Symulacyjna analiza efektywnoêci sieci neuronowych w klasyfikacji bezwzorcowej

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Symulacyjna analiza efektywnoêci sieci neuronowych w klasyfikacji bezwzorcowej"

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe nr 724 Akademii Ekonomicznej w Krakowie 2006 Katedra Informatyki Symulacyjna analiza efektywnoêci sieci neuronowych w klasyfikacji bezwzorcowej Streszczenie: W artykule dokonano weryfikacji sieci neuronowych pod kątem zastosowań w klasyfikacji bezwzrocowej. Przeprowadzone badania symulacyjne z wykorzystaniem samoorganizujących się map cech Kohonena odpowiadają na pytanie, czy sieci neuronowe mogą być wykorzystywane jako skuteczne metody wizualizacji i grupowania wielowymiarowych danych. Słowa kluczowe: sieci neuronowe, neuron, warstwa, dane symulacyjne, wielowymiarowy rozkład normalny, wizualizacja danych, grupowanie. 1. Wst p Istotnym problemem pojawiającym się podczas wyboru i stosowania metod grupowania jest wcześniejsza ich weryfikacja i ocena. T. Grabiński [1990] wymienia kilka możliwości badania poprawności metod taksonometrycznych. Są to: analiza formalnych własności algorytmów grupowania, poszukiwanie kontrprzykładów, wykorzystanie eksperymentów symulacyjnych i empirycznych, opartych na danych arbitralnych, generowanych oraz empirycznych. W przypadku badania poprawności metod taksonomicznych, najbardziej zadowalające wydaje się wykorzystanie danych symulacyjnych, które można uzyskać poprzez zastosowanie generatorów liczb pseudolosowych. Ciągi liczbowe uzyskane przez komputerowe realizacje generatorów liczb pseudolosowych (lub inaczej: quasi-losowych) są używane do rozwiązywania szeregu zadań, wśród których można tu wymienić zadania związane z badaniami reprezentacyjnymi, zadania numeryczne, czy też badania zjawisk i procesów technicznych, ekonomicznych

2 34 bądź biologicznych, co jest realizowane poprzez ich komputerową symulację (modelowanie). Wyczerpujący opis problematyki związanej z generowaniem liczb pseudolosowych oraz testowaniem procedur generujących ciągi liczbowe o zadanych parametrach można znaleźć w pracy R. Wieczorkowskiego i R. Zielińskiego [1997] oraz S. Brandta [1998]. W przeprowadzonych badaniach symulacyjnych wykorzystano algorytmy generujące liczby losowe o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Uzyskane wartości (wektory) można interpretować jako współrzędne punktów w przestrzeni R n, a poprzez modyfikacje parametrów procedur generujących można dowolnie kształtować rozkład obiektów w przestrzeni. Na potrzeby przeprowadzanych badań symulacyjnych zostały opracowane i napisane przez autora pracy programy komputerowe w języku programowania Clipper, umożliwiające generowanie wielowymiarowych liczb pseudolosowych o rozkładzie normalnym N(0,1) i zadanych a priori parametrach. Ze względu na obszerność, nie dołączono kodu źródłowego programów. Jako narzędzie zastosowano samoorganizujące się mapy cech Kohonena (SOM), które, ze względu na swe właściwości [Kohonen 1995], są najczęściej wykorzystywane w procesie klasyfikacji i grupowania. Dla tej kategorii sieci istotne jest prawidłowe określenie parametrów uczenia SOM, co również przedstawiono w niniejszej pracy. Zaprezentowano też mniej formalną metodę badania poprawności grupowania, jaką stanowi wizualizacja rozkładu obiektów w przestrzeni wielowymiarowej. W procesie wizualizacji wykorzystano metodę UMATRIX [Ultsch 1993]. 2. Generowanie zestawów danych symulacyjnych Dla potrzeb badań symulacyjnych przygotowano łącznie 24 zestawy danych, które zostały zróżnicowane pod względem: liczebności obiektów, liczby zmiennych, rozmieszczenia obiektów w przestrzeni R n, współczynnika zmienności dla zmiennych wchodzących w skład zestawów. Wartości parametrów poszczególnych zestawów danych symulacyjnych zawiera tabela 1. Symbol n oznacza liczbę obiektów wchodzących w skład każdego zestawu, natomiast m określa liczbę zmiennych obiektu. Środki ciężkości poszczególnych podzbiorowości wchodzących w skład zestawu danych określone zostały poprzez m-elementowe wektory średnich arytmetycznych μ, natomiast V różnicuje poszczególne zestawy ze względu na współczynnik zmienności.

3 Symulacyjna analiza efektywności 35 Tabela 1. Parametry układów danych symulacyjnych Układ danych Nr zestawu Liczba n U2 U4 Liczba m Średnia μ Współczynnik V Z1 500/ / Z2 500/ / Z3 500/ / Z4 500/ / Z5 500/ / Z6 500/ / Z7 700/ / Z8 700/ / Z9 700/ / Z10 700/ / Z11 700/ / Z12 700/ / Z13 250/250/250/ / / Z14 250/250/250/ / / Z15 250/250/250/ / / Z16 250/250/250/ / / Z17 250/250/250/ / / Z18 250/250/250/ / / Z19 250/150/400/ / / Z20 250/150/400/ / / Z21 250/150/400/ / / Z22 250/150/400/ / / Z23 250/150/400/ / / Z24 250/150/400/ / / Źródło: opracowanie własne na podstawie [Grabiński 1984; 1992]. Wszystkie zestawy danych składają się ze zbiorowości niejednorodnych, przy czym zestawy Z1,, Z12 z układu U2 zawierają dwie podzbiorowości, a zestawy Z13,, Z24 z układu U4 cztery podzbiorowości (numer układu oznacza tu liczbę podzbiorowości w zestawach danych należących do określonego układu). W skład każdego z układów wchodzi dwanaście zestawów danych, przy czym połowa zestawów zawiera podzbiorowości o jednakowej liczebności (zestawy Z1,, Z6 i Z13,, Z18), a w skład drugiej połowy wchodzą podzbiorowości liczebnie różne (Z7,,Z12 i Z19,, Z24). Liczba obiektów w każdym z układów, dla

