STATYSTYKA W POMIARACH AKUSTYCZNYCH - PODSTAWY

Transkrypt

1 STATYSTYKA W POMIARACH AKUSTYCZNYCH - PODSTAWY mgr Mikołaj KIRPLUK NTL-M.Kirluk Warszawa, ul.belwederska 3 m.6 tel.k.: mkirluk@tlmk.com. WSTĘP W związku z szeregiem wymagań stawiaych m.i. rzez rzeisy rawe zachodzi koieczość określaia ieewości wyików badaia hałasu a odstawie wykoaych omiarów oziomu dźwięku. Skocetruję się tu a asekcie fizyczym tego zagadieia, omijając ie asekty (rawe, faktyczej jakości badań, sesu akredytacji w omiarach środowiskowych, a hałasu w szczególości - to temat a osobe dyskusje, do rowadzeia których iezbęde jedak jest zrozumieie fizyczej stroy zjawiska hałasu, omiaru oziomu dźwięku oraz statystyki). Chociaż już ogół osób zajmujących się srawami hałasu określa wartość średią oziomu dźwięku jako średią logarytmiczą (szczegółowe wyjaśieie tego ojęcia dalej w treści referatu) zgodie z eergetyczym charakterem tego zjawiska, to dalsze rachuki statystycze wielu wykouje jedak a... oziomach dźwięku! Jest to cyferkologia stosowaa... Żeby zrozumieć źródło takiego błędu trzeba uświadomić sobie geezę ojęć i wzorów statystyczych oraz stosowaych w akustyce defiicji m.i. właśie oziomu dźwięku. Rozdział t. Reetytorium staowi skrót odstawowych iformacji a temat arametrów rozkładów statystyczych i ojęć uzywaych w określaiu ieewości. Natomiast meritum mojego referatu zajduje się w rozdziale Statystyka w omiarach akustyczych i jest zakończoe brzemieą w skutki Kokluzją, z której wioskować moża o jakości wydaych dotychczas akredytacji i rzeisów rawa... (sta a dzień r.)

2 . REPETYTORIUM.. Parametry rozkładu zmieych losowych Wartość oczekiwaa zmieej losowej X (wartość rzecięta, adzieja matematycza) dla zmieej losowej dyskretej: E dla zmieej losowej ciągłej: E ( X ) = x P{ X } = k ( X ) x f ( x) k x k = dx gdzie: f ( x) dx = Momet rzędu zmieej losowej X to wartość oczekiwaa zmieej losowej X, czyli: dla zmieej losowej dyskretej: E dla zmieej losowej ciągłej: ( X ) = x P{ X x } E = k k ( X ) x f ( x) = dx k Wariacja zmieej losowej X jest określoa zależością: D [ ] ( X ) = E( X ) E( X ) Pierwiastek kwadratowy z wariacji azywamy odchyleiem stadardowym.

3 3.. Przyadki szczególe A. Średia arytmetycza to wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej o jedakowych rawdoodobieństwach dla skończoej liczby możliwych wartości: E ( X ) = i = X i Dla średiej arytmetyczej wariacja wyraża się wzorem: D ( X) = E( X ) E( X) i= i= [ ] = Xi Xi = (...) = [ Xi E( X) ] i jest to momet cetraly -rzędu, lub wartość oczekiwaa kwadratu odchyleia zmieej losowej od jej wartości oczekiwaej, czyli średie odchyleie kwadratowe [6] (lub średi błąd kwadratowy []) - takie azewictwo jest rawidłowe (rzy.mk), a ierwiastek kwadratowy z tej wariacji to odchyleie stadardowe, ale też średia kwadratowa odchyleia lub dysersja []. i= B. Rozkład ormaly zmieej losowej X to rozkład o gęstości rawdoodobieństwa określoej wzorem: f ( x; a, σ ) σ ex ( x a) = π σ gdzie: a - badaa wielkość lub wartość oczekiwaa σ - odchyleie stadardowe gęstość rawdoodobieństwa Rozkład ormaly 0,4 Wartość oczekiwaa a=0 0,3 0, 0, sigma= sigma= sigma=3 sigma=4 sigma= zmiea X 4 6 8

4 4.3. Nieewość [,3] ieewość rozszerzoa - U R : (zasada roagacji ieewości) U = U U R A B Nieewość możemy określać z różym oziomem ufości, wyrażaym zazwyczaj w rocetach, ozaczającym rawdoodobieństwo uzyskaia wyiku leżącego w obliżu wartości oczekiwaej w rzedziale zdefiiowaym rzez tą ieewość,.: P X rzedzial ieewosci ( E( X ) U E( X ) ) % R,, U R, = ieewość tyu A - U A możemy ją określać metodami statystyki matematyczej, dotyczy główie wyików omiarów traktowaych jako zmiee losowe: - iezależe, - owtarzale, - omiar ie wływa a wyik. ieewość tyu B - U B określamy ją metodami iymi iż statystyki matematyczej, : - metryki, certyfikaty, - dae literaturowe, - wcześiej uzyskae dae omiarowe, - włase doświadczeie i wiedza, - szczegółowa zajomość badaych zjawisk. Szacowaie ieewości tyu B to bardziej sztuka doświadczala iż rzemiosło []

5 5 3. STATYSTYKA W POMIARACH AKUSTYCZNYCH Średi oziom dźwięku (dla jedakowo rawdoodobych zdarzeń / omiarów) obliczamy jako tzw. średią logarytmiczą określoą wzorem: L śr. = log i= Li [A] Defiicja oziomu dźwięku Poziom dźwięku wyrażoy w decybelach to logarytmów dziesiętych ze stosuku kwadratu ciśieia akustyczego do kwadratu ciśieia odiesieia rówego * -5 Pa: L = log, db [B] gdzie: 0 - ciśieie odiesieia * -5 Pa (róg słyszeia dla 00 Hz) 0 UWAGA : Często w literaturze sotyka się zais: L = 0 log, Zais taki, choć z formalie rawidłowy z matematyczego uktu widzeia, traci ses fizyczy: - w fizyczej defiicji oziomu wyrażaego w decybelach - wielkości logarytmizowae muszą być roorcjoale do eergii - w akustyce taką wielkością jest kwadrat ciśieia akustyczego, - ciśieie akustycze (chwilowe?) w ierwszej otędze może być ujeme i wychodzi oza dziedzię logarytmu. Stąd róba obliczeń,. sumy hałasu z kilku źródeł (sumowaie oziomów) lub ieewości wyików (rzez różiczkowaie) rowadzi do błędów iterretacyjych! 0 db Przekształcając wzory [A] i [B] otrzymujemy: śr. = 0 i = i 0 czyli wartość oczekiwaą dla wielkości / 0 - eksozycji względej - określoą wzorem dla którego jest stworzoy cały statystyczy aarat matematyczy!

6 6 W dalszych rachukach eksozycję względą, rozumiaą jako wielkość / 0, będę ozaczał rzez X i traktował jako zmieą losową oisującą zdarzeia akustycze: X = śr. X i i= Eksozycja X jest roorcjoala do eergii fali akustyczej, jest addytywa i moża oczekiwać, że jej rozkład będzie miał charakter rozkładu ormalego wokół wartości średiej. Dla oisu takiej wielkości moża stosować arametry statystycze wyrowadzae ze wzorów a wartość oczekiwaą. UWAGA : Natomiast w rzyadku oziomów dźwięku sytuacja wygląda zgoła iaczej: Poziom dźwięku ie jest wielkością fizyczą - jest umową rerezetacją wielkości fizyczej rzy wykorzystaiu fukcji logarytmiczej ze wszelkimi tego kosekwecjami: ie jest addytywy - ie dodaje się algebraiczie - sumowaie oziomów olega a sumowaiu eergii ( suma logarytmicza oziomów), różica oziomów jest krotością - jest to różica logarytmów! - i chociaż jest stosowaa jako wskaźik skuteczości akustyczej (. dźwiękoizolacyjości, wyciszeia), to liczeie wariacji a różicach oziomów ie ma sesu fizyczego, oziom dźwięku ie rerezetuje wartości zerowej - odowiadającej braku emisji eergii (wartość oziomu dąży do ). Oczywiście, aby dalej badać zjawiska akustycze i określać dla ich arametry statystycze, trzeba zaewić sełieie iych waruków stosowaia statystyki: zdarzeia akustycze owiy być iezależe - stąd ależy mierzyć całe cykle jako zdarzeie akustycze (. cykl = wjazd maewry wyjazd ojazdu), zdarzeia akustycze owiy być owtarzale - ależy uwzględiać czyiki mające wływ a rzebieg badaego zdarzeia orzez rawidłowe określeie modelu zjawiska - błędem jest. badaie statystycze hałasu komuikacyjego w czasie arastaia atężeia ruchu omiędzy kolejymi omiarami lub odczas blokowaia asa ruchu sowodowaego awarią ojazdu, badaie ie owio wływać a rzebieg zdarzeia akustyczego -. ustawieie uktu omiarowego zbyt blisko jezdi w olu widzeia kierowcy adjeżdżającego ojazdu owoduje jego reakcję (a ogół zmiejszeie rędkości...).

7 7 4. KONKLUZJA Kosekwecją określeia średiej wartości eksozycji względej X śr. z ieewością ± X, czyli rzedziału ufości dla eksozycji względej [X śr. - X, X śr. X], jest rzedział ufości dla oziomów dźwięku [log (X śr. - X), log (X śr. X)] rówy rzedziałowi [L śr. - L -, L śr. L ], gdzie wartość oczekiwaa oziomu dźwięku L śr. =log (X śr. ) leży iesymetryczie wewątrz tego rzedziału (bliżej wartości górej), stąd wartość średia oziomu dźwięku odawaa wraz z ieewością musi mieć iesymetrycze wartości ieewości: L śr. (D L ; -D L -) oziom dżwięku L, db Lśr. L Lśr. Lśr. - L - L L - X X - Xśr. Xśr. X Xśr. X eksozycja względa X, bezwymiarowa Wartości ieewości dla oziomów - lus i mius - są dla takiego rachuku ścisle ze sobą owiązae: L L - L - L = log 0, -0, graica stosowalości rzybliżeń liiowych! 0,5-0,7 0,8 -,00,00 -,30,65 -,70,00-3,8,70-8,60 3,00-3,4 asymetria wartości ieewości dole graice są już ieiterretowale!

8 8 Na koiec uwaga raktycza: jeśli w czasie omiarów obserwujemy zbyt wielki rozrzut wyików (rzędu kilku decybeli), to a ewo ie wiemy co mierzymy! Zastosowaie statystyki do takich wyików ie da am żadej odkrywczej iformacji, oza uaoczieiem faktu, że wyciągaie średiej z takich wyików jest obarczoe kolosalym błędem. Jest też istota ozytywa kosekwecja rowadzeia dalszych rachuków ieewości a eksozycjach względych - oieważ eksozycja jest addytywa, to wszelkie wzory się wyjątkowo uraszczają i liczeie różiczek jest już trywiale... LITERATURA:. I.N.Brosztej, K.A.Siemiediajew, Matematyka - Poradik ecykloedyczy, PWN, Warszawa 976. Roma Nowak, Statystyka dla fizyków, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa 00, ISBN Wyrażaie ieewości omiaru. Przewodik., GUM, 999, ISBN x 4. Tablice matematycze, Wydawictwo Adamata, Warszawa 004, ISBN Polska Norma PN-83/B-054/0 - Akustyka budowlaa. Pomiary izolacyjości akustyczej w budykach i izolacyjości akustyczej elemetów budowlaych. Ustaleia dotyczące dokładości. 6. T.Gerstekor, T.Śródka, Kombiatoryka i rachuek rawdoodobieństwa, PWN, Warszawa 97, ISBN trivium - iższy stoień auki szkolej w średiowieczu, obejmujący studium trzech rzedmiotów (gramatyki, retoryki i dialektyki), wchodzących w skład sztuk wyzwoloych (Słowik wyrazów obcych, WN PWN S.A., Warszawa 000)

9 9 Dodatek - ieewości tyu B Co zrobić dla rachuku a wielkościach X, gdy mamy dae symetrycze graice błędów dla oziomu L? oziom dżwięku L, db Lśr. L Lśr. Lśr. - L - L L - X - X Xśr. X - - Xśr. Xśr. X eksozycja względa X, bezwymiarowa Lśr. L Lśr. Lśr. L = = X X = L L L L śr. śr. śr. L = L = L = L X = X L

10 gęstość rawdoodobieństwa X - X X - X Xśr. - X- Xśr. Xśr. X eksozycja względa X, bezwymiarowa ( L = L = L) X X = L = X śr. L L 0, gęstość rawdoodobieństwa X - X X - X Xśr. - X- Xśr. Xśr. X eksozycja względa X, bezwymiarowa ( L = L = L) X X = Lśr. = X L L ,767