IDENTYFIKACJA SIŁY SKRAWANIA NA PODSTAWIE POMIARÓW PRZYSPIESZEŃ Z ZASTOSOWANIEM TECHNIK REGULARYZACJI 1. WPROWADZENIE

Transkrypt

1 InŜynieria Maszyn, R. 16, z. 1-, 11 częsoliwościowa funkcja przejścia, siły skrawania, idenyfikacja, przyspieszenia, regularyzacja Barosz POWAŁKA 1 IDENTYFIKACJA SIŁY SKRAWANIA NA PODSTAWIE POMIARÓW PRZYSPIESZEŃ Z ZASTOSOWANIEM TECHNIK REGULARYZACJI Arykuł prezenuje meodę esymacji sił skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń drgań oraz częsoliwościowej funkcji przejścia. Poprawę uwarunkowania macierzy funkcji przejścia uzyskano przez zasosowanie echnik regularyzacji TSVD i Tikhonova powiązane z meodą L-curve. Zasosowanie echnik regularyzacji przyniosło poprawę dokładności oszacowania drugiej składowej harmonicznej siły skrawania. Przeprowadzona analiza mierzonych przyśpieszeń z wykorzysaniem krókoczasowej ransformacji Fouriera (STFT wykazała, Ŝe główną przyczyną niedokładności esymacji pierwszej składowej harmonicznej jes niesacjonarność obieku wynikająca z zachodzących w rakcie obróbki zmian wzajemnego połoŝenia elemenów układu korpusowego obrabiarki. Ograniczona skueczność klasycznych meod regularyzacji sugeruje konieczność opracowania meod wykorzysujących zaleŝności opare na modelu sił skrawania. 1. WPROWADZENIE Znajomość sił działających w rakcie eksploaacji jes zagadnieniem isonym z punku widzenia analizy dynamiki budowli i układów mechanicznych. Częso bezpośredni pomiar ych sił jes bardzo urudniony lub wręcz niemoŝliwy. Sosowane są wówczas echniki idenyfikacji odwronej, w kórych nieznane siły działające na układ wyznaczane są na podsawie odpowiedzi drganiowej. Zakładając sałą lokalizację sił eksploaacyjnych wykorzysuje się macierz częsoliwościowych funkcji przejścia, kóra po odwróceniu umoŝliwia rekonsrukcję sił na podsawie mierzonych odpowiedzi. PołoŜenie sił w procesie frezowania jes znane: siły skrawania działają na narzędzie skrawające i przedmio obrabiany. Pomiar sił skrawania jes wymagany m.in. do esymacji współczynników oporu właściwego skrawania, kóre wykorzysywane są do budowy wykresu sabilności, czyli zw. krzywych workowych. Wykres en umoŝliwia dobór paramerów skrawania (głębokości skrawania i prędkości obroowej wrzeciona gwaranujących uniknięcie powsania drgań samowzbudnych ypu regeneracyjnego. Zazwyczaj współczynniki oporu właściwego skrawania wyznaczane są na drodze eksperymenalnej poprzez prowadzenie serii esów skrawania dla kilku warości posuwu na osrze, w rakcie kórych siły skrawania mierzone są bezpośrednio na podsawie siłomierza. Współczynniki oporu właściwego skrawania 1 Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie, Wydział InŜynierii Mechanicznej i Mecharoniki

2 114 BARTOSZ POWAŁKA esymowane są poprzez dopasowanie modelu siły skrawania do przebiegów eksperymenalnych. Podejście akie wymaga jednak sosowania siłomierza i moŝe być z powodzeniem realizowane w warunkach laboraoryjnych, jednak jes bardzo urudnione w przemyśle. Realizacja esu skrawania wymusza bowiem przygoowanie próbki moŝliwej do zamocowania na siłomierzu i przygoowanie programu realizującego obróbkę. Dodakowo obrabiarka, na kórej es en jes realizowany jes wyłączona czasowo z produkcji, co w wielu przypadkach nie jes do zaakcepowania. Meoda umoŝliwiająca pomiar sił skrawania na podsawie drgań mierzonych w rakcie obróbki jes poŝądana przede wszyskim ze względu na brak ingerencji w sam proces produkcyjny. Odwrona idenyfikacja sił eksploaacyjnych przeprowadzana jes zazwyczaj w oparciu o wykorzysanie meody najmniejszych kwadraów (NK [1]. Jednak esymacja sił eksploaacyjnych przy uŝyciu meody NK moŝe być obarczona znacznymi błędami. Niedokładności oszacowania sił wynikają z błędów macierzy funkcji przejścia, błędów mierzonych odpowiedzi oraz słabego uwarunkowania macierzy funkcji przejścia. Słabe uwarunkowanie macierzy funkcji przejścia moŝe powodować zwielokronienie błędów mierzonych odpowiedzi. Aby zminimalizować wpływ błędów mierzonych odpowiedzi oraz słabego uwarunkowania macierzy funkcji przejścia sosowane są meody regularyzacji. Najczęściej sosowane są meoda TSVD (Truncaed Singular Value Decomposiion oraz meoda regularyzacji Tikhonova []. Efekywność ych meod porównana zosała przez Liu i Sheparda [3]. Doszli oni do wniosku, Ŝe regularyzacja Tikhonova jes skueczniejsza od TSVD, gdy sosowane macierze funkcji przejścia są niewielkich rozmiarów. Isonym elemenem w regularyzacji TSVD jes dobór poziomu regularyzacji, poniŝej kórego warości szczególne są usuwane z rozwiązania zaś w regularyzacji Tikhonova określany jes zw. paramer regularyzacyjny. Zwiększanie warości ych paramerów prowadzi do sabilizacji rozwiązania, jednak przyjęcie zby duŝych warości moŝe powodować niedoszacowanie warości sił. Najczęściej sosowanymi meodami doboru ych paramerów są OCV (ordinary cross-validaion [4], GCV (generalized cross-validaion [5] oraz meoda L-curve [6]. Porównanie skueczności meody GCV oraz L-curve przeprowadzone zosało przez Busby i Trujillo [7]. Zaobserwowali oni, Ŝe meoda L-curve daje lepsze rezulay w przypadku modeli o duŝych wymiarach. Efekywność meody OCV, GCV oraz meody L-curve zosała oceniona w pracy [8]. W pracy [9] pokazano zasosowanie innego podejścia, wykorzysującego kryerium rozbieŝności Morozova [1], do doboru parameru regularyzacyjnego w zagadnieniu pośredniego pomiaru sił skrawania. Paramer regularyzacyjny wyznaczony zosał na podsawie wielkości szumu oraz innych niŝ siła skrawania źródeł drgań, kóry oszacowany zosał na podsawie przebiegu przyśpieszeń drgań zarejesrowanych w rakcie ruchu jałowego obrabiarki. W arykule porównano wyniki esymacji sił skrawania uzyskiwane z zasosowaniem meody najmniejszych kwadraów bez regularyzacji oraz przy sosowaniu regularyzacji TSVD i regularyzacji Tikhonova. PoniewaŜ wymiary macierzy funkcji przejścia w rozparywanym zagadnieniu są niewielkie, przy meodzie TSVD nie dobierano poziomu regularyzacji, lecz w sposób arbiralny usunięo najmniejszą warość szczególną. W przypadku regularyzacji Tikhonova dobór parameru regularyzayjnego oparo na meodzie L-curve. Na podsawie uzyskanych wyników swierdzono, Ŝe dokładność esymacji drugiej harmonicznej siły skrawania jes wyŝsza niŝ pierwszej harmonicznej

3 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 115 odpowiadającej częsoliwości wcinania się osrzy w maeriał skrawający. Przeprowadzona analiza czasowo-częsoliwościowa (STFT umoŝliwiła określenie przyczyn ej zaleŝności.. MACIERZ CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH FUNKCJI PRZEJŚCIA W rakcie obróbki frezowaniem generowane są siły działające na narzędzie skrawające oraz przedmio obrabiany. PoniewaŜ siły e mają charaker zmienny w czasie, dlaego powodują one powsawanie drgań. Ampliuda drgań zaleŝna jes od ampliudy sił a Siła posuwowa, F x, [N] b Czas,, [s] F x,(ω, [N] Częsoliwość, f, [Hz] Rys. 1. Siła skrawania na kierunku posuwu dla frezowania pełną szerokością freza o z=3 osrzach, głębokość skrawania a p =1mm, posuw na osrze f =,1mm, prędkość obroowa wrzeciona N=35 obr/min a przebieg czasowy, b widmo częsoliwościowe Fig. 1. Feed force in full immersion cuing using 3-flued cuer a deph of cu; a p =1mm, feed rae f =,1mm, spindle speed N=35 RPM a force-ime plo, b FFT of he force

4 116 BARTOSZ POWAŁKA skrawania, kóra zaleŝna jes od rodzaju maeriału obrabianego, maeriału i geomerii narzędzia skrawającego oraz od przyjęych paramerów obróbki, j. głębokości skrawania a p i posuwu na osrze f. Isoną cechą siły skrawania przy frezowaniu jes jej okresowy charaker, o okresie wynoszącym. gdzie: N - prędkość obroowa wrzeciona [obr/min], z - liczba osrzy freza. 6 τ =, (1 Nz Przykładowy przebieg sił skrawania na kierunku posuwu przedsawiony zosał na rysunku 1a. Na rysunku 1b przedsawiono widmo częsoliwościowe ej siły. Konsekwencją okresowego charakeru siły skrawania jes aki sam charaker sygnału drgań rejesrowanego podczas realizacji obróbki. W ogólnym przypadku zaleŝność pomiędzy siłą działającą na układ a generowanymi przez nią drganiami opisywana jes za pomocą macierzy częsoliwościowych funkcji przejścia. Częsoliwościowa funkcja przejścia jes definiowana jako iloraz zespolonych warości: harmonicznej odpowiedzi (drgań do harmonicznego wymuszenia. W niniejszej pracy pomiar drgań był prowadzony przy uŝyciu dwóch rójosiowych czujników przyśpieszeń. Sąd zaleŝność pomiędzy a = a ω a ω a ω a ω a ω a ω a wekorem wekorem przyśpieszeń ( ω [ ( ( ( ( ( ( ] T działających sił skrawania F ( ω = F ( ω F ( ω F ( ω przyjmuje posać: [ ] T x y ( ω G( ω F( ω z a = ( Gdzie macierz częsoliwościowych funkcji przejścia ma posać: ( ω G1 y ( ω G1z ( ω ( ω G ( ( y ω Gz ω ( ω G ( ( 3 y ω G3z ω ( ω G4 y ( ω G4z ( ω ( ( ( ω G5 y ω G5z ω ( ω G ( ω G ( ω G1x Gx G3x G ( ω = (3 G4 x G5x G6x 6 y 6z Częsoliwościowe funkcje przejścia będące składnikami macierzy ( ω G orzymane zosały eksperymenalnie na podsawie esu impulsowego. W rakcie ego esu dokonywano uderzeń młokiem modalnym w końcówkę freza kolejno wzdłuŝ rzech kierunków X, Y i Z, naomias czujniki przyspieszeń zamocowane były na korpusie wrzeciona. Na rysunku pokazano lokalizację pierwszego z dwóch akceleromerów wykorzysywanych w rakcie badań (drugi czujnik, kóry równieŝ umieszczono na

5 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 117 wrzecionie jes niewidoczny na zdjęciu. Na zdjęciu zaznaczono kierunek lokalnej osi czujnika, kórej przy wymuszeniu na kierunku X odpowiada częsoliwościowa funkcja przejścia G 1 x ( ω. Na rysunku ym zaznaczono równieŝ układ współrzędnych przyjęy do pomiaru sił skrawania. Tes impulsowy przeprowadzono na kierunkach zgodnych z osiami przyjęego układu współrzędnych. Częsoliwościowa funkcja przejścia G 1 x ( ω zosała pokazana na rysunku 3. Z Y X Rys.. Tes impulsowy przeprowadzony dla wyznaczenia macierzy częsoliwościowych funkcji przejścia Fig.. Impulse es conduced for he consrucion of he marix ransfer funcion G 1x (ω, [m/s /N] Częsoliwość, f, [Hz] Rys. 3. Doświadczalna częsoliwościowa funkcja przejścia G 1x (ω Fig. 3. Experimenal FRF G 1x (ω

6 118 BARTOSZ POWAŁKA Równanie ( jes wykorzysywane do esymacji składowych harmonicznych siły skrawania. Równanie o dla k-ej harmonicznej częsoliwości wchodzenia osrzy freza w przedmio obrabiany ω przyjmuje posać: przy czym ω = π Nz 6. ( kω G( kω F( kω a =, (4 3. METODA IDENTYFIKACJI SIŁY SKRAWANIA Proponowana idenyfikacja sił skrawania polega na esymacji składowych harmonicznych F ( kω na podsawie wekora mierzonych przyspieszeń a ( kω przy uŝyciu zaleŝności (4. Idenyfikacji k-ej składowej harmonicznej moŝna dokonać sosując wpros meodę najmniejszych kwadraów. Sprowadza się o do minimalizacji normy min G F ( kω ( kω ( ( F kω a kω (5 Rozwiązanie uzyskane za pomocą (5 moŝe jednak okazać się niedokładne, co moŝe mieć miejsce, gdy macierz funkcji przejścia (3 jes słabo uwarunkowana. Poprawę uwarunkowania macierzy funkcji przejścia moŝna uzyskać sosując meodę TSVD, kóra jes opara na rozkładzie macierzy na warości szczególne. Esymaor składowej harmonicznej siły skrawania uzyskany meodą najmniejszych kwadraów (5 moŝna wyznaczyć z wykorzysaniem rozkładu na warości szczególne jako F LS + + H ( kω = G( kω a( kω = VS U a( kω (6 H gdzie G( kω USV = jes rozkładem macierzy funkcji przejścia na warości szczególne. Macierz S jes macierzą diagonalną zawierającą warości szczególne od największej do najmniejszej. PoniewaŜ, zgodnie z równaniem (6, największa niesabilność numeryczna powodowana jes przez najmniejsze warości szczególne, dlaego dla poprawy uwarunkowania właśnie one są eliminowane z rozwiązania. W przypadku macierzy funkcji przejścia o wymiarach 3x6 macierz S ma 3 niezerowe warości szczególne. Rozwiązanie regularyzowane uzyskane w wyniku eliminacji najmniejszej, rzeciej warości szczególnej ma posać TSVD H Fˆ 1 reg ( kω = si Ui Vi a( kω (7 i= 1 gdzie U i oznacza i-ą kolumnę macierzy U, V i jes i-ą kolumną macierzy V, si jes i-ą warością szczególną macierzy funkcji przejścia.

7 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 119 W meodzie regularyzacji TSVD przyjmowane jes osre kryerium doyczące warości szczególnych polegające na całkowiej eliminacji z rozwiązania ych warości, kóre są poniŝej przyjęego progu. Podejście akie, w wielu przypadkach moŝe powodować niedoszacowanie esymaora w sosunku do warości prawdziwej rozwiązania. Alernaywnym podejściem jes zasosowanie regularyzacji Tikhonova, w kórej uwzględnia się wszyskie warości szczególne, jednak przyjęy paramer regularyzacji w największym sopniu wpływa na e o najniŝszych warościach. W przypadku rozparywanego zagadnienia rozwiązanie regularyzowane uzyskane ą meodą przyjmie posać: 3 Tikh s i H Fˆ 1 reg ( kω = si Ui V i a( kω i si α (8 = 1 + Kluczowym elemenem ej meody jes dobór parameru regularyzacjnego α. Jednym z moŝliwych sposobów jes zasosowanie meody L-curve. Meoda a polega na wykreśleniu krzywej określającej zaleŝność pomiędzy normą rozwiązania regularyzowanego i normą odpowiadającego mu residuum dla róŝnych warości parameru regularyzacji F reg (α G F (α - a reg Rys. 4.Wyznaczenie parameru regularyzacyjnego za pomocą krzywej L Fig. 4. Deerminaion of he regularizaion parameer using L-curve Wykres en worzony jes w skali logarymicznej, a paramer regularyzacji wyznacza punk charakerysyczny, w kórym nasępuje przejście z części krzywej odpowiadającej

8 1 BARTOSZ POWAŁKA szybkiemu spadkowi normy rozwiązania do części, w kórej zwiększanie parameru powoduje duŝy przyros normy residuum. Podejście o sanowi kompromis pomiędzy sabilizacją rozwiązania a zby duŝym niedoszacowaniem rozwiązania. Rysunek 4 przedsawia przykładową krzywą L wraz z zaznaczonym paramerem regularyzacji. 4. DOŚWIADCZALNA IDENTYFIKACJA SIŁ SKRAWANIA Opisane meody esymacji zasosowano do oszacowania sił skrawania dla róŝnych warości posuwu na osrze oraz róŝnych prędkości obroowych wrzeciona. Zmiana posuwu na osrze powoduje odpowiednią zmianę ampliudy siły skrawania, podczas gdy zmiana prędkości obroowej wrzeciona powoduje zmianę częsoliwości wchodzenie osrzy w przedmio obrabiany. Zmiana posuwu na osrze ma zaem bezpośredni wpływ na sosunek sygnału do szumu (zw. SNR, co moŝe wpływać na dokładność oszacowania. Prędkość obroowa wrzeciona moŝe równieŝ wpłynąć na dokładność oszacowania siły skrawania, gdyŝ wywiera bezpośredni wpływ na uwarunkowanie macierzy funkcji przejścia (3, kóra jes funkcją częsoliwości. W realizowanych w ramach badań esach skrawania obróbkę prowadzono pełną szerokością 3-osrzowego freza, głębokość skrawania a wynosiła 1 mm, co zapewniało sabilną obróbkę bez powsawania drgań p samowzbudnych. Tym samym obróbce owarzyszyły jedynie drgania wymuszone. Przeprowadzono 1 esów skrawania dla posuwów na osrze i prędkości obroowych zesawionych w abeli 1. Tabela 1. Paramery skrawania przyjęe w przeprowadzonych esach Table 1. Cuing parameers in ess l.p f [mm],,,1,,,1,,,1,,9, N [obr/m in] ω /(π [Hz] W rakcie przeprowadzonych esów skrawania dokonywano bezpośredniego pomiaru sił skrawania 6-składowym siłomierzem firmy Kisler oraz pomiaru przyspieszeń z uŝyciem akceleromerów rójskładowych. Nasępnie za pomocą zaleŝności (6, (7 i (8, czyli sosując odpowiednio meodę najmniejszych kwadraów, meodę najmniejszych kwadraów wraz z regularyzacją TSVD i meodę najmniejszych kwadraów wraz z regularyzacją Tikhonova, przeprowadzano esymację pierwszej i drugiej składowej harmonicznej siły

9 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 11 skrawania. Dla oceny dokładności esymowanej składowej harmonicznej siły skrawania przyjęo rozbieŝność w sosunku do pomiaru bezpośredniego (z uŝyciem siłomierza zdefiniowaną jako: H H ( kω = F ( kω Fˆ ( kω F ( kω F( kω ˆ (9 Na rysunku 5 przedsawiono wykres ak zdefiniowanego błędu dla porównywanych meod dla wszyskich przeprowadzonych esów w funkcji częsoliwości, naomias na rysunku 6 zaprezenowano błąd w funkcji posuwu na osrze. Analizując drugi z wykresów moŝna swierdzić, Ŝe posuw na osrze nie ma wpływu na poziom błędu oszacowania. 8 x 14 7 Meoda najmniejszych kwadraów Regularyzacja TSVD Regularyzacja Tikhonova [N ] Częsoliwość [Hz] Rys. 5. Błąd esymacji składowych harmonicznych siły skrawania w funkcji częsoliwości Fig. 5. Esimaion error of he cuing force harmonic componens as a frequency funcion 15 Liczba warunkowa Częsoliwość, f, [Hz] Rys. 6. Liczba warunkowa macierzy funkcji przejścia Fig. 6. Condiion number of ransfer funcion marix

10 1 BARTOSZ POWAŁKA Więcej informacji niesie wykres błędu w funkcji częsoliwości. Na wykresie ym widoczne są dwie grupy częsoliwościowe; reprezenują one odpowiednio pierwsze i drugie składowe harmonicznym. Zasosowanie meod regularyzacji przyniosło duŝą poprawę oszacowania dla drugiej składowej harmonicznej Meoda najmniejszych kwadraów Regularyzacja TSVD Regularyzacja Tikhonova 5 [N ] Posuw na osrze [mm] Rys. 7. Błąd esymacji składowych harmonicznych siły skrawania w funkcji posuwu na osrze Fig. 7. Esimaion error of he cuing force harmonic componens as a feed rae funcion 5. PODSUMOWANIE Błędy oszacowania pierwszej harmonicznej zarówno dla rozwiązań regularyzowanych, jak i nieregularyzowanych są zbliŝone i pozosają na sosunkowo wysokim poziomie. Aby wykryć przyczynę ych zaleŝności przeanalizowano wpływ uwarunkowania macierzy częsoliwościowych funkcji przejścia. Wykres liczby warunkowej, będącej sosunkiem największej do najmniejszej warości szczególnej przedsawiono na rysunku 6. ZauwaŜalne jes isonie lepsze uwarunkowanie macierzy funkcji przejścia dla częsoliwości odpowiadającej drugiej harmonicznej. Jednak naleŝy podkreślić, Ŝe w przypadku esymacji pierwszej harmonicznej zasosowanie meod regularyzacji poprawiających uwarunkowanie nie przyniosło poŝądanych rezulaów. Regularyzacja poprawiła znacznie jakość rozwiązania dla częsoliwości 36 Hz, dla kórej macierz funkcji przejścia była słabo uwarunkowana. Wyjaśnienie ej zaleŝności orzymano po przeprowadzeniu analizy sacjonarności sygnałów przyspieszeń. Równanie (4, będące punkem wyjścia do oszacowania sił skrawania, zakłada niezmienność częsoliwościowych

11 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 13 funkcji przejścia. Oznacza o niezmienność częsoliwościowych funkcji przejścia w rakcie obróbki w sosunku do ich warości wyznaczonych w eście impulsowym. ZałoŜenie o moŝe nie być spełnione, gdyŝ w rakcie realizacji obróbki nasępuje przemieszczanie się elemenów układu korpusowego obrabiarki, co moŝe wpłynąć na zmianę jej charakerysyki dynamicznej. a 1 (ω a 3 (ω a 5 (ω Czas,, [s] Czas,, [s] Czas,, [s] a (ω a 4 (ω a 6 (ω Czas,, [s] Czas,, [s] Czas,, [s] Rys. 8. Zmienność ampliudy przyspieszeń 1. harmonicznej wcinania się osrzy w maeriał obrabiany Fig. 8. Time variabiliy of acceleraion ampliudes of he 1s harmonic of ooh passing frequency Aby ocenić czy dla wybranej częsoliwości nasąpiła zmiana charakerysyki dynamicznej wpływająca bezpośrednio na poziom drgań, przeprowadzono czasowoczęsoliwościową analizę sygnałów przyspieszeń STFT (długość okna. s. Na rysunku 8 pokazano przebieg ampliud rejesrowanych przyspieszeń odpowiadających częsoliwości 17Hz (es nr 1 w funkcji czasu, a na rysunku 9 przebieg ampliud odpowiadających częsoliwości. harmonicznej 34Hz. Ampliudy przyspieszeń dla 1. harmonicznej charakeryzują się duŝą zmiennością z widocznym rendem na wszyskich przebiegach. Oznacza o, iŝ ruch realizowany przez elemeny korpusowe obrabiarki isonie wpływa na zmianę szywności dynamicznej dla częsoliwości 17Hz. Znacznie mniejszą zmienność obserwuje się dla częsoliwości 34Hz i dlaego oszacowanie drugiej harmonicznej siły skrawania okazało się znacznie dokładniejsze (rys. 5. Klasyczne echniki regularyzacji, akie jak TSVD i regularyzacja Tikhonova powodują redukcję wpływu błędów doświadczalnie wyznaczonej częsoliwościowej funkcji przejścia na esymaory siły skrawania. Sąd dla niskich warości funkcji przejścia udział błędów jes wyŝszy, i w konsekwencji, mogą wywierać one większy wpływ na dokładność oszacowania

12 14 BARTOSZ POWAŁKA sił. W rozwaŝanym przypadku funkcja przejścia charakeryzowała się niskimi warościami w zakresie częsoliwości odpowiadającym pierwszej składowej harmonicznej. Sąd, równieŝ i en czynnik mógł przyczynić się do obniŝenia dokładności oszacowania. a 1 (ω a 3 (ω a 5 (ω Czas,, [s] Czas,, [s] Czas,, [s] a (ω a 4 (ω a 6 (ω Czas,, [s] Czas,, [s] Czas,, [s] Rys. 9. Zmienność ampliudy przyspieszeń. składowej harmonicznej wcinania się osrzy w maeriał obrabiany Fig. 9. Time variabiliy of acceleraion ampliudes of he nd harmonic componen of ooh passing frequency Rozwiązaniem problemu ograniczonej skueczności klasycznych meod regularyzacji w przypadku układów niesacjonarnych moŝe być sosowanie dedykowanych echnik, kóre wykorzysują zaleŝności wynikające wpros z rozparywanych zjawisk. W przypadku idenyfikacji sił skrawania moŝliwe jes wykorzysanie zaleŝności wysępującymi pomiędzy składowymi harmonicznymi siły skrawania. ZaleŜność a nie wpływa bezpośrednio na uwarunkowanie macierzy funkcji przejścia, jak w przypadku sosowania klasycznych echnik regularyzacji, jednak nakładając ograniczenie na rozwiązanie moŝe powodować jego sabilizację. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w laach 8-11 jako projek badawczy NR LITERATURA [1] STEVENS K.K., 1987, Force idenificaion problems an overview, Proceedings of he SEM Spring Conference on Experimenal Mechanics, Houson. [] TIKHONOV A.N., 1963, Soluion of incorrecly formulaed problems and he regularizaion mehod, Sovie Mah. Dokl., 4/

13 Idenyfikacja siły skrawania na podsawie pomiarów przyspieszeń z zasosowaniem echnik regularyzacji 15 [3] LIU Y., SHEPARD W.S., 5, Dynamic force idenificaion based on enhanced leas squares and oal leassquares schemes in he frequency domain, Journal of Sound and Vibraion, 8/37 6. [4] ALLEN M., 1974, The relaionship beween variable selecion and daa augmenaion and a mehod for predicion, Technomerics, 16/ [5] GOLUB G.H., HEATH M., WAHBA G., 1979, Generalized cross-validaion as a mehod for choosing a good ridge parameer, Technomerics, 1//15 3. [6] HANSEN P.C., 199, Analysis of discree ill-posed problems by means of he L-curve, SIAM Rev., 34/ [7] BUSBY H. R., TRUJILLO D. M., 1997, Opimal regularizaion of an inverse dynamics problem, Compuers and Srucures, 63/ [8] CHOI H.G., THITE A.N., THOMPSON D.J., 7, Comparison of mehods for parameer selecion in Tikhonov regularizaion wih applicaion o inverse force deerminaion, Journal of Sound and Vibraion, 34/ [9] POWAŁKA B., DHUPIA J., ULSOY G., KATZ R., 8, Idenificaion of machining force model parameers from acceleraion measuremens, Inernaional Journal for Manufacuring Research, 3/ [1] MOROZOV A., 1966, On he soluion of funcional equaions by he mehod of regularizaion, Sovie Mah. Dokl., 7/ IDENTIFICATION OF CUTTING FORCES USING ACCELERATION MEASUREMENTS AND REGULARIZATION TECHNIQUES Paper presens esimaion of cuing forces on he basis of acceleraion measuremens and frequency response funcions (FRFs. Improvemen of FRF marix is obained by means of TSVD and Tikhonov regularizaion echniques and L-curve mehod. Applicaion of regularizaion echniques resuled in an improved esimaion accuracy of he nd harmonic componen of he cuing force. Shor-Time Fourier Transform (STFT of he acceleraion signals showed ha he main reason for he inaccuracy of he 1s harmonic componen esimaion was he objec nonsaionariy which was caused by changes of relaive locaion of machine ool elemens. Limied effeciveness of general regularizaion echniques suggess necessiy of developmen of mehods ha are based on he model of cuing forces.