4 36 każdego zestawu danych symulacyjnych, została określona na poziomie Dla połowy zestawów danych symulacyjnych w każdym z układów przyjęto liczebność zmiennych równą 6, w pozostałych zestawach liczebność zmiennych wynosi 20. W każdym układzie danych istnieją 4 grupy zestawów (po 3 w każdej grupie) o identycznej liczbie zmiennych. Zestawy danych należące do takiej grupy zostały dodatkowo zróżnicowane ze względu na współczynnik zmienności, gdzie przyjęto V = 10% dla pierwszego zestawu danych, V = 20% dla drugiego i V = 30% dla trzeciego zestawu danych wchodzących w skład grupy. Struktura geometryczna obiektów w przestrzeni została uzyskana poprzez określenie wartości średnich arytmetycznych dla poszczególnych zmiennych wchodzących w skład zestawu (zob. tabela 1, kolumna Średnia μ ). Dla przykładu: na zestaw Z8 składa się 700 obiektów, gdzie średnia arytmetyczna każdej z sześciu zmiennych wynosi 100, oraz 300 obiektów, dla których pierwsze trzy zmienne mają średnią arytmetyczną równą 200, a pozostałe trzy zmienne średnią równą Generowanie liczb losowych 3.1. Generowanie liczb losowych o rozkładzie normalnym W celu uzyskania liczb losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym wygenerowano w pierwszej kolejności wektory, których wszystkie składowe posiadają rozkład normalny N(0,1). Następnie wektory te poddano przekształceniu na liczby losowe o wielowymiarowym rozkładzie normalnym. Aby uzyskać liczby losowe 1 o rozkładzie normalnym N(0,1) zastosowano metodę ROU (Ratio of Uniforms Method) [Wieczorkowski, Zieliński 1997]. Wygenerowane wektory, których składowe spełniają warunek rozkładu normalnego N(0,1), stanowiły bazę dla procesu tworzenia wielowymiarowych liczb losowych o zadanych parametrach Generowanie liczb losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym Dla wektora X zawierającego m składowych X = (x 1, x 2,, x m ) funkcja gęstości rozkładu normalnego określona jest wzorem: 1 Uzyskanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym możliwe jest również przy wykorzystaniu: metody odwracania dystrybuanty, metody eliminacji, metody superpozycji rozkładów, metody Marsaglii i Baya [Zieliński 1997; Brandt 1998].

5 Symulacyjna analiza efektywności A T φ ( x) = exp ( x µ ) A( µ ) m 1 X ( 2π) 2, (1) gdzie: X wielowymiarowy wektor losowy o rozkładzie normalnym, μ wektor wartości oczekiwanych. W powyższym równaniu symbol A oznacza macierz wariancji i kowariancji: δ11 δ12 Λ δ 1m δ21 δ22 Λ δ2m A =. (2) Λ Λ Λ Λ δ δ Λ δ m1 m2 mm Elementy diagonalne δ 2 macierzy A odpowiadają wariancji i-tej składowej ii wektora losowego X, natomiast δ 2 (i j) (i, j = 1,, m) stanowią kowariancję i-tej ij oraz j-tej zmiennej losowej 2. Aby wygenerować wielowymiarową zmienną losową o rozkładzie N(μ, A) wykorzystano twierdzenie, które głosi, że jeżeli wszystkie składowe wektora Z = (z 1,, z m ) są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny N(0,1), to zmienna losowa CZ, gdzie C jest pewną macierzą nieosobliwą, ma m-wymiarowy rozkład normalny z macierzą kowariancji CC T. W celu wygenerowania m-wymiarowej zmiennej losowej X o zadanym rozkładzie normalnym i danej macierzy wariancji i kowariancji należy zatem: korzystając z rozkładu Choleskyʼego utworzyć macierz C, która spełnia warunek: CC T = A, wygenerować m niezależnych zmiennych losowych z 1,, z m, obliczyć X = CZ. Wykorzystanie opisanej metody pozwala na uzyskanie liczb losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym, które stanowią źródło danych dla przeprowadzanego procesu wizualizacji i grupowania przy zastosowaniu sieci neuronowych. 4. Projektowanie modelu sieci neuronowej Uzyskane zmienne o wielowymiarowym rozkładzie normalnym stanowiły przestrzeń wejść dla projektowanego modelu sieci neuronowej. W przeprowadzonych badaniach symulacyjnych zastosowano mapę cech Kohonena, wykorzysty- 2 W przeprowadzonej symulacji dla elementów δ 2 (i j) (i, j = 1,, m) macierzy wariancji ij i kowariancji przyjęto wartości zerowe.

6 38 waną najczęściej w procesie klasyfikacji i grupowania danych. Jako narzędzie do modelowania SOM wykorzystano pakiet programowy SOM_PAK 3. Proces uczenia sieci został podzielony na 2 etapy: etap I, w którym dokonano porządkowania wektorów wagowych SOM; zasięg funkcji sąsiedztwa początkowo obejmował całą mapę (30 30 neuronów) malejąc do 1 wraz z postępem uczenia; każdy zbiór danych wejściowych poddano uczeniu dla 25 różnych wartości początkowych współczynnika uczenia η (tabela 2), który zmierzał do 0 wraz z postępem uczenia sieci; etap II, w którym następował proces precyzyjnego dostrojenia składowych wektorów wagowych do ich poprawnych wartości; zasięg funkcji sąsiedztwa wyznaczono na poziomie 10% wielkości boku mapy (30 30 neuronów); każdy zbiór danych wejściowych poddano uczeniu dla 25 różnych wartości początkowych współczynnika uczenia η (tabela 2), który zmierzał do 0 wraz z postępem uczenia sieci. Tabela 2. Wartości współczynników uczenia dla pierwszego i drugiego etapu uczenia Numer Etap 1 Etap 2 1 0,2 0,02 2 0,5 0,02 3 0,6 0,02 4 0,8 0,02 5 0,9 0,02 6 0,2 0,03 7 0,5 0,03 8 0,6 0,03 9 0,8 0, ,9 0, ,2 0, ,5 0, ,6 0, ,8 0, ,9 0, ,2 0, ,5 0, ,6 0,08 3 Program został stworzony przez SOM Programming Team of the Helsinki University of Technology Laboratory of Computer and Information Science, Finland (zob. [Kohonen 1995]).

