Optymalizacja 1 A. Strojnowski 1. 1 Wprowadzenie. Zagadnienie diety. Zagadnienie transportowe:

Transkrypt

1 Optymalizacja 1 A Strojnowski 1 1 Wprowadzenie Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przykªadów zada«optymalizacji liniowej Zagadnienie diety Jak wymiesza pszenic, soj i m czk rybna by uzyska najta«sz mieszank zapewniaj c wystarczaj c zawarto± w glowodanów, biaªka i soli mineralnych dla kurcz t Zapotrzebowanie, zawarto± skªadników i ceny przedstawia nast puj ca tabela: w glowodany biaªko sole mineralne cena pszenica 0, 8 0, 01 0, zª/t soja 0, 3 0, 4 0, zª/t m czka 0, 1 0, 7 0, zª/t zapotrzebowanie 0, 3 0, 7 0, 1 Rozpoczynamy od wyznaczenia zmiennych Niech x i oznacza wag i-tego skªadnika w mieszance Funkcj celu jest min x 0 = 300x x x 3 - czyli koszt mieszanki Ograniczenia s dwojakiego typu a) W mieszance musi by wystarczaj co ka»dego ze skªadników: 0, 8x 1 + 0, 3x 2 + 0, 1x 3 0, 3 0, 01x 1 + 0, 4x 2 + 0, 7x 3 0, 7 0, 15x 1 + 0, 1x 2 + 0, 2x 3 0, 1 b) Waga u»ywanych skªadników jest nieujemna x 1 0 x 2 0 x 3 0 Podsumowuj c Szukamy najmniejszej warto±ci funkcji trzech zmiennych x 0 : R 3 R ograniczonej do podzbioru R 3 zwanego obszarem dopuszczalnym Zadanie to nazywamy liniowym, bo funkcja celu x 0 zale»y liniowo od zmiennych x 1, x 2, x 3 i obszar dopuszczalny opisany jest zbiorem nierówno±ci liniowych Zagadnienie transportowe: Mamy 3 hurtownie i 5 sklepów Koszt transportu jednostki towaru

2 Optymalizacja 1 A Strojnowski 2 z i - tej hurtowni do j - tego sklepu przedstawia tabela Koszt s1 s2 s3 s4 s5 poda» h h h popyt Jak zorganizowa transport,»eby koszt byª minimalny? Wprowad¹my zmienne x ij opisuj ce ilo± towaru przewo»onego z i - tej hurtowni do j - tego sklepu Niech a ij oznacza koszt przewiezienia jednostki towaru przewo»onego z i - tej hurtowni do j - tego sklepu Jako funkcj celu przyjmijmy: min x 0 = 3 5 i=1 j=1 a ijx ij Rozpatrzmy przypadek gdy zadanie jest zbilansowane, czyli gdy poda» = popyt Wtedy warunkami ograniczaj cymi s : 5 j=1 x 1j = 10, 5 j=1 x 2j = 31, 5 j=1 x 3j = 20, 3 i=1 x 1i = 10, 3 i=1 x 2i = 10, 3 i=1 x 3i = 20, 3 i=1 x 4i = 10, 3 i=1 x 5i = 11 Ponadto nie mo»na przewozi ujemnej liczby towarów - a wi c: i,j x ij 0 Czasami towary s podzielne jak pr d czy woda, ale cz sto dodajemy warunek,»e zmienne s liczbami caªkowitymi - czyli dodajemy warunki: i,j x ij Z Dylemat stolarza Stolarz ma zamówienie na 11 póªek o ksztaªcie jak na rysunku: Ile desek o dªugo±ci 220 cm potrzebuje na wykonanie zamówienia? Na pocz tku ustalamy sposoby ci cia desek: i 60 cm 40 cm Wprowadzamy zmienne: x i - liczba desek ci tych i-tym sposobem Teraz matematyczny model zagadnienia wygl da nast puj co: min x 0 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4

3 Optymalizacja 1 A Strojnowski 3 3x 1 + 2x 2 + x 3 11 x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 5x 4 22 i x i 0, x i Z Zadania tego typu wyst puj cz sto w realnym»yciu gdy» huty dostarczaj do fabryk pr ty okre±lonej dªugo±ci, które trzeba oszcz dnie poci lub ta±m, z której trzeba wykroi detale Jak widzimy w zadaniach optymalizacji liniowej opisuj ce obszar dopuszczalny s równaniami lub nierówno±ciami liniowymi Do pewnego stopnia te typy warunków s wymienne Równo± n i=1 a ix i = b mo»na zast pi ukªadem nierówno±ci { n i=1 a ix i b n i=1 a lub ix i b { n i=1 a ix i b n i=1 a ix i b Podobnie nierówno± a 1 x 1 + a 2 x a n x n b mo»na zast pi ukªadem: { a1 x 1 + a 2 x a n x n + x n+1 = b x n+1 0 Podobnie warunki minimum i maksimum w funkcji celu mo»na stosowa wymiennie gdy»: min{x 0 = f(x) x S} = max{y 0 = x 0 = f(x) x S} 2 Zbiory wypukªe i zbiory domkni te Zagadnienie optymalizacji polega na znalezieniu minimum lub maksimum funkcji f : X R, gdzie X jest podzbiorem R n zwanym obszarem dopuszczalnym Od zbioru X wymagamy by byª domkni ty i wypukªy Zaczniemy od opisania najwa»niejszych wªasno±ci zbiorów wypukªych i domkni tych Denicja 21 Podzbiór A R n nazywamy domkni tym je»eli granica ka»dego zbie»nego ci gu punktów z A nale»y do zbioru A Lub równowa»nie: Je»eli punkt p nie nale»y do A to istnieje ε 0 taki,»e kula o ±rodku p i promieniu ε jest rozª czna z A Symbolami zapisujemy to: p / A ε>0 K(p, ε) A = B dziemy te» u»ywa znanego twierdzenia o zbiorach domkni tych Twierdzenie 22 Cz ± wspólna zbiorów domkni tych jest zbiorem domkni tym

4 Optymalizacja 1 A Strojnowski 4 Denicja 23 Domkni ciem zbioru A R n nazywamy zbiór A = {B A B B domkni ty} czyli najmniejszy zbiór domkni ty zawieraj cy A Jedn z najwa»niejszych wªasno±ci obszaru dopuszczalnego jest wypukªo± Denicja 24 Wypukªo± Podzbiór A R n jest wypukªy je±li wraz z ka»dymi dwoma punktami zawiera odcinek ª cz cy je, czyli: p,q A pq A Odcinek pq mo»emy zapisa jako pq = {p + r pq : r [0, 1]} = {p + r(q p) : r [0, 1]} = = {p + rq rp : r [0, 1]} = {(1 r)p + rq : r [0, 1]} Ostatni zapis czytamy: pq jest zbiorem kombinacji wypukªych punktów p i q Denicja 25 Brzegiem zbioru A R n nazywamy zbiór A = {p R n ε>0 q1,q 2 q 1 K(p, ε) A, q 2 K(p, ε) \ A} Twierdzenie 26 Podzbiór A R n jest domkni ty zawiera swój brzeg, czyli: A = A A A wtedy i tylko wtedy gdy Niech p A Wtedy istnieje ε > 0 taki,»e K(p, ε) A = St d p A Niech p A Poniewa» p A wi c istnieje ε > 0 taki,»e K(p, ε) A = St d A = A Denicja 27 Póªprzestrzeni w R n nazywamy zbiór rozwi za«nietrywialnej nierówno±ci liniowej, a zatem zbiór postaci: H = {(x 1, x n ) R n : a 1 x 1 + a 2 x a n x n b} Twierdzenie 28 Brzegiem H póªprzestrzeni H = {(x 1, x n ) R n : a 1 x 1 + a 2 x a n x n b} jest hiperprzestrze«h = {(x 1,, x n ) R n : a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b} Niech D = {(x 1,, x n ) R n : a 1 x 1 +a 2 x 2 ++a n x n = b} i p D Poniewa» D H wi c >0 p K(p, ε) A Ponadto je±li p = (p 1, p 2, p n ) i a j 0 to ε>0 p + (0, 0,, ε a j 2a j, 0,, 0) K(p, ε) \ A Zatem D H Niech teraz p D Wtedy odlegªo± ϱ(p, D) = a 1p 1 +a 2 p 2 ++a np n b > 0 a 2 1 +a2 2 ++a2 n wi c dla 0 < ε < ϱ(p, D), K(p, ε) A = gdy p H i K(p, ε) A gdy p H St d H D

5 Optymalizacja 1 A Strojnowski 5 Twierdzenie 29 Póªprzestrze«jest zbiorem wypukªym i domkni tym Dowód domkni to±ci otrzymujemy jako wniosek z dwóch ostatnich twierdze«dowód wypukªo±ci Niech p = (p 1, p 2, p n ) i q = (q 1, q 2, q n ) H Niech r [0, 1] Poka»emy,»e rp + (1 r)q H n i=1 a i p i b s i=1 a i (rp i ) rb n i=1 a i q i b n i=1 a i((1 r)q i ) (1 r)b n i=1 a i [rp i + (1 r)q i ] b rp + (1 r)q H Twierdzenie 210 Cz ± wspólna zbiorów wypukªych jest zbiorem wypukªym Niech A = i A i b dzie przeci ciem zbiorów wypukªych We¹my dwa punkty p i q ze zbioru A Wówczas i p A i oraz q A i z wypukªo±ci wynika,»e odcinek pq A i i wobec dowolno±ci i pq A Przedstawimy teraz szereg faktów o rozdzielaniu zbiorów domkni tych Lemat 211 Niech A b dzie zbiorem wypukªym i domkni tym i p R n \A Wtedy istnieje dokªadnie jeden punkt q A taki»e odlegªo± ϱ(p, q) = ϱ(p, A) = inf ϱ(p, q) q A We¹my dowolny punkt x A Rozpatrujemy A K (p, ϱ(p, x)) = A ϱ(p, A) = ϱ(p, A ) - bez zmniejszenia ogólno±ci mo»emy przyj,»e A jest zwarty Niech q 1, q 2, b dzie takim ci giem punktów A»e limϱ(p, q i ) = ϱ(p, A) i Je±li A jest zwarty to z q n mo»emy wybra podci g q i1, q i2, zbie»ny do pewnego q ϱ(p, q) = limϱ(p, q ij ) = ϱ(p, A) i

6 Optymalizacja 1 A Strojnowski 6 Twierdzenie 212 Je±li W jest zbiorem wypukªym i domkni tym za± p / W to istnieje póªprzestrze«h, taka»e W H i p H Niech q W b dzie takim punktem,»e ϱ(p, W ) = ϱ(p, q) Przyjmijmy H = {x R n : x (q p) 1 (q q) 1 (p p)} H jest póªpªaszczyzn 2 2 zawieraj c W a jej brzeg H = {x R n : x (q p) = 1 (q q) 1 (p p)}, 2 2 jak ªatwo policzy, jest symetraln odcinka pq Przypu± my teraz,»e istnieje punkt q 1 A \ H Wtedy na odcinku q 1 q istnieje punkt q 2 H Trójk t p, q, q 1 jest równoramienny a jego najkrótszym bokiem jest pq Zatem wysoko± opuszczona z wierzchoªka p ma spodek q 3 na boku q 1 q Otrzymali±my sprzeczno± bo q 3 ina oraz ϱ(p, q 3 ) < ϱ(p, q) Niech q A b dzie taki,»e ϱ(p, q ) = ϱ(p, q) = ϱ(p, A) Je±li q q to ϱ(p, q+q q+q ) < ϱ(p, A) oraz A, bo A jest wypukªy 2 2 Twierdzenie 213 Ka»dy zbiór wypukªy i domkni ty w R n jest cz ±ci wspóln póªprzestrzeni 3 Przestrzenie aniczne Zbiorowi ci gów n elementowych o wspóªczynnikach rzeczywistych R n mo»na nada struktur przestrzeni liniowej wprowadzaj c dodawanie ci gów ( wektorów ) i mno»enie przez liczby Mo»na te» nada struktur przestrzeni anicznej wprowadzaj c nast puj ce dziaªanie zwane ±rodkiem ci»ko±ci Denicja 31 Niech {p 1, p 2,, p t } b dzie podzbiorem R n Niech r 1, r 2,, r t b d liczbami rzeczywistymi takimi,»e t i=1 r i = 1 Wówczas p = t i=1 r ip i nazywamy ±rodkiem ci»ko±ci punktów p i o wagach r i Branie ±rodka ci»ko±ci ma nast puj ce wªasno±ci: 1) 1p = p 2) t i=1 r ip i = t i=1 r ip i + 0q 3) Je»eli p j = t i=1 r i,jq i i a = k j=1 s jp j to a = k ( j=1 k ) j=1 s jr i,j q i s t j i=1 r i,jq i = t i=1 Denicja 32 Podprzestrzeni aniczn nazywamy podzbiór R n na branie ±rodków ci»ko±ci zamkni ty Twierdzenie 33 Niech W b dzie niepustym podzbiorem R n Wówczas równowa»ne s warunki: 1) W jest przestrzeni aniczn 2) W jest postaci W = p + V, gdzie p W i V jest przestrzeni liniow 3) W jest przestrzeni zbiorem rozwi za«pewnego ukªadu równa«liniowych

7 Optymalizacja 1 A Strojnowski 7 Denicja 34 Ukªadem bazowym przestrzeni anicznej W = p+v nazywamy ci g (p; α 1, α 2,, α n ), gdzie ci g (α 1, α 2,, α n ) jest baz przestrzeni liniowej V Ka»da baza punktowa wyznacza izomorzm aniczny przestrzeni W na R n zadany wzorem: ϕ(p + n i=1 a iα i ) = (a 1, a 2,, a n ) Denicja 35 Niech T b dzie niepustym podzbiorem przestrzeni anicznej R n Symbolem af(t ) oznacza b dziemy podprzestrze«aniczn rozpi t przez T, czyli zbiór wszystkich ±rodków ci»ko±ci punktów z T { To znaczy Je»eli p 0 T to af(t ) = p 0 + lin{ p 0, p ; p T } = p 0 + k i=1 a } { k ip 0, p i ; p T = i=0 a ip i ; p T, a 0 = 1 } k i=1 a i, gdzie ci g a 0, a 1,, a k jest ukªadem wag Denicja 36 Wymiarem zbioru T nazywamy wymiar af(t ) Denicja 37 Niech T b dzie niepustym podzbiorem przestrzeni anicznej R n Symbolem Conv(T ) zbiór wszystkich ±rodków ci»ko±ci punktów z T o wagach nieujemnych { To znaczy Je»eli p 0 T to af(t ) = p 0 + lin{ p 0, p ; p T } = p 0 + k i=1 a } { k ip 0, p i ; p T = i=0 a ip i ; p T, a 0 = 1 } k i=1 a i, gdzie ci g a 0, a 1,, a k jest ukªadem wag Twierdzenie 38 Conv(T ) jest najmniejszym zbiorem wypukªym zawieraj - cym T 1) Wypukªo± Niech p = k i=0 a i p i oraz q = k i=0 b i p i b d dwoma punktami z Conv T Zatem p i T, k i=0 a i = 1 = k i=0 b i oraz a i 0, b i 0 Dowolny punkt odcinka [p, q] jest postaci (1 t)p + tq, gdzie t [0, 1] Teraz (1 t)p + tq = (1 t) k i=0 a i p i + t k i=0 b i p i = k i=0 ((1 t)a i + tb i ) p i Conv(T ) gdy» k i=0 ((1 t)a i + tb i ) = 1 i wspóªczynniki s nieujemne 2) Minimalno± Niech X b dzie zbiorem wypukªym zawieraj cym T Poka»emy przez indukcj wzgl dem dªugo±ci zapisu kombinacji wypukªej,»e ka»dy punkt z Conv(T ) nale»y do X Niech p = k i=0 a i p i Conv T, gdzie p i T, k i=0 a i = 1 oraz a i k = 0 Wtedy p = p 1 T X 2 0 Krok indukcyjny Zakªadamy,»e k > 0 i ka»da kombinacja wypukªa dªugo±ci < k nale»y do X

8 Optymalizacja 1 A Strojnowski 8 Denicja 39 Hiperpªaszczyzn V podpieraj c zbiór wypukªy W w punkcie p nazywamy tak hiperpªaszczyzn V,»e dimv = n 1, p V, W le»y po jednej stronie V to znaczy istnieje taka póªprzestrze«h zawieraj ca W,»e V = H jest brzegiem i p H Inaczej mówi c V jest opisana równaniem V = {x : α x = b}, gdzie α R n i b R s takie,»e x W α x = b b Twierdzenie 310 Je»eli W jest zbiorem wypukªym i domkni tym i p W (p nale»y do brzegu W ) to istnieje hiperpªaszczyzn podpieraj c zbiór W w punkcie p Niech p W Istnieje zatem ci g punktów p 1, p 2, / W taki»e ϱ(p i, p) < 1 i Z ka»dym z tych punktów zwi zujemy pewn hiperprzestrze«rozdzielaj c wyznaczon przez wektory α i oraz liczby b i speªniaj ce warunki: 1 p i α i > b i 2 q W q α i b ({x R n : x α i b i } jest póªprzestrzeni zawieraj c W,której brzeg jest hiperprzestrzeni rozdzielaj c p i oraz W ) 3 α i α i + b 2 i = 1 Przyjmijmy α i = (α i, b) R n+1 Zbiór α 1, α 2, jest zwarty w kuli jednostkowej K(0, 1) R n+1 Poniewa» K(0, 1) jest zwarta, to w ci gu a i mo»emy wybra podci g zbie»ny (ze wzgl dów redakcyjnych przyjmujemy, bez zmniejszenia ogólno±ci,»e α i jest zbie»ny ) Oznacza to,»e zbie»ne te» s ci gi α i oraz b i Przyjmijmy: lim i α i = α lim i b i = b Ponadto lim i α i = α implikuje α = 1 Badamy H = {x : α x b} Dla dowolnego punktu q W α i q b i wi c α q b (bo nierówno±ci t pe zachowuj si przy przej±ciu do granicy) Wi c W H Aby wykaza,»e H jest hiperprzestrzeni podpieraj c W w punkcie p wystarczy pokaza α p = b Poniewa» p W wi c α x b Ponadto p a = lim i p a i lim b i = b i

9 Optymalizacja 1 A Strojnowski 9 4 Wielo±ciany Denicja 41 Wielo±cianem (uogólnionym) w R n nazywamy cz ± wspóln sko«czonej rodziny póªprzestrzeni W szczególno±ci R n jako przeci cie pustej rodziny póªprzestrzeni i s wielo±cianami Tak jak trójk t jest trójk tem niezale»nie cy traktujemy go jako podzbiór pªaszczyzny, przestrzeni 3 - wymiarowej czy wi kszej tak te» nast pne twierdzenie pokazuje,»e poj cie wielo±cianu nie zale»y od wymiaru przestrzeni Twierdzenie 42 Niech W b dzie niepustym podzbiorem przestrzeni anicznych V 1 V 2 Wówczas W jest wielo±cianem w V 1 wielo±cianem w V 2 wtedy i tylko wtedy gdy W jest Przyjmijmy V 1 R n i V 2 R t Wprowad¹my ukªad bazowy (p; α 1, α 2,, α n ) przestrzeni V 1 i rozszerzamy go do ukªadu bazowego (p; α 1, α 2,, α n, α n+1,, α t ) przestrzeni V 2 Teraz je»eli W = k i=1 H i, gdzie H i V 1 s opisane nierówno±ciami H i = {x ; (a i,1, a i,2,, a i,n ) x b i } to w przestrzeni V 2 zbiór W jest opisany ukªadem nierówno±ci: (a i,1, a i,2,, a i,n ) x b i } dla 1 i k oraz x j 0 i x j 0 dla n + 1 j t Niech W = k i=1 H i, gdzie H i s podprzestrzeniami V 2 Teraz W = k i=1 (H i V 1 ) a (H i V 1 ) mo»e by póªprzestrzeni w V 1 lub caª przestrzeni V 1 Denicja 43 cian zbiory wypukªego W nazywamy W V gdzie V jest hiperprzestrzeni podpieraj c Wymiarem ±ciany nazywamy liczb j = dim af(w V ) Wierzchoªkiem nazywamy taki punkt p W,»e istnieje póªprzestrze«h taka»e W H i {p} = H W Kraw d¹ K jest podzbiorem prostej, takim»e K > 1 i istnieje póªprzestrze«h taka»e W H i K = H W Uwaga Zwykle wierzchoªkiem nazywa b dziemy nie tylko zbiór {p} ale tak»e punkt p Twierdzenie 44 Rozpatrujemy zadanie optymalizacji liniowej:

10 Optymalizacja 1 A Strojnowski 10 Max x 0 = c x, gdzie x W i W jest opisane ukªadem nierówno±ci: α 1 x b 1 α 2 x b 2 α t x b t Niech p W b dzie takim punktem,»e α i x = b i, dla i = 1, 2,, j oraz α i x < b i, dla i > j Wówczas: 1) Je»eli dla pewnych liczb rzeczywistych r 1 0, r 2 0,, r j 0 c = j i=1 r iα i to p jest punktem optymalnym tego zadania 2) Je»eli p jest punktem optymalnym tego zadania to H = {x R n ; c x = c p } jest hiperprzestrzeni podpieraj c W w punkcie p Uwaga: Jednym z podstawowych twierdze«teorii dualno±ci jest: p jest punktem optymalnym tego zadania wtedy i tylko wtedy gdy dla pewnych liczb rzeczywistych r 1 0, r 2 0,, r j 0 zachodzi c = j i=1 r iα i Rozpoczynamy od naturalnego faktu Stwierdzenie 45 Niech S = W H b dzie ±cian wielo±cianu W Je»eli S W to dim S < dim W Niech q W \ S Poniewa» H jest przestrzeni aniczn wi c af(s) H i q H Zatem af(s) af(w ) co implikuje dim S < dim W Udowodnimy teraz lemat przygotowawczy: Lemat 46 Niech K H b dzie j-wymiarow kul o ±rodku p zawart w póªprzestrzeni H Je»eli p H to K H Niech q K H q / H Przyjmijmy: H = {x R n α x b} wtedy α q < b i α p = b Ale p = 1q q dla pewnego q K Dochodzimy do sprzeczno±ci, gdy» z jednej strony q K H implikuje α q b za± z drugiej strony α q = α 2p q = 2α p α q = 2b α q > b Denicja 47 Niech H = {x R n : α x b} b dzie póªprzestrzeni Póªprzestrzeni dopeªniaj c nazywamy póªprzestrze«h = {x R n α x b} Stwierdzenie 48 Je»eli H jest póªprzestrzeni to H H = R n i H H = H = H

11 Optymalizacja 1 A Strojnowski 11 Stwierdzenie to prowadzi bezpo±rednio do wniosku Wniosek 49 Niech W = t ka»dego i, S = W H i = W H i i=1 H i R n b dzie wielo±cianem Wówczas, dla jest ±cian lub zbiorem pustym Lemat 410 Niech W = t i=1 H i za± S = W s i=1 H i niepustym podzbiorem Wówczas S jest ±cian W Niech H i = {x R n : α i x b i } Deniujemy póªprzestrze«h = {x R n : i α i x = b i implikuje q H Ponadto S H Niech teraz q H W wtedy warunki i s α i q b i s i=1 α i x s i=1 b i} Oczywi±cie je»eli q W to oraz s i=1 α i q = s i=1 b i implikuj α i q = b i dla i s Zatem S = H W 5 Wierzchoªki i kraw dzie Denicja 51 Niech T R n b dzie niepustym podzbiorem Relatywnym wn trzem zbioru T nazywamy podzbiór rint(t ) = {p T ; ε>0 K(p, ε) af(t ) T } Poj cie relatywnego wn trza jest praktyczniejsze przy badaniu wielo±cianów ni» zwykªe wn trze Np relatywnym wn trzem odcinka w przestrzeni trójwymiarowej jest odcinek otwarty mimo,»e caªy odcinek jest brzegiem Stwierdzenie 52 Je»eli T jest niepustym podzbiorem wypukªym w R n rint(t ) to Lemat 53 Niech p b dzie punktem wielo±cianu W R n, opisanego ukªadem: α 1 x b 1 α x R n 2 x b 2 : α t x b t A p, Dodatkowo zakªadamy,»e równania s tak ustawione by: α i x = b i dla 1 i s; α i x < b i dla s < i t; Oznaczmy liter j liczb n rz A p czyli wymiar przestrzeni opisanej macierz gdzie A p = α 1 α 2 α s, jest podmacierz macierzy opisuj cej W zªo»on z s pierwszych wierszy macierzy opisuj cej W Wówczas:

12 Optymalizacja 1 A Strojnowski 12 1) S = t i=1 H i i s H i jest ±cian wymiaru j i punkt p nale»y do jej relatywnego wn trza 2) p jest ±rodkiem pewnej kuli j-wymiarowej kuli zawartej w W 3) p nie jest ±rodkiem»adnej kuli j wymiarowej kuli zawartej w W Z lematu 410 wynika,»e S jest ±cian Badamy teraz wymiar ±ciany S Niech V b dzie zbiorem rozwi za«ukªadu równa«pochodz cych od s pierwszych nierówno±ci opisuj cych W o macierzy A p Czyli V = {x R n ; 1 i s α i x = b i } Na mocy twierdzenia Kroneckera - Capellego V jest przestrzeni aniczn wymiaru j Z okre±lenia V mamy inkluzj V H Dla punktów z W zachodzi te» przeciwna inkluzja H W V czyli S V Rzeczywi±cie, niech q S α i q b i dla i s oraz s i=1 α i q s i=1 b i implikuje α i q = b i dla i s Otrzymujemy st d oszacowanie wymiaru S dims dimv = j Budujemy kul Istnieje taki ε > 0,»e dla ka»dej póªprzestrzeni H i opisuj cej wielo±cian W, je»eli Q H K(p ; ε) H Teraz K = K(p ; ε) S jest kul o ±rodku p i zawart w póªprzestrzeniach H i, dla i > s Ponadto na mocy lematu 46 K H st d K S W St d dimk = j Podsumujmy: Punkt p jest ±rodkiem pewnej kuli j-wymiarowej kuli zawartej w S W Ad 3) Niech K b dzie kul o ±rodku p zawart w wielo±cianie W Wtedy i s K H i i p H i Na mocy lematu 31 K H W = S St d dim K j Przypu± my teraz,»e wymiar ±ciany S jest wi kszy ni» j Niech q b dzie punktem wewn trznym S Wtedy istnieje kula K o ±rodku w q wymiaru takiego jak ±ciana S Wtedy i s K H i i q H i Na mocy lematu 31 K H W = S St d dim S j A zatem p jest punktem wewn trznym j-wymiarowej ±ciany S Stwierdzenie 54 Niech S = W H b dzie ±cian wielo±cianu W Wówczas S = W af(s) Inkluzja S W af(s) jest oczywista Poniewa» S H i H jest podprzestrzeni wi c af(s) H W af(s) W H = S St d

13 Optymalizacja 1 A Strojnowski 13 Lemat 55 Niech S b dzie ±cian wielo±cianu W = t i=1 H i za± p jej punktem wewn trznym Wówczas S = W p H i H i Niech S = W H, dla pewnej póªprzestrzeni H W Wówczas W = H t i=1 H i i z dowodu poprzedniego lematu S = W H p H i H i W p H i H i = S Do dowodu S = S wystarczy zauwa»y,»e S jest ±cian samego wymiaru co S, gdy» ka»da kula o ±rodku w p zawarta w S jest zawarta w S Bezpo±rednio z lematów 410 i 55 otrzymujemy: Twierdzenie 56 Niech W = t i=1 H i R n b dzie wielo±cianem za± T podzbiorem {1, 2, 3,, t} Wówczas 1) S = t i=1 H i i T H i jest ±cian lub zbiorem pustym 2) Ka»da ±ciana S wielo±cianu W jest postaci S = t i=1 H i p H i H i, gdzie p jest dowolnym punktem z wn trza S Wniosek 57 ciana ±ciany wielo±cianu jest ±cian Popatrzmy jak poprzednie lematy mo»na zastosowa do opisu wierzchoªków Twierdzenie 58 Niech p b dzie punktem wielo±cianu W R n, opisanego ukªadem α 1 x b 1 x R n α : 2 x b 2 α t x b t Dodatkowo zakªadamy,»e równania s tak ustawione by: α i x = b i dla 1 i s; α i x < b i dla s < i t; Wówczas równowa»ne s warunki: 1) p jest wierzchoªkiem wielo±cianu W 2) p nie jest ±rodkiem odcinka zawartego w W 2a) p nie jest nietrywialn kombinacj wypukª punktów z W α 1 3) rz d macierzy A p = n gdzie A p = α 2, jest podmacierz macierzy opisuj cej W zªo»on z s pierwszych wierszy macierzy opisuj cej W α s

14 Optymalizacja 1 A Strojnowski 14 Implikacje 1) 2) 3) 4) wynikaj bezpo±rednio z lematu 54 Implikacja 2) 2a) jest oczywista Dowód 2a) 2) Niech p = t i=1 r ip i b dzie nietrywialn kombinacj wypukª punktów z W To znaczy i r i > 0 i wszystkie punkty s ró»ne Wtedy p = r 1 p 1 + (1 r 1 ) t i=2 r ip i nale»y do wn trza odcinka o ko«cach p 1 i t i=2 r ip i a wi c jest ±rodkiem pewnego mniejszego odcinka zawartego w W Wniosek 59 Wielo±cian ma co najwy»ej sko«czon liczb wierzchoªków Dokªadniej: Je»eli W jest wielo±cianem ( ) w R n opisanym przez t póªprzestrzeni to W t zawiera co najwy»ej wierzchoªków n Algorytm szukania wierzchoªków Z nierówno±ci opisuj cych wielo±cian wybieramy n liniowo niezale»nych Zamieniamy je na równania i rozwi zujemy otrzymany ukªad n równa«poniewa» równania s niezale»ne rozwi zanie jest jednoznaczne Je»eli rozwi zanie speªnia pozostaªe nierówno±ci ( ) to otrzymali±my wierzchoªek t Procedur t mo»emy stosowa razy n Analogicznie mo»emy opisywa kraw dzie Twierdzenie 510 Niech p b dzie punktem wielo±cianu W R n, opisanego ukªadem: α 1 x b 1 α 2 x b 2 α t x b t Dodatkowo zakªadamy,»e równania s tak ustawione by: α i x = b i dla 1 i s; α i x < b i dla s < i t; Wówczas równowa»ne s warunki: 1) p jest punktem wewn trznym kraw dzi wielo±cianu W ( p rint(w ) ) 2) p jest ±rodkiem odcinka zawartego w W ale nie jest ±rodkiem koªa zawartego w W 3) rz d macierzy A p = n 1 gdzie A p = α 1 α 2 α s, jest podmacierz macierzy opisuj cej W zªo»on z s pierwszych wierszy macierzy opisuj cej W Wniosek 511 Wielo±cian ma co najwy»ej sko«czon liczb wierzchoªków Dokªadniej: Je»eli W jest wielo±cianem ( ) w R n opisanym przez t póªprzestrzeni t to W zawiera co najwy»ej wierzchoªków n 1

15 Optymalizacja 1 A Strojnowski 15 Algorytm szukania kraw dzi Z nierówno±ci opisuj cych wielo±cian wybieramy n-1 liniowo niezale»nych Zamieniamy je na równania i rozwi zujemy otrzymany ukªad n-1 równa«poniewa» równania s niezale»ne rozwi zanie jest prosta, nazwijmy j l Aby wyliczy kraw d¹ zawart w otrzymanej prostej przedstawiamy j w postaci parametrycznej l = q + tα, t R Wstawiamy równanie prostej do pozostaªych nierówno±ci i otrzymujemy ( ograniczenia ) na t t Procedur t mo»emy stosowa razy n 1 Algorytm szukania kraw dzi wychodz cych z wierzchoªka p Wypisujemy wszystkie nierówno±ci, które punkt p speªnia jako równo±ci Z tego zbioru n-1 liniowo niezale»nych i dalej jak w poprzednim algorytmie Twierdzenie 512 Niech W R n b dzie wielo±cianem opisanym wzorem W= { x R n : Ax T b } Wówczas równowa»ne s warunki: 1) W zawiera wierzchoªek 2) rza = n 3) W nie zawiera prostej 1) 2) wniosek z poprzedniego twierdzenia Dowód 2) 3) Przypu± my,»e {p + rα : r R} jest prost w W (p, α R n ) r R A = A(p + rα) b n {}} { α 1 b 1 α 2 b = b 2 α t b t t 1 i s α i p + rα b i α i p + rα i α b i r(α i α) b i α i p 1 i s t R r(α i α) b i α i p Ale α i α > 0 r b i α i p α i α a i α < 0 r b i α i p α i α Zatem α i α = 0 i α jest niezerowym rozwi zaniem jednorodnego ukªadu równa«liniowych A[y] = θ Wynika st d,»e wymiar przestrzeni rozwi za«jest 1 Na mocy twierdzenia Kroneckera - Capellego rza < n -sprzeczno±

16 Optymalizacja 1 A Strojnowski 16 3) 1) Ka»demu punktowi p W przyporz dkowujemy najmniejsz liczb naturaln n p, tak,»e p le»y na ±cianie wymiaru n p Niech q W b dzie punktem takim,»e liczba n q jest najmniejsza Bez zmniejszania ogólno±ci mo»na przyj α 1 q = b 1 α 2 q = b 2 α k q = b k α k+1 q < b k+1 α t q < b t Oznacza to,»e indeks α 1 α 2 n q = n rz α k Przypu± my,»e n q 0 czyli rz Wtedy ukªad równa«α 1 α 2 α k α 1 α 2 α k x 1 x 2 x n < n = ma niezerowe rozwi zanie α Zatem prosta {q + tα : t R} α 1 b 1 α 2 b 2 [q + tα] α k b k b 1 b 2 b k speªnia prosta q + tα W {t R; q + tα W } jest wªa±ciwym podzbiorem R Wi c istnieje punkt graniczny t 0 Przyjmijmy,»e t>t0 q + tα / W q + t 0 α W Oznacza to,»e istnieje i > k taki,»e α i q + t 0 α = b i n q + t 0 < n q -sprzeczno± Wniosek 513 Niech = W 1 W 2 b d wielo±cianami Je»eli W 2 zawiera wierzchoªek to W 1 te» zawiera wierzchoªek

17 Optymalizacja 1 A Strojnowski 17 W 2 zawiera wierzchoªek W 2 nie zawiera prostej W 1 nie zawiera prostej W 1 zawiera wierzchoªek Wniosek 514 Niech W R n b dzie opisane W = {x R n ; Ax = b x 0} Wtedy W zawiera wierzchoªek W W 2 gdzie W 2 = {x R n, x 0} czyli x ale rz = n St d W 2 zawiera wierzchoªek, wi c W 1 te» Twierdzenie 515 Niech W R n b dzie wielo±cianem z wierzchoªkiem Niech S b dzie ±cian wielo±cianu W Wówczas S ma wierzchoªek i ka»dy wierzchoªek S jest wierzchoªkiem W Przyjmijmy W = t i=1 H i, S = W H = t i=1 H i H, gdzie H i, H s póªprzestrzeniami, W H i H jest hiperprzestrzeni podpieraj c W w punkcie p; ( p W H) Niech H = {x ; α x b} S jest wielo±cianem wi c na mocy poprzedniego wniosku zawiera wierzchoªek Przypu± my,»e p jest wierzchoªkiem S ale nie jest wierzchoªkiem W Zatem rz d macierzy powstaªej z wektorów opisuj cych te póªprzestrzenie H i,»e p H i jest mniejszy ni» n St d p H Niech q 1, q 2 b d ko«cami odcinka zawartego w W, którego p jest ±rodkiem Przyjmijmy q 1 S W Wtedy p H \ H St d α q 1 < b Ale α q 2 = α (2p q 1 ) = α 2p α q 1 > b Otrzymali±my sprzeczno± bo q 2 W H Bezpo±rednio st d wynika Wniosek 516 Niech W R n b dzie wielo±cianem z wierzchoªkiem Wtedy ka»da kraw d¹ wielo±cianu W zawiera pewien wierzchoªek W Zajmiemy si teraz innym opisem wielo±cianów

18 Optymalizacja 1 A Strojnowski 18 6 Twierdzenia strukturalne Twierdzenie 61 1) Niech p 1, p 2,, p t oraz α 1, α 2,, α k nale» do R n p i traktujemy { jako punkty za± α j jako wektory Wówczas zbiór t S = i=1 r ip i + k j=1 s jα j } t i=1 r i = 1 r i 0 s j 0 jest wielo±cianem 2) Je»eli W jest wielo±cianem { to istniej takie punkty p 1, p 2,, p t oraz wektory α 1, α 2,, α k,»e W = t i=1 r ip i + k j=1 s jα j } t i=1 r i = 1 r i 0 s j 0 3) Je»eli W jest wielo±cianem z wierzchoªkiem, gdzie p 1, p 2,, p t jest zbiorem wierzchoªków W{ za± α 1, α 2,, α k jest zbiorem wektorów kraw dzi nieograniczonych to W = t i=1 r ip i + k j=1 s jα j } t i=1 r i = 1 r i 0 s j 0 Twierdzenie to ma skomplikowany dowód wi c przedstawimy go dopiero po wprowadzeniu teorii dualno±ci Z twierdzenia strukturalnego wynika,»e ka»dy wielo±cian mo»na przedstawi { w postaci sumy algebraicznej Gdy t W = i=1 r ip i + k j=1 s jα j } t i=1 r i = 1 0 i t r i 0 0 j k s j 0 to W = T + S, gdzie T = { t i=1 r ip i t i=1 r i = 1 0 i t r i 0 } { jest wielo±cianem klasycznym za± S = p 1 + } k j=1 s jα j 0 j k s j 0 jest sto»kiem Aby przybli»y twierdzenie przedstawimy przykªad gdy W jest sympleksem: Przykªad 62 Niech p 0, p 1,, p n b dzie ukªadem punktów z R n w poªo»eniu p 0 1 p 1 1 ogólnym, takim»e det > 0 Wówczas W = Conv {p 0, p 1,, p n } p n 1 jest wielo±cianem opisanym ukªadem n + 1 nierówno±ci: x 1 x 2 x n 1 p 1 1 0) det > 0 p n 1 p 0 1 x 1 x 2 x n 1 1) det p 2 > 0, p n 1

19 Optymalizacja 1 A Strojnowski 19 n) det p 0 1 p 1 1 > 0 p n 1 1 x 1 x 2 x x 1 Ponadto zbiorem wierzchoªków W jest {p 0, p 1,, p n } za± kraw dziami s odcinki ª cz ce dowolne dwa wierzchoªki Niech q R n b dzie dowolnym punktem Poniewa» zbiór {p 0, p 1,, p n } jest baz punktow R n wi c istnieje taki ukªad wag {r 0, r 1,, r n }, ( n i=0 r i = 1),»e q = n i=0 r ip i Badamy kiedy punkt q speªnia j-t nierówno± p 0 1 p 0 1 p j 1 1 p j det q 1 = det n i=0 r n ip i i=0 r i = p j+1 1 p j+1 1 p n 1 p n 1 teraz dla i j od j- tego wiersza macierzy odejmujemy wiersz i-ty pomno»ony przez r i p 0 1 p 0 1 p j 1 1 p 1 1 = det r j p j r j = r j det p j+1 1 p n 1 p n 1 Oznacza to,»e punkt q speªnia j-t nierówno± wtedy i tylko wtedy gdy r j 0 Zatem punkt q W wtedy i tylko wtedy gdy speªnia wszystkie n + 1 nierówno±ci Poniewa» dla ka»dego j punkt p j speªnia wszystkie za wyj tkiem j-tej nierówno±ci jako równania wi c jest wierzchoªkiem Wi cej wierzchoªków nie ma gdy» n nierówno±ci ze zbioru n+1 elementowego mo»na ( wybra ) na n+1 n + 1 sposobów Podobnie n-1 nierówno±ci mo»na wybra na = n(n+1) n 1 2 sposobów czyli tyle ile jest par wierzchoªków Wprowad¹my zatem formaln denicj Denicja 63 Sto»kiem nazywamy wielo±cian który ma dokªadnie jeden wierzchoªek

20 Optymalizacja 1 A Strojnowski 20 Stwierdzenie 64 ciana sto»ka jest sto»kiem Niech S b dzie ±cian sto»ka W Na mocy wniosku 513 S ma wierzchoªek za± na mocy wniosku 57 jest to jedyny wierzchoªek Stwierdzenie 65 Je»eli sto»ek W ma wi cej ni» jeden punkt to ma kraw d¹ niesko«czon Niech {p} = W H b dzie wierzchoªkiem W za± q dowolnym innym punktem sto»ka Teraz S = W ( H + p, q) jest wielo±cianem zawieraj cym q a nie zawieraj cym p S ma wierzchoªki na mocy wniosku 513 Niech q 1 b dzie wierzchoªkiem S Wówczas q 1 le»y na przeci ciu brzegów n liniowo niezale»nych póªprzestrzeni opisuj cych S Jednym z nich jest H + p, q a pozostaªe n 1 opisuj W Zatem q 1 nale»y do kraw dzi W i p, q 1 jest wektorem kraw dzi niesko«czonej Lemat 66 Niech p b dzie punktem wielo±cianu W (zbioru wypukªego i domkni tego) Je»eli wektor β speªnia warunek: t 0 p + tβ W to q W t 0 q + tβ W 1) Niech W = {x R n ; α x b} b dzie póªprzestrzeni Teraz: t 0 α p + tβ b t 0 α p + tα β b t 0 tα β b α p to implikuje α β 0 t 0 α q + tβ = α q + tα β α q b Twierdzenie { 67 Niech W R n b dzie sto»kiem Wówczas W = p + } k j=1 s jα j s j 0 gdzie p jest wierzchoªkiem W za± α 1, α 2,, α k jest zbiorem wektorów kraw dzi nieograniczonych Dowód przez indukcj wzgl dem wymiaru W 1 0 Je»eli dim W = 0 to W jest punktem i dowód jest oczywisty 2 0 Niech p b dzie wierzchoªkiem W = t i=1 H i za± q dowolnym innym punktem sto»ka Niech α b dzie wektorem kraw dzi niesko«czonej Prosta l = {q+rα ; r R} przeci ta z W daje póªprost o pocz tku q 1 Istnieje zatem j t takie,»e q 1 H j oraz q H j ciana W H j ma mniejszy wymiar ni» W wi c z zaªo»enia indukcyjnego q 1 = p + k i=1 s iα i dla pewnych s j 0 i wektorów kraw dzi nieograniczonych α 1, α 2,, α k Zatem q = q 1 + sα = p + k i=1 s iα i sα ma» dane przedstawienie

21 Optymalizacja 1 A Strojnowski 21 7 Geometryczny algorytm metody sympleks Denicja 71 Rozwa»my zagadnienie P L Max {x 0 = c x : x W } Niech p b dzie wierzchoªkiem W, za± α wektorem kierunkowym kraw dzi wychodz cej z p {p + tα : t > 0} lub {p + tα : t [0, r]} jest kraw dzi Kraw d¹ t nazywamy: poprawiaj c gdy c α > 0, neutraln gdy c α = 0, pogarszaj c gdy c α < 0 W przypadku zadania Min {x 0 = d x : x W } kraw d¹ nazywamy: poprawiaj c gdy d α < 0, neutraln gdy d α = 0, pogarszaj c gdy d α > 0 Twierdzenie 72 Je±li z wierzchoªka p wielo±cianu W nie wychodzi»adna kraw d¹ poprawiaj ca to p jest punktem optymalnym zadania P L Max {x 0 = c x x W } Inaczej mówi c: Je»eli p jest wierzchoªkiem wielo±cianu W i je±li dla ka»dego wektora α kraw dzi wychodz cej z p iloczyn skalarny c α 0 to q W c p c q Mo»emy przyj,»e wielo±cian W jest opisany ukªadem nierówno±ci α 1 x b 1 α 2 x b 2 α k x b k α t x b t Ponadto α 1 p = b 1 α 2 p = b 2 α k p = b k α k+1 p < b k+1 α t p < b t Zbudujmy wi kszy wielo±cian U opisany pierwszymi k nierówno±ciami:

22 Optymalizacja 1 A Strojnowski 22 α 1 x b 1 α k x b k Wtedy W U i p jest jedynym wierzchoªkiem U gdy» p jest wierzchoªkiem W rz α 1 α k = n p jest wierzchoªkiem U Je±li α jest wektorem kraw dzi U wychodz cej z p to α jest wektorem kierunkowym kraw dzi W wychodz cej z p : niech p + ξα W poniewa» jest to punkt kraw dziowy, wi c rz d macierzy utworzonej przez nierówno±ci speªnione przez p + ξα jako równo±, jest równy n 1 dla ka»dego ξ > 0 Przenumerowuj c nierówno± w razie potrzeby mo»emy przyj α 1 p + ξα = b 1 α s p + ξα = b s α s+1 p + ξα b s+1 α k p + ξα b k α k+1 p + ξα b k+1 Dla dostateczne maªych ξ dodatkowo α t p + ξα b t a n rz = n 1 α jest wektorem kraw dziowym (jest dobry) a s na mocy twierdzenia 67 U = {p + m i=1 r iα i : r i 0 oraz α 1, α 1,, α 1 s wszystkimi wektorami kraw dzi U We¹my dowolny punkt q W Wtedy q U = p + m i=1 r iα i Zatem x 0 (q) = c q = c p + m i=1 r iα i = c p + m i=1 r i0 α i c p = x 0 (p) Wniosek 73 Je±li zadanie P L ma rozwi zanie to istnieje wierzchoªek obszaru dopuszczalnego, który jest punktem optymalnym Wniosek 74 Badaj c kraw dzie wychodz ce z wierzchoªka p mo»emy rozstrzygn, czy jest to punkt optymalny Algorytm metody Sympleks (geometryczny): Dany wielo±cian opisany ukªadem t nierówno±ci w R n Dany wierzchoªek p (startowy)

23 Optymalizacja 1 A Strojnowski 23 x = zmienna (punkty) α = zmienna (wektory) 0) x := p 1) budujemy tablic T zªo»ona z kandydatów na kraw dzie wychodz ce z wierzchoªka x 2) dopóki T wykonujemy 3) wybieramy α z T i usuwamy Je»eli α jest wektorem kraw dzi poprawiaj cej to: Je»eli α jest wektorem kraw dzi niesko«czonej to 4) stop: zadanie nieograniczone Je»eli α jest wektorem kraw dzi sko«czonej to 5) znajdujemy jej drugi koniec q x := q i wracamy do punktu 1) 6) T = stop: x jest wierzchoªkiem optymalnym Uwaga Algorytm sympleks jest sko«czony gdy» wielo±cian ma sko«czon liczb wierzchoªków i kraw dzi Przykªad 75 Badamy zadanie Max x 0 = 3x 1 2x 2, gdzie { x1 x 2 2 x 2 5 x 1 0, x 2 0 Jako wierzchoªek startowy we¹miemy punkt (0, 0) Jest { on opisany ukªadem x1 = 0 pochodz cym z dwóch ostatnich nierówno±ci x 2 = 0 Wychodz z niego dwie kraw dzie w kierunku wektora (1, 0) - poprawiaj ca i w kierunku wektora (0, 1) - pogarszaj ca Wybieramy kraw d¹ (0, 0) + t(1, 0) i szukamy ograniczenia na t podstawiaj c do pozostaªych nierówno±ci 0 5 t 2 t 0 Wi c t{ [0, 2] i drugim ko«cem kraw dzi jest wierzchoªek (2, 0) opisany x1 x ukªadem 2 = 2 pochodz cym z pierwszej i ostatniej nierówno±ci x 2 = 0 Opuszczaj c pierwsz równo± otrzymamy kraw d¹, któr przyszli±my a wi c z punktu widzenia wierzchoªka (2, 0) kraw d¹ pogarszaj c Opuszczamy równanie x 2 = 0 Równanie x 1 x 2 = 2 opisuje prost {(2 + t, t); t R} wstawiamy do pozostaªych nierówno±ci i otrzymujemy: t 5 t Wi c t [0, 5] i drugim ko«cem kraw dzi jest wierzchoªek t 0 { x1 x (7, 5) opisany ukªadem 2 = 2 pochodz cym z pierwszej i drugiej x 2 = 5

24 Optymalizacja 1 A Strojnowski 24 nierówno±ci Zauwa»my,»e funkcja celu wzrosªa z 2 do = 11 wi c kraw d¹ byªa poprawiaj ca Z wierzchoªka (7, 5) wychodz dwie kraw dzie, pogarszaj ca, któr przyszli±my i le» ca na prostej opisanej równaniem x 2 = 5 Wstawiaj c do pierwszej nierówno±ci otrzymujemy x Wi c wektorem kierunkowym jest ( 1, 0) Jest to kraw d¹ pogarszaj ca i st d (7, 5) jest wierzchoªkiem optymalnym