1. Krzywe stożkowe. (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (1) Wykonując działania w równaniu (1) i podstawiając c = a 2 + b 2 r 2 otrzymamy

Transkrypt

1 1. Krzywe stożkowe 1.1. Okrąg Niech w przestrzeni dne będą dwie proste l i l 1, przecinjące się w punkcie W. Jeżeli prost l 1 będzie obrcć się dokoł prostej l, to zkreśli powierzchnię w przestrzeni zwną powierzchnią stożkową lub po prostu stożkiem. Prostą l nzywmy osią stożk, prostą l 1 tworzącą stożk, punkt W wierzchołkiem stożk. Stożkowymi nzywmy krzywe, jkie możn otrzymć przecinjąc stożek płszczyznmi nieprzechodzącymi przez wierzchołek. W zleżności od kąt jki tworzy oś stożk z płszczyzną tnącą uzyskmy okrąg, elipsę, prbolę lub hiperbolę. Powyższe określenie jest poglądowe. Podmy terz inne definicje tych krzywych. Poniewż krzywe te są płskie będziemy trktowć je jko podzbiory płszczyzny Oxy. Definicj 1. Okręgiem o środku S i promieniu r nzywmy zbiór wszystkich punktów P spełnijących wrunek: SP = r, tj. odległych od środk o r. Jeżeli S = (, b), P = (x, y), to obliczjąc SP otrzymmy równnie: (x ) + (y b) = r. (1) Wykonując dziłni w równniu (1) i podstwijąc c = + b r otrzymmy x + y x by + c = 0. () Przykłd. Wyznczyć środek i promień okręgu x + y 1x + 4y + 15 = 0. Rozwiąznie. Z równni mmy = 6, b =, c = 15. Stąd r = 6 + ( ) 15 = 5. Ztem S = (6, ), r = 5. Przykłd.. Znleźć zbiór punktów płszczyzny, których odległość od początku ukłdu jest dw rzy większ niż odległość od punktu A = (3, 3). Rozwiąznie. Kżdy punkt P = (x, y) tego zbioru spełni wrunek OP = AP, czyli x + y = (x 3) + (y 3) x + y = 4 ( (x 3) + (y 3) ), 3x + 3y 4x 4y + 7 = 0, x + y 8x 8y + 4 = 0, (x 4) + (y 4) = 8 Szukny zbiór to okrąg o środku (4, 4) i promieniu. 1.. Elips Definicj. Elipsą nzywmy zbiór wszystkich punktów P spełnijących wrunek: P F 1 + P F =, gdzie F 1 i F są ustlonymi punktmi (nzywnymi ogniskmi elipsy), > 0 jest stłą. Wybierzmy tk ukłd współrzędnych by ognisk leżły n osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F = (c, 0) dl pewnego c > 0. Obliczjąc P F 1, P F otrzymmy równnie: (x + c) + y + (x c) + y =. (3) Stąd (x + c) + y = (x c) + y. 1

2 Rysunek 1. Elips Podnosząc obustronnie do kwdrtu i wykonując dziłni otrzymmy xc = 4 4 (x c) + y xc, xc = (x c) + y. Ponownie podnosimy obustronnie do kwdrtu: Oznczmy c = b. Wtedy: x c xc + 4 = x xc + c + y, ( c ) = x ( c ) + y. b = x b + y. Po podzieleniu przez b i zminie stron otrzymujemy równnie elipsy: x + y = 1. (4) b Liczby i b występujące w równniu mją prostą interpretcję. Jeśli w (4) podstwimy y = 0, to otrzymmy x = ±, więc elips przecin oś Ox w punktch (, 0) i (, 0). Anlogicznie, dl x = 0 jest y = ±b, więc elips przecin oś Oy w punktch (0, b) i (0, b). Liczby i b nzywmy odpowiednio osią wielką i osią młą elipsy. Ntomist c nzywmy ogniskową elipsy. Definicj 3. Liczbę e = c/ nzywmy mimośrodem elipsy. Poniewż 0 < c <, więc 0 < e < 1. Mimośród chrkteryzuje spłszczenie elipsy: gdy jest bliski 0, to elips jest prwie okręgiem. Im jest większy, tym elips jest brdziej spłszczon. Przykłd. Jk widomo, plnety poruszją się po elipsch. Słońce znjduje się zwsze w jednym z ognisk elipsy. Dl Ziemi półoś wielk wynosi km, c =, km. Ztem mimośród wynosi 0,017. Jest to więc elips blisk okręgowi. Zdnie. Szklnk w ksztłcie wlc o wewnętrznej średnicy d = 10 cm i głębokości h = 1 cm jest npełnion do połowy wodą. Jeśli szklnkę przechylmy tk, by wod osiągnęł krwędź, to powierzchni wody będzie ogrniczon elipsą. Znleźć półosie tej elipsy. Odp. = 7, 8 cm, b = 5 cm. Zdnie. Nszkicowć wykres krzywej określonej równniem 16x + 9y + 64x 18y 71 = 0.

3 Rozwiąznie. 16(x + 4x) + 9(y y) = 71 16(x + ) + 9(y 1) = = 144 (x + ) + 9 (y 1) 16 = 1. Krzyw jest elipsą o półosich = 3, b = 4 i środku w punkcie (, 1). Zdnie. Wykzć, że promienie wodzące punktu P (x, y) n elipsie x się wzormi: r 1 = + ex, r = ex, + y b = 1 wyrżją gdzie e mimośród. Rozwiąznie. Mmy r 1 + r = orz r 1 = (x + c) + y, r = (x c) + y. Odejmując stronmi dwie osttnie równości otrzymmy r 1 r = 4xc. Dzieląc stronmi to równnie przez równnie pierwsze otrzymmy r 1 r = xe. Z ukłdu r 1 + r =, r 1 r = xe łtwo obliczmy r 1, r. Przyrodnicy i fizycy często powołują się (nieformlnie) n tzw. zsdę minimlności. Np. promień świetlny szuk tkiej drogi, któr jest njkrótsz. W tym kontekście rozwżmy zdnie: w którym punkcie elipsy nleży przystwić lustro, by promień świetlny wychodzący z jednego ognisk trfił do drugiego? Z zsdy minimlności wynik, że powinien to być tki punkt, że drog (sum promieni wodzących) będzie njkrótsz. Ale dl punktów n elipsie wszystkie tkie drogi są jednkowe, bo r 1 +r =. Punkt jest więc dowolny. Uwzględnijąc znny fkt, że kąt pdni jest równy kątowi odbici, mtemtycznie ozncz to nstępujące twierdzenie. Twierdzenie 1. Styczn do elipsy w punkcie P tworzy z promienimi wodzącymi punktu P równe kąty. Formlny dowód tego twierdzeni możn podć rozwiązując po kolei poniższe zdni. Z1. Obliczyć współczynnik kierunkowy m stycznej do elipsy w punkcie (x 0, y 0 ) Ox. Rozwiąznie. Elipsę możn trktowć jko sumę wykresów funkcji y = b Obliczjąc pochodną otrzymmy 1 x, y = b m = y (x 0 ) = b x 0 y 0. 1 x Uwg. Njszybciej obliczymy m różniczkując względem x równość x + y b = 1. Otrzymmy: x + yy b = 0, skąd łtwo wyliczymy y. Z. Wykzć, że jeśli (x 0, y 0 ) jest punktem elipsy x + y b = 1, to prost x0x + y0y b = 1 jest styczną do tej elipsy w punkcie (x 0, y 0 ). Rozwiąznie. Dl punktów (, 0) orz (, 0) zdnie jest łtwe. Jeśli (x 0, y o ) Ox, to z poprzedniego zdni: czyli y y 0 = b x 0 y 0 (x x 0 ) y 0 y y 0 = b x 0 x + b x 0, b x 0 x + y 0 y = b x 0 + y 0. 3

4 Dzieląc przez b dostniemy x 0 x + y 0y b = x 0 + y 0 b = 1 Rysunek. Styczn tworzy z promienimi równe kąty Z3. Obliczyć cosinusy kątów między wektorem n = [ x0, y0 b ] wektormi F 1 P = [x 0 + c, y 0 ] orz F P = [x 0 c, y 0 ]. Rozwiąznie. Korzystmy ze wzoru cos ϕ = xb x + y b y. b Mmy cos ϕ 1 = orz cos ϕ = Ztem cos ϕ 1 = cos ϕ. x 0 +x0c + y 0 b n r 1 x 0 x0c + y 0 b n r = 1 + x0c n r 1 = 1 x0c n r = + x 0 c n r 1 = 1 n. = x 0 c n r = 1 n Hiperbol Definicj 4. Hiperbolą nzywmy zbiór wszystkich punktów P spełnijących wrunek: P F 1 P F =, gdzie F 1 i F są ustlonymi punktmi (nzywnymi ogniskmi hiperboli), > 0 jest stłą. Podobnie jk dl elipsy, wybierzmy tk ukłd współrzędnych by ognisk leżły n osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F = (c, 0) dl pewnego c > 0. Obliczjąc P F 1, P F otrzymmy równnie: (x + c) + y (x c) + y =. (5) Po rchunkch przeprowdznych nlogicznie jk dl elipsy i oznczeniu c = b otrzymujemy równnie hiperboli: x y = 1. (6) b Jeśli w (6) podstwimy y = 0, to otrzymmy x = ±, więc hiperbol przecin oś Ox w punktch (, 0) i (, 0). Te punkty nzywmy wierzchołkmi hiperboli. Ale dl x = 4

5 0 otrzymujemy równnie sprzeczne y b = 1. Ztem współczynnik b nie m interpretcji geometrycznej. Liczby i b nzywmy odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną hiperboli. Ntomist c nzywmy ogniskową hiperboli. Definicj 5. Liczbę e = c/ nzywmy mimośrodem hiperboli. Poniewż terz 0 < < c, więc e > 1. Definicj 6. Hiperbolę x + y = 1. (7) b nzywmy hiperbolą sprzężoną z hiperbolą (6). Wierzchołki i ognisk hiperboli (7) leżą n osi Oy. Wyliczjąc współczynniki kierunkowe stycznych do wykresów funkcji y = ±b 1 + x i korzystjąc z równni stycznej do wykresu funkcji możn dość łtwo wykzć nstępujące twierdzenie. Twierdzenie. Proste są symptotmi hiperboli (6) i (7). y = ± b x (8) Przykłd. Dn jest hiperbol x y = 8. Npisć równnie hiperboli współogniskowej przechodzącej przez punkt A( 5, 3). Odp. x 10 y 6 = 1. Przykłd. Npisć równni stycznych do hiperboli 4x y = 4 poprowdzonych z punktu A(1, 4). Odp. x = 1, 5x y + 3 = 0. Przykłd. Czy dl hiperboli prwdziwe jest zdnie: hiperbol skłd się z punktów, dl których iloczyn odległości od symptot jest stły? Odp. Tk, dl hiperboli (6) wynosi on b +b Prbol Definicj 7. Prbolą nzywmy zbiór wszystkich punktów P spełnijących wrunek: P F = d(p, l) gdzie F jest ustlonym punktem (nzywnym ogniskiem prboli), l jest ustloną prostą (kierownicą prboli). Wybierzmy tk ukłd współrzędnych by ognisko leżło n osi Ox, kierownic był równoległ do osi Oy początek ukłdu O był w środku między nimi. Przyjmijmy, że ognisko F m współrzędne (p/, 0), kierownic m równnie x = p/. Dowolny punkt P (x, y) prboli spełni równnie: ( x p ) + y = x + p Po podniesieniu do kwdrtu i dokonniu redukcji otrzymmy równnie prboli w postci y = px. (9) Współczynnik p nzywmy prmetrem prboli. Przy powyższych złożenich prbol przechodzi przez punkt (0, 0) (który nzywmy wierzchołkiem) i osią symetrii wykresu jest oś Ox. Nieco ogólniejsze równnie (y y 0 ) = p(x x 0 ) (10) przedstwi prbolę o osi poziomej i wierzchołku w punkcie (x 0, y 0 ). 5

6 Gdybyśmy tę prbolę obrócili o kąt π w kierunku przeciwnym do ruchu wskzówek zegr, to będzie on mił równnie (x x 0 ) = p(y y 0 ), które po wykonniu dziłń możn sprowdzić do postci y = x + bx + c. Jest to postć znn ze szkoły średniej. Wierzchołek tkiej prboli m współrzędne x w = b, y w = 4, gdzie = b 4c. Przykłd. Npisć równnie prboli, mjąc dne ognisko F (, 1) i równnie kierownicy x y 1 = 0. Rozwiąznie. Jeśli P = (x, y) leży n prboli, to (x ) + (y + 1) = P F = d(p, l) = (x ) + (y + 1) (x y 1) = x + y + xy 6x + y + 1 = 0 x y ( 1) Przykłd. Ustlić wrunek, przy którym prost y = mx + b jest styczn do prboli y = px. Rozwiąznie. Równnie (mx + b) = px, czyli m x + (mb p)x + b = 0, musi mieć jedno rozwiąznie. Ztem = 4p(mb p) = 0, więc mb = p/. Odp.: Wrunek styczności to mb = p/. Przykłd. Udowodnić, że styczne do prboli y = px poprowdzone z dowolnego punktu kierownicy są wzjemnie prostopdłe. Rozwiąznie. Równnie prostej przechodzącej przez punkt P = ( p, y 0) jest postci y = mx + mp + y 0. Jeśli jest on styczn do prboli, to z poprzedniego przykłdu wiemy, że musi być czyli m mp + y 0 = p pm + y 0 m p = 0. Ze wzoróww Viete : m 1 m = p p = 1, ztem proste są prostopdłe.. Krzywe n płszczyźnie Wykres funkcji ciągłej f(x) nzywmy krzywą n płszczyźnie. Ale t definicj nie obejmuje większości krzywych stożkowych, nwet prostych równoległych do osi Oy. Podmy więc ogólniejszą definicję, któr wystrczy do większości zstosowń. Definicj 8. Krzywą n płszczyźnie nzywmy zbiór K punktów postci (f(t), g(t)), gdzie f i g są funkcjmi ciągłymi n pewnym przedzile I. Równni x = f(t), y = g(t), t I (11) nzywmy równnimi prmetrycznymi krzywej K. 6

7 Przykłd. Nszkicowć wykres krzywej I sposób. Sporządzmy tbelę x = t, y = t 1, t 1. t x y II sposób. Obliczmy t = 1 x i podstwimy do y. Otrzymujemy y = 1 4 x 1. Jest to więc równnie prboli. Równni prmetryczne nigdy nie są jednoznczne. Np. powyższ prbol m tkże równni x = t, y = 1 4 t 1, 4 t, x = t 3, y = 1 4 t6 1, 3 4 t 3. Krzywą (11) nzywmy głdką, jeśli funkcje f i g mją ciągłe pochodne n przedzile I i te pochodne nie są jednocześnie równe 0 z wyjątkiem być może końców przedziłu I. Ntomist jeśli przedził I możn podzielić n podprzedziły tk, że n kżdym podprzedzile krzyw jest głdk, to krzywą nzywmy kwłkmi głdką. Równni prmetryczne niektórych krzywych Okrąg o środku (, b) i promieniu r m równni prmetryczne: x = + r cos t, y = b + r sin t, t [0, π). Elips x + y b = 1 m równni prmetryczne: x = cos t, y = b sin t, t [0, π). Hiperbol x y b = 1 m równni prmetryczne: x = cosh t, y = b sinh t, t R. Wykorzystując liczby zespolone możemy równni okręgu zpisć w postci z = z 0 + r e it, gdzie z 0 = + b i. Równni prmetryczne pojwiją się w nturlny sposób przy opisie ruchu, bo wtedy często możn znleźć zleżności współrzędnych x, y od czsu t. W geometrii mmy cłą rodzinę krzywych powstłych w wyniku ruchu. Definicj 9. Ruletą nzywmy linię, jką zkreśl ustlony punkt n jednej krzywej toczącej się bez poślizgu po drugiej krzywej (zwnej kierownicą), przy czym obie te krzywe leżą w jednej płszczyźnie. Jeśli okrąg toczy się bez poślizgu po linii prostej, to ustlony punkt okręgu zkreśl krzywą, którą nzywmy cykloidą Jeżeli okrąg m promień, t ozncz kąt obrotu, to równni prmetryczne mją postć Cykloid m wżne włsności. x = (t sin t), y = (1 cos t) Definicj 10. ) Krzywą, po której czs stczni się msy punktowej od punktu A do punktu B pod wpływem stłej siły (siły ciężkości) jest njkrótszy, nzywmy brchistochroną. 7

8 Rysunek 3. Cykloid b) Krzywą, po której czs stczni się msy punktowej pod wpływem stłej siły ciężkości do njniższego jej punktu jest tki sm, niezleżnie od punktu strtowego n tej krzywej, nzywmy tutochroną lub izochroną. Cykloid jest jednocześnie brchistochroną i tutochroną. T drug włsność umożliwił skonstruownie zegr z whdłem izochronicznym. W żegludze podstwowym problemem było i jest ustlnie położeni. Szerokość geogrficzną obliczno ustljąc wysokość Słońc nd horyzontem lub (n półkuli północnej) mierząc pozycję Gwizdy Polrnej. Ntomist obliczenie długości geogrficznej wymgło znjomości czsu loklnego i czsu odniesieni, bo różnic tych czsów określ długość kątową między miejscem ktulnym, miejscem odniesieni. Wymgło to dokłdnych zegrów. Christin Huygens ( ) dzięki odkryciu włsności tutochrony u cykloidy skonstruowł zegr z whdłem izochronicznym. Inne ciekwe krzywe otrzymmy, gdy okrąg toczy się po innym okręgu. Toczenie może się odbywć po wewnętrznej lbo po zewnętrznej stronie nieruchomego okręgu. W zleżności od proporcji promieni obu okręgów otrzymujemy rozmite krzywe. Epicykloid jest to krzyw jką zkreśl ustlony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrznej stronie nieruchomego okręgu. Hipocykloid jest to krzyw jką zkreśl ustlony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po wewnętrznej stronie nieruchomego okręgu. Przykłdem epicykloidy jest krdioid, któr powstje, gdy ob okręgi mją te sme promienie. Ntomist gdy po okręgu nieruchomym toczy się wewnętrznie okrąg o promieniu 4 rzy mniejszym, to powstłą hipocykloidę nzywmy steroidą. 3. Ukłd biegunowy Ukłd współrzędnych biegunowych skłd się z ustlonego punktu O (biegun) i półosi o początku O (osi biegunowej). Dl dowolnego punktu P różnego od O niech r = OP, ϕ niech będzie mirą kąt skierownego od osi biegunowej do wektor OP. Liczby (r, ϕ) nzywmy współrzędnymi biegunowymi punktu P. Poniewż ϕ jest kątem skierownym, więc współrzędne biegunowe dnego punktu nie są jednoznczne. Np. (3, π 4 ), (3, 9π 4 ), (3, 7π 4 ), reprezentują ten sm punkt. Przyjmujemy tkże, że biegun m współrzędne (0, ϕ) dl dowolnego ϕ. Przykłd. Nszkicujemy wykres funkcji r = + cos ϕ. Sporządzmy tbelę ϕ 0 π/6 π/4 π/3 π/3 3π/4 5π/6 π r Krzyw o równniu r = (1 + cos ϕ) nzyw się krdioidą. 8

9 Jeżeli n płszczyźnie mmy jednocześnie ukłd biegunowy i krtezjński Oxy, przy czym dodtni półoś x pokryw się z osią biegunową, to mmy związki: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ tg ϕ = y x, r = x + y Przykłd. Jkie równnie krtezjńskie m krzyw r = 4 sin ϕ? Mnożąc obustronnie przez r dostjemy r = 4r sin ϕ, więc x + y = 4y, czyli x + (y ) = 4. Jest to okrąg. Przykłd. Jkie równnie biegunowe m krzyw (x + y ) = (x y ) ( > 0)? Mmy (r ) = ((r cos ϕ) (r sin ϕ) ) r 4 = r (cos ϕ sin ϕ) r = cos ϕ T krzyw nzyw się lemnisktą Bernoullego. Zdnie. Nszkicowć wykresy krzywych ( > 0): 1. r = ϕ (spirl Archimedes). r = ϕ (spirl hiperboliczn) 3. r = e ϕ (spirl logrytmiczn) Uwg: w punkcie uwzględnić, że r sin ϕ = sin ϕ ϕ, więc lim ϕ 0 y =. Spirl Archimedes jest trjektorią punktu, który przemieszcz się jednostjnie po prostej, podczs gdy prost obrc sie jednostjnie wokół jednego ze swoich punktów. Jest to krzyw rowk n płytch winylowych. Spirl logrytmiczn (spir mirbilis) pojwi się w przyrodzie, np. muszl łodzik (gtunek mięczk) m jej ksztłt. N życzenie Jcob Bornoullego ( ), który ją bdł, spirlę umieszczono n jego ngrobku w Bzylei. 4. Obrót ukłdu współrzędnych Zdnie. Ukłd Oxy zostł obrócony dokoł punktu O o kąt ϕ. Punkt P = (x, y) m w nowym ukłdzie współrzędne (x, y ). Znleźć wzory wyrżjące stre współrzędne (x, y) w zleżności od nowych (x, y ). Rysunek 4. Obrót ukłdu współrzędnych Niech OP = p orz θ kąt jki wektor OP tworzy z osią Ox. Wtedy x = p cos θ y = sin θ x = p cos(θ + ϕ) y = sin(θ + ϕ) 9

10 Wykorzystując wzory n cosinus i sinus sumy dostjemy; x = p cos θ cos ϕ p sin θ sin ϕ = x cos ϕ y sin ϕ y = p sin θ cos ϕ + p cos θ sin ϕ = y cos ϕ + x sin ϕ = x sin ϕ + y cos ϕ W zpisie mcierzowym: [ x y ] [ cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ] [ x y ] Przykłd. W ukłdzie Oxy dn jest krzyw o równniu xy = 1. Jkie będzie mił równnie, jeśli ukłd obrócimy o kąt π 4? Rozwiąznie. Mmy więc Podstwimy do równni: x = [ x y ] = [ ] [ x y ], (x y ), y = (x + y ). 1 (x y )(x + y ) = 1 1 (x y ) = 1 x y = 1. 10