresztę0zdzieleniaprzez10,toichróżnicadzielisięprzez10.podobniezresztą5: różnica dwóch liczb o reszcie z dzielenia przez 10 równej 5 jest liczbą podzielną przez 10. Wreszcie, jeśli dwie liczby całkowite dają reszty z dzielenia przez 10 należące do jednego z pozostałych 4 zbiorów,toichsumalubróżnicamusibyćpodzielnaprzez10.aleskoromamy7liczb,atylko6 szufladek, to istotnie dwie liczby wpadają(a właściwie ich reszty z dzielenia przez 10) do jednej z 6szufladek.Tokończydowód. Rozwiązania- grupa starsza Rozwiązania zadań z pierwszego dnia 1. Niech n będzie liczbą nieparzystą większą od 1. Udowodnij, że ciąg: ( )( ) ( ) n n n,,..., n zawiera nieparzyście wiele liczb nieparzystych.
9 Rozwiązanie.Pamiętając,żedladowolnegok<nmamy ( ) ( n k = n k ) ito,żeliczbanjest nieparzysta widzimy, że suma elementów wyjściowego ciągu to: [( ) ( ) ( )] 1 n n n = n 1 2 (2n 2)=2 n 1 1. Jest to zatem liczba nieparzysta. Ale to oznacza, że w naszej sumie było nieparzyście wiele składnikównieparzystych(cokończydowód). k wież umieszczono na szachownicy Mówimy, że dwie wieże wzajemnie sie atakują, jeśli stoją one w tym samym wierszu lub kolumnie szachownicy. Pokazać, że wśród 41 wież istnieje 5 takich, spośród których żadne dwie nie atakują się wzajemnie. Rozwiązanie. Korzystamy wielokrotnie z zasady szufladkowej. Wiadomo, że trzeba znaleźć 5 wież, które są w parami różnych wierszach i kolumnach. Pomysł jest taki: znaleźć wiersze z wieloma wieżami.jest10rzędówi41wież,awięcistniejewiersz,nazwijmygoa,gdziejestprzynajmniej5 wież. Dalej, wyrzucamy ten wiersz. Pozbyliśmy się max 10 wież, a więc na pozostałych 9 rzędach stoi max 31 wież. Zasada szufladkowa mówi, że istnieje wiersz, nazwijmy go B, gdzie stoją przynajmniej 4 wieże. Postępując analogicznie znajdziemy 5 rzędów A, B, C, D, E, w których znajduje się odpowiednio przynajmniej 5, 4, 3, 2, 1 wież. W tych rzędach znajdziemy poszukiwane 5 wież nie akakujących sie wzajemnie. Z każdego rzędu będzie pochodziła 1 wieża. Zacznijmy od E i wybierzmy wieżę AA, która powinna tam być. W rzędzie D istnieje więc przynajmniej jedna wieża, którastoiwinnejkolumnieniżaa,nazwijmyjąbb.wrzędziecistniećmusiwieża,którastoi winnejkolumnieniżaaorazbb,nazwijmyjącc.analogiczniewyszukujemywieżeddiee wrzędachd,e.łatwowidać,żekażdedwiewieżezezbioru{aa,bb,cc,dd,ee}pochodząz różnychwierszyizróżnychkolumn. 3.WtrójkącieABCpunktMjestśrodkiembokuBC.Załóżmy,żepunktyP,Rleżąodpowiednio nabokachab,ac,zaśqjestpunktemprzecięciaodcinkaamzodcinkiempr.wykaż,żejeśli punktqjestśrodkiemodcinkapr,wówczaspr BC. Rozwiązanie. Skoro Q, M są środkami odcinków P R oraz BC, to zachodzą następujące równości póltrójkątów:[apq]=[arq],oraz[abm]=[acm].stąd: [APQ] [ABM] =[ARQ] [ACM]. NamocywzorunapoletrójkątaP=absin(α)/2irównościkątów PAQ= BAM, QAR= M AC, dostajemy: AP AQ = AQ AR AB AM AM AC AP AB = AR AC PQ BC.
10 4.Dlaliczbynaturalnejnniechg(n)oznaczanajwiększąpotęgę2,zjakąwchodzionadorozkładun naczynnikipierwsze.dlaprzykładug(20)=4,g(15)=0,g(16)=16itd.załóżmy,żepjestliczbą pierwszą. Wyznaczyć wszystkie takie p, że suma 2 p 1 k=1 jest kwadratem liczby naturalnej. g(2k)=g(2)+g(4)+g(6)+...+g(2 p ) Rozwiązanie.Rozważmyliczby2,4,6,...,2 p izastanówmysięileliczbcałkowitychnatejliście jestpodzielnychprzez2 i,aleniejestpodzielnychprzez2 i+1,dlaitakiego,że1in 1. Wiadomo,że2 p /2 i ztychliczbjestpodzielnychprzez2 i,alewśródnich2 p /2 i+1 sątakżepodzielne przez2 i+1.stądtakichliczbx<2 p,dlaktórychg(x)=2 i jestdokładnie2 p /2 i 2 p /2 i+1.wten sposób nasza suma ma postać: p 1 ( ) 2 2 i p 2p p 1 2i 2 i+1 +2 p = (2 p 2 p 1 )+2 p = i 1 p 1 2 p 1 +2 p =(p 1)2 p 1 +2 p =(p+1)2 p 1. i=1 i=1 Kiedy(p+1)2 p 1 jestkwadratem?napewnoniedlap=2,awięcmożemyzałożyć,żepjest nieparzyste.zatem2 p 1 jestiloczynemparzystejliczbydwójek,azatemwrozkładziep+1na czynnikiliczba2równieżwchodzizparzystąpotęgą.zatemp+1=m 2,dlapewnegomnaturalnego. Stądp=(m 1)(m+1).Skoropjestpierwsza,tom=2.Zatemm=2.Istotnie,dlap=3szukana sumawynosi16. Rozwiązania zadań z drugiego dnia 1. Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości 1. Niech P będzie dowolnym punktem na przeciwprostokątnej AB, zaś Q, R niech będzą rzutami prostokątnymipunktupnaprzyprostokątneac,bc.rozważmypolatrójkątów:apqorazpbr,jak również pole prostokąta QCRP. Wykaż, że niezależnie od wyboru P największe z tych pól równe jest co najmniej 2/9. Rozwiązanie.NiechxoznaczadługośćodcinkaBP.Jeślix<1/3lubx>2/3,totezajestoczywista. W przypadku gdy x [1/3, 2/3] trzeba policzyć pole prostkąta i zminimalizować stosowną funkcjękwadratową. 2. Udowodnij, że z dowolnego zbioru dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych(w zapisie dzięsiętnym) możliwy jest wybór dwóch niepustych i rozłącznych podzbiorów, których suma elementów jest identyczna.
11 Rozwiązanie. Dowód polega na zastosowaniu zasady szufladkowej Dirichleta. Rozważmy najpierw prostszy problem: czy możemy zbiór dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych podzielić na sumę(niekoniecznie rozłączną) dwóch podzbiorów, których suma elementów jest taka sama? Najmniejsza możliwasumato10,anajwiększato: wszystkichmożliwychsumjestzatem mniej niż Tymczasem wszystkich podzbiorów niewłaściwych zbioru 10 elementowego(a więc różnychodzbiorupustegoicałegozbioru)jest2 10 2>1000.Wszczególnościdwapodzbiorywłaściwe dowolnego zbioru 10 elementowego liczb dwucyfrowych muszą mieć tę samą sumę elementów. OznaczmyjeprzezA,B.Niesąonekoniecznierozłączne.Zauważmyjednak,żeżadenznichnie jest zawarty w drugim. Przeczyłoby to założeniu o równości sum elementów tych podzbiorów. W szczególnościa B AorazA B B.Oznaczato,żepousunięciuczęściwspólnejzbioryte będą nadal niepuste. Co więcej będą rozłączne, a suma ich elementów pozostanie taka sama(bo z obydwuusunęliśmytesameelementy-należącedozbiorua B). [ ] 3.Udowodnij,żedlax>1zachodzirówność: [ x] = [ x ]. Rozwiązanie. Z definicji części całkowitej wiadomo, że: [ ] [ ] x x< x +1. [ ] Niech x =n.wówczasn 4 x<(n+1) 4.Stąd: n 2 x<(n+1) 2. Azatemn 2 [ x]<(n+1) 2.Wtensposóbn [ [ ] x]<n+1,awięctakżen [ x] <n+1 Dostajemy zatem: [ [ ] [ ] x x] =n=. 4.DanyjesttrójkątprostokątnyrównoramiennyABC,przyczym A=90.PunktEjestśrodkiem bokuac,zaśfjesttakimpunktemnabokubc,żeef =BE.Załóżmy,że AB =1.Oblicz pole trojkąta CEF. Rozwiązanie. Niech D będzie takim puntem, że kąty ABE oraz CED są równe. Trójkąty ABE orazcedsązatempodobnenamocycechykkk.stądstosunekichpólrównyjestkwadratowi stosunkuodpowiadającymsobiebokówceorazab.zatem4[ced]=[abe].zatem CE CD = AB AE =2.Skoro ECF=45 = DCF,toCFjestdwusiecznąkąta DCE.Wynikastąd,że odległośćpunktufodbokówceicdjestjednakowa.stąd [CEF] [CDF] = CE CD =2.Zatem: [CEF]= 2 3 [CED]= [ABE]= = 1 24.
12 Rozwiązania zadań z trzeciego dnia 1. Załóżmy, że liczba trzycyfrowa abc dzieli sie przez 37. Udowodnij, że także liczba bca jest także podzielnaprzez37.wsk.999= Rozwiązanie.Zzałożenialiczba100a+10b+c=37k,dlapewnegoknaturalnego.Stąd: bca=100b+10c+a=1000a+100b+10c 999a=10(100a+10b+c) 37 27a=37(10k 27a). 2.Udowodnij,żedladowolnychx,y R + zachodzinierównośćx 4 +y 4 +88xy.Czynierówność jestprawdziwajeślix,yniesądodatnie? Rozwiązanie. Zauważmy, że z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną mamy x 4 +y x 4 y 4 16=2xy.Czykoniecznejestzałożenie,żeliczbysązR +?Otóżnie!Zdowodu wynika,żex 4 +y x y 8xy,dladowolnychx,y R. 3. Dany jest skończony zbiór X punktów na płaszczyźnie o tej własności, że pole każdego z trójkątów, którego wierzchołki należą do X jest mniejsze od 1. Wykazać, że wszystkie punkty zbioru X zmieścić możnawewnątrzlubnabrzegutrójkątaopolu4. Rozwiązanie. Rozważmy ten z trójkątów o wierzchołkach wziętych ze zbioru X, którego pole jest największe. Jego wierzchołki to M N Q. Rozważmy teraz trójkąt ABC o tej własności, że punkty M,N,QsąodpowiedniośrodkamibokówMN,NQ,QM.WtensposóbpoletrójkątaABCjest mniejsze niż 4. Tymczasem gdyby jakiś punkt P zbioru X wystawał poza trójkąt ABC, to trójkąt utworzonychzdwóchwierzchołkówtrójkątaabcorazzpunktupmawiększepoleniżabc,co przeczypoczątkowemuwyborowipunktówa,b,c. 4. Niech n będzie liczbą naturalną. Rozważamy sumę S(n) odwrotności wszystkich(niezerowych) cyfr występujących w zapisie dziesiętnym wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Dla przykładu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S(12) = Znaleźćnajmniejszentakie,żeS(10 n )jestliczbąnaturalną. Rozwiązanie.Zauważmy,żerówniedobrzemożemyrozważaćS(10 n 1),bowzapisiedziesiętnym 10 n jestnzerijednajedynka,więcsumaodwrotnościjestnaturalna.ilośćliczbod0do10 n 1 wynosi10 n ikażdąznichmożnazapisaćwpostaciciągunliczbcałkowitych,ewentualniedodając zprzoduzera.naprzykładjeślin=4,toliczbienaturalnej14możnaprzypisaćzapis0014.wten sposóbniezmienimysumys(10 n 1),bozeraitakpomijamy.Tymczasemlepiejzobaczymy,że wśródliczbod }{{} n do }{{} każda cyfra występuje w zapisie dziesiętnym dokładnie tyle samo n
13 razy,awięcskorowszystkichcyfrjestn 10 n,tokażdaznichwystępujedokładnie n 10n 10 =n10 n 1 razy. Zatemnaszasumamapostać:n10 n 1( ) Łatwowidzieć,żen 1,2,3,awięcn10 n 1 jestpodzielnaprzez1,2,4,5,8.widząc,żen10 n 1 ( n10n 1 6 )= 6 N, wystarczy zastanowić siękiedycałkowitajestsuman10 n 1 ( ).Jesttak,gdynjestrówneconajmniej63.
2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoZadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoJednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I
Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I 1. W Biwerlandii w obiegu są monety o nominałach 5 eciepecie i 8 eciepecie. Jaką najmniejszą (dodatnią) kwotę można zapłacić za zakupy, jeżeli sprzedawca
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoObozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)
Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowo1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia
1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (27 listopada 2014 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje ostrosłup, który ma dokładnie 15 14 a) wierzchołków;
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoIV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie
IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa młodsza. Dzień drugi 28.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla szkoły podstawowej
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 8 X 2002 Bukiet 1 Dany jest sześciokąt ABCDEF, którego wszystkie kąty są równe 120. Proste AB i CD przecinają się w punkcie
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy
pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoRozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych
GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/
Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (27 września 2018 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W sklepie U Bronka cena spodni była równa cenie sukienki. Cenę spodni najpierw
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2016 rok SZCZYRK 2016 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki
Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoXIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej
XIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej 2 grudnia 2010 r. eliminacje czas: 90 minut Przed Tobą test składający się z 27 zadań. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Bardziej szczegółowo= a + 1. b + 1. b całkowita?
9 ALGEBRA Liczby wymierne Bukiet 1 1. Oblicz wartość wyrażenia 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1. 2. Znajdź liczby naturalne a, b, c i d, dla których 151 115 = a + 1 b + 1. c + 1 d 3. W podobny sposób spróbuj przekształcić
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowow edukacji matematycznej uczniów
Zadania Wykaż, udowodnij w edukacji matematycznej uczniów szkół podstawowych i klas gimnazjalnych Zadania pochodzą z materiałów CKE, egzaminów próbnych i zbiorów zadań GWO, Operon, Nowa Era, WSiP Opracowanie
Bardziej szczegółowoWarmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13
Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log
Bardziej szczegółowoXV Olimpiada Matematyczna Juniorów
XV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (26 września 209 r.) Rozwiązania zadań testowych. odatnia liczba a jest mniejsza od. Wynika z tego, że a) a 2 > a; b) a > a; c)
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoSTOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
Bardziej szczegółowoMatura próbna matematyka poziom rozszerzony
Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Zadanie 1 (1pkt) Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = 5 cos x 1, jeśli x π, π? 4 (a) 0, + //gdy pominie przedział na x i policzy dla x R (b) 0, 7 + //prawidłowa
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OMG 2015 rok SZCZYRK 2015 Treści zadań Pierwsze zawody indywidualne
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2
(Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoWersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
Bardziej szczegółowoVII POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI. rok szkolny 2016/2017
1. 30. Tak 3. ----- 4. Równanie nie ma rozwiązania. Lewa strona nie równa się prawej dla żadnej pary liczb, y ponieważ prawa strona jest nieparzysta a prawa parzysta. Należy wykazać parzystości stron równania
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie
Bardziej szczegółowoWITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12
Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny analogie między faktami, zaś matematyk genialny analogie między analogiami. Stefan Banach WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH
Bardziej szczegółowoDzień pierwszy- grupa młodsza
Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoXXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A
XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych zestaw A 1. Istnieje liczba rzeczywista x dla której istnieją jednocześnie wartości rzeczywiste pierwiastków:
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria
1 Pomimo, że ten dział, to typowa geometria wydawałoby się trudny dział to paradoksalnie troszkę tu odpoczniemy, jeśli chodzi o teorię. Dlaczego? Otóż jak zapewne doskonale wiesz, na maturze otrzymasz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Bardziej szczegółowoLISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24
LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność
Bardziej szczegółowoLV Olimpiada Matematyczna
LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:
Bardziej szczegółowo