SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI 1 EDUKACJA TEMAT NUMERU LOGIKA I ZBIORY NAUCZANIE MATEMATYKI MATERIAŁY Z OSTATNIEJ ŁAWKI

Transkrypt

1

2 SPIS TREŚCI EDUKACJA Marcin Karpiński: Analfabetyzm i jego skutki... 2 Adam Grabowski: Przede wszystkim nie szkodzić... 5 O maturze raz jeszcze... 8 TEMAT NUMERU LOGIKA I ZBIORY Mistrzostwa z finałem w Paryżu Jakub Michalski: Zbiory w siatkach Odpowiedzi do zagadek NAUCZANIE MATEMATYKI Dorota Klus-Stańska: Stymulowanie twórczego myślenia uczniów Papier jest cierpliwy Książki nadesłane Adrian Pająk: Geometria ruchomych figur Michał Stukow: Niezmienniki Alicja Dziedzic-Januszewska: Popraw ocenę naprawdę warto! Zuzanna Mikołajska: Bryła pana Kapusty Agnieszka Piecewska-Łoś: BezViéte a nie ma Kartezjusza Michał Stukow: Środowisko matematyczne MATERIAŁY Klasówka w trzeciej klasie Z OSTATNIEJ ŁAWKI Jesteśmy nieprzeciętni SPIS TREŚCI 1

3 Jakub Michalski Zbiory w siatce Nie tylko Venn Ilustrowanie zbiorów za pomocą przecinających się owalów, chociaż wydaje się tak naturalne, do matematyki wprowadził dopiero w 1880 roku angielski matematyk John Venn ( ). Jednak słowo dopiero nie wydaje się właściwe, skoro diagramy Venna pojawiły się zaledwie 10 lat po sformułowaniu przez Georga Cantora ( ) podstaw teorii mnogości. Warto jednak wiedzieć, że diagram Venna to nie jedyny sposób graficznego przedstawienia zbiorów. W latach pięćdziesiątych ubiegłego wieku młody wówczas amerykański inżynier Maurice Karnaugh (czytaj: Karno), urodzony w 1924 r., wpadł na nowy sposób ilustrowania zależności między zbiorami. Tworzone jego metodą diagramy nazwano mapami (siatkami albo tablicami) Karnaugha. Mapa Karnaugha dla trzech zbiorów to prostokąt podzielony na osiem pól. A oto jak wygląda, wg Karanugha, ilustracja zbiorów A B C, A C oraz A (B C ). Mapy Karnaugha Mapa Karnaugha dla dwóch zbiorów (oznaczmy je literami A i B) tokwadrat podzielony na cztery pola. Zbiorowi A odpowiadają dwa górne pola, a zbiorowi B dwa pola w pierwszej kolumnie. W takim razie dopełnienie zbioru A, sumę zbiorów A i B, ich iloczyn albo iloczyn zbioru B i dopełnienia zbioru A można zilustrować tak jak na zaprezentowanych rysunkach. Siatka dla czterech zbiorów składa się z 16 pól. Dla większej liczby zbiorów mapy Karnaugha gwałtownie się rozrastają (dla pięciu zbiorów mają 32 pola, dla sześciu zbiorów 64 pola itd.) i niektórzy próbują je interpretować nie TEMAT NUMERU 13

4 jako siatki na płaszczyźnie, ale jako przestrzenne ułożenie warstw kwadratów o szesnastu polach. Posługując się mapami Karnaugha, można łatwo upraszczać złożone wyrażenia z algebry zbiorów. Aby przedstawić tę metodę, rozpatrzmy wyrażenie (A B) (A B C) (A B C) i zilustrujmy je odpowiednią mapą Karnaugha. Widzimy, że zacieniowane dwa górne pola można opisać bez użycia zbioru C, tzn. jako A B, a zacieniowane dwa pola w drugiej kolumnie bez użycia zbioru A, tzn.jakob C. W takim razie zacieniowany obszar to (A B) (B C) (oczywiście istnieją też inne równoważne zapisy tego zbioru). Rzecz jasna ten sam efekt można uzyskać sposobem algebraicznym: (A B) (A B C) (A B C) = =(A B) (B C) (A A) = =(A B) (B C) albo za pomocą diagramu Venna. O ile w wypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń przewaga metody wykorzystującej mapy Karnaugha nad metodą algebraiczną jest łatwa do wykazania, to nawet wtedy trudno do niej przekonać zwolenników diagramów Venna. Toteż nie to zastosowanie map przyniosło im sławę. Liczba pól a logika Zastanawiająca jest zależność między liczbą przedstawianych zbiorów a liczbą pól na mapie Karnaugha. Związek ten łatwo wyjaśnić, gdy omówimy jeszcze jeden przykład zastosowań tych map. Za pomocą mapy Karnaugha można zilustrować nie tylko algebrę zbiorów, ale dowolną algebrę Boole a. Pokażemy teraz, jak taka mapa może się przydać w rachunku zdań. W wypadku dwóch zdań p i q możliwe są tylko cztery zestawy ich wartości logicznych: p q Odpowiadająca dwóm zdaniom mapa Karnaugha musi mieć cztery pola, aby wyczerpać wszystkie możliwości zestawów wartości logicznych. W takiej siatce pierwsze pole (w górnym lewym rogu) odpowiada zestawowi: wartość logiczna 1 dla zdania p i1dlaq, itd. Rozpatrując wartości logiczne zdania złożonego ze zdań p i q, w polu tym należy wpisać wartość logiczną danego zdania dla przypadku, gdy oba zdania p i q mają wartość 1. Na przykład mapa Karnaugha dla alternatywy zdań p i q wygląda następująco: p q p q Mapa Karnaugha dla trzech zdań p, q i r powinna mieć tyle pól, ile jest możliwych zestawów wartości logicznych trzech zdań, tzn. osiem. p q r TEMAT NUMERU

5 Jeśli w te pola wpiszemy wartości logiczne zdania (w tabelce oznaczonego literą s) (p q) (( p) q r) (p q r), to mapa będzie wyglądała następująco: p q r s (p q) (( p) q r) (p q r) (p q) (q r) (( p) p) (p q) (q r) Jednak dużo łatwiej takiego uproszczenia dokonuje się za pomocą mapy Karnaugha. Aby lepiej zrozumieć to postępowanie, warto wrócić do sposobu, w jaki uprościliśmy wyrażenie (A B) (A B C) (A B C) i skorzystać z dualności rachunku zbiorów i rachunku zdań (czego najlepszym przykładem są prawa de Morgana). Aby uprościć wyrażenie, łączy się w pary jedynki położone w sąsiednich (czyli mających wspólny bok) polach mapy. Pozioma para oznacza to samo, co w wypadku zbiorów oznaczało A B, czyli p q, a para pionowa jest odpowiednikiem B C, czyli q r, zaś wynik końcowy jest alternatywą tych koniunkcji, czyli (p q) (q r). Zauważmy, że zwiększając liczbę zdań o jedno, podwajamy liczbę możliwych zestawów wartości logicznych tych zdań. Każdemu takiemu zestawowi odpowiada jedno pole mapy Karnaugha, więc liczby pól map dla dwóch, trzech i więcej zdań (lub zbiorów) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 2. Siatka zarabia na sławę Rozpatrywane powyżej zdanie wygląda odstraszająco. Informatycy często napotykają na podobne zdania (najczęściej jeszcze bardziej złożone!) i w takich wypadkach przede wszystkim próbują je uprościć. Takiego uproszczenia można dokonać algebraicznie, posługując się prawami rachunku zdań: Takie upraszczanie wyrażeń z algebry Boole a przez znajdowanie sąsiednich jedynek na mapie Karnaugha jest zdecydowanie prostsze niż upraszczanie wykonywane algebraicznie, a diagramy Venna nie znajdują tu zastosowania. W dodatku procedurę upraszczania za pomocą map można zmechanizować, co przy bardzo złożonych wyrażeniach oszczędza czas i wysiłek. Jak widać, mapy Karnaugha uczciwie zapracowały na uznanie, jakim się cieszą. TEMAT NUMERU 15

6 Zuzanna Mikołajska Bryła pana Kapusty Polski rysownik i architekt odkrył i opatentował wielościan, którego kształt jest wykorzystywany teraz w wielu krajach, m.in. do produkcji elementów budowlanych. Dwadzieścia lat temu w Nowym Jorku Janusz Kapusta, emigrant z Polski, odkrył bryłę o dość prostej budowie i ciekawych własnościach. Bryła ta jest jedenastościanem, którego kształt można zobaczyć na poniższym rysunku. Połowa sześcianu K-dron najłatwiej narysować, zaczynając od sześcianu, bo każdy z wierzchołków jedenastościanu Kapusty można umieścić tak, że będzie albo wierzchołkiem sześcianu, albo środkiem ściany, albo środkiem krawędzi. Janusz Kapusta nazwał odkryty przez siebie wielościan k-dronem. Końcówka nazwy, dron, to greckie słowo oznaczające powierzchnię lub ścianę. Litera k jest jedenastą literą alfabetu (angielskiego) i jednocześnie pierwszą literą nazwiska odkrywcy, więc dobrze opisuje zarówno kształt, jak i pochodzenie nowego jedenastościanu. Kapusta od początku wierzył w niezwykłe, niemal mistyczne własności swojej bryły. Mówi, że utwierdził się w tym przekonaniu, gdy usłyszał od znanego matematyka, prof. Stanisława Kwapienia, że k-dron przypomina model czasoprzestrzenny drgającej struny. Niezależnie od tego, czy wierzymy w nadzwyczajne cechy k-dronu, czy nie, warto się przyjrzeć jego własnościom geometrycznym. A jaka bryła zostanie z sześcianu po odcięciu od niego k-dronu? Każdy, kto dostrzeże, że to też k-dron, nie powinien narzekać na swoją wyobraźnię przestrzenną. A już mistrzem będzie ten, kto potrafi narysować dwa k-drony złączone plecami, tzn. ścianami w kształcie pięciokąta. 32 NAUCZANIE MATEMATYKI

7 K-dron na budowie Omawiana tu bryła okazała się przydatna w wielu dziedzinach sam Kapusta znalazł ponad 160 jej zastosowań. Są wśród nich zabawki, puzzle i inne układanki, a także meble i biżuteria. Najciekawsze jest wykorzystanie k-dronu w budownictwie. Wiele firm budowlanych na świecie wytwarza elementy elewacji budynków i pustaki o kształtach jednego lub kilku połączonych k-dronów. Na poniższej ilustracji przedstawiono takie k-dronowe pustaki. 2. Jakie wielokąty są jego ścianami? 3. Jaka jest długość każdej z krawędzi k-dronu? 4. Czy w k-dronie pole ściany o kształcie rombu jest większe czy mniejsze niż pole ściany o kształcie pięciokąta? 5. Oblicz pole powierzchni k-dronu. Ile razy większa jest ta powierzchnia od powierzchni sześcianu, z którego powstał? 6. Jaka jest objętość k-dronu? 7. Jaki jest kąt między ścianą o kształcie rombu a ścianą o kształcie kwadratu (podstawą)? Jakie są kąty między sąsiednimi ścianami? 8. W jaki sposób można skonstruować romb, który jest jedną ze ścian k-dronu? Jakie są kąty tego rombu? Najbardziej ambitni mogą postarać się narysować siatkę k-dronu i skleić jego model. K-dron w szkole Wielościan Kapusty świetnie się nadaje nie tylko do ćwiczenia intuicji geometrycznej, ale także do sprawdzenia, czy uczniowie potrafią wykonywać obliczenia dla mniej typowych brył. Lekcję można zacząć od pokazania uczniom, w jaki sposób k-dron powstaje z sześcianu o danej krawędzi a (ważne, żeby w tym momencie nie przekazywać im więcej wiadomości). Następnie uczniowie mogą zbadać własności tej bryły, odpowiadając na przykład na następujące pytania: 1. Ile ścian ma k-dron? Janusz Kapusta (ur r.) studiował architekturę na Politechnice Warszawskiej, a także historię filozofii na Akademii Teologii Katolickiej w Warszawie. W 1981 roku, tuż przed stanem wojennym, wyjechał do Nowego Jorku. Stał się tam znanym rysownikiem, regularnie publikującym w New York Times. Jego rysunki można też często zobaczyć w Rzeczpospolitej. W 1999 roku Kapusta przyjechał z k-dronem do Polski. Zaprezentował go na dwóch wystawach w Polsce (w Łodzi i Katowicach). Odbyła się też wtedy premiera jego sztuki dla dzieci Planeta K-dron, czyli tajemnicza przerwa w podróży. Niektórzybohaterowie tej sztuki nosili czapeczki w kształcie k-dronu, takiego też kształtu były elementy scenografii. W 1995 roku Wydawnictwa Artystyczne i Filmowe wydały w Polsce album z rysunkami Janusza Kapusty z New York Timesa, a WSiP książkę K-dron, opatentowana nieskończoność. Obecnie Janusz Kapusta ciągle mieszka wusa,aleczęstobywawpolsce. NAUCZANIE MATEMATYKI 33

8 Konkurs W numerze 17. MwS pytaliśmy o rozwiązanie zagadki logicznej o ministrach, umieszczonej w artykule pana Zbigniewa Marciniaka Jak uczyć logiki? Pracowity koniec roku szkolnego, a potem błogi wakacyjny wypoczynek to zapewne przyczyny tego, że nie otrzymaliśmy od Państwa żadnej odpowiedzi. W tym numerze na stronie 16. przypominamy treść obu zagadek i zamieszczamy też możliwe rozwiązania. Następne zadanie konkursowe będzie jak przystało na początek roku szkolnego łatwiejsze. Pytamy o to, co oznacza greckie słowo dron. Czekamy na odpowiedzi i życzymy udanego roku szkolnego. Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413, tel. (58) fax (58) Dział sprzedaży: tel. (58) Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Agnieszka Ciesielska Aleksandra Golecka-Mazur Marcin Karpiński Joanna Kniter Jacek Lech Małgorzata Pałys Michał Stukow Agnieszka Szulc Projekt graficzny, okładka, ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex Nakład: 2700 egz. 48

9