Politechnika Białostocka. Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu

Transkrypt

1 Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu METROLOGIA Kod przedmiotu: ES1D GRAFICZNA PREZENTACJA WYNIKÓW POMIARÓW Numer ćwiczenia M 00 Białystok 2014

2 3 1. Wprowadzenie Graficzna forma wyników pomiaru, znana najczęściej jako tzw. wykres, posiada istotne zalety, dla których jest powszechnie stosowana. Tak więc pozwala ona szybko ocenić charakter badanego zjawiska, układu, elementu elektrycznego, itp. Pod tym względem jest wprost niezastąpiona. Umożliwia dalej łatwe wychwycenie punktów szczególnych charakterystyki, tzn. punktów zerowych, ekstremalnych, itp. Ważne znaczenie ma również fakt, iż dysponując skończoną liczbą wyników pomiaru, można przez sporządzenie wykresu uzyskać informacje o charakterystyce obiektu dla dowolnego jej punktu z określonego przedziału. Charakteryzowanie właściwości obiektów przy pomocy różnorodnych form graficznych stosowane jest w nauce i technice powszechnie. Należy przy tym podkreślić, że spotykane w dokumentacjach, katalogach i innych opracowaniach wykresy, mają znaczenie nie tylko poglądowe. Bardzo często bowiem są wykorzystywane w praktyce projektowej, eksploatacyjnej, a także w badaniach naukowych jako źródła ścisłych informacji o właściwościach obiektów. Studenci powinni to sobie uświadomić by nie traktować sporządzanych przez siebie wykresów jako czegoś drugorzędnego wobec pomiaru, lub co gorsza, jako oderwanej od laboratoryjnej rzeczywistości pracy artystycznej, co niestety zdarza się nad wyraz często. Budowa układu współrzędnych prostokątnych Przeważająca większość wielkości fizycznych ma charakter ciągły, a ich obrazem graficznym jest linia ciągła występująca w układzie współrzędnych prostokątnych. Układ taki tworzą dwie osie liczbowe wzajemnie do siebie prostopadłe, o wspólnym punkcie początkowym. Oś liczbowa jest obrazem graficznym uporządkowanego zbioru liczbowego z określonego przedziału. Każdemu punktowi prostej przyporządkowana jest tu jedna i tylko jedna liczba. Wobec tego każdej liczbie odpowiada jedna i tylko jedna długość odcinka prostej, będąca odległością danego punktu od punktu zerowego (początkowego) osi. Określanie długości odcinków odwzorowujących poszczególne liczby danego zbioru odbywa się w większości wypadków według następującej formuły.

3 l l x y a x b y (1) 4 gdzie: x, y - liczby ze zbiorów X, Y l, l - długości odcinków odpowiadające liczbom x, y odpowiednio na x y osi poziomej (odciętych) oraz pionowej (rzędnych) a, b - współczynniki proporcjonalności, wyrażające długości odcinków jednostkowych na każdej z osi Zasady wyłożone wyżej ilustruje rys.1. y l y = 4 cm (b= 1cm) y = P(3,4) x l x = 6 cm (a = 2cm) x = 3 Rys.1. Zasada tworzenia układu współrzędnych prostokątnych Tworzenie układu współrzędnych prostokątnych polega więc na obliczaniu długości stosowanych odcinków prostej, a następnie przez ich odkładanie od punktu zerowego każdej osi znajdowanie interesujących nas punktów tej osi. Jest oczywiste, że tak znalezione punkty opisuje się liczbami przedstawianymi graficznie a nie długościami odcinków (rys.1).

4 Papier milimetrowy 5 Do sporządzania układu współrzędnych prostokątnych bardzo przydatny jest tzw. papier milimetrowy. Zawiera on gęstą siatkę utworzoną przez dwie rodziny prostych równoległych, wzajemnie do siebie prostopadłych. Linie prowadzone są w odstępach milimetrowych, a co piąta i co dziesiąta z nich jest wyróżniona większą grubością. Podziałka logarytmiczna Podziałka logarytmiczna znajduje zastosowanie w przypadkach, gdy przedział zmienności wielkości x, y jest bardzo szeroki (rys.2). Gdyby w takich razach konstruować podziałkę według formuły (1), tzn. liniową, punkty odpowiadające małym liczbom byłyby trudne do zidentyfikowania na osi. Na przykład punkt odpowiadający liczbie 10 musiałby leżeć 1000 razy bliżej początku układu współrzędnych niż punkt odpowiadający liczbie Jeśli więc liczbie przyporządkowalibyśmy odcinek długości 15 cm, to liczbie 10 odpowiadać musiałby odcinek 0,015 cm, czyli tylko nieco dłuższy od 0,1 mm. Podziałkę logarytmiczną tworzy się przez przyporządkowanie liczbom odcinków prostej według formuły (2). l x = a log x (2) l y = b log y gdzie: x, y - liczby ze zbiorów X, Y l, l - długości odcinków odpowiadające logarytmom liczb x, y x y odpowiednio na osi poziomej (odciętych) oraz pionowej (rzędnych) a, b - współczynniki proporcjonalności, wyrażające długości odcinków jednostkowych na każdej z osi Podobnie jak poprzednio, również tym przypadku wyznaczone na osi punkty opisuje się przedstawianymi graficznie liczbami. Zasadę takiego odwzorowywania liczb na osiach układu współrzędnych prostokątnych ilustruje rys.2.

5 6 y y = P(10 3,10 4 ) l y = b log(10 4 )= = 4 cm (b= 1cm) x = x l x = a log(10 3 )= 6cm (a= 2 cm) Rys.2. Zasada konstruowania podziałek logarytmicznych na osiach układu współrzędnych prostokątnych. Zauważmy, że na osiach liczbowych nie znajdują swego obrazu liczby z przedziału 0 x <1. Logarytm zera równy jest -, zaś liczbom ułamkowym odpowiadają ujemne wartości logarytmów. Liczb ułamkowych nie odwzorowuje się w tym przypadku, to znaczy w przypadku gdy operuje się wartościami bardzo dużymi, dla których podziałka logarytmiczna została stworzona. Wobec tego za punkt początkowy każdej z osi, a więc i układu współrzędnych przyjmuje się punkt odpowiadający liczbie 1 (log1 = 0). Konstruowanie podziałki logarytmicznej jest dość żmudne, gdy konieczne staje się wyznaczenie na osiach liczb innych niż 10, 100, 1000 itp. Dlatego najczęściej korzysta się z gotowego papieru logarytmicznego. Na papierze takim na obydwu osiach naniesione są punkty wg formuły (2) i dodatkowo prowadzone proste prostopadłe, tworzące gęstą nieregularną siatkę. Na rys.3 przedstawiono układ punktów podstawowej sekwencji (1,10) podziałki logarytmicznej. Odległości między punktami w pozostałych sekwencjach (rys. 4) są identyczne, lecz opisywane liczbami 10, 100, 1000 razy większymi. Jest to zrozumiałe, bowiem log c - log d = log 10c - log 10d

6 Rys. 3. Rozmieszczenie punktów podstawowej sekcji podziałki logarytmicznej Tablica 1 zawiera wartości logarytmów liczb z przedziału (1, 10) i ma na celu ułatwienie ćwiczącym sporządzanie własnych podziałek logarytmicznych. Tablica 1 log 1 = 0,0000 log 2 = 0,3010 log 3 = 0,4771 log 4 = 0,6021 log 5 = 0,6990 log 6 = 0,7782 log 7 = 0,8451 log 8 = 0,9031 log 9 = 0,9542 log 10 = 1,0000 Ponieważ opisywanie punktów dużymi liczbami prowadziłoby do pogorszenia czytelności opisu, w każdej sekwencji stosowany jest opis przy użyciu liczb z przedziału (1,10). Ilustruje to rys. 4. W każdym kolejnym przedziale liczbom tym należy przypisywać wartości dziesięciokrotnie większe niż w przedziale poprzednim. Punktem początkowym osi niekoniecznie musi być liczba 1. Każda z osi może zaczynać się liczbą 10, 100. itd., w zależności od konkretnych potrzeb. W użyciu jest także tzw. papier półlogarytmiczny, na którym na jednej osi (zwykle osi rzędnych) naniesiona jest podziałka liniowa, na drugiej zaś logarytmiczna Papier taki stosowany jest w przypadkach, gdy tylko jedna ze zmiennych funkcji y = f(x) przybiera wartości z bardzo szerokiego przedziału. Samodzielne sporządzanie podziałki logarytmicznej Przystępując do sporządzania podziałki logarytmicznej, należy znać największą wartość wielkości, która ma być odwzorowana na osi. Na tej

7 podstawie określić można potrzebną liczbę n sekwencji podziałki (patrz rys.4), zgodnie z warunkiem X max 10 n skąd log X max n (3) gdzie n - liczba naturalna Najlepiej przy tym zaokrąglić liczbę X max do całkowitej potęgi dziesięciu, a następnie obliczyć zgodnie z (3) liczbę sekwencji podziałki. Jeżeli np. X max = Hz, to zaokrąglając tę wartość do Hz, otrzymujemy zgodnie z (3) n = sekwencja I sekwencja II sekwencja III Rys. 4. Przykład opisu osi zawierającej trzy sekwencje podziałki logarytmicznej Nie zawsze jednak tak duża liczba sekwencji jest potrzebna. Jeśli na osi nie muszą być odwzorowywane np. pojedyncze herce, to wystarczy przyjąć n = 4, a gdy dodatkowo nie muszą być także zaznaczane dziesiątki herców, wtedy n = 3. Kwestia ta zostanie wyjaśniona bliżej w dalszej części instrukcji. Po ustaleniu liczby n, należy zorientować się, jaka długość na osi może być przeznaczona na jedną sekwencję. Zależy to od formatu posiadanego arkusza papieru. Niech długość odpowiadająca jednej sekwencji wynosi L, wtedy długości odpowiadające liczbom z przedziału (1, 10) określone są zależnością, l x = L log x (4) Sporządzając samodzielnie podziałkę logarytmiczną, możemy nanieść na osi te punkty, które są nam potrzebne do sporządzenia wykresu, ale oprócz tego powinniśmy także oznaczyć te punkty standardowe, tzn. spotykane na produkowanym fabrycznie papierze logarytmicznym. Odległości l x obliczone i naniesione dla pierwszej sekwencji, mogą być przeniesione cyrklem lub specjalnym przenośnikiem na pozostałe sekwencje osi, jak wiadomo bowiem, układ punktów dla każdej sekwencji jest taki sam.

8 Formuła (4) pozwala także znaleźć na papierze fabrycznym te punkty, które nie są oznaczone. Należy w tym celu zmierzyć długość L pojedynczej sekwencji. Szczegółowe zasady sporządzania wykresów Niech dane będą dwa zbiory wyników pomiaru wielkości y, x, o których wiadomo, że istnieje między nimi związek y = f(x). Należy na podstawie tej ograniczonej liczby danych pomiarowych wykreślić linię ciągłą, która stanowiłaby obraz graficzny funkcji y = f(x). Zadanie to należy wykonać według następujących zasad. 1. Dokonać analizy otrzymanych z pomiaru wyników i zdecydować o wyborze potrzebnego papieru (milimetrowego, logarytmicznego, czy półlogarytmicznego). 2. Zarysować lekko ołówkiem na posiadanym arkuszu papieru ramy wykresu, pamiętając o konieczności pozostawienia z jego lewej strony marginesu o szerokości 3 cm., z prawej zaś - ok. 1,5 cm, jak też pozostawieniu wolnego miejsca u góry (tytuł) i u dołu wykresu (podpisy, objaśnienia). Można np. zaplanować wykres na planie kwadratu, albowiem wskazane jest aby obie osie układu współrzędnych miały zbliżone do siebie długości. Określanie obydwu współrzędnych punktów wykresu jest wtedy obarczone jednakowymi błędami względnymi. 3. Narysować obydwie osie układu i oznaczyć na nich taką ilość punktów równo od siebie odległych, jaka się zmieści. Jeżeli posługujemy się papierem milimetrowym, to niezależnie od jego formatu, poleca się oznaczenie punktów co 5, 10 lub 20 mm. Mniej korzystne są odległości 15 mm, ze względu na późniejsze trudności przy interpolowaniu (nieprzyjemne dzielenie przez 15). Wybrane punkty oznaczamy krótkimi (2mm), prostopadłymi od osi kreskami skierowanymi ku wnętrzu układu współrzędnych. 4. Opisać liczbami oznaczone punkty osi. Zadanie to wymaga wyczucia i doświadczenia. Można polecić tu następujące zasady: a) nie wszystkie oznaczone punkty osi muszą być wykorzystane. b) nie wszystkie punkty oznaczone na osi muszą być opisane liczbami, można np. opisać co drugi oznaczony punkt, unikając w ten sposób nadmiernego zagęszczenia liczb. c) opis powinien zapewniać łatwość interpolacji, tzn. określania liczb dla punktów położonych między dwoma sąsiednimi punktami opisanymi. 9

9 d) wartość ostatniego opisanego punktu powinna nieznacznie przekraczać maksymalny wynik pomiaru. Przykład 1 Jeżeli przy zdejmowaniu pewnej charakterystyki, zmieniano napięcie do zera do 220V, to oś napięć może być przykładowo opisana tak, jak pokazuje rys V U V V Rys.5. Możliwe warianty opisu osi układu współrzędnych. 5. Jeżeli liczby opisujące oś są zbyt duże (np. 1500) lub zbyt małe (np. 0,0002), co może pogorszyć czytelność opisu, wskazane jest dziesięcio-, stu- lub tysiąckrotne (najwłaściwsze) zmniejszenie ich lub zwiększenie, a w ślad za tym umieszczenie na końcu osi stosownego mnożnika, albo zmiana jednostki miary danej wielkości, tak jak to pokazano na rys ,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 x10-3 A 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 ma Rys. 6. Przykład opisu osi z zastosowaniem mnożnika 6. Początkowy punkt osi nie musi być koniecznie opisany zerem. Jeżeli wyniki pomiarów zawierają się w przedziale liczbowym nie zawierającym zera i odległym od niego, to początek osi może być opisany liczbą bliską najmniejszemu wynikowi pomiaru. I I U U

10 7. W koniecznych przypadkach dopuszczalne jest stosowanie innej skali na półosi dodatniej, innej zaś na półosi ujemnej. Jest to na przykład konieczne przy wykreślaniu charakterystyki prądowo-napięciowej diody Zenera. 8. Obowiązuje zasada, iż nad osią odciętych ( na jej końcu) umieszcza się symbol wielkości, pod osią zaś - symbol jednostki (patrz rys.5 i rys. 6). Dla osi rzędnych zasada ta brzmi - z lewej strony osi symbol jednostki - z prawej - symbol wielkości. Liczby umieszcza się z lewej strony osi rzędnych i pod osią odciętych. 9. W przypadku papieru logarytmicznego lub półlogarytmicznego, jesteśmy bardziej ograniczeni w wyborze, jako że punkty osi układu zastajemy już opisane. Jak już wyjaśniano, na papierze takim znajduje się kilka identycznych sekwencji punktów (rys.4). Użytkownik korzystać może z jednej lub więcej sekwencji, przypisując ponadto zastanym liczbom wartości 10 k krotnie większe (k = 1,2,3,...). Kwestię tę wyjaśniają podane niżej przykłady. Przykład 2 Podczas badań pewnego obiektu, zmieniano częstotliwość napięcia podawanego na jego wejście. Zanotowano przy tym następujące częstotliwości: 5, 10, 20, 40, 60, 80,100, 200, 400, 600, 800, 1000 Hz. Sposób wykorzystania podziałki logarytmicznej jest tu jasny. Pojedynczym hercom przypisać należy punkty z I sekwencji, dziesiątkom herców punkty z II sekwencji, zaś setkom herców - z III sekwencji. W tej ostatniej znajdzie odwzorowanie także częstotliwość 1000 Hz (jako ostatni punkt). Przykład 3 W podobnym do opisanego doświadczeniu zanotowano następujące częstotliwości: 500, 1000, 5000, , , Hz. Jeżeli do dyspozycji mamy podziałkę logarytmiczną z rys. 4 (jest tu wystarczająca), to liczbom z I sekwencji należy przypisać wartości 100 razy większe od podanych, zaś liczbom z każdej następnej sekwencji dziesięciokrotnie większe od wartości liczb z sekwencji poprzedniej (pierwszy punkt osi oznaczyć trzeba wtedy liczbą 100). 11

11 12 Sposób nanoszenia punktów i kreślenia krzywej Punkty wykresu nanosi się ostrym, niezbyt miękkim ołówkiem, odciskając najpierw jego ślad punktowy, a następnie przekreślając go niewielkim krzyżykiem. Przez naniesione punkty prowadzi się linię ciągłą, prowadząc ołówek przy krzywiku. Krzywik (jeden z trzech występujących zwykle w komplecie) powinien obejmować co najmniej trzy punkty, zaś kreślona krzywa powinna być doprowadzona do połowy odległości między dwoma sąsiednimi punktami. Jej dalszy odcinek może być kreślony przy innym położeniu krzywika. Poszczególne odcinki powinny tworzyć łącznie gładką, pozbawioną jakichkolwiek załamań linię ciągłą. Gdyby objęcie krzywikiem trzech punktów było niemożliwe, należy prowadzić krzywą między punktami tak, aby w końcowym rezultacie po obu stronach wykreślonej linii znajdowała się w przybliżeniu taka sama liczba punktów. Można w tym przypadku stosować technikę polegającą na łączeniu sąsiednich punktów pomocniczymi odcinkami prostej, a następnie prowadzeniu krzywej przez środki tych odcinków. Wszystkie pomocnicze linie muszą być znacznie słabiej widoczne niż krzywa wykresu. Jeżeli we wspólnym układzie współrzędnych ma być wykreślonych kilka krzywych, można je wyróżnić kolorami, nie zakrywając jednak obrazu kreślonego ostrym ołówkiem.. Poza tym poszczególne krzywe można odróżnić stosownymi przepisami prowadzonymi równolegle do tych krzywych lub w inny czytelny sposób. Pod wykresami powinien znaleźć się stosowny podpis oraz dodatkowe objaśnienia, jeśli potrzebne to jest do właściwego zrozumienia wykresów. Przedstawione w tej instrukcji zasady, nie wyczerpują wszystkich zagadnień związanych z graficznym przedstawianiem wyników pomiarów. Wynika to m.in. z mnogości przypadków, z jakimi można się spotkać w praktyce pomiarowej. Swoje umiejętności w tej dziedzinie należy doskonalić przez uważne śledzenie wykresów zamieszczonych w dobrych wydawnictwach naukowych i technicznych.

12 13 2. Przebieg ćwiczenia Studenci wykreślają, zgodnie z poznanymi zasadami, krzywe wynikające z przedstawionych niżej wyników pomiarów zawartych w Tablicy 2 oraz Tablicy 3. Wykonane prace podlegają ocenie i decydują o zaliczeniu ćwiczenia. Zadanie 1 Wykreśl charakterystykę I = f(u) na podstawie wyników pomiaru zawartych w Tablicy 2. Tablica 2 U V 0 1,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 10,5 I ma 0 2,3 3,6 5,9 6,6 8,4 8,3 9,3 Zadanie 2 Wykreśl charakterystykę R = f(i) na podstawie wyników pomiaru zawartych w Tablicy 3. Tablica 3 I ma R ,5 54,5 43,5 33,8 25,5 19,1 14,3 11,2 10

13 14 Zadanie 3 (studenci samodzielnie sporządzają podziałkę logarytmiczną) Wykreśl funkcję y = x 2 dla następujących wartości argumentu x: Tablica 4 x Każdy z trzech wykresów należy zamieścić na oddzielnym arkuszu papieru milimetrowego, opisać zależnością funkcyjną, której jest on obrazem, a także podać nazwisko i imię autora. 3. Literatura Jako literaturę poleca się wszelkie techniczne wydawnictwa książkowe oraz czasopisma, w których zwrócić należy uwagą na zamieszczone tam przykłady graficznego przedstawiania zależności funkcyjnych.