Wprowadzenie do dy- 3. Dynamika ciał odkształcalnych. Dodatkowo uwzględniamy odkształcenia ciał
|
|
- Jacek Czech
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wprowadzenie do dy- MUD 01 namiki Wprowadzenie Kiedy stosujemy podejście dynamiczne? Podejście dynamiczne stosujemy, kiedy wpływ sił bezwładności na zachowanie się konstrukcji jest istotny. A co uważamy za istotny wpływ? To zależy Podstawowe rodzaje zagadnień dynamicznych z punktu widzenia inżyniera 1. Dynamika punktów materialnych lub pojedynczych ciał sztywnych. Konstrukcja modelowana jest jako coś, co ma masę i moment(y) bezwładności wokół jednej lub kilku osi 2. Dynamika układów ciał sztywnych. J.w. lecz rozpatrujemy kilka ciał połączonych ze sobą. Więzi pomiędzy nimi mogą być tylko kinematyczne (łożysko, przegub) lub konstrukcyjne (sprężyna, tłumik) 3. Dynamika ciał odkształcalnych. Dodatkowo uwzględniamy odkształcenia ciał Uwagi Każdy z tych typów zagadnień może (ale nie musi) być udoskonaleniem poprzedniego Cała sztuka polega na tym, żeby dobrać model, który wyłapuje interesujące nas zjawisko i nic poza nim. Charakterystyczna częstotliwość typowego trzasku przy chwytaniu sprzęgła w samochodzie to 6 15 Hz. Do modelowania takiego zjawiska wystarczy prosty model: 3-4 masy i realistyczny model tarcia [1] Zagadnień dynamiki powiązanych z ruchem ciał często nie da się rozwiązać bezpośrednio zwykłą MES. Przykład: ruch pocisku artyleryjskiego w lufie armaty. ADINA posiada taką możliwość dopiero od wersji 8.9 Dwie metody wyprowadzania równań dynamicznych 1. Zasada d Alemberta: podobno jak w statyce, układ w czasie ruchu znajduje się w równowadze, lecz nie w statycznej a dynamicznej. W praktyce wystarczy do znanego ze statyki równania ruchu dodać człon (lub człony) bezwładnościowy. Porównanie wielkości tego członu(ów) do pozostałych pozwala ilościowo ocenić na ile istotne są efekty dynamiczne. W najprostszym przypadku ruchu 1 ciała o masiemwzdłuż osix: Statyka: F i = 0, czyli suma wszystkich x-składowych sił działających na ciało jest 0 Dynamika: F i (x,t) = mẍ, czyli II prawo Newtona 2. Równania Lagrange a (lub Eulera-Lagrange a). Ruch dowolnego układu dynamicznego o uogólnionych współrzędnych q i wyznacza układ i równań: d + U = Q i dt q i q i q i gdzie T energia kinetyczna, U energia potencjalna układu, Q i siły uogólnione. W większości realnych sytuacji = 0 ponieważ energia kinetyczna q i zwykle zależy tylko od prędkości q i
2 Równanie Lagrange a, łopatologia W równaniu Lagrange a występują tylko siły: po lewej stronie wewnętrzne, po prawej zewnętrzne d + U = Q i dt q i q i Jak z członu powiązanego z energią potencjalną U (siła przemieszczenie) za pomocą różniczkowania wydobyć siłę? Odp: przez różniczkowanie po przemieszczeniu Po jakiej zmiennej można realnie różniczkować wyraz dla energii kinetycznej T ( 1 /2 masa (prędkość) 2 )? Czyli jaki z 2 parametrów (masa i prędkość) zwykle zmienia się w czasie ruchu? Odp: po prędkości Wynik poprzedniej operacji (mv) nie jest siłą (ma). Po jakiej zmiennej trzeba różniczkować prędkość v, żeby otrzymać przyspieszenie a? Odp: po czasie t Przykłady Model z jednym stopniem swobody, zasada d Alemberta Na ciało (poza bezwładnością) działa 1 siła zewnętrzna kx od strony sprężyny Warunek równowagi dynamicznej ma postać mẍ = kx. Bez dynamiki mamy statykę:kx = 0, rozwiązaniex = 0 brak ruchu kx k m x Dzielimy przez m: (m 0, brak bezwładności oznacza brak dynamiki) ẍ+(k/m)x = 0 Po zamianie k/m ω 2 ostatecznie ẍ + ω 2 x = 0. Za chwilę zobaczymy, że ω częstotliwość drgań własnych układu Jeżeli na układ działa dodatkowo zewnętrzna siła f(t), to równanie ma postać mẍ+kx = f(t) Bez dynamiki, czyli przy bardzo powolnym ruchu, mamy kx = f(t), co daje tzw. rozwiązanie quasi-statyczne x = f(t)/k Model z jednym stopniem swobody, równanie Lagrange a 1. Współrzędną, która jednoznacznie określa nam stan układu jest x, siła uogólniona to po prostu f(t) 2. Energia kinetyczna układu T = 1 /2mẋ 2, energia potencjalnau = 1 /2kx ẋ = mẋ, d = mẍ. To jest siła bezwładności masy dt ẋ x = 0, U = kx. To jest siła sprężystości sprężyny x 5. Ostateczne równanie jest takie same mẍ+kx = f(t) Ciężkie koło na osi, zasada d Alemberta I.Rokach,
3 Wartość fizyczna Prostolinijny Obrotowy Przemieszczenie, x, ẋ, ẍ α, α, α prędkość, przyspieszenie Bezwładność Masa m [kg] Masowy moment bezwładnościj[kg m 2 ] Obciążenie Siła F [N] Moment M [N m] Równanie ruchu Fi = mẍ Mi = J α Energia kinetyczna 1/2mẋ 2 1/2J α 2 Energia potencjalna 1/2kx 2 1/2cα 2 (sprężyna) c m,j 1. Dane: masa kołam, promieńr, sztywność osi na skręcanie c [jednostki: moment/kąt, N m/rad], zaniedbujemy masę osi oraz jej masowy moment bezwładności. Jedyną współrzędną, która określa nam stan układu jest kąt α 2. Masowy moment bezwładności koła J = 1 /2mR 2.. Oznacza to, że nasze koło zamachowe zakręca oś tak samo jak masa skupiona m umieszczona na ramieniu o długości R/ 2 3. Siła bezwładności: J α, siła sprężystości osi: cα. Równanie drgań własnych: J α+cα = 0 Analogia: ruch obrotowy ruch prostolinijny Podstawowe wzory na momenty bezwładności można znaleźć w PL-Wikipedii. Hasło: Lista momentów bezwładności. Ale jej niemiecki odpowiednik jest lepszy Wahadło z dopalaczem : pręt ze sprężyną, równanie Lagrange a 1. Dane: masa prętam, jego moment bezwładnościj[kg m 2 ], sztywność sprężyny c [N m/rad], odległość środka ciężkości pręta od osi R. Jako współrzędną uogólnioną wybieramy kąt odchylenia wahadła α 2. Energia kinetyczna:t = 1 /2J α 2 c α m,i 3. Energia potencjalna U = 1 /2cα 2 + mgr(1 cos(α)). Pierwszy człon energia odkształcenia sprężyny, drugi zmiana położenia środku ciężkości pręta 4. α = J α, d dt α = J α, U = cα+mgr sin(α) α 5. Równanie drgań własnych : J α + cα + mgr sin(α) = 0. Dla małych wartości α równanie można zlinearyzować za pomocą zamiany sin(α) α, co daje J α+(c+mgr)α = 0 Widzimy jak masa powiększa sztywność sprężyny c I.Rokach,
4 W matematyce i fizyce często są wykorzystywane wzory x sin(x) albo x tg(x) dla małych x. Rzadziej można znaleźć odpowiedz na pytanie dla jakich x i z jaką dokładnością można stosować takie wzory. Poniższa tabela zawiera odpowiednie dane Dokładność: 1% 5% 10% sin(x) ±14 ±32,6 ±45 tg(x) ±10 ±21,6 ±30 Czyli (po lekkim zaokrągleniu w celu uproszczenia) odpowiednie wartości dla sin(x) to ±15, ±30 i ±45, a dla tg(x) to ±10, ±20 i ±30. Teraz te liczby jest łatwo zapamiętać Płyn w rurce, równanie Lagrange a x x l 1. Dane: gęstość płynuρ[kg/m 3 ], pole przekroju rurkia, ogólna długość słupa płynu w rurce l. Rozważamy płyn nieściśliwy, zaniedbujemy tarcie. Jako współrzędną uogólnioną wybieramy przemieszczenie lustra płynu x w prawym kolanie rurki 2. Energia potencjalna: U = Aρgx x = Aρgx 2 3. Energia kinetyczna: T = 1 /2mẋ 2 = 1 /2Aρlẋ 2 4. Równanie końcowe (proszę wyprowadzić samodzielnie): lẍ+ 2gx = 0 Zastosowanie poprzedniego modelu Model jest prymitywny, ale dobrze przewiduje zachowanie się rtęci (płynu z niska lepkością i wysokim ρ) w niezawodnych manometrach starej daty Uwagi praktyczne Dla wszystkich układów z 1 stopniem swobody równanie drgań własnych ma postaćẍ+ω 2 x = 0 Chociaż dla prostych układów dość łatwo można wyprowadzić równanie drgań własnych, w wielu praktycznych sytuacjach nawet to nie jest potrzebne. Powodów jest co najmniej dwa: 1. Bardzo często inżyniera interesują wybrane parametry układu: maksymalne przemieszczenie, maksymalna prędkość, najniższa częstotliwość drgań własnych. Wszystkie te parametry można wyznaczyć bez wyprowadzania równania ruchu, ze zwykłego bilansu energii (pokażemy to za chwilę) 2. Mamy do dyspozycji modelowanie fizyczne i odpowiednie narzędzia informatyczne, w tym oparte na języku Modelica Rozwiązanie równania drgań własnych ẍ+ω 2 x = 0 Z formalnego punktu widzenia równanie ẍ = ω 2 x jest stwierdzeniem, że interesuje nas funkcja czasu, która (z dokładnością do mnożnika) jest równa swojej drugiej pochodnej. Kandydatów na rozwiązanie jest bardzo mało. To przede wszystkim exp(x) jedyna funkcja niewrażliwa na różniczkowanie oraz spokrewnione z nią funkcję sin(x) i cos(x), które są niewrażliwe na różniczkowanie parzystą ilość razy Rozwiązanie jest trywialne i ma postać x(t) = A cos(ωt)+b sin(ωt) (1) StałeAiBmożna wyznaczyć z warunków początkowych: x(0) = x 0,ẋ = v 0 1. Dla t = 0,x(0) = A cos(0)+b sin(0) = A 1+B 0 = A = x 0 2. (1) ẋ = Aω sin(ωt)+bω cos(ωt), dla t = 0, ẋ(0) = Aω sin(0)+ Bω cos(0) = Bω = v I.Rokach,
5 3. Ostatecznie albo x(t) = a cos(ωt β), a = x(t) = x 0 cos(ωt)+ v 0 sin(ωt) (2) ω x 2 0 +(v 0 ω )2, β = arc tg v 0 ωx 0 (3) Powiązanie pomiędzy maksymalnymi wartościami przemieszczenia i prędkości Jeżelix(t) = a cos(ωt β), to x max = a Jeżeliẋ(t) = aω sin(ωt β), to v max = aω Czyli v max = ωx max albox max = v max /ω Oznacza to, że jeżeli znane jest maksymalne przemieszczenie układu, to możemy (bez rozwiązywania równania) wyznaczyć maksymalną prędkość ruchu. I odwrotnie jeżeli znana jest maksymalna prędkość ruchu układu, to możemy wyznaczyć maksymalne przemieszczenie. Warunek jest jeden musimy znać częstotliwość drgań własnych ω Energetyczna metoda wyznaczania częstotliwości drgań własnych Zasada zachowania energii wymaga:t +U = const Kiedy T = T max, to U = 0. I na odwrót, jeżeliu = U max, tot = 0 Z tego wynika, żet max = U max. Równanie to zwykle pozwala wyznaczyć ω Prosty przykład Dla układu masa-sprężynat = 1 /2mv 2,U = 1 /2kx 2 Czyli T max = 1 /2mv 2 max,u max = 1 /2kx 2 max Mamy mv 2 max = kx 2 max, alev max = ωx max, co daje mω 2 x 2 max = kx 2 max Ostatecznie mamy znany wynik ω = k/m Nie aż tak prosty przykład (cylinder w rurze, brak tarcia) O α α R r C h max C v max β A Cylinder o promieniu r i masie m porusza się wewnątrz rury o promieniu R. Z powodu wysokiego współczynnika tarcia ruch odbywa się bez poślizgu. Znaleźć częstotliwość oscylacji dla małych kątów α [2] Maks. energia potencjalna U max = mgh max = mg(r r)(1 cos(α max )) 1 2 mg(r r)α2 max. Skorzystaliśmy z tego, że: Odległość OC =OC=R r, rzut OC na OC ma długość(r r) cos(α max ),h max = (R r) (R r) cos(α max ) = (R r)(1 cos(α max )), cos(α) α I.Rokach,
6 W p. A cylinder ma stały kontakt z rurą,t max = 1 2 J A β 2 max, gdziej A jest moment bezwładności względem osi, która przechodzi przez punkt A. Ale rβ = (R r)α, więc β = R r α r Moment bezwładnościj = 1 2 mr2 +mr 2 = 3 2 mr2, T max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Mamy U max = 1 2 mg(r r)α2 max,t max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Przypominamy, że α max = ωα max. Równanie to jest sprawiedliwe zarówno dla ruchu prostolinijnego, jak i obrotowego. Z równania 1 2 mg(r r)α2 max = 3 4 m(r r)2 ω 2 α 2 max otrzymujemy ostatecznie 2g ω = 3(R r) Uwaga praktyczna. Obliczenia w dynamice są żmudne i bardzo łatwo się pomylić. Koniecznie trzeba sprawdzić 1. Poprawność wymiaru ostatecznego wyniku (w danym przypadku ma być 1/czas) 2. Poprawność sensu fizycznego wyniku. W danym przypadku co będzie zωdlar R,r 0 Jeszcze jeden sposób na wyprowadzenie wzoru na maksymalną energię kinetyczną. T max = 1 2 mv2 max J C γ m ax 2, gdzie pierwszy człon jest energią kinetyczną środka ciężkości cylindra, który znajduje w p. C. Drugi człon reprezentuje energię powiązaną z obracaniem się cylindra wokół środka ciężkości z niewiadomą prędkością obrotową γ Zauważamy, że v max = (R r) α max. Prędkość kątowa obracania się cylindra wokół środka ciężkości jest taka sama, jak wokół p.a, czyli γ max = β max = R r α max. Masowy mo- r ment obrotowy dla cylindra względem jego osi to J C = 1 2 mr2. Ostatecznie mamy T max = 1 2 m(r r)2 α 2 max m(r r)2 α 2 max = 3 4 m(r r)2 α 2 max Pierwsze wnioski Dokładne wyprowadzenie i rozwiązanie równań równowagi nie jest konieczne dla ustalenia podstawowych ekstremalnych parametrów liniowego układu dynamicznego Przyczyna tego zjawiska jest prosta drgania własne to zawsze proces przemiany (przekształcenia) energii kinetycznej układu liniowego w energię potencjalną i z powrotem. Dlatego już nawet zwykły bilans energii pozwala wiele wyznaczyć T U Tylko w układach liniowych proces przekształcenia przebiega bez strat energii. Chociaż realnie układy liniowe nie istnieją (w realnej konstrukcji zawsze występuje tłumienie, tarcie itp.), ten model wciąż jest przydatny w praktyce I.Rokach,
7 Bardzo praktyczny przykład L v m m Winda o masie m porusza się z prędkością v. W ten moment, kiedy długość liny wynosi L, winda gwałtownie się zatrzymuje. Wyznaczyć maksymalne wydłużenie liny po zatrzymaniu i porównać go z wydłużeniem statycznym Analiza statyczna. Sztywność swobodnego odcinka liny k = EA L, gdzie E modul Younga, A pole przekroju liny. Wydłużenie statyczne δ s = mg = k mgl EA, odkształcenie liny ε s = δ st L = mg. Warto odnotować, że odkształcenie EA nie zależy od długości liny k EA Analiza dynamiczna. Częstotliwość drgań własnych ω = m = ml. Maksymalne dodatkowe wydłużenie dynamiczne δ d = v ml ω = v EA, maksymalne dodatkowe odkształcenieε d = δ d m L = v. Czyli w odróżnieniu od statycznego, dynamiczne odkształcenie jest zmienne, bo zależy od EAL L Warto porównać wyrazy dla odkształceń statycznych i dodatkowych dynamicznych. Odkształcenie statyczne dla wybranej windy (czyli stałych parametrów E i A) zależy tylko od masy samej windy i pasażerów. Maksymalne odkształcenie dynamiczne wzrasta ze wzrostem prędkości i masy i maleje ze wzrostem długości liny Porównanie dynamicznych i statycznych odkształceń n dyn = ε d = v EA ε s g ml Wnioski: różnica pomiędzy dynamicznymi i statycznymi odkształceniami (i naprężeniami) wzrasta ze wzrostem prędkości ruchu windy i maleje w miarę wydłużenia się liny i (paradoksalnie) wzrostu masy pasażerów Konkretny przykład DlaE = 100 MPa,A = 2 cm 2,v = 1 m/s,m = 1 tona orazl 1 = 2 m (górne piętro), L 2 = 50 m (parter) mamy n dyn (L 1 ) 0,32, n dyn (L 2 ) 0,06. Czyli w przypadku zatrzymania windy na górze odkształcenia wrosną o ok. 32%, na dole tylko o ok. 6% Wniosek: Lepiej mieć awarię windy na parterze niż na górnym piętrze Zasady dobrego inżyniera 1. Rozwiąż dynamiczne zagadnienie jako statyczne dla maksymalnej wartości obciążenia. Zalety: Jeżeli konstrukcja nie wytrzymuje obciążenia w postaci quasi-statycznej, to na pewno będą problemy przy obciążeniu dynamicznym Otrzymane rozwiązanie zawsze się przyda do porównania z wynikami analizy dynamicznej. Może okazać się, że ta ostatnia nie była aż tak potrzebna (różnice są małe) 2. Przeanalizuj konstrukcję za pomocą najprostszego modelu (jeden lub najwyżej kilka stopni swobody) Zalety: W reakcji większości konstrukcji na dynamiczne obciążenie dominuje pierwsza postać drgań własnych. Czyli model nawet z jednym stopniem swobody może okazać się wystarczającym do otrzymania zadowalającego wyniku Nic tak nie pomaga zrozumieć zachowanie się konstrukcji, jak prosty model. Jest niezastąpiony we wstępnej optymalizacji konstrukcji I.Rokach,
8 Literatura [1] Pfeiffer, F. Clocker, C. Multibody dynamics with unilateral contacts, Wiley-VCH Verlag, [2] Timoshenko, S.P., Young, D.H., Weaver, W.Jr, Vibration problems in engineering, 4th ed., Wiley, I.Rokach,
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp Część I STATYKA
Spis treści Wstęp... 15 Część I STATYKA 1. WEKTORY. PODSTAWOWE DZIAŁANIA NA WEKTORACH... 17 1.1. Pojęcie wektora. Rodzaje wektorów... 19 1.2. Rzut wektora na oś. Współrzędne i składowe wektora... 22 1.3.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:
. Katapultowanie pilota z samolotu Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem: gdzie D - siłą ciągu, Cd współczynnik aerodynamiczny ciągu, m - masa pilota i fotela, g przys. ziemskie, ρ - gęstość
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowoNazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego
Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoDrgania - zadanka. (b) wyznacz maksymalne położenie, prędkość i przyspieszenie ciała,
Zadania do przeliczenia na lekcji. Drgania - zadanka 1. Ciało o masie m = 0.5kg zawieszono na nieważkiej nitce o długości l = 1m a następne wychylono o 2cm z położenia równowagi (g = 10 m s 2), (a) oblicz
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoIII Zasada Dynamiki Newtona. Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna. Przykład. Jak odpowiesz na pytania?
III Zasada Dynamiki Newtona 1:39 Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana Ciało A na B: Ciało B na A: 0 0 Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej
Bardziej szczegółowoPierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.
Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy
Bardziej szczegółowom Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):
Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki mechanizmów
Elementy dynamiki mechanizmów Dynamika pojęcia podstawowe Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego
Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoI. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO
I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO A. RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU A1. Bryła o masie m przesuwa się po chropowatej równi z prędkością v M. Podać dynamiczne równania ruchu bryły i rozwiązać je tak, aby wyznaczyć
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoM2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA
M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki mechanizmów
Elementy dynamiki mechanizmów Dynamika pojęcia podstawowe Dynamika dział mechaniki zajmujący się ruchem ciał materialnych pod działaniem sił. Głównym zadaniem dynamiki jest opis ruchu ciał pod działaniem
Bardziej szczegółowobędzie momentem Twierdzenie Steinera
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej
Bardziej szczegółowoDrgania układu o wielu stopniach swobody
Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
Bardziej szczegółowo12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa
Włodzimierz Wolczyński Przyspieszenie kątowe 1 RUCH OROTOWY RYŁY SZTYWNEJ I = = ε przyspieszenie kątowe [ ] ω prędkość kątowa = = T okres, = - częstotliwość s=αr v=ωr a=εr droga = kąt x promień prędkość
Bardziej szczegółowoBryła sztywna Zadanie domowe
Bryła sztywna Zadanie domowe 1. Podczas ruszania samochodu, w pewnej chwili prędkość środka przedniego koła wynosiła. Sprawdź, czy pomiędzy kołem a podłożem występował poślizg, jeżeli średnica tego koła
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. Poniższe materiały tylko dla studentów uczęszczających na zajęcia. Zakaz rozpowszechniania i powielania bez zgody autora.
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część 3 drgania wymuszone siłą harmoniczną drgania
Bardziej szczegółowoKarta punktowania egzaminu do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr. oraz WPPT IB. Zagadnienie 1.
Karta punktowania egzaminu do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr. oraz WPPT IB. Zagadnienie 1. 3 PKT. Wzorcowa odpowiedź ad I zasada zaczerpnięta z podręcznika HRW lub równoważna
Bardziej szczegółowoRuch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu: IM 1 S 0 2 24-0_1 Rok: I Semestr: 2 Forma studiów:
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!
Bryła sztywna Ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej. zbiór
Bardziej szczegółowoF + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoDynamika mechanizmów
Dynamika mechanizmów napędy zadanie odwrotne dynamiki zadanie proste dynamiki ogniwa maszyny 1 Modelowanie dynamiki mechanizmów wymuszenie siłowe od napędów struktura mechanizmu, wymiary ogniw siły przyłożone
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 4 26.X Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 4 6.X.017 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ III zasada dynamiki Zasada akcji i reakcji Każdemu działaniu
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoNajprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Bardziej szczegółowoDynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki
Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad Poprawna odpowiedź i zasady przyznawania punktów
Operon ZAKRES ROZSZERZONY 00% KOD WEWNĄTRZ KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony Listopad 06 Vademecum Fizyka MATURA 07 VADEMECUM Fizyka Zacznij przygotowania
Bardziej szczegółowoZadanie bloczek. Rozwiązanie. I sposób rozwiązania - podział na podukłady.
Zadanie bloczek Przez zamocowany bloczek o masie m przerzucono nierozciągliwą nitkę na której zawieszono dwa obciąŝniki o masach odpowiednio m i m. Oblicz przyspieszenie z jakim będą poruszać się obciąŝniki.
Bardziej szczegółowo18. Siły bezwładności Siła bezwładności w ruchu postępowych Siła odśrodkowa bezwładności Siła Coriolisa
Kinematyka 1. Podstawowe własności wektorów 5 1.1 Dodawanie (składanie) wektorów 7 1.2 Odejmowanie wektorów 7 1.3 Mnożenie wektorów przez liczbę 7 1.4 Wersor 9 1.5 Rzut wektora 9 1.6 Iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoPRACA. MOC. ENERGIA. 1/20
PRACA. MOC. ENERGIA. 1/20 Czym jest energia? Większość zjawisk w przyrodzie związana jest z przemianami energii. Energia może zostać przekazana od jednego ciała do drugiego lub ulec przemianie z jednej
Bardziej szczegółowoτ = wyp τ i ! F = wyp Równowaga statyczna
Równowaga statyczna Ciało sztywne znajduje się w równowadze statycznej tj. w bezruchu względem inercjalnego układu odniesienia - gdy wypadkowa siła oraz wypadkowy moment siły (liczony względem dowolnego
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności
Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę
Bardziej szczegółowoDrgania. O. Harmoniczny
Dobrej fazy! Drgania O. Harmoniczny Położenie równowagi, 5 lipca 218 r. 1 Zadanie Zegar Małgorzata Berajter, update: 217-9-6, id: pl-ciepło-5, diff: 2 Pewien zegar, posiadający wahadło ze srebra, odmierza
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności
Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące
Bardziej szczegółowoDynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej
Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona
Zasady dynamiki Newtona Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu Jeżeli na ciało nie działa
Bardziej szczegółowoSiły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym
FIZYKA I Wykład III Mechanika: Pojęcia podstawowe dynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoNapęd pojęcia podstawowe
Napęd pojęcia podstawowe Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) suma momentów działających na bryłę - prędkość kątowa J moment bezwładności d dt ( J ) d dt J d dt dj dt J d dt dj d Równanie ruchu obrotowego
Bardziej szczegółowo3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach
3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny
Bardziej szczegółowoFizyka 5. Janusz Andrzejewski
Fizyka 5 Przykład R y F s x F n mg W kierunku osi Y: W kierunku osi X: m*0=r-f n m*a=f s F s =mgsinα F n =mgcosα Dynamiczne równania ruchu Interesujące jest tylko rozpatrywanie ruchu w kierunku osi X a=gsin
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoNapęd pojęcia podstawowe
Napęd pojęcia podstawowe Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) moment - prędkość kątowa Energia kinetyczna Praca E W k Fl Fr d de k dw d ( ) Równanie ruchu obrotowego (bryły sztywnej) d ( ) d d d
Bardziej szczegółowoKarta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu:
Karta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia Przedmiot: Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu: MT 1 S 0 2 14-0_1 Rok: I Semestr: II Forma
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoĆw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2
1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki. Wykład 2. Dr Piotr Sitarek. Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska
Podstawy fizyki Wykład 2 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Janusz Andrzejewski 2 Dynamika Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i nieinercjalne Siła Masa Przykłady sił Tarcie
Bardziej szczegółowospecjalnościowy obowiązkowy polski pierwszy letni Mechanika ogólna, wytrzymałość materiałów, metoda elementów skończonych Egzamin
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Modelowanie układów dynamicznych Nazwa w języku angielskim Modelling of dynamic systems Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu
Podstawy fizyki sezon 1 IV. Pęd, zasada zachowania pędu Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Pęd Rozważamy
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Dynamika
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Dynamika Prowadzący: Kierunek Wyróżniony przez PKA Mechanika klasyczna Mechanika klasyczna to dział mechaniki w fizyce opisujący : - ruch ciał - kinematyka,
Bardziej szczegółowoDrgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż.
Drgania poprzeczne belki numeryczna analiza modalna za pomocą Metody Elementów Skończonych dr inż. Piotr Lichota mgr inż. Joanna Szulczyk Politechnika Warszawska Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Wydział Mechaniczny PWR KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Mechanika II Nazwa w języku angielskim: Mechanics II Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Mechanika i Budowa Maszyn Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoSposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania
Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,
Bardziej szczegółowoObsługa programu Soldis
Obsługa programu Soldis Uruchomienie programu Po uruchomieniu, program zapyta o licencję. Można wybrać licencję studencką (trzeba założyć konto na serwerach soldisa) lub pracować bez licencji. Pliki utworzone
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad Poprawna odpowiedź i zasady przyznawania punktów
Operon ZAKRES ROZSZERZONY 00% KOD WEWNĄTRZ GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidualny klucz do wiedzy! *Kod na końcu klucza odpowiedzi KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Praca, moc, energia Energia Energia jest to wielkość skalarna, charakteryzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Energia jest miarą różnych
Bardziej szczegółowoRuch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Bardziej szczegółowo1. Kinematyka 8 godzin
Plan wynikowy (propozycja) część 1 1. Kinematyka 8 godzin Wymagania Treści nauczania (tematy lekcji) Cele operacyjne podstawowe ponadpodstawowe Uczeń: konieczne podstawowe rozszerzające dopełniające Jak
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA 2 Wykład Nr 9 Dynamika układu punktów materialnych Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu układu punktów materialnych Układem punktów materialnych nazwiemy zbiór punktów w sensie
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki. Wykład 2. Dr Piotr Sitarek. Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr
Podstawy fizyki Wykład 2 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Zasady dynamiki Newtona Układy inercjalne i nieinercjalne Siła Masa Przykłady sił Tarcie Opór Ruch jednostajny
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe
Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,
Bardziej szczegółowoUkłady cząstek i bryła sztywna. Matematyka Stosowana
Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał wypadek? Niewiele wiemy zwykle o siłach Układy zachowawcze i dyssypatywne
Bardziej szczegółowoPF11- Dynamika bryły sztywnej.
Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoTeoria maszyn mechanizmów
Adam Morecki - Jan Oderfel Teoria maszyn mechanizmów Państwowe Wydawnictwo Naukowe SPIS RZECZY Przedmowa 9 Część pierwsza. MECHANIKA MASZYN I MECHANIZMÓW Z CZŁONAMI SZTYWNYMI 13 1. Pojęcia wstępne do teorii
Bardziej szczegółowoWyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego (Katera)
Politechnika Łódzka FTMS Kierunek: nformatyka rok akademicki: 2008/2009 sem. 2. Termin: 6 V 2009 Nr. ćwiczenia: 112 Temat ćwiczenia: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoautor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 13 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ. CZĘŚĆ 3
autor: Włodzimierz Wolczyński rozwiązywał (a)... ARKUSIK 13 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ. CZĘŚĆ 3 Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania PYTANIA ZAMKNIĘTE Zadanie
Bardziej szczegółowoPODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE
PODSTAWY STATYKI BUDOWLI POJĘCIA PODSTAWOWE Podstawy statyki budowli: Pojęcia podstawowe Model matematyczny, w odniesieniu do konstrukcji budowlanej, opisuje ją za pomocą zmiennych. Wartości zmiennych
Bardziej szczegółowoTreści dopełniające Uczeń potrafi:
P Lp. Temat lekcji Treści podstawowe 1 Elementy działań na wektorach podać przykłady wielkości fizycznych skalarnych i wektorowych, wymienić cechy wektora, dodać wektory, odjąć wektor od wektora, pomnożyć
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoWIADOMOŚCI WSTĘPNE, PRACA SIŁ NA PRZEMIESZCZENIACH
Część 1 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1 1.. 1. WIADOOŚCI WSTĘNE, RACA SIŁ NA RZEIESZCZENIAC 1.1. Wstęp echanika budowli stanowi dział mechaniki technicznej zajmującej się statyką, dynamiką,
Bardziej szczegółowoPodpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są
PODPORY SPRĘŻYSTE Podpory sprężyste (podatne), mogą ulegać skróceniu lub wydłużeniu pod wpływem działających sił. Przemieszczenia występujące w tych podporach są wprost proporcjonalne do reakcji w nich
Bardziej szczegółowo