7 Symulacyjna analiza efektywności 39 cd. tabeli 2 Numer Etap 1 Etap 2 Źródło: opracowanie własne. 19 0,8 0, ,9 0, ,2 0, ,5 0, ,6 0, ,8 0, ,9 0,09 Parametry uczenia SOM zostały określone w sposób następujący (zob. też [Grabowski 1997]): badania przeprowadzono na mapie dwuwymiarowej o bokach równych, jako wymiar boku mapy przyjęto n, gdzie n stanowi liczbę obiektów; zgodnie z tym dla wszystkich zestawów danych symulacyjnych przyjęto SOM o wymiarach neuronów; ze względu na lepszą zbieżność do tych samych oszacowań wartości wektorów kodowych zastosowano SOM o topologii kwadratowej ; w przeprowadzonych badaniach użyto gaussowskiej funkcji sąsiedztwa; początkowa wartość współczynnika uczenia η została określona osobno dla etapu pierwszego i drugiego; zastosowano liniową funkcję korekty współczynnika uczenia η malejącą do zera wraz z postępem uczenia sieci: t η( t) = η( 0) 1, E (3) gdzie: η(0) początkowa wartość współczynnika uczenia, t indeks kroku uczenia, E liczba epok; w pierwszym etapie określono zasięg funkcji sąsiedztwa na poziomie 100% wielkości boku mapy (30), w drugim etapie na poziomie 10% (3); liczba cykli (epok) ciągu uczącego została określona jako 1000 dla pierwszego etapu i dla etapu drugiego; porządek obiektów w ciągu uczącym został określony przy wykorzystaniu generatora pseudolosowego; 4 Wystarczającą dokładność statystyczną uzyskuje się określając liczbę cykli (epok) na poziomie

8 40 w celu wyeliminowania zniekształceń w odwzorowaniu przestrzeni danych na płaszczyźnie, wektory danych wejściowych zostały unormowane do długości 1 poprzez zwiększenie wymiaru przestrzeni danych R n R n + 1 (co uzyskano poprzez przeskalowanie składowych do przedziału 0, 1, a następnie dodanie dodatkowej składowej normalizującej) [Osowski 1996]. 5. Przetwarzanie zestawów danych symulacyjnych Ogół zestawów danych symulacyjnych uzyskanych w wyniku procesu generowania zmiennych losowych o wielowymiarowym rozkładzie normalnym poddano przetwarzaniu przy wykorzystaniu modelu sieci neuronowej o założonych parametrach. Rezultatem tego procesu jest zestaw 900 wektorów wagowych neuronów (przy liczbie 1000 wzorców układu dla U2 i U4). Wszystkie dostępne zestawy danych (Z1,, Z24) poddano uczeniu przy zastosowaniu różnych wartości początkowych współczynnika uczenia η, osobno dla etapu pierwszego i drugiego, co w wyniku dało łącznie map cech (25 map dla każdego zestawu danych wchodzących w skład układów U2 i U4). Aby umożliwić porównania błędów kwantyzacji, dokonywano prezentacji wektorów wejściowych w jednakowej kolejności 6 dla wszystkich badanych przypadków η 1 i η 2. Dla tak uzyskanych map dokonano obliczenia średniego błędu kwantyzacji. Dla większej czytelności przyjęto następującą symbolikę oznaczenia poszczególnych zestawów danych symulacyjnych: ZPPQQRR, gdzie: PP numer zestawu danych symulacyjnych, QQ liczba zmiennych w zestawie danych, RR wartość współczynnika zmienności dla zmiennych zestawu. Analiza średnich błędów kwantyzacji wskazuje na kilkuprocentową poprawę jakości rzutowania przestrzeni danych wejściowych na płaszczyznę (zmniejszenie średniego błędu kwantyzacji) dla współczynników η 1 i η 2 należących do zestawów od 1 do 15. Dalsze zwiększanie wartości współczynników uczenia (zestawy od 16 do 25) nie powoduje już istotnego zmniejszenia błędu kwantyzacji, co mogłoby poprawić dopasowanie mapy do danych wzorcowych. Ponadto modyfikując 5 Czas realizacji obliczeń dla wszystkich wymienionych przypadków przy wykorzystaniu komputera z procesorem Pentium III 667 MHz wyniósł ok. 10 godzin. 6 Dla każdej epoki dokonywano prezentacji wektorów danych wejściowych na podstawie generatora pseudolosowego, przy czym dla uzyskania zgodności sekwencji ciągu danych wejściowych dla każdego z zestawów Z1,, Z24 określano identyczną wartość startową generatora.

9 Symulacyjna analiza efektywności 41 wartość współczynnika η 1 (pierwszy etap uczenia) przy założonej stałej wartości η 2 (etap drugi) można zauważyć zmniejszanie się średniego błędu kwantyzacji do wartości 0,5 0,6, a następnie stabilizację lub wzrost wartości błędu dla η 1 > 0,6. Zgodnie z powyższym dalszej analizie poddano mapy SOM uczone przy zastosowaniu współczynników uczenia η 1 = 0,6 i η 2 = 0,08 (łącznie 24 mapy dla wszystkich zestawów Z1,, Z24). Uzyskane wektory wagowe neuronów poddano analizie celem znalezienia w SOM spójnych obszarów. By wyłonić jednorodne grupy danych, zastosowano metodę wizualizacji UMATRIX [Ultsch 1993]. Dla każdej jednostki mapy wyznaczono średnią odległość od jednostek sąsiednich (każdy z neuronów leżących w narożnikach mapy posiada 3 sąsiadów, neurony leżące na krawędziach mapy posiadają 5 sąsiadów, a pozostałe 8 sąsiadów) przy zastosowaniu identycznej miary odległości, jaką stosowano podczas korekty współczynników wagowych neuronów (dla prezentowanych przypadków zastosowano metrykę euklidesową). Uzyskane wartości stanowią średnią miarę niepodobieństwa dla poszczególnych jednostek mapy i ich prezentacja w przestrzeni R 3 pozwala określić wizualnie istnienie jednorodnych grup w prezentowanym zbiorze danych wejściowych (ze względu na obszerność materiału ograniczono się jedynie do prezentacji dla dwóch wybranych zbiorów danych rys. 1 i 2) ,1 0,08 0,06 0,04 0, SOM Niepodobieństwo Rys. 1. Wizualizacja danych w SOM metodą UMATRIX dla zbioru Z Źródło: opracowanie własne.

10 SOM SOM ,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Niepodobieństwo Rys. 2. Wizualizacja danych w SOM metodą UMATRIX dla zbioru Z Źródło: opracowanie własne. Grupy jednostek leżących w dolinach wykresu prezentują dane wejściowe stanowiące grupy jednorodne, podczas gdy zbocza i szczyty stanowią separatory dla wyłonionych grup w przestrzeni wejść. Dokonując wizualnej analizy wykresów dla wszystkich zestawów danych można stwierdzić, że liczba uzyskanych jednorodnych grup odpowiada ich liczbie dla poszczególnych układów danych (dwie grupy dla zestawów Z1,, Z12 i cztery grupy dla zestawów Z13,, Z24). 6. Grupowanie Przyjęcie wielkości mapy SOM (a co za tym idzie określenie liczebności neuronów) zbliżonej do liczby obserwacji realizuje procedurę wizualizacji wielowymiarowej przestrzeni danych. W przypadku grupowania liczba neuronów w SOM powinna być znacznie mniejsza od całkowitej liczby obiektów w badanym zbiorze. Zatem dla SOM o bokach równych wielkość boku mapy powinna być znacznie mniejsza od pierwiastka z całkowitej liczby obiektów badanego ciągu. Dla wszystkich zbiorów danych symulacyjnych (Z010610,, Z242030) przyjęto wielkość boku mapy równą 3 i dla tej wielkości poddano uczeniu SOM stosując wartości zawarte w zbiorach symulacyjnych. Parametry uczenia SOM określono jak w trakcie procesu wizualizacji z tą różnicą, że ze względu na zmniej-

11 Symulacyjna analiza efektywności 43 szoną wielkość mapy konieczne stało się ograniczenie zakresu funkcji sąsiedztwa, której wartość dobrano na poziomie h = 3 dla pierwszego etapu uczenia oraz h = 1 dla etapu drugiego. Tabele 3 i 4 prezentują numery poszczególnych neuronów (wraz z ich współrzędnymi na mapie), średnie błędy kwantyzacji dla poszczególnych neuronów oraz liczbę obiektów ciągu wejściowego, które są reprezentowane przez wskazany neuron dla wybranych zbiorów danych symulacyjnych (Z i Z130610). Tabela 3. Rozkład obiektów w SOM o wymiarach 3 3 dla zestawu danych symulacyjnych Z Zestaw Neuron Współrzędne SOM Liczba X Y obiektów SBK , , , ,08033 Z , , , , ,05800 Źródło: opracowanie własne. Tabela 4. Rozkład obiektów w SOM o wymiarach 3 3 dla zestawu danych symulacyjnych Z Zestaw Neuron Współrzędne SOM Liczba X Y obiektów SBK , , , ,09428 Z , , , , ,09716 Źródło: opracowanie własne.

12 44 Dokonując analizy danych przedstawionych w tabelach 3 i 4 można zauważyć, że w przypadku zbioru Z dwa z neuronów SOM reprezentują większość z badanych obiektów ciągu, natomiast dla zbioru Z znaczną liczebnością przyporządkowanych obiektów wyróżniają się cztery neurony. Odpowiada to przyjętym założeniom odnośnie do rozkładu obiektów w przestrzeni wielowymiarowej (zob. tabela 1). 7. Ocena poprawnoêci procedury grupowania SOM Uzyskany w wyniku zastosowania SOM podział obiektów przestrzeni cech należy poddać weryfikacji celem pomiaru poprawności grupowania. Stosowane mierniki homogeniczności (określające stopień podobieństwa obiektów należących to tej samej grupy) oraz heterogeniczności (określające wzajemne oddalenie pomiędzy obiektami w różnych grupach) sprowadzają się najczęściej do wyznaczania odległości wewnątrzgrupowych (maksymalnych lub średnich) oraz odległości międzygrupowych (minimalnych lub średnich) 7. Jako miarę homogeniczności uzyskanych grup przyjęto średnią odległość wewnątrzgrupową (zob. też [Grądziel, Grześkowiak 2000]): d k = d( Op, Oq ) O G p k O G n q k k ( n 1) gdzie: d k średnia odległość wewnątrzgrupa dla k-tej grupy, O p, O q obiekty należące do k-tej grupy, n k liczba obiektów w k-tej grupie, d(o p, O q ) odległość między obiektami O p i O q, należącymi do k-tej grupy. Duże wartości miernika homogeniczności oznaczają mały stopień podobieństwa wewnątrzgrupowego (duże rozproszenie, a co za tym idzie małą jednorodność obiektów), natomiast małe wartości świadczą o wysokim podobieństwie obiektów przynależących do badanej grupy. W celu określenia zróżnicowania międzygrupowego jako miernik zastosowano średnią odległość międzygrupową: k, (4) 7 Wykaz stosowanych mierników poprawności grupowania można znaleźć w pracy [Grabiński 1992, s ].

13 Symulacyjna analiza efektywności 45 d kl = d( Op, Oq ) O G p k O G q n n k l l, (5) gdzie: d kl średnia odległość między obiektami k-tej i l-tej grupy, O p obiekty należące do k-tej grupy, O q obiekty należące do l-tej grupy, n k liczba obiektów w k-tej grupie, n l liczba obiektów w l-tej grupie, d(o p, O q ) odległość między obiektami k-tej i l-tej grupy. Duże wartości miernika heterogeniczności oznaczają wysoki stopień zróżnicowania obiektów należących do badanych grup (duże oddalenie pomiędzy obiektami należącymi do różnych grup), natomiast małe wartości oznaczają duże podobieństwo pomiędzy grupami (niską separowalność). Tabele 5 i 6 przedstawiają ujęte w macierzy średnie wartości wewnątrzi międzygrupowe dla SOM o wymiarach 3 3, dla wybranych zestawów danych symulacyjnych Z oraz Z Na głównych przekątnych poszczególnych macierzy znajdują się średnie odległości wewnątrzgrupowe, pozostałe wartości oznaczają średnie odległości międzygrupowe. Tabela 5. Macierz średnich odległości między- i wewnątrzgrupowych dla SOM o wymiarach 3 3, dla zestawu danych symulacyjnych Z Z Grupa , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,07596 Źródło: opracowanie własne. Poprawny podział obiektów powinien charakteryzować się zarówno dużym stopniem homogeniczności (małe wartości średnich odległości wewnątrzgrupowych), jak i dużym stopniem heterogeniczności (duże wartości średnich odległości międzygrupowych). Dokonując analizy przedstawionych średnich wartości

14 46 Tabela 6. Macierz średnich odległości między- i wewnątrzgrupowych dla SOM o wymiarach 3 3, dla zestawu danych symulacyjnych Z Z Grupa , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,10242 Źródło: opracowanie własne. odległości wewnątrz- i międzygrupowych można stwierdzić, że średnie odległości pomiędzy obiektami należącymi do tej samej grupy (wartości na głównych przekątnych) są mniejsze od średnich odległości pomiędzy obiektami należącymi do różnych grup (wartości znajdujące się poza główną przekątną w poszczególnych macierzach) dla każdego badanego zestawu danych symulacyjnych (Z010610,, Z242030), natomiast wartości zerowe zawarte w tabelach oznaczają brak przyporządkowania obiektów do wskazywanych przez nie neuronów. Świadczy to o poprawności przeprowadzonego procesu grupowania. Literatura Brandt S. [1998], Analiza danych, metody statystyczne i obliczeniowe, PWN, Warszawa. Grabiński T. [1990], Problemy analizy poprawności procedur taksonomicznych [w:] Taksonomia teoria i jej zastosowania, red. J. Pociecha, Materiały z konferencji naukowej zorganizowanej przez AE w Krakowie oraz PTS, Mogilany, wrzesień Grabiński T. [1992], Metody taksonometrii, AE w Krakowie, Kraków. Grabowski M. [1997], Sieci neuronowe w analizie danych społeczno-ekonomicznych, Rozprawa doktorska, AE w Krakowie, Kraków. Grądziel A., Grześkowiak A. [2000], Taksonomiczna analiza gospodarowania zasobami leśnymi na terenie Dolnego Śląska [w:] Taksonomia 7. Klasyfikacja i analiza danych. Teoria i zastosowania, red. K. Jajuga, M. Walesiak, Wydawnictwo AE we Wrocławiu, Wrocław. Kohonen T. [1995], Self-Organizing Maps, Springer-Verlag, Heidelberg. Ossowski S. [1996], Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym, WNT, Warszawa. Ultsch A. [1993], Self-organizing Neural Networks for Visualization and Classification [w:] Information and Classification, , red. O. Opitz, B. Lausen, R. Klar, Springer-Verlag, Berlin.

15 Symulacyjna analiza efektywności 47 Wieczorkowski R., Zieliński R. [1997], Komputerowe generatory liczb losowych, WNT, Warszawa. Zieliński J. [2000], Inteligentne systemy w zarządzaniu teoria i praktyka, PWN, Warszawa. Simulational Analysis of Neural Networks Effectiveness in Cluster Analysis The paper demonstrates the verification of neural networks usefulness in cluster analysis. The performed simulational research with use of Kohonen self-organising feature maps give an answer to the question, if neural networks can be utilised as an effective method of multidimensional data grouping and visualisation. Key words: neural networks, neuron, layer, simulation data, multidimensional normal distribution, data visualisation, cluster analysis.

S O M SELF-ORGANIZING MAPS. Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor

S O M SELF-ORGANIZING MAPS. Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor S O M SELF-ORGANIZING MAPS Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor Podstawy teoretyczne Map Samoorganizujących się stworzył prof. Teuvo Kohonen (1982 r.). SOM wywodzi się ze sztucznych sieci neuronowych.

Bardziej szczegółowo

10. Redukcja wymiaru - metoda PCA

10. Redukcja wymiaru - metoda PCA Algorytmy rozpoznawania obrazów 10. Redukcja wymiaru - metoda PCA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. PCA Analiza składowych głównych: w skrócie nazywana PCA (od ang. Principle Component

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki wielowymiarowej

Elementy statystyki wielowymiarowej Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych

Bardziej szczegółowo

Sieci Kohonena Grupowanie

Sieci Kohonena Grupowanie Sieci Kohonena Grupowanie http://zajecia.jakubw.pl/nai UCZENIE SIĘ BEZ NADZORU Załóżmy, że mamy za zadanie pogrupować następujące słowa: cup, roulette, unbelievable, cut, put, launderette, loveable Nie

Bardziej szczegółowo

Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha.

Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Ćwiczenie 3 Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Instytut Fizyki Politechniki Łódzkiej Laboratorium Metod Analizy Danych Doświadczalnych Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. Generator liczb losowych o rozkładzie Rayleigha. 1. Cel ćwiczenia

Bardziej szczegółowo

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce

Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium JAVA Zadanie nr 2 Rozpoznawanie liter autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z problemem klasyfikacji

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inteligentne Zadanie 4

Obliczenia inteligentne Zadanie 4 Sieci SOM Poniedziałek, 10:15 2007/2008 Krzysztof Szcześniak Cel Celem zadania jest zaimplementowanie neuronowej samoorganizującej się mapy wraz z metodą jej nauczania algorytmem gazu neuronowego. Część

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych

Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 2 Modelowanie zdarzeń dyskretnych Plan laboratorium Generatory liczb pseudolosowych dla rozkładów dyskretnych: Generator liczb o rozkładzie równomiernym Generator

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Metody Sztucznej Inteligencji II

Metody Sztucznej Inteligencji II 17 marca 2013 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką, która jest w stanie odbierać i przekazywać sygnały elektryczne. Neuron działanie Jeżeli wartość sygnału

Bardziej szczegółowo

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie

Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Fuzja sygnałów i filtry bayesowskie Roboty Manipulacyjne i Mobilne dr inż. Janusz Jakubiak Katedra Cybernetyki i Robotyki Wydział Elektroniki, Politechnika Wrocławska Wrocław, 10.03.2015 Dlaczego potrzebna

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Układy stochastyczne

Układy stochastyczne Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.

Bardziej szczegółowo

Hierarchiczna analiza skupień

Hierarchiczna analiza skupień Hierarchiczna analiza skupień Cel analizy Analiza skupień ma na celu wykrycie w zbiorze obserwacji klastrów, czyli rozłącznych podzbiorów obserwacji, wewnątrz których obserwacje są sobie w jakimś określonym

Bardziej szczegółowo

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część populacji, którą podaje się badaniu statystycznemu

Bardziej szczegółowo

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu

Data Mining Wykład 9. Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster. Plan wykładu. Sformułowanie problemu Data Mining Wykład 9 Analiza skupień (grupowanie) Grupowanie hierarchiczne O-Cluster Plan wykładu Wprowadzanie Definicja problemu Klasyfikacja metod grupowania Grupowanie hierarchiczne Sformułowanie problemu

Bardziej szczegółowo

Grupowanie VQ. Kwantyzacja wektorowa (VQ Vector Quantization) SOM Self-Organizing Maps. Wstępny podział na grupy. Walidacja grupowania

Grupowanie VQ. Kwantyzacja wektorowa (VQ Vector Quantization) SOM Self-Organizing Maps. Wstępny podział na grupy. Walidacja grupowania Grupowanie VQ Kwantyzacja wektorowa (VQ Vector Quantization) k-średnich GLA Generalized Lloyd Algorithm ISODATA SOM Self-Organizing Maps Wstępny podział na grupy Walidacja grupowania Przykłady zastosowania

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta

Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta www.michalbereta.pl Sieci radialne zawsze posiadają jedną warstwę ukrytą, która składa się z neuronów radialnych. Warstwa wyjściowa składa

Bardziej szczegółowo

Analiza skupień. Analiza Skupień W sztucznej inteligencji istotną rolę ogrywają algorytmy grupowania

Analiza skupień. Analiza Skupień W sztucznej inteligencji istotną rolę ogrywają algorytmy grupowania Analiza skupień W sztucznej inteligencji istotną rolę ogrywają algorytmy grupowania Analiza Skupień Elementy składowe procesu grupowania obiekt Ekstrakcja cech Sprzężenie zwrotne Grupowanie klastry Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej Statystyka opisowa. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Elementy statystyku opisowej 1 Elementy statystyku opisowej 2 3 Elementy statystyku opisowej Definicja Statystyka jest to nauka o

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Co to jest grupowanie

Co to jest grupowanie Grupowanie danych Co to jest grupowanie 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Szukanie grup, obszarów stanowiących lokalne gromady punktów Co to jest grupowanie

Bardziej szczegółowo

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie

Analiza składowych głównych. Wprowadzenie Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2)

Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych w prognozowaniu szeregów czasowych (prezentacja 2) Ewa Wołoszko Praca pisana pod kierunkiem Pani dr hab. Małgorzaty Doman Plan tego wystąpienia Teoria Narzędzia

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Bardziej szczegółowo

SIEĆ GRNN W KOMPRESJI OBRAZÓW RADAROWYCH

SIEĆ GRNN W KOMPRESJI OBRAZÓW RADAROWYCH ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLV NR 1 (156) 2004 Tomasz Praczyk SIEĆ GRNN W KOMPRESJI OBRAZÓW RADAROWYCH STRESZCZENIE Obraz morskiego radaru nawigacyjnego może być podstawą perspektywicznego

Bardziej szczegółowo

Badanie rozwoju społeczno-gospodarczego województw - wpływ metodyki badań na uzyskane wyniki

Badanie rozwoju społeczno-gospodarczego województw - wpływ metodyki badań na uzyskane wyniki Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej w Poznaniu Nr / Rafał Czyżycki Uniwersytet Szczeciński Badanie rozwoju społeczno-gospodarczego województw - wpływ metodyki badań na uzyskane wyniki Streszczenie,

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14

Statystyka. #6 Analiza wariancji. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2015/ / 14 Statystyka #6 Analiza wariancji Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2015/2016 1 / 14 Analiza wariancji 2 / 14 Analiza wariancji Analiza wariancji jest techniką badania wyników,

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO. Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice)

WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO. Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice) WYKORZYSTANIE SIECI NEURONOWEJ DO BADANIA WPŁYWU WYDOBYCIA NA SEJSMICZNOŚĆ W KOPALNIACH WĘGLA KAMIENNEGO Stanisław Kowalik (Poland, Gliwice) 1. Wprowadzenie Wstrząsy podziemne i tąpania występujące w kopalniach

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

strona 1 / 11 Autor: Walesiak Marek Subdyscyplina: Klasyfikacja i analiza danych Publikacje:

strona 1 / 11 Autor: Walesiak Marek Subdyscyplina: Klasyfikacja i analiza danych Publikacje: Autor: Walesiak Marek Subdyscyplina: Klasyfikacja i analiza danych Publikacje: 1. Autorzy rozdziału: Borys Tadeusz; Strahl Danuta; Walesiak Marek Tytuł rozdziału: Wkład ośrodka wrocławskiego w rozwój teorii

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim STATYSTYKA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

Podstawy sztucznej inteligencji

Podstawy sztucznej inteligencji wykład 5 Sztuczne sieci neuronowe (SSN) 8 grudnia 2011 Plan wykładu 1 Biologiczne wzorce sztucznej sieci neuronowej 2 3 4 Neuron biologiczny Neuron Jest podstawowym budulcem układu nerwowego. Jest komórką,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia iteracyjne

Obliczenia iteracyjne Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej

Bardziej szczegółowo

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18

Eksploracja Danych. wykład 4. Sebastian Zając. 10 maja 2017 WMP.SNŚ UKSW. Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja / 18 Eksploracja Danych wykład 4 Sebastian Zając WMP.SNŚ UKSW 10 maja 2017 Sebastian Zając (WMP.SNŚ UKSW) Eksploracja Danych 10 maja 2017 1 / 18 Klasyfikacja danych Klasyfikacja Najczęściej stosowana (najstarsza)

Bardziej szczegółowo

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak Wzory dla szeregu szczegółowego: Wzory dla szeregu rozdzielczego punktowego: ->Średnia arytmetyczna ważona -> Średnia arytmetyczna (5) ->Średnia harmoniczna (1) ->Średnia harmoniczna (6) (2) ->Średnia

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS)

SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) SIECI RBF (RADIAL BASIS FUNCTIONS) Wybrane slajdy z prezentacji prof. Tadeusiewicza Wykład Andrzeja Burdy S. Osowski, Sieci Neuronowe w ujęciu algorytmicznym, Rozdz. 5, PWNT, Warszawa 1996. opr. P.Lula,

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Laboratorium Python Zadanie nr 1 Regresja liniowa autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, M. Zięba, J. Kaczmar Cel zadania Celem zadania jest implementacja liniowego zadania

Bardziej szczegółowo

Uczenie sieci typu MLP

Uczenie sieci typu MLP Uczenie sieci typu MLP Przypomnienie budowa sieci typu MLP Przypomnienie budowy neuronu Neuron ze skokową funkcją aktywacji jest zły!!! Powszechnie stosuje -> modele z sigmoidalną funkcją aktywacji - współczynnik

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. SOM jest skrótem od Self Organizing Maps, czyli Samoorganizujące się mapy.

Wprowadzenie. SOM jest skrótem od Self Organizing Maps, czyli Samoorganizujące się mapy. SOM i WebSOM Wprowadzenie SOM jest skrótem od Self Organizing Maps, czyli Samoorganizujące się mapy. Podstawy teoretyczne stworzył fiński profesor Teuvo Kohonen w 1982 r SOM - ogólnie Celem tych sieci

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Metody sztucznej inteligencji Zadanie 3: (1) klasteryzacja samoorganizująca się mapa Kohonena, (2) aproksymacja sieć RBF.

Metody sztucznej inteligencji Zadanie 3: (1) klasteryzacja samoorganizująca się mapa Kohonena, (2) aproksymacja sieć RBF. Metody sztucznej inteligencji Zadanie 3: ( klasteryzacja samoorganizująca się mapa Kohonena, (2 aproksymacja sieć RBF dr inż Przemysław Klęsk Klasteryzacja za pomocą samoorganizującej się mapy Kohonena

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0

Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics 2, 2, 0, 0, 0 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka - Statystyka matematyczna Mathematical statistics Inżynieria materiałowa Materials Engineering Rodzaj przedmiotu: Poziom studiów: forma studiów: obowiązkowy studia

Bardziej szczegółowo

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych.

POJĘCIA WSTĘPNE. STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. [1] POJĘCIA WSTĘPNE STATYSTYKA - nauka traktująca o metodach ilościowych badania prawidłowości zjawisk (procesów) masowych. BADANIE STATYSTYCZNE - ogół prac mających na celu poznanie struktury określonej

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 9 marca 2007

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 9 marca 2007 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pawel@cibis.pl 9 marca 2007 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności Skorygowany R

Bardziej szczegółowo

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. 8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp Bardzo często interesujący

Bardziej szczegółowo

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:

W kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów: Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III

Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe

Bardziej szczegółowo

METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH

METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH Marcin Pełka Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu METODY SKALOWANIA WIELOWYMIAROWEGO OBIEKTÓW SYMBOLICZNYCH 1. Wprowadzenie Metody skalowania wielowymiarowego obiektów symbolicznych, podobnie jak w przypadku

Bardziej szczegółowo

WYKAZ PRAC PUBLIKOWANYCH

WYKAZ PRAC PUBLIKOWANYCH Dr hab. Andrzej Bąk Prof. nadzw. AE WYKAZ PRAC PUBLIKOWANYCH I. Publikacje zwarte I.1. KsiąŜki 1. Walesiak M., Bąk A. [1997], Realizacja badań marketingowych metodą conjoint analysis z wykorzystaniem pakietu

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA STUDIA DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE JEDNOSTKA ZGŁASZAJĄCA/REALIZUJĄCA KURS: WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO / STUDIUM DOKTORANCKIE KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Symulacje Monte Carlo w obliczeniach inżynierskich Nazwa w

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja województw według ich konkurencyjności przy pomocy metod taksonomicznych oraz sieci neuronowych.

Klasyfikacja województw według ich konkurencyjności przy pomocy metod taksonomicznych oraz sieci neuronowych. Klasyfikacja województw według ich konkurencyjności przy pomocy metod taksonomicznych oraz sieci neuronowych. Krzysztof Karpio, Piotr Łukasiewicz, rkadiusz Orłowski, rkadiusz Gralak Katedra Ekonometrii

Bardziej szczegółowo

Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV

Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Naiwny klasyfikator Bayesa Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych

Statystyka. Opisowa analiza zjawisk masowych Statystyka Opisowa analiza zjawisk masowych Typy rozkładów empirycznych jednej zmiennej Rozkładem empirycznym zmiennej nazywamy przyporządkowanie kolejnym wartościom zmiennej (x i ) odpowiadających im

Bardziej szczegółowo

strona 1 / 12 Autor: Walesiak Marek Publikacje:

strona 1 / 12 Autor: Walesiak Marek Publikacje: Autor: Walesiak Marek Publikacje: 1. Autorzy rozdziału: Borys Tadeusz; Strahl Danuta; Walesiak Marek Tytuł rozdziału: Wkład ośrodka wrocławskiego w rozwój teorii i zastosowań metod taksonomicznych, s.

Bardziej szczegółowo

Agnieszka Nowak Brzezińska

Agnieszka Nowak Brzezińska Agnieszka Nowak Brzezińska jeden z algorytmów regresji nieparametrycznej używanych w statystyce do prognozowania wartości pewnej zmiennej losowej. Może również byd używany do klasyfikacji. - Założenia

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia statystyczne

Podstawowe pojęcia statystyczne Podstawowe pojęcia statystyczne Istnieją trzy rodzaje kłamstwa: przepowiadanie pogody, statystyka i komunikat dyplomatyczny Jean Rigaux Co to jest statystyka? Nauka o metodach ilościowych badania zjawisk

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe

Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe Inteligentne systemy decyzyjne: Uczenie maszynowe sztuczne sieci neuronowe Trening jednokierunkowych sieci neuronowych wykład 2. dr inż. PawełŻwan Katedra Systemów Multimedialnych Politechnika Gdańska

Bardziej szczegółowo

SPOTKANIE 9: Metody redukcji wymiarów

SPOTKANIE 9: Metody redukcji wymiarów Wrocław University of Technology SPOTKANIE 9: Metody redukcji wymiarów Piotr Klukowski* Studenckie Koło Naukowe Estymator piotr.klukowski@pwr.wroc.pl 08.12.2015 *Część slajdów pochodzi z prezentacji dr

Bardziej szczegółowo

Widzenie komputerowe

Widzenie komputerowe Widzenie komputerowe Uczenie maszynowe na przykładzie sieci neuronowych (3) źródła informacji: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym, WNT 1996 Zdolność uogólniania sieci neuronowej R oznaczenie

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006

Ekonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006 , transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji

Bardziej szczegółowo

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11,

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 1 Kwantyzacja skalarna Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 11, 10.05.005 Kwantyzacja polega na reprezentowaniu dużego zbioru wartości (być może nieskończonego) za pomocą wartości

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013

Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 0,KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Matematyka stosowana w geomatyce Nazwa modułu w języku angielskim Applied Mathematics in Geomatics Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A.

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p. Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa dr hab. Jerzy Nakielski Zakład Biofizyki i Morfogenezy Roślin Plan wykładu: 1. O co chodzi w statystyce 2. Etapy badania statystycznego 3. Zmienna losowa, rozkład

Bardziej szczegółowo

Algorytmy zrandomizowane

Algorytmy zrandomizowane Algorytmy zrandomizowane http://zajecia.jakubw.pl/nai ALGORYTMY ZRANDOMIZOWANE Algorytmy, których działanie uzależnione jest od czynników losowych. Algorytmy typu Monte Carlo: dają (po pewnym czasie) wynik

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Jądrowe klasyfikatory liniowe

Jądrowe klasyfikatory liniowe Jądrowe klasyfikatory liniowe Waldemar Wołyński Wydział Matematyki i Informatyki UAM Poznań Wisła, 9 grudnia 2009 Waldemar Wołyński () Jądrowe klasyfikatory liniowe Wisła, 9 grudnia 2009 1 / 19 Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS

FORECASTING THE DISTRIBUTION OF AMOUNT OF UNEMPLOYED BY THE REGIONS FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Folia Univ. Agric. Stetin. 007, Oeconomica 54 (47), 73 80 Mateusz GOC PROGNOZOWANIE ROZKŁADÓW LICZBY BEZROBOTNYCH WEDŁUG MIAST I POWIATÓW FORECASTING THE DISTRIBUTION

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel

ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA. dr inż. Aleksander Astel ZASTOSOWANIE TECHNIK CHEMOMETRYCZNYCH W BADANIACH ŚRODOWISKA dr inż. Aleksander Astel Gdańsk, 22.12.2004 CHEMOMETRIA dziedzina nauki i techniki zajmująca się wydobywaniem użytecznej informacji z wielowymiarowych

Bardziej szczegółowo

TADEUSZ KWATER 1, ROBERT PĘKALA 2, ALEKSANDRA SALAMON 3

TADEUSZ KWATER 1, ROBERT PĘKALA 2, ALEKSANDRA SALAMON 3 Wydawnictwo UR 2016 ISSN 2080-9069 ISSN 2450-9221 online Edukacja Technika Informatyka nr 4/18/2016 www.eti.rzeszow.pl DOI: 10.15584/eti.2016.4.46 TADEUSZ KWATER 1, ROBERT PĘKALA 2, ALEKSANDRA SALAMON

Bardziej szczegółowo

Rozpoznawanie obrazów

Rozpoznawanie obrazów Rozpoznawanie obrazów Laboratorium Python Zadanie nr 2 κ-nn i Naive Bayes autorzy: M. Zięba, J.M. Tomczak, A. Gonczarek, S. Zaręba, J. Kaczmar Cel zadania Celem zadania jest implementacja klasyfikatorów

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo