AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ

Transkrypt

1 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I AUTOMATYKI SYSTEMÓW PRZETWARZANIA ENERGII ROZPRAWA DOKTORSKA Imię i nazwisko: SEBASTIAN LATOSIEWICZ Dziedzina: Temat: Promotor: ELEKTROTECHNIKA MODELOWANIE I WŁASNOŚCI BEZRDZENIOWYCH MASZYN SYNCHRONICZNYCH TARCZOWYCH dr hab. inż. Jerzy Skwarczyński, prof. nz. AGH KRAKÓW 2015

2 WYKAZ SKRÓTÓW I WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ:... 4 WSTĘP... 7 CEL I ZAKRES BADAŃ PRZEGLĄD LITERATURY KRÓTKI RYS HISTORYCZNY MATERIAŁY MAGNETYCZNE ND2FE14B CHARAKTERYSTYKI MAGNESU TOPOLOGIE MASZYN TARCZOWYCH UKŁAD WZBUDZENIA Z FERROMAGNETYKIEM UKŁAD WZBUDZENIA Z WYKORZYSTANIEM SZEREGU HALBACHA UZWOJENIA MASZYN TARCZOWYCH ZASTOSOWANIE MASZYN TARCZOWYCH MASZYNY TARCZOWE JAKO GENERATORY W ELEKTROWNIACH WIATROWYCH MODELE MASZYN TARCZOWYCH DO BADAŃ SYMULACYJNYCH MODEL MASZYNY Z KLASYCZNYM UKŁADEM WZBUDZENIA MODEL MASZYNY ZE WZBUDZENIEM W UKŁADZIE HALBACHA SPECYFIKA OBWODÓW MAGNETYCZNYCH MASZYN DWUTARCZOWYCH Z MAGNESAMI TRWAŁYMI I BEZRDZENIOWYM TWORNIKIEM OBLICZENIA MOMENTU, SEM I ODDZIAŁYWANIA TWORNIKA STOSOWANE PRZY PROJEKTOWANIU I SYMULACJI STANÓW NIEUSTALONYCH ANALIZA MES 3D MODELI MASZYN TARCZOWYCH POLE WZBUDZANE UKŁADEM KLASYCZNYM MAGNESÓW

3 5.1.1 SYMULACJE STANU USTALONEGO Maszyna z twornikiem jednowarstwowym - obliczenia dla maksymalnego przekroju boku cewki Maszyna z twornikiem jednowarstwowym - obliczenia dla ½ maksymalnego przekroju boku cewki Maszyna z twornikiem dwuwarstwowym - obliczenia dla maksymalnego przekroju boku cewki Maszyna z twornikiem dwuwarstwowym - obliczenia dla ½ maksymalnego przekroju boku cewki POLE WZBUDZANE MAGNESAMI W UKŁADZIE HALBACHA SYMULACJE STANU USTALONEGO MASZYNA Z TWORNIKIEM JEDNOWARSTWOWYM - OBLICZENIA DLA MAKSYMALNEGO PRZEKROJU BOKU CEWKI MASZYNA Z TWORNIKIEM JEDNOWARSTWOWYM - OBLICZENIA DLA ½ MAKSYMALNEGO PRZEKROJU BOKU CEWKI MASZYNA Z TWORNIKIEM DWUWARSTWOWY - OBLICZENIA DLA MAKSYMALNEGO PRZEKROJU BOKU CEWKI MASZYNA Z TWORNIKIEM DWUWARSTWOWYM - OBLICZENIA DLA ½ MAKSYMALNEGO PRZEKROJU BOKU CEWKI ZESTAWIENIE WYNIKÓW BADAŃ SYMULACYJNYCH WYBRANE WŁASNOŚCI TRÓJFAZOWEJ MASZYNY SYNCHRONICZNEJ TARCZOWEJ Z MAGNESAMI TRWAŁYMI I BEZRDZENIOWYM TWORNIKIEM WNIOSKI Z WYNIKÓW BADAŃ SYMULACYJNYCH PODSUMOWANIE DODATKI WSPÓŁCZESNE MATERIAŁY MAGNETYCZNE

4 10.2 ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO W SZCZELINIE POWIETRZNEJ, POCHODZĄCEGO OD MAGNESÓW W UKŁADZIE KLASYCZNYM ROZKŁAD POLA MAGNETYCZNEGO W SZCZELINIE POWIETRZNEJ, POCHODZĄCEGO OD MAGNESÓW W UKŁADZIE HALBACHA PARAMETRY DRUTÓW NAWOJOWYCH SPIS LITERATURY

5 Wykaz skrótów i ważniejszych oznaczeń: AFPMM a Axial Flux Permanent Magnet Machine szerokość boku cewki b pm szerokość magnesu osiowego. B m0 B mg maksymalna wartość indukcji magnetycznej wartość maksymalna indukcji w szczelinie Bg y średnia wartość indukcji w przedziale podziałki biegunowej w środku szczeliny B PMy średnia wartość indukcji w magnesie przy powierzchni magnesu osiowego B g wektor indukcji w szczelinie B gz składowa obwodowa wektora indukcji w szczelinie B gr składowa promieniowa wektora indukcji w szczelinie Bgα Bavg składowa obwodowa wektora indukcji w szczelinie wartość średnia indukcji w szczelinie E fm wartość maksymalna SEM E fsk wartość skuteczna SEM generowanej na biegu jałowym FF E F z H disk h M współczynnik kształtu FF E przebiegu SEM siła wzajemnego przyciągania tarcz wirnika grubość tarczy wirnika wysokość magnesu 4

6 H PMx średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w magnesach obwodowych H PMy średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w magnesach osiowych, na odcinku od szczeliny do połowy wysokości magnesu H g y średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w szczelinie powietrznej H lx średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w luce między magnesami H PMy średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w magnesach osiowych, na odcinku od szczeliny do połowy wysokości magnesu H g y średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w szczelinie powietrznej J moment bezwładności k wp, k wd współczynnik skrótu i grupy uzwojenia l a szerokość wszystkich magnesów w układzie Halbacha tworzących 2 bieguny l mm szerokość luki miedzy magnesami l 1 umowna długość jednostkowa modelu L Ld, Lq M Na PMBLDC R in R out R avg indukcyjność własną uzwojenia indukcyjności synchroniczne podłużna i poprzeczna obwodów modelu indukcyjność wzajemną uzwojeń liczba zwojów w jednej fazie uzwojenia Permanent Magnet Brush Less Direct Current promień wewnętrzny magnesu promień zewnętrzny magnesu promień średni 5

7 Rz, Lz rezystancja oraz indukcyjność wewnętrzna źródła zasilającego RFPMM Radial Flux Permanent Magnet Machine S pm powierzchnia magnesu T avg wartość średnia momentu T ripp% współczynnik pulsacji momentu Tm, Te moment mechaniczny i elektromagnetyczny T bz moment wytworzony przez cały czynny bok zezwoju γ δ rozpiętość kątowa magnesu szczelina powietrzna pomiędzy magnesami leżącymi na przeciwległych tarczach φ rozpiętość kątowa szczeliny pomiędzy kolejnymi magnesami () przepływ połowa obwodowej szerokości zezwoju współczynnik określający stosunek H H PMx PM y σ a liniowa gęstość prądu podziałka biegunowa [m] 6

8 Wstęp Elementem składowym każdej maszyny elektrycznej, wykorzystującej w przemianie energii pole magnetyczne, musi być magnetowód, który koncentruje pole i nadaje jego liniom sił wymagany przebieg. W maszynach, w których pole wzbudzane jest prądami uzwojeń, magnetowodem jest rdzeń stalowy. W ogólnym przekonaniu ciężki, nasycający się i nagrzewający od własnych strat rdzeń, jest zasadniczą wadą maszyn elektrycznych, stanowiąc istotną przeszkodę w dążeniach do ich miniaturyzacji i poprawy sprawności. Możliwość częściowej lub całkowitej eliminacji ferromagnetycznego rdzenia, jaką stwarzają magnesy trwałe neodymowo-borowe, wydaje się tworzyć zupełnie nowe perspektywy rozwoju maszyn elektrycznych. Złożony z tych magnesów klasyczny układ wzbudzający pole pozwala wyeliminować rdzeń twornika, jednak dla domknięcia obwodu magnetycznego wymagane są nadal elementy ferromagnetyczne. Ułożenie magnesów trwałych w tzw. szyk Halbacha zamyka magnetowód bez użycia elementów stalowych. Obie konstrukcje są aktualnie stosowane, szczególnie w maszynach tarczowych z osiową orientacją linii sił w tworniku. Silniki elektryczne i generatory kojarzone są na ogół z maszynami o magnesowaniu radialnym, które zdominowały rynek tych urządzeń. Jednak za pierwszą wirującą maszynę elektryczną, będącą pierwowzorem silnika elektrycznego, uznawane jest wynalezione w 1822 roku przez Petera Barlowa i nazwane jego imieniem - koło Barlowa [1], w którym wykorzystane było magnesowanie osiowe. Kilka lat później w 1831 r. Michael Faraday zbudował generator jednobiegunowy, nazwany dyskiem Faradaya [2], w którym również magnesowanie miało kierunek osiowy. Bazując na tym pomyśle Nicola Tesla w 1889 roku uzyskał patent [3] na generator unipolarny. W międzyczasie, w 1837 Thomas Davenport uzyskał patent na pierwszą maszynę o magnesowaniu radialnym [4], której topologia została przyjęta, jako główny trend rozwoju wirujących maszyn elektrycznych. Przyczyniło się do tego kilka słabych cech konstrukcji o magnesowaniu osiowym, m.in. duża siła oddziaływania pomiędzy statorem a wirnikiem, problemy wykonawcze, które uniemożliwiały wykonanie maszyny o równomiernej szczelinie powietrznej oraz dostępne w ówczesnych czasach niskiej jakości materiały magnetyczne twarde. Ostatni z powodów praktycznie odsunął zainteresowanie maszynami ze wzbudzeniem od magnesów trwałych do czasu odkrycia 7

9 w 1931 roku przez Tokushichi Mashima [5] magnesów ze stopu ALNICO (Alluminium Nickel - Cobalt). Pojawienie się wysokoenergetycznych materiałów magnetycznych, a w szczególności odkrytych w 1983 przez inżynierów z General Motors oraz z Sumitomo Special Metals stopów Neodymu, Żelaza i Boru (Nd 2 Fe 14 B), spowodowało gwałtowny wzrost zastosowań magnesów trwałych w układach wzbudzenia maszyn elektrycznych, zarówno w konstrukcjach z polem radialnym, jak i osiowym. Wybór maszyn z polem osiowym, jako obiektu badań wyniknął z perspektywy ich zastosowań w napędach, w których waga, objętość i sprawność odgrywają decydującą rolę, zwłaszcza w napędach pojazdów oraz elektronarzędzi. Mogą tu znaleźć zastosowanie szczególnie dwie konstrukcje maszyn z polem osiowym: tarczowe silniki synchroniczne z bezrdzeniowym trójfazowym twornikiem wzbudzane magnesami trwałymi na rdzeniu stalowym oraz wzbudzane magnesami zestawionymi w szyk Halbacha, całkowicie bezrdzeniowe. Obie maszyny przeznaczone są przede wszystkim do pracy silnikowej w zamkniętym układzie sterowania, jako bezszczotkowe silniki prądu przemiennego (PMBLAC), ale mogą być też wykorzystywane jako generatory trójfazowych napięć przemiennych. Z informacji pochodzących od producentów maszyn bezrdzeniowych wynika, że maszyny te gwarantują wysoki wskaźnik uzysku momentu z jednostki masy i objętości maszyny. Istotne znaczenie dla poziomu uzyskiwanych wskaźników obu rodzajów konstrukcji bezrdzeniowych ma materiał, z którego zostanie wykonana tarcza twornika, stabilizująca mechanicznie uzwojenia. Musi ona wykazywać równocześnie wiele właściwości, takich jak dobra przewodność cieplna, bardzo wysoka rezystywność, mała przenikalność magnetyczna, duża wytrzymałość mechaniczna, mała rozszerzalność cieplna. Prace nad uzyskaniem takiego materiału są prowadzone w wielu ośrodkach, także na Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. W maszynach tarczowych elementem narażonym na działanie wielkich naprężeń zginających są tarcze, do których przymocowuje się magnesy. W konstrukcjach z magnesami w układzie Halbacha tarcze wykonywane są najczęściej z włókien węglowych. 8

10 Cel i zakres badań Zasadniczym celem pracy było poznanie własności i specyficznych cech maszyny elektrycznej całkowicie bezrdzeniowej. Początkowym zamierzeniem autora pracy było zaprojektowanie prototypu maszyny tarczowej bezrdzeniowej, a następnie zlecenie jego wykonania i wyczerpujące przebadanie w laboratorium. Niestety, wniosek o grant promotorski, który zapewniłby finansowanie realizacji planów został odrzucony. W tej sytuacji przyjęty cel pracy zdecydowano się realizować przez analizę porównawczą dwóch konstrukcji maszyn z polem osiowym: tarczowego silnika synchronicznego z bezrdzeniowym trójfazowym twornikiem, wzbudzanego magnesami trwałymi na rdzeniu stalowym oraz wzbudzanego magnesami zestawionymi w szyk Halbacha, całkowicie bezrdzeniowego. Rozpatrywano maszyny o takich samych gabarytach, ale różniące się sposobem rozmieszczenia magnesów trwałych, ich wymiarami oraz szczegółami wykonania uzwojenia twornika. Dla rozróżnienia maszyn, w dalszej części pracy posłużono się następującymi nazwami wynikającymi z zastosowanego układu wzbudzenia: maszyna z klasycznym układem wzbudzenia, posiadająca tarcze ferromagnetyczne oraz maszyna ze wzbudzeniem w układzie Halbacha, posiadająca tarcze z materiałów kompozytowych. Obie konstrukcje wykazują wiele podobnych własności eksploatacyjnych, ale też szereg istotnych różnic. Za podstawowe wielkości decydujące o własnościach maszyny synchronicznej wzbudzanej magnesami trwałymi uznano: SEM generowaną na biegu jałowym oraz skład harmonicznych tego przebiegu w warunkach stałej prędkości obrotowej, moment średni i jego składową zmienną, jako funkcję położenia wirnika, indukcyjności własne i wzajemne uzwojeń, decydujące o wielkości oddziaływania twornika, moment bezwładności wirnika. Oba rodzaje maszyn pracują jako silniki w zamkniętym układzie sterowania z użyciem regulatorów, w szczególności regulatora momentu. Na dobór parametrów tego regulatora mogą mieć wpływ szczególne własności każdej konstrukcji. Wykorzystywane przy projektowaniu, uproszczone wzory nie mogły być podstawą analiz porównawczych zarówno pomiędzy oboma typami konstrukcji, jak i rozwiązaniami konstrukcyjnymi w ramach konkretnego typu, np. dotyczących 9

11 sposobu umieszczenia boków zezwojów w szczelinie. Koniecznością stało się więc zastosowanie obliczeń MES-3D. Rozpoznawane w trakcie wykonywania analiz porównawczych własności obu maszyn tarczowych znalazły swój wyraz w tezie pracy: Maszyny bezrdzeniowe z magnesami trwałymi stanowią istotny postęp, ale nie przełom w konstrukcji maszyn elektrycznych. W ramach pracy dokonano: przeglądu konstrukcji maszyn tarczowych z bezrdzeniowym twornikiem magnesami trwałymi, wstępnej, uproszczonej analizy i porównań wariantów obwodów z magnesami trwałymi, przeglądu metod obliczeń momentu, SEM i oddziaływania twornika w maszynach tarczowych z magnesami trwałymi, analizy MES 3D modeli maszyn tarczowych z magnesami w układzie Halbacha i tradycyjnym, analizy MES 3D wpływu konstrukcji uzwojeń twornika na wytwarzany moment i SEM, analizy wybranych własności maszyn tarczowych z bezrdzeniowym twornikiem jako obiektu sterowania. 10

12 1 Przegląd literatury. 1.1 Krótki rys historyczny. W roku 1973 J. C. Mallinson przedstawił teoretyczny opis zjawiska określonego przez niego jako Magnetic Curiosity [6]. Wykazał, że warstwa materiału z pozostałością magnetyczną może w pewnych warunkach wytworzyć pole magnetyczne zewnętrzne tylko po swej jednej stronie. Rozpatrywano [6, 7] płaską, nieskończoną warstwę (płytę) o grubości "d", której przypisano prostokątny układ współrzędnych w taki sposób, że jedna z jej powierzchni pokrywała się z płaszczyzną (x, 0, z), natomiast druga z płaszczyzną (x, d, z) rysunek 1.1. Rysunek 1.1 Warstwa (płyta) o grubości d, w przyjętym układzie współrzędnych. Założono, że składowe wektora magnetyzacji w rozpatrywanej warstwie wynoszą: M x = M 0 sin(kx) 1.1 M y = M 0 cos(kx)

13 M z = przy czym k = 2π, gdzie λ jest okresem (długością fali). λ Wektor indukcji magnetycznej B jest proporcjonalny do sumy wektora magnetyzacji M oraz natężenia pola magnetycznego H : B = μ 0 (H + M ) 1.4 Ponieważ wektor indukcji magnetycznej musi spełniać równanie ciągłości pola B = dla ośrodka izotropowego o przenikalności magnetycznej μ 0 będzie: H = M 1.6 W rozpatrywanej przestrzeni nie ma prądów i w polu występuje obok potencjału wektorowego także potencjał skalarny φ, którego gradient (ze znakiem ujemnym) jest równy wektorowi natężenia pola: H = φ 1.7 Łącząc równania 1.3 i 1.4 otrzymuje się: ( φ) = 2 φ = M 1.8 Z (1.8) wynika, że wewnątrz materiału magnetycznego gdzie M 0, potencjał skalarny jest opisywany równaniem Poisson a: 2 φ in = M 0 k cos(kx) 1.9 Natomiast w obszarze gdzie M = 0, to jest na zewnątrz płyty, równaniem Laplace a: 2 φ abv = φ blw = Ponieważ szczególne rozwiązanie równania (1.9), ma postać M 0 cos(kx)/k, rozwiązania ogólne mają formę: φ abv = (Ae ky + Be ky ) cos(kx)

14 φ in = (Ce ky + De ky M 0 ) cos(kx) 1.13 k φ blw = (Ee ky + Fe ky ) cos(kx) 1.14 Wraz ze wzrostem "y" do nieskończoności pole i potencjał zmierzają do 0: φ abv = φ blw = 0 dla y ± 1.15 Składowe styczne pola po obu stronach powierzchni granicznych muszą być równe, w związku z czym: φ abv = φ in dla y = φ blw = φ in dla y = d 1.17 Składowa normalna indukcji musi być ciągła na górnej i dolnej powierzchni granicznej: y (φ abv) = y (φ in) + M 0 cos(kx) dla y = y (φ blw) = y (φ in) + M 0 cos(kx) dla y = d 1.19 Warunki graniczne 1.15 do 1.19 są spełnione dla następującej postaci rozwiązań 1.12 do 1.14: φ abv = φ in = M 0 k (eky 1)cos(kx) 1.21 φ blw = M 0 k (1 ekd )e ky cos(kx) 1.22 Wynika stąd, że powyżej rozpatrywanej namagnesowanej płyty potencjał wektorowy wynosi zero i nie ma strumienia wychodzącego z górnej powierzchni. Cały strumień wychodzi natomiast z powierzchni dolnej. Odwrócenie kierunków obrotów wektora magnetyzacji, tzn.: M x = M 0 sin(kx) 1.23 M y = M 0 cos(kx) 1.24 M z =

15 powoduje, że cały strumień wychodzi z powierzchni górnej. W [6, 7] można odnaleźć obrazowe wyjaśnienie zjawiska, bazujące na superpozycji (rysunek 1.2). Rysunek 1.2. Superpozycja pól pochodzących od składowych wektora magnetyzacji. Praktyczne wykorzystanie efektu wykrytego przez Mallinsona wymagało wytworzenia w materiale wektora magnetyzacji odpowiedniej zmienności i rozkładu. Dopiero w 1980 r. Klaus Halbach przedstawił metodę generowania takiej magnetyzacji używając innowacyjnego ułożenia magnesów trwałych [8], a następnie opisał jej praktyczne zastosowania w akceleratorach i pierścieniach akumulacyjnych [9]. Można uznać, że do maszyn elektrycznych układ magnesów Halbacha trafił publikacją [10] w roku 1995, natomiast w urządzeniach produkowanych komercyjnie znalazł się w późnych latach 90-tych. Aktualnie można odnaleźć dużą ilość publikacji opisujących rozmaite zastosowania układu Halbacha. Przedstawiane są też analityczne metody wyznaczania pól w różnych strukturach, zawsze jednak przy jakiś założeniach upraszczających, np. [11]. 14

16 1.2 Materiały magnetyczne Nd 2 Fe 14 B. Dostępne na rynku materiały magnetyczne klasyfikowane są wg trzech standardów: Amerykańskiego, Europejskiego (IEC ) oraz chińskiego najczęściej stosowanego na całym świecie zapewne ze względu na to, że właśnie ten kraj w zdecydowanej większości zaspokaja światowy popyt na pierwiastki ziem rzadkich w tym neodymu [12]. Sposób oznaczania materiałów wg. standardu chińskiego, polega na nadaniu nazwy w formacie Nxxzz gdzie po szczególe symbole oznaczają: N po prostu jest skrótem od Neodymiun. xx jest liczbą oznaczającą maksymalną ilości energii wyrażoną w mega Gauss Erstedach (1MGOe = 9758 kj m 3 ). Obecnie dostępne są materiały w zakresie N24 do N52 natomiast powszechnie produkowane są te z zakresu N30 N50. Magnesy N52 są dostępne, ale jedynie w ograniczonych wymiarach. Materiał o maksymalnej gęstości energii został obliczony, jako N64 niemniej jednak jest mało prawdopodobne, aby w najbliższym czasie trafił on na rynek inny niż zastosowań militarnych [13]. zz może nie wystąpić w oznaczeniu materiału, może przyjąć 1 lub 2 liter. Oznacza maksymalną temperaturę pracy danego materiału magnetycznego, co bezpośrednio związane jest z jego koercyjnością. W tabeli Błąd! Nie można odnaleźć źródła odwołania. zestawiono zakres maksymalnych temperatur pracy współczesnych magnesów neodymowych oraz odpowiadające im symbole. Tabela 1.1 Oznaczenia materiałów magnetycznych określające ich maksymalną temperaturę pracy. Nxxzz Temperatura maksymalna Nxx 80 C NxxM 100 C NxxH 120 C NxxSH 150 C 15

17 NxxUH 180 C NxxEH 200 C NxxVH lub NxxAH 230 C W dodatku 10 zestawiono szczegółowe parametry większości obecnie dostępnych magnesów, z uwzględnieniem ich maksymalnej temperatury pracy. 1.3 Charakterystyki magnesu. Charakterystyk odmagnesowania B m (H m ) magnesu z pierwiastków ziem rzadkich, w szerokim zakresie, od H = 0 zaczynając, jest praktycznie liniowa. Dla wartości natężenia zliżonych do B H C zazwyczaj indukcja maleje szybciej niż liniowo niemniej jednak dąży się do niedopuszczania wejścia punktu pracy w ten zakres charakterystyk. Z tego powodu często uzasadnione jest podejście, pozwalające na liniową aproksymację charakterystyk odmagnesowania pierwiastków ziem rzadkich, co zostało przedstawione na rysunku - Rysunek 1.3. Rysunek 1.3. Liniowa aproksymacja charakterystyki odmagnesowania magnesu wykonanego z pierwiastków ziem rzadkich. 16

18 Równanie prostej aproksymującej ma postać: B m = B r (1 H m H Ca ) = B r + H m μ 0 μ r 1.26 gdzie: H Ca - bezwzględna wartość natężenia pola odpowiadająca punktowi przecięcia osi odciętych przez prostą aproksymującą krzywą odmagnesowania B m (H m ), μ r = B r μ 0 H c 1.27 Charakterystyka odmagnesowania magnesu jest uzależniona od temperatury samego magnesu. Wraz ze wzrostem temperatury łatwiejsze staje się jego odmagnesowanie, a charakterystyka staje się coraz mniej liniowa. Dla magnesu o charakterystyce jak na rysunku 1.4, dla temperatury 20 C można jeszcze przyjąć H Ca = B H C. Ale np. przy temperaturze 80, która w maszynach elektrycznych nie zalicza się do wysokich 1, B H 0, 7H. C Ca Obok charakterystyk B (H), producent zamieszcza na ogół charakterystyki J (H), czyli zależność polaryzacji magnetycznej od natężenia. Wielkość zwana polaryzacją magnetyczną wynika z przedstawienia indukcji magnetycznej B w materiale, w którym oprócz pola zewnętrznego o natężeniu H istnieje pozostałość magnetyczna, jako sumy: B = o H + J 1.28 Większość autorów, np.[14], zapisuje to odmiennie: B = o (H + M), nazywając wielkość M natężeniem magnetyzacji, lub magnetyzacją. Obie wielkości, J oraz M, wykorzystywane są przy projektowaniu obwodów z magnesami. 1 Przyrost temperatury materiałów izolacyjnych w zależności od ich klasy może wynosić od 60 do 130 C (wg PN-88/E-06701) 17

19 Rysunek 1.4. Charakterystyka odmagnesowania materiału magnetycznego N35 [15] 1.4 Topologie maszyn tarczowych. Głównym kryterium podziału współczesnych silników tarczowych jest ilość zastosowanych w danej konstrukcji tarcz wirników oraz tworników. W każdym typie maszyny tarczowej możliwe jest wykonanie twornika jawnobiegunowego, z biegunami utajonymi lub jako bezrdzeniowego. Do maszyn tych zaliczają się takie konstrukcje jak Silnik tarczowy jednostronny, Silnik tarczowy z biegunami wydatnymi, Silnik z wewnętrznym rotorem, Bezrdzeniowy silnik tarczowy oraz Silnik typu torus [16,17,18,19]. Na rysunku 1.5 przedstawiono podział współczesnych maszyn AFPMM ze względu na ich najczęściej spotykaną topologię. 18

20 AFPMM 1 wirnik 1 twornik 2 wirniki 1 twornik 2 tworniki 1 wirnik maszyna wielotarczowa Rysunek 1.5. Podział maszyn tarczowych ze względu na ich budowę. Maszyny tarczowe wykonywane są jako synchroniczne przeznaczone konstrukcyjnie do pracy jako PMBLDC [20,21,22] lub jako zasilane prądem zmiennym [23]. Istnieją także silniki tarczowe komutatorowe [24]. 1.5 Układ wzbudzenia z ferromagnetykiem. Najczęściej stosowany układ wzbudzenia silnika tarczowego składa się prostokątnych, trapezowych lub będącymi wycinkiem pierścienia magnesów trwałych przytwierdzonych do ferromagnetycznej tarczy wirnika pełniącej również funkcję drogi dla strumienia magnetycznego pochodzącego od tych magnesów [25]. Poglądowe rozmieszczenie magnesów, w zależności od ilości tarcz i zastosowanego uzwojenia przedstawiono na kolejnych rysunkach. Na rysunku 1.6 przedstawiony został układ magnesów maszyny jednowirnikowej, umieszczonych na jednej ferromagnetycznej tarczy. Takie rozwiązanie wykorzystywane jest w połączeniu z uzwojeniem umieszczonym na rdzeniu [26, 27]. 19

21 Rysunek 1.6. Pole magnetyczne pochodzące od magnesów trwałych ułożonych na jednej tarczy ferromagnetycznej. Na rysunku 1.7 pokazany jest układ, w którym pole magnetyczne generowane jest przez magnesy trwałe umieszczone na dwóch ferromagnetycznych tarczach. Taki układ wzbudzenia jest stosowany w maszynach zarówno z rdzeniowym, jaki i bezrdzeniowym twornikiem [28]. Wektor magnetyzacji magnesów leżących naprzeciw siebie na obu tarczach ma zwrot zgodny. 20

22 Rysunek 1.7. Pole magnetyczne pochodzące od magnesów trwałych ułożonych na dwóch tarczach ferromagnetycznych. Wariantem układu wzbudzenia z dwoma ferromagnetycznymi tarczami z magnesami trwałymi jest przedstawiony na rysunku 1.8, w którym wektory magnetyzacji magnesów leżących naprzeciw siebie mają przeciwne zwroty. Takie wzbudzenie ma zastosowanie w maszynach z rdzeniowym toroidalnym twornikiem, występującym w literaturze także pod nazwą Torus lub pierścień Gramme a [29, 30, 31]. Strumień w szczelinie, wytwarzany przez tak ułożone magnesy ma kierunek obwodowy. 21

23 Rysunek 1.8. Pole magnetyczne pochodzące od magnesów trwałych ułożonych na dwóch tarczach ferromagnetycznych. 1.6 Układ wzbudzenia z wykorzystaniem szeregu Halbacha. Ułożenie magnesów w szereg Halbacha polega on na tym, że wektor magnetyzacji kolejnych magnesów były obrócone w stosunku do poprzedniego o 90. Dzięki takiemu rozwiązaniu możliwe jest skoncentrowanie pola magnetycznego po jednej stronie tak ułożonych magnesów przy niemal zerowej jego wartości po stronie drugiej. 22

24 Rysunek 1.9. Jedna warstwa magnesów tworząca układ Halbacha. a rozkład pola magnetycznego, b linie pola magnetycznego. Wykorzystanie układu Halbacha niesie za sobą wiele korzyści m.in. niemal sinusoidalny rozkład indukcji w szczelinie, brak konieczności stosowania ferromagnetyka w celu zamknięcia obwodu magnetycznego, oraz niemal całkowita koncentracja strumienia magnetycznego po jednej stronie układu. Ułożenie magnesów w szyk Halbacha znajduje zastosowanie w przypadku maszyn wzbudzanych magnesami trwałymi zarówno o magnesowaniu radialnym (RFPMM) [32] jak i osiowym (AFPMM), a także w maszynach liniowych [33]. W literaturze istnieje wiele opisów wykorzystania magnesów ułożonych w szyk Halbacha w maszynach o magnesowaniu radialnym. W pracy [34] opisane zostało wykorzystanie magnesów w układzie Halbacha we współosiowej przekładni magnetycznej. Autorzy wskazują w niej obecność żelaza, jako główny czynnik powodujący straty w transmisji natomiast użycie układu Halbacha pozwala na niwelacje ok 28% strat. W [35] autorzy porównują dwie maszyny o identycznych gabarytach, takich samych twornikach oraz o wzbudzeniu pochodzącym od magnesów trwałych w układzie klasycznym oraz układzie Halbacha. Wyniki ich analiz wykazują, że w przypadku zastąpienia wirnika z klasycznie rozmieszczonymi magnesami trwałymi 23

25 wirnikiem z magnesami w układzie Halbacha możliwe jest zwiększenie momentu rozwijanego przez maszynę przy zmniejszeniu jej masy oraz redukcji momentu bezwładności wirnika. Autorzy wskazują, że stosunek momentów rozwijanych przez obie maszyny jest równy stosunkowi wartości maksymalnych indukcji magnetycznej w szczelinie obu maszyn. W przypadku rozpatrywanych maszyn, ta z układem Halbacha rozwijała większy moment o 6,3 [%]. Zastosowanie układu Halbacha pozwoliło na zastosowanie wydrążonego wirnika, który w tym przypadku nie pełnił już roli drogi dla strumienia magnetycznego, co przełożyło się na redukcje jego masy o przeszło połowę. Niniejsza praca poświęcona jest konstrukcjom o magnesowaniu osiowym, w związku z tym wzbudzenie maszyn o magnesowaniu radialnym pochodzące od magnesów trwałych ułożonych w szyk Halbacha nie zostało tu scharakteryzowane. W przypadku maszyn tarczowych (AFPMM) wzbudzenie w układzie Halbacha składa się z dwóch warstwy magnesów, każda z nich umieszczona na jednej tarczy maszyny. Zastosowanie tego typu układu wzbudzenia koncentruje praktycznie całe pole magnetyczne w obszarze ograniczonym magnesami oraz w szczelinie pomiędzy nimi strumień magnetyczny zamyka się przez same magnesy oraz szczelinę. Może to zwiększyć maksymalną wartość indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej nawet o 35%, a także pozwala na zastosowanie nieferromagnetycznych tarcz np. z włókien węglowych, które są 3-krotnie lżejsze od żelaznych [36]. 24

26 Rysunek Dwie warstwy magnesów ułożonych w układ Halbacha. a rozkład pola magnetycznego, b linie pola magnetycznego. Możliwe są inne warianty układu Halbacha, w których wektory magnetyzacji kolejnych magnesów obrócone są o 60 lub o 45 które. Takie układy potrafią wygenerować pole, którego maksymalna wartość indukcji magnetycznej w szczelinie jest nieco większa od konstrukcji gdzie wektory magnetyzacji kolejnych magnesów obrócone są względem siebie o 90 [39]. Wykonanie takiego układu jest jednak skomplikowane, co podnosi jego koszt, przy czym dla takich układów zarówno kształt pola jak i maksymalna wartość indukcji w szczelinie są niemal identyczne [37]. Kolejną modyfikacją może być zastosowanie magnesów o trapezowym przekroju zamiast prostokątnego. Optymalny dobór proporcji ich kształtów pozwala na około 5% wzrost wartości indukcji maksymalnej w szczelinie [38]. 25

27 Rysunek Dwie warstwy magnesów o trapezowym przekroju ułożone w szyk Halbacha. W [39] przedstawiono analityczną metodę wyznaczenia niektórych wartości indukcji magnetycznej pola płaskiego, pochodzącego od magnesów o przekroju prostokątnym, zestawionych w układ Halbacha: - wartości maksymalnej indukcji, - wartości składowych normalnych i stycznych indukcji w określonej odległości od jednej warstwy magnesów, - wartości składowych normalnych i stycznych indukcji pomiędzy dwoma warstwami. Przedstawione poniżej wzory są prawdziwe przy założeniu, że magnesy są sztabkowe. Maksymalna wartość indukcji magnetycznej B m0 po stronie aktywnej układu Halbacha wynosi: B m0 = B r [1 exp( βh M )] sin(π n M ) π nm 1.29 gdzie: β = 2π l a 1.30 Składowa styczna oraz składowa normalna rozkładu indukcji magnetycznej w odległości z od powierzchni magnesów jednowarstwowego szyku Halbacha: B x (x, z) = B m0 cos(βx)exp( βz)

28 B z (x, z) = B m0 sin(βx)exp( βz) 1.32 Składowa styczna oraz składowa normalna rozkładu indukcji magnetycznej w przestrzeni pomiędzy dwoma warstwami magnesów w układzie Halbacha. B x (x, z) = B m0 cos(βx) B z (x, z) = B m0 sin(βx) 1 cosh(βt 2) 1 cosh(βt 2) sinh(βz) 1.33 cosh(βz) 1.34 Na rysunku 1.12 przedstawiono poszczególne wielkości użyte we wzorach. Rysunek Dwie warstwy magnesów w układzie Halbacha z zaznaczonymi wektorami magnetyzacji. Posługując się wzorem 1.32, możemy wyznaczyć wartość składowej normalnej wektora indukcji magnetycznej w środku szczeliny powietrznej na osi bieguna magnesu sztabkowego. Przy założeniu B r = 1.21[T], szerokości pojedynczego magnesu 10,5mm, jego wysokości 8mm i szczeliny powietrznej pomiędzy przeciwległymi magnesami tworzącymi układy Halbacha również 8mm, wartość ta jest stała na całej długości osi i wynosi B z = 0.74[T]. Oczywiście, wzorów wyprowadzonych dla nieskończenie długiego magnesu sztabkowego nie można użyć do wyznaczenia wartości indukcji nad magnesami będącymi wycinkami pierścienia. Można jednak porównać wartość indukcji nad magnesem sztabkowym z wartością nad magnesem o kształcie zbliżonym do trapezu. 27

29 W tym celu można przyjąć, że szerokość magnesów jest równa cięciwie opartej na łuku o promieniu r (Rysunek 1.13) co w przypadku magnesów o małej rozpiętości kątowej jest bardzo dobrym przybliżeniem. Cięciwa ta zwiększa swoją długość wraz ze wzrostem promienia, który leży na osi y. Rysunek Magnes o kształcie trapezoidalnym o rozpiętości kątowej 2α. Przekłada się to na to, że parametr β staje się funkcją promienia a więc przyjmuje postać: β(r) = π 4 tan(α)r 1.35 Uwzględniając zależność 32 we wzorze -33 oraz zakładając promień wewnętrzny magnesu R in = 60[mm], promień zewnętrzny R out = 100[mm] oraz 2α = 7.5 otrzymamy rozkład składowej normalnej indukcji magnetycznej wzdłuż promienia pod biegunem (Rysunek 1.14). 28

30 B [T] R [mm] Rysunek Wyznaczony analitycznie rozkład składowej normalnej indukcji magnetycznej wzdłuż promienia, w środku szczeliny powietrznej, pomiędzy dwoma warstwami magnesów ułożonymi w szyk Halbacha, przy uwzględnieniu zmienności parametru. Wartość maksymalna tak wyznaczonej składowej normalnej indukcji magnetycznej wynosi B Zmax = 0.78[T], wartość minimalna B Zmin = 0.66[T], natomiast średnia B Zavg = 0.73[T]. Bardzo ważnym czynnikiem, który nie jest uwzględniany w powyższych obliczeniach analitycznych jest rozproszenie strumienia, jakie zachodzi przy wewnętrznej i zewnętrznej krawędzi magnesów [40]. Żeby mieć pełen obraz tego zjawiska niezbędne jest posłużenie się obliczeniami wykorzystującymi metodę MES 3D. Rysunek Wyznaczony metoda MES 3D rozkład składowej normalnej indukcji magnetycznej wzdłuż promienia, w środku szczeliny powietrznej, pomiędzy dwoma warstwami magnesów ułożonymi w szyk Halbacha. 29

31 Maksymalna wartość indukcji obliczona metodą MES 3D wynosi B Zmax = 0.79[T], wartość minimalna B Zmin = 0.39[T], natomiast średnia B Zavg = 0.72[T]. Porównując wyniki obliczeń dokonanych metodą analityczną oraz MES 3D można zauważyć, że dla obu przypadków wartości średnie rozkładów indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej wzdłuż promienia jest niemal identyczna. Wyniki obliczeń MES 3D pokazują, że wartość indukcji magnetycznej w szczelinie, na promieniach wewnętrznym i zewnętrznym spada o ponad 50% w stosunku do wartości średniej. Przekłada się to na zmniejszona wartość momentu obrotowego generowanego w interakcji z prądem płynącym przez uzwojenia w tym obszarze. Tabela 1.2. Porównanie wartości składowych normalnych wektora indukcji magnetycznej w środku szczeliny powietrznej, wzdłuż promienia na środku bieguna. Porównano wyniki obliczeń nieuwzględniających (1) oraz uwzględniających (2) zmienności szerokości trapezoidalnego magnesu w funkcji długości promienia oraz wyniki otrzymane metodą MES 3D. Obliczenia analityczne (1) Obliczenia analityczne (2) Obliczenia MES 3D B Zmax 0,78 [T] 0.79 [T] B Zmin 0.74 [T] 0,66 [T] 0.39 [T] B Zavg 0,73 [T] 0.72 [T] 1.7 Uzwojenia maszyn tarczowych. Uzwojenia maszyn tarczowych najczęściej występują w wykonaniu z zachodzącymi za siebie cewkami (Rysunek 1.16a) lub cewkami usytuowanymi obok siebie (Rysunek 1.16b), chociaż istnieją także inne, mniej popularne konstrukcje jak np. uzwojenia ewolwentowe [41, 42]. 30

32 a) b) Rysunek Schematyczne uzwojenia maszyn tarczowych wykonane z zachodzącymi za siebie cewkami poszczególnych faz a) oraz z cewkami sąsiadującymi obok siebie b). Uzwojenia z zachodzącymi za siebie cewkami mogą występować w różnych wariantach. Mogą być wykonane, jako szereg połączonych ze sobą klasycznych cewek (uzwojenie pętlicowe) lub jako uzwojenie faliste [43]. W obu przypadkach możliwa jest budowa jedno lub dwuwarstwowa, przy czym przez liczbę warstw rozumiana jest ilość płaszczyzn, na których umieszczane są boki uzwojeń. W maszynach tradycyjnych z polem promieniowym i uzwojeniem bez skosu, położenie boku czynnego każdego zezwoju jest opisane w sposób jednoznaczny dwoma współrzędnymi oraz r. Uzwojenie dwuwarstwowe tworzone jest z zezwojów w taki sposób, że dwa boki różnych zezwojów zajmują w przekroju poprzecznym maszyny ( k ( l położenie k, r ) oraz, ) k r, przy czym rk rl, co w praktyce odpowiada położeniu jednego boku nad drugim w tym samym żłobku. W maszynach tarczowych, jeśli boki czynne zajmują położenie promieniowe, położenie boku czynnego każdego zezwoju jest opisane w sposób jednoznaczny dwoma współrzędnymi oraz z. Dla uzwojeń średnicowych, tzn. o rozpiętości boków czynnych równych podziałce biegunowej p, ( k k boki tego samego zezwoju zajmują położenie: dla uzwojeń jednowarstwowych, z ) oraz, z ) (Rysunek 1.17b), natomiast w wykonaniu dwuwarstwowym:, z ) ( k p k ( k k oraz (, gz), gdzie gz - grubość zezwoju i elementu nośnego. (Rysunek 1.17a k p z k i Rysunek 1.19). 31

33 Rysunek Fragmenty 3-fazowych uzwojeń a) 2-warstwowego b) 1-warstwowego wraz z przekrojem na promieniu średnim. Pola powierzchni przekrojów boków cewek w obu przypadkach są takie same. Materiał, z jakiego wytwarzane są uzwojenia to miedziany drut nawojowy lub lica nawojowa. Na rysunku 1.17 znajduje się zdjęcie trójfazowego uzwojenia jednowarstwowego z cewkami umieszczonymi obok siebie tak jak na rysunku 1.16b. 32

34 Rysunek Przykład wykonania jednowarstwowego uzwojenia twornika maszyny tarczowej. Prezentowane jest uzwojenie faliste wykonane licą nawojową. Źródło Na rysunku 1.18, przedstawione zostało przykładowe wykonanie uzwojenia z cewkami zachodzącymi na siebie, dwuwarstwowego, w trakcie umieszczania na pierścieniowym elemencie nośnym, który oddziela i pozycjonuje boki cewek - każdy z boków zezwoju leży po innej stronie pierścienia. 33

35 Rysunek Fragment uzwojenia dwuwarstwowego w trakcie montażu na laminatowym pierścieniu nośnym. Źródło KOMEL. Cewki uzwojeń bezrdzeniowych maszyn tarczowych, po właściwym uformowaniu są zalewane odpowiednim wypełniaczem, tworząc w ten sposób tarczę twornika. Współcześnie są to najczęściej materiały polimerowe. Spotykane są również konstrukcje, w których uzwojenia nawinięte są na ciepłowody, którymi tłoczone jest medium odprowadzające ciepło. Przykładem maszyny wykorzystującej takie rozwiązanie jest wielostopniowa, tarczowa maszyna trakcyjna służąca do bezpośredniego napędu kół [44]. Z przedstawionego w [39, 46] porównania uzwojeń z cewkami zachodzącymi na siebie i usytuowanymi obok siebie wynika, że ważnymi cechami uzwojeń z cewkami sasiadujacymi obok siebie są: prostsze struktura uzwojenia ułatwiająca wykonanie i obniżająca koszt produkcji, mniejsza ilość połączeń czołowych, z czego może wyniknąć zmniejszenie średnicy maszyny. 34

36 Autorzy [39, 46] zwracają jednak uwagę na mniejszy moment wytwarzany przez maszyny z uzwojeniem z cewkami sąsiadującymi, szczególnie w przypadku maszyn o małej liczbie biegunów. Wśród uzwojeń z cewkami zachodzącymi na siebie przeważają konstrukcje o liczbie cewek na biegun i fazę równej 1/2. Wynika to zarówno z literatury, np. [45, 46], jak i informacji od producentów. Przykładem może być maszyna e-torq TM produkowana przez firmę Bodine Electric Company, Chicago, IL, U.S.A. Jest to najgorsze uzwojenie spośród trójfazowych uzwojeń symetrycznych, produkujące przepływ prostokątny, które w maszynach tradycyjnej konstrukcji stosuje się bardzo rzadko. Tutaj pole oddziaływania twornika jest bardzo niewielkie i nie ma to istotniejszego znaczenia. Maksymalny przekrój boku cewki (S c ) determinowany jest przez minimalny promień (R min ), na jakim bok cewki będzie się znajdował, oraz grubość szczeliny. Liczba boków cewek leżących w jednej płaszczyźnie wynika z liczby faz uzwojenia (w rozpatrywanym przypadku 3), liczby cewek przypadających na fazę oraz tego, czy uzwojenie jest jedno, czy dwuwarstwowe. Maksymalna grubość umieszczonego w szczelinie uzwojenia może mieć w przypadku uzwojenia jednowarstwowego grubość dwukrotnie większą od odpowiadającego mu uzwojenia dwuwarstwowego. Rysunek Sąsiadujące ze sobą dwie cewki uzwojenia zachodzące na siebie. Maksymalna szerokość boku cewki a (Rysunek 1.20) uzwojenia jednowarstwowego wynosi: 35

37 a < 2 R min tg ( 30 l c ) 1.36 Dla uzwojenia dwuwarstwowego wynosi: a < 2 R min tg ( 60 l c ) 1.37 Porównując w oparciu o powyższe zależności maksymalne przekroje boków cewek obu typów uzwojeń, jakie hipotetycznie mogą zostać umieszczone w uzwojeniu o zdeterminowanym R min, a także przy założeniach, że wykonane zostały idealnie oraz pomiędzy warstwami uzwojenia dwuwarstwowego nie ma odstępu wynikającego z istnienia pierścienia nośnego, na który nawinięto cewki, obie wartości są takie same. Różnica polega na tym, że w przypadku uzwojenia dwuwarstwowego bok cewki ma dwukrotnie większą szerokość niż w uzwojeniu jednowarstwowym. Z kolei grubość boku cewki uzwojenia jednowarstwowego jest dwukrotnie większa niż ma to miejsce w uzwojeniu dwuwarstwowym (Rysunek 1.17), czyli inne jest jego rozmieszczenie przestrzenne natomiast powierzchnia przekroju jest taka sama. W praktyce, uzyskanie upakowania uzwojenia w sposób opisania powyżej jest trudne i zdeterminowane dostępna technologią wytwarzania tego typu uzwojeń. Problematyczne jest również umiejscowienie polaczeń czołowych uzwojeń, które zajmują przestrzeń w maszynie poniżej jej wymiarów R min oraz R max. Rysunek 1.18 przedstawia uzwojenie, w którym połączenia czołowe są ze sobą splecione. Położenia czynnych boków uzwojeń może mieć istotne znaczenie dla wielkości i charakteru sił mechanicznych wywieranych na przewody oraz SEM indukowanych w zezwojach wykonanych z tych przewodów. Rozważane konstrukcje można porównywać pod kątem realnych możliwości takiego usytuowania uzwojeń w szczelinie, które zapewnia np. największy moment, najmniejszą składową zmienną momentu, wymagany przebieg indukowanej SEM. Ze względu na fakt potencjalnych trudności w wykonaniu uzwojenia maksymalnej gęstości upakowania zwojów takiej jak wynika to z a<2 R min tg ( 30 l c ) Rmin tg60 lc 1.37, w obliczeniach symulacyjnych rozważono również uzwojenia o polach przekroju boku pojedynczej cewki o połowę mniejszej. 36

38 1.8 Zastosowanie maszyn tarczowych. Silniki tarczowe ze względu na swoją budowę stanowią ciekawą alternatywę dla silników o magnesowaniu radialnym w aplikacjach, w których ograniczony jest rozmiar maszyny w kierunku jej osi obrotu natomiast nie jest w kierunku jej promienia. Należy zwrócić uwagę, że rozmiar takiej maszyny w kierunku promieniowym jest jednym z głównych czynników determinujących rozwijany przez nią moment obrotowy [47, 48]. Istnieje wiele opisów zastosowania silników tarczowych, jako napędów pojazdów elektrycznych, gdzie silniki są zabudowane bezpośrednio w felgach kół [49]. Maszyny tarczowe z powodzeniem znajdują również zastosowanie, jako generatory w farmach wiatrowych [50, 51, 52, 53], serwomechanizmy [54] a także napędy trakcyjne [55, 56]. Zastosowanie ich wypełnia również obszar konstrukcji silników lotniczych [57]. Najbardziej zaawansowane konstrukcje maszyn tarczowych wykorzystywane są do celów militarnych, np. wykonywane przez firmę LaunchPoint Technoologeis [58]. Twierdzenie o wyższości konstrukcji tarczowych nad maszynami o tradycyjnym magnesowaniu radialnym, lub odwrotnie, byłoby ryzykowne. Maszyny tarczowe na razie mogą stanowić konkurencję dla maszyn tradycyjnych w zakresie małych i średnich mocy oraz niskich napięć. W tych przedziałach mocy, w zależności od zastosowanych materiałów i rozwiązań konstrukcyjnych, spotkać można maszyny o znakomitym uzysku mocy z jednostki masy i objętości zarówno z grupy maszyn tarczowych, jak i tradycyjnych Maszyny tarczowe jako generatory w elektrowniach wiatrowych. Ciągły wzrost zapotrzebowania na energię elektryczną, przy równoczesnym działaniom prewencyjnym przeciw zmianom klimatycznym, wymuszają bardziej optymalne wykorzystanie odnawialnych źródeł do jej produkcji. Elektromechaniczne przetwarzanie energii wykorzystujące generatory do produkcji prądu odgrywa w tym kluczową rolę. Z tego właśnie względu istotne jest zwiększanie ich wydajności. Jednym ze sposobów jest stosowanie wielobiegunowych generatorów wzbudzanych magnesami 37

39 trwałymi, które ze względu na swoje właściwości przystosowane są do pracy przy niskich obrotach i mogą być stosowane bez użycia przekładni. Dzięki temu ulega obniżeniu masa generatora a także jego koszt. Również wytwarzany jest mniejszy hałas. Maszyny pracujące bez przekładni wymagają również mniejszych nakładów na ich konserwacje i utrzymanie [59]. Współcześnie bardzo dynamicznie rozwija się przetwarzanie energii wiatrowej na energię elektryczną. W ostatnich latach zaobserwowano kilkukrotny spadek cen wytwarzania turbin wiatrowych, a przyrost mocy zainstalowanych w elektrowniach wiatrowych ma charakter wykładniczy. Szacuje się, ze światowy potencjał energii wiatru jest około 5000 razy większy niż łączna energia uzyskiwana rocznie ze spalania węgla.[60] W artykule [61] autorzy dokonali obszernego porównania generatorów przystosowanych do pracy bezpośredniej a także w połączeniu z przekładnią, w turbinach wiatrowych. Na jej podstawie sformułowali szereg wniosków m. in.: Generatory synchroniczne wzbudzane magnesami trwałymi przeznaczone do pracy bezpośrednie charakteryzują się największą wydajnością energetyczną i najmniejszymi stratami. Nie wymagają dodatkowego zasilania do układu wzbudzenia. Mają wyższy współczynnik mocy do masy. Autorzy dokonali również porównań generatorów wzbudzanych magnesami trwałymi pod względem ich konstrukcji. W ich wyniku wskazali, że generatory tarczowe w porównaniu do tych o magnesowaniu radialnym cechują się kompaktową budowa, mniejszym momentem zaczepowym i generowanym hałasem oraz większym momentem z objętości. Jednak trudności w wykonaniu twornika oraz w utrzymaniu stałej wielkości szczeliny powietrznej ze względu na siły przyciągania tarcz z magnesami, przy obecnie dostępnej technologii ich wykonania, pozostawia im obszar zastosowań głownie w generatorach małej i średniej mocy. W generatorach dużych mocy zastosowanie znajdują maszyny o magnesowaniu radialnym, chociaż istnieją projekty budowy generatora tarczowego o mocy nawet 10[MW] [62]. Bezrdzeniowe maszyny tarczowe pasują idealnie do małych, przydomowych elektrowni wiatrowych zarówno o pionowej jak i poziomej osi obrotu. Dzięki wielobiegunowej konstrukcji a także braku momentu zaczepowego mogą pracować przy niewielkiej sile wiatru a do rozruchu potrzebne jest pokonanie jedynie momentu 38

40 bezwładności wirnika. W artykule [63] autorzy przedstawiają konstrukcje wolnoobrotowego trójfazowego generatora tarczowego o mocy 2kW przeznaczonego do pracy głównie w elektrowni wiatrowej o pionowej osi obroty. 40-to biegunowa budowa tej maszyny pozwala uzyskać moc znamionową przy prędkości 90 [obr/min]. Prąd fazowy oraz napięcie międzyfazowe przy tej prędkości wynoszą odpowiednio I=4,7A[A], U=250[V]. 39

41 2 Modele maszyn tarczowych do badań symulacyjnych. Celem badań było porównanie mocy jednostkowej dwóch konstrukcji tych samych gabarytów, stąd projekt modeli fizycznych nie przebiegał w sposób tradycyjny, tzn. wychodząc od mocy znamionowej. Wymiary projektowanej maszyny zostały dobrane tak, aby poszczególne elementy maszyny były wykonywalne przy obecnie dostępnej technologii w firmie KOMEL. Jako krytyczne potencjalny producent uznał minimalne wymiary magnesów 2 przewidzianych do ułożenia w szereg Halbacha, których w tym przypadku jest dwukrotnie więcej niż w przypadku wzbudzenia z klasycznym układam magnesów. Ponieważ cena maszyny rośnie z wymiarami, minimalne wymiary magnesów stały się głównym elementem determinującym parametry modeli. Kolejnym była zaczerpnięta z literatury [39] informacja, według której maszyna tarczowa rozwija największy moment obrotowy w przypadku, gdy stosunek R in do R out wynosi około 3. W modelowanych maszynach założono, że mają one po 12 par biegunów. Jako materiał magnetyczny magnesów przyjęto N38, który występuje na rynku w wersji, której temperatura pracy sięga do 200 C a indukcja remanentu wynosi 1,23 [T]. Gęstość tego typu magnesów zazwyczaj mieści się w przedziale ρ PM = 7,3 7,6 [g/ cm 3 ]. W modelach wykorzystano uzwojenia pętlicowe, z zachodzącymi za siebie bokami cewek kolejnych faz, w których liczba cewek na biegun i fazę wynosi ½ (rysunek 1.20). Rozpiętość kątowa pojedynczej cewki to ε = 15 a kąt pomiędzy kolejnymi nokami cewek uzwojenia β = 5.Uzwojenie zostało zaprojektowane w taki sposób, żeby wymiary promieniowe jego części czynnych pokrywały się z wymiarami promieniowymi magnesów. Jego grubość została zdeterminowana przez wymiar szczeliny powietrznej natomiast szerokość pojedynczego boku cewki uzwojenia zgodnie z zależnościami a<2 R min tg ( 30 l c ) 1.36 i a<2 R min tg ( 60 l c ) Materiał magnesów wykazuje się dość dużą kruchością. 40

42 Przybliżoną wartość siły przyciągania tarcz została określona na podstawie zależności (Fz 1 2 B2 mg S μ pm 2.1) zaczerpniętej z [39] i w przypadku 0 rozpatrywanego modelu wynosi około 2700[N]. F z 1 2 B2 mg S μ pm Model maszyny z klasycznym układem wzbudzenia. Model maszyny ze wzbudzeniem klasycznym zakłada, że ma ona 12 par biegunów, czyli po 24 neodymowe magnesy przypadające na jedną ferromagnetyczną tarczę wirnika (rysunki ). Materiał tarczy wirnika stanowi w tym przypadku żelazo, którego względną przenikalność magnetyczną przyjęto 3 μ Fer = 7000, gęstość ρ = 7,8[g/ cm 3 ]. Masa pojedynczego magnesu, wynosi 42,5[g], masa wirnika, czyli wszystkich magnesów wraz z tarczami wynosi 5 [kg] (2,04 [kg] same magnesy). Moment bezwładności dwóch tarcz z magnesami wynosi 0,0336 [kg m 2 ]. 3 Ze względu na punkt pracy na charakterystyce magnesowania tarcz stalowych. 41

43 Rysunek 2.1. Tarcza wirnika maszyny AFPMM z magnesami w układzie klasycznym. W tabeli 2.1 zestawiono najważniejsze wymiary modelu maszyny tarczowej z ferromagnetycznymi tarczami oraz wzbudzeniem w układzie klasycznym. Tabela 2.1. Wymiary geometryczne modelu maszyny AFPMM z klasycznym układem wzbudzenia. R in R out H pm γ φ δ H disk 60 mm 100 mm 8 mm mm 5 mm 42

44 Rysunek 2.2. Magnes klasycznego układu wzbudzenia maszyny AFPMM. Rysunek 2.3. Polaryzacja magnesów umieszczonych na dwóch tarczach w maszynie AFPMM z klasycznym układem wzbudzenia. 43

45 Rysunek 2.4. Grubość szczeliny powietrznej w maszynie AFPMM z klasycznym układem wzbudzenia. 2.2 Model maszyny ze wzbudzeniem w układzie Halbacha. Dzięki zastosowaniu układu Halbacha, możliwe jest zwiększenie pola magnetycznego po jednej stronie tarczy wirnika i redukcji niemal do zera po drugiej. W dwustronnym silniku tarczowym pozwala to na kondensację pola magnetycznego w szczelinie powietrznej. Nie jest również potrzebne stosowanie ferromagnetycznych tarcz domykających strumień magnetyczny. Maszyna z systemem wzbudzenia w układzie Halbacha o tej samej liczbie biegunów, jak ze wzbudzeniem klasycznym, wymaga większej ilości magnesów, co komplikuje ich montaż i zwiększa masę. Jednak dzięki możliwości zastosowania lżejszych tarcz wirnika sumaryczna masa takiej konstrukcji i moment bezwładności mogą być mniejsze. 44

46 Model 24 biegunowej maszyny tarczowej, ze wzbudzeniem pochodzącym od magnesów w układzie Halbacha, składa się z 48 magnesów przypadających na jedną tarczę. Wymiary maszyny zostały dobrane w sposób podobny jak to miało miejsce dla klasycznego układu wzbudzenia. Zmianie uległa jedynie rozpiętość kątowa pojedynczego magnesu oraz ich łączna ilość. Materiał magnetyczny w tym przypadku to także N38. W przypadku tego typu konstrukcji, jako materiał tarcz wirnika przyjęto włókno węglowe o gęstości ρ CF = 2[g/cm 3 ]. Waga pojedynczego magnesu wynosi 24,3 [g], a masa wirnika, czyli magnesów wraz z tarczami wynosi 3,15 [kg] (2,33 [kg] same magnesy). Moment bezwładności dwóch tarcz z magnesami wynosi 0,0213,5 [kg m 2 ]. Rysunek 2.5. Tarcza wirnika maszyny AFPMM z magnesami w układzie Halbacha. 45

47 Rysunek 2.6. Magnes wzbudzenia w układzie Halbacha maszyny AFPMM. Rysunek 2.7. Kierunek wektorów polaryzacji magnetycznej poszczególnych magnesów dwustronnego silnika tarczowego, ułożonych w układ Halbacha. 46

48 Rysunek 2.8. Grubość szczeliny powietrznej w maszynie AFPMM z wzbudzeniem w układzie Halbacha. W tabeli 2.2 zestawiono najważniejsze wymiary modelu maszyny z węglowymi tarczami oraz wzbudzeniem w układzie Halbacha. Tabela 2.2. Wymiary geometryczne maszyny AFPMM ze wzbudzeniem pochodzącym od magnesów trwałych w układzie Halbacha. R in R out H pm γ δ H disk 60 mm 100 mm 8 mm 7,5 8 mm 5 mm 47

49 3 Specyfika obwodów magnetycznych maszyn dwutarczowych z magnesami trwałymi i bezrdzeniowym twornikiem. Generalnie przyjmuje się, że obliczenia dotyczące obwodów z magnesami trwałymi, pozbawionych feromagnetycznego magnetowodu, dla zapewnienia wiarygodnych wyników należy wykonywać metodami polowymi, najwygodniej MES. Jednak niejednokrotnie, z różnych powodów, za celowe uznać można próby przybliżonego, analitycznego określenia indukcji w wybranych punktach magnetowodu oraz ocenę relacji pomiędzy tymi wartościami oraz wartościami średnimi, a także zbadanie uzależnień tych relacji. Na przykład, korzystnie jest porównać wyniki uzyskane z MES 3D z wartościami uzyskanymi z przybliżonych obliczeń, ale o dużym udziale zależności wyrażonych analitycznie. Do takich obliczeń zachęcają też uporządkowane przebiegi linii sił w magnesach trwałych, uzyskane MES. Rozpatrzone zostaną dwa obwody magnetyczne przedstawione na rysunkach Rysunek 3.1 i Rysunek 3.2. Założeniem przy ich tworzeniu było zachowanie proporcji odpowiadających wymiarom badanych maszyn na powierzchni współosiowego cylindra o średnicy (R in + R out ). Oba obwody odpowiadają w gruncie rzeczy wspólnej strukturze, która przez zmianę własności odpowiednich fragmentów może być wykorzystana do analizy obwodu wzbudzanego układem magnesów klasycznym, lub Halbacha. W obliczeniach MES przyjęto wysokość oraz szerokość magnesów h pm równą 8mm. Wielkość szczeliny powietrznej δ zmieniano w zakresie 4mm 15mm. Dla elementów ferromagnetycznych magnetowodu (jeśli są) przyjmowano stałą przenikalność względną równą 7000, co pozwalało pominąć napięcia magnetyczne w żelazie. Parametry magnesów użytych do obliczeń to H c = [A/m], μ R = 1,099, B R = 1,23 [T]. Wprawdzie po rozwinięciu wspomnianego wyżej współśrodkowego cylindra mogły pozostać na nim dwie współrzędne walcowe α oraz z, ale wygodniej było dokonywać analiz we współrzędnych prostokątnych: x = αr oraz y = z. Modele tworzą struktury periodyczne tzn. warunki na lewym i prawym brzegu modelu są do siebie 48

50 dopasowane. Wykorzystywany program MES 2D 4 przyjmuje długość modelu w kierunku z równą 1m. Magnesy polaryzowane w kierunku zgodnym z osią y będą dalej nazywane osiowymi, natomiast pozostałe - obwodowymi, ponieważ takimi są w modelowanych obiektach. Rysunek 3.1. Fragment obwodu magnetycznego z magnesami ułożonymi klasycznie, oraz z ferromagnetycznymi rdzeniami. Rysunek 3.2. Fragment obwodu magnetycznego z magnesami w układzie Halbacha. Podstawą obliczeń analitycznych wartości indukcji w obwodach manetycznych jest na ogół prawo przepływu. W sytuacjach szczególnych, dzięki przewidywanemu 4 Korzystano z programu FEMM. 49

51 rozkładowi pola, można przy obliczaniu całki krzywoliniowej prawa przepływu dobrać drogę całkowania l w taki sposób, aby iloczyn skalarny zastąpić zwykłym oraz wyodrębnić na tej drodze fragmenty, wzdłuż których dopuszczalne jest założenie stałego natężenia pola: H dl H j l j Az 3.1 l j Symbolem rysunku. Az oznaczono amperozwoje objęte drogą całkowania, niezaznaczone na Dla obwodów magnetycznych jak na powyższych rysunkach drogę całkowania spełniającą powyższe wymagania zaznaczono linią przerywaną. Jej przebieg pokrywa się z osiami symetrii magnesów, co pozwala założyć jednakowy kierunek wektorów H oraz dl. Natężenie wzdłuż drogi l jest inne w każdym z wyodrębnionych fragmentów obwodów i w różnym stopniu ulega zmianom w poszczególnych fragmentach. Jeśli założyć, że w ramach każdego z fragmentów jest jednakowe, symetria układu powoduje, że w równaniu przepływu wystąpią dwie lub trzy nieznane wartości natężenia pola. W maszynach z polem radialnym i magnesami powłokowymi, gdy promieniowy wymiar szczeliny jest bez porównania mniejszy od obwodowego wymiaru odstępu (luki) pomiędzy magnesami, pominięcie strumienia rozproszenia magnesów pozwala określić punkt pracy magnesów w obwodzie. W szczególności, dla prostoliniowej ch-ki odmagnesowania współrzędne tego punktu można wyrazić analitycznie [69, 70]. Dla obwodów magnetycznych maszyn tarczowych z bezrdzeniowym twornikiem wymiary szczelin i magnesów są porównywalne (jak na rysunkach 3.1 i 3.2) i nie można pominąć strumienia zamykającego się między sąsiednimi magnesami. Konsekwencją istnienia tego strumienia będzie między innymi różnica wielkości strumienia wychodzącego z powierzchni przyszczelinowej magnesu i strumienia przechodzącego przez powierzchnię, na której rozłożone są uzwojenia. Przy wzbudzeniu za pomocą układu Halbacha trudno nawet przewidzieć relację pomiędzy tymi strumieniami. 50

52 Wykorzystując prawo przepływu i powyższe założenia, dla drogi całkowania w obwodzie jak na rysunku 3.2 można zapisać: 1 2HPMx hpm 4H PMy hpm 2Hg y Az przy czym: H PMx H PMy - średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w magnesach obwodowych, - średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w magnesach osiowych, na odcinku H g y od szczeliny do połowy wysokości magnesu, - średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w szczelinie powietrznej. Relację pomiędzy natężeniami w magnesach obwodowym i promieniowym uwzględnić można współczynnikiem : H H PMx PM y 3.3 Strumień wektora indukcji przekraczający szczelinę powietrzną w przedziale podziałki biegunowej g może i na ogół różni się od strumienia PM, wychodzącego z magnesu promieniowego jego powierzchnią przyszczelinową. Zostanie to uwzględnione współczynnikiem : g PM 3.4 przy czym: l 1 g B g y 3.5 B 3.6 PM bpml1 PMy Bg y - średnia wartość indukcji w przedziale podziałki biegunowej w środku szczeliny, BPMy - średnia wartość indukcji w magnesie przy powierzchni magnesu osiowego, l 1- umowna długość jednostkowa modelu, - podziałka biegunowa [m], bpm- szerokość magnesu osiowego. Wartości B odpowiada w szczelinie średnia wartość natężenia, przy czym g y H g y B g y H 3.7 o g y 51

53

54 H g y - średnie natężenie wzdłuż drogi całkowania w szczelinie powietrznej, l mm - szerokość luki miedzy magnesami. Relację pomiędzy natężeniami w magnesie osiowym i luce pomiędzy magnesami uwzględnić można współczynnikiem : Dla H H Fe lx PM y 3.15 oraz braku strumienia w luce między magnesami 1. Uwzględniając (3.9), (3.11) i (3.15) w (3.14) otrzyma się: 1 l h ) H ( mm hpm) BPMy bm BPMy Az ( l 2 mm m o Stąd można wyznaczyć wartość indukcji w magnesie osiowym przy powierzchni przyszczelinowej B PMy, a następnie Bg y indukcji w przedziale podziałki biegunowej w środku szczeliny: pm C, tzn. wartość średnią składowej normalnej B g y 1 Az ( lmm hpm) H 2 C o lmm hpm b pm mr 3.17 Z porównania (3.13) z (3.17) wynika, że wartość średnią indukcji w szczelinie można przedstawić wzorem ogólnym: B g y o 1 2 Az lz H C lz b pm mr 3.18 w którym zastępcza długość magnesów lz (w kierunku wektora polaryzacji) wynosi: l ( 1) - dla układu Halbacha, l z h pm z l h - dla układu klasycznego, mm pm lz 2h pm - dla układu klasycznego bez uwzględnienia strumienia w luce między magnesami oraz l h. mm pm 53

55 zapisać w postaci: B W przypadku pola wzbudzonego tylko magnesami Az = 0 i (3.18) można r g y 3.19 mr B l b z pm Oczywiście, wzór (3.18) i (3.19) nie stanowi żadnej alternatywy dla obliczeń MES, ponieważ wartości współczynników, oraz muszą pochodzić z obliczeń tą metodą. W oparciu o przedstawione obwodowe, dyskretne traktowanie magnetowodu nie można wyznaczyć lokalnych wartości indukcji, czy natężenia pola. Tym niemniej wydaje się, że oba wzory bardzo dobrze charakteryzują oba układy oraz powiązania pomiędzy wymiarami. W znacznej mierze uwarunkowane jest to od przebiegiem zmian poszczególnych współczynników. Na rysunkach przedstawiono zależności współczynników, oraz od szczeliny obliczone MES dla klasycznego układu magnesów - Rysunek 3.3 oraz układu Halbacha - Rysunek 3.4. Na rysunkach zamieszczono także przebieg zmian współczynnika w ( p ), nazwanego współczynnikiem przewyższenia, określonego jako: B avg wp 3.20 Bmg czyli relacja wartości średniej indukcji w szczelinie do wartości maksymalnej. Dla sinusoidy w 0, k Na rysunkach 3.5 oraz 3.6 przedstawiono wartości średnie indukcji w szczelinie obliczone MES oraz wg (3.19), a także błąd względny wyników pochodzących z (3.19). 54

56 2.5 Uklad klasyczny, alfa-red, beta-blue, ksi-black, wsp.przew.-green 2 wspolczynniki bezwymiarowe szczelina [mm] Rysunek 3.3 Zależności współczynników, oraz od szczeliny, obliczone MES dla klasycznego układu magnesów. 3 Uklad Halbacha, alfa-red, beta-blue, ksi-black, wsp.przew.-green 2.5 wspolczynniki bezwymiarowe Rysunek 3.4 Zależności współczynników, oraz od szczeliny, obliczone MES dla układu Halbacha szczelina [mm] 55

57 0.45 Uklad klasyczny, Bavg: obl.dokl.-red, obl.przybl.-black, blad wzgl.-blue B[T], blad obl.wzgl szczelina [mm] Rysunek 3.5 Wartości średnie indukcji w szczelinie obliczone MES oraz wg (3.19), a także błąd względny wyników pochodzących z (3.19) dla układu klasycznego. 0.8 Uklad Halbacha, Bavg: obl.dokl.-red, obl.przybl.-black, blad wzgl.-blue B[T], blad obl.wzgl szczelina [mm] Rysunek 3.6 Wartości średnie indukcji w szczelinie obliczone MES oraz wg (3.19), a także błąd względny wyników pochodzących z (3.19) dla układu Halbacha 56

58 Obliczenia wg (3.19) dają konsekwentnie wyniki o kilka procent niższe aniżeli MES, ale przy tak wielu uproszczeniach uzyskaną dokładność można akceptować wobec poglądowości opisu strukturalnie wspólnego dla obu rozważanych konstrukcji. Na podstawie wzoru (3.18) można dokonać oceny wpływu amperozwojów Az na wartości średnie indukcji w obwodach, przez porównanie wartości składników licznika: 1 2 Az oraz l z H C. Jeśli lmm h pm dla obu układów l ( 1) h z pm. W układzie Halbacha, dla 8mm oraz h pm 8mm iloczyn l A. A więc wpływ uzwojenia z H C twornika na poziomie przekraczającym 1% uzyska się dla Az > 385A. Ponieważ powierzchnia zawarta wewnątrz drogi całkowania, w której mogą znaleźć się uzwojenia wynosi 128mm 2, przyjmując jej wypełnienie miedzią w 80% oraz gęstość prądu ok. 4A/mm 2, największe ciągłe oddziaływanie twornika mogłoby wynosić ok. 400A. Dla urealnienia tych szacunków wykonano obliczenia symulacyjne dla obu obwodów magnetycznych przedstawionych na rysunkach 3.1 oraz 3.2, w których do szczelin powietrznych wprowadzono uzwojenia cewek rysunek 3.7. Wielowarstwowe cewki wypełniają szerokość szczeliny powietrznej pomiędzy magnesami osiowymi, pozostawiając po 1mm odstępu od powierzchni magnesów. Przedstawiona na rysunku sytuacja odpowiada największej liczbie amperozwojów zastosowanego rodzaju uzwojenia, jaka rzeczywiście może znaleźć się w obrębie drogi całkowania. W obliczeniach MES przyjęto gęstość prądu w cewce J = 5A/mm 2. Ponieważ powierzchnia przekroju cewki S c jest zależna od osiowego wymiaru szczeliny, zamiast amperozwojami Iz w pojedynczej cewce posłużono się iloczynem 1 2 Jk ws c, w którym symbolem k w oznaczono współczynnik wypełnienia przez uzwojenie przekroju cewki. Przyjęto k w = 0,8. Dla szczeliny iloczynu 1 2 Jk ws c odpowiada prądowi znamionowemu. 8mm (jak w badanych konstrukcjach) wartość 57

59 Rysunek 3.7 Szczelina powietrzna wraz z przekrojem wielowarstwowych cewek powietrznych umieszczonych pomiędzy magnesami na osiach dwóch kolejnych biegunów. W obliczeniach uwzględniono zmiany osiowego wymiaru szczeliny w przedziale jak w obliczeniach wcześniejszych. Z przeprowadzonych obliczeń MES wynika, że największy wpływ amperozwojów cewki daje się zauważyć w natężeniach pola magnesów trwałych. Występuje dla największych uwzględnianych szczelin i nie przekracza 0,35% wartości przy zerowym prądzie cewki. Na rysunkach 3.8 i 3.9 przedstawiono wyniki obliczeń MES zmian średniego natężenia pola magnetycznego na osi magnesów. Rysunek 3.8 Układ klasyczny magnesów procentowe zmiany średniego natężenia pola magnetycznego wzdłuż osi magnesu w magnesach osiowych H PM1 spowodowane prądem uzwojenia w odniesieniu do takich samych obwodów lecz bez prądu - obliczone MES. 58

60 Rysunek 3.9 Układ magnesów Halbacha - zmiany średniego natężenia pola magnetycznego wzdłuż osi magnesu w magnesach osiowych H PM1 i obwodowych H PM2 spowodowane prądem uzwojenia w odniesieniu do takich samych obwodów lecz bez prądu - obliczone MES. Uzyskane wyniki obliczeń i symulacji potwierdzają przewidywania, że prądy bezrdzeniowej cewki w szczelinie maszyny tarczowej wpływają na wielkość pola wytwarzanego przez magnesy trwałe, jednak jest to zmiana pomijalnie mała: dla badanych obwodów różnica natężenia pola w magnesach, dla obwodów z cewkami w szczelinie i bez jest na poziomie 0.2%. W związku z tym, w zakresie prądów nieprzekraczających w sposób znaczący prądu znamionowego, wpływ oddziaływania uzwojenia na pole wytwarzane przez magnesy możne zostać pominięty. Przedstawione wzory i obliczenia dla dwóch płaskich fragmentów konstrukcji częściowo lub całkowicie bezrdzeniowych pozwalają przewidzieć i ocenić poziom specyficznych cech obwodów magnetycznych maszyn dwutarczowych z magnesami trwałymi i bezrdzeniowym twornikiem. Pierwszą własnością, która ujawniła się podczas obliczeń, jest istotna różnica pomiędzy strumieniem wychodzącym z magnesu i strumieniem przekraczającym szczelinę, czyli strumieniem linii sił pola "głównego". W przypadku klasycznego układu magnesów jest to spowodowane tzw. strumieniem rozproszenia magnesów, czyli strumieniem zamykającym się pomiędzy sąsiednimi 59

61 magnesami. Strumień ten nadaje obwodowi magnetycznemu charakter równoległego i rozłożonego, w którym pojęcie "punkt pracy magnesu" nie ma w ogóle sensu. Posługiwanie się obwodem zastępczym o parametrach skupionych wymaga korzystania z wartości średnich natężenia i indukcji w poszczególnych fragmentach magnetowodu i powoduje błąd obliczeń. Stwierdzono, że dla rozważanych przypadków konstrukcji z klasycznym układem magnesów błąd ten nie przekracza 5%. Bardziej złożoną jest sytuacja w przypadku układu Halbacha. Na rysunku 3.4 zwraca uwagę współczynnik 1 dla 7mm, co oznacza, że średnia wartość strumienia przekraczającego szczelinę jest większa od strumienia opuszczającego magnes osiowy. Wynika to ze wspomagającego działania magnesów obwodowych układu Halbacha. Ale tutaj również stwierdzono możliwość posługiwania się obwodem zastępczym o parametrach skupionych, jeśli dopuszczalny jest błąd obliczeń nieznacznie przekraczający 5%. Wykorzystanie modeli dyskretnych prowadzi w obu przypadkach do wspólnego strukturalnie wzoru, więc dla porównania obu konstrukcji poszczególne współczynniki występujące w tym wzorze:, oraz to wskazuje na nieco lepsze własności układu Halbacha. należy porównywać w p. Porównanie 60

62 4 Obliczenia momentu, SEM i oddziaływania twornika stosowane przy projektowaniu i symulacji stanów nieustalonych. Wielkościami, które decydują o własnościach maszyny na etapie projektowania są SEM indukowana w tworniku na biegu jałowym generatora, moment rozwijany przez silnik oraz SEM oddziaływania twornika. Powszechny jest pogląd, że moment elektromagnetyczny wytwarzany w maszynie z bezrdzeniowym twornikiem wynika bezpośrednio z sił działających na przewody uzwojenia oraz że siły te mogą być obliczone z równania Ampere a: df = i a (dr B g ) 4.1 Wprawdzie równanie Ampere a dotyczy przewodu cienkiego, jest ono często stosowane w procesie projektowania, także w przypadkach, gdy wymiary przekroju poprzecznego uzwojenia nie są pomijalnie małe w porównaniu z innymi wymiarami strefy przyszczelinowej. Wektor indukcji B g w szczelinie może mieć trzy składowe: osiową Bgz, obwodową Bgα (od pola rozproszenia między magnesami) i składową promieniową 5 Bgr. Składowe te wytwarzają dwie składowe siły F: Bgz - składową obwodową (styczną) Fα, Bgα - składową osiową Fz. Składowa promieniowa Bgr nie wytwarza siły, działając równolegle do przewodu. Ponieważ moment pochodzi od składowej stycznej siły, dla obliczenia momentu wystarczy w 4.1 uwzględnić składową indukcji Bgz. Jest ona funkcją kąta α i promienia r : Bgz = f(α,r). Moment dt wytworzony przez siłę df α działającą na prąd płynący elementem dr wynosi: dt = rdf α = r i a B gz (α, r)dr 4.2 Moment T bz wytworzony przez cały czynny bok zezwoju wynosi: R out T bz = i a r B gz (α, r)dr = T bz (α) 4.3 R in Symbolami R in, i R out oznaczono promienie wewnętrzny i zewnętrzny czynnego boku zezwoju. 5 Odpowiada składowej osiowej w maszynach z polem radialnym. 61

63 Jeśli składową indukcji B gz można uznać za stałą w przedziale R in < r < R out, tzn. B gz (α, r) = B gz (α), moment T bz wynosi: T bz (α) = 1 (R 2 out 2 R 2 in ) i a B gz (α) 4.4 Jest oczywiście funkcją położenia boku zezwoju na obwodzie twornika 6. Moment w wielobiegunowych silnikach tarczowych powstaje w wyniku działania pola na prąd w zezwojach, których wymiary przekroju poprzecznego są porównywalne z podziałką biegunową, więc w celu obliczenia momentu albo należy sumować momenty T bz działające na boki czynne poszczególnych zwojów zezwoju, albo wykorzystać pojęcie gęstości objętościowej siły Lorenza [64]: f = J B g [N/ m 3 ] 4.5 Symbolem J oznaczono rozkład gęstości prądu. Moment działający na bok czynny zezwoju będzie całką objętościową z iloczynu rf α po objętości zajmowanej przez ten bok. Wyznaczenie momentu w oparciu o 4.5 wymaga wykorzystania MES 3D. Mniej dokładne, ale umożliwiające podejście analityczne jest traktowanie zezwoju jako nieskończenie cienkiej warstwy prądowej usytuowanej na tarczy nośnej twornika 7. Szerokość obwodowa warstwy r α powinna być równa szerokości zezwoju, a liniowa gęstość prądu σ a w warstwie taka, żeby "odtwarzać" amperozwoje zezwoju: z z i a = σ a r α 4.6 Wartość σ a w przedziale kątowym α zezwoju wynika z (4.6): σ a = 1 r z z i a α 4.7 Jeśli znany jest rozkład amperozwojów wzdłuż obwodu twornika, zwany przepływem i oznaczany ( ), liniowa gęstość prądu σ a jako funkcja kąta będzie pochodną przepływu: 1 d a ( ) ( ) 4.8 r d 6 Przyjęcie w (4) jako B gz (α) średniej wartości indukcji w przedziale R in, R out jest błędem, ponieważ jako wartość zastępcza może być traktowana jedynie wartość: B gz zast (α) = R 2 out R 2 2 out R r B gz(α, r) dr in R in 7 Teoretycznego uzasadnienia możliwości i zakresu zastosowań "cienkich warstw prądowych" można poszukiwać w pojęciu "łusek magnetycznych" [Tamm I.E., Podstawy teorii elektryczności, WNT, W-wa 1967]. 62

64 Pojęcie liniowej gęstości prądu, znane też pod nazwą okładu prądowego lub liniowego obciążenia prądowego, nie jest pojęciem jednoznacznym. Wykorzystywane przy projektowaniu dla oceny ciepła wydzielanego w jarzmie maszyny jest ilością amperozwojów przypadających na jednostkę długości obwodu jarzma. Przy obliczeniach pola szczelinowego wytwarzanego przez cewkę, funkcja okładu prądowego określa rozkład przewodów tworzących cewkę wokół obwodu szczeliny oraz uwzględnia zmienność prądu cewki w czasie [67, 69]. Przyjęcie modelu z cienkimi warstwami prądowymi pozwala na wykorzystanie pojęcia jednostkowych sił (naprężeń) działających na warstwę prądową, stycznych do powierzchni tarczy. Rozkład naprężeń stycznych na tarczy twornika, w pierścieniu o promieniu r i szerokości dr, wynosi [65, 66]: p (, t) (, t) B (, r, t) [N/m 2 ] 4.9 t przy czym: B g (, r) a g indukcja w szczelinie przy warstwie prądowej. Moment pochodzący od naprężeń stycznych, działający na elementarny pierścień tarczy twornika wynosi: T edr r pt ( )( rd dr) r pt d dr r ( ) a ( ) Bg (, r) d dr W procesie projektowania zwykle uwzględniany jest moment wytwarzany przez podstawowe harmoniczne liniowej gęstości prądu oraz indukcji. Przepływ k-tego symetrycznego uzwojenia trójfazowego o p-parach biegunów można przedstawić funkcją: ak 1,3,5... ( ) mk cos p 3 2 ( k 1), k 1,2, 3 p gdzie: mk 2 N a i 1 ak k p wa 4.11 k wa k wa sin p k p wp k wd sin p k p wp k wd Symbole k, k oznaczają współczynnik skrótu i grupy uzwojenia, kąt jest połową wp wd obwodowej szerokości zezwoju (przedziału kątowego zajętego przez uzwojenie). 63

65 Prąd iak we wzorze (4.11) jest chwilową wartością prądu płynącego w Na zwojach rozważanego uzwojenia.. W szczególnym przypadku zasilania prądami trójfazowymi: iak ( t) Iam cos ot ( k 1) 3 Oklad - blue, I-sza harm.okladu - red, przeplyw*10- black 10 oklad [A/m], przeplyw [A] kat obwodowy [deg] Rysunek 4.1 przykładowy okład prądowy, jego pierwszą harmoniczną oraz przepływ uzwojenia jednej fazy dla p = 12. Na rysunku 4.1 przedstawiono przykładowy okład prądowy, jego pierwszą harmoniczną oraz przepływ uzwojenia jednej fazy dla p = 12, poskok zezwoju y = 15 stopni, kąt = 2,5 stopnia, Na = 12, ia = 1A, r = 1m. Całkowity przepływ twornika, pochodzący od prądów trójfazowych wg (4.12) można przedstawić w postaci: (, t) a am 1,7, k 1 cos ak (, t) p ( t ) cos p ( t ) o am 5,11,17... o 4.13 przy czym am 3 N p a k wa I am Indukcja wytworzona przez wirujące magnesy trwałe może być przedstawiona szeregiem: 64

66 B (, t) f B f m 1,3,5... sin p( ) Dla prędkości kątowej wirnika synchronicznej z pierwszą harmoniczną fali przepływu twornika p o kąt położenia wirnika t i iloczyn (4.9) okładu i indukcji można przedstawić sumą dwóch szeregów podwójnych: (, t) B (, t) a Oznaczono f oe p o 1,7,13... v1,3,5... 5,11, ,3,5... am am B B f mv f m sin sin. Zgodnie z wzorem (4.8): o p ( t ) sin p t o p ( t ) sin p t o o o oe oe am p r am Z wzoru (4.10) wynika, że niezerowe będą jedynie całki iloczynów składników szeregów jednakowego rzędu. Zostaną przedstawione na początku sumy: (, t) B a f 1 (, t) 2 am1 1 2 B f m1 cos am 5,11,17... B cos( 1) t B oe f m cos 1 2 am 7,13,19... f m ( 1) t... o oe o oe 1 am1 B f m1 cos oe am5 f m5 o oe am7 f m7 o oe am11bf m11cos(12ot 11 oe ) am13 B f m13cos(12ot 13 oe )... 2 Można przewidzieć, że po wykonaniu całkowania wg (4.10) moment będzie miał postać: 1 B cos(6 t 5 ) B cos(6 t 7 ) T e T avg n1 T mn sin 6n t (, ) o oe 4.14 Ponieważ: 65

67 T e Rout Rin 2 Rout 2 r pt ( ) rd dr r a (, t) B f (, t) d dr Rin 2 0 wartość średnia momentu odpowiedzialna za przetwarzanie energii wynosi: T avg Rout Rin 2 2 r 2 am1 B f m1 cos Amplituda pierwszej harmonicznej okładu wynosi: p r 1 3 r am1 am 1 Nakwa 1 więc ostatecznie: I am out 2 oe dr cos oe r am1 B f m1( r) R Rin dr T avg Rout 3 3Nakwa 1 Iamcos oe rbf m1( r) dr Nakwa 1Iamz1 cos oe Rin Wprowadzono definicyjnie oznaczenie: Rout 2 rb ( r) dr 4.17 z Rin f m Jeśli amplituda ρ-tej harmonicznej indukcji nie zmienia się wzdłuż promienia, będzie: 2 2 B ( R R ) 4.18 z fm out in Argument ( oe ) funkcji trygonometrycznej wyrażenia dla Tavg zależy od przyjętej strategii sterowania. Jeśli ( oe ) 0 oraz dopuszczalne jest założenie o stałej wartości pierwszej harmonicznej wzdłuż promienia, otrzyma się wartość momentu średniego: T avg 3 2 ( 2 akwa1i am B fm1 Rout Rin N 2 ) 4.19 W procesie projektowania rzadko uwzględnia się momenty zmienne produkowane przez maszynę. Model z warstwami prądowymi na tarczy nośnej twornika umożliwia ich obliczenie. Np. na podstawie (4.15) amplituda najniższej harmonicznej składowej zmiennej momentu wynosi: T Rout 2 m6 r am5 B f m5( r)cos(6 ot 5 oe ) am7 B f m7( r)sin(6 ot 7 oe Rin ) dr 66

68 3 N a Iam kwa5 z5 cos(6 ot 5 oe ) kwa7 z7 sin(6 ot 7 oe ) Oczywiście, model z warstwami prądowymi na tarczy twornika nie stwarza możliwości badania wpływu osiowego usytuowania boków zezwoju w szczelinie na moment i kształt SEM. W przypadku często stosowanych uzwojeń z zachodzącymi na siebie cewkami kolejnych faz, liczba cewek na biegun i fazę q = 1/2. Np. w analizowanych w ramach pracy konstrukcjach liczba biegunów wzbudzenia (magnesów) wynosi 24, liczba cewek w fazie 12, liczba faz 3, łączna liczba cewek 36, liczba cewek na biegun i fazę q=36/(3x24)=1/2, podziałka biegunowa 15 stopni, poskok cewek twornika 5*3=15. Jest to więc najprostsze uzwojenie średnicowe, wytwarzające przepływ prostokątny. Dla takich uzwojeń współczynnik uzwojenia 1 k wa k wa, ale f ( ). Uważa się [65], że wartości indukcji Bg, w której znajdują się przewody, lub "warstwy prądowe" dotyczą pola wypadkowego w szczelinie. Wpływ prądów twornika na pole wypadkowe, w przypadku maszyn tarczowych z bezrdzeniowym twornikiem jest niewielki, ale w przypadku chwilowych wielkich prądów w tworniku, np. w stanach nieustalonych, może być nie do pominięcia, a wówczas wykorzystanie wzorów wynikających z rozkładu naprężeń stycznych będzie kłopotliwe. Niekwestionowaną podstawą dla obliczania momentu elektromagnetycznego jest pochodna cząstkowa energii W f, lub koenergii W f pola magnetycznego, względem kąta określającego położenie elementu ruchomego, na który działa moment: W f W f T e 4.21 Dla układów, których stan jednoznacznie opisuje energia lub koenergia elementów tworzących te układy, wzór 4.21 wynika z formalizmu Lagrange'a [67], zasady najmniejszego działania Hamiltona, lub bilansu energetycznego [68]. Wg [67] także w układzie z magnesami trwałymi zachowana jest jednoznaczność zmian energii oraz koenergii w układzie, jeśli tylko punkt pracy magnesów porusza się po jednoznacznej krzywej odmagnesowania. Stwarza to możliwość wykorzystania wzoru 25 do obliczenia momentu wytwarzanego w maszynach z magnesami trwałymi. W tym celu jednak energia i koenergia wytworzona w obwodzie magnetycznym przez prądy musi zostać uzupełniona składową zmagazynowaną w magnesie trwałym w stanie 67

69 bezprądowym. Energia i koenergia składa się więc z dwóch części: zgromadzonej w magnesie trwałym oraz w pozostałych częściach obwodu magnetycznego nie wykazujących histerezy, w tym głównie w szczelinie powietrznej. Wartości poszczególnych składowych koenergii zawartej w polu magnetycznym oblicza się ze wzorów [67]: dla obszaru szczeliny i zajętego przez uzwojenia: H W f ( ) B ( H) dh dv 4.22 V 0 lub dla układu np. z trzema uzwojeniami i magnesami trwałymi: W ( ) f i i i i, 0,0, di i, i, 0, di i, i, i a1 1 1 a a , di i i W ( ) W ( ) i pm1 2 pm2 3 pm3 fa f pm dla obszaru magnesu trwałego: H m W fm( ) Bm ( H) dh dv 4.24 Vm HC W powyższych wzorach: H, B natężenie pola i indukcja w szczelinie, H B m, m natężenie pola i indukcja w magnesie, strumienie skojarzone cewek jako funkcja prądów, a1, a2, a3 strumienie skojarzone uzwojeń w stanie bezprądowym. pm1, pm2, pm3 Wpływ prądów na wartości koenergii zgromadzonej w całym obwodzie magnetycznym, łącznie z magnesem trwałym, powinien być [67] uwzględniony w koenergii cewek. Całkowita koenergia zgromadzona w obwodzie magnetycznym maszyny wzbudzanej magnesami trwałymi jest sumą koenergii cewek oraz wprowadzanej do obwodu maszyny przez magnes trwały w stanie bezprądowym. 68

70 W przypadku maszyn z rdzeniem i polem radialnym oraz cienkimi powłokowymi magnesami neodymowo-borowymi, zaniedbując pole rozproszenia magnesów, wpływ prądów na punkt pracy magnesów i spowodowane tym zmiany koenergii można uwzględnić analitycznie w stosunkowo prosty sposób [69, 70]. Dzięki prostoliniowej charakterystyce odmagnesowania magnesów neodymowo-borowych oraz "szeregowemu charakterowi" obwodu magnetycznego, w zapisie pola magnetycznego w szczelinie powietrznej dają się wyodrębnić składniki zależne liniowo od poszczególnych prądów oraz natężenia koercji zastosowanych magnesów trwałych. W przypadku maszyn z polem osiowym i twornikiem bezrdzeniowym, z dużym udziałem strumienia rozproszenia magnesów, obwód magnetyczny nabiera "charakteru równoległego". Brak analitycznych uzależnień dla strumienia rozproszenia nie pozwala dokładniej opisać tego obwodu. Można jedynie przewidywać, że wpływ prądów twornika na wartości koenergii zgromadzonej w magnesie trwałym wyraża się w sposób nieporównywalnie bardziej złożony. Ilość składników, która pojawi się w wyniku obliczenia pochodnej 4.21 zależy od rodzaju konstrukcji. Dla większości maszyn z polem osiowym i twornikiem bezrdzeniowym różna od zera będzie jedynie pochodna składnika koenergii W ( f pm ) 8 : T e W f 1pm 2 pm 3 pm i pm i pm i pm i i i Ponieważ uznano za dopuszczalne założenie, że strumień kpm nie zależy od prądów twornika, będzie tylko funkcją położenia wirnika i pochodną cząstkową można zastąpić zwyczajną: T e d 1pm d 2 pm d 3 pm i1 i2 i d d d Strumień kpm wytworzony przez magnes trwały i sprzężony z k-tym uzwojeniem twornika jest okresową funkcją kąta i może być przedstawiony wzorem: 8 Pozostałe składniki koenergii występują w przypadkach, gdy zmianie elementu ruchomego towarzyszy zmiana przewodności magnetycznej dla linii sił pola wytwarzanego przez magnes ( W ) ), lub dla linii sił pola wytwarzanego przez twornik ( W ( fa ) ). fm ( 69

71 pmm 1,3, kpm cos [ ( k 1) ] 4.27 e 3 Symbolem e oznaczono tzw. elektryczny kąt położenia wirnika, definiowany jako: e p przy czym pb oznacza liczbę par biegunów wirnika. Wartość maksymalna harmonicznych tego strumienia pmm zależy od prądów twornika i jest stała w czasie, można więc napisać: dla przyjętych założeń nie e k d dt kpm d d pmm sin [ e ( k 1) ] dt 1,3,5... de d kpm d kpm e 4.28 d d e 2 2 pmm sin [ e ( k 1) ] 3 3 1,3,5... de dt e p b d chwilowa wartość prędkości kątowej elektrycznej wirnika. dt Wytwarzany przez maszynę moment elektromagnetyczny można więc przedstawić powszechnie stosowanym dla maszyn PMBLDC i AC wzorem: T e 1 ( i e i e i ) e3 Fala indukcji w szczelinie, pochodząca od magnesów trwałych, położonych względem twornika pod kątem, jak już wcześniej wspomniano może być przedstawiona szeregiem: B f m 1,3,5... B f (, t) sin p( ) 4.30 Strumień sprzężony z nieruchomym k-tym uzwojeniem twornika, pochodzący od tego pola, wynosi: R ( k 1) 2 out 2 p 3 p af Na kwd B f R 1,3,5... ( k 1) 2 in 2 p m 3 p sin p ( ) d rdr Rout Na R in Rout N a R in 1,3,5... 1,3, k p 2 k p wd wa B B f m f m 2 sin ( 2 )sin ( p ( k 1) 3 ) rdr p k 2 sin ( ( 1) 3 ) rdr

72 Ponieważ nad każdą elementarną warstwą uzwojenia pole ma inny rozkład, amplitudy poszczególnych harmonicznych są funkcjami promienia B B (r), więc można jedynie napisać: af N 2 p a m 1,3,5... 1,3,5... sin ( p ( k 1) 2 3 ) f m f m R out k wa 2 B f m ( r) rdrsin ( p ( k 1) 3 ) R in 4.32 Oznaczono, jak uprzednio: m N k a wa N k a wa 2 dr z 4.33 p p Rout rbf m ( r) R in Jeśli magnesy wirują z prędkością kątową, tzn. położenie wirnika t o, SEM indukowana w otwartym uzwojeniu twornika wynosi: e af d dt af E fm 1,3,5... cos pt ( k 1) oe 2 3 ) 4.34 przy czym: E fm p m N a k wa z Ponieważ wartość rozwijanego momentu jest iloczynem prądu i SEM, dla prądu postaci 2 ( t) Iam cos o t ( k 1) 3 iak 4.35 w wytwarzanym momencie oprócz wartości średniej muszą pojawić się składniki zmienne: 1 Te ( t) 1 I 3 3 k 1 e afk ( t) i E am fm k 1 1,3,5... ak ( t) cos 2 2 pt ( k 1) ) cos t ( k 1) oe 3 o W warunkach prędkości synchronicznej p : o 1 p Te ( t) I 2 o cos 3 2 o 3 am E fm 2 k1 1,3,5... cos ( 1)( o t ( k 1) 3 ( 1)( t ( k 1) ) oe ) oe 4.37 Dla 1 będzie: 71

73 3 p 3 Te 1 ( t) Iam E fm1 cos 2 oe Na kwa 1 Iamz1cos oe o Wyrażenie jest więc identyczne z uzyskanym z całkowania rozkładu naprężeń stycznych. Dla 3n, n 1,3, 5 będzie: T e3n ( t) n1,3,5... T 3 em3n k 1 n1,3,5... em3n cos T cos 2 3n ptcos pt ( k 1) ) 3 2 3n pt cos pt ( k 1) ) 0 3 k Dla T e5, ( t) N a I 1 2 am oraz p I k o wa5 7 am z5 E fm5 cos będzie: cos 6 t 5 E cos 6 t 7 6 t 5 k cos 6 t 7 o o oe Dla sterowania zapewniającego zgodność fazy SEM i prądu oe i stąd: oe wa7 fm7 z7 o o oe oe 4.40 T 3 2 e1( t) Na kwa 1 Iam z p T 5 ) cos 6 t 4.42 e,7( t) Iam( E fm5 E fm7 2 o o oe Przedstawione wzory dla momentu i SEM są w szczegółach nieco inne od postaci spotykanych w literaturze i te różnice wymagają wyjaśnienia. Pozycją najczęściej cytowaną przez autorów publikacji dotyczących maszyn tarczowych z magnesami trwałymi jest [34], więc przedstawione tam wyprowadzenia i wzory można uznać za klasyczne i traktować jako punkt odniesienia. Wielkością wyjściową dla przedstawionych powyżej wyprowadzeń jest przedstawienie w postaci szeregu Fouriera rozkładu indukcji pola wytworzonego przez magnesy. Rozkład pola w maszynach tarczowych zależy od promienia w sposób nie dający się przedstawić analitycznie. Aby zapisać wzorami moment i SEM, założono stałą wartość amplitudy pierwszej harmonicznej. W procesie projektowania uznano za 72

74 bardziej użyteczne posługiwanie się wartością maksymalną indukcji Bgm oraz jej wartością średnią Bavg, wiążąc obie wartości współczynnikiem i zależnym od rozkładu pola: B B 4.43 i gm avg Dla sinusoidalnego rozkładu indukcji 2 i Strumień wektora indukcji o wartości średniej Bavg przez powierzchnię jednego bieguna wynosi wg [34]:. f Rout Rin B avg gm out Rin rdr i B 2 p ( R 2 p ) 4.44 Założono niezależność wartości średniej indukcji od promienia B avg ( r) const. Wartość SEM pochodzącej od fali indukcji B g (, t) może być wg [34] obliczona z prawa indukcji: e af d d af Na kwa1 f dt dt przy czym f 1 jest pierwszą harmoniczną "fali strumienia". Wg [34] wynosi ona: f 1 f sinet 4.46 W tym miejscu autorzy [34] przemilczają fakt, że sinusoidalną zmienność strumienia sprzężonego z uzwojeniem, pochodzącego od pola o niesinusoidalnym rozkładzie, można uzyskać tylko wtedy, gdy uzwojenie posiada idealne własności filtrujące, tzn. k wa 0 dla 1. Ponieważ uzwojenia twornika takich własności nie mają, założono de facto uwzględnienie jedynie pierwszej harmonicznej rozkładu indukcji. Wykonanie różniczkowania prowadzi do wyrażenia dla sinusoidalnej SEM, której wartość maksymalna wynosi: E fm 4.47 N e a k N k B ( R 2 R ) i B 2 N wa1 f a wa1 i gm out in gm a wa1 out in Dla sinusoidalnej fali indukcji wzór (4.47) jest zgodny z (4.45), natomiast dla pola z wyższymi harmonicznymi budzi wspomniane wyżej wątpliwości. k ( R R ) 73

75 Wyrażenie dla momentu przedstawione w [34] wyprowadzane jest bezpośrednio z równania Ampere'a. Dla uniknięcia sumowania momentów pochodzących od poszczególnych boków czynnych zezwojów, wykorzystana została funkcja "liniowej gęstości prądu", której wartość maksymalna jest funkcją promienia. Została zdefiniowana jako liczba amperozwojów boków czynnych wszystkich zezwojów twornika przypadająca na jednostkę długości obwodu cylindra o promieniu r : 3NaIa A( r) 4.48 r Wykorzystując (4.48) oraz wartość średnią indukcji przedstawiono w [34] wyrażenie dla momentu działającego na elementarny pierścień tarczy twornika o promieniu r i grubości dr: T edr r df r k A( r) B 2 rdr 4.49 e wa1 avg Wzór powyższy należy porównać z uzyskanym jako rezultat podstawienia do (4.10) pierwszych harmonicznych okładu oraz indukcji i wykonaniu całkowania: T edr r 2 dr p rdr am1 p r B gm1 am1 ( r) 2 sin p ( t ) Wykorzystując (4.48) uzyska się postać: T edr 1 r 2 i k wa1 0 o B gm1 ( r)sin( p t) d cos cos(2 p (2 t )) d pr B ( r)cos dr A( r) B avg Rozdzielając współczynnik ( r)2rdr k wa1 uwzględniającą wpływ szerokości boku zezwoju rozkładu indukcji: T edr o o am1 na współczynnik uzwojenia sin p r kwa 1A( r) Bavg ( r)2rdr p gm k wa1 oraz część otrzyma się dla sinusoidalnego o Dla p=12 oraz 2,5 wartości obliczone wg (4.49) i (4.51) będą różniły się 6%. Wynika to z odmiennego podejścia do konstrukcji modelu umożliwiającego zastąpienie dyskretnego sumowania sił działających na poszczególne boki uzwojenia działaniami o charakterze ciągłym. Który model daje dokładniejsze wyniki mogą zadecydować rezultaty obliczeń MES lub pomiary. 74

76 Oprócz SEM i rozwijanego momentu trzecią wielkością decydującą o własnościach maszyny jest reaktancja oddziaływania twornika. W maszynach z polem osiowym i bezrdzeniowym twornikiem indukcyjności twornika są zdeterminowane przewodnością dla linii sił strumienia rozproszenia twornika, które zamykają się po drogach podobnych do dróg strumienia rozproszenia magnesów. Wzory dla obliczenia indukcyjności cewek powietrznych skończonej długości podane w literaturze mają jedynie charakter szacunkowy. 75

77 5 Analiza MES 3D modeli maszyn tarczowych. W maszynach z polem radialnym reprezentatywnym obrazem pola jest dwuwymiarowe pole w przekroju poprzecznym (prostopadłym do osi obrotu wirnika), w środku długości maszyny, gdzie składową osiową wektora indukcji można uznać za równą zeru. W maszynach tarczowych odpowiadałaby temu powierzchnia walcowa o osi pokrywającej się z osią obrotu wirnika, na której składowa promieniowa indukcji byłaby równa zeru. Ponieważ wartość indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej zmienia się wzdłuż promienia w różny sposób, nie wiadomo z góry czy taka powierzchnia w ogóle istnieje, a nawet jeśli istnieje, jej promień jest trudny do przewidzenia. Ewentualny wybór musiałby być poprzedzony gruntownym rozpoznaniem własności pola w całej objętości maszyny. Dlatego, mając na celu dokładniejszą analizę, zwykle rezygnuje się z poszukiwań cylindrycznej powierzchni reprezentatywnej dla konkretnej maszyny, co umożliwiałoby prowadzenie obliczeń w dwóch wymiarach. Analizę rozkładu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej, pochodzącej od magnesów w układzie klasycznym oraz Halbacha, przeprowadzono w oparciu o stało-czasowe obliczenia MES 3D. Dokonano serii obliczeń wykorzystując model, w którym zmieniano grubość szczeliny powietrznej celem rozpoznania wpływu tej grubości na rozkład indukcji magnetycznej w szczelinie. Wysokość magnesów oraz ich promienie wewnętrzny oraz zewnętrzny pozostawały niezmienione. Uzyskanie prawidłowych wyników rozkładu pola magnetycznego w szczelinie powietrznej maszyny, wymagało dobrania odpowiednio gęstej siatki dla obliczeń MES. Przyjęto, że maksymalna odległość między kolejnymi węzłami siatki nie powinna być większa od 1/8 najmniejszej krawędzi występującej w modelu. Dodatkowo wykorzystano mechanizm adaptacyjnego zagęszczania siatki zaimplementowany w oprogramowaniu Maxwell 3D, który iteracyjnie zwiększał jej gęstość pozwalając uzyskać żądaną precyzję obliczeń [71]. W celu zmniejszenia zapotrzebowania na moc obliczeniową komputera, a tym samym maksymalne jej wykorzystanie, model został zredukowany do najmniejszego powtarzającej się cyklicznie elementu, którym w tym przypadku stanowił wycinek odpowiadający kątowo 1/12 całego modelu. 76

78 Analizę stanu ustalonego obu typów rozpatrywanych maszyn przeprowadzono wykorzystując zmiennoczasowe obliczenia MES 3D. Miała ona na celu porównanie momentów elektromagnetycznych rozwijanych przez te maszyny w takich samych warunkach zasilania oraz sił elektromotorycznych indukowanych w uzwojeniach twornika przez wirujące magnesy. Dokonana została dla obu typów maszyn oraz uzwojeń jedno i dwu warstwowych. Dodatkowo oba typy uzwojeń zostały przeanalizowane w dwóch wariantach. Pierwszy z nich zakładał maksymalny przekrój boku cewki, jaki teoretycznie może być wykonany dla maszyny o przyjętych gabarytach oraz drugi, w którym bok cewki jest o połowę węższy od maksymalnego. Porównanie uzwojeń jedno i dwuwarstwowych o różnych szerokościach boków cewek, pozwala zaobserwować ich wpływ na parametry maszyny. Wszystkie obliczenia rozkładu pola magnetycznego w maszynie zostały wykonane w stanie bezprądowym - pole pochodziło tylko od magnesów trwałych. Pozostałą część obliczeń dotyczących ustalonych stanów pracy na biegu jałowym generatora i pracy silnika pod obciążeniem wykonano przy założeniu stałej prędkości obrotowej n = 3000[obr/min] oraz jednakowej amplitudzie prądu twornika I max = 5[A], co dla przyjętego przekroju przewodów S c = 0.75[mm 2 ] odpowiada skutecznej wartości gęstości prądu J = 4.73[A/mm 2 ]. 5.1 Pole wzbudzane układem klasycznym magnesów. Indukcja w maszynach tarczowych bezrdzeniowych, w przestrzeni pomiędzy magnesami, jest funkcją wszystkich trzech współrzędnych walcowych, nie dającą się przedstawić analitycznie. Dla jakichkolwiek dalszych analiz potrzebne jest jednak wyobrażenie rozkładu indukcji oraz pogląd na charakter i skalę przemian jakim ta indukcja podlega w przedziale podziałki biegunowej, jeśli konstrukcja maszyny zapewnia powtarzalność rozkładu pod poszczególnymi biegunami. Dla zobrazowania rozkładu pola magnetycznego w szczelinie przedstawiono zmiany indukcji magnetycznej na różnych poziomach współśrodkowych powierzchni cylindrycznych o promieniach równych promieniowi zewnętrznemu, średniemu i wewnętrznemu magnesu (rysunek 5.1). Wybrane poziomy (płaszczyzny) analiz to ½ oraz ¼ grubości szczeliny, co odpowiada powierzchniom, na których leżą boki czynne 77

79 cewek uzwojeń jedno i dwuwarstwowych (ściślej: środki geometryczne przekrojów poprzecznych boków cewek). Dodatkowo przedstawiono zmiany indukcji pod biegunem magnetycznym wzdłuż promienia. Obliczenia wykonano dla różnych grubości szczeliny, zmienianych w przedziale 4 12 mm z krokiem 0.5mm. Minimalny wymiar szczeliny ma w tym przypadku znaczenie czysto teoretyczne. Wprowadzona została w celu uwidocznienia tendencji zmian rozkładu pola magnetycznego w miarę wzrostu odległości pomiędzy przeciwległymi powierzchniami magnesów. Ponieważ w procesie przetwarzania energii podstawowe znaczenie ma w maszynach tarczowych składowa osiowa indukcji, ograniczono się do przedstawienia wyłącznie tej składowej. Rysunek 5.1. Krzywe, wzdłuż których przedstawione zostały wyniki obliczeń pola. Kolorem czerwonym zaznaczono łuki o promieniach R in, R avg, R out, kolorem niebieskim - odcinki wzdłuż promienia pod biegunem magnetycznym. Wyniki obliczeń w formie rodzin wykresów zamieszczono w Dodatku 10.2 (rysunki ). Ograniczono się do przedstawienia rozkładu składowej osiowej indukcji w środku szczeliny, na promieniu średnim magnesów B, R, 1 ) oraz rozkładu tej z ( avg 2 o składowej wzdłuż promienia magnesów B 7.5, r, 1 ), także w środku szczeliny. z ( 2 78