Model Solow-Swan. Y = f(k, L) Funkcja produkcji moŝe zakładać stałe przychody skali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0

Transkrypt

1 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solow-Swan W modelu lascznm mieliśm do cznienia ze stałą wielością cznniów producji, a zatem bł to model statczn, tór nie poazwał nam dlaczego dan raj rozwija się szbciej niŝ inn. Model Solowa poazuje ja oszczędności, przrost naturaln populacji oraz postęp technologiczn wpłwają na stopę wzrostu gospodarczego. Podobnie ja w modelu lascznm mam 2 cznnii producji (K i L), tóre wchodzą w sład funcji producji opisującej całość producji wtworzonej w gospodarce (stąd nazwa model neolasczn). Y = f(k, L) Funcja producji moŝe załadać stałe przchod sali, a więc: zy = f(zk, zl) dla z > 0 PoniewaŜ jedna miarą dobrobtu danego raju jest dochód per capita to przjmując, Ŝe z=1/l otrzmujem wielość producji na 1 osobę: Y/L = f(k/l,1) Ab wrazić wielości per capita przjmujem: = Y/L oraz = K/L Wted moŝem zapisać: = f() gdzie f() = f(,1) W przpadu funcji Cobba-Douglasa mam: Y = AK L α 1 α Dzieląc obie stron przez L otrzmujem: 1 α Y / L= AK α L / L α α = AK / L = A α Funcja producji poazuje nam, Ŝe ilość apitału w gospodarce determinuje nam wielość producji na 1 zatrudnionego. Nachlenie funcji producji jest równe rańcowej produtwności apitału. Widać wraźnie, Ŝe rańcow produt apitału jest malejąc im więcej tm mniejsz jest przrost producji na jego jednostę. MoŜem to wrazić matematcznie jao: f () MPK = f( + 1) f() 1

2 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Model Solowa w najprostszej postaci załada bra rządu w gospodarce, dlatego: G = T = 0 Czli dochód per capita jest dzielon pomiędz onsumpcję i inwestcje co zapisujem jao: = c + i (wszstie wielości wraŝone na 1 pracującego) Zgodnie z modelem funcja onsumpcji przjmuje postać: c = (1 s) gdzie s oznacza stopę oszczędności A zatem onsumpcja jest proporcjonalna do dochodu i nie ma onsumpcji autonomicznej. Podstawiając powŝsze do funcji producji otrzmujem: = (1 s) + i s = i = sf() Oznacza to, Ŝe inwestcje ta ja onsumpcja są proporcjonalne do dochodu. Jednocześnie wielość inwestcji zaleŝ taŝe od stop oszczędności. PoniewaŜ w modelu Solowa funcja producji jest funcją zaleŝną od wielości apitału, to siłą rzecz wzrost gospodarcz jest pochodną zwięszania ilości apitału. Tmczasem zmian ilości apitału mogą mieć miejsce w dwóch przpadach: apitał moŝe rosnąć dzięi inwestcjom apitał moŝe maleć na sute deprecjacji (zuŝcia) PoniewaŜ mieliśm juŝ wcześniej Ŝe: i = sf() oraz = c + i f () Z powŝszego równania wnia jednoznacznie, iŝ im więsza jest ilość apitału, tm więsze są inwestcje. Zarazem poziom stop oszczędności determinuje podział dochodu pomiędz onsumpcję i inwestcje. c i sf() δ * W przpadu deprecjacji załadam, Ŝe jaaś stała część apitału ulega zuŝciu aŝdego rou. Np. załadając, Ŝe przeciętna długość Ŝcia samochodu wnosi 10 lat, naleŝ przjąć Ŝe jego wartość deprecjonuje się o 10% rocznie. Dlatego relacja pomiędz ilością apitału a wielością deprecjacji jest liniowa. δ 2

3 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Przrost apitału w modelu Solowa K& = I δk //L gdzie K = dk/dt = K & (oba zapis są równorzędne) K& /L = i δ & = d(k/l)/dt = ( K& *L L& *K)/L 2 = K& /L L& /L*K/L = K& /L n & = i δ n = i (δ+n) Załadając, Ŝe liczba ludności jest stała (n = 0) to zmianę ilości apitału pomiędz jednm roiem a drugim moŝna wrazić jao: & = i δ = sf() δ Osiąganie stead-state Rsune obo przedstawia zaleŝność pomiędz ilością apitału, inwestcjami i deprecjacją. Widać, Ŝe im więcej apitału tm więsza jest producja i inwestcje ale teŝ i deprecjacja. Istnieje tlo jeden poziom apitału dla tórego inwestcje są równe deprecjacji. Jeśli gospodara osiągnie ten poziom to wielość apitału nie będzie się zmieniać w miarę upłwu czasu stead-state level. JeŜeli jest poniŝej tego poziomu to inwestcje przewŝszają deprecjację, a więc capital stoc będzie rósł. δ,i δ* = i* 1 * 2 Jeśli jest powŝej poziomu ustalonego to deprecjacja przewŝsza inwestcje poziom apitału musi zmaleć. Stead-state reprezentuje długooresową równowagę w gospodarce. Zatem zgodnie z modelem, niezaleŝnie od tego na jaim poziomie jest apitał na samm początu i ta w ońcu musi się znaleźć na poziomie wznaczonm przez stead-state. JeŜeli apitał jest początowo na poziomie niŝszm od stanu ustalonego to będzie rósł do chwili gd go nie osiągnie. Analogicznie będzie równieŝ rosła producja. δ sf() Zadanie: 1/ 2 1/ 2 Funcja producji ma postać Y = K L, stopa oszczędności wnosi s = 0,3, zaś stopa deprecjacji δ = 0,1. Jaa będzie wielość apitału w stead-state w tej gospodarce? Odp. = oraz = i δ = sf() δ PoniewaŜ w stead-state =0 to mam s/δ=/ Dlatego * = 9 3

4 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Impliacje stanu ustalonego W stanie ustalonm mam: sf(*) = δ* */f(*) = s/δ Stosune apitału do wtworzonego produtu jest miarą apitałochłonności gospodari, tór w stanie ustalonm jest stał i równ stosunowi stop oszczędności do deprecjacji. JeŜeli gospodara nie znajduje się w stanie ustalonm to współcznni apitałochłonności będzie się zmieniał, aŝ do chwili osiągnięcia stead-state. Zmiana stop oszczędności δ,i, Wzrost stop oszczędności powoduje przesunięcie funcji oszczędności w górę. Oznacza to, iŝ naład inwestcjne są więsze 2 dla aŝdego poziomu apitału. PoniewaŜ prz poziomie apitału oreślającm δ 2 * = i* stan ustalon (* 1 ) inwestcje są więsze niŝ deprecjacja to zasób apitału będzie rósł, aŝ do chwili osiągnięcia nowego stanu ustalonego (* 2 ). W nowm stanie ustalonm zarówno apitał ja i producja są więsze. Widać zatem, Ŝe stopa oszczędności determinuje δ f() s 2 f() s 1 f() * 1 * 2 poziom apitału i producji. Kraje o nisiej stopie oszczędności będą miał nisi poziom apitału i nisi poziom producji, odwrotnie w rajach o wsoiej stopie oszczędności. Ale w rzeczwistości oazuje się, Ŝe często raje o niŝszm poziomie oszczędności charaterzują się wŝszm poziomem dochodu. Wnia to z tego, iŝ aŝd z nich posiada inn stan ustalon. Zmiana stop wzrostu populacji Ja poazaliśm juŝ wcześniej w rzeczwistości zmiana zasobu apitału per capita zaleŝ taŝe od stop wzrostu populacji. A zatem mam: δ,i, & = i δ n = i (δ+n) WŜsza stopa wzrostu populacji sprawia, (δ+n 1 )* = i* Ŝe rzwa deprecjacji przesuwa się w (δ+n 2 )* = i* górę. W efecie spada zasób apitału i poziom producji. Zgodnie z modelem raje o wŝszej stopie wzrostu populacji będą miał niŝsz poziom apitału per capita i niŝszą producję. (δ+n 2 ) (δ+n 1 ) sf() 2 * 1 * 4

5 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Zadanie Nie mając Ŝadnego cieawego pomsłu na zadanie dla swoich studentów el Maestro Roite postanowił sprawdzić, cz uwaŝali oni na ostatnich zajęciach. Dlatego teŝ olejne ptanie stawiane biednm, znudzonm studentom brzmi: Jai jest poziom apitału w stanie α ustalonm dla funcji Cobba-Douglasa w postaci = A? Złota reguła aumulacji apitału Ja poazaliśm juŝ wcześniej zwięszanie stop oszczędności w modelu Solowa prowadzi do wzrostu producji i zasobów apitału. Jednocześnie jedna dla danej rzwej deprecjacji istnieje tlo jeden optmaln poziom apitału, prz tórm onsumpcja przjmuje masmalną wartość. PoniewaŜ dobrobt danego społeczeństwa zaleŝ od poziomu onsumpcji to aŝd naród powinien wbrać taą stopę oszczędności, tóra będzie masmalizować onsumpcję. Pamiętając o tm, Ŝe oszczędności to róŝnica pomiędz dochodem i onsumpcją moŝem zapisać: & = f() - c (δ+n) ale w stead-state mam & = 0 dlatego 0 = f(*) c* (δ+n)* c* = f(*) (δ+n)* Ab otrzmać formułę złotej reguł wstarcz zmasmalizować onsumpcję w stanie ustalonm wobec apitału: dc*/d* = f (*) (δ+n) = 0 f (*) = (δ+n) = MPK W interpretacji graficznej powŝsz wni oznacza, Ŝe onsumpcja jest masmalna wted gd nachlenie funcji producji jest równe (δ+n) (odległość międz funcją producji i rzwą deprecjacji jest tutaj masmalna). Na wresie obo poazane jest, Ŝe dla poziomu apitału prz tórm nachlenie funcji producji jest równe (δ+n) onsumpcja przjmuje masmalną wartość. Warto pamiętać o tm, Ŝe w zaleŝności od tego jaa jest stopa oszczędności, gospodara moŝe lub nie osiągnąć punt *. JeŜeli gospodara znajduje się na prawo od puntu * to oznacza, Ŝe jest ona nieefetwna gdŝ nie masmalizuje onsumpcji. δ,i c gold * (δ+n) f() 5

6 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Osiąganie poziomu apitału dla właściwego dla c gold gd jest go za duŝo JeŜeli w danm momencie w gospodarce jest więcej apitału niŝ wniałob to ze złotej reguł, to jedną moŝliwością jego zmniejszenia jest spade stop oszczędności. Spade stop oszczędności powoduje natchmiastow spade inwestcji i wzrost onsumpcji. Następnie jedna gd gospodara zaczna zmierzać w stronę stanu ustalonego spada poziom producji, dalej ograniczane są inwestcje oraz spada poziom onsumpcji (w efecie zmniejszenia producji). NiezaleŜnie od spadu onsumpcji w oresie osiągania stanu ustalonego i ta jest ona więsza niŝ wcześniej. c i t 0 time Osiąganie poziomu apitału dla właściwego dla c gold gd jest go za mało W przpadu gd zasób apitału jest mniejsz niŝ wnia to ze złotej reguł to racjonalne jest podwŝszenie stop oszczędności. W efecie nastąpi natchmiastow wzrost inwestcji i spade onsumpcji. Następnie jedna wzrost inwestcji spowoduje wzrost producji, co z olei wpłnie na zwięszenie onsumpcji i dalsz wzrost inwestcji. W tm przpadu onsumpcja w pierwszm etapie jest niŝsza, jedna jej poziom stopniowo się zwięsza i po osiągnięciu stanu ustalonego jest wŝsz niŝ na początu. c i t 0 time Stopa wzrostu w modelu Solowa Ja poazwaliśm juŝ wcześniej producja w modelu Solowa jest rosnącą funcją apitału. Oznacza to w pratce, Ŝe stopa wzrostu PKB per capita musi bć proporcjonalna do stop wzrostu apitału per capita. PoniewaŜ w funcji Cobba-Douglasa udział dochodu z apitału w całm dochodzie jest równ α to moŝem zapisać stopę wzrostu jao: γ = & / = α& / = αγ Wiem juŝ czemu równa jest zmiana apitału w czasie, a zatem Ŝeb otrzmać stopę wzrostu apitału wstarcz podzielić zmianę przez poziom apitału w oresie początowm. Wted otrzmujem: γ = & / = i/ (δ+n) = sf(,a)/ - (δ+n) Dlatego im więsza jest stopa oszczędności tm więsza jest teŝ stopa wzrostu gospodarczego. Zadanie. PoaŜ właściwości funcji sf(,a)/ i jej wres, gdzie f(,a) ma postać funcji Cobba-Douglasa. stopa wzrostu δ+n sf()/ 6 *

7 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Im wŝsz jest poziom technologiczn tm więsza jest ilość producji i inwestcji, a więc tm wŝsza równieŝ stopa wzrostu. Im wŝsza stopa deprecjacji tm mniejsz wzrost. Ja widać na wresie im więcej jest apitału tm mniejsz jest stosune sf()/. Dlatego teŝ im więcej apitału w gospodarce tm mniejsza jest stopa wzrostu. NajwaŜniejszm wniosiem jai moŝna wciągnąć z powŝszego wresu jest tai, Ŝe w długim oresie gospodara powinna dąŝć do osiągnięcia stanu ustalonego. A zatem z czasem stopa wzrostu powinna bć coraz mniejsza! Tmczasem w rzeczwistości oazuje się, Ŝe jest moŝliw wzrost gospodarcz w długim oresie, a zatem model neolasczn w podstawowej wersji nie tłumacz przczn jego wstępowania. Cz moŝliwe jest zwięszenie stop wzrostu poprzez podwŝszenie stop oszczędności? PodwŜszenie stop oszczędności prowadzi do wŝszej stop wzrostu w rótim oresie. W długim oresie oazuje się jedna, Ŝe gospodara ponownie dąŝ do stanu ustalonego, w tórm stopa wzrostu jest równa zero. Co więcej ja poazwaliśm juŝ wcześniej, taa polita moŝe bć niewłaściwa w stuacji gd Poziom apitału w gospodarce jest więsz niŝ wniałob to ze złotej reguł. Dalsze podwŝszanie stop oszczędności prowadzi w tm przpadu do powięszania się nieefetwności gospodari. stopa wzrostu δ+n s 2 f()/ s 1 f()/ * Cz moŝliwe jest zwięszenie stop wzrostu poprzez obniŝenie stop wzrostu populacji? Działania prowadzące do obniŝenia stop wzrostu populacji powodują spade rzwej deprecjacji oraz podwŝszenie stop wzrostu. Oazuje się jedna, Ŝe stopa wzrostu rośnie jednie w rótim oresie, natomiast w długim ponownie będzie dąŝła do zera. Poazuje to wraźnie, Ŝe taa polita jest niesuteczna, co więcej moŝe bć równieŝ nieorzstna dla gospodari w długim oresie (efet starzenia się społeczeństwa). * stopa wzrostu δ+n 1 δ+n 2 sf()/ Ja moŝna zatem wjaśnić na bazie modelu neolascznego istnienie długooresowego wzrostu gospodarczego? Odpowiedź na to ptanie leŝ w przemianach technologicznch. Do tej por załadaliśm, Ŝe technologia jest stała. NaleŜ jedna pamiętać, iŝ nasza funcja producji ma postać: = f(a, ) lub w przpadu funcji Cobba-Douglasa = A α Zatem im więsze jest A tm wŝsz poziom producji. 7

8 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Na wresie obo widać wraźnie, Ŝe postęp technologiczn przesuwa rzwą oszczędności w prawo. Jedna w odróŝnieniu od podwŝszania Stop oszczędności, postęp technologiczn jest nieograniczon i moŝe powodować ciągłe przesuwanie stopa wzrostu się rzwej oszczędności w prawo. A zatem długooresow wzrost gospodarcz w modelu δ+n Solowa moŝe bć wtłumaczon jao pochodna stałego postępu technologicznego. sf(a 2,)/ JeŜeli poziom technologii zwięsza się w stałm tempie sf(a 1,)/ x to poziom apitału tpow dla stanu ustalonego teŝ zwięsza się w tm samm tempie x. * Oznacza to, Ŝe stopa wzrostu per capita w stanie ustalonm jest dodatnia i równa stopie postępu technologicznego x, tóra jest jedna egzogeniczna (a zatem model nie poazuje nam co jest przczną postępu technologicznego). MoŜem równieŝ powŝsze udowodnić algebraicznie, orzstając z własności logartmów. I ta jeśli: = A α to log = loga + αlog oraz wiem Ŝe dlog/dt = & / (stopa wzrostu) to wted mam γ = & / = A& / A+ α& / Analogicznie dla Y(PKB): γ = & / & α & α & gdzie L & / L= n α 1 α Y = AK L to wted Y Y Y = A / A+ K / K + (1 ) L / L Endogeniczne modele wzrostu model AK Ja poazaliśm juŝ wcześniej, załoŝenia modelu Solowa powodują, Ŝe model ten nie tłumacz wstępowania długooresowego wzrostu gospodarczego (nie wiadomo to miałb finansować postęp technologiczn, tór jest onieczn dla zapewnienia wzrostu w długim oresie). Dlatego teŝ część eonomistów zaczęła szuać taich rozwiązań, tóre pozwoliłb weliminować tą ułomność. W ten sposób powstał endogeniczne modele wzrostu, tórch najprostszą wersją jest model AK. Utrzmuje on podstawowe załoŝenia modelu Solowa, jedna zgodnie z jego załoŝeniami funcja producji przjmuje postać: Y = AK gdzie apitał zawiera w sobie równieŝ cznni ludzi (apitał ludzi) W postaci per capita otrzmujem zatem: = A Podobnie ja w modelu Solowa przrost apitału jest równ: & = i δ n = sf() (δ+n) 8

9 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II A zatem stopa wzrostu producji jest proporcjonalna do stop wzrostu apitału i analogicznie do modelu Solowa wraŝa się wzorem: γ = & / = i/ (δ+n) = sf(,a)/ - (δ+n) JeŜeli jedna do powŝszego wzoru podstawim funcję producji AK to oazuje się, Ŝe model ten przewiduje nieograniczon, dodatni wzrost gospodarcz zawsze gd sa>(δ+n): γ = & / = sa/ - (δ+n) = sa - (δ+n) MoŜem to przedstawić graficznie, podobnie ja dla modelu Solowa. Widać wraźnie, Ŝe dla sa>(δ+n) będziem mieć zawsze dodatnią stopę wzrostu, niezaleŝnie od ilości apitału w gospodarce. Co więcej, utrzmanie dodatniej stop wzrostu jest moŝliwe nawet jeŝeli A nie ulega zmianom. Model ten poazuje równieŝ, Ŝe gospodari z wŝszą stopą oszczędności i poziomem technologicznm zawsze będą miał wŝszą stopę wzrostu. A zatem bra jest tutaj moŝliwości dla wstąpienia procesu onwergencji. 0 stopa wzrostu sa δ+n Postęp technologiczn rozszerzenie modelu neolascznego Ab do modelu Solowa włączć postęp technologiczn musim wrócić do funcji producji i załoŝć, Ŝe zaleŝ ona nie tlo od ilości apitału i prac ale taŝe od wdajności prac. Mam zatem: Y = f(k, L*A) gdzie A oznacza wdajność prac, zaś L LA jest jednostą wdajności prac W tm przpadu naład sił roboczej mierzone są w jednostach wdajności, zaś wielość producji zaleŝ od ilości apitału oraz od ilości jednoste wdajności. Przjmijm, Ŝe wdajność prac rośnie w stałm tempie równm x, podczas gd populacja zwięsza się w tempie n. Widać zatem, Ŝe liczba jednoste wdajności rośnie w tempie n + x (patrz własności logartmów poazane powŝej). W efecie zmiana zasobu apitału w gospodarce będzie równa (prz czm apitał jest definiowan jao apitał na jednostę wdajności): d /dt = i δ (n+x) = sf( ) (δ+n+x) gdzie K ˆ = = L ˆ A A zatem zwięszenie x (prz innch zmiennch costant) prowadzi do spadu jednocześnie powoduje wzrost oraz, tóre w stanie ustalonm rosną w tempie x 1. ale 1 Soro ˆ = to A ˆ& ˆ = & A& & ˆ & A&. A zatem w stanie ustalonm = 0 = = x A ˆ A 9

10 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II Problemem z jaim mam do cznienia w modelu neolascznm jest załoŝenie o tm, Ŝe cał dochód wtwarzan w gospodarce jest dzielon pomiędz właścicieli cznnia apitału i prac. Oznacza to, Ŝe nie ma juŝ środów, tóre mogłb bć przeznaczone na finansowanie postępu technologicznego. Dlatego teŝ musi on pozostać egzogeniczn co z inteletualnego puntu widzenia jest mało atracjne. Zadanie. W ramach prac domowej Maestro Roite jao prezent gwiazdow postanowił dać bardzo łatwe ;-) zadanie, tóre polega na tm, Ŝe naleŝ wprowadzić poniŝsz wzór: d /dt = i δ (n+x) = sf( ) (δ+n+x) Konwergencja Pojęcie to opisuje zaleŝność pomiędz początowm poziomem dochodu (apitału w gospodarce) a wsoością stop wzrostu. Ja poazwaliśm juŝ wcześniej model neolasczn przewiduje, Ŝe im więcej jest apitału w gospodarce tm niŝsza jest stopa wzrostu. A zatem w przpadu gd mam do cznienia z dwoma gospodarami, tóre róŝnią się jednie początowm zasobem apitału, to ta tóra jest biedniejsza powinna rozwijać się szbciej niŝ ta bogatsza. Mielibśm wted do cznienia z onwergencją absolutną. W pratce jedna raje mogą się róŝnić zarówno stopą oszczędności, technologią, stopą wzrostu populacji cz stopą δ+n deprecjacji. Powoduje to, iŝ model neolasczn sf(a 2,)/ nie przewiduje zawsze szbszego wzrostu w sf(a 1,)/ biedniejszch rajach. MoŜliwe jest jedna wted wstąpienie onwergencji warunowej, tóra oznacza * Ŝe aŝd raj dąŝ do swojego stanu ustalonego. Zadanie. Chcąc pomóc swoim wspaniałm studentom w przgotowaniu się na artówę, Maestro Roite wmślił następujące zadanie: załadając, Ŝe poziom apitału per capita jest niŝsz niŝ błb w warunach długooresowej równowagi proszę wjaśnić: Proces dochodzenia do długooresowej równowagi cz w oresie dochodzenia do równowagi tempo wzrostu będzie się zmieniało? Jaie jest podstawowe załoŝenie modelu, tóre warunuje taą dnamię? Cz raje uboŝsze mają szansę dogonić raje bogate pod względem PKB per capita? Jaie waruni muszą bć spełnione? Jaie suti dla odpowiedzi w poprzednim puncie będzie miało przjęcie funcji producji Y = AK α L β gdzie α +β > 1 *** Zadanie1. W ramach swojej prac poza uniwerstetem im. Wieliego Kanibala, Maestro Roite bł równieŝ onsultantem eonomicznm rozmaitch ministerstw. Dlatego teŝ, nie bło dla niego Ŝadną niespodzianą, iŝ pewnego słonecznego dnia został poproszon o 10

11 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II analizę długooresowch sutów przstąpienia Canibalii do Światowej Ligi LudoŜerców. NajwaŜniejszą orzścią wejścia do Ligi miał bć napłw środów przeznaczonch na rozwój infrastrutur w Canibalii. Dlatego teŝ zadaniem Maestro Roita bło: Poazanie co stanie się ze stopą wzrostu gospodarczego, poziomem producji i apitału per capita w efecie napłwu środów z Ligi; Analiza moŝliwch sutów przerw w napłwie środów po upłwie jaiegoś czasu. Analiza oparta miała bć na neolascznm modelu wzrostu, zaś puntem wjścia załoŝenie o tm, Ŝe gospodara Canibalii znajduje się na ścieŝce zrównowaŝonego wzrostu. PoniewaŜ Maestro ja zwle bł przepracowan to postanowił sprawdzić ja powŝsze zadanie rozwiąŝą jego studenci, tórch dodatowo zdopingował wiadomością o tm, iŝ podobn problem moŝe się pojawić na olowium Zadanie 2. Całowite wnagrodzenie prac w gospodarce wnosi 60, a wartość producji, tórej proces jest opisan prostą funcją Cobba-Douglasa, wnosi 100. Tempo wzrostu PKB wnosi 10%, a tempo wzrostu zasobu apitału i prac, odpowiednio, 10% i 5%. a) Jaie jest tempo wzrostu wielocznniowej produtwności w tej gospodarce (TFP)? b) Powtórz obliczenia z (a) dla osztów prac równch 80 zamiast 60. c) Wprowadź wraŝenie na tempo wzrostu wielocznniowej produtwności, gd funcja α β 1 α β producji ma postać Y = K H T, gdzie T oznacza zasób gruntów ornch. Zadanie 3. Maestro Roite otrzmał od ministra gospodari w raju o wdzięcznej nazwie Canibalia zadanie obliczenia stop wzrostu PKB per capita. Dane jaie otrzmał od ministra wglądają następująco: Funcja producji ma postać Y = K 2/3 (AL) 1/3 Stopa oszczędności wnosi 0.24, stopa deprecjacji 0.03, stopa przrostu naturalnego 0.01, zaś tempo postępu technicznego Dodatową informacją jest to, iŝ K = 48000, A = 15 a L = 50 Maestro Roite spędził ila bezsennch noc ślęcząc nad zadaniem ale niestet nie udało mu się nic wmślić. Dodatowo dobił go pschicznie telefon od ministra, tór zaŝczł sobie ab poazać mu co się stanie ze stopą wzrostu PKB per capita gd nastąpi import nowch technologii prowadząc do wzrostu parametru A do 320/9 oraz zwięszenia tempa postępu technicznego do Dlatego teŝ postanowił dać powŝsze zadanie do rozwiązania swoim studentom z nadzieją, Ŝe uchronią go oni od niechbnej śmierci w uchni ministra... Zadanie 4. Somentuj stwierdzenie: Z modelu Solowa wnia, Ŝe wielość gospodari mierzona poziomem PKB jest ujemnie zaleŝna od tempa przrostu naturalnego i stop deprecjacji apitału (rzwa efetwnej deprecjacji apitału jest bardziej stroma i przecina rzwą oszczędności prz niŝszm poziomie apitału). Zadanie 5. RozwaŜm dwa raje, AA i BB, charaterzujące się ta sama funcja producji. ZałóŜm, ze początowo w obu rajach poziom apitału prac i technologii jest identczn, a poziom apitału na 1 zatrudnionego jest niŝsz niŝ w stanie ustalonm. W raju AA stopa oszczędności jest równa 20%, a w raju BB wnosi 25%. W obu rajach tempo przrostu naturalnego równa się 3% rocznie, stopa deprecjacji apitału wnosi 5%, zaś tempo postępu technicznego to 3%. Zgodnie z przewidwaniami modelu Solowa: a) Któr z rajów, jeśli w ogóle, ma początowo wŝszą stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego. Dlaczego? 11

12 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II b) Któr z rajów, jeśli w ogóle, ma wŝsza stopę wzrostu producji na 1 zatrudnionego w stanie ustalonm. Dlaczego? c) Jaie jest tempo wzrostu PKB w stanie ustalonm w obu rajach? Zadanie 9. ZałóŜm, Ŝe na ścieŝce zrównowaŝonego wzrostu, raj pustosz trąba powietrzna, w wniu czego liczba ludności maleje o 50%, natomiast zasób apitału o 75%. Katalizm nie powoduje zmian stop oszczędności, ani tempa przrostu naturalnego, tóre wnosi n. Nie obserwujem postępu technicznego, czli g=0. Sorzstaj z własności funcji producji i naszicuj zmian w czasie (przed i po przejściu trąb powietrznej) a) apitału i producji na 1 zatrudnionego ( oraz ) b) zasobu sił roboczej N c) zasobu apitału K d) poziomu dochodu Y W nietórch przpadach wsazane moŝe bć worzstanie logartmów zmiennch. Zadanie 10. RozwaŜm gospodarę, tóra znajdowała się na ścieŝce wzrostu zrównowaŝonego W wjątowo deszczowm, listopadowm dniu stopa amortzacji (fizcznego zuŝcia apitału w procesie producji) wzrosła z poziomu 1 do poziomu 2 a ¼ pracowniów rezgnuje z prac i decduje się na emigracje na słoneczne południe Europ. Stopa oszczędności, s, I tempo przrostu naturalnego, n, pracowniów pozostałch w raju nie ulega zmianie. Wiadomo równieŝ, ze tempo postępu technicznego wnosi zero. Korzstając z modelu Solowa, naszicuj ścieŝi opisujące ewolucje w czasie: a) apitału na jednego zatrudnionego () i producji na jednego zatrudnionego () ; b) całowitego zasobu prac (N), apitału (K) i producji (Y) (wsazane worzstanie logartmów). Zadanie 11. Po uzsaniu członostwa w UE Polsa otrzmała bezzwrotna pomoc w postaci maszn i innego wposaŝenia apitałowego. Minister gospodari, opierając się na wniosach wciągniętch z modelu Solowa, stwierdził ze społeczeństwo musi zacząć oszczędzać więcej, ab podarowan zasób apitału zaowocował wŝszm poziomem producji na 1 zatrudnionego. Jeśli stopa oszczędności nie wzrośnie mówił minister powrócim do wjściowego poziomu producji, a w oresie przejściowm stopa wzrostu gospodarczego spadnie. Cz minister miał racje? Zadanie 12. Stopa wzrostu producji całowitej w pewnm oresie wnosi 0,07, stopa wzrostu zasobu apitału jest równa 0,03. Tempo przrostu naturalnego wnosi 0,01. Wiadomo, Ŝe funcja producji ma postać Cobba-Douglasa Y = K α (AN) 1-α, gdzie K i N oznaczają naład prac i apitału, a parametr α=0,5. Korzstając z deompozcji Solowa i modelu wzrostu jego autorstwa: a) oblicz tempo postępu technologicznego b) zapisz funcje producji w postaci intenswnej, z jednm argumentem ˆ = K/AN i oblicz poziom wnagrodzenia za prace, przjmując, Ŝe jest on równ rańcowemu produtowi prac. Jeśli omawiana gospodara znajdowała sie w stanie ustalonm, w jaim tempie rosną płace? Zadanie 13. Funcja producji wraŝona w ategoriach na 1 zatrudnionego ma postać α 1 α = A h gdzie A poziom zaawansowania technologicznego, parametr 0<α<1, producja na 1 zatrudnionego, apitał fizczn na 1 zatrudnionego, h apitał ludzi na 1 zatrudnionego, odzwierciedlając poziom wształcenia, umiejętności i doświadczenia zawodowego pracowniów. Stopa oszczędności wnosi s, zaś oszczędności są w całości 12

13 Barte Roici Ćwiczenia z Maroeonomii II przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizcznego, tórego stopa deprecjacji wnosi d. Kapitał ludzi jest aumulowan podczas uczestnictwa w procesie producji im więsz zasób apitału fizcznego, tór przpada na 1 zatrudnionego tm szbciej rosną jego walifiacje: h = B, gdzie B jest parametrem. Tempo przrostu naturalnego i postępu technicznego wnoszą zero. a) Wprowadź wzór na wartość łącznej producji Y w omawianej gospodarce. Oblicz wielość całowitch oszczędności w gospodarce, pamiętając Ŝe stopa oszczędności wnosi s. Uwzględniając fat, Ŝe oszczędności są w całości przeznaczane na odtworzenie i powięszanie zasobu apitału fizcznego, oblicz tempo wzrostu zasobu całowitego apitału fizcznego K, ludziego H, oraz całowitej producji Y; b) Jai będzie wpłw wzrostu stop oszczędności na tempo wzrostu całowitej producji w omawianej gospodarce. Porównaj otrzman wni z wpłwem wzrostu stop oszczędności w modelu Solowa z neolasczną funcją producji = A, nie uwzględniającą apitału ludziego. Z czego wnia róŝnica? Zadanie 14. RozwaŜm model Solowa z apitałem ludzim w ujęciu Maniw, Romera i α β 1 α β Weila, tórz przjmują następującą postać funcji producji: Y = K H (AN) gdzie Y to wielość producji, K oraz H oznacza poziom apitału, odpowiednio, fizcznego i ludziego, A jest miarą zaawansowania technologicznego, zaś N to zasób sił roboczej. Produowane dobro jest homogeniczne i moŝe bć albo sonsumowane, albo przeznaczone na inwestcje w apitał ludzi lub fizczn. Stop inwestcji w oba rodzaje apitału są stałe i równe sh oraz sk. a) Zapisz funcje producji w postaci intenswnej, wraŝając wszstie zmienne w ategoriach na jednostę efetwnej prac AN; b) Zapisz równania opisujące dnamię ˆ= K / AN oraz h ˆ= &ˆ H / AN, czli równania na i h &ˆ, przjmując ze stopa deprecjacji obu rodzajów apitału wnosi d; c) Oblicz wartości ˆ, ĥ oraz ŷ w stanie ustalonm. Zadanie 15. Porównaj ewolucje producji na 1 zatrudnionego (sporządź wres ln względem czasu) w modelu Solowa bez postępu technicznego oraz modelu AK przed i po następującch zdarzeniach: a) Wzrost tempa przrostu naturalnego b) Spade stop oszczędności c) Wzrost (jednorazow) wartości parametru A d) Spade liczb ludności w wniu emigracji 13