V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie. Zadania i rozwiązania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie. Zadania i rozwiązania"

Transkrypt

1 V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania września 2011

2 Zadania- grupa młodsza Konkurs- dzień pierwszy 1. Niech n będzie liczbą całkowitą większą od 2. Wykazać, że wśród ułamków ułamków nieskracalnych jest parzyście wiele. 2. Znajdź resztę z dzielenia przez 1000 liczby: 1 n, 2 n,... n 1 n }{{}. 999 cyfr 3. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, przy czym AB = AC. Niech D będzie punktem należącymdobokuab,zaśeniechbędzietakimpunktemnaprzedłużeniubokuac,że BD = CE. OdcinekDEprzecinabokBCwpunkcieG.Wykazać,że DG = GE. 4. Dana jest siatka złożona z 16 punktów ułożonych w czterech rzędach i czterech kolumnach, przy czym odległość pomiędzy każdym rzędem i kolumną wynosi 1. Powiemy, że łamana jest rosnąca jeśli kolejne jej odcinki składowe mają coraz większą długość. Z ilu najwięcej odcinków może się składać łamana rosnąca o wierzchołkach położonych na powyższej siatce? Ile jest takich łamanych? Konkurs- dzień drugi 1. Znajdź największą wielokrotność liczby 360 o tej własności, że jej zapis dziesiętny składa się z parami różnych cyfr parzystych. 2.Udowodnij,żerównanieb 2 +b+1=a 2 niemarozwiązańwliczbachcałkowitychdodatnich. 3.DanyjesttrójkątrównobocznyABCobokudługości1.NiechDbędzieśrodkiembokuBC.Na bokachab,acobieramypunktye,ftakie,że EDF=90.Udowodnić,że BE + CF > EF. 4. Na płaszczyźnie znajduje się 2011 punktów białych i 2011 punktów czarnych. Położone są tak, że każdy odcinek łączący punkty tego samego koloru zawiera także punkt drugiego koloru. Udowodnij, że istnieje taka prosta l, która zawiera wszystkie punkty białe i wszystkie punkty czarne. Konkurs- dzień trzeci 1.Znajdźwszystkieliczbytrzycyfrowenotejwłasności,żesumacyfrliczbyn+3jest 1 3 sumycyfr liczby n. 2.Załóżmy,żedanyjesttrójkątobokachdługościa,b,c.Czyzodcinkówdługości a, b, cdasię stworzyć trójkąt?

3 3. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych kwadratów liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej. 4. Udowodnij, że wśród 7 kolejnych liczb całkowitych istnieja zawsze dwie takie, że ich suma lub różnica jest podzielna przez 10. Zadania- grupa starsza Konkurs- dzień pierwszy 1.Udowodnij,żeciąg: ( ) 2011, 1 zawiera nieparzyście wiele liczb nieparzystych. ( ) ( ) 2011,..., wież umieszczono na szachownicy Mówimy, że dwie wieże wzajemnie sie atakują, jeśli stoją one w tym samym wierszu lub kolumnie szachownicy. Pokazać, że wśród 41 wież istnieje 5 takich, spośród których żadne dwie nie atakują się wzajemnie. 3.WtrójkącieABCpunktMjestśrodkiembokuBC.Załóżmy,żepunktyP,Rleżąodpowiednio nabokachab,ac,zaśqjestpunktemprzecięciaodcinkaamzodcinkiempr.wykaż,żejeśli punktqjestśrodkiemodcinkapr,wówczaspr BC. 4.Dlaliczbynaturalnejnniechg(n)oznaczanajwiększąpotęgę2,zjakąwchodzionadorozkładun naczynnikipierwsze.dlaprzykładug(20)=4,g(15)=0,g(16)=16itd.załóżmy,żepjestliczbą pierwszą. Wyznaczyć wszystkie takie p, że suma 2 p 1 k=1 jest kwadratem liczby naturalnej. g(2k)=g(2)+g(4)+g(6)+...+g(2 p ) Konkurs- dzień drugi 1. Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości 1. Niech P będzie dowolnym punktem na przeciwprostokątnej AB, zaś Q, R niech będzą rzutami prostokątnymipunktupnaprzyprostokątneac,bc.rozważmypolatrójkątów:apqorazpbr,jak również pole prostokąta QCRP. Wykaż, że niezależnie od wyboru P największe z tych pól równe jest co najmniej 2/9. 2. Udowodnij, że z dowolnego zbioru dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych(w zapisie dzięsiętnym) możliwy jest wybór dwóch niepustych i rozłącznych podzbiorów, których suma elementów jest identyczna. [ ] 3.Udowodnij,żedlax>1zachodzirówność: [ x] = [ x ].

4 4.DanyjesttrójkątprostokątnyrównoramiennyABC,przyczym A=90.PunktEjestśrodkiem bokuac,zaśfjesttakimpunktemnabokubc,żeef BE.Załóżmy,że AB =1.Obliczpole trojkąta CEF. Konkurs- dzień trzeci 1. Załóżmy, że liczba trzycyfrowa abc dzieli sie przez 37. Udowodnij, że także liczba bca jest także podzielnaprzez37.wskazówka:999= Udowodnij,żedladowolnychx,y Rzachodzinierównośćx 4 +y 4 +88xy. 3. Dany jest skończony zbiór X punktów na płaszczyźnie o tej własności, że pole każdego z trójkątów, którego wierzchołki należą do X jest mniejsze od 1. Wykazać, że wszystkie punkty zbioru X zmieścić możnawewnątrzlubnabrzegutrójkątaopolu4. 4. Niech n będzie liczbą naturalną. Rozważamy sumę S(n) odwrotności wszystkich(niezerowych) cyfr występujących w zapisie dziesiętnym wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Dla przykładu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S(12) = Znaleźćnajmniejszentakie,żeS(10 n )jestliczbąnaturalną. Rozwiązania- grupa młodsza Rozwiązania zadań z pierwszego dnia 1. Niech n będzie liczbą całkowitą większą od 2. Wykazać, że wśród ułamków ułamków nieskracalnych jest parzyście wiele. Rozwiązanie.Zauważmy,żejeśliułamek k n 1 n, 2 n,... n 1 n jestnieskracalny,totakżeułamek n k n jest nieskracalny.zatemwszystkieteułamkinieskracalne,dlaktórych n k n k n możnapodgrupowaćwpary. Równość n k n = k n niemożezachodzićdlaułamkanieskracalnegoprzyn>2.oznaczaonabowiem, że2k=n,awięcskoron>2,toułamek k n jestskracalny.sprzecznośćtapokazuje,żewszystkie ułamkinieskracalnemożnaustawićwpary.jestichzatemparzyściewiele. 2. Znajdź resztę z dzielenia przez 1000 liczby: }{{}. 999 cyfr Rozwiązanie. Zauważmy, że iloczyn = Zatem reszta z dzielenia powyższego ilocznuprzez1000jesttakasama,jakresztazdzieleniailoczynu ,awięc109.

5 3. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, przy czym AB = AC. Niech D będzie punktem należącymdobokuab,zaśeniechbędzietakimpunktemnaprzedłużeniubokuac,że BD = CE. OdcinekDEprzecinabokBCwpunkcieG.Wykazać,że DG = GE. Rozwiązanie.NiechFbędzietakimpunktemnabokuBC,żeDF AE. Wówczasrównesąmiarykątów FDG= CEGoraz DGF= EGC.SkorozaśtrójkątABC jestrównoramienny,to BFD= BCA= DBF,awięc DF = DB = CE.Stądnamocy cechykąt-bok-kąttrójkątydfgorazecgsąprzystające,awięc DG = GE. 4. Dana jest siatka złożona z 16 punktów ułożonych w czterech rzędach i czterech kolumnach, przy czym odległość pomiędzy każdym rzędem i kolumną wynosi 1. Powiemy, że łamana jest rosnąca jeśli kolejne jej odcinki składowe mają coraz większą długość. Z ilu najwięcej odcinków może się składać łamana rosnąca o wierzchołkach położonych na powyższej siatce? Ile jest takich łamanych? Rozwiązanie. Zauważmy, że możliwych jest tylko 9 odległości pomiędzy punktami rozważanej siatki: 1< 2<2< 5<2 2<3< 10< 13<3 2. A więc najdłuższa łamana może mieć max 9 odcinków składowych(w szczególności nie może być to łamana zamknięta). Czy łamana taka istnieje? Z łatwością przekonamy się, że tak. Policzymy od razu ile ich jest. Ważne jest by pamiętać, że tworząc taką łamaną nie możemy wrócić do wierzchołka, w którym już byliśmy. Dla ułatwienia ponumerujmy wierzchołki naszej siatki. Zaczniemy od końca, a więc od najdłuższego odcinka. Możemy go wybrać na 4 sposoby, bo musimy połączyć przeciwległe wierzchołki siatki. Załóżmy, że startujemy z 1 do 16. To był pierwszy odcinek. Wybierającdrugiodcinekmamytylkodwiemożliwościodległeo 13 sątopunkty2lub5.możemy założyć, że idziemy do punktu 2(każdą łamaną, która powstaje w tym momencie przez pójście

6 do 5 możemy przez symetrię względem przekątnej przerobić na łamaną, która idzie w tym kroku przez2). Zpunktu2musimy,wtrzecimkroku,wykonaćodległość 10 znowusądwiemożliwości:13lub 15.Jeślijednakpójdziemydo13,topotemniedasiępójśćo3dojakiegokolwiekpunktu,którynie byłbyjużzajęty.zatemwtrzecimkrokumusimyiśćz2do15. Wnastępnychkrokachniemawyboru:o3możemyprzejśćtylkozpunktu15do3.Potemz3 możemypójśćo2 2tylkodo9,apotemmusimyiśćdopunktów7(o 5),potemdopunktu5 (o2)iwreszciedo10(oodległość 2).Tuzostajeostatnikrok,którymożemywykonaćna3sposoby. Zatemłączniemamyilemożliwości?Napoczątku4opcje(przywyborzeodcinkadługości3 2), potem2opcje(przywyborzetrasyo 13)i3opcjenasamymkońcu.Łącznie24możliwetrasy. Rozwiązania zadań z drugiego dnia 1. Znajdź największą wielokrotność liczby 360 o tej własności, że jej zapis dziesiętny składa się z parami różnych cyfr parzystych. Rozwiązanie.Skorowszystkiecyfrymusząbyćparamiróżne,tomamydowyboru0,2,4,6,8. Wiemy, że szukana liczba będzie podzielna przez 9(dlaczego?), a więc suma cyfr musi być podzielna przez9.alesuma =20inietrudnowidzieć,żejedyniewyrzuceniedwójkidaje namwielokrotność9.stądcyfryjakiemożemyużyćto0,4,6,8.największaznichto8640iona jestwielokrotnością Udowodnij,żerównanieb 2 +b+1=a 2 niemarozwiązańwliczbachcałkowitychdodatnich. Rozwiązanie.Załóżmy,żejestjakieśrozwiązanie.Wtedyb+1=a 2 b 2 =(a b)(a+b).skoro b+1>0,toa b>0,awięcb+1a+b.alejeslia=1,tob 2 +b=0,coniemarozwiązańw liczbachcałkowitychdodatnich. 3.DanyjesttrójkątrównobocznyABCobokudługości1.NiechDbędzieśrodkiembokuBC.Na bokachab,acobieramypunktye,ftakie,że EDF=90.Udowodnić,że BE + CF > EF.

7 Rozwiązanie. Chcemy dokonać takiego przekształcenia, aby długości odcinków BE, CF, oraz EF odnaleźćnajednymtrójkącie.obracamytrójkątcdfo180 wkierunkuprzeciwnymdoruchu wskazówek zegara wokół punktu D. Wówczas wierzchołek C przechodzi na B, D zostaje w miejscu, zaśflądujewpunkcie,któryoznaczmyprzezg.wtensposób CF = BG.Pozostajewykazać, że EG = EF i dowód wynikać będzie z nierówności trójkąta. Zauważmy jednak, że trójkąty EFDorazEGDsąprzystającenamocycechybok,kąt,bok.Istotnie, FD = GD,bokEDjest wspólny, zaś kąt pomiędzy odpowiadającymi sobie bokami jest prosty. Stąd: BE + CF = BE + BG > GE = EF. 4. Na płaszczyźnie znajduje się 2011 punktów białych i 2011 punktów czarnych. Położone są tak, że każdy odcinek łączący punkty tego samego koloru zawiera także punkt drugiego koloru. Udowodnij, że istnieje taka prosta l, która zawiera wszystkie punkty białe i wszystkie punkty czarne. Rozwiązanie.O wyróżnionych 2011 punktach białych i 2011 punktach czarnych będziemy mówili: kolorowe. Załóżmy, że istnieją trzy kolorowe punkty, które nie leżą na jednej prostej. Nazwijmy je X, Y, Z. Załóżmy, że ze wszystkich takich niepokojących przypadków(a więc takich trójek, które nie leżą na jednej prostej) akurat trójkąt XY Z ma najmniejsze pole. Innymisłowy,jeślipewnetrzykolorowepunktyX,Y,Z nieleżąnajednejprostej,topoletrójkąta XYZjestmniejszeniżpoletrójkątaX Y Z.DwazpunktówX,Y,Zmusząbyćtegosamegokoloru. Możemyzałożyć,żesątoX,Yiżeichkolorjestbiały.WówczaswewnątrzodcinkaXYleżyjakiś czarny punkt G. Ale w ten sposób dostajemy trójkąt XGZ, który ma kolorowe wierzchołki a jego polejestmniejszeniżpoletrójkątaxyz.stądsprzecznośćzwyborempunktówx,y,z. Rozwiązania zadań z trzeciego dnia 1.Znajdźwszystkieliczbytrzycyfrowenotejwłasności,żesumacyfrliczbyn+3jest 1 3 sumycyfr liczby n. Rozwiązanie.Niechn=abc.Zauważmy,żeliczbac7.Istotnie,wprzeciwnymrazieliczbya,b sięniezmieniąisumacyfrn+3będziewiększaniżsumacyfrn.niechs 0 oznaczasumęcyfrliczby n,zaśs 1 sumęcyfrliczbyn+3.zauważmy,żemożliwesąnastępująceprzypadki: a=b=9.wówczasnmożebyćrówneodpowiednio997,998,999,alewżadnychznichsuma cyfrn+3niejest1/3sumycyfrwn.

8 Jeślia<9,b=9,toS 0 =a+9+c,zaśs 1 =a+1+(c+3 10)=a+c 6/Stąd 3(a+c 6)=a+9+c,awięc2(a+c)=27.Sprzeczność. Jeślib<9,toS 0 =a+b+c,zaśs 1 =a+(b+1)+(c+3 10)=a+b+c 6.Stąda+b+c=9. Wychodzi: 108, 117, Załóżmy,żedanyjesttrójkątobokachdługościa,b,c.Czyzodcinkówdługości a, b, cdasię stworzyć trójkąt? Rozwiązanie.Należyudowodnić,żespełnionajestnierównośćtrójkąta,awięc a+ b> c. Jest ona równoważna nierówności, którą otrzymamy po podniesieniu obydwu stron do kwadratu: a+b+2 ab>c.alenamocyzałożenia,a+b+2 ab>a+b>c,boa,b,csąbokamitrójkąta. 3. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych kwadratów liczb całkowitych nie może być kwadratem liczby całkowitej. Rozwiązanie.Zauważmy,żepięćkolejnychkwadratówliczbcałkowitychmapostać:(n 2) 2,(n 1) 2,n 2,(n+1) 2,(n+2) 2.Sumatychliczbto5(n 2 +2).Jeśliliczbatajestkwadratem,ton 2 +2 jestpodzielneprzez5.aletooznacza,żecyfrajednościliczbyn 2 wynosi3lub8.aleniematakich kwadratów. 4. Udowodnij, że wśród 7 kolejnych liczb całkowitych istnieja zawsze dwie takie, że ich suma lub różnica jest podzielna przez 10. Rozwiązanie. Korzystamy z zasady szufladkowej. Rozważmy następujące 6 zbiorów reszt z dzieleniaprzez10:{0},{5},{1,9},{2,8},{3,7},{4,6}.będątonaszeszufladki.zauważmy,żejeślidwie liczbydająresztę0zdzieleniaprzez10,toichróżnicadzielisięprzez10.podobniezresztą5: różnica dwóch liczb o reszcie z dzielenia przez 10 równej 5 jest liczbą podzielną przez 10. Wreszcie, jeśli dwie liczby całkowite dają reszty z dzielenia przez 10 należące do jednego z pozostałych 4 zbiorów,toichsumalubróżnicamusibyćpodzielnaprzez10.aleskoromamy7liczb,atylko6 szufladek, to istotnie dwie liczby wpadają(a właściwie ich reszty z dzielenia przez 10) do jednej z 6szufladek.Tokończydowód. Rozwiązania- grupa starsza Rozwiązania zadań z pierwszego dnia 1. Niech n będzie liczbą nieparzystą większą od 1. Udowodnij, że ciąg: ( )( ) ( ) n n n,,..., n zawiera nieparzyście wiele liczb nieparzystych.

9 Rozwiązanie.Pamiętając,żedladowolnegok<nmamy ( ) ( n k = n k ) ito,żeliczbanjest nieparzysta widzimy, że suma elementów wyjściowego ciągu to: [( ) ( ) ( )] 1 n n n = n 1 2 (2n 2)=2 n 1 1. Jest to zatem liczba nieparzysta. Ale to oznacza, że w naszej sumie było nieparzyście wiele składnikównieparzystych(cokończydowód). k wież umieszczono na szachownicy Mówimy, że dwie wieże wzajemnie sie atakują, jeśli stoją one w tym samym wierszu lub kolumnie szachownicy. Pokazać, że wśród 41 wież istnieje 5 takich, spośród których żadne dwie nie atakują się wzajemnie. Rozwiązanie. Korzystamy wielokrotnie z zasady szufladkowej. Wiadomo, że trzeba znaleźć 5 wież, które są w parami różnych wierszach i kolumnach. Pomysł jest taki: znaleźć wiersze z wieloma wieżami.jest10rzędówi41wież,awięcistniejewiersz,nazwijmygoa,gdziejestprzynajmniej5 wież. Dalej, wyrzucamy ten wiersz. Pozbyliśmy się max 10 wież, a więc na pozostałych 9 rzędach stoi max 31 wież. Zasada szufladkowa mówi, że istnieje wiersz, nazwijmy go B, gdzie stoją przynajmniej 4 wieże. Postępując analogicznie znajdziemy 5 rzędów A, B, C, D, E, w których znajduje się odpowiednio przynajmniej 5, 4, 3, 2, 1 wież. W tych rzędach znajdziemy poszukiwane 5 wież nie akakujących sie wzajemnie. Z każdego rzędu będzie pochodziła 1 wieża. Zacznijmy od E i wybierzmy wieżę AA, która powinna tam być. W rzędzie D istnieje więc przynajmniej jedna wieża, którastoiwinnejkolumnieniżaa,nazwijmyjąbb.wrzędziecistniećmusiwieża,którastoi winnejkolumnieniżaaorazbb,nazwijmyjącc.analogiczniewyszukujemywieżeddiee wrzędachd,e.łatwowidać,żekażdedwiewieżezezbioru{aa,bb,cc,dd,ee}pochodząz różnychwierszyizróżnychkolumn. 3.WtrójkącieABCpunktMjestśrodkiembokuBC.Załóżmy,żepunktyP,Rleżąodpowiednio nabokachab,ac,zaśqjestpunktemprzecięciaodcinkaamzodcinkiempr.wykaż,żejeśli punktqjestśrodkiemodcinkapr,wówczaspr BC. Rozwiązanie. Skoro Q, M są środkami odcinków P R oraz BC, to zachodzą następujące równości póltrójkątów:[apq]=[arq],oraz[abm]=[acm].stąd: [APQ] [ABM] =[ARQ] [ACM]. NamocywzorunapoletrójkątaP=absin(α)/2irównościkątów PAQ= BAM, QAR= M AC, dostajemy: AP AQ = AQ AR AB AM AM AC AP AB = AR AC PQ BC.

10 4.Dlaliczbynaturalnejnniechg(n)oznaczanajwiększąpotęgę2,zjakąwchodzionadorozkładun naczynnikipierwsze.dlaprzykładug(20)=4,g(15)=0,g(16)=16itd.załóżmy,żepjestliczbą pierwszą. Wyznaczyć wszystkie takie p, że suma 2 p 1 k=1 jest kwadratem liczby naturalnej. g(2k)=g(2)+g(4)+g(6)+...+g(2 p ) Rozwiązanie.Rozważmyliczby2,4,6,...,2 p izastanówmysięileliczbcałkowitychnatejliście jestpodzielnychprzez2 i,aleniejestpodzielnychprzez2 i+1,dlaitakiego,że1in 1. Wiadomo,że2 p /2 i ztychliczbjestpodzielnychprzez2 i,alewśródnich2 p /2 i+1 sątakżepodzielne przez2 i+1.stądtakichliczbx<2 p,dlaktórychg(x)=2 i jestdokładnie2 p /2 i 2 p /2 i+1.wten sposób nasza suma ma postać: p 1 ( ) 2 2 i p 2p p 1 2i 2 i+1 +2 p = (2 p 2 p 1 )+2 p = i 1 p 1 2 p 1 +2 p =(p 1)2 p 1 +2 p =(p+1)2 p 1. i=1 i=1 Kiedy(p+1)2 p 1 jestkwadratem?napewnoniedlap=2,awięcmożemyzałożyć,żepjest nieparzyste.zatem2 p 1 jestiloczynemparzystejliczbydwójek,azatemwrozkładziep+1na czynnikiliczba2równieżwchodzizparzystąpotęgą.zatemp+1=m 2,dlapewnegomnaturalnego. Stądp=(m 1)(m+1).Skoropjestpierwsza,tom=2.Zatemm=2.Istotnie,dlap=3szukana sumawynosi16. Rozwiązania zadań z drugiego dnia 1. Niech ABC będzie trójkątem prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości 1. Niech P będzie dowolnym punktem na przeciwprostokątnej AB, zaś Q, R niech będzą rzutami prostokątnymipunktupnaprzyprostokątneac,bc.rozważmypolatrójkątów:apqorazpbr,jak również pole prostokąta QCRP. Wykaż, że niezależnie od wyboru P największe z tych pól równe jest co najmniej 2/9. Rozwiązanie.NiechxoznaczadługośćodcinkaBP.Jeślix<1/3lubx>2/3,totezajestoczywista. W przypadku gdy x [1/3, 2/3] trzeba policzyć pole prostkąta i zminimalizować stosowną funkcjękwadratową. 2. Udowodnij, że z dowolnego zbioru dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych(w zapisie dzięsiętnym) możliwy jest wybór dwóch niepustych i rozłącznych podzbiorów, których suma elementów jest identyczna.

11 Rozwiązanie. Dowód polega na zastosowaniu zasady szufladkowej Dirichleta. Rozważmy najpierw prostszy problem: czy możemy zbiór dziesięciu różnych liczb dwucyfrowych podzielić na sumę(niekoniecznie rozłączną) dwóch podzbiorów, których suma elementów jest taka sama? Najmniejsza możliwasumato10,anajwiększato: wszystkichmożliwychsumjestzatem mniej niż Tymczasem wszystkich podzbiorów niewłaściwych zbioru 10 elementowego(a więc różnychodzbiorupustegoicałegozbioru)jest2 10 2>1000.Wszczególnościdwapodzbiorywłaściwe dowolnego zbioru 10 elementowego liczb dwucyfrowych muszą mieć tę samą sumę elementów. OznaczmyjeprzezA,B.Niesąonekoniecznierozłączne.Zauważmyjednak,żeżadenznichnie jest zawarty w drugim. Przeczyłoby to założeniu o równości sum elementów tych podzbiorów. W szczególnościa B AorazA B B.Oznaczato,żepousunięciuczęściwspólnejzbioryte będą nadal niepuste. Co więcej będą rozłączne, a suma ich elementów pozostanie taka sama(bo z obydwuusunęliśmytesameelementy-należącedozbiorua B). [ ] 3.Udowodnij,żedlax>1zachodzirówność: [ x] = [ x ]. Rozwiązanie. Z definicji części całkowitej wiadomo, że: [ ] [ ] x x< x +1. [ ] Niech x =n.wówczasn 4 x<(n+1) 4.Stąd: n 2 x<(n+1) 2. Azatemn 2 [ x]<(n+1) 2.Wtensposóbn [ [ ] x]<n+1,awięctakżen [ x] <n+1 Dostajemy zatem: [ [ ] [ ] x x] =n=. 4.DanyjesttrójkątprostokątnyrównoramiennyABC,przyczym A=90.PunktEjestśrodkiem bokuac,zaśfjesttakimpunktemnabokubc,żeef =BE.Załóżmy,że AB =1.Oblicz pole trojkąta CEF. Rozwiązanie. Niech D będzie takim puntem, że kąty ABE oraz CED są równe. Trójkąty ABE orazcedsązatempodobnenamocycechykkk.stądstosunekichpólrównyjestkwadratowi stosunkuodpowiadającymsobiebokówceorazab.zatem4[ced]=[abe].zatem CE CD = AB AE =2.Skoro ECF=45 = DCF,toCFjestdwusiecznąkąta DCE.Wynikastąd,że odległośćpunktufodbokówceicdjestjednakowa.stąd [CEF] [CDF] = CE CD =2.Zatem: [CEF]= 2 3 [CED]= [ABE]= = 1 24.

12 Rozwiązania zadań z trzeciego dnia 1. Załóżmy, że liczba trzycyfrowa abc dzieli sie przez 37. Udowodnij, że także liczba bca jest także podzielnaprzez37.wsk.999= Rozwiązanie.Zzałożenialiczba100a+10b+c=37k,dlapewnegoknaturalnego.Stąd: bca=100b+10c+a=1000a+100b+10c 999a=10(100a+10b+c) 37 27a=37(10k 27a). 2.Udowodnij,żedladowolnychx,y R + zachodzinierównośćx 4 +y 4 +88xy.Czynierówność jestprawdziwajeślix,yniesądodatnie? Rozwiązanie. Zauważmy, że z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną mamy x 4 +y x 4 y 4 16=2xy.Czykoniecznejestzałożenie,żeliczbysązR +?Otóżnie!Zdowodu wynika,żex 4 +y x y 8xy,dladowolnychx,y R. 3. Dany jest skończony zbiór X punktów na płaszczyźnie o tej własności, że pole każdego z trójkątów, którego wierzchołki należą do X jest mniejsze od 1. Wykazać, że wszystkie punkty zbioru X zmieścić możnawewnątrzlubnabrzegutrójkątaopolu4. Rozwiązanie. Rozważmy ten z trójkątów o wierzchołkach wziętych ze zbioru X, którego pole jest największe. Jego wierzchołki to M N Q. Rozważmy teraz trójkąt ABC o tej własności, że punkty M,N,QsąodpowiedniośrodkamibokówMN,NQ,QM.WtensposóbpoletrójkątaABCjest mniejsze niż 4. Tymczasem gdyby jakiś punkt P zbioru X wystawał poza trójkąt ABC, to trójkąt utworzonychzdwóchwierzchołkówtrójkątaabcorazzpunktupmawiększepoleniżabc,co przeczypoczątkowemuwyborowipunktówa,b,c. 4. Niech n będzie liczbą naturalną. Rozważamy sumę S(n) odwrotności wszystkich(niezerowych) cyfr występujących w zapisie dziesiętnym wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Dla przykładu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S(12) = Znaleźćnajmniejszentakie,żeS(10 n )jestliczbąnaturalną. Rozwiązanie.Zauważmy,żerówniedobrzemożemyrozważaćS(10 n 1),bowzapisiedziesiętnym 10 n jestnzerijednajedynka,więcsumaodwrotnościjestnaturalna.ilośćliczbod0do10 n 1 wynosi10 n ikażdąznichmożnazapisaćwpostaciciągunliczbcałkowitych,ewentualniedodając zprzoduzera.naprzykładjeślin=4,toliczbienaturalnej14możnaprzypisaćzapis0014.wten sposóbniezmienimysumys(10 n 1),bozeraitakpomijamy.Tymczasemlepiejzobaczymy,że wśródliczbod }{{} n do }{{} każda cyfra występuje w zapisie dziesiętnym dokładnie tyle samo n

13 razy,awięcskorowszystkichcyfrjestn 10 n,tokażdaznichwystępujedokładnie n 10n 10 =n10 n 1 razy. Zatemnaszasumamapostać:n10 n 1( ) Łatwowidzieć,żen 1,2,3,awięcn10 n 1 jestpodzielnaprzez1,2,4,5,8.widząc,żen10 n 1 ( n10n 1 6 )= 6 N, wystarczy zastanowić siękiedycałkowitajestsuman10 n 1 ( ).Jesttak,gdynjestrówneconajmniej63.

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie

Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa młodsza. Dzień drugi 28.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 8 X 2002 Bukiet 1 Dany jest sześciokąt ABCDEF, którego wszystkie kąty są równe 120. Proste AB i CD przecinają się w punkcie

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

XIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej

XIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej XIII Konkurs Matematyczny o Puchar Dyrektora V LO w Bielsku-Białej 2 grudnia 2010 r. eliminacje czas: 90 minut Przed Tobą test składający się z 27 zadań. Do każdego zadania podano cztery odpowiedzi, z

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017 STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12

WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH 12 Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny analogie między faktami, zaś matematyk genialny analogie między analogiami. Stefan Banach WITAMY SERDECZNIE NA MIĘDZYSZKOLNYCH WARSZTATACH MATEMATYCZNYCH

Bardziej szczegółowo

= a + 1. b + 1. b całkowita?

= a + 1. b + 1. b całkowita? 9 ALGEBRA Liczby wymierne Bukiet 1 1. Oblicz wartość wyrażenia 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1. 2. Znajdź liczby naturalne a, b, c i d, dla których 151 115 = a + 1 b + 1. c + 1 d 3. W podobny sposób spróbuj przekształcić

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

VII POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI. rok szkolny 2016/2017

VII POWIATOWY KONKURS MATEMATYCZNY SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH W POGONI ZA INDEKSEM ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI. rok szkolny 2016/2017 1. 30. Tak 3. ----- 4. Równanie nie ma rozwiązania. Lewa strona nie równa się prawej dla żadnej pary liczb, y ponieważ prawa strona jest nieparzysta a prawa parzysta. Należy wykazać parzystości stron równania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A

XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych zestaw A 1. Istnieje liczba rzeczywista x dla której istnieją jednocześnie wartości rzeczywiste pierwiastków:

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej

3 zawartości szklanki obliczył, że w pozostałej Klasa I - zakres podstawowy Etap rejonowy 07.0.004 rok Zadanie 1 ( pkt ) Uzasadnij, że 7 50 : 81 37 jest liczbą większą od 8. Zadanie ( pkt ) Spośród 40 uczniów pewnej klasy 17 gra w szachy, 1 w brydża,

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania...

Spis treści. Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka Wskazówki Rozwiazania... Spis treści Zadania... 7 Algebra... 9 Geometria... 18 Teoria liczb, nierówności, kombinatoryka... 29 Wskazówki... 39 Rozwiazania... 55 Literatura... 135 Dokument pochodzi ze strony www.gwo.pl 9 ALGEBRA

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (8 X 2002) Zadanie. Znajdź dziesięć kolejnych nieparzystych liczb naturalnych, których suma jest podzielna

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ...... kod pracy ucznia pieczątka nagłówkowa szkoły KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH ETAP SZKOLNY Drogi Uczniu, witaj na I etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok 2015/2016 Etap III wojewódzki

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok 2015/2016 Etap III wojewódzki Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok 2015/2016 Etap III wojewódzki W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut

MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut MATURA PODSTAWOWA nr 1 NOWA FORMUŁA, czas pracy 170 minut Każde zadanie od początku do końca jest mojego autorstwa. Odkąd istnieje nowa matura, każde z zadań rozwiązałem na wiele sposobów. Zaznajomiłem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.

Zadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym. Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3..005 Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich,

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 17 stron

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej

Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej Przypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami prostopadłościanów. 1. Prostopadłościan

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy 0..005 rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt) a b a Wiedząc, że dla b 0. Oblicz b a b Zadanie

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ...

Sprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ... MATEMATYKA Przed próbną maturą Sprawdzian. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 6 Imię i nazwisko... Liczba punktów Procent Przed próbną maturą. Sprawdzian. